Въведение

Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, докоснахме темата "Пирамида". Харесахме тази тема, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашите бъдеща професияархитект, вдъхновени от тази фигура, смятаме, че тя ще може да ни тласне към страхотни проекти.

Силата на архитектурните конструкции, най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.

С други думи, говорим за геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометричната форма определя и здравината на архитектурната конструкция.

Египетските пирамиди отдавна се смятат за най-издръжливата архитектурна структура. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.

Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамидата гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.

Цел на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията и намерете практически приложения.

За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:

Научете историческа информация за пирамидата

Помислете за пирамидата геометрична фигура

Намерете приложение в бита и архитектурата

Открийте приликите и разликите между пирамидите, разположени в различни частиСвета

Теоретична част

Историческа информация

Началото на геометрията на пирамидата е положено в древен Египет и Вавилон, но активно се развива през Древна Гърция. Първият, който установява на какво е равен обемът на пирамидата е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своето "Начала", а също така извежда първото определение на пирамидата: телесна фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Гробниците на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Издигането на пирамидата, в която гърците и римляните вече са виждали паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, която обрича целия народ на Египет на безсмислено строителство, е най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистичната идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата в свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известно е и за специалните култови почести, които се оказват самата пирамида.

Основни понятия

ПирамидаНарича се полиедър, основата на който е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх.

апотема- височина на странично лице правилна пирамида, изтеглен от върха му;

Странични лица- триъгълници, събиращи се на върха;

Странични ребра- общи страни на страничните лица;

върха на пирамидата- точка, свързваща страничните ръбове и не лежаща в равнината на основата;

Височина- сегмент от перпендикуляр, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);

Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;

База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.

Основните свойства на правилната пирамида

Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.

Двустенните ъгли при основата са равни.

Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове.

Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.

Основни пирамидални формули

Странична зона и пълна повърхностпирамиди.

Площта на страничната повърхност на пирамидата (пълна и пресечена) е сумата от площите на всички нейни странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всички нейни лица.

Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

стр- периметър на основата;

ч- апотема.

Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.

p1, стр 2 - базови периметри;

ч- апотема.

Р- обща площ на правилна пресечена пирамида;

S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;

S1 + S2- основна площ

Обем на пирамидата

форма Обемната скала се използва за пирамиди от всякакъв вид.

зе височината на пирамидата.

Ъгли на пирамидата

Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат ​​двустенни ъгли в основата на пирамидата.

Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.

За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.

Наричат ​​се ъглите, образувани от страничен ръб и неговата проекция върху равнината на основата ъгли между страничния ръб и равнината на основата.

Ъгълът, образуван от две странични лица, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.

Ъгълът, който се образува от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.

Раздели на пирамидата

Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, така че сечението на пирамидата, дадено от секущата равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.

Диагонално сечение

Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.

Паралелни секции

Теорема:

Ако пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;

Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;

Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.

Видове пирамиди

Правилна пирамидапирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата се проектира в центъра на основата.

В правилната пирамида:

1. страничните ребра са равни

2. страничните лица са равни

3. апотемите са равни

4. двустенните ъгли в основата са равни

5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни

6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички основни върхове

7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица

Пресечена пирамида- частта от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.

Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.

Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечената пирамида.

Задачи

номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е център на основата, SO=8 см, BD=30 см. Намерете страничния ръб SA.

Разрешаване на проблем

номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.

Да разгледаме OSB: OSB-правоъгълен правоъгълник, защото.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Пирамида в архитектурата

Пирамида - монументална структура под формата на обикновена правилна геометрична пирамида, в която страните се събират в една точка. Според функционалното предназначение пирамидите в древността са били място за погребение или поклонение. Основата на пирамидата може да бъде триъгълна, четириъгълна или многоъгълна с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.

Значителен брой пирамиди са известни, построени различни културиДревният свят предимно като храмове или паметници. Най-големите пирамиди са египетските пирамиди.

По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Пирамидалните сгради напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.

Египетските пирамиди са най-големите архитектурни паметници древен Египет, сред които едно от „Седемте чудеса на света” е Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м.

Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. Освен офиси и сервизни помещения, вътре в обема има доста просторен концертна зала, който има един от най-големите органи в Словакия.

Лувърът, който „е мълчалив и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-големият музейспокойствие. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едно от лицата на което е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни един на друг, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Сечение на пирамидата се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сумата от площите на всички странични лица. Пълна площ е сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За изчисляване на обема на произволна пирамида е правилна формулата:

където V- сила на звука;

S основен- основна площ;

зе височината на пирамидата.

За правилна пирамида са верни следните формули:

където стр- периметъра на основата;

з а- апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S основен- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданаречена част от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. диагонално сечение Сечение на пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни формулите:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долни бази;

S пълене общата площ на повърхността;

S странае площта на страничната повърхност;

з- височина;

Vе обемът на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - базови периметри;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че основата е равностранен триъгълник, а всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи ОВ. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Ораздел BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилен пресечен четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите му са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на квадратите на основата, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 cm3.

Пример 3Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Базите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го откъде И 1 дперпендикулярно от точка И 1 на равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от И 1 на AC. И 1 д\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). Точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDе равна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Според теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка Ое център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или По Питагоровата теорема имаме

Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще й дадем определение. Помислете какво представлява правилната пирамида и какви свойства притежава. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.

В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще й дадем определение.

Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точка П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точката Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. Вземете нтриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи т.н.

Определение. Многостен RA 1 A 2 ... A n, съставена от н-гон A 1 A 2...A nи нтриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , наречен н- въглищна пирамида. Ориз. един.

Ориз. един

Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).

Р- върха на пирамидата.

ABCD- основата на пирамидата.

RA- странично ребро.

AB- основен ръб.

От точка Рпуснете перпендикуляра RNна земната равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.

Ориз. 2

Общата повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, т.е. площта на всички странични лица и основната площ:

S пълен \u003d S страна + S основен

Пирамидата се нарича правилна, ако:

• основата му е правилен многоъгълник;
• сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.

Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида

Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).

Р- върха на пирамидата. основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка О, пресечната точка на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.

Ориз. 3

Обяснение: вдясно н-gon, центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът се проектира в центъра.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотемаи означено з а.

1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;

2. страничните лица са равни равнобедрени триъгълници.

Нека докажем тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.

дадени: RABSD- правилна четириъгълна пирамида,

ABCD- квадрат,

ROе височината на пирамидата.

Докажи:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Вижте фиг. 4.

Ориз. 4

Доказателство.

ROе височината на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, а оттам и директен AO, VO, SOи НАПРАВЕТЕлежи в него. Така че триъгълниците ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.

Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = BO = CO = НАПРАВЕТЕ.

След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака AO, VO, SOи НАПРАВЕТЕравни, така че тези триъгълници са равни по два катета. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = PC = PD.Точка 1 е доказана.

Сегменти ABи слънцеса равни, защото са страни на един и същ квадрат, RA = RV = PC. Така че триъгълниците AVRи видеорекордер -равнобедрен и равен от три страни.

По същия начин получаваме, че триъгълниците ABP, BCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, което беше необходимо да се докаже в т.2.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:

За доказателство избираме правилна триъгълна пирамида.

дадени: RAVSе правилна триъгълна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- височина.

Докажи: . Вижте фиг. пет.

Ориз. пет

Доказателство.

RAVSе правилна триъгълна пирамида. Това е AB= AC = BC. Нека бъде О- центъра на триъгълника ABC, тогава ROе височината на пирамидата. Основата на пирамидата е равностранен триъгълник. ABC. забележи това .

триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). При триъгълна пирамидатри странични лица: RAV, RVS, RSA. И така, площта на страничната повърхност на пирамидата е:

S страна = 3S RAB

Теоремата е доказана.

Радиусът на кръг, вписан в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 м, височината на пирамидата е 4 м. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.

дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,

ABCD- квадрат,

r= 3 м,

RO- височината на пирамидата,

RO= 4 м.

намирам: S страна. Вижте фиг. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според доказаната теорема,.

Първо намерете страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.

След това, m.

Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:

Помислете за триъгълник BCD. Нека бъде М- средна страна DC. защото О- средно BD, тогава (м).

Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. Това е, RM- медианата, а оттам и височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.

ROе височината на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, а оттам и пряката ОМлежи в него. Да намерим апотема RMот правоъгълен триъгълник ROM.

Сега можем да намерим странична повърхностпирамиди:

Отговор: 60 м2.

Радиусът на окръжност, описана близо до основата на правилна триъгълна пирамида, е м. Площта на страничната повърхност е 18 м 2. Намерете дължината на апотемата.

дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m 2.

намирам: . Вижте фиг. 7.

Ориз. 7

Решение.

В правоъгълен триъгълник ABCдаден радиус на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник с помощта на синусовата теорема.

Познавайки страната правоъгълен триъгълник(m), намерете неговия периметър.

Според теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. Тогава:

Отговор: 4 м.

И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида, доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.

Библиография

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и нива на профил) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, Рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователна подготовка образователни институции/ Шаригин И. Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал "Yaklass" ()
2. Интернет портал "Фестивал на педагогическите идеи "Първи септември" ()
3. Интернет портал "Slideshare.net" ()

Домашна работа

1. Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете, че непресичащите се ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
3. Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
4. RAVSе правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.

Хипотеза:смятаме, че съвършенството на формата на пирамидата се дължи на математически законивложени във формата му.

Цел:като изучава пирамидата като геометрично тяло, за да обясни съвършенството на нейната форма.

Задачи:

1. Дайте математическа дефиниция на пирамида.

2. Изучаване на пирамидата като геометрично тяло.

3. Разберете какво математическо знание са заложили египтяните в своите пирамиди.

Лични въпроси:

1. Какво представлява пирамидата като геометрично тяло?

2. Как може да се обясни математически уникалната форма на пирамидата?

3. Какво обяснява геометричните чудеса на пирамидата?

4. Какво обяснява съвършенството на формата на пирамидата?

Определение за пирамида.

ПИРАМИДА (от гръцки pyramis, род n. pyramidos) - многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх (фигура). Според броя на ъглите на основата пирамидите биват триъгълни, четириъгълни и др.

ПИРАМИДА - монументална структура, която има геометрична форма на пирамида (понякога също стъпаловидна или кулообразна). Гигантските гробници на древните египетски фараони от 3-то-2-ро хилядолетие пр. н. е. се наричат ​​пирамиди. д., както и древни американски пиедестали на храмове (в Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), свързани с космологични култове.

Възможно е гръцката дума "пирамида" да произлиза от египетския израз per-em-us, тоест от термин, който означава височината на пирамидата. Изтъкнатият руски египтолог В. Струве смята, че гръцкото “пурам…й” произлиза от древноегипетското “п”-мр”.

От историята. След изучаване на материала в учебника "Геометрия" на авторите на Атанасян. Бутузова и други, научихме, че: Многостен, съставен от n-ъгълник A1A2A3 ... An и n триъгълника RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1, се нарича пирамида. Многоъгълникът A1A2A3 ... An е основата на пирамидата, а триъгълниците RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 са страничните стени на пирамидата, P е върхът на пирамидата, отсечките RA1, RA2, .. ., RAn са страничните ръбове.

Такава дефиниция на пирамидата обаче не винаги е съществувала. Например древногръцкият математик, автор на теоретични трактати по математика, достигнали до нас, Евклид, определя пирамидата като твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

Но това определение е било критикувано още в древността. Така Херон предложи следното определение за пирамида: „Това е фигура, ограничена от триъгълници, събиращи се в една точка и чиято основа е многоъгълник.“

Нашата група, сравнявайки тези определения, стигна до извода, че те нямат ясна формулировка на понятието „фондация“.

Проучихме тези дефиниции и открихме дефиницията на Адриен Мари Лежандр, който през 1794 г. в своята работа „Елементи на геометрията“ дефинира пирамидата по следния начин: „Пирамидата е телесна фигура, образувана от триъгълници, събиращи се в една точка и завършващи от различни страни на плоска основа."

Струва ни се, че последното определение дава ясна представа за пирамидата, тъй като в нея въпросниятче основата е плоска. Друго определение за пирамида се появява в учебник от 19 век: „пирамидата е телесен ъгъл, пресечен от равнина“.

Пирамидата като геометрично тяло.

Че. Пирамидата е многостен, едно от чиито лица (основа) е многоъгълник, останалите лица (страни) са триъгълници, които имат един общ връх (върхът на пирамидата).

Перпендикулярът, прекаран от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височиначпирамиди.

Освен произволна пирамида има дясна пирамида,в основата на който е правилен многоъгълник и пресечена пирамида.

На фигурата - пирамидата PABCD, ABCD - нейната основа, PO - височина.

Пълна площ Пирамида се нарича сумата от площите на всички нейни лица.

Пълна = Sстрана + Sоснова,където Ssideе сумата от площите на страничните лица.

обем на пирамидата се намира по формулата:

V=1/3Sоснова ч, където Sosn. - основна площ ч- височина.

Оста на правилната пирамида е права линия, съдържаща нейната височина.
Апотема ST - височината на страничното лице на правилна пирамида.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се изразява, както следва: Sside. =1/2P ч, където P е периметърът на основата, ч- височината на страничната повърхност (апотемата на правилната пирамида). Ако пирамидата се пресича от равнина A'B'C'D', успоредна на основата, тогава:

1) страничните ръбове и височината са разделени от тази равнина на пропорционални части;

2) в сечението се получава многоъгълник A'B'C'D', подобен на основата;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Основите на пресечената пирамидаса подобни многоъгълници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица са трапеци.

Височинапресечена пирамида - разстоянието между основите.

Съкратен обемпирамида се намира по формулата:

V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се изразява, както следва: Sстрана = ½(P+P') ч, където P и P’ са периметрите на основите, ч- височината на страничното лице (апотемата на редовен, пресечен от празници

Раздели на пирамидата.

Сеченията на пирамидата с равнини, минаващи през върха й, са триъгълници.

Сечението, минаващо през два несъседни странични ръба на пирамидата, се нарича диагонално сечение.

Ако сечението минава през точка от страничния ръб и страната на основата, тогава тази страна ще бъде неговата следа върху равнината на основата на пирамидата.

Разрез, минаващ през точка, разположена на лицето на пирамидата, и дадена следа от сечението върху равнината на основата, тогава конструкцията трябва да се извърши, както следва:

намерете пресечната точка на равнината на даденото лице и следата от сечението на пирамидата и я означете;

построяват права линия, минаваща през дадена точка и получената пресечна точка;

· Повторете тези стъпки за следващите лица.

, което съответства на отношението на катетите на правоъгълен триъгълник 4:3. Това съотношение на катетите съответства на добре познатия правоъгълен триъгълник със страни 3:4:5, който се нарича "перфектен", "свещен" или "египетски" триъгълник. Според историците на "египетския" триъгълник е придавано магическо значение. Плутарх пише, че египтяните сравняват природата на Вселената със „свещен“ триъгълник; те символично оприличиха вертикалния катет на съпруга, основата на съпругата и хипотенузата на това, което се ражда от двете.

За триъгълник 3:4:5 е вярно равенството: 32 + 42 = 52, което изразява Питагоровата теорема. Не е ли тази теорема, която египетските свещеници са искали да увековечат, като издигнат пирамида на базата на триъгълника 3:4:5? Трудно е да се намери по-добър пример за илюстрация на Питагоровата теорема, която е била известна на египтяните много преди откриването й от Питагор.

И така, гениалните създатели Египетски пирамидисе стремяха да впечатлят далечните потомци с дълбочината на познанията си и те постигнаха това, като избраха за "главна геометрична идея" за пирамидата на Хеопс - "златната" правоъгълен триъгълник, а за пирамидата на Хефрен - "свещения" или "египетския" триъгълник.

Много често в своите изследвания учените използват свойствата на пирамидите с пропорциите на Златното сечение.

По математика енциклопедичен речникдава се следната дефиниция на златното сечение - това е хармонично деление, деление в екстремно и средно отношение - разделяне на отсечката AB на две части по такъв начин, че по-голямата част от нейната AC е средната пропорционална между цялата отсечка AB и по-малката му част CB.

Алгебрично намиране на златното сечение на отсечка AB = aсе свежда до решаване на уравнението a: x = x: (a - x), откъдето x е приблизително равно на 0,62a. Съотношението x може да бъде изразено като дроби 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, където 2, 3, 5, 8, 13, 21 са числата на Фибоначи.

Геометричната конструкция на златното сечение на сегмента AB се извършва, както следва: в точка B се възстановява перпендикулярът на AB, сегментът BE \u003d 1/2 AB се полага върху него, A и E са свързани, DE \ u003d BE се отлага и накрая AC \u003d AD, тогава равенството AB е изпълнено: CB = 2: 3.

златно сечениечесто се използва в произведения на изкуството, архитектура, намиращи се в природата. Ярки примериса скулптурата на Аполон Белведере, Партенона. При изграждането на Партенона е използвано отношението на височината на сградата към нейната дължина и това съотношение е 0,618. Обектите около нас също дават примери за златното сечение, например подвързиите на много книги имат съотношение ширина към дължина, близко до 0,618. Като се има предвид разположението на листата на едно общо стъбло на растенията, може да се забележи, че между всеки два чифта листа третият се намира на мястото на златното сечение (слайдове). Всеки от нас „носи“ златното съотношение със себе си „в ръцете“ - това е съотношението на фалангите на пръстите.

Благодарение на откриването на няколко математически папируса, египтолозите са научили нещо за древните египетски системи за смятане и мерки. Задачите, съдържащи се в тях, са решавани от писари. Един от най-известните е математическият папирус на Райнд. Изучавайки тези пъзели, египтолозите научиха как древните египтяни се справяха с различните количества, които възникваха при изчисляването на мерки за тегло, дължина и обем, които често използваха дроби, както и как се справяха с ъглите.

Древните египтяни са използвали метод за изчисляване на ъгли въз основа на съотношението на височината към основата на правоъгълен триъгълник. Те изразяват всеки ъгъл на езика на градиента. Градиентът на наклона се изразява като съотношение на цяло число, наречено "seked". В „Математиката във времето на фараоните“ Ричард Пилинс обяснява: „Секедът на правилна пирамида е наклонът на което и да е от четирите триъгълни лица към равнината на основата, измерен чрез n-то число хоризонтални единици на вертикална единица височина . Така тази мерна единица е еквивалентна на съвременния ни котангенс на ъгъла на наклон. Следователно египетската дума "секед" е свързана с нашата модерна дума"градиент"".

Цифровият ключ към пирамидите се крие в съотношението на тяхната височина към основата. Практически това е най-лесният начин да направите шаблони, необходими за постоянна проверка на правилния ъгъл на наклон по време на конструкцията на пирамидата.

Египтолозите биха се радвали да ни убедят, че всеки фараон е искал да изрази своята индивидуалност, оттук и разликите в ъглите на наклона на всяка пирамида. Но може да има и друга причина. Може би всички те са искали да въплъщават различни символични асоциации, скрити в различни пропорции. Въпреки това, ъгълът на пирамидата на Хефрен (базиран на триъгълника (3:4:5) се появява в трите проблема, представени от пирамидите в математическия папирус на Райнд). Така че това отношение е било добре известно на древните египтяни.

За да бъдем честни към египтолозите, които твърдят, че древните египтяни не са познавали триъгълника 3:4:5, нека кажем, че дължината на хипотенузата 5 никога не е била споменавана. Но задачи по математика, отнасящи се до пирамидите, винаги се решават на базата на секидния ъгъл - отношението на височината към основата. Тъй като дължината на хипотенузата никога не се споменава, се стигна до заключението, че египтяните никога не са изчислявали дължината на третата страна.

Съотношенията височина към основа, използвани в пирамидите в Гиза, несъмнено са били известни на древните египтяни. Възможно е тези съотношения за всяка пирамида да са избрани произволно. Това обаче противоречи на значението, придавано на цифровата символика във всички видове египетски визуални изкуства. Много е вероятно подобни взаимоотношения да са били от голямо значение, тъй като са изразявали специфични религиозни идеи. С други думи, целият комплекс на Гиза е подчинен на последователен дизайн, проектиран да отразява някаква божествена тема. Това би обяснило защо дизайнерите са избрали различни ъгли за трите пирамиди.

В „Тайната на Орион“ Баувал и Гилбърт представиха убедителни доказателства за връзката на пирамидите в Гиза със съзвездието Орион, по-специално със звездите от пояса на Орион.Същото съзвездие присъства в мита за Изида и Озирис и там е основание всяка пирамида да се разглежда като изображение на едно от трите основни божества – Озирис, Изида и Хор.

ЧУДЕСА "ГЕОМЕТРИЧНИ".

Сред грандиозните пирамиди на Египет специално място заемат Голямата пирамида на фараона Хеопс (Хуфу). Преди да преминем към анализа на формата и размера на пирамидата на Хеопс, трябва да си припомним каква система от мерки са използвали египтяните. Египтяните са имали три единици за дължина: "лакът" (466 mm), равен на седем "длани" (66,5 mm), което от своя страна е равно на четири "пръста" (16,6 mm).

Нека анализираме размера на пирамидата на Хеопс (фиг. 2), следвайки разсъжденията, дадени в прекрасната книга на украинския учен Николай Васютински " златно сечение“(1990).

Повечето изследователи са съгласни, че дължината на страната на основата на пирамидата, напр. GFе равно на Л\u003d 233,16 м. Тази стойност съответства почти точно на 500 "лакти". Пълното съответствие с 500 "лакътя" ще бъде, ако дължината на "лакът" се счита за равна на 0,4663 m.

Височина на пирамидата ( з) се оценява от изследователите различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимост от приетата височина на пирамидата, всички съотношения на нейните геометрични елементи се променят. Каква е причината за разликите в оценката на височината на пирамидата? Факт е, че строго погледнато пирамидата на Хеопс е ​​пресечена. Горната й платформа днес е с размери приблизително 10 ´ 10 м, а преди век е била 6 ´ 6 м. Очевидно е, че върхът на пирамидата е бил демонтиран и не отговаря на оригиналния.

При оценката на височината на пирамидата е необходимо да се вземе предвид такава физически факторкато "чернов" дизайн. Отзад дълго времепод въздействието на колосално налягане (достигащо 500 тона на 1 m2 от долната повърхност) височината на пирамидата намалява спрямо първоначалната си височина.

Каква е била първоначалната височина на пирамидата? Тази височина може да бъде пресъздадена, ако намерите основната "геометрична идея" на пирамидата.

Фигура 2.

През 1837 г. английският полковник Г. Уайз измерва ъгъла на наклона на стените на пирамидата: той се оказва равен на а= 51°51". Тази стойност все още се признава от повечето изследователи днес. Посочената стойност на ъгъла съответства на тангенса (tg а), равно на 1,27306. Тази стойност съответства на съотношението на височината на пирамидата ACдо половината от основата си CB(фиг.2), т.е. AC / CB = з / (Л / 2) = 2з / Л.

И тук изследователите бяха за голяма изненада!.png" width="25" height="24">= 1,272. Сравнявайки тази стойност със стойността на tg а= 1.27306, виждаме, че тези стойности са много близки една до друга. Ако вземем ъгъла а\u003d 51 ° 50", тоест да го намалите само с една дъгова минута, тогава стойността аще стане равно на 1,272, тоест ще съвпадне със стойността на . Трябва да се отбележи, че през 1840 г. Г. Уайз повтаря своите измервания и изяснява, че стойността на ъгъла а=51°50".

Тези измервания са довели изследователите до следното интересна хипотеза: триъгълникът ASV на пирамидата на Хеопс се основава на отношението AC / CB = = 1,272!

Помислете сега за правоъгълен триъгълник ABC, при които съотношението на крака AC / CB= (фиг.2). Ако сега дължините на страните на правоъгълника ABCозначават с х, г, z, а също така вземете предвид, че съотношението г/х= , тогава, в съответствие с Питагоровата теорема, дължината zможе да се изчисли по формулата:

Ако приеме х = 1, г= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Фигура 3"Златен" правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник, в който страните са свързани като T:golden" правоъгълен триъгълник.

Тогава, ако вземем за основа хипотезата, че основната "геометрична идея" на Хеопсовата пирамида е "златният" правоъгълен триъгълник, то от тук е лесно да се изчисли "проектната" височина на Хеопсовата пирамида. То е равно на:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Нека сега изведем някои други отношения за пирамидата на Хеопс, които следват от "златната" хипотеза. По-специално, намираме съотношението на външната площ на пирамидата към площта на нейната основа. За да направите това, вземаме дължината на крака CBна единица, тоест: CB= 1. Но тогава дължината на страната на основата на пирамидата GF= 2, и площта на основата EFGHще бъде равно на SEFGH = 4.

Нека сега изчислим площта на страничната повърхност на Хеопсовата пирамида SD. Тъй като височината ABтриъгълник AEFе равно на T, тогава площта на страничната повърхност ще бъде равна на SD = T. Тогава общата площ на всичките четири странични лица на пирамидата ще бъде равна на 4 T, а съотношението на общата външна площ на пирамидата към основната площ ще бъде равно на златното сечение! Ето какво е - основната геометрична тайна на пирамидата на Хеопс!

Групата на "геометричните чудеса" на пирамидата на Хеопс включва реалните и измислени свойства на връзката между различните измерения в пирамидата.

По правило те се получават в търсене на някаква "константа", по-специално числото "пи" (числото на Лудолф), равно на 3,14159...; основания естествени логаритми"e" (число на Напиер), равно на 2.71828...; числото "F", числото на "златното сечение", равно, например, на 0,618 ... и т.н.

Можете да посочите, например: 1) Собственост на Херодот: (Височина) 2 \u003d 0,5 ст. основен x Апотема; 2) Собственост на В. Цена: Височина: 0.5ст. osn \u003d корен квадратен от "Ф"; 3) Свойство на M. Eist: Периметър на основата: 2 Височина = "Pi"; в различна интерпретация - 2 супени лъжици. основен : Височина = "Pi"; 4) Свойство на Г. Ребер: Радиус на вписаната окръжност: 0,5 ст. основен = "F"; 5) Собственост на K. Kleppish: (Св. Главен.) 2: 2 (Св. Главен. x Апотема) \u003d (Св. Основен. W. Апотема) \u003d 2 (Св. Главен. x Апотема) : (( 2 ст. основен X апотема) + (ст. основен) 2). и т.н. Можете да измислите много такива свойства, особено ако свържете две съседни пирамиди. Например като "Свойства на А. Арефиев" може да се посочи, че разликата между обемите на пирамидата на Хеопс и пирамидата на Хефрен е равна на удвоения обем на пирамидата на Менкаур...

Много интересни разпоредби, по-специално за изграждането на пирамиди според "златното сечение", са изложени в книгите на Д. Хамбидж "Динамична симетрия в архитектурата" и М. Гийк "Естетика на пропорцията в природата и изкуството". Спомнете си, че "златното сечение" е разделянето на сегмента в такова съотношение, когато част А е толкова пъти по-голяма от част Б, колко пъти А е по-малко от целия сегмент А + В. Съотношението A / B е равно на числото "Ф" == 1.618... Използването на "златното сечение" е посочено не само в отделни пирамиди, но и в целия пирамиден комплекс в Гиза.

Най-любопитното обаче е, че една и съща пирамида на Хеопс просто "не може" да съдържа толкова много чудесни свойства. Вземайки определено свойство едно по едно, можете да го "нагласите", но всички наведнъж не пасват - не съвпадат, те си противоречат. Следователно, ако например при проверка на всички свойства първоначално се вземе една и съща страна на основата на пирамидата (233 m), тогава височините на пирамиди с различни свойства също ще бъдат различни. С други думи, има определено "семейство" от пирамиди, външно подобни на Хеопс, но съответстващи различни свойства. Обърнете внимание, че в „геометричните“ свойства няма нищо особено чудотворно – много неща възникват чисто автоматично, от свойствата на самата фигура. За „чудо“ трябва да се счита само нещо, което е очевидно невъзможно за древните египтяни. Това включва по-специално „космически“ чудеса, при които измерванията на Хеопсовата пирамида или комплекса от пирамиди в Гиза се сравняват с някои астрономически измервания и се посочват „четни“ числа: милион пъти, милиард пъти по-малко и т.н. . Нека разгледаме някои "космически" отношения.

Едно от твърденията е следното: "ако разделим страната на основата на пирамидата на точната дължина на годината, получаваме точно 10 милионна част от земната ос." Изчислете: разделете 233 на 365, получаваме 0,638. Радиусът на Земята е 6378 км.

Друго твърдение всъщност е обратното на предишното. F. Noetling посочи, че ако използвате изобретения от него "египетски лакът", тогава страната на пирамидата ще съответства на "най-точната продължителност на слънчевата година, изразена до най-близката милиардна част от деня" - 365.540.903.777 .

Твърдението на П. Смит: „Височината на пирамидата е точно една милиардна част от разстоянието от Земята до Слънцето“. Въпреки че обикновено се приема височина от 146,6 м, Смит я приема за 148,2 м. Според съвременните радарни измервания голямата полуос на земната орбита е 149,597,870 + 1,6 км. Това е средното разстояние от Земята до Слънцето, но в перихелий то е с 5 000 000 километра по-малко, отколкото в афелий.

Последно любопитно твърдение:

„Как да обясним, че масите на пирамидите на Хеопс, Хефрен и Менкаур са свързани една с друга, както масите на планетите Земя, Венера, Марс?“ Нека изчислим. Масите на трите пирамиди се съотнасят като: Хефрен - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Съотношенията на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земя - 1000; Марс - 0,108.

И така, въпреки скептицизма, нека да отбележим добре известната хармония на конструкцията на твърденията: 1) височината на пирамидата, като линия, "отиваща в космоса" - съответства на разстоянието от Земята до Слънцето; 2) страната на основата на пирамидата, която е най-близо "до субстрата", тоест до Земята, отговаря за земния радиус и земната циркулация; 3) обемите на пирамидата (четете - масите) съответстват на съотношението на масите на най-близките до Земята планети. Подобен "шифър" може да се проследи например в езика на пчелите, анализиран от Карл фон Фриш. Засега обаче се въздържаме от коментар по този въпрос.

ФОРМА НА ПИРАМИДИТЕ

Известната тетраедрична форма на пирамидите не се появи веднага. Скитите са правили погребения под формата на земни хълмове - могили. Египтяните са строили "хълмове" от камък - пирамиди. Това се случва за първи път след обединението на Горен и Долен Египет, през 28 век пр. н. е., когато основателят на III династия фараон Джосер (Зосер) се изправя пред задачата да укрепи единството на страната.

И тук, според историците, "новата концепция за обожествяване" на царя играе важна роля за укрепването на централната власт. Въпреки че кралските погребения се отличаваха с по-голям блясък, те не се различаваха по принцип от гробниците на придворните благородници, те бяха същите структури - мастаби. Над камерата със саркофага, съдържащ мумията, е изсипан правоъгълен хълм от малки камъни, където след това е поставена малка сграда от големи каменни блокове - "мастаба" (на арабски - "пейка"). На мястото на мастабата на своя предшественик Санахт фараонът Джосер издига първата пирамида. Тя беше стъпаловидна и представляваше видимо преходно стъпало от една архитектурна форма към друга, от мастаба към пирамида.

По този начин фараонът бил „отгледан“ от мъдреца и архитект Имхотеп, който по-късно бил смятан за магьосник и идентифициран от гърците с бог Асклепий. Сякаш шест мастаби бяха издигнати в редица. Освен това първата пирамида е заемала площ от 1125 х 115 метра, с приблизителна височина от 66 метра (според египетските мерки - 1000 "палми"). Първоначално архитектът планира да построи мастаба, но не продълговата, а квадратна в план. По-късно тя беше разширена, но тъй като разширението беше направено по-ниско, се образуваха две стъпала, така да се каже.

Тази ситуация не задоволи архитекта и на горната платформа на огромна плоска мастаба Имхотеп постави още три, като постепенно намаляваше към върха. Гробницата е била под пирамидата.

Известни са няколко по-стъпаловидни пирамиди, но по-късно строителите преминаха към изграждането на по-познати тетраедрични пирамиди. Защо обаче не триъгълна или, да речем, осмоъгълна? Косвен отговор дава фактът, че почти всички пирамиди са идеално ориентирани към четирите кардинални точки и следователно имат четири страни. В допълнение, пирамидата е била "къща", обвивка на четириъгълна гробна камера.

Но какво е причинило ъгъла на наклона на лицата? В книгата "Принципът на пропорциите" цяла глава е посветена на това: "Какво може да определи ъглите на пирамидите." По-специално се посочва, че „изображението, към което гравитират големите пирамиди от Старото царство, е триъгълник с прав ъгъл на върха.

В пространството това е полуоктаедър: пирамида, в която ръбовете и страните на основата са равни, лицата са равностранни триъгълници". Някои съображения са дадени по този въпрос в книгите на Hambidge, Geek и други.

Какво е предимството на ъгъла на полуоктаедъра? Според описанията на археолози и историци някои пирамиди са се срутили под собствената си тежест. Това, което беше необходимо, беше "ъгъл на издръжливост", ъгъл, който беше най-енергийно надежден. Чисто емпирично, този ъгъл може да бъде взет от ъгъла на върха в купчина разпадащ се сух пясък. Но за да получите точни данни, трябва да използвате модела. Вземете четири здраво фиксирани топки, трябва да поставите петата върху тях и да измерите ъглите на наклона. Тук обаче можете да направите грешка, следователно теоретичното изчисление ви помага: трябва да свържете центровете на топките с линии (умствено). В основата получавате квадрат със страна, равна на два пъти радиуса. Квадратът ще бъде само основата на пирамидата, дължината на ръбовете на която също ще бъде равна на два пъти радиуса.

Така плътното опаковане на топчета от типа 1:4 ще ни даде правилен полуоктаедър.

Но защо много пирамиди, гравитиращи към подобна форма, въпреки това не я запазват? Вероятно пирамидите остаряват. Противно на известната поговорка:

„Всичко на света се страхува от времето, а времето се страхува от пирамидите“, сградите на пирамидите трябва да остареят, в тях могат и трябва да протичат не само процесите на външно изветряне, но и процесите на вътрешно „свиване“ , от което пирамидите може да станат по-ниски. Свиването също е възможно, тъй като, както е установено от трудовете на Д. Давидовиц, древните египтяни са използвали технологията за производство на блокове от варовик, с други думи, от "бетон". Именно тези процеси биха могли да обяснят причината за разрушаването на пирамидата Медум, намираща се на 50 км южно от Кайро. Той е на 4600 години, размерите на основата са 146 х 146 м, височината е 118 м. "Защо е толкова осакатен? - пита В. Замаровски. - Обичайните препратки към разрушителните ефекти на времето и "използването на камък за други сгради" не се вписват тук.

В края на краищата повечето от неговите блокове и облицовъчни плочи все още остават на мястото си, в руините в подножието й. "Както ще видим, редица разпоредби карат човек дори да мисли, че известната пирамида на Хеопс също е" свита ". Във всеки случай , на всички древни изображения пирамидите са заострени ...

Формата на пирамидите също може да бъде генерирана чрез имитация: някои естествени модели, "чудотворно съвършенство", да речем, някои кристали във формата на октаедър.

Такива кристали могат да бъдат диамантени и златни кристали. Характерен е голям брой "пресичащи се" знаци за такива понятия като фараон, слънце, злато, диамант. Навсякъде - благороден, блестящ (блестящ), страхотен, безупречен и т.н. Приликите не са случайни.

Слънчевият култ, както знаете, е бил важна част от религията на древен Египет. „Без значение как превеждаме името на най-голямата от пирамидите“, отбелязва един от съвременни помощни средства- "Небесният свод на Хуфу" или "Небето Хуфу", това означаваше, че царят е слънцето. "Ако Хуфу, в блясъка на силата си, си представяше себе си като второ слънце, тогава неговият син Джедеф-Ра стана първият от Египетски царе, които започват да наричат ​​себе си "син на Ра", тоест син на Слънцето. Слънцето в почти всички народи е символизирано от "слънчевия метал", златото. "Голям диск от ярко злато" - така египтяните наричаха нашата дневна светлина.Египтяните познаваха перфектно златото, познаваха местните му форми, където златните кристали могат да се появят под формата на октаедри.

Като "образец на форми" тук е интересен и "слънчевият камък" - диамант. Името на диаманта идва точно от арабския свят, "алмас" - най-твърдият, най-твърдият, неразрушим. Древните египтяни са познавали диаманта и неговите свойства са доста добри. Според някои автори дори са използвали бронзови тръби с диамантени резци за пробиване.

Сега Южна Африка е основният доставчик на диаманти, но Западна Африка също е богата на диаманти. Там дори наричат ​​територията на Република Мали „Диамантената земя“. Междувременно на територията на Мали живеят догоните, с които привържениците на хипотезата за палеовизита възлагат много надежди (виж по-долу). Диамантите не могат да бъдат причина за контактите на древните египтяни с този регион. Но по един или друг начин е възможно именно чрез копиране на октаедрите от диамантени и златни кристали древните египтяни да обожествяват фараоните, „неразрушими“ като диамант и „блестящи“ като злато, синовете на Слънцето, сравними само с най-прекрасните творения на природата.

Изход:

Изучавайки пирамидата като геометрично тяло, запознавайки се с нейните елементи и свойства, ние се убедихме в основателността на мнението за красотата на формата на пирамидата.

В резултат на нашите изследвания стигнахме до извода, че египтяните, след като са събрали най-ценните математически знания, са ги въплътили в пирамида. Следователно пирамидата наистина е най-съвършеното творение на природата и човека.

БИБЛИОГРАФИЯ

„Геометрия: Proc. за 7 - 9 клетки. общо образование институции \ и др - 9 изд. - М .: Образование, 1999

История на математиката в училище, М: "Просвещение", 1982г

Геометрия 10-11 клас, М: "Просвещение", 2000г

Питър Томпкинс "Тайните на Великата пирамида на Хеопс", М: "Центрополиграф", 2005 г.

Интернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Тук е събрана основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за изпита.

Помислете за равнина, многоъгълник лежаща в нея и точка S, която не лежи в нея. Свържете S към всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат ​​странични ръбове. Многоъгълникът се нарича основа, а точката S се нарича връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълната пирамида - тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, прекаран от нейния връх към основната равнина.

Пирамидата се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на височината на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.

Коментар на преподавателя:
Не бъркайте понятието "правилна пирамида" и "правилен тетраедър". В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба на ръбовете са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага, че центърът P на многоъгълника с основа на височина, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.

Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно.

Преподавател по математика за неговата терминология: работата с пирамиди е 80% изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA

За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да назове първия от тях апотема, и второ крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.

Формула за обем на пирамида:
1) , където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера и е общата повърхност на пирамидата.
3) , където MN е разстоянието на всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.

Основно свойство на височината на пирамидата:

Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени

Коментар на учителя по математика: имайте предвид, че всички елементи са обединени от един обща собственост: по един или друг начин страничните лица участват навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна формулировка за запаметяване: точката P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични лица. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички апотемични триъгълници са равни.

Точката P съвпада с центъра на описаната окръжност близо до основата на пирамидата, ако е вярно едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината