Свойството на частичните степени е пример за решение. Степен и неговите свойства

Урок на тема: "Правила за умножение и деление на степени с еднакви и различни степени. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство към учебника A.G. Мордкович

Целта на урока: да научите как да извършвате операции със степен на число.

Като начало, нека си припомним понятието "степен на число". Израз като $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да бъде представен като $a^n$.

Обратното също е вярно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Това равенство се нарича "записване на степента като произведение". Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме правомощията.
Помня:
а- основата на степента.
н- експонента.
Ако n=1, което означава числото авзети веднъж и съответно: $a^n= 1$.
Ако n=0, тогава $a^0= 1$.

Защо се случва това, можем да разберем, когато се запознаем с правилата за умножение и деление на степени.

правила за умножение

а) Ако степените с еднаква основа се умножат.
Към $a^n * a^m$ записваме степените като произведение: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Фигурата показва, че броят аса взели n+mпъти, тогава $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно да се използва за опростяване на работата при повишаване на число до голяма степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ако степените на c се умножат различни основания, но със същия резултат.
Към $a^n * b^n$ записваме степените като произведение: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Така $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

правила за разделяне

а) Основата на степента е една и съща, показателите са различни.
Помислете за разделяне на степен с по-голям показател, като разделите степен с по-малък показател.

Така че е необходимо $\frac(a^n)(a^m)$, където n>m.

Записваме градусите като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

За удобство записваме делението като проста дроб.

Сега нека намалим дробта.

Оказва се: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
означава, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на число на степен нула. Да приемем, че n=m, тогава $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да кажем, че имате нужда от $\frac(a^n)( b^n)$. Записваме степените на числата като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Нека си представим за по-удобно.

Използвайки свойството на дробите, ние разделяме голяма фракция на произведение от малки, получаваме.
$\под скоба(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Съответно: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Пример.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Понятието степен по математика се въвежда още в 7 клас в час по алгебра. И в бъдеще, през целия курс на изучаване на математика, това понятие се използва активно в различните му форми. Градусите са доста трудна тема, изискваща запомняне на стойности и способност за правилно и бързо броене. За по-бърза и по-добра работа с математически степени те излязоха със свойствата на степента. Те помагат да се намалят големите изчисления, да се преобразува до известна степен огромен пример в едно число. Няма толкова много свойства и всички те са лесни за запомняне и прилагане на практика. Следователно в статията се разглеждат основните свойства на степента, както и къде се прилагат.

степенни свойства

Ще разгледаме 12 свойства на степен, включително свойства на степени с същите основания, като за всеки имот даваме пример. Всяко от тези свойства ще ви помогне да решавате по-бързо задачи с градуси, както и ще ви предпази от множество изчислителни грешки.

1-ви имот.

Много хора много често забравят за това свойство, правят грешки, представяйки число до нулева степен като нула.

2-ри имот.

3-ти имот.

Трябва да се помни, че това свойство може да се използва само при умножаване на числа, то не работи със сумата! И не трябва да забравяме, че това и следващите свойства се отнасят само за степени с една и съща основа.

4-ти имот.

Ако числото в знаменателя се повдигне до отрицателна степен, тогава при изваждане степента на знаменателя се взема в скоби, за да се замени правилно знакът при по-нататъшни изчисления.

Свойството работи само при деление, не и при изваждане!

5-ти имот.

6-ти имот.

Това свойство може да се приложи и обратно. Единица, разделена на число до известна степен, е това число на отрицателна степен.

7-ми имот.

Това свойство не може да се приложи към сбор и разлика! При повдигане на сбор или разлика на степен се използват съкратени формули за умножение, а не свойствата на степента.

8-ми имот.

9-ти имот.

Това свойство работи за всяка дробна степен с числител, равен на едно, формулата ще бъде същата, само степента на корена ще се променя в зависимост от знаменателя на степента.

Освен това това свойство често се използва в обратен ред. Коренът на всяка степен на число може да бъде представен като това число на степен едно, разделено на степента на корена. Това свойство е много полезно в случаите, когато коренът на числото не е извлечен.

10-ти имот.

Този имот работи не само с корен квадратени втора степен. Ако степента на корена и степента, до която този корен е повдигнат, са еднакви, тогава отговорът ще бъде радикален израз.

11-ти имот.

Трябва да можете да видите това свойство навреме, когато го решавате, за да си спестите огромни изчисления.

12-ти имот.

Всяко от тези свойства ще ви срещне повече от веднъж в задачи, може да бъде дадено в чист вид или може да изисква някои трансформации и използване на други формули. Следователно за правилното решение не е достатъчно да знаете само свойствата, трябва да практикувате и да свързвате останалите математически знания.

Приложение на степени и техните свойства

Те се използват активно в алгебрата и геометрията. Степените по математика имат отделно, важно място. С тяхна помощ се решават експоненциални уравнения и неравенства, както и степените често усложняват уравнения и примери, свързани с други раздели на математиката. Експонентите помагат да се избегнат големи и дълги изчисления, по-лесно е да се намалят и изчислят експонентите. Но за да работите с големи мощности или със степени на големи числа, трябва да знаете не само свойствата на степента, но и да работите компетентно с основите, да можете да ги разлагате, за да улесните задачата си. За удобство трябва да знаете и значението на числата, повдигнати на степен. Това ще намали времето ви за решаване, като елиминира необходимостта от дълги изчисления.

Концепцията за степен играе специална роля в логаритмите. Тъй като логаритъмът по същество е степента на число.

Формулите за съкратено умножение са друг пример за използване на степени. Те не могат да използват свойствата на степените, те се разлагат по специални правила, но във всяка формула за съкратено умножение неизменно има степени.

Степените се използват активно и във физиката и компютърните науки. Всички преводи в системата SI се извършват с помощта на степени и в бъдеще при решаване на проблеми се прилагат свойствата на степента. В компютърните науки мощностите на две се използват активно за удобство на броенето и опростяване на възприемането на числата. Допълнителни изчисления за преобразуване на мерни единици или изчисления на проблеми, точно както във физиката, се извършват с помощта на свойствата на степента.

Градусите също са много полезни в астрономията, където рядко можете да намерите използването на свойствата на степен, но самите градуси се използват активно за съкращаване на записа на различни количества и разстояния.

Градусите се използват и в ежедневието, когато се изчисляват площи, обеми, разстояния.

С помощта на степени, много големи и много малки стойности се записват във всяка област на науката.

експоненциални уравнения и неравенства

Свойствата на степента заемат особено място именно в експоненциални уравненияи неравенства. Тези задачи са много често срещани, както в училищния курс, така и на изпитите. Всички те се решават чрез прилагане на свойствата на степента. Неизвестното винаги е в самата степен, следователно, знаейки всички свойства, няма да е трудно да се реши такова уравнение или неравенство.

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равно на суматаили разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Разделение на властите

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели на делимите числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Видео урок 2: Степен с естествен показател и неговите свойства

Лекция:

Степен с натурален показател

Под степеннякакво число "а"с някакъв индикатор "н"разбират произведението на число "а"сам "н"веднъж.

Когато говорим за степен с натурален показател, това означава, че числото "н"трябва да е цяло число, а не отрицателно.

а- основата на степента, която показва кое число трябва да се умножи по себе си,

н- показател - показва колко пъти основата трябва да бъде умножена сама по себе си.

Например:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В този случай основата на степента е числото "8", степента е числото "4", стойността на степента е числото "4096".

Най-голямата и често срещана грешка при изчисляването на степента е умножаването на показателя по основата – ТОВА НЕ Е ВЯРНО!

Когато става въпрос за степен с естествен показател, това означава, че само показателят (н)трябва да е естествено число.

Всяко число на числовата ос може да се използва като основа.

Например,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическата операция, която се извършва върху основата и степента, се нарича степенуване.

Събирането / изваждането е математическата операция на първия етап, умножението / деленето е операцията на втория етап, степенуването е математическата операция на третия етап, тоест една от най-високите.

Тази йерархия от математически операции определя реда в изчислението. Ако това действие се случи в задачи сред предходните две, то се извършва първо.

Например:

15 + 6 *2 2 = 39

В този пример първо трябва да повдигнете 2 на степен, т.е

след това умножете резултата по 6, т.е

Степен с естествен показател се използва не само за конкретни изчисления, но и за удобство при писане на големи числа. В този случай се използва и понятието "стандартна числова форма". Този запис предполага умножаване на определено число от 1 до 9 по основа на степен, равна на 10 с някакъв показател.

Например, за да напишете радиуса на Земята в стандартна форма, използвайте следната нотация:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

а масата на Земята например се записва по следния начин:

степенни свойства

За удобство при решаване на примери със степени е необходимо да знаете основните им свойства:

1. Ако трябва да умножите две степени, които имат една и съща основа, тогава в този случай основата трябва да остане непроменена и индикаторите да се добавят.

a n * a m = a n+m

Например:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ако е необходимо да се разделят две степени, които имат една и съща основа, тогава в този случай основата трябва да се остави непроменена и индикаторите да се извадят. Моля, имайте предвид, че за операции със степени с естествен показател показателят на делителя трябва да е по-голям от показателя на делителя. Иначе лично това действиеще бъде число с отрицателен показател.

a n / a m = a n-m

Например,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ако е необходимо да се повдигне една степен на друга, основата на резултата остава същото число, а степените се умножават.

(a n) m = a n*m

Например,

4. Ако е необходимо да повдигнем произведението на произволни числа до определена степен, тогава можем да използваме определен закон за разпределение, при който получаваме произведението на различни бази в еднаква степен.

(a * b) m = a m * b m

Например,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Подобно свойство може да се използва за разделяне на степени, с други думи, за повдигане на обикновен двоен на степен.

(a / b) m = a m / b м

6. Всяко число, което е повдигнато до степен, равна на едно, е равно на оригиналното число.

a 1 = a

Например,

7. При повдигане на всяко число на степен с показател нула, резултатът дадено изчислениевинаги ще има такъв.

и 0 = 1

Например,

По-рано вече говорихме какво е степен на число. Той има определени свойства, които са полезни при решаването на проблеми: именно тях и всички възможни показатели ще анализираме в тази статия. Ще демонстрираме и с примери как те могат да бъдат доказани и правилно приложени на практика.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нека си припомним концепцията за степен с естествен показател, която вече формулирахме по-рано: това е продуктът на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на a. Също така трябва да запомним как правилно да умножаваме реални числа. Всичко това ще ни помогне да формулираме следните свойства за степен с естествен показател:

Определение 1

1. Основното свойство на степента: a m a n = a m + n

Може да се обобщи до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Свойството частно за степени, които имат една и съща основа: a m: a n = a m − n

3. Свойство степен продукт: (a b) n = a n b n

Равенството може да се разшири до: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Свойство на естествена степен: (a: b) n = a n: b n

5. Повдигаме степента на степен: (a m) n = a m n,

Може да се обобщи до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Сравнете степента с нула:

ако a > 0, тогава за всяко естествено n, a n ще бъде по-голямо от нула;
с a равно на 0, a n също ще бъде равно на нула;
за< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
за< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Равенство a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ще бъде вярно, при условие че m и n са естествени числа, m е по-голямо от n и a е по-голямо от нула и по-малко от единица.

В резултат на това получихме няколко равенства; ако отговаряте на всички условия, посочени по-горе, тогава те ще бъдат идентични. За всяко от равенствата, например за основното свойство, можете да размените дясната и лявата част: a m · a n = a m + n - същото като a m + n = a m · a n . В тази форма често се използва при опростяване на изрази.

1. Нека започнем с основното свойство на степента: равенството a m · a n = a m + n ще бъде вярно за всяко естествено m и n и реално a . Как да докажем това твърдение?

Основната дефиниция на степени с естествен показател ще ни позволи да преобразуваме равенството в произведение на множителите. Ще получим запис като този:

Това може да бъде съкратено до (припомнете си основните свойства на умножението). В резултат на това получихме степента на числото a с естествен показател m + n. Така a m + n , което означава, че основното свойство на степента е доказано.

Нека вземем конкретен пример, за да докажем това.

Пример 1

Така че имаме две степени с основа 2. Натуралните им показатели са съответно 2 и 3. Получихме равенството: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Нека изчислим стойностите, за да проверим правилността на това равенство.

Нека извършим необходимите математически операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

В резултат на това получихме: 2 2 2 3 = 2 5 . Имотът е доказан.

Поради свойствата на умножението, можем да обобщим свойството, като го формулираме като три и Повече ▼степени, чиито степени са естествени числа и чиито основи са еднакви. Ако означим броя на естествените числа n 1, n 2 и т.н. с буквата k, получаваме правилното равенство:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. След това трябва да докажем следното свойство, което се нарича частно свойство и е присъщо на степени с еднакви основи: това е равенството a m: a n = a m − n, което е валидно за всякакви естествени m и n (и m е по-голямо от n)) и всяко ненулево реално a .

Като начало, нека обясним какво точно е значението на условията, които се споменават във формулировката. Ако вземем равно на нула, тогава в крайна сметка ще получим деление на нула, което не може да се направи (в края на краищата 0 n = 0). Условието, че числото m трябва да е по-голямо от n, е необходимо, за да можем да останем в рамките на естествените показатели: като извадим n от m, получаваме естествено число. Ако условието не е изпълнено, ще получим отрицателно число или нула и отново ще надхвърлим изучаването на степени с естествени показатели.

Сега можем да преминем към доказателството. От изученото по-рано си припомняме основните свойства на дробите и формулираме равенството по следния начин:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

От него можем да изведем: a m − n a n = a m

Припомнете си връзката между деление и умножение. От това следва, че a m − n е частно на степени a m и a n . Това е доказателството за свойство от втора степен.

Пример 3

Заменете конкретни числа за яснота в индикаторите и означете основата на степента π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. След това ще анализираме свойството на степента на произведението: (a · b) n = a n · b n за всяко реално a и b и естествено n.

Съгласно основната дефиниция на степен с естествен показател, можем да преформулираме равенството, както следва:

Спомняйки си свойствата на умножението, пишем: . Означава същото като a n · b n.

Пример 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Ако имаме три или повече фактора, тогава това свойство се отнася и за този случай. Въвеждаме обозначението k за броя на факторите и записваме:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Пример 5

С конкретни числа получаваме следното правилно равенство: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a

4. След това ще се опитаме да докажем свойството частно: (a: b) n = a n: b n за всяко реално a и b, ако b не е равно на 0 и n е естествено число.

За доказателство можем да използваме свойството на предишната степен. Ако (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n и (a: b) n b n = a n, тогава следва, че (a: b) n е частно от деленето на a n на b n.

Пример 6

Нека преброим примера: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Нека започнем веднага с пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

А сега формулираме верига от равенства, които ще ни докажат правилността на равенството:

Ако имаме степени на степени в примера, тогава това свойство е вярно и за тях. Ако имаме естествени числа p, q, r, s, тогава ще е вярно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Нека добавим подробности: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Друго свойство на степените с естествен показател, което трябва да докажем, е свойството за сравнение.

Първо, нека сравним експонентата с нула. Защо a n > 0, при условие че a е по-голямо от 0?

Ако умножим едно положително число по друго, също ще получим положително число. Знаейки този факт, можем да кажем, че това не зависи от броя на факторите - резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа е положително число. И какво е степен, ако не резултат от умножаване на числа? Тогава за всяка степен a n с положителна основа и естествен показател това ще е вярно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Също така е очевидно, че степен с основа равна на нула сама по себе си е нула. На каквато и степен да повдигнем нула, така ще си остане.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степента е отрицателно число, тогава доказателството е малко по-сложно, тъй като концепцията за четен/нечетен показател става важна. Нека започнем със случая, когато показателят е четен и го означим с 2 · m, където m е естествено число.

Нека си спомним как правилно да умножаваме отрицателни числа: продуктът a · a е равен на произведението на модулите и следователно ще бъде положително число. Тогава и степента a 2 · m също са положителни.

Пример 11

Например (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Ами ако показателят с отрицателна основа е нечетно число? Нека го означим с 2 · m − 1 .

Тогава

Всички произведения a · a , според свойствата на умножението, са положителни, както и произведението им. Но ако го умножим по единственото останало число a, тогава крайният резултат ще бъде отрицателен.

Тогава получаваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Как да го докажа?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

Например верни са неравенствата: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Остава да докажем последното свойство: ако имаме две степени, чиито основи са еднакви и положителни, а експонентите са естествени числа, то тази от тях е по-голяма, чийто показател е по-малък; и от две степени с естествени показатели и еднакви основи, по-големи от една, степента е по-голяма, показателят на която е по-голям.

Нека докажем тези твърдения.

Първо трябва да се уверим, че m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Изваждаме a n от скоби, след което нашата разлика ще приеме формата a n · (am − n − 1) . Резултатът му ще бъде отрицателен (тъй като резултатът от умножаването на положително число по отрицателно е отрицателен). Действително, според началните условия m − n > 0, тогава a m − n − 1 е отрицателно, а първият фактор е положителен, като всяка естествена степен с положителна основа.

Оказа се, че a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Остава да докажем втората част от формулираното по-горе твърдение: a m > a е вярно за m > n и a > 1 . Посочваме разликата и изваждаме n от скобите: (a m - n - 1) Степента на n с по-голямо от едно ще даде положителен резултат; и самата разлика също ще се окаже положителна поради началните условия, а при a > 1 степента на a m − n е по-голяма от единица. Оказва се, че a m − a n > 0 и a m > a n , което трябваше да докажем.

Пример 13

Пример с конкретни числа: 3 7 > 3 2

Основни свойства на степените с цели показатели

За степени с положителни цели числа свойствата ще бъдат подобни, тъй като положителните числа са естествени, което означава, че всички равенства, доказани по-горе, са валидни и за тях. Те са подходящи и за случаи, когато експонентите са отрицателни или равни на нула (при условие, че основата на самата степен е различна от нула).

По този начин свойствата на степените са едни и същи за всякакви основи a и b (при условие, че тези числа са реални и не са равни на 0) и всички показатели m и n (при условие, че са цели числа). Записваме ги накратко под формата на формули:

Определение 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a nb − n с цяло положително число n, положително a и b, a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степента е равна на нула, тогава записите a m и a n имат смисъл само в случай на естествени и положителни m и n. В резултат откриваме, че формулировките по-горе са подходящи и за случаи със степен с нулева основа, ако всички други условия са изпълнени.

Доказателствата за тези свойства в този случай са прости. Ще трябва да си припомним какво е степен с естествен и цяло число, както и свойствата на действията с реални числа.

Нека анализираме свойството на степента в степента и докажем, че то е вярно както за положителни цели, така и за неположителни числа. Започваме с доказване на равенствата (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) и (a − p) − q = a (− p) (−q)

Условия: p = 0 или естествено число; q - подобно.

Ако стойностите на p и q са по-големи от 0, тогава получаваме (a p) q = a p · q. Вече сме доказвали подобно равенство преди. Ако p = 0 тогава:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Следователно (a 0) q = a 0 q

За q = 0 всичко е абсолютно същото:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p 0 .

Ако и двата индикатора са нула, тогава (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 0 = a 0 = 1, тогава (a 0) 0 = a 0 0 .

Припомнете си свойството на частното в доказаната по-горе степен и напишете:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q , тогава 1 q a p q = 1 a p q

Можем да преобразуваме тази нотация по силата на основните правила за умножение в a (− p) · q .

Също така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останалите свойства на степента могат да бъдат доказани по подобен начин чрез трансформиране на съществуващите неравенства. Няма да се спираме на това подробно, ще посочим само трудните точки.

Доказателство за предпоследното свойство: припомнете си, че a − n > b − n е вярно за всякакви цели числа отрицателни стойности n и всякакви положителни a и b, при условие че a е по-малко от b.

Тогава неравенството може да се трансформира, както следва:

1 a n > 1 b n

Записваме дясната и лявата част като разлика и извършваме необходимите трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Припомнете си, че в условието a е по-малко от b , тогава, според дефиницията на степен с естествен показател: - a n 0 .

a n · b n в крайна сметка е положително число, защото неговите множители са положителни. В резултат на това имаме дроб b n - a n a n · b n , която в крайна сметка също дава положителен резултат. Оттук 1 a n > 1 b n откъдето a − n > b − n , което трябваше да докажем.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва подобно на свойството на степени с естествени показатели.

Основни свойства на степените с рационални показатели

В предишни статии обсъдихме какво е степен с рационален (дробен) показател. Техните свойства са същите като тези на степените с цели числа. нека напишем:

Определение 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за a > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (степени на свойството на продукта със същата основа).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (свойство частно).

3. a b m n = a m n b m n за a > 0 и b > 0 и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство на продукта в дробна степен).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n за a > 0 и b > 0, и ако m n > 0, тогава за a ≥ 0 и b > 0 (свойство на частно до дробна степен).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 за a > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогава за a ≥ 0 (свойство на степен в градуси).

6.ap0; ако p< 0 - a p >b p (свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели).

7.ап< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да докажем тези разпоредби, трябва да си спомним какво е степен с дробен показател, какви са свойствата на аритметичния корен на n-та степен и какви са свойствата на степен с цяло число. Нека да разгледаме всеки имот.

Според какво е степен с дробен показател, получаваме:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 и a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, следователно, a m 1 n 1 a m 2 n 2 = am 1 n 1 a m 2 n 2

Свойствата на корена ще ни позволят да изведем равенства:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

От това получаваме: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Нека трансформираме:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Показателят може да се запише като:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Това е доказателството. Второто свойство се доказва по абсолютно същия начин. Нека запишем веригата от равенства:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Доказателства за останалите равенства:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следващо свойство: нека докажем, че за всякакви стойности на a и b по-големи от 0, ако a е по-малко от b, ще се изпълни a pbp

Нека представим рационално число p като m n . В този случай m е цяло число, n е естествено число. Тогава условията p< 0 и p >0 ще бъде удължен до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Използваме свойството корени и извеждаме: a m n< b m n

Като вземем предвид положителността на стойностите a и b, пренаписваме неравенството като a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

По същия начин за m< 0 имеем a a m >b m, получаваме a m n > b m n, така че a m n > b m n и a p > b p.

Остава да докажем последното свойство. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p > q за 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 би било вярно a p > a q .

Рационалните числа p и q могат да се сведат до общ знаменател и да се получат дроби m 1 n и m 2 n

Тук m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. Ако p > q, тогава m 1 > m 2 (като се вземе предвид правилото за сравняване на дроби). След това на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – неравенство a 1 m > a 2 m .

Те могат да бъдат пренаписани в следната форма:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

След това можете да направите трансформации и да получите като резултат:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

За да обобщим: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни свойства на степените с ирационални показатели

Всички свойства, описани по-горе, които степен с рационални показатели притежава, могат да бъдат разширени до такава степен. Това следва от самото му определение, което дадохме в една от предишните статии. Нека формулираме накратко тези свойства (условия: a > 0, b > 0, показателите p и q са ирационални числа):

Определение 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.apbp

7.ап< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, тогава a p > a q.

Така всички степени, чиито показатели p и q са реални числа, при условие че a > 0, имат едни и същи свойства.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter