دوم معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

در اینجا ما از روش تغییرات ثابت لاگرانژ برای حل ناهمگن خطی استفاده می کنیم معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم. توصیف همراه با جزئیاتاین روش برای حل معادلات با ترتیب دلخواه در صفحه ارائه شده است
حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه بالاتر به روش لاگرانژ >>> .

مثال 1

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را با ضرایب ثابتروش تغییر ثابت های لاگرانژ:
(1)

راه حل

ابتدا معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:
(2)

این یک معادله مرتبه دوم است.

معادله درجه دوم را حل می کنیم:
.
ریشه های متعدد: . سیستم اصلی حل معادله (2) به شکل زیر است:
(3) .
از اینجا می گیریم تصمیم مشترک معادله همگن (2):
(4) .

ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت ها و در (4) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (1) به شکل زیر هستیم:
(5) .

مشتق را پیدا می کنیم:
.
توابع و معادله را به هم وصل می کنیم:
(6) .
سپس
.

مشتق دوم را پیدا می کنیم:
.
معادله اصلی (1) را جایگزین می کنیم:
(1) ;



.
از آنجایی که معادله همگن (2) را برآورده می‌کند، مجموع عبارت‌های هر ستون از سه ردیف آخر صفر است و معادله قبلی می‌شود:
(7) .
اینجا .

همراه با رابطه (6)، سیستمی از معادلات را برای تعیین توابع به دست می آوریم و:
(6) :
(7) .

حل یک سیستم معادلات

سیستم معادلات (6-7) را حل می کنیم. بیایید عباراتی برای توابع و :
.
مشتقات آنها را می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (6-7) را با روش کرامر حل می کنیم. ما تعیین کننده ماتریس سیستم را محاسبه می کنیم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

بنابراین، مشتقاتی از توابع را پیدا کردیم:
;
.
بیایید ادغام کنیم (به روش های یکپارچه سازی ریشه ها مراجعه کنید). انجام یک تعویض
; ; ; .

.
.

;
.

پاسخ

مثال 2

معادله دیفرانسیل را با روش تغییر ضرایب لاگرانژ حل کنید:
(8)

راه حل

مرحله 1. حل معادله همگن

ما یک معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم:

(9)
به دنبال راه حل در فرم. معادله مشخصه را می سازیم:

این معادله دارای ریشه های پیچیده است:
.
سیستم اساسی راه حل های مربوط به این ریشه ها به شکل زیر است:
(10) .
حل کلی معادله همگن (9):
(11) .

مرحله 2. تغییر ثابت ها - جایگزینی ثابت ها با توابع

اکنون ثابت های C را تغییر می دهیم 1 و سی 2 . یعنی ثابت های موجود در (11) را با توابع جایگزین می کنیم:
.
ما به دنبال حل معادله اصلی (8) به شکل زیر هستیم:
(12) .

علاوه بر این، روند حل مانند مثال 1 است. ما به سیستم معادلات زیر برای تعیین توابع و :
(13) :
(14) .
اینجا .

حل یک سیستم معادلات

بیایید این سیستم را حل کنیم. بیایید عبارات توابع را بنویسیم و:
.
از جدول مشتقات در می یابیم:
;
.

سیستم معادلات (13-14) را با روش کرامر حل می کنیم. تعیین کننده ماتریس سیستم:

.
با فرمول های کرامر در می یابیم:
;
.

.
از آنجایی که علامت مدول زیر علامت لگاریتم را می توان حذف کرد. صورت و مخرج را در:
.
سپس
.

حل کلی معادله اصلی:


.

در این بخش به یک مورد خاص می پردازیم معادلات خطیمرتبه دوم، زمانی که ضرایب معادله ثابت هستند، یعنی اعداد هستند. این گونه معادلات را معادلات با ضرایب ثابت می نامند. این نوع معادله کاربرد وسیعی پیدا می کند.

