Законът за разпределение на случайна величина x. Дискретна случайна променлива: примери за решения на задачи
х; значение Е(5); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.
- Известна е функцията на разпределение F(x) на дискретна случайна променлива х:
Посочете закона за разпределение на случайна променлива хпод формата на таблица.
- Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:
| х | –28 | –20 | –12 | –4 | |
| стр | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
- Вероятността магазинът да има сертификати за качество за цялата гама продукти е 0,7. Комисията провери наличието на сертификати в четири магазина в областта. Съставете закон за разпределение, изчислете очаквана стойности разликата в броя на магазините, които не са намерили сертификати за качество по време на проверка.
- За да се определи средното време на горене на електрическите лампи в партида от 350 еднакви кутии, от всяка кутия е взета за изпитване по една електрическа лампа. Оценете отдолу вероятността средното време на горене на избраните електрически лампи да се различава от средното време на горене на цялата партида с абсолютна стойност по-малка от 7 часа, ако е известно, че стандартното отклонение на времето на горене на електрическите лампи във всяка кутия е по-малко от 9 часа.
- На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 500 връзки да има:
Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Начертайте функциите и . Изчислете средната стойност, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива х.
- Автоматичната машина прави ролки. Смята се, че диаметърът им е нормално разпределена случайна величина със средна стойност 10 mm. Какво е стандартното отклонение, ако с вероятност от 0,99 диаметърът е в диапазона от 9,7 mm до 10,3 mm.
Проба А: 6 9 7 6 4 4
Проба Б: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
Вариант 17.
- Сред 35-те части 7 са нестандартни. Намерете вероятността две произволно избрани части да са стандартни.
- Хвърли три зара. Намерете вероятността сумата от точките върху изпуснатите лица да е кратна на 9.
- Думата „ПРИКЛЮЧЕНИЕ“ е съставена от карти, всяка с по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените по реда на появяване букви да образуват дума: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) УЛАВЯНЕ.
- Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
- 2 бели топки;
- по-малко от 2 бели топки;
- поне една черна топка.
- НОв един тест е 0,4. Намерете вероятностите за следните събития:
- събитие НОще се появи 3 пъти в серия от 7 независими тестове;
- събитие НОще се появи поне 220 и не повече от 235 пъти в серия от 400 предизвикателства.
- Заводът изпрати 5000 висококачествени продукта в базата. Вероятността за повреда на всеки продукт при транспортиране е 0,002. Намерете вероятността не повече от 3 продукта да бъдат повредени по пътя.
- Първата урна съдържа 4 бели и 9 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 3 черни топки. От първата урна произволно се изтеглят 3 топки, а от втората урна - 4. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са от един и същи цвят.
- Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:
Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.
- В кутията има 10 молива. Изтеглени са произволно 4 молива. Случайна стойност хе броят на сините моливи сред избраните. Намерете закона за неговото разпределение, началните и централните моменти на 2-ри и 3-ти ред.
- Отделът за технически контрол проверява за дефекти 475 продукта. Вероятността даден продукт да е дефектен е 0,05. Намерете с вероятност 0,95 границите, които ще съдържат броя на дефектните продукти сред тестваните.
- На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,003. Намерете вероятността сред 1000 връзки да има:
- поне 4 неправилни връзки;
- повече от две неправилни връзки.
- Случайната променлива се дава от функцията за плътност на разпределението:
Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Начертайте функциите и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива X.
- Случайната променлива се дава от функцията на разпределение:
- По проба НОреши следните задачи:
- направете вариационна серия;
средната стойност на извадката;
Дисперсията на извадката
Мода и медиана;
Проба A: 0 0 2 2 1 4
- изчисли числови характеристики вариационна серия:
средната стойност на извадката;
Дисперсията на извадката
· стандартно отклонение;
режим и медиана;
Проба Б: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Вариант 18.
- Сред 10 лотарийни билети 2 печелят. Намерете вероятността един от петте произволно изтеглени билета да бъде печеливш.
- Хвърли три зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е по-голяма от 15.
- Думата "ПЕРИМЕТЪР" е съставена от карти, на всяка от които е написана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПЕРИМЕТЪР; б) МЕТЪР.
- Една урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
- 4 бели топки;
- по-малко от 2 бели топки;
- поне една черна топка.
- Вероятност за събитие НОв един тест е 0,55. Намерете вероятностите за следните събития:
- събитие НОще се появи 3 пъти в серия от 5 предизвикателства;
- събитие НОще се появи поне 130 и не повече от 200 пъти в серия от 300 предизвикателства.
- Вероятността за изтичане в кутия с консервирана храна е 0,0005. Намерете вероятността два от 2000 буркана да изтекат.
- Първата урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 4 черни топки. 2 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 3 топки се изтеглят на случаен принцип от втората урна. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са от един и същи цвят.
- От постъпилите за монтаж части от първата машина 0,1% са дефектни, от втората - 0,2%, от третата - 0,25%, от четвъртата - 0,5%. Производителността на машините се отнася съответно като 4:3:2:1. Произволно взета част се оказа стандартна. Намерете вероятността артикулът да е направен на първата машина.
- Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:
Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.
- Електротехникът има три електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0,1 .. Електрическите крушки се завинтват в гнездото и токът се включва. При включване на тока дефектната крушка веднага изгаря и се заменя с друга. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя на тестваните крушки.
- Вероятността за попадение в целта е 0,3 за всеки от 900 независими изстрела. Използвайки неравенството на Чебишев, изчислете вероятността целта да бъде ударена най-малко 240 пъти и най-много 300 пъти.
- На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 800 връзки да има:
- поне три неправилни връзки;
- повече от четири неправилни връзки.
- Случайната променлива се дава от функцията за плътност на разпределението:
Намерете функцията на разпределение на случайната величина X. Постройте графики на функциите и . Изчислете средната стойност, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива Х.
- Случайната променлива се дава от функцията на разпределение:
- По проба НОреши следните задачи:
- направете вариационна серия;
- изчисляване на относителни и натрупани честоти;
- съставят емпирична функция на разпределение и построят нейна графика;
- изчисляване на числените характеристики на вариационния ред:
средната стойност на извадката;
Дисперсията на извадката
· стандартно отклонение;
режим и медиана;
Проба А: 4 7 6 3 3 4
- За проба B решете следните задачи:
- направете групирана вариационна серия;
- изграждат хистограма и полигон от честоти;
- изчисляване на числените характеристики на вариационния ред:
средната стойност на извадката;
Дисперсията на извадката
· стандартно отклонение;
режим и медиана;
Проба Б: 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Вариант 19.
1. В обекта работят 16 жени и 5 мъже. На случаен принцип бяха избрани 3 души по численост. Намерете вероятността всички избрани хора да са мъже.
2. Хвърлят се четири монети. Намерете вероятността само две монети да имат герб.
3. Думата "ПСИХОЛОГИЯ" е съставена от карти, на всяка от които е изписана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПЕРСОНАЛ.
4. Една урна съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а. 3 бели топки;
b. по-малко от 3 бели топки;
° С. поне една бяла топка.
5. Вероятност на събитието НОв един тест е 0,5. Намерете вероятностите за следните събития:
а. събитие НОще се появи 3 пъти в серия от 5 независими опита;
b. събитие НОще се появи поне 30 и не повече от 40 пъти в серия от 50 предизвикателства.
6. Има 100 машини с еднаква мощност, работещи независимо една от друга в един и същ режим, при който задвижването им е включено за 0,8 работни часа. Каква е вероятността във всеки един момент между 70 и 86 машини да бъдат включени?
7. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 8 бели и 3 черни топки. На случаен принцип се изтеглят 4 топки от първата урна и 1 топка от втората урна. Намерете вероятността сред изтеглените топки да има само 4 черни топки.
8. Всеки ден в автокъщата се доставят обемно три марки автомобили: Москвич - 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% от всички внесени автомобили. Сред автомобилите от марката Москвич 0,5% имат устройство против кражба, Ока - 0,01%, Волга - 0,1%. Намерете вероятността взетата за тест кола да има устройство против кражба.
9. Числата и се избират на случаен принцип върху сегмента. Намерете вероятността тези числа да удовлетворяват неравенствата.
10. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:
| х | ||||
| стр | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х; значение Е(2); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.
ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ
Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.
Случайна стойност е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя точно не е известна предварително. Следователно за случайна променлива могат да бъдат посочени само стойности, една от които тя задължително ще вземе в резултат на експеримента. Тези стойности ще бъдат посочени като възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.
Обикновено се означават случайни променливи главни буквиЛатинска азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности са в съответните малки букви.
Има три вида случайни променливи:
отделен; Непрекъснато; Смесени.
Отделенсе нарича такава случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна изброимо множество е множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".
Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nfl. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.
Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.
Непрекъснатосе нарича случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.
Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е потреблението на електроенергия в предприятието за един месец.
Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височина с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 м.
Закон за разпределение на случайни величини.
Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и е установен законът за разпределение.
Законът за разпределение на случайна величина се нарича връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.
За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Като закони за разпределение се използват редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността, характеристична функция.
Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Според закона за разпределение е възможно да се прецени преди опита кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.
За дискретна случайна величина законът за разпределение може да бъде даден под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.
Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, т.е.
Такава таблица се нарича серия от разпределение на дискретна случайна променлива. един
Събитията X 1 , X 2 ,..., X n , състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1 , x 2 ,... x n , са непоследователни и единствените възможни (защото в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. форма пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива
(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).
Серия на разпределение може да бъде показана графично, ако стойностите на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).
ПримерИграе се лотарията: кола на стойност 5000 ден. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единица, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици Продадени са общо 1000 билета за 7 den. единици Съставете закона за разпределение на нетните печалби, получени от участника в лотарията, закупил един билет.
Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетни печалби на билет - са 0-7 = -7 den. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако билетът спечели съответно видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическо определениевероятности, получаваме.
Образователна институция „Беларуска държава
селскостопанска академия"
Катедра Висша математика
Насоки
върху изучаването на темата "Случайни променливи" от студенти от Счетоводния факултет за задочно обучение (NISPO)
Горки, 2013 г
случайни променливи
Дискретни и непрекъснати случайни променливи
Едно от основните понятия в теорията на вероятностите е понятието случайна величина . Случайна величина Извиква се количество, което в резултат на тестване от набор от възможни стойности приема само една и не е известно предварително коя.
Случайните променливи са дискретни и непрекъснати . Дискретна случайна променлива (DSV) се нарича случайна променлива, която може да приеме краен брой стойности, изолирани една от друга, т.е. ако възможните стойности на това количество могат да бъдат преизчислени. Непрекъсната случайна променлива (CRV) извиква се случайна променлива, всички възможни стойности на която напълно запълват определен интервал от реалната линия.
Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука X, Y, Z и др. Възможните стойности на случайни променливи са обозначени със съответните малки букви.
Записване 
означава „вероятността една случайна променлива хще приеме стойност, равна на 5, равно на 0,28".
Пример 1 . Зарът се хвърля веднъж. В този случай могат да се появят числа от 1 до 6, които показват броя на точките. Означаваме случайната променлива х=(брой отпаднали точки). Тази случайна променлива в резултат на теста може да приеме само една от шест стойности: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следователно, случайната променлива хима DSV.
Пример 2 . Когато се хвърли камък, той прелита на известно разстояние. Означаваме случайната променлива х=(дистанция на полет на камък). Тази случайна променлива може да приема произволна, но само една стойност от определен интервал. Следователно, случайната променлива хима NSV.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина
Дискретна случайна променлива се характеризира със стойностите, които може да приеме, и вероятностите, с които се вземат тези стойности. Съответствието между възможните стойности на дискретна случайна променлива и съответните им вероятности се нарича закон на разпределение на дискретна случайна променлива .
Ако всички възможни стойности са известни 
случайна величина хи вероятности 
появата на тези стойности, се смята, че законът CWR дистрибуциихе известно и може да се напише като таблица:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Законът за разпределение на DSV може да бъде изобразен графично, ако се начертаят точки в правоъгълна координатна система 
,
,
…,
и ги свържете с прави линии. Получената фигура се нарича многоъгълник на разпределение.
Пример 3 . Зърното, предназначено за почистване, съдържа 10% плевели. 4 зърна са избрани на случаен принцип. Означаваме случайната променлива х=(брой плевели сред четирите избрани). Конструирайте закона за разпределение DSV хи разпределителен полигон.
Решение . Според примера. Тогава:
Записваме закона за разпределение на DSV X под формата на таблица и изграждаме многоъгълник на разпределение:
|
|
Математическо очакване на дискретна случайна променлива
Най-важните свойства на дискретната случайна променлива се описват от нейните характеристики. Една от тези характеристики е очаквана стойност случайна величина.
Нека се знае законът за разпределение на DSV х:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
математическо очакване
DSV хсумата от продуктите на всяка стойност на това количество със съответната вероятност се нарича: 
.
Математическото очакване на случайна променлива е приблизително равно на средноаритметичното на всички нейни стойности. Следователно в практическите задачи средната стойност на тази случайна променлива често се приема като математическо очакване.
Пример 8 . Стрелецът нокаутира 4, 8, 9 и 10 точки с вероятности 0,1, 0,45, 0,3 и 0,15. Намерете математическото очакване на броя точки в един удар.
Решение . Означаваме случайната променлива х=(брой отбелязани точки). Тогава . Така очакваният среден брой точки, отбелязани с една стрелба, е 8,2, а с 10 стрелби е 82.
Основни свойства математическите очаквания са:
.
.
, където 
,
.
.
, където хи Yса независими случайни променливи.
Разлика 
Наречен отклонение
случайна величина хот математическото си очакване. Тази разлика е случайна величина и нейното математическо очакване е равно на нула, т.е. 
.
Дисперсия на дискретна случайна променлива
За характеризиране на случайна променлива, в допълнение към математическото очакване, се използва също дисперсия , което дава възможност да се оцени дисперсията (разсейването) на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Когато се сравняват две хомогенни случайни променливи с еднакви математически очаквания, за „най-добра“ се счита тази, която има по-малък спред, т.е. по-малка дисперсия.
дисперсия случайна величина хсе нарича математическо очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване: .
При практически задачи се използва еквивалентна формула за изчисляване на дисперсията.
Основните свойства на дисперсията са:
.
хдадено от закона за разпределение на вероятностите: Тогава неговата средна стойност стандартно отклонениее равно на … 0,80
Решение:
Стандартното отклонение на случайна променлива X се определя като 
, където дисперсията на дискретна случайна променлива може да се изчисли по формулата. Тогава , и 
Решение:
А(произволно изтеглена топка е черна) прилагаме формулата за обща вероятност: .Ето вероятността бяла топка да е била прехвърлена от първата урна във втората урна; е вероятността черна топка да бъде прехвърлена от първата урна във втората урна; е условната вероятност изтеглената топка да е черна, ако бяла топка е прехвърлена от първата урна във втората; е условната вероятност изтеглената топка да е черна, ако черна топка е била прехвърлена от първата урна във втората.
Дискретната случайна променлива X е дадена от закона за разпределение на вероятностите: Тогава вероятността 
се равнява...
Решение:
Дисперсията на дискретна случайна променлива може да се изчисли с помощта на формулата. Тогава
Или . Решавайки последното уравнение, получаваме два корена и
Тема: Определение за вероятност
Има 5 дефектни части в партида от 12 части. Три елемента бяха избрани на случаен принцип. Тогава вероятността сред избраните части да няма подходящи части е равна на ...
Решение:
За да изчислим събитието A (няма подходящи части сред избраните части), използваме формулата където н м- броя на елементарните резултати, които благоприятстват настъпването на събитие А. в нашия случай общ бройвъзможните елементарни резултати е равен на броя на начините, по които три подробности могат да бъдат извлечени от 12 имащи, т.е.
И общият брой благоприятни резултати е равен на броя на начините, по които три дефектни части могат да бъдат извлечени от пет, т.е. 
Банката издава 44% от всички кредити на юридически лица и 56% на физически лица. Вероятността, че образуваниене изплаща заема навреме, е равен на 0,2; а за индивид тази вероятност е 0,1. Тогава вероятността следващият заем да бъде изплатен навреме е равна на ...
| 0,856 |
Решение:
За изчисляване на вероятността от събитие А(заемът ще бъде изплатен навреме) приложете формулата за пълна вероятност: . Тук - вероятността заемът да е издаден на юридическо лице; - вероятността заемът да е издаден на физическо лице; - условната вероятност заемът да бъде изплатен навреме, ако е издаден на юридическо лице; - условната вероятност заемът да бъде изплатен навреме, ако е издаден на физическо лице. Тогава 
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
За дискретна случайна променлива X 
| 0,655 |
Тема: Определение за вероятност
Зарът се хвърля два пъти. Тогава вероятността сумата от хвърлените точки да е не по-малка от девет е равна на ...
Решение:
За да изчислим събитието (сумата на падналите точки ще бъде поне девет), използваме формулата , където е общият брой възможни елементарни резултати от теста, а м- броя на елементарните резултати, които благоприятстват настъпването на събитието А. В нашия случай е възможно 
елементарни резултати от теста, от които благоприятните резултати са , , , , , , и , т.е. Следователно, 
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
функцията на разпределение на вероятностите има формата: 
Тогава стойността на параметъра може да бъде равна на ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
Решение:
По дефиниция 
. Следователно и . Тези условия са изпълнени, например, от стойността
Тема: Числени характеристики на случайни величини
Непрекъсната случайна променлива се дава от функция на разпределение на вероятностите: 
Тогава неговата дисперсия е...
Решение:
Тази случайна променлива се разпределя равномерно в интервала. Тогава неговата дисперсия може да се изчисли по формулата 
. Това е 
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
Първата урна съдържа 6 черни топки и 4 бели топки. Втората урна съдържа 2 бели и 8 черни топки. От произволно взета урна е изтеглена една топка, която се оказва бяла. Тогава вероятността тази топка да е изтеглена от първата урна е...
Решение:
А(произволно изтеглена топка е бяла) според формулата за обща вероятност: . Тук е вероятността топката да бъде изтеглена от първата урна; е вероятността топката да бъде изтеглена от втората урна; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако е изтеглена от първата урна; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако е изтеглена от втората урна.
Тогава 
.
Сега изчисляваме условната вероятност тази топка да е изтеглена от първата урна, използвайки формулата на Бейс: 
Тема: Числени характеристики на случайни величини
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределение на вероятностите: 
Тогава неговата дисперсия е...
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
Решение:
Дисперсията на дискретна случайна променлива може да се изчисли по формулата
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
Решение:
По дефиниция . Тогава
а) в , ,
б) в , ,
в) в , ,
г) в , ,
Яжте , .
Следователно,
Тема: Определение за вероятност
Точка се хвърля произволно в кръг с радиус 4. Тогава вероятността точката да бъде извън квадрата, вписан в кръга, е равна на ...
Тема: Определение за вероятност
Има 5 дефектни части в партида от 12 части. Три елемента бяха избрани на случаен принцип. Тогава вероятността сред избраните части да няма дефектни части е равна на ...
Решение:
За да изчислим събитието (няма дефектни части сред избраните части), използваме формулата , където не общият брой възможни резултати от елементарни тестове, и ме броят на елементарните резултати, благоприятстващи появата на събитието. В нашия случай общият брой възможни елементарни резултати е равен на броя начини, по които три детайла могат да бъдат извлечени от 12, които имат такива, т.е. И общият брой благоприятни резултати е равен на броя на начините, по които три недефектни части могат да бъдат извлечени от седем, т.е. Следователно, 
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
За изчисляване на вероятността от събитие А
Тогава 
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
Дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на вероятностите:
Тогава вероятността 
се равнява...
Решение:
Нека използваме формулата 
. Тогава 
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварително изчислете вероятността от събитие А 
.
.
Тема: Числени характеристики на случайни величини
Тогава математическото му очакване е...
Решение:
Нека използваме формулата . Тогава .
Тема: Определение за вероятност
Решение:
Тема: Числени характеристики на случайни величини
Непрекъсната случайна променлива се дава от разпределението на плътността на вероятностите 
. След това математическото очакване аи стандартното отклонение на тази случайна променлива е равно на ...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Плътността на разпределение на вероятността на нормално разпределена случайна променлива има формата 
, където , . Ето защо .
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
Дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на вероятностите:
След това стойностите аи bможе да са равни...
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Тъй като сумата от вероятностите на възможните стойности е 1, тогава . Отговорът отговаря на това условие: .
Тема: Определение за вероятност
По-малък кръг с радиус 5 се поставя в кръг с радиус 8. Тогава вероятността точка, хвърлена на случаен принцип в по-голям кръг, също да попадне в по-малък кръг, е равна на ...
Решение:
За да изчислим вероятността от желаното събитие, използваме формулата , където е площта на по-малкия кръг и е площта на по-големия кръг. Следователно, .
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
Първата урна съдържа 3 черни топки и 7 бели топки. Втората урна съдържа 4 бели топки и 5 черни топки. Една топка се прехвърля от първата урна във втората урна. Тогава вероятността произволно изтеглена топка от втората урна да е бяла е...
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
Решение:
За изчисляване на вероятността от събитие А(произволно изтеглена топка е бяла) прилагаме формулата за обща вероятност: . Тук е вероятността бяла топка да бъде прехвърлена от първата урна във втората урна; е вероятността черна топка да бъде прехвърлена от първата урна във втората урна; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако бяла топка е прехвърлена от първата урна във втората; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако черна топка е прехвърлена от първата урна във втората.
Тогава 
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
За дискретна случайна променлива:
функцията на разпределение на вероятностите има формата:
Тогава стойността на параметъра може да бъде равна на ...
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
ЗАДАЧА № 10 докладвайте за грешка
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
Банката издава 70% от всички кредити на юридически лица и 30% на физически лица. Вероятността юридическото лице да не изплати заема навреме е 0,15; а за индивид тази вероятност е 0,05. Получи съобщение за невръщане на кредита. Тогава вероятността този заем да не бъде изплатен от юридическо лице е равна на ...
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварително изчислете вероятността от събитие А(отпуснатият заем няма да бъде изплатен навреме) по формулата за обща вероятност: . Тук - вероятността заемът да е издаден на юридическо лице; - вероятността заемът да е издаден на физическо лице; - условната вероятност заемът да не бъде изплатен навреме, ако е издаден на юридическо лице; - условната вероятност заемът да не бъде изплатен навреме, ако е издаден на физическо лице. Тогава .
Сега изчисляваме условната вероятност този заем да не е изплатен от юридическо лице, като използваме формулата на Бейс: .
ЗАДАЧА N 11 докладвайте грешка
Тема: Определение за вероятност
Има 5 дефектни части в партида от 12 части. Три елемента бяха избрани на случаен принцип. Тогава вероятността сред избраните части да няма подходящи части е равна на ...
Решение:
За да изчислим събитието (няма подходящи части сред избраните части), използваме формулата , където не общият брой възможни резултати от елементарни тестове, и ме броят на елементарните резултати, благоприятстващи появата на събитието. В нашия случай общият брой възможни елементарни резултати е равен на броя начини, по които три детайла могат да бъдат извлечени от 12, които имат такива, т.е. И общият брой благоприятни резултати е равен на броя на начините, по които три дефектни части могат да бъдат извлечени от пет, т.е. Следователно,
ЗАДАЧА N 12 докладвайте грешка
Тема: Числени характеристики на случайни величини
Непрекъсната случайна променлива се дава от плътността на разпределението на вероятностите: 
Тогава неговата дисперсия е...
Решение:
Дисперсията на непрекъсната случайна променлива може да се изчисли по формулата
Тогава 
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
Дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на вероятностите:
Тогава неговата функция на разпределение на вероятностите има формата ...
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
По дефиниция . Тогава
а) в , ,
б) в , ,
в) в , ,
г) в , ,
Яжте , .
Следователно, 
Тема: Пълна вероятност. Формули на Бейс
Има три урни, съдържащи 5 бели и 5 черни топки, и седем урни, съдържащи 6 бели и 4 черни топки. Една топка се тегли от урна на случаен принцип. Тогава вероятността топката да е бяла е...
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
За изчисляване на вероятността от събитие А(произволно изтеглена топка е бяла) прилагаме формулата за обща вероятност: . Тук е вероятността топката да бъде изтеглена от първата серия урни; е вероятността топката да бъде изтеглена от втората серия урни; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако е изтеглена от първата серия урни; е условната вероятност изтеглената топка да е бяла, ако е изтеглена от втората серия урни.
Тогава .
Тема: Закони за разпределение на вероятностите за дискретни случайни променливи
Дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на вероятностите:
Тогава вероятността се равнява...
Тема: Определение за вероятност
Зарът се хвърля два пъти. Тогава вероятността сумата от хвърлените точки да е десет е равна на ...
Можем да разграничим най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:
- Биномен закон на разпределение
- Закон за разпределение на Поасон
- Геометричен закон на разпределение
- Хипергеометричен закон на разпределение
За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и др.) се извършва по определени "формули". Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.
1. Биномен закон на разпределение.
Дискретната случайна променлива $X$ е обект на биномен законразпределение на вероятностите, ако приема стойностите $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\ ляво( 1-p\дясно))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитието $A$ в $n$ независими опити. Закон за разпределение на вероятностите за случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$
За такава случайна променлива очакването е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Пример . В семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите за раждане на момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi $ - броят на момчетата в семейството.
Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойностите, които $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ могат да приемат. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени по формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ - брой независими опити, $p=0.5$ - вероятност за настъпване на събитие в поредица от $n$ опита. Получаваме:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$
Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, т.е.:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$
Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $1.
Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.
2. Закон за разпределение на Поасон.
Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценките $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава ние имат основание да твърдят, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.
Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени утре от бензиностанция; броят на дефектните елементи в произведения продукт.
Пример . Заводът изпрати до базата продукти за $500$. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; което е равно на $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Нека дискретна случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Законът за разпределение на случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$
За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. Геометричен закон на разпределение.
Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ вдясно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава казваме, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение изглежда като изпитания на Бернули към първия успех.
Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството преди първата повреда; броя на хвърлянията на монети преди първия хедс-ъп и т.н.
Математическо очакване и дисперсия на случайна променлива, подчинени на геометрично разпределение, съответно, са равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.
Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността риба да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Изградете серия на разпределение на случайната променлива $X$ - броят ключалки, преминали от рибата преди първото спиране на ключалата. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Нека случайната променлива $X$ е броят на шлюзовете, преминали от рибата преди първото спиране на шлюза. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойностите, които може да приеме случайната променлива $X са: 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, където: $ p=2/5$ - вероятност рибата да бъде уловена през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4 $.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над(5))=0,4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$
Очаквана стойност:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
дисперсия:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ ляво(1-2,176\вдясно))^2+0,24\cdot (\вляво(2-2,176\вдясно))^2+0,144\cdot (\вляво(3-2,176\вдясно))^2+$
$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$
Стандартно отклонение:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$
4. Хипергеометричен закон на разпределение.
Ако има $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат даденото свойство. На случаен принцип, без заместване, се извличат $n$ обекта, сред които има $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение дава възможност да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадка да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:
$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$
Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функции $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой опити да бъдат успешни.
$f_x\до $ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ Добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В графиката Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността на $k$. образец_размере равно на $n$. В графиката Брой_на_успехите_в_популациятапосочете стойността на $m$. Размер на населениетое равно на $N$.
Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричен закон за разпределение, са $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\над (N))\надясно)\наляво(1-((n)\над (N))\надясно))\над (N-1))$.
Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3 специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.
а) Направете разпределителна серия на броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат насочени към повишаване на квалификацията;
б) Намерете числените характеристики на това разпределение.
Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ могат да приемат. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометричното разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ върху C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$
Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:
$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$
Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$, използвайки общите формули на хипергеометричