Случайни величини: дискретни и непрекъснати.

При провеждане на стохастичен експеримент се формира пространство от елементарни събития - възможните резултати от този експеримент. Счита се, че на това пространство на елементарни събития произволна стойност X, ако е даден закон (правило), според който на всяко елементарно събитие се присвоява номер. По този начин случайната променлива X може да се разглежда като функция, дефинирана в пространството на елементарни събития.

■ Случаен- стойност, която по време на всеки тест приема една или друга числена стойност (не е известно предварително каква), в зависимост от случайни причини, които не могат да бъдат предварително взети предвид. Случайните променливи се означават с главни букви от латинската азбука и възможните стойности случайна величина- малък. И така, когато се хвърля зар, възниква събитие, свързано с числото x, където x е броят на хвърлените точки. Броят на точките е произволна стойност, а числата 1, 2, 3, 4, 5, 6 са възможните стойности на тази стойност. Разстоянието, което ще прелети снаряд, когато е изстрелян от пистолет, също е случайна величина (зависи от инсталирането на мерника, силата и посоката на вятъра, температурата и други фактори), както и възможните стойности от това количество принадлежат към определен интервал (a; b).

■ Дискретна случайна променлива- случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.

■ Непрекъсната случайна променливае случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Например броят на падналите точки при хвърляне на зар, оценката за контролна работа са дискретни случайни променливи; разстоянието, което снарядът лети при стрелба от пистолет, грешката на измерване на индикатора за времето на усвояване на учебния материал, височината и теглото на човек са непрекъснати случайни променливи.

Закон за разпределение на случайна величина– съответствие между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности, т.е. всяка възможна стойност x i е свързана с вероятността p i, с която случайната променлива може да приеме тази стойност. Законът за разпределение на случайна величина може да бъде даден таблично (под формата на таблица), аналитично (под формата на формула) и графично.

Нека дискретна случайна променлива X приема стойностите x 1 , x 2 , …, x n с вероятности съответно p 1 , p 2 , …, p n, т.е. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. С таблично присвояване на закона за разпределение на тази стойност, първият ред на таблицата съдържа възможните стойности x 1, x 2, ..., x n, а вторият - техните вероятности

В резултат на теста дискретната случайна променлива X приема една и само една от възможните стойности, така че събитията X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n форма пълна групапо двойки несъвместими събития и следователно сумата от вероятностите на тези събития е равна на единица, т.е. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива. Полигон (многоъгълник) разпределение.

Както знаете, случайна променлива е променлива, които могат да приемат определени стойности в зависимост от случая. Случайни променливи означават главни буквиЛатинска азбука (X, Y, Z) и техните стойности - съответните малки букви(x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променливае функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1. Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) използване на функцията на разпределение F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3. Законът за разпределение може да се посочи графично – чрез многоъгълник на разпределение (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на "средна стойност" на случайна променлива или число, което показва средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

Основните числени характеристики на дискретна случайна променлива:

• Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i .
  За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
• Дисперсия на дискретна случайна променлива D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
  За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
• Средно аритметично стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

За яснота на представяне на вариационната серия голямо значениеимат неговите графики. Графично една вариационна серия може да бъде показана като полигон, хистограма и кумулация.

· Разпределителен многоъгълник (букв. разпределителен многоъгълник) се нарича начупена линия, която е изградена в правоъгълна координатна система. Стойността на признака се нанася върху абсцисата, съответните честоти (или относителни честоти) - по ординатата. Точките (или ) се свързват с отсечки и се получава разпределителен многоъгълник. Най-често полигоните се използват за представяне на дискретни вариационна серия, но могат да се използват и за интервални серии. В този случай на абсцисната ос се нанасят точки, съответстващи на средните точки на тези интервали.

Отговор: Помислете за прекъсната случайна променлива хс възможни стойности. Всяка от тези стойности е възможна, но не сигурна и стойността хможе да приеме всеки от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността хще приеме една от тези стойности, т.е. ще се случи едно от пълната група несъвместими събития:

Нека означим с букви вероятностите за тези събития Рсъс съответните индекси:

Тоест разпределението на вероятностите на различни стойности може да бъде дадено от таблица на разпределение, в която горният ред показва всички стойности, взети от дадена дискретна случайна променлива, а долният ред показва вероятностите на стойностите съответстващи на него. Тъй като несъвместимите събития (3.1) образуват пълна група, тогава , т.е. сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива е равна на единица. Вероятностното разпределение на непрекъснати случайни променливи не може да бъде представено под формата на таблица, тъй като броят на стойностите на такива случайни променливи е безкраен дори в ограничен интервал. Освен това вероятността да получите някаква конкретна стойност е нула. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако посочим това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. Това ще установи така наречения закон за разпределение на случайна променлива. Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности. За една случайна величина ще кажем, че се подчинява на даден закон на разпределение. Нека установим формата, в която може да бъде даден законът за разпределение на прекъсната случайна променлива х.Най-простата форма за задаване на този закон е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности:

Такава таблица ще наричаме ред на разпределение на случайната променлива х.

Ориз. 3.1

За да придадат по-визуална форма на серията на разпределение, те често прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. За по-голяма яснота получените точки са свързани с прави сегменти. Такава фигура се нарича разпределителен полигон (фиг. 3.1). Полигонът на разпределение, както и серията на разпределение, напълно характеризират случайната променлива. това е форма на закона за разпределението. Понякога така наречената "механична" интерпретация на серията за разпределение се оказва удобна. Представете си, че някаква маса, равна на единица, е разпределена по абсцисната ос, така че in нотделни точки са концентрирани, съответно масите . Тогава серията на разпределение се интерпретира като система от материални точки с някои маси, разположени по оста x.

Страница 2

Графично законът за разпределение дискретно количествосе дава под формата на така наречения разпределителен полигон.

Графично изображениесерия на разпределение (виж фиг. 5) се нарича полигон на разпределение.

За характеризиране на закона за разпределение на прекъсната случайна променлива често се използват серия (таблица) и многоъгълник на разпределение.

За изображението му в правоъгълна координатна система се изграждат точки (Y Pi) (x - i Pa) и се свързват с отсечки. Полигонът на разпределението дава приблизително визуално представяне на характера на разпределението на случайна променлива.

За по-голяма яснота законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде изобразен и графично, за което точките (x /, p) се изграждат в правоъгълна координатна система и след това се свързват с линейни сегменти, Получената фигура се нарича разпределение многоъгълник.

M (xn; pn) (ls - - възможни стойности на Xt pi - съответните вероятности) и ги свържете с отсечки. Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.

Помислете за вероятностното разпределение на сбора от точки на зарове. Фигурите по-долу показват полигоните на разпределение за случай на една, две и три кости.

В този случай вместо произволен многоъгълник на разпределение се построява функция на плътност на разпределение, която се нарича диференциална функция на разпределение и е диференциален закон на разпределение. В теорията на вероятностите плътността на разпределение на случайна променлива x (x Xr) се разбира като границата на отношението на вероятността x да попадне в интервала (x, x - - Ax) към Ax, когато Al; клони към нула. В допълнение към диференциалната функция, за характеризиране на разпределението на случайна променлива се използва интегралната функция на разпределение, която често се нарича просто функция на разпределение или закон за интегрално разпределение.

При такава конструкция относителните честоти на попадане в интервалите ще бъдат равни на площите на съответните колони на хистограмата, точно както вероятностите са равни на площите на съответните криволинейни трапеци.y Понякога, за яснота на сравнението, изгражда се разпределителен многоъгълник, свързващ последователно средните точки горни основихистограмни ленти.

Даването на t различни значенияот 0 до z, вземете вероятностите PQ, P RF - Pp, които са нанесени на графиката. Като се има предвид r; i11, конструирайте многоъгълник на вероятностното разпределение.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е всяко съответствие между нейните възможни стойности и техните вероятности. Законът може да бъде определен таблично (серия на разпределение), графично (полигон на разпределение и др.) и аналитично.

Намирането на кривата на разпределение, с други думи, установяването на разпределението на самата случайна променлива, прави възможно по-задълбочено изследване на явлението, което далеч не е напълно изразено от тази конкретна серия на разпределение. Представяйки на чертежа както намерената крива на изравняване на разпределението, така и разпределителния полигон, конструиран на базата на частична популация, изследователят може ясно да види характеристикихарактеристика на изследваното явление. Поради това статистическият анализ задържа вниманието на изследователя върху отклоненията на наблюдаваните данни от някаква закономерна промяна на явлението и изследователят е изправен пред задачата да открие причините за тези отклонения.

След това от средата на интервалите се изчертават абсцисите (по скала), съответстващи на броя на месеците с отток в този интервал. Краищата на тези абсциси се свързват и по този начин се получава многоъгълник или разпределителен многоъгълник.

Точки, даващи графично представяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива върху координатна равнинастойности на величина - вероятността от стойности, обикновено свързани с линейни сегменти и наречени получени геометрична фигураразпределителен полигон. На фиг. 3 в Таблица 46 (както и на Фигури 4 и 5) само показва полигоните на разпределение.

5.2. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива. Разпределителен полигон

На пръв поглед може да изглежда, че за да се посочи дискретна случайна променлива, е достатъчно да се изброят всички нейни възможни стойности. В действителност това не е така: случайните променливи могат да имат едни и същи списъци с възможни стойности, но техните вероятности са различни. Следователно, за да се зададе дискретна случайна променлива, не е достатъчно да се изброят всички нейни възможни стойности; трябва да се посочат и техните вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променливаназовавайте съответствието между възможните стойности и техните вероятности; може да се посочи таблично, аналитично (под формата на формула) и графично.

Определение.Всяко правило (таблица, функция, графика), което ви позволява да намерите вероятностите за произволни събития А С (С- -алгебра на събитията от пространството ), по-специално, посочвайки вероятностите на отделните стойности на случайна променлива или набор от тези стойности, се нарича закон за разпределение на случайната променлива(или просто: разпространение). Относно р.в. се казва, че „то се подчинява на даден закон за разпределение“.

Позволявам х– д.р.в., който приема стойностите х 1 , х 2 , …, х н,… (наборът от тези стойности е краен или изброим) с известна вероятност стр аз, където аз = 1,2,…, н,… Закон за разпределение на d.r.v. удобен за настройка с помощта на формулата стр аз = П{х = х аз)където аз = 1,2,…, н,…, което определя вероятността в резултат на експеримента с.в. хще придобие смисъла х аз. За д.р.в. хзаконът за разпределение може да бъде даден във формата разпределителни маси:

При таблично присвояване на закона за разпределение на дискретна случайна променлива първият ред на таблицата съдържа възможните стойности, а вторият - техните вероятности. такава таблица се нарича близко разпространение.

Като вземем предвид, че при един тест случайната променлива приема една и само една възможна стойност, заключаваме, че събитията х = х 1 , х = х 2 , ..., х = х нобразуват пълна група; следователно сумата от вероятностите за тези събития, т.е. сумата от вероятностите на втория ред на таблицата е равна на единица, т.е.

Ако наборът от възможни стойности хбезкрайно (изброимо), след това серията Р 1 + Р 2 + ... се събира и сумата му е равна на едно.

Пример.От паричната лотария бяха пуснати 100 билета. Играе се една печалба от 50 рубли. и десет печалби от 1 rub. Намерете закона за разпределение на случайна променлива х– цената на евентуална печалба за притежателя на един лотарен билет.

Решение.Нека напишем възможните стойности х: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятностите за тези възможни стойности са: Р 1 = 0,01, Р 2 = 0,01, Р 3 = 1 – (Р 1 + Р 2)=0,89.

Нека напишем желания закон за разпределение:

Контрола: 0,01 + 0,1 + 0,89 = 1.

Пример.В една урна има 8 топки, 5 от които са бели, а останалите са черни. От него произволно се изтеглят 3 топки. Намерете закона за разпределение на броя на белите топки в пробата.

Решение.Възможни стойности на r.v. х– броят на белите топки в пробата е х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Техните вероятности съответно ще бъдат

;
;
.

Записваме закона за разпределение под формата на таблица.

Контрол:
.

Закон за разпределение на d.r.v. могат да бъдат зададени графично, ако възможните стойности на r.v. са нанесени на абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени на ординатната ос. Полигонална линия, свързваща последователно точките ( х 1 , Р 1), (х 2 , Р 2),... се наричат многоъгълник(или многоъгълник) разпространение(вижте фигура 5.1).

Ориз. 5.1. Разпределителен полигон

Сега можем да дадем по-точна дефиниция на d.r.v.

Определение.Случайна стойност X е дискретноако има краен или изброим набор от числа х 1 , х 2 , … така че П{х = х аз } = стр аз > 0 (аз= 1,2,...) и стр 1 + стр 2 + Р 3 +… = 1.

Нека дефинираме математически операции върху дискретни r.v.

Определение.сума (разлика, работа) д.р.в. х, който приема стойностите х азс вероятности стр аз = П{х = х аз }, аз = 1, 2, …, н, и д.р.в. Y, който приема стойностите г й с вероятности стр й = П{Y = г й }, й = 1, 2, …, м, се нарича d.r.v. З = х + Y (З = х – Y, З = х Y) вземайки стойностите z ij = х аз + г й (z ij = х аз – г й , z ij = х аз  г й) с вероятности стр ij = П{х = х аз , Y = г й) за всички посочени стойности ази й. Ако някои суми съвпадат х аз + г й (разлики х аз – г й, върши работа х аз  г й) съответните вероятности се сумират.

Определение.работад.р.в. на номер ссе нарича д.р.в. cX, който приема стойностите сх азс вероятности стр аз = П{х = х аз }.

Определение.Две д.р.в. хи YНаречен независима, ако събития ( х = х аз } = А ази ( Y = г й } = б йнезависими за всякакви аз = 1, 2, …, н, й = 1, 2, …, м, това е

В противен случай р.в. Наречен зависим. Няколко р.в. се наричат ​​взаимно независими, ако законът за разпределение на някое от тях не зависи от това какви възможни стойности са приели другите количества.

Помислете за някои от най-често използваните закони за разпределение.