فرمول یافتن مساحت یک مثلث با سه ضلع. چگونه مساحت یک مثلث را پیدا کنیم
مثلث ساده ترین شکل هندسی است که از سه ضلع و سه رأس تشکیل شده است. مثلث به دلیل سادگی از زمان های قدیم برای اندازه گیری های مختلف مورد استفاده قرار می گرفت و امروزه این شکل می تواند برای حل مسائل کاربردی و روزمره مفید باشد.
ویژگی های مثلث
این رقم از زمان های قدیم برای محاسبات استفاده می شده است، به عنوان مثال نقشه برداران و ستاره شناسان با خواص مثلث برای محاسبه مساحت ها و فواصل عمل می کنند. از طریق مساحت این شکل، به راحتی می توان مساحت هر n-گون را بیان کرد و دانشمندان باستانی از این ویژگی برای استخراج فرمول های مساحت چندضلعی ها استفاده کردند. شغل دائمبا مثلث ها، به ویژه با مثلث قائم الزاویه، پایه و اساس یک بخش کامل از ریاضیات - مثلثات شده است.
هندسه مثلث
خواص یک شکل هندسی از زمان های قدیم مورد مطالعه قرار گرفته است: بیشترین اطلاعات اولیهدر مورد مثلث 4000 سال پیش در پاپیروس مصری یافت شد. سپس شکل مورد مطالعه قرار گرفت یونان باستانو اقلیدس، فیثاغورث و هرون بیشترین سهم را در هندسه مثلث داشته اند. مطالعه مثلث هرگز متوقف نشد و در قرن هجدهم لئونارد اویلر مفهوم مرکز مرکزی شکل و دایره اویلر را معرفی کرد. در آغاز قرن 19 و 20، زمانی که به نظر می رسید کاملاً همه چیز درباره مثلث شناخته شده است، فرانک مورلی قضیه سه گانه زاویه را فرموله کرد و واسلاو سیرپینسکی مثلث فراکتال را پیشنهاد کرد.
چندین نوع مثلث مسطح از درس هندسه مدرسه برای ما آشنا است:
- زاویه حاد - تمام گوشه های شکل تیز هستند.
- مبهم - شکل دارای یک زاویه مبهم (بیشتر از 90 درجه) است.
- مستطیل - شکل شامل یک زاویه راست برابر با 90 درجه است.
- متساوی الساقین - مثلثی با دو ضلع مساوی؛
- متساوی الاضلاع - مثلثی با همه اضلاع مساوی.
- AT زندگی واقعیانواع مثلث وجود دارد و در برخی موارد ممکن است لازم باشد مساحت یک شکل هندسی را محاسبه کنیم.
مساحت یک مثلث
مساحت تخمینی است از اینکه این شکل به چه مقدار از صفحه محدود می شود. مساحت یک مثلث را می توان به شش روش یافت، با استفاده از اضلاع، ارتفاع، زوایا، شعاع دایره محاطی یا محاط شده، و همچنین با استفاده از فرمول هرون یا محاسبه یک انتگرال دوگانه بر روی خطوط محدود کننده صفحه. بیشترین فرمول سادهبرای محاسبه مساحت یک مثلث به صورت زیر است:
در جایی که a ضلع مثلث است، h ارتفاع آن است.
با این حال، در عمل همیشه برای ما راحت نیست که ارتفاع یک شکل هندسی را پیدا کنیم. الگوریتم ماشین حساب ما به شما امکان می دهد مساحت را با دانستن زیر محاسبه کنید:
- سه طرف؛
- دو ضلع و زاویه بین آنها.
- یک طرف و دو گوشه
برای تعیین مساحت بر حسب سه ضلع، از فرمول هرون استفاده می کنیم:
S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))،
که p نصف محیط مثلث است.
محاسبه مساحت در دو طرف و یک زاویه طبق فرمول کلاسیک انجام می شود:
S = a × b × sin(alfa)،
که در آن آلفا زاویه بین ضلع a و b است.
برای تعیین مساحت یک طرف و دو گوشه از رابطه ای استفاده می کنیم که:
a / sin(alfa) = b / sin (بتا) = c / sin (گاما)
با نسبت ساده طول ضلع دوم را تعیین می کنیم و پس از آن مساحت را با استفاده از فرمول S = a × b × sin (آلفا) محاسبه می کنیم. این الگوریتم کاملاً خودکار است و فقط باید متغیرهای داده شده را وارد کنید و نتیجه را بگیرید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.
نمونه های زندگی واقعی
کفسازی پیاده رو
فرض کنید می خواهید کف را با کاشی های مثلثی سنگ فرش کنید و مقدار آن را تعیین کنید مواد مورد نیاز، باید مساحت یک کاشی و مساحت کف را پیدا کنید. فرض کنید که باید 6 متر مربع از یک سطح را با استفاده از کاشی هایی که ابعاد آنها 20 سانتی متر، b = 21 سانتی متر، c \u003d 29 سانتی متر است، پردازش کنید. بدیهی است که برای محاسبه مساحت یک مثلث، ماشین حساب از فرمول هرون استفاده می کند و نتیجه را نشان می دهد:
بنابراین، مساحت یک عنصر کاشی 0.021 خواهد بود متر مربعو برای زیباسازی کف به 6/0.021 = 285 مثلث نیاز دارید. اعداد 20، 21 و 29 اعداد سه گانه فیثاغورثی را تشکیل می دهند که اعداد را برآورده می کنند. و درست است، ماشین حساب ما تمام زوایای مثلث را نیز محاسبه کرده است و زاویه گاما دقیقاً 90 درجه است.
تکلیف مدرسه
AT تکلیف مدرسهبا دانستن اینکه ضلع a = 5 سانتی متر و زوایای آلفا و بتا زخم به ترتیب 30 و 50 درجه هستند، باید مساحت مثلث را پیدا کرد. برای حل این مشکل به صورت دستی، ابتدا مقدار ضلع b را با استفاده از نسبت اضلاع و سینوس های زوایای مقابل پیدا می کنیم و سپس با استفاده از فرمول ساده S = a × b × sin(alfa) مساحت را تعیین می کنیم. بیایید در زمان صرفه جویی کنیم، داده ها را در فرم ماشین حساب وارد کنیم و پاسخ فوری دریافت کنیم
هنگام استفاده از ماشین حساب، مهم است که زوایا و اضلاع را به درستی مشخص کنید، در غیر این صورت نتیجه نادرست خواهد بود.
نتیجه
مثلث یک شکل منحصر به فرد است که هم در زندگی واقعی و هم در محاسبات انتزاعی رخ می دهد. از ماشین حساب آنلاین ما برای پیدا کردن مساحت مثلث ها از هر نوع استفاده کنید.
مثلث یک شکل هندسی است که از سه خط مستقیم تشکیل شده است که در نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می شوند. نقاط اتصال خطوط رئوس مثلث هستند که مشخص می شوند با حروف لاتین(به عنوان مثال، A، B، C). خطوط مستقیم متصل کننده یک مثلث را پاره می گویند که معمولاً با حروف لاتین نیز مشخص می شوند. انواع مثلث های زیر وجود دارد:
- مستطیل شکل.
- دیر فهم.
- حاد زاویه دار.
- همه کاره.
- متساوی الاضلاع.
- متساوی الساقین.
فرمول های کلی برای محاسبه مساحت یک مثلث
فرمول مساحت مثلث برای طول و ارتفاع
S=a*h/2،
در جایی که a طول ضلع مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، h طول ارتفاع کشیده شده به قاعده است.
فرمول هرون
S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c)،
کجا √ است ریشه دوم، p نصف محیط مثلث است، a,b,c طول هر ضلع مثلث است. نیم محیط مثلث را می توان با استفاده از فرمول p=(a+b+c)/2 محاسبه کرد.
فرمول مساحت یک مثلث بر حسب زاویه و طول قطعه
S = (a*b*sin(α))/2،
جایی که b,c استطول اضلاع مثلث، sin (α) سینوس زاویه بین دو ضلع است.
فرمول مساحت یک مثلث با توجه به شعاع دایره محاطی و سه ضلع
S=p*r،
جایی که p نیمه محیط مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، r شعاع دایره ای است که در این مثلث محاط شده است.
فرمول مساحت یک مثلث با سه ضلع و شعاع دایره ای که دور آن محصور شده است.
S= (a*b*c)/4*R،
که در آن a,b,c طول هر ضلع مثلث است، R شعاع دایره محصور شده به دور مثلث است.
فرمول مساحت مثلث در مختصات دکارتی نقاط
مختصات دکارتی نقاط مختصاتی در سیستم xOy هستند که x ابسیسا و y مختصات است. سیستم مختصات دکارتی xOy در صفحه، محورهای عددی متقابل عمود بر Ox و Oy با شروع مشترکمرجع در نقطه O. اگر مختصات نقاط در این صفحه به شکل A (x1، y1)، B (x2، y2) و C (x3، y3) داده شده باشد، می توانید مساحت \u200b را محاسبه کنید. مثلث با استفاده از فرمول زیر که از حاصل ضرب متقاطع دو بردار به دست می آید.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
کجا || مخفف ماژول است.
نحوه پیدا کردن مساحت مثلث قائم الزاویه
مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه آن 90 درجه باشد. یک مثلث فقط می تواند یک چنین زاویه داشته باشد.
فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه روی دو پا
S=a*b/2،
که در آن a,b طول پاها است. پاها به اضلاع مجاور زاویه راست گفته می شود.
فرمول مساحت یک مثلث قائم الزاویه با توجه به هیپوتنوس و زاویه تند
S = a*b*sin(α)/ 2،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، و sin(α) سینوس زاویه ای است که خطوط a، b در آن قطع می شوند.
فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه بر پایه و زاویه مخالف
S = a*b/2*tg(β)،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، tg(β) مماس زاویه ای است که در آن پایه های a، b به هم متصل می شوند.
نحوه محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین
مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع مساوی داشته باشد. این اضلاع را اضلاع و طرف دیگر قاعده نامیده می شود. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقینیکی از فرمول های زیر قابل استفاده است.
فرمول اصلی برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین
S=h*c/2،
جایی که c قاعده مثلث است، h ارتفاع مثلثی است که به قاعده پایین آمده است.
فرمول مثلث متساوی الساقین در ضلع و قاعده جانبی
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4)،
جایی که c قاعده مثلث است، a مقدار یکی از اضلاع مثلث متساوی الساقین است.
نحوه پیدا کردن مساحت مثلث متساوی الاضلاع
مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که همه اضلاع آن برابر باشند. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاعمی توانید از فرمول زیر استفاده کنید:
S = (√3*a*a)/4،
که در آن a طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.
فرمول های فوق به شما امکان می دهد مساحت مورد نیاز مثلث را محاسبه کنید. لازم به یادآوری است که برای محاسبه فاصله مثلث ها، باید نوع مثلث و داده های موجود را که می توان برای محاسبه استفاده کرد، در نظر گرفت.
مثلث یک شکل شناخته شده است. و این، با وجود تنوع غنی از اشکال آن. مستطیل، متساوی الاضلاع، حاد، متساوی الساقین، منفرد. هر کدام از آنها تا حدودی متفاوت است. اما برای هر کسی باید مساحت مثلث را دانست.
فرمول های رایج برای همه مثلث هایی که از طول اضلاع یا ارتفاع استفاده می کنند
نام های اتخاذ شده در آنها: طرف - a، b، c. ارتفاعات در اضلاع مربوطه در a، n در، n s.
1. مساحت مثلث حاصل ضرب ½، ضلع و ارتفاع کم شده روی آن محاسبه می شود. S = ½ * a * n a. به طور مشابه، باید برای دو طرف دیگر فرمول بنویسید.
2. فرمول هرون که در آن نیم محیط ظاهر می شود (معروف است بر خلاف محیط کامل آن را با حرف کوچک p نشان می دهند). نیم محیط باید به صورت زیر محاسبه شود: همه اضلاع را جمع کنید و آنها را بر 2 تقسیم کنید. فرمول نیم محیط: p \u003d (a + b + c) / 2. سپس برابری برای مساحت شکل به این شکل است: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).
3. اگر نمی خواهید از یک نیمه محیطی استفاده کنید، چنین فرمولی مفید خواهد بود، که در آن فقط طول اضلاع وجود دارد: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ب + ج - الف) * (الف + ج - ج) * (الف + ب - ج)). تا حدودی طولانی تر از قبلی است، اما اگر فراموش کرده اید که چگونه نیم محیط را پیدا کنید، به شما کمک می کند.
فرمول های کلی که در آن زوایای مثلث ظاهر می شود
نمادی که برای خواندن فرمول ها لازم است: α، β، γ - زاویه. آنها به ترتیب در طرف مقابل a، b، c قرار دارند.
1. بر اساس آن، نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها برابر با مساحت مثلث است. یعنی: S = ½ a * b * sin γ. فرمول دو مورد دیگر باید به روشی مشابه نوشته شود.
2. مساحت یک مثلث را می توان از یک ضلع و سه محاسبه کرد گوشه های شناخته شده. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. همچنین فرمولی با یک ضلع شناخته شده و دو زاویه مجاور آن وجود دارد. به نظر می رسد این است: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
دو فرمول آخر ساده ترین نیستند. به خاطر سپردن آنها بسیار سخت است.
فرمول های کلی برای موقعیتی که شعاع دایره های محاطی یا محاطی مشخص است
نام های اضافی: r، R - شعاع. اولین مورد برای شعاع دایره محاطی استفاده می شود. دومی مربوط به موردی است که توضیح داده شد.
1. اولین فرمولی که مساحت یک مثلث را با آن محاسبه می کنند مربوط به نیم محیط است. S = r * r. به روشی دیگر می توان آن را به صورت زیر نوشت: S \u003d ½ r * (a + b + c).
2. در حالت دوم، شما باید تمام اضلاع مثلث را ضرب کنید و آنها را بر شعاع چهارگانه دایره محدود شده تقسیم کنید. در اصطلاح تحت اللفظی به نظر می رسد: S \u003d (a * b * c) / (4R).
3. موقعیت سوم به شما امکان می دهد بدون دانستن اضلاع انجام دهید، اما به مقادیر هر سه زاویه نیاز دارید. S \u003d 2 R 2 * sin α * گناه β * گناه γ.
مورد خاص: مثلث قائم الزاویه
این ساده ترین حالت است، زیرا فقط طول هر دو پا مورد نیاز است. آنها با حروف لاتین a و b نشان داده می شوند. مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف مساحت مستطیل اضافه شده به آن است.
از نظر ریاضی، به این صورت است: S = ½ a * b. او ساده ترین برای به خاطر سپردن است. از آنجایی که به نظر می رسد فرمول مساحت یک مستطیل است، فقط یک کسری ظاهر می شود که نشان دهنده نصف است.
مورد خاص: مثلث متساوی الساقین
از آنجایی که دو طرف آن برابر است، برخی از فرمول‌ها برای مساحت آن تا حدودی ساده به نظر می‌رسند. برای مثال، فرمول هرون که مساحت یک مثلث متساوی الساقین را محاسبه می کند، به شکل زیر است:
S = ½ اینچ √((a + ½ اینچ)*(a - ½ اینچ)).
اگر آن را تبدیل کنید کوتاهتر می شود. در این مورد، فرمول هرون برای مثلث متساوی الساقین به صورت زیر نوشته می شود:
S = ¼ در √(4 * a 2 - b 2).
اگر اضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، فرمول مساحت تا حدودی ساده تر از یک مثلث دلخواه به نظر می رسد. S \u003d ½ a 2 * sin β.
حالت خاص: مثلث متساوی الاضلاع
معمولاً در مشکلاتی که درباره او وجود دارد، طرف شناخته می شود یا به نوعی می توان آن را شناخت. سپس فرمول برای یافتن مساحت چنین مثلثی به شرح زیر است:
S = (a 2 √3) / 4.
اگر مثلث روی کاغذ شطرنجی به تصویر کشیده شود، وظایف پیدا کردن منطقه
ساده ترین حالت زمانی است که یک مثلث قائم الزاویه رسم می شود به طوری که پاهای آن با خطوط کاغذ منطبق می شود. سپس شما فقط باید تعداد سلول هایی که در پاها قرار می گیرند را بشمارید. سپس آنها را ضرب کرده و بر دو تقسیم کنید.
وقتی مثلث حاد یا منفرد است، باید به سمت یک مستطیل کشیده شود. سپس در شکل حاصل 3 مثلث وجود خواهد داشت. یکی آن است که در تکلیف داده شده است. و دو تای دیگر کمکی و مستطیلی هستند. مساحت دو مورد آخر باید با روشی که در بالا توضیح داده شد تعیین شود. سپس مساحت مستطیل را محاسبه کرده و مساحت مستطیل های کمکی را از آن کم کنید. مساحت مثلث مشخص می شود.
وضعیتی که در آن هیچ یک از اضلاع مثلث با خطوط کاغذ منطبق نباشد بسیار دشوارتر است. سپس باید آن را در یک مستطیل نوشته شود تا رئوس شکل اصلی در طرفین آن قرار گیرد. در این حالت سه مثلث قائم الزاویه کمکی وجود خواهد داشت.
مثالی از یک مسئله در فرمول هرون
وضعیت. بعضی مثلث ها اضلاع دارند. آنها برابر با 3، 5 و 6 سانتی متر هستند، باید مساحت آن را بدانید.
اکنون می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول بالا محاسبه کنید. زیر جذر حاصل ضرب چهار عدد است: 7، 4، 2 و 1. یعنی مساحت √ (4 * 14) = 2 √ (14) است.
اگر به دقت بیشتری نیاز ندارید، می توانید جذر 14 را بگیرید. 3.74 است. سپس مساحت برابر با 7.48 خواهد بود.
پاسخ. S \u003d 2 √14 سانتی متر مربع یا 7.48 سانتی متر مربع.
مثالی از مسئله مثلث قائم الزاویه
وضعیت. یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 31 سانتی متر از دومی بلندتر است و اگر مساحت مثلث 180 سانتی متر مربع باشد باید طول آنها را مشخص کرد.
راه حل. شما باید یک سیستم دو معادله را حل کنید. اولی مربوط به منطقه است. دومی با نسبت پاها است که در مسئله آورده شده است.
180 \u003d ½ a * b;
a \u003d b + 31.
ابتدا مقدار "a" باید در معادله اول جایگزین شود. به نظر می رسد: 180 \u003d ½ (در + 31) * اینچ. این فقط یک کمیت مجهول دارد، بنابراین حل آن آسان است. پس از باز کردن پرانتز، دریافت می کنیم معادله درجه دوم: در 2 + 31 در - 360 = 0. دو مقدار برای "in" می دهد: 9 و - 40. عدد دوم به عنوان پاسخ مناسب نیست، زیرا طول ضلع مثلث نمی تواند منفی باشد. ارزش.
باقی مانده است که مرحله دوم را محاسبه کنیم: به عدد حاصل 31 اضافه کنید. معلوم می شود 40. اینها مقادیری هستند که در مسئله جستجو می شوند.
پاسخ. پایه های مثلث 9 و 40 سانتی متر است.
وظیفه یافتن ضلع از طریق مساحت، ضلع و زاویه یک مثلث
وضعیت. مساحت یک مثلث 60 سانتی متر مربع است. اگر ضلع دوم 15 سانتی متر و زاویه بین آنها 30 درجه باشد، باید یکی از اضلاع آن را محاسبه کرد.
راه حل. بر اساس نامگذاری های پذیرفته شده، طرف مورد نظر "a"، شناخته شده "b"، زاویه از پیش تعیین شده"γ". سپس فرمول مساحت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. در اینجا سینوس 30 درجه 0.5 است.
پس از تبدیل، "a" برابر با 60 / (0.5 * 0.5 * 15) می شود. یعنی 16.
پاسخ. ضلع مورد نظر 16 سانتی متر است.
مسئله مربع محاط شده در مثلث قائم الزاویه
وضعیت. راس مربعی با ضلع 24 سانتی متر با زاویه قائم مثلث منطبق است. دو نفر دیگر روی پاها دراز می کشند. سومی متعلق به هیپوتنوز است. طول یکی از پاها 42 سانتی متر است مساحت مثلث قائم الزاویه چقدر است؟
راه حل. دو را در نظر بگیرید راست گوشه. اولین مورد در کار مشخص شده است. مورد دوم بر اساس پایه شناخته شده مثلث اصلی است. شبیه هم هستند چون زاویه مشترکی دارند و از خطوط موازی تشکیل شده اند.
سپس نسبت پاهای آنها برابر است. پایه های مثلث کوچکتر 24 سانتی متر (ضلع مربع) و 18 سانتی متر (پایه داده شده 42 سانتی متر منهای ضلع مربع 24 سانتی متر) است. پایه های مربوط به مثلث بزرگ 42 سانتی متر و x سانتی متر است. این "x" است که برای محاسبه مساحت مثلث مورد نیاز است.
18/42 \u003d 24 / x ، یعنی x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (سانتی متر).
سپس مساحت برابر حاصلضرب 56 و 42 تقسیم بر دو یعنی 1176 سانتی متر مربع است.
پاسخ. مساحت مورد نظر 1176 سانتی متر مربع است.
گاهی اوقات در زندگی موقعیت هایی پیش می آید که در جستجوی دانش مدرسه ای که مدت هاست فراموش شده باید در حافظه خود غوطه ور شوید. به عنوان مثال، شما باید مساحت یک قطعه زمین را به شکل مثلثی تعیین کنید، یا نوبت تعمیر بعدی در یک آپارتمان یا یک خانه خصوصی رسیده است، و باید محاسبه کنید که چقدر مواد مصرف می شود. برای سطحی با شکل مثلثی زمانی بود که می‌توانستید چنین مشکلی را در چند دقیقه حل کنید، و اکنون ناامیدانه سعی می‌کنید به یاد بیاورید که چگونه مساحت یک مثلث را تعیین کنید؟
شما لازم نیست نگران این باشید! از این گذشته، زمانی که مغز انسان تصمیم می‌گیرد دانشی را که مدت‌ها استفاده نشده است، به جایی در گوشه‌ای دورافتاده منتقل کند، کاملاً طبیعی است، جایی که گاهی استخراج آن آسان نیست. برای اینکه برای حل چنین مشکلی نیازی به جستجوی دانش فراموش شده مدرسه نداشته باشید، این مقاله حاوی است روش های مختلفکه یافتن ناحیه مورد نظر مثلث را آسان می کند.
به خوبی شناخته شده است که مثلث نوعی چندضلعی است که با حداقل تعداد ممکن اضلاع محدود می شود. در اصل، هر چند ضلعی را می توان با اتصال رئوس آن با قطعاتی که اضلاع آن را قطع نمی کنند به چندین مثلث تقسیم کرد. بنابراین، با دانستن مثلث، می توانید مساحت تقریباً هر رقمی را محاسبه کنید.
در میان تمام مثلث های ممکن که در زندگی رخ می دهد، انواع خاص زیر را می توان تشخیص داد: و مستطیل.
ساده ترین راه برای محاسبه مساحت مثلث زمانی است که یکی از گوشه های آن راست باشد، یعنی در مورد مثلث قائم الزاویه. به راحتی می توان فهمید که نیمی از مستطیل است. بنابراین مساحت آن برابر با نصف حاصلضرب اضلاعی است که بین آنها زاویه قائمه تشکیل می دهند.
اگر ارتفاع مثلث را که از یکی از رئوس آن به ضلع مقابل پایین آمده و طول این ضلع را که قاعده نامیده می شود بدانیم، مساحت نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده محاسبه می شود. این با استفاده از فرمول زیر نوشته شده است:
S = 1/2*b*h، که در آن
S ناحیه مورد نظر مثلث است.
b، h - به ترتیب، ارتفاع و پایه مثلث.
محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین بسیار آسان است، زیرا ارتفاع ضلع مقابل را نصف می کند و به راحتی قابل اندازه گیری است. اگر مساحت تعیین شده باشد، راحت است که طول یکی از اضلاع را که یک زاویه قائم را تشکیل می دهد به عنوان ارتفاع در نظر بگیرید.
همه اینها مطمئناً خوب است، اما چگونه می توان تشخیص داد که یکی از گوشه های مثلث قائم است یا خیر؟ اگر اندازه شکل ما کوچک است، می توانید از یک زاویه ساختمان، یک مثلث طراحی، یک کارت پستال یا شی دیگری با شکل مستطیلی استفاده کنید.
اما اگر یک زمین مثلثی داشته باشیم چه؟ در این صورت به صورت زیر عمل کنید: از بالای پیشنهادی بشمارید زاویه راستدر یک طرف، مضرب فاصله 3 (30 سانتی متر، 90 سانتی متر، 3 متر) و در طرف دیگر، مضرب فاصله 4 (40 سانتی متر، 160 سانتی متر، 4 متر) به همین نسبت اندازه گیری می شود. اکنون باید فاصله بین نقاط انتهایی این دو بخش را اندازه گیری کنید. اگر مقدار مضرب 5 باشد (50 سانتی متر، 250 سانتی متر، 5 متر)، آنگاه می توان استدلال کرد که زاویه راست است.
اگر مقدار طول هر یک از سه ضلع شکل ما مشخص باشد، مساحت مثلث را می توان با استفاده از فرمول هرون تعیین کرد. برای اینکه شکل ساده تری داشته باشد از مقدار جدیدی استفاده می شود که به آن نیم محیط می گویند. این مجموع تمام اضلاع مثلث ما است که به نصف تقسیم شده است. پس از محاسبه نیم محیط، می توانید با استفاده از فرمول شروع به تعیین مساحت کنید:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))، که در آن
sqrt - ریشه مربع؛
p مقدار نیم محیط است (p =(a+b+c)/2).
a، b، c - لبه های (اضلاع) مثلث.
اما اگر مثلث داشته باشد شکل نامنظم? در اینجا دو راه ممکن وجود دارد. اولین مورد این است که سعی کنید چنین شکلی را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم کنید که مجموع مساحت آنها جداگانه محاسبه شده و سپس اضافه می شود. یا اگر زاویه بین دو ضلع و اندازه این ضلع ها مشخص است، فرمول را اعمال کنید:
S = 0.5 * ab * sinC، که در آن
a,b - اضلاع مثلث؛
c زاویه بین این اضلاع است.
مورد دوم در عمل نادر است، اما با این وجود، همه چیز در زندگی امکان پذیر است، بنابراین فرمول فوق اضافی نخواهد بود. در محاسبات خود موفق باشید!
مفهوم منطقه
مفهوم مساحت هر شکل هندسی، به ویژه یک مثلث، با شکلی به عنوان مربع همراه خواهد بود. برای واحد مساحت هر شکل هندسی، مساحت مربعی را می گیریم که ضلع آن برابر با یک است. برای کامل بودن، ما دو ویژگی اساسی را برای مفهوم مناطق اشکال هندسی به یاد می آوریم.
خاصیت 1:اگر یک اشکال هندسیمساوی هستند، مساحت آنها نیز برابر است.
خاصیت 2:هر شکلی را می توان به چند شکل تقسیم کرد. علاوه بر این، مساحت شکل اصلی برابر است با مجموع مقادیر مساحت تمام ارقام تشکیل دهنده آن.
یک مثال را در نظر بگیرید.
مثال 1
واضح است که یکی از اضلاع مثلث، مورب مستطیل است که یک ضلع آن به طول $5$ (از سلولهای $5$) و دیگری $6$ (از سلولهای $6$) است. بنابراین مساحت این مثلث برابر با نصف چنین مستطیلی خواهد بود. مساحت مستطیل است
سپس مساحت مثلث است
پاسخ: 15 دلار
در مرحله بعد چندین روش برای یافتن مساحت مثلث ها در نظر بگیرید، یعنی با استفاده از ارتفاع و قاعده، با استفاده از فرمول هرون و مساحت مثلث متساوی الاضلاع.
نحوه پیدا کردن مساحت مثلث با استفاده از ارتفاع و پایه
قضیه 1
مساحت یک مثلث را می توان نصف حاصلضرب طول یک ضلع ضربدر ارتفاع کشیده شده به آن ضلع یافت.
از نظر ریاضی به این شکل است
$S=\frac(1)(2)αh$
که $a$ طول ضلع است، $h$ ارتفاع کشیده شده به آن است.
اثبات
مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید که $AC=α$ است. ارتفاع $BH$ به این سمت کشیده شده و برابر است با $h$. بیایید آن را مانند شکل 2 تا مربع $AXYC$ بسازیم.
مساحت مستطیل $AXBH$ $h\cdot AH$ و مساحت مستطیل $HBYC$ $h\cdot HC$ است. سپس
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
بنابراین مساحت مورد نظر مثلث با توجه به خاصیت 2 برابر است
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
قضیه ثابت شده است.
مثال 2
اگر مساحت سلول برابر با یک باشد، در شکل زیر مساحت مثلث را پیدا کنید
پایه این مثلث 9 دلار است (چون 9 دلار سلول های 9 دلار است). ارتفاع آن نیز 9 دلار است. سپس با قضیه 1 به دست می آوریم
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
پاسخ: 40.5 دلار.
فرمول هرون
قضیه 2
اگر سه ضلع مثلث $α$، $β$ و $γ$ به ما داده شود، مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
در اینجا $ρ$ به معنای نیم محیط این مثلث است.
اثبات
شکل زیر را در نظر بگیرید:
با قضیه فیثاغورث از مثلث $ABH$ بدست می آوریم
از مثلث $CBH$، با قضیه فیثاغورث، داریم
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
از این دو رابطه برابری را بدست می آوریم
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
از آنجایی که $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$، پس $α+β+γ=2ρ$، بنابراین
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
با قضیه 1 دریافت می کنیم
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
بارگذاری...