समीकरणों के निकाय को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्याएँ ज्ञात कीजिए। गणित में एक जटिल समीकरण को कैसे हल करें?

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। स्पष्टता के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें:

गणना \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] अगर \

सबसे पहले, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक संख्या को बीजीय रूप में दर्शाया जाता है, दूसरा - त्रिकोणमितीय रूप में। इसे सरल बनाने और निम्नलिखित रूप में लाने की आवश्यकता है:

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

व्यंजक \ कहता है कि, सबसे पहले, हम Moivre सूत्र के अनुसार गुणा और 10वीं घात तक बढ़ाते हैं। यह सूत्र एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के लिए तैयार किया गया था। हम पाते हैं:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हुए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे:

हमारे मामले में:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ पाई)(3)।\]

भिन्न \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] को सही बनाते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 4 मोड़ \[(8\pi rad.) को "ट्विस्ट" करना संभव है:\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

उत्तर: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

इस समीकरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, जो दूसरी संख्या को बीजीय रूप में लाने और फिर गुणा करने के लिए उबलता है बीजीय रूप, परिणाम को त्रिकोणमितीय रूप में अनुवादित करें और डी मोइवर के सूत्र को लागू करें:

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सम्मिश्र संख्याओं के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, आपको मूल परिभाषाओं को समझने की आवश्यकता है। इस समीक्षा लेख का मुख्य उद्देश्य यह बताना है कि जटिल संख्याएँ क्या हैं और जटिल संख्याओं के साथ बुनियादी समस्याओं को हल करने के लिए वर्तमान तरीके क्या हैं। इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या, रूप की एक संख्या होती है जेड = ए + द्वि, कहाँ पे ए, बी- वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें क्रमशः एक सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग कहते हैं, और निरूपित करते हैं ए = रे (जेड), बी = आईएम (जेड).
मैंकाल्पनिक इकाई कहलाती है। मैं 2 \u003d -1. विशेष रूप से, किसी भी वास्तविक संख्या को जटिल माना जा सकता है: ए = ए + 0i, जहां a वास्तविक है। यदि ए = 0तथा बी 0, तो संख्या को विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है।

अब हम सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ प्रस्तुत करते हैं।
दो सम्मिश्र संख्याओं पर विचार करें जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईतथा जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई.

विचार करना जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, जो बदले में परिमेय संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करता है, इत्यादि। एम्बेडिंग की यह श्रृंखला आकृति में देखी जा सकती है: एन - प्राकृतिक संख्याएं, जेड - पूर्णांक, क्यू - तर्कसंगत, आर - वास्तविक, सी - जटिल।

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

बीजगणितीय अंकन।

एक सम्मिश्र संख्या पर विचार करें जेड = ए + द्विसम्मिश्र संख्या लिखने के इस रूप को कहते हैं बीजगणितीय. इस प्रकार के लेखन के बारे में हम पिछले भाग में पहले ही विस्तार से चर्चा कर चुके हैं। अक्सर निम्नलिखित उदाहरण चित्र का उपयोग करें

त्रिकोणमितीय रूप।

आकृति से यह देखा जा सकता है कि संख्या जेड = ए + द्विअलग लिखा जा सकता है। जाहिर सी बात है ए = आरसीओएस (φ), बी = रसिन (φ), आर=|जेड|, फलस्वरूप z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है। एक सम्मिश्र संख्या के इस निरूपण को कहते हैं त्रिकोणमितीय रूप. संकेतन का त्रिकोणमितीय रूप कभी-कभी बहुत सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, किसी सम्मिश्र संख्या को पूर्णांक घात तक बढ़ाने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है, अर्थात्, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, फिर z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, इस सूत्र को कहा जाता है डी मोइवर का सूत्र.

प्रदर्शनकारी रूप।

विचार करना z = rcos(φ) + rsin(φ)iत्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या है, हम इसे एक अलग रूप में लिखते हैं z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, अंतिम समानता यूलर सूत्र से आती है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं नए रूप मेजटिल संख्या प्रविष्टियाँ: जेड = रे मैं, जिसे कहा जाता है ठोस. किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए संकेतन का यह रूप भी बहुत सुविधाजनक है: z n = r n e inφ, यहां एनजरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो, लेकिन एक मनमाना वास्तविक संख्या हो सकती है। लेखन का यह रूप अक्सर समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

उच्च बीजगणित का मौलिक प्रमेय

आइए दिखाएँ कि हमारे पास है द्विघात समीकरणएक्स 2 + एक्स + 1 = 0। यह स्पष्ट है कि इस समीकरण का विभेदक ऋणात्मक है और इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन यह पता चलता है कि इस समीकरण की दो अलग-अलग जटिल जड़ें हैं। तो, उच्च बीजगणित के मुख्य प्रमेय में कहा गया है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में कम से कम एक जटिल जड़ होती है। इससे यह पता चलता है कि डिग्री n के किसी भी बहुपद में उनकी बहुलता को ध्यान में रखते हुए ठीक n जटिल जड़ें होती हैं। यह प्रमेय गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम है और व्यापक रूप से लागू होता है। इस प्रमेय का एक सरल परिणाम निम्नलिखित परिणाम है: एकता के बिल्कुल n विशिष्ट n-डिग्री मूल हैं।

मुख्य प्रकार के कार्य

यह खंड मुख्य प्रकारों को कवर करेगा सरल कार्यजटिल संख्याओं के लिए। परंपरागत रूप से, जटिल संख्याओं की समस्याओं को निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।

• सम्मिश्र संख्याओं पर सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ करना।
• सम्मिश्र संख्याओं में बहुपदों के मूल ज्ञात करना।
• सम्मिश्र संख्याओं को घात में बढ़ाना।
• सम्मिश्र संख्याओं से जड़ों का निष्कर्षण।
• अन्य समस्याओं को हल करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग।

अब इन समस्याओं को हल करने के सामान्य तरीकों पर विचार करें।

जटिल संख्याओं के साथ सरलतम अंकगणितीय संक्रियाएं पहले खंड में वर्णित नियमों के अनुसार की जाती हैं, लेकिन यदि जटिल संख्याओं को त्रिकोणमितीय या घातीय रूपों में प्रस्तुत किया जाता है, तो इस मामले में उन्हें बीजीय रूप में परिवर्तित किया जा सकता है और ज्ञात नियमों के अनुसार संचालन किया जा सकता है।

बहुपद के मूल ज्ञात करना आमतौर पर द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए नीचे आता है। मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है, यदि इसका विवेचक गैर-ऋणात्मक है, तो इसकी जड़ें वास्तविक होंगी और एक प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार पाई जाती हैं। यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो डी = -1∙ए 2, कहाँ पे एकएक निश्चित संख्या है, तो हम रूप में विवेचक का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं डी = (आईए) 2, फलस्वरूप डी = मैं|ए|, और फिर आप द्विघात समीकरण के मूलों के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण. आइए x 2 + x + 1 = 0 के ऊपर वर्णित द्विघात समीकरण पर लौटते हैं।
विभेदक - डी \u003d 1 - 4 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
अब हम आसानी से जड़ें ढूंढ सकते हैं:

सम्मिश्र संख्याओं को घात तक बढ़ाना कई तरीकों से किया जा सकता है। यदि आप एक जटिल संख्या को बीजगणितीय रूप में एक छोटी शक्ति (2 या 3) तक बढ़ाना चाहते हैं, तो आप इसे सीधे गुणा करके कर सकते हैं, लेकिन यदि डिग्री बड़ी है (समस्याओं में यह अक्सर बहुत बड़ी होती है), तो आपको करने की आवश्यकता है इस संख्या को त्रिकोणमितीय या घातांक रूपों में लिखें और पहले से ज्ञात विधियों का उपयोग करें।

उदाहरण. z = 1 + i पर विचार करें और दसवीं शक्ति तक बढ़ाएँ।
हम z को घातांकीय रूप में लिखते हैं: z = √2 e iπ/4 ।
फिर जेड 10 = (√2 ई आईπ / 4) 10 = 32 ई 10आईπ / 4.
आइए बीजीय रूप में वापस आते हैं: z 10 = -32i।

सम्मिश्र संख्याओं से जड़ें निकालना घातांक के संबंध में व्युत्क्रम संक्रिया है, इसलिए इसे इसी तरह से किया जाता है। जड़ों को निकालने के लिए, संख्या लिखने के घातीय रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है।

उदाहरण. एकता की डिग्री 3 की सभी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण z 3 = 1 की सभी जड़ों को ढूंढते हैं, हम घातीय रूप में जड़ों की तलाश करेंगे।
समीकरण में स्थानापन्न करें: r 3 e 3iφ = 1 या r 3 e 3iφ = e 0 ।
इसलिए: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, इसलिए = 2πk/3।
= 0, 2π/3, 4π/3 पर विभिन्न मूल प्राप्त होते हैं।
अत: 1, e i2π/3 , e i4π/3 मूल हैं।
या बीजीय रूप में:

अंतिम प्रकार की समस्याओं में बड़ी संख्या में समस्याएं शामिल हैं और उन्हें हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। ऐसे कार्य का एक सरल उदाहरण यहां दिया गया है:

राशि का पता लगाएं sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

यद्यपि इस समस्या का सूत्रीकरण सम्मिश्र संख्याओं को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन उनकी सहायता से इसे आसानी से हल किया जा सकता है। इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित अभ्यावेदन का उपयोग किया जाता है:


यदि हम अब इस निरूपण को योग में प्रतिस्थापित करते हैं, तो समस्या सामान्य ज्यामितीय प्रगति के योग तक कम हो जाती है।

निष्कर्ष

गणित में जटिल संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इस समीक्षा लेख में जटिल संख्याओं पर बुनियादी संचालन पर विचार किया गया था, कई प्रकार की मानक समस्याओं का वर्णन किया गया था और संक्षेप में वर्णित किया गया था। सामान्य तरीकेउनके समाधान, अधिक के लिए विस्तृत अध्ययनजटिल संख्याओं की संभावनाओं के लिए, विशेष साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

साहित्य

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"वोरोनिश राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय"

AGLEBRA और ज्यामिति की कुर्सी

जटिल आंकड़े

(चयनित कार्य)

अंतिम योग्यता कार्य

विशेषता 050201.65 गणित

(अतिरिक्त विशेषता 050202.65 सूचना विज्ञान के साथ)

द्वारा पूरा किया गया: 5 वीं वर्ष का छात्र

भौतिक और गणितीय

संकाय

वैज्ञानिक सलाहकार:

वोरोनिश - 2008

1 परिचय……………………………………………………...…………..…

2. जटिल संख्याएं (चयनित समस्याएं)

2.1. बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ………………….

2.2. सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या………………

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

2.4. तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों के समाधान के लिए जटिल संख्याओं के सिद्धांत का अनुप्रयोग

2.5. सम्मिश्र संख्याएं और पैरामीटर ………………………………………।

3. निष्कर्ष…………………………………………………………

4. संदर्भों की सूची……………………………………………

1 परिचय

स्कूल पाठ्यक्रम के गणित कार्यक्रम में, सेट के उदाहरणों का उपयोग करके संख्या सिद्धांत पेश किया जाता है प्राकृतिक संख्या, संपूर्ण, तर्कसंगत, तर्कहीन, अर्थात् वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर जिसके प्रतिबिम्ब संपूर्ण संख्या रेखा को भरते हैं। लेकिन पहले से ही 8 वीं कक्षा में वास्तविक संख्याओं का पर्याप्त भंडार नहीं है, एक नकारात्मक विवेचक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना। इसलिए, वास्तविक संख्याओं के भंडार को जटिल संख्याओं से भरना आवश्यक था, जिसके लिए ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल समझ में आता है।

मेरे अंतिम योग्यता कार्य के विषय के रूप में "कॉम्प्लेक्स नंबर" विषय का चुनाव यह है कि एक जटिल संख्या की अवधारणा छात्रों के संख्यात्मक प्रणालियों के बारे में ज्ञान का विस्तार करती है, बीजगणितीय और ज्यामितीय सामग्री दोनों की समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के बारे में, के बारे में हल बीजीय समीकरणकिसी भी डिग्री और मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के बारे में।

इस शोध प्रबंध में 82 समस्याओं के समाधान पर विचार किया गया है।

मुख्य खंड "कॉम्प्लेक्स नंबर" का पहला भाग बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के साथ समस्याओं का समाधान प्रदान करता है, बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं के लिए जोड़, घटाव, गुणा, भाग, संयुग्मन के संचालन को परिभाषित करता है, एक काल्पनिक इकाई की डिग्री, एक सम्मिश्र संख्या का मापांक, और नियम निष्कर्षण भी निर्धारित करता है वर्गमूलएक जटिल संख्या से।

दूसरे भाग में सम्मिश्र तल के बिन्दुओं या सदिशों के रूप में सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या के लिए समस्याओं का समाधान किया जाता है।

तीसरा भाग त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाओं से संबंधित है। सूत्रों का उपयोग किया जाता है: डी मोइवर और एक जटिल संख्या से जड़ का निष्कर्षण।

चौथा भाग तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।

अंतिम भाग "कॉम्प्लेक्स नंबर और पैरामीटर" की समस्याओं को हल करते समय, पिछले भागों में दी गई जानकारी का उपयोग और समेकित किया जाता है। अध्याय की समस्याओं की एक श्रृंखला जटिल तल में रेखाओं के परिवारों की परिभाषा के लिए समर्पित है, समीकरणों द्वारा दिया गया(असमानता) एक पैरामीटर के साथ। अभ्यास के भाग में, आपको एक पैरामीटर (फ़ील्ड C के ऊपर) के साथ समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्य हैं जहां एक जटिल चर एक साथ कई शर्तों को पूरा करता है। इस खंड की समस्याओं को हल करने की एक विशेषता पैरामीटर के साथ तर्कहीन, त्रिकोणमितीय दूसरी डिग्री के समीकरणों (असमानताओं, प्रणालियों) के समाधान के लिए उनमें से कई की कमी है।

प्रत्येक भाग की सामग्री की प्रस्तुति की एक विशेषता प्रारंभिक इनपुट है सैद्धांतिक संस्थापना, और बाद में समस्याओं को हल करने में उनका व्यावहारिक अनुप्रयोग।

अंततः थीसिसप्रयुक्त साहित्य की सूची प्रस्तुत की गई है। उनमें से अधिकांश में सैद्धांतिक सामग्री को पर्याप्त विस्तार से प्रस्तुत किया जाता है और एक सुलभ तरीके से, कुछ समस्याओं के समाधान पर विचार किया जाता है और स्वतंत्र समाधान के लिए व्यावहारिक कार्य दिए जाते हैं। मैं इस तरह के स्रोतों पर विशेष ध्यान देना चाहूंगा:

1. गोर्डिएन्को एन.ए., बेलीएवा ई.एस., फ़र्स्टोव वी.ई., सेरेब्रीकोवा आई.वी. सम्मिश्र संख्याएँ और उनके अनुप्रयोग: पाठ्यपुस्तक। . सामग्री अध्ययन गाइडव्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया।

2. शक्लीर्स्की डी.ओ., चेन्त्सोव एन.एन., याग्लोम आई.एम. प्राथमिक गणित की चयनित समस्याएं और प्रमेय। अंकगणित और बीजगणित। पुस्तक में बीजगणित, अंकगणित और संख्या सिद्धांत से संबंधित 320 समस्याएं हैं। उनके स्वभाव से, ये कार्य मानक स्कूल कार्यों से काफी भिन्न होते हैं।

2. जटिल संख्याएं (चयनित समस्याएं)

2.1. बीजीय रूप में जटिल संख्याएं

गणित और भौतिकी में कई समस्याओं का समाधान बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, अर्थात। फॉर्म के समीकरण

,

जहाँ a0, a1,…, a वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए, बीजीय समीकरणों का अध्ययन गणित के सबसे महत्वपूर्ण प्रश्नों में से एक है। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक विभेदक वाले द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। ऐसा सरलतम समीकरण समीकरण है

.

इस समीकरण का हल प्राप्त करने के लिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को समीकरण के मूल में जोड़कर उसका विस्तार करना आवश्यक है।

.

आइए इस रूट को के रूप में निरूपित करें

. इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, , या ,

फलस्वरूप,

. काल्पनिक इकाई कहलाती है। इसकी सहायता से तथा वास्तविक संख्याओं के एक युग्म की सहायता से रूप का व्यंजक बनता है।

परिणामी व्यंजक को सम्मिश्र संख्याएँ कहा जाता था क्योंकि उनमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते थे।

अतः सम्मिश्र संख्याएँ रूप के व्यंजक कहलाती हैं

, और वास्तविक संख्याएं हैं, और कुछ प्रतीक हैं जो शर्त को संतुष्ट करते हैं। संख्या को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है, और संख्या को उसका काल्पनिक भाग कहा जाता है। प्रतीकों, उन्हें नामित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

फॉर्म की जटिल संख्या

वास्तविक संख्याएँ हैं और इसलिए सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

फॉर्म की जटिल संख्या

विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है। रूप की दो सम्मिश्र संख्याएँ और समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों, अर्थात्। अगर समानताएं , .

बीजीय संकेतनसम्मिश्र संख्याएँ आपको बीजगणित के सामान्य नियमों के अनुसार उन पर संक्रियाएँ करने की अनुमति देती हैं।