تعداد دوره هایی که برای آنها ضریب همبستگی محاسبه می شود. ضریب خود همبستگی، ویژگی های آن

هنگام پردازش سری های زمانی، باید حضور را در نظر گرفت خود همبستگیو خودرگرسیون، که در آن مقادیر سطح بعدی سری به مقادیر قبلی بستگی دارد.

خود همبستگی- پدیده رابطه بین سری: سری اصلی و همان سری نسبت به موقعیت اصلی با نقاط h در زمان جابجا شدند.

از نظر کمی، خودهمبستگی را می توان با استفاده از یک ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح این سری اندازه گیری کرد که چندین مرحله در زمان جابجا شده است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی به صورت زیر است:

این مقدار نامیده می شود ضریب خود همبستگیسطوح سری مرتبه اول، زیرا وابستگی بین سطوح مجاور سری و .

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب خود همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و با فرمول تعیین می شود:

جایی که

جابجایی بین سطوح مجاور یا جابجایی با هر تعداد دوره زمانی نامیده می شود اختلاف زمانی . با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از قابلیت اطمینان آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب در نظر گرفته می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از .

ویژگی های ضریب همبستگی.

1. ضریب همبستگی بر اساس قیاس با ساخته شده است ضریب خطیهمبستگی و بنابراین نزدیکی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد. برای برخی از سری‌های زمانی با روند غیرخطی قوی (مثلاً سهمی مرتبه دوم یا نمایی)، ضریب همبستگی سطوح سری اصلی ممکن است به صفر نزدیک شود.

2. با علامت ضریب خود همبستگی نمی توان در مورد روند افزایشی یا کاهشی سطوح سری نتیجه گیری کرد. بیشتر سری‌های زمانی داده‌های اقتصادی حاوی یک خودهمبستگی مثبت سطوح هستند، با این حال، ممکن است روند کاهشی داشته باشند.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. سفارشات نامیده می شود تابع همبستگی خودکارسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. همبستگی.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است، و در نتیجه تاخیری که در آن رابطه بین سطوح فعلی و قبلی سری نزدیک ترین است، تعیین کنیم. با استفاده از تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خودهمبستگی ترتیب بالاترین باشد، آنگاه سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب در نقاط زمانی است. اگر هیچ یک از ضرایب خودهمبستگی معنی دار نباشد، می توان یکی از دو فرض را در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا این سری حاوی یک روند غیرخطی قوی است که برای آن نیاز دارید. برای انجام تجزیه و تحلیل اضافی. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

مثال 3

اجازه دهید برخی از داده های مشروط (جدول 11) در مورد مقدار کل دریافت شده وجود داشته باشد محصولات قابل فروشبه انبار شرکت

جدول 11 - تعداد کل محصولات تجاری دریافتی در انبار.

در صورت وجود یک روند و نوسانات چرخه ای، هر سطح بعدی از سری به سطح قبلی بستگی دارد. بیان کمی درجه ارتباط بین سطوح یک سری برای یک یا چند دوره زمانی نامیده می شود. ضریب خود همبستگی آنها در رتبه های اول، دوم، سوم و غیره قرار می گیرند. سفارش.

ضریب همبستگی خود سفتی اتصال بین سطوح سری را نشان می دهد که 1 یا چند مرحله جابجا شده است.

فرض کنید مقادیر y t در سال جاری به مقادیر سال قبل بستگی دارد، می توان مقادیر سال قبل را با استفاده از ضریب همبستگی محاسبه کرد:

n - تعداد داده ها

r 1 - ضریب خود همبستگی مرتبه اول

خودهمبستگی اطلاعاتی در مورد وجود عاملی که روند سری را تشکیل می دهد، ارائه می دهد.

مقادیر به‌دست‌آمده از ضریب همبستگی مرتبه 1 و 2 نشان‌دهنده تنگی رابطه بین سطوح فعلی سری و سطوح تعدادی از دوره‌های قبلی است و همچنین نشان‌دهنده روند خطی است. دوره هایی که ضریب خودهمبستگی برای آنها محاسبه می شود، تاخیر نامیده می شوند. برای معنی دار بودن آماری ضریب همبستگی، حداکثر تاخیر می تواند n/4 باشد.

ویژگی های ضریب همبستگی:

فقط تنگی رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند

در مورد روند غیر خطی، ضریب همبستگی می تواند صفر باشد

با علامت ضریب همبستگی، نمی توان در مورد روند افزایشی یا کاهشی نتیجه گیری کرد.

22. تابع همبستگی.

دنباله ضرایب خود همبستگی را تابع خود همبستگی می نامند. نمودار وابستگی مقادیر آن به بزرگی ضرایب خود همبستگی (ترتیب ضرایب خودهمبستگی) همبستگی نامیده می شود. تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی به شما امکان می دهد ساختار سری های زمانی را تعیین کنید. اگر ضریب خودهمبستگی مرتبه 1 بالاترین باشد، به این معنی است که سری زمانی حاوی روند T است، اگر ضریب خود همبستگی مرتبه τ بالاترین باشد، به این معنی است که سری زمانی شامل یک جزء فصلی یا چرخه ای S با یک فرکانس نقاط زمانی τ.

اگر هیچ یک از ضرایب خودهمبستگی معنی دار نبود، این بدان معناست که این سری نه روندی دارد و نه نوسانات فصلی یا چرخه ای و نیاز به تحقیقات بیشتری دارد. در این حالت، یک جزء تصادفی یا تداخل عمل می کند یا یک وابستگی غیر خطی رخ می دهد.

تجزیه و تحلیل تابع همبستگی به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که در سری زمانی مورد مطالعه تمایل T (افزایش یا کاهش)، نوسانات فصلی با فرکانس محاسبه شده وجود دارد.

23. تعیین روند سری زمانی.

یکی از متداول ترین روش ها ساخت یک تابع تحلیلی است که وابستگی سطوح سری به زمان را مشخص می کند. چنین تابع تحلیلی روند T نامیده می شود.

به تعریف تابع تحلیلی، مسطح سازی سری های زمانی می گویند.

برای ایجاد یک روند، اغلب از توابع (ابتدایی) زیر استفاده می شود:

خطی y t = a + bt T = a + bt - روند خطی

غیر خطی:

الف) چند جمله ای y t =a+bt+ct 2 +…+kt n

ب) قدرت

ج) نمونه

a، b، c - پارامترهای خط روند

در صورت وجود دامنه وسیعی از نوسانات در سطوح سری، لازم است روشی به نام هموارسازی سطوح سری زمانی انجام شود.

24. مدل سری زمانی افزایشی.

برای شناسایی ساختار سری های زمانی، به عنوان مثال. برای تعیین مقادیر کمی اجزای تشکیل دهنده سطوح سری، اغلب از مدل های افزایشی یا ضربی سری های زمانی استفاده می شود.

مدل افزودنی: Y=T+S+E،

جزء T-Trend

جزء S-فصلی

جزء تصادفی الکترونیکی

اگر دامنه نوسانات فصلی عملاً تغییر نکند از مدل سری زمانی افزایشی استفاده می شود. فرض بر این است که تمام اجزای فصلی برای انواع مختلف ثابت هستند.

الگوریتم ساخت مدل فرآیند ساخت مدل شامل مراحل زیر است:

تراز کردن سطوح سری اصلی با استفاده از روش میانگین متحرک.

محاسبه مقادیر مولفه فصلی S

حذف مولفه فصلی از سطح اصلی سری و به دست آوردن داده های یکسان شده بدون S

تراز تحلیلی سطوح سری و محاسبه مقادیر فاکتور T

محاسبه مقادیر به دست آمده (T * S) برای هر سطح از سری

محاسبه مطلق یا خطاهای نسبیمدل ها.

(یا 4. تعیین روند سری زمانی و معادله روند؛ 5. محاسبه خطاهای مطلق یا نسبی مدل.)

مقدمه

1. ماهیت و علل خودهمبستگی

2. تشخیص خودهمبستگی

3. پیامدهای خودهمبستگی

4. روش های حذف

4.1 تعریف

بر اساس آمار دوربین واتسون

نتیجه

فهرست ادبیات استفاده شده

مقدمه

مدل‌هایی که بر اساس داده‌هایی که یک شی را برای چند لحظه (دوره) متوالی مشخص می‌کنند، مدل‌های سری زمانی نامیده می‌شوند. سری زمانی مجموعه ای از مقادیر یک شاخص برای چند لحظه یا دوره متوالی است. استفاده از روش‌های سنتی تحلیل همبستگی و رگرسیون برای بررسی روابط علت و معلولی متغیرهای ارائه‌شده در قالب سری‌های زمانی می‌تواند منجر به تعدادی مشکلات جدی شود که هم در مرحله ساخت و هم در مرحله تحلیل ایجاد می‌شوند. مدل های اقتصاد سنجی اول از همه، این مشکلات به ویژگی های سری های زمانی به عنوان منبع داده در مدل سازی اقتصاد سنجی مربوط می شود.

فرض بر این است که در مورد کلیهر سطح از سری زمانی شامل سه جزء اصلی است: یک روند (T)، نوسانات دوره ای یا فصلی (S) و یک جزء تصادفی (E). اگر سری های زمانی حاوی نوسانات فصلی یا چرخه ای باشد، قبل از مطالعه بیشتر رابطه، لازم است مولفه فصلی یا چرخه ای از سطوح هر سری حذف شود، زیرا وجود آن منجر به تخمین بیش از حد شاخص های واقعی قدرت می شود. و اتصال سری زمانی مورد مطالعه در صورتی که هر دو سری دارای نوسانات ادواری با تناوب یکسان باشند یا دست کم گرفتن این شاخص ها در صورتی که فقط یکی از سری ها دارای نوسانات فصلی یا چرخه ای باشد یا فراوانی نوسانات در سری زمانی در نظر گرفته شده متفاوت باشد. حذف مولفه فصلی از سطوح سری های زمانی می تواند مطابق با روش ساخت مدل های افزایشی و ضربی انجام شود. اگر سری های زمانی مورد نظر روند داشته باشند، مقدار مطلق ضریب همبستگی بالا خواهد بود، که در این حالت نتیجه وابسته بودن یا روند بودن x و y به زمان است. برای به دست آوردن ضرایب همبستگی که رابطه علی بین سری های مورد مطالعه را مشخص می کند، باید از شر همبستگی کاذب ناشی از وجود یک روند در هر سری خلاص شد. تأثیر عامل زمان در همبستگی بین مقادیر باقیمانده ها بیان می شود

برای نقاط فعلی و قبلی در زمان، که به آن "خودهمبستگی در باقیمانده ها" می گویند.

1. ماهیت و علل خودهمبستگی

خودهمبستگی رابطه عناصر متوالی یک سری داده زمانی یا مکانی است. در مطالعات اقتصادسنجی، اغلب موقعیت‌هایی ایجاد می‌شود که واریانس باقیمانده‌ها ثابت است، اما کوواریانس آنها مشاهده می‌شود. این پدیده خودهمبستگی باقیمانده نامیده می شود.

خود همبستگی باقیمانده ها اغلب زمانی مشاهده می شود که مدل اقتصاد سنجی بر اساس سری های زمانی ساخته شود. اگر بین مقادیر متوالی یک متغیر مستقل همبستگی وجود داشته باشد، بین مقادیر متوالی باقیمانده ها همبستگی وجود خواهد داشت. خودهمبستگی همچنین ممکن است به دلیل مشخصات اشتباه مدل اقتصادسنجی باشد. علاوه بر این، وجود خود همبستگی در باقیمانده‌ها ممکن است به این معنی باشد که یک متغیر مستقل جدید باید به مدل معرفی شود.

خودهمبستگی در باقیمانده ها نقض یکی از پیش نیازهای اصلی حداقل مربعات است - فرض تصادفی بودن باقیمانده ها به دست آمده از معادله رگرسیون. یکی از راه های ممکن برای حل این مشکل، استفاده از روش حداقل مربعات تعمیم یافته برای تخمین پارامترهای مدل است.

از جمله دلایل اصلی ظهور خودهمبستگی می توان به خطاهای مشخصات، اینرسی در تغییر شاخص های اقتصادی، اثر وب و هموارسازی داده ها اشاره کرد.

خطاهای مشخصات در نظر نگرفتن هر متغیر توضیحی مهم در مدل یا انتخاب اشتباه شکل وابستگی معمولاً منجر به انحراف سیستمیک نقاط مشاهده از خط رگرسیون می شود که می تواند منجر به همبستگی خودکار شود.

اینرسی. زیاد نشانگرهای اقتصادی(به عنوان مثال، تورم، بیکاری، تولید ناخالص ملی، و غیره) دارای چرخه خاصی هستند که با نوسان فعالیت های تجاری مرتبط است. در واقع، بهبود اقتصادی منجر به افزایش اشتغال، کاهش تورم، افزایش تولید ناخالص داخلی و غیره می شود. این رشد تا زمانی ادامه می یابد که تغییر در شرایط بازار و تعدادی از ویژگی های اقتصادی منجر به کاهش رشد و سپس توقف و معکوس شدن شاخص های مورد نظر شود. در هر صورت، این دگرگونی فورا رخ نمی دهد، بلکه دارای اینرسی خاصی است.

اثر وب. در بسیاری از حوزه های صنعتی و سایر حوزه ها، شاخص های اقتصادی نسبت به تغییرات شرایط اقتصادی با تاخیر (تأخیر زمانی) واکنش نشان می دهند. به عنوان مثال، عرضه محصولات کشاورزی به تغییرات قیمت با تاخیر (برابر با دوره رسیدن محصول) واکنش نشان می دهد. گرانی محصولات کشاورزی در سال گذشته (به احتمال زیاد) باعث تولید مازاد آن در سال جاری و در نتیجه کاهش قیمت و ... خواهد شد.

هموارسازی داده ها اغلب، داده ها برای یک دوره زمانی طولانی با میانگین گیری داده ها در بازه های فرعی تشکیل دهنده آن به دست می آیند. این می تواند منجر به هموارسازی خاصی از نوسانات موجود در دوره مورد بررسی شود که به نوبه خود می تواند باعث همبستگی خودکار شود.

2. تشخیص خود همبستگی

با توجه به مجهول بودن مقادیر پارامترهای معادله رگرسیون، مقادیر واقعی انحرافات نیز ناشناخته خواهند بود.

,t=1,2…T. بنابراین، نتیجه گیری در مورد استقلال آنها بر اساس برآورد t=1،2…T حاصل از معادله رگرسیون تجربی انجام می شود. روش های ممکن برای تعیین خودهمبستگی را در نظر بگیرید.

2.1.روش گرافیکی

چندین گزینه برای تعریف گرافیکی همبستگی وجود دارد. یکی از آنها نشان دهنده انحراف است

با لحظه های t دریافت آنها (شماره سریال i) در شکل نشان داده شده است. 2.1 اینها به اصطلاح نمودارهای زمان متوالی هستند. در این مورد، آبسیسا معمولاً یا زمان (لحظه) به دست آوردن داده های آماری، یا شماره سریال مشاهده، و ترتیب - انحرافات (یا برآورد انحرافات) را نشان می دهد.

شکل 2.1.

طبیعی است که فرض کنیم در شکل 2.1. الف-د ارتباطات خاصی بین انحرافات وجود دارد، یعنی. خودهمبستگی صورت می گیرد. عدم وجود وابستگی در شکل. داحتمالاً نشان دهنده فقدان خودهمبستگی است.

به عنوان مثال، در شکل. 2.1.b، انحرافات در ابتدا عمدتاً منفی، سپس مثبت و سپس دوباره منفی هستند. این نشان دهنده وجود رابطه خاصی بین انحرافات است.

2.2. روش سری

این روش بسیار ساده است: علائم انحراف به ترتیب مشخص می شود

,t=1,2…T. مثلا،

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),

آن ها 5 «-»، 7 «+»، 3 «-»، 4 «+»، 1 «-» در 20 مشاهده.

یک ردیف به عنوان یک دنباله پیوسته از کاراکترهای یکسان تعریف می شود. به تعداد کاراکترهای یک ردیف، طول سطر می گویند.

توزیع بصری علائم نشان دهنده ماهیت غیر تصادفی روابط بین انحرافات است. اگر تعداد سطرها در مقایسه با تعداد مشاهدات n خیلی کم باشد، یک خودهمبستگی مثبت کاملا محتمل است. اگر تعداد ردیف‌ها خیلی زیاد باشد، احتمال همبستگی خودکار منفی وجود دارد.

2.3 آزمون دوربین واتسون

شناخته شده ترین معیار برای تشخیص خودهمبستگی مرتبه اول، معیار است دوربین واتسونو محاسبه مقدار

(2.3.1)

با توجه به (2.3.1)، کمیت دنسبت مجموع مجذورات تفاوت مقادیر متوالی باقیمانده ها به مجموع باقیمانده مربع ها طبق مدل رگرسیون است. مقدار معیار دوربین واتسون همراه با ضریب تعیین، مقادیر نشان داده شده است. t-و F-شاخص.

سری زمانیاست غیر ثابت، اگر شامل مولفه های سیستماتیک مانند روند و چرخه باشد.

سری های زمانی غیر ثابت با این واقعیت مشخص می شوند که مقادیر هر سطح بعدی از سری زمانی با مقادیر قبلی همبستگی دارند.

خود همبستگی سطوح سری زمانیوابستگی همبستگی بین مقادیر حال و گذشته سطوح سری داده شده نامیده می شود.

لاگوملمقدار جابجایی بین سری مشاهدات است.

تاخیر سری زمانی ترتیب ضریب خودهمبستگی را تعیین می کند. به عنوان مثال، اگر سطوح سری زمانی x tو x t–1همبستگی دارند، سپس مقدار تاخیر زمانی برابر با یک است. بنابراین، این وابستگی همبستگی توسط ضریب همبستگی مرتبه اول بین سری مشاهدات تعیین می شود. x 1 … x n–1و x 2 … x n. .اگر فاصله بین سری مشاهدات برابر با دو باشد، این وابستگی همبستگی با ضریب خودهمبستگی مرتبه دوم و غیره تعیین می شود.

با افزایش مقدار تاخیر یک عدد، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی یک عدد کاهش می یابد. بنابراین، حداکثر ترتیب ضریب همبستگی توصیه می‌شود که برابر باشد n/4، جایی که nتعداد سطوح در سری زمانی است.

خود همبستگی بین سطوح سری های زمانی با استفاده از ضریب خود همبستگی نمونه تخمین زده می شود که با فرمول محاسبه می شود:

جایی که x t *x t-lحاصل ضرب میانگین حسابی دو سری از مشاهدات است که با تاخیر انجام شده است ل:

x t x 1+l، x 2+l،…،x n:

x t-l- مقدار میانگین سطح سری x 1، x 2،…، x n–l:

G(x t)، G(x t–l)- متوسط انحراف معیاربرای یک سری مشاهدات محاسبه می شود x 1+l، x 2+l،…،x nو x 1، x 2،…، x n–lبه ترتیب.

ساختار سری های زمانی را می توان با محاسبه چندین ضریب همبستگی متوالی تعیین کرد. در نتیجه این محاسبات، می توان تاخیر را شناسایی کرد ل، که مقدار ضریب همبستگی خود نمونه برای آن است r lبزرگترین است.

تجزیه و تحلیل ساختار سری زمانی با استفاده از ضرایب خود همبستگی بر اساس قوانین زیر است:

1) سری زمانی مورد مطالعه فقط شامل یک جزء روند است، اگر مقدار ضریب خود همبستگی مرتبه اول بزرگترین باشد. r l–1;

2) سری زمانی مورد مطالعه شامل یک جزء روند و نوسانات با دوره l است، اگر ضریب خودهمبستگی مرتبه l بزرگترین باشد. این نوسانات می تواند هم دوره ای و هم فصلی باشد.

3) اگر هیچ یک از ضرایب خودهمبستگی وجود نداشته باشد r l(ل=1،L) مهم نیست، سپس یکی از دو نتیجه ممکن گرفته می شود:

الف) این سری زمانی شامل مولفه‌های روند و چرخه‌ای نیست و نوسانات آن ناشی از تأثیر یک مؤلفه تصادفی است، یعنی سری مدلی از یک روند تصادفی است.

ب) این سری زمانی حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای شناسایی آن لازم است تحلیل اضافی آن انجام شود.

یک روش گرافیکی برای تجزیه و تحلیل ساختار یک سری زمانی ترسیم توابع خودهمبستگی و خودهمبستگی جزئی است.

تابع خودهمبستگیتابع تخمین ضریب خودهمبستگی بسته به مقدار فاصله زمانی بین سری های مورد مطالعه است.

نمودار تابع خودهمبستگی یک همبستگی است.

تابع خودهمبستگی جزئی از این جهت با تابع خودهمبستگی متفاوت است که ساخت آن وابستگی همبستگی بین مشاهدات درون تاخیرها را حذف می کند.

1. با قیاس با ضریب همبستگی خطی ساخته شده است و بنابراین نزدیکی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. سفارشات نامیده می شود تابع همبستگی خودکارسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. همبستگی.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خود همبستگی مرتبه 2 بالاترین باشد، این سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب 2 نقطه در زمان است. اگر هیچ یک از ضرایب خود همبستگی معنی دار نباشد، یکی از دو فرض را می توان در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا سری حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای آن تحلیل بیشتر لازم است. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

در نظر گرفتن مثال. اجازه دهید برخی از داده های مشروط در مورد تعداد کل تخلفات در گمرکات یکی از نهادهای تشکیل دهنده فدراسیون روسیه (به عنوان مثال، جمهوری تاتارستان) وجود داشته باشد.

جدول 4.1

سال	ربع	تعداد پرونده های آغاز شده
	من
II
III
IV
	من
II
III
IV
	من
II
III
IV
	من
II
III
IV

بیایید فیلد همبستگی را بسازیم:

در حال حاضر بر اساس نمودار، می توان مشاهده کرد که مقادیر یک شکل دندانه اره را تشکیل می دهند. بیایید چندین ضریب همبستگی متوالی را محاسبه کنیم. برای این کار اولین جدول کمکی را جمع آوری می کنیم.

جدول 4.2



		–	–	–	–	–	–
			-328,33	-288,13	94601,72	107800,59	83018,90
			169,67	-292,13	-49565,70	28787,91	85339,94
			315,67	205,87	64986,98	99647,55	42382,46
			-342,33	351,87	-120455,66	117189,83	123812,50
			-228,33	-306,13	69898,66	52134,59	93715,58
			292,67	-192,13	-56230,69	85655,73	36913,94
			320,67	328,87	105458,74	102829,25	108155,48
			-309,33	356,87	-110390,60	95685,05	127356,20
			-344,33	-273,13	94046,85	118563,15	74600,00
			292,67	-308,13	-90180,41	85655,73	94944,10
			205,67	328,87	67638,69	42300,15	108155,48

			-238,33	241,87	-57644,88	56801,19	58501,10
			-245,33	-202,13	49588,55	60186,81	40856,54
			220,67	-209,13	-46148,72	48695,25	43735,36
			227,67	256,87	58481,59	51833,63	65982,20
مجموع			9,05	0,05	74085,16	1153766,39	1187469,73
منظور داشتن	699,33	663,13	–	–	–	–	–

لازم به ذکر است که مقدار متوسط از تقسیم نه بر 16، بلکه بر 15 به دست می آید، زیرا ما اکنون یک مشاهده کمتر داریم.

اکنون ضریب خودهمبستگی مرتبه اول را با استفاده از فرمول (4.1) محاسبه می کنیم:

ما یک جدول کمکی برای محاسبه ضریب خودهمبستگی مرتبه دوم تهیه می کنیم.

جدول 4.3



		–	–	–	–	–	–
		–	–	–	–	–	–
			145,57	-269,79	-39273,33	21190,62	72786,64
			291,57	-273,79	-79828,95	85013,06	74960,96
			-366,43	224,21	-82157,27	134270,94	50270,12
			-252,43	370,21	-93452,11	63720,90	137055,44
			268,57	-287,79	-77291,76	72129,84	82823,08
			296,57	-173,79	-51540,90	87953,76	30202,96
			-333,43	347,21	-115770,23	111175,56	120554,78
			-368,43	375,21	-138238,62	135740,66	140782,54
			268,57	-254,79	-68428,95	72129,84	64917,94
			181,57	-289,79	-52617,17	32967,66	83978,24
			-262,43	347,21	-91118,32	68869,50	120554,78
			-269,43	260,21	-70108,38	72592,52	67709,24
			196,57	-183,79	-36127,60	38639,76	33778,76
			203,57	-190,79	-38839,12	41440,74	36400,82
مجموع			-0,02	-0,06	-1034792,71	1037835,43	1116776,36
منظور داشتن	723,43	644,79	–	–	–	–	–