Знаходження найменшого загального кратного чисел. Знаходження найменшого загального кратного, способи, приклади знаходження НОК

Тема «Кратні числа» вивчається у 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття – «кратні числа» та «ділителі», відпрацьовується техніка знаходження дільників та кратних натурального числа, уміння знаходити НОК у різний спосіб.

Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати під час вирішення прикладів з дробами. Для цього необхідно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого загального кратного (НОК).

Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без решти.

Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.

Потрібно довести, що число 125 кратне числу 5. Для цього потрібно перше число поділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.

Даний спосіб застосовується для невеликих чисел.

При розрахунку НОК трапляються особливі випадки.

1. Якщо потрібно знайти загальне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 і 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Якщо два немає спільного дільника, можна сказати, що й НОК - це твір цих двох чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Розглянемо останній приклад. 6 та 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.

У цьому прикладі 6 та 7 є парними дільниками. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).

Число називається простим, якщо ділиться тільки на себе або на 1 (3:1=3; 3:3=1). Інші називаються складовими.

В іншому прикладі слід визначити, чи є 9 дільником по відношенню до 42.

42: 9 = 4 (залишок 6)

Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є решта.

Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник - це число, яким ділять натуральні числа, а кратне саме ділиться цього число.

Найбільший спільний дільник чисел aі b, помножений на їх найменше кратне, дасть добуток самих чисел aі b.

А саме: НОД(а, b) х НОК(а, b) = а х b.

Загальні кратні числа більш складних чисел знаходять в такий спосіб.

Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.

Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді добутку ступенів:

168 = 2?х3?х7?

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.

Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК - це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями та таблицею множення не важко виділити необхідні числа та виявити результат.

Визначення

Загальне кратне - число, здатне націло розділитись на два числа одночасно (а і b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.

НОК – це прийняте для позначення коротка назвазібрані з перших літер.

Способи отримання числа

Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше вписувалося множників буде.

Приклад №1

Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше загальне кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, їх просто перемножити. У результаті є число 21, менше просто немає.

Приклад №2

Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК - обов'язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:

Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.

Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться найбільша кількість входжень. НОК - це загальне число, Тому множники з чисел повинні в ньому повторяться все до єдиного, навіть ті, що присутні в одному екземплярі. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.

Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число у найбільшій їх представлених ступенів, до рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) НОК = 6300.

Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378000.

Перевірка:

6300/300 = 21 - вірно;

6300/1260 = 5 - вірно.

Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки - розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.

Що означає НОК у математиці

Як відомо, у математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цього є приведення дробів до спільного знаменника. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але й до набагато більшій кількості- Трьом, п'яти і так далі. Чим більше чисел – тим більше дій у завданні, але складність від цього не збільшується.

Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальний НОК:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Для того щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3 - для всіх цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.

Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.

Перевірка:

1) 3000/250 = 12 - вірно;

2) 3000/600 = 5 - вірно;

3) 3000/1500 = 2 - вірно.

Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.

Ще один спосіб

У математиці багато що пов'язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку з простими двозначними і однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множинне, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю за допомогою рядка, береться число і в ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге та наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться загальне кратне.

Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов'язує всі числа:

1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.

2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.

3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.

Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов'язаних з цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуща, НОК передбачає обчислення числа, яке ділиться на всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значенняяке діляться вихідні числа.

НОД – це найбільший спільний дільник.

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел необхідно:

• визначити множники, загальні обох чисел;
• знайти добуток загальних множників.

Приклад знаходження НОД:

Знайдемо НОД чисел 315 та 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Випишемо множники, спільні для обох чисел:

3. Знайдемо твір спільних множників:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Відповідь: НОД(315; 245) = 35.

Знаходження НОК

НОК – це найменше загальне кратне.

Щоб знайти найменше загальне кратне кількох чисел необхідно:

• розкласти числа на прості множники;
• виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
• допишемо до них множники, що бракують, з розкладання другого числа;
• знайти твір множників, що вийшли.

Приклад знаходження НОК:

Знайдемо НОК чисел 236 та 328:

1. Розкладемо числа на прості множники:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Випишемо множники, що входять до розкладання одного з чисел і допишемо до них множники, що не вистачають з розкладання другого числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Знайдемо твір множників, що вийшли:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Відповідь: НОК(236; 328) = 19352.

Для знаходження НОД (найбільшого спільного дільника) двох чисел необхідно:

2. Знайти (підкреслити) всі загальні прості множники отриманих розкладаннях.

3. Знайти добуток загальних простих множників.

Для знаходження НОК (найменшого загального кратного) двох чисел необхідно:

1. Розкласти ці числа на прості множники.

2. Розкладання одного з них доповнити тими множниками розкладання іншого числа, яких немає у розкладанні першого.

3. Обчислити добуток отриманих множників.

Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Найменша загальна кратна (НОК) групи чисел – це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше загальне кратне, потрібно знайти прості множники цих чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.

Кроки

Ряд кратних чисел

Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим методом.

• Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 5 та 8. Це невеликі числа, тому можна використати даний метод.

1. Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення.

   • Наприклад, числами, які кратні 5 є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишіть ряд чисел, які кратні першому числу.Зробіть це під кратними числами першого числа, щоби порівняти два ряди чисел.

   • Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 та 64.

3. Знайдіть найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел.Можливо вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел, є найменшим загальним кратним.

   • Наприклад, найменшим числом, яке є у рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 – це найменше загальне кратне чисел 5 і 8.

   Розкладання на прості множники

   1. Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дано менші числа, скористайтеся іншим методом.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 20 та 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати цей метод.

   2. Розкладіть на прості множники перше число.Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемноженні яких вийде це число. Знайшовши прості множники, запишіть у вигляді рівності.

      • Наприклад, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)і 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Таким чином, простими множниками числа 20 є числа 2, 2 та 5. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   3. Розкладіть на прості множники друге число.Зробіть це так, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемноженні яких вийде дане число.

      • Наприклад, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)і 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Таким чином, простими множниками числа 84 є числа 2, 7, 3 та 2. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   4. Запишіть множники, спільні для обох чисел.Запишіть такі множники як операції множення. У міру запису кожного множника закреслюйте його в обох виразах (вирази, що описують розкладання чисел на прості множники).

      • Наприклад, загальним для обох чисел є множник 2, тому напишіть 2 × (\displaystyle 2\times )і закресліть 2 в обох виразах.
      • Спільним для обох чисел є ще один множник 2, тому напишіть 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)і закресліть другу 2 в обох виразах.

   5. До операції множення додайте множники, що залишилися.Це множники, які не закреслені в обох виразах, тобто множники, які не є спільними для обох чисел.

      • Наприклад, у виразі 20 = 2×2×5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)закреслені обидві двійки (2), тому що вони є загальними множниками. Не закреслено множник 5, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • У виразі 84 = 2×7×3×2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)також закреслено обидві двійки (2). Чи не закреслені множники 7 і 3, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Обчисліть найменшу загальну кратну.Для цього перемножте числа записаної операції множення.

      • Наприклад, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Таким чином, найменше загальне кратне 20 та 84 дорівнює 420.

   Знаходження спільних дільників

   1. Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нуліки.Така сітка є дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки та три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть у першому рядку та другому стовпці. Друге число напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 18 та 30. Число 18 напишіть у першому рядку та другому стовпці, а число 30 напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

   2. Знайдіть дільник, загальний обох чисел.Запишіть його у першому рядку та першому стовпці. Краще шукати прості дільники, але це не є обов'язковою умовою.

      • Наприклад, 18 та 30 – це парні числа, тому їх спільним дільником буде число 2. Таким чином, напишіть 2 у першому рядку та першому стовпці.

   3. Розділіть кожну кількість на перший дільник.Кожне окреме запишіть під відповідним числом. Частка – це результат розподілу двох чисел.

      • Наприклад, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)тому запишіть 9 під 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)тому запишіть 15 під 30.

   4. Знайдіть дільник, загальний обох приватних.Якщо такого дільника немає, пропустіть наступні два кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку та першому стовпці.

      • Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку та першому стовпці.

   5. Розділіть кожну приватну на другий дільник.Кожен результат поділу запишіть під відповідним приватним.

      • Наприклад, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)тому запишіть 3 під 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)тому запишіть 5 під 15.

   6. Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками.Повторюйте описані дії, доки приватні не мають спільного дільника.

   7. Обведіть кружками числа в першому стовпці та останньому рядку сітки.Потім виділені числа запишіть як операції множення.

      • Наприклад, числа 2 і 3 перебувають у першому стовпці, а числа 3 і 5 перебувають у останньому рядку, тому операцію множення запишіть так: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Знайдіть результат множення чисел.Так ви обчислите найменше загальне кратне двох даних чисел.

      • Наприклад, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Таким чином, найменше загальне кратне 18 та 30 дорівнює 90.

   Алгоритм Евкліда

   1. Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу.Ділене - це число, яке ділять. Дільник – це число, яким ділять. Частка – це результат розподілу двох чисел. Залишок – це число, що залишилося при розподілі двох чисел.

      • Наприклад, у виразі 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)зуп. 3:
        15 – це ділене
        6 – це дільник
        2 – це приватне
        3 – це залишок.

Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".

Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.

Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.

Загальне кратне натуральних чисел- Число, яке ділиться на них без залишку.

Як знайти найменше загальне кратне чисел

Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.

Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.

Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літероюДо.

Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:

До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

До (6) = (12, 18, 24, ...)

Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:

НОК (4, 6) = 24

Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.

Для виконання завдання потрібно розкласти запропоновані числа на прості множники.

Спочатку треба виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним – інших.

У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.

Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.

У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.

Тепер можна обчислити найменше загальне кратне 20 та 50.

НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Так, добуток простих множників більшого числаі множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.

Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.

Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).

Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.

НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.

Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.

Якщо потрібно знайти найменше спільне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.

Наприклад, НОК (10, 11) = 110.