1. معادلات دیفرانسیل همگن خطی

معادله را در نظر بگیرید

جایی که ضرایب ثابت هستند. با فرض تقسیم تمام عبارات معادله بر و نشان دادن

این معادله را به شکل می نویسیم

همانطور که مشخص است، برای یافتن جواب کلی یک معادله همگن خطی مرتبه دوم، دانستن آن کافی است. سیستم بنیادیتصمیمات خصوصی اجازه دهید نشان دهیم که چگونه سیستم اساسی راه حل های خاص برای یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت پیدا می شود. ما به دنبال راه حل خاصی از این معادله در فرم خواهیم بود

با دو بار متمایز کردن این تابع و جایگزینی عبارات به معادله (59)، به دست می آوریم

پس از آن، با کاهش معادله را دریافت می کنیم

از این معادله، مقادیری از k تعیین می شود که تابع برای آنها جواب معادله (59) خواهد بود.

معادله جبری (61) برای تعیین ضریب k معادله مشخصه معادله دیفرانسیل داده شده (59) نامیده می شود.

معادله مشخصه معادله درجه دوم است و بنابراین دارای دو ریشه است. این ریشه ها می توانند واقعی متفاوت باشند یا واقعی و مساوی یا مزدوج پیچیده باشند.

اجازه دهید شکل سیستم بنیادی راه حل های جزئی را در هر یک از این موارد در نظر بگیریم.

1. ریشه ها معادله مشخصهمعتبر و متفاوت: . در این مورد، طبق فرمول (60)، دو راه حل خاص پیدا می کنیم:

این دو راه حل خاص یک سیستم اساسی از راه حل ها را در کل محور اعداد تشکیل می دهند، زیرا تعیین کننده Wronsky هرگز ناپدید نمی شود:

بنابراین جواب کلی معادله طبق فرمول (48) دارای شکل می باشد

2. ریشه های معادله مشخصه برابر است: . در این صورت هر دو ریشه واقعی خواهند بود. با فرمول (60) فقط یک راه حل خاص بدست می آوریم

اجازه دهید نشان دهیم که راه حل خاص دوم، که همراه با اولی یک سیستم بنیادی را تشکیل می دهد، دارای شکل است

ابتدا بررسی می کنیم که تابع جواب معادله (59) باشد. واقعا،

اما از آنجا که ریشه معادله مشخصه (61) است. علاوه بر این، با توجه به قضیه Vieta، بنابراین . بنابراین، یعنی تابع در واقع حل معادله (59) است.

اکنون اجازه دهید نشان دهیم که راه حل های خاص یافت شده یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهند. واقعا،

بنابراین، در این مورد، حل کلی معادله خطی همگن شکل دارد

3. ریشه های معادله مشخصه پیچیده است. همانطور که می دانید، ریشه های پیچیده معادله درجه دومبا ضرایب واقعی مزدوج هستند اعداد مختلط، یعنی به شکل: . در این صورت جواب های خاص معادله (59) طبق فرمول (60) شکل زیر را خواهند داشت:

با استفاده از فرمول های اویلر (نگاه کنید به فصل یازدهم، § 5 ص 3)، عبارات برای را می توان به شکل زیر نوشت:

این راه حل ها پیچیده هستند. برای به دست آوردن راه حل های واقعی، توابع جدید را در نظر بگیرید

آنها ترکیبی خطی از راه حل ها هستند و بنابراین، خود راه حل های معادله (59) هستند (به بند 3، مورد 2، قضیه 1 مراجعه کنید).

به راحتی می توان نشان داد که تعیین کننده Wronsky برای این راه حل ها با صفر متفاوت است و بنابراین، راه حل ها یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهند.

بنابراین، حل کلی یک معادله دیفرانسیل خطی همگن در مورد ریشه های پیچیده معادله مشخصه به شکل

در پایان، جدولی از فرمول ها را برای حل کلی معادله (59) بسته به شکل ریشه های معادله مشخصه ارائه می دهیم.

مبانی حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDE-2) با ضرایب ثابت (PC)

یک CLDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت $p$ و $q$ به شکل $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$، جایی که $f\left( x \right)$ یک تابع پیوسته است.

دو عبارت زیر در رابطه با LNDE دوم با PC درست است.

فرض کنید که برخی از تابع $U$ یک راه حل خاص دلخواه از یک معادله دیفرانسیل ناهمگن است. اجازه دهید همچنین فرض کنیم که برخی از تابع $Y$ یک راه حل کلی (OR) معادله دیفرانسیل همگن خطی مربوطه (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ است. سپس OR از LHDE-2 برابر است با مجموع راه حل های خصوصی و عمومی نشان داده شده، یعنی $y=U+Y$.

اگر یک قسمت راست LDE مرتبه دوم مجموع توابع است، یعنی $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+...+ f_ (r) \left(x\right)$، سپس ابتدا می توانید PD های $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ را پیدا کنید که مربوط به هر یک از توابع $f_(1 هستند. ) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ و بعد از آن LNDE-2 PD را به صورت $U بنویسید = U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

راه حل LNDE مرتبه دوم با کامپیوتر

بدیهی است که شکل یک یا آن PD $U$ یک LNDE-2 معین به شکل خاص سمت راست آن $f\left(x\right)$ بستگی دارد. ساده ترین موارد جستجوی PD LNDE-2 به صورت چهار قانون زیر فرموله شده است.

قانون شماره 1.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $، یعنی a نامیده می شود چند جمله ای درجه $n$. سپس PR $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود که $Q_(n) \left(x\right)$ دیگری است. چند جمله ای با درجه یکسان $P_(n) \left(x\right)$ و $r$ تعداد ریشه های صفر معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش ضرایب نامعین (NC) پیدا می شود.

قانون شماره 2.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ است که در آن $P_(n) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $n$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(n ) \ left(x\right)$ چند جمله‌ای دیگر با همان درجه $P_(n) \left(x\right)$ است و $r$ تعداد ریشه‌های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه است. برابر با $\alpha $. ضرایب چند جمله ای $Q_(n) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می شود.

قانون شماره 3.

قسمت سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x است. \right) $، که در آن $a$، $b$ و $\beta $ اعداد شناخته شده هستند. سپس PD $U$ آن به شکل $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) جستجو می‌شود. )\right )\cdot x^(r) $، که $A$ و $B$ ضرایب ناشناخته هستند، و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه برابر با $i\cdot است. \بتا $. ضرایب $A$ و $B$ با روش NDT یافت می شوند.

قانون شماره 4.

سمت راست LNDE-2 به شکل $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ است که $P_(n) \left(x\right)$ است. یک چند جمله ای درجه $ n$، و $P_(m) \left(x\right)$ یک چند جمله ای درجه $m$ است. سپس PD $U$ آن به شکل $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ جستجو می‌شود، جایی که $Q_(s) \left(x\right) $ و $ R_(s) \left(x\right)$ چند جمله ای درجه $s$ هستند، عدد $s$ حداکثر دو عدد $n$ و $m$ است و $r$ تعداد ریشه های معادله مشخصه LODE-2 مربوطه، برابر با $\alpha +i\cdot \beta $. ضرایب چند جمله‌ای $Q_(s) \left(x\right)$ و $R_(s) \left(x\right)$ با روش NK پیدا می‌شوند.

روش NDT شامل اعمال است قانون بعدی. برای یافتن ضرایب مجهول چند جمله ای که بخشی از حل خاص معادله دیفرانسیل ناهمگن LNDE-2 هستند، لازم است:

• PD $U$ نوشته شده را جایگزین کنید نمای کلی، در سمت چپ LNDU-2؛
• در سمت چپ LNDE-2، ساده سازی ها را انجام دهید و اصطلاحات را با قدرت های یکسان $x$ انجام دهید.
• در هویت به دست آمده، ضرایب عبارت ها را با قدرت های یکسان $x$ سمت چپ و راست برابر کنید.
• سیستم معادلات خطی حاصل را برای ضرایب مجهول حل کنید.

مثال 1

وظیفه: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ را پیدا کنید. PR، شرایط اولیه $y=6$ برای $x=0$ و $y"=1$ برای $x=0$ را برآورده می‌کند.

LODA-2 مربوطه را بنویسید: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

معادله مشخصه: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. ریشه های معادله مشخصه: $k_(1) =-3$، $k_(2) =6$. این ریشه ها واقعی و متمایز هستند. بنابراین، OR مربوط به LODE-2 شکل دارد: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

قسمت سمت راست این LNDE-2 به شکل $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است. لازم است ضریب توان نمایی $\alpha =3$ را در نظر بگیریم. این ضریب با هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه منطبق نیست. بنابراین، PR این LNDE-2 به شکل $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ است.

با استفاده از روش NK به دنبال ضرایب $A$, $B$ خواهیم بود.

اولین مشتق CR را پیدا می کنیم:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \راست)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما مشتق دوم CR را پیدا می کنیم:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ما توابع $U""$، $U"$ و $U$ را به جای $y""$، $y"$ و $y$ در LNDE-2 $y""-3\cdot y" جایگزین می کنیم. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ در همان زمان، از آنجایی که توان $e^(3\cdot x) $ گنجانده شده است به عنوان یک عامل در تمام اجزاء، پس از آن می توان آن را حذف کرد.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ما اقداماتی را در سمت چپ برابری حاصل انجام می دهیم:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ما از روش NC استفاده می کنیم. ما یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول دریافت می کنیم:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

راه حل این سیستم این است: $A=-2$، $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ برای مشکل ما به این شکل است: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ برای مشکل ما به این صورت است: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

برای جستجوی یک PD که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند، مشتق $y"$ OR را پیدا می کنیم:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

ما در $y$ و $y"$ شرایط اولیه $y=6$ را با $x=0$ و $y"=1$ را برای $x=0$ جایگزین می کنیم:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ما یک سیستم معادلات بدست آوردیم:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

حلش می کنیم. ما $C_(1) $ را با استفاده از فرمول Cramer پیدا می کنیم و $C_(2) $ از معادله اول تعیین می شود:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

بنابراین، PD این معادله دیفرانسیل عبارت است از: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتیک راه حل کلی دارد
، جایی که و راه حل های خاص مستقل خطی این معادله.

شکل کلی راه حل های یک معادله دیفرانسیل همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت
، به ریشه های معادله مشخصه بستگی دارد
.

مثال

جواب کلی معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را بیابید:

1)

راه حل:
.

پس از حل آن، ما ریشه ها را پیدا خواهیم کرد
,
معتبر و متفاوت بنابراین راه حل کلی این است:
.

2)

راه حل: بیایید معادله مشخصه را بسازیم:
.

پس از حل آن، ما ریشه ها را پیدا خواهیم کرد

معتبر و یکسان بنابراین راه حل کلی این است:
.

3)

راه حل: بیایید معادله مشخصه را بسازیم:
.

پس از حل آن، ما ریشه ها را پیدا خواهیم کرد
مجتمع بنابراین راه حل کلی این است:

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابتفرم را دارد

جایی که
. (1)

حل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی شکل دارد
، جایی که
یک راه حل خاص از این معادله است، یک راه حل کلی از معادله همگن مربوطه است، i.e. معادلات

نوع راه حل خصوصی
معادله ناهمگن(1) بسته به سمت راست
:

انواع مختلف ضلع سمت راست یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن را در نظر بگیرید:

1.
، جایی که چند جمله ای درجه است . سپس یک راه حل خاص
را می توان در فرم جستجو کرد
، جایی که

، آ تعداد ریشه های معادله مشخصه برابر با صفر است.

مثال

یک راه حل کلی پیدا کنید
.

راه حل:

.

ب) از آنجایی که سمت راست معادله یک چند جمله ای درجه یک است و هیچ یک از ریشه های معادله مشخصه نیست.
مساوی صفر نیست (
)، سپس به دنبال راه حل خاصی به شکل Where می گردیم و ضرایب ناشناخته هستند. دوبار متمایز کردن
و جایگزین کردن
,
و
به معادله اصلی می یابیم.

معادل سازی ضرایب در توان های یکسان در دو طرف معادله
,
، ما پیدا می کنیم
,
. بنابراین، راه حل خاصی از این معادله شکل دارد
و راه حل کلی آن.

2. اجازه دهید سمت راست شبیه باشد
، جایی که چند جمله ای درجه است . سپس یک راه حل خاص
را می توان در فرم جستجو کرد
، جایی که
یک چند جمله ای با همان درجه است
، آ - عددی که چند بار را نشان می دهد ریشه معادله مشخصه است.

مثال

یک راه حل کلی پیدا کنید
.

راه حل:

الف) جواب کلی معادله همگن مربوطه را بیابید
. برای این کار معادله مشخصه را می نویسیم
. بیایید ریشه های آخرین معادله را پیدا کنیم
. بنابراین، حل کلی معادله همگن شکل دارد
.

معادله مشخصه

، جایی که یک ضریب مجهول است. دوبار متمایز کردن
و جایگزین کردن
,
و
به معادله اصلی می یابیم. جایی که
، به این معنا که
یا
.

بنابراین، راه حل خاصی از این معادله شکل دارد
و راه حل کلی آن
.

3. اجازه دهید سمت راست شبیه به کجا باشد
و - اعداد داده شده سپس یک راه حل خاص
را می توان در فرمی که در آن جستجو کرد و ضرایب مجهول هستند و عددی برابر با تعداد ریشه های معادله مشخصه منطبق بر آن است
. اگر در یک عبارت تابع
حداقل یکی از توابع را شامل شود
یا
، سپس در
همیشه باید وارد شود هر دوکارکرد.

مثال

یک راه حل کلی پیدا کنید.

راه حل:

الف) جواب کلی معادله همگن مربوطه را بیابید
. برای این کار معادله مشخصه را می نویسیم
. بیایید ریشه های آخرین معادله را پیدا کنیم
. بنابراین، حل کلی معادله همگن شکل دارد
.

ب) از آنجایی که سمت راست معادله یک تابع است
، سپس عدد کنترل این معادله، با ریشه ها منطبق نیست
معادله مشخصه
. سپس به دنبال راه حل خاصی در فرم می گردیم

جایی که و ضرایب ناشناخته هستند. با دوبار افتراق، به دست می آوریم. جایگزین کردن
,
و
در معادله اصلی پیدا می کنیم

.

با آوردن اصطلاحات مشابه، به دست می آوریم

.

ضرایب را برابر می کنیم
و
به ترتیب در سمت راست و چپ معادله. ما سیستم را دریافت می کنیم
. حل آن، ما پیدا می کنیم
,
.

بنابراین، یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل اصلی به شکل .

جواب کلی معادله دیفرانسیل اصلی به شکل .

در برخی مسائل فیزیک، نمی توان ارتباط مستقیمی بین کمیت های توصیف کننده فرآیند برقرار کرد. اما امکان به دست آوردن برابری حاوی مشتقات توابع مورد مطالعه وجود دارد. معادلات دیفرانسیل و نیاز به حل آنها برای یافتن یک تابع مجهول از این طریق است.

این مقاله برای کسانی است که با مشکل حل یک معادله دیفرانسیل روبرو هستند که در آن تابع مجهول تابعی از یک متغیر است. تئوری به گونه ای ساخته شده است که با درک صفر از معادلات دیفرانسیل، می توانید کار خود را انجام دهید.

هر نوع معادلات دیفرانسیل با یک روش حل همراه با توضیحات دقیق و حل مثال ها و مسائل معمولی همراه است. شما فقط باید نوع معادله دیفرانسیل مسئله خود را تعیین کنید، یک مثال تحلیل شده مشابه پیدا کنید و اقدامات مشابهی را انجام دهید.

برای حل موفقیت‌آمیز معادلات دیفرانسیل، به توانایی یافتن مجموعه‌ای از پاد مشتق‌ها (انتگرال‌های نامعین) از توابع مختلف نیز نیاز دارید. در صورت لزوم توصیه می کنیم به بخش مراجعه کنید.

ابتدا انواع معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را که با توجه به مشتق قابل حل هستند در نظر بگیرید، سپس به سراغ ODE های مرتبه دوم می رویم، سپس به معادلات درجه بالاتر می پردازیم و با سیستم معادلات دیفرانسیل پایان می دهیم.

به یاد بیاورید که اگر y تابعی از آرگومان x باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فرم .

اجازه دهید چندین نمونه از چنین DE را بنویسیم .

معادلات دیفرانسیل را می توان با توجه به مشتق با تقسیم هر دو طرف تساوی بر f(x) حل کرد. در این حالت به معادله می رسیم که معادل معادله اصلی برای f(x) ≠ 0 خواهد بود. نمونه هایی از این ODE ها هستند.

اگر مقادیری از آرگومان x وجود داشته باشد که توابع f(x) و g(x) به طور همزمان ناپدید شوند، راه حل های اضافی ظاهر می شوند. راه حل های اضافیمعادلات x داده شده هر تابعی است که برای آن مقادیر آرگومان تعریف شده است. نمونه هایی از این معادلات دیفرانسیل عبارتند از .

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

LODE با ضرایب ثابت یک نوع بسیار رایج از معادلات دیفرانسیل است. راه حل آنها به خصوص دشوار نیست. ابتدا ریشه های معادله مشخصه پیدا می شود . برای p و q مختلف، سه حالت ممکن است: ریشه های معادله مشخصه می توانند واقعی و متفاوت، واقعی و منطبق باشند. یا مزدوج پیچیده بسته به مقادیر ریشه های معادله مشخصه، جواب کلی معادله دیفرانسیل به صورت نوشته می شود. ، یا ، یا به ترتیب.

به عنوان مثال، یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید. ریشه معادله مشخصه او k 1 = -3 و k 2 = 0 است. ریشه ها واقعی و متفاوت هستند، بنابراین، راه حل کلی برای LDE با ضرایب ثابت است


معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت.

جواب کلی LIDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت y به عنوان مجموع جواب کلی LODE مربوطه جستجو می شود. و یک راه حل خاص از معادله ناهمگن اصلی، یعنی . پاراگراف قبلی به یافتن یک جواب کلی برای معادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت اختصاص دارد. و یک راه حل خاص یا با روش ضرایب نامعین برای شکل معینی از تابع f (x) که در سمت راست معادله اصلی قرار دارد، یا با روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین می شود.

به عنوان نمونه هایی از LIDE های مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ما ارائه می دهیم


تئوری را درک کنید و با آن آشنا شوید تصمیمات دقیقنمونه هایی را که در صفحه معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شما ارائه می دهیم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی (LODE) و معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDEs).

یک مورد خاص از معادلات دیفرانسیل از این نوع LODE و LODE با ضرایب ثابت هستند.

جواب کلی LODE در یک بازه معین با ترکیب خطی دو راه حل خاص خطی مستقل y 1 و y 2 این معادله نشان داده می شود، یعنی: .

مشکل اصلی دقیقاً در یافتن راه حل های جزئی مستقل خطی این نوع معادله دیفرانسیل نهفته است. معمولاً راه‌حل‌های خاصی از سیستم‌های زیر با توابع مستقل خطی انتخاب می‌شوند:


با این حال، راه حل های خاص همیشه در این فرم ارائه نمی شود.

نمونه ای از LODU است .

راه‌حل کلی LIDE به شکل جستجو می‌شود، جایی که راه‌حل کلی LODE مربوطه است، و راه‌حل خاصی از معادله دیفرانسیل اصلی است. ما فقط در مورد یافتن صحبت کردیم، اما می توان آن را با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین کرد.

نمونه ای از LNDE است .

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

معادلات دیفرانسیل پذیرش کاهش سفارش

ترتیب معادلات دیفرانسیل ، که تابع مورد نظر و مشتقات آن تا مرتبه k-1 را ندارد، می توان با جایگزین کردن به n-k کاهش داد.

در این مورد , و معادله دیفرانسیل اصلی به کاهش می یابد . پس از یافتن جواب آن p(x)، باقی می ماند که به جایگزین برگردیم و تابع مجهول y را تعیین کنیم.

مثلا معادله دیفرانسیل پس از جایگزینی تبدیل به یک معادله قابل تفکیک می شود و ترتیب آن از سوم به اول کاهش می یابد.