Лекція 26. Рівняння з однією змінною

1. Поняття рівняння з однією змінною

2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь

3. Розв'язання рівнянь з однією змінною

Візьмемо два вирази зі змінною: 4 хта 5 х+ 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х= 5х+ 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається до висловлювання. Наприклад, при х =-2 пропозиція 4х= 5х+ 2 звертається в істинну числову рівність 4 · (-2) = 5 · (-2) + 2, а при х = 1 - у хибне 4·1 = 5·1 + 2. Тому пропозиція 4х = 5х + 2є висловлювальна форма. Її називають рівнянням з однією змінною.

У загальному виглядірівняння з однією змінною можна визначити так:

Визначення. Нехай f(х) і g(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f(х) = g(х) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної хз множини X,при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння(або його рішення). Вирішити рівняння -це означає знайти безліч його коренів.

Так, коренем рівняння 4х = 5х+ 2, якщо розглядати його на множині Rдійсними числами є число -2. Іншого коріння це рівняння не має. Значить багато його коренів є (-2).

Нехай на безлічі дійсних чисел задано рівняння ( х - 1) (х+ 2) = 0. Воно має два корені - числа 1 та -2. Отже, безліч коренів цього рівняння така: (-2,-1).

Рівняння (3х + 1)-2 = 6х+ 2, задане на безлічі дійсних чисел, звертається в істинну числову рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 = 6х + 2.У цьому випадку кажуть, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч усіх дійсних чисел.

Рівняння (3х+ 1) · 2 = 6 х+ 1, задане на безлічі дійсних чисел, не звертається в істинну числову рівність за жодного дійсного значення х:після розкриття дужок у лівій частині отримуємо, що 6 х + 2 = 6х + 1, що неможливо за жодного х.У цьому випадку кажуть, що дане рівняння не має коренів і що безліч його коренів порожнє.

Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого рівняння, необхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.

Лекція 26. Рівняння з однією змінною

1. Поняття рівняння з однією змінною

2. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильність рівнянь

3. Розв'язання рівнянь з однією змінною

Рівняння з однією змінною

Візьмемо два вирази зі змінною: 4 хта 5 х+ 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х= 5х+ 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається до висловлювання. Наприклад, при х =-2 пропозиція 4х= 5х+ 2 звертається в істинну числову рівність 4 · (-2) = 5 · (-2) + 2, а при х = 1 - у хибне 4·1 = 5·1 + 2. Тому пропозиція 4х = 5х + 2є висловлювальна форма. Її називають рівнянням з однією змінною.

У загальному вигляді рівняння з однією змінною можна визначити так:

Визначення. Нехай f(х) і g(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f(х) = g(х) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної хз множини X,при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння(або його рішення). Вирішити рівняння -це означає знайти безліч його коренів.

Так, коренем рівняння 4х = 5х+ 2, якщо розглядати його на множині Rдійсними числами є число -2. Іншого коріння це рівняння не має. Значить багато його коренів є (-2).

Нехай на безлічі дійсних чисел задано рівняння ( х - 1) (х+ 2) = 0. Воно має два корені - числа 1 та -2. Отже, безліч коренів цього рівняння така: (-2,-1).

Рівняння (3х + 1)-2 = 6х+ 2, задане на безлічі дійсних чисел, звертається в істинну числову рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 = 6х + 2.У цьому випадку кажуть, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч усіх дійсних чисел.

Рівняння (3х+ 1) · 2 = 6 х+ 1, задане на безлічі дійсних чисел, не звертається в істинну числову рівність за жодного дійсного значення х:після розкриття дужок у лівій частині отримуємо, що 6 х + 2 = 6х + 1, що неможливо за жодного х.У цьому випадку кажуть, що дане рівняння не має коренів і що безліч його коренів порожнє.

Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого рівняння, необхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.

Рівність із змінною f(х) = g(х)називається рівнянням з однією змінною х. Будь-яке значення змінної, коли f(х) і g(х) приймають рівні числові значення, називається коренем такого рівняння. Отже, вирішити рівняння - значить знайти все коріння рівняння або довести, що їх немає.

Рівняння x 2 + 1 = 0 немає дійсних коренів, але має коріння уявні: у разі це коріння х 1 = i, х 2 = -i. Надалі нас же цікавитимуть лише дійсне коріння рівняння.

Якщо рівняння мають однакове коріння, то вони називаються рівносильними. Ті рівняння, які не мають коріння, відносяться до рівносильних.

Визначимо, чи рівні рівняння:

а) х + 2 = 5 та х + 5 = 8

1. Розв'яжемо перше рівняння

2. Розв'яжемо друге рівняння

Коріння рівнянь збігаються, тому х + 2 = 5 і х + 5 = 8 рівносильні.

б) x 2 + 1 = 0 та 2x 2 + 5 = 0

Обидва дані рівняння не мають дійсних коренів, тому є рівносильними.

в) х – 5 = 1 та x 2 = 36

1. Знайдемо коріння першого рівняння

2. Знайдемо коріння другого рівняння

х 1 = 6, х 2 = -6

Коріння рівнянь не збігаються, тому х – 5 = 1 і х 2 = 36 нерівносильні.

При вирішенні рівняння його намагаються замінити рівносильним, але більше простим рівнянням. Тому важливо знати, внаслідок яких перетворень дане рівняння перетворюється на рівнянь, рівносильне йому.

Теорема 1. Якщо в рівнянні з однієї частини в іншу перенести будь-який доданок, змінивши при цьому знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному.

Наприклад, рівняння x 2 + 2 = 3х рівносильне рівнянню x 2 + 2 - 3х = 0.

Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число (не рівне нулю), то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння (x 2 - 1) / 3 = 2х рівносильне рівнянню x 2 - 1 = 6х. Обидві частини першого рівняння помножили на 3.

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах = b, де а і b – дійсні числа, причому а називається коефіцієнтом при змінній, а b – вільним членом.

Розглянемо три випадки для лінійного рівняння ах = b.

1. а ≠ 0. У разі х = b/а (т.к. а на відміну від нуля).

2. а = 0, b = 0. Рівняння набуде вигляду: 0 ∙ х = 0. Це рівняння правильне за будь-якого х, тобто. корінь рівняння – будь-яке дійсне число.

3. а = 0, b ≠ 0. У цьому випадку рівняння не матиме коріння, т.к. розподіл на нуль заборонено (0 ∙ х = b).

В результаті перетворень багато рівнянь зводяться до лінійних.

Розв'яжемо рівняння

а) (1/5) х + 2/15 = 0

1. Перенесемо компонент 2/15 з лівої частини рівняння у праву з протилежним знаком. Таке перетворення регламентується теоремою 1. Отже, рівняння набуде вигляду: (1/5)х = -2/15.

2. Щоб позбутися знаменника, домножимо обидві частини рівняння на 15. Зробити це дозволяє нам теорема 2. Отже, рівняння набуде вигляду:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

Т.ч., корінь рівняння дорівнює -2/3.

б) 2/3 + х/4 + ​​(1 - х) / 6 = 5х / 12 - 1

1. Щоб позбавитися від знаменника, домножимо обидві частини зрівняний ня на 12 (за теоремою 2). Рівняння набуде вигляду:

12(2/3 + х/4 + ​​(1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 - 2х = 5х - 12

10 + х = 5х - 12

2. Користуючись теоремою 1, "зберемо" всі числа праворуч, а компоненти з х - зліва. Рівняння набуде вигляду:

10 +12 = 5х - х

Т.ч., корінь рівняння дорівнює 5,5.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму - тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок- ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого фактудозволить вам не припускатися дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що розв'язання рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж доданок, то виконується це по наступному правилу: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Візьмемо два вирази зі змінною: 4х і 5х + 2. Поєднавши їх знаком рівності, отримаємо пропозицію 4х = 5х + 2. Воно містить змінну і при підстановці значень змінної звертається до висловлювання.

Наприклад,при х = -2 пропозиція 4х = 5х + 2 звертається в справжню числову рівність 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - у хибне 4-1 = 5-1+2. Тому пропозиція 4х = 5х + 2 є висловлювальна форма. Її називають рівнянням з однією змінною.

У загальному вигляді рівняння з однією змінною можна визначити так:

Визначення.Нехай f(х) і q(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f(х) =q(х) називається рівнянням з однією змінною.

Значення змінної хз множини X,при якому рівняння перетворюється на істинну числову рівність, називається коренем рівняння (або його рішення). Вирішити рівняння - це означає знайти безліч його коренів .

Так, коренем рівняння 4х = 5х + 2, якщо розглядати його на множині Rдійсними числами є число -2. Іншого коріння це рівняння не має. Значить багато його коренів є (-2).

Нехай на безлічі дійсних чисел встановлено рівняння (х-1)(х+2)=0. Воно має два корені - числа 1 та -2. Отже, безліч коренів цього рівняння така: (-2, - 1).

Рівняння (3х + 1) × 2 = 6х + 2, задане на множині дійсних чисел, звертається в справжню числову рівність при всіх дійсних значеннях змінної х: якщо розкрити дужки в лівій частині, то отримаємо 6х + 2 = 6 х+ 2. У цьому випадку кажуть, що його коренем є будь-яке дійсне число, а безліччю коренів безліч усіх дійсних чисел.

Рівняння (3х + 1)-2 = 6х + 1, задане на безлічі дійсних чисел, не звертається в істинну числову рівність за жодного дійсного значення х: після розкриття дужок у лівій частині отримуємо, що 6х + 2 = 6х + 1, що неможливо за жодного х. У цьому випадку кажуть, що дане рівняння не має коріння і що безліч його коренів порожнє.

Щоб розв'язати якесь рівняння, його спочатку перетворюють, замінюючи іншим, більш простим; отримане рівняння знову перетворюють, замінюючи простішим, тощо. Цей процес продовжують доти, доки не отримують рівняння, коріння якого можна знайти відомим способом. Але щоб це коріння було корінням заданого даного рівняння, необхідно, щоб у процесі перетворень вийшли рівняння, безлічі коренів яких збігаються. Такі рівняння називають рівносильними.

Визначення.Два рівняння f 1 (х) =q 1 (х) та f 2 (х) =q 2 (х) називаються рівносильними, якщо множини їх коренів збігаються.

Наприклад,рівняння х 2 - 9 = 0 і (2х + 6) (х - 3) = 0 рівносильні так як обидва мають своїм корінням числа 3 і -3. Рівносильні та рівняння (3х + 1)-2 = 6х + 1 та х 2 + 1 = 0, оскільки обидва немає коренів, тобто. безлічі їх коренів збігаються.

Визначення. Заміна рівняння рівносильним рівнянням називається рівносильним перетворенням.

З'ясуй тепер, які перетворення дозволяють отримувати рівносильні рівняння.

Теорема 1. Нехай рівняння f(х) = q(х) задано на множині і h(х) - вираз, визначений на тій самій множині. Тоді рівняння f(х) = q(х) (1) та f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) рівносильні.

Доведення.Позначимо через Т 1 - безліч рішень рівняння (1), а через Т 2 - безліч рішень рівняння (2). Тоді рівняння (1) та (2) будуть рівносильними, якщо Т 1 = Т 2 . Щоб переконатися в цьому, необхідно показати, що будь-який корінь із Т 1 є коренем рівняння (2) і, навпаки, будь-який корінь із Т 2 є коренем рівняння (1).

Нехай число а – корінь рівняння (1). Тоді а Î Т 1 і при підстановці в рівняння (1) звертає його в істинну числову рівність f(а) = q(а), а вираз h(х) звертає в числове вираз h(а) що має сенс на множині X. Додамо до обох частин істинної рівності f(а) = q(а) числове вираз h(а). Отримаємо, згідно з властивостями істинних числових рівностей, істинна числова рівність f(а) + h(а) = q(а) + h(а), яка свідчить про те, що число а є коренем рівняння (2).

Отже, доведено, кожен корінь рівняння (1) є коренем і рівняння (2), тобто. Т 1 Ì Т 2.

Нехай тепер а – корінь рівняння (2). Тоді а Î Т 2 і при підстановці в рівняння (2) звертає його в істинну числову рівність f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Додамо до обох частин цієї рівності числове вираз - h(а). Отримаємо істинну числову рівність f(а) = q(а), що а - корінь рівняння (1).

Отже, доведено, кожен корінь рівняння (2) є і коренем рівняння (1), тобто. Т 2 Ì Т 1 .

Оскільки Т 1 ? Т 2 і Т 2 ?

Цю теорему 1 можна сформулювати інакше: якщо до обох частин рівняння з областю визначення Х додати один і той же вираз зі змінною, визначений на тій самій множині, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному.

З цієї теореми випливають наслідки, що використовуються при вирішенні рівнянь:

1. Якщо до обох частин рівняння додати те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо будь-який доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 2.Нехай рівняння f(х) = q(х), задано на множині Х і h(х) - вираз, який визначений на тій самій множині і не звертається в нуль ні при яких значеннях з множини X. Тоді рівняння f(х) = q(х) та f(х) × h(х) = q(х) × h(х) рівносильні.

Доказ цієї теореми аналогічний доказу теореми 1.

Теорему 2 можна сформулювати інакше: якщо обидві частини рівняння з областю визначення Х помножити на те саме вираз, яке визначено на тій самій множині і не звертається на ньому в нуль, то отримаємо нове рівняння, рівносильне даному.

З цієї теореми випливає слідство: якщо обидві частини рівняння помножити (або розділити) на те саме число, відмінне від нуля, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Розв'яжемо рівняння , х R, і обґрунтуємо всі перетворення, які ми виконуватимемо в процесі розв'язання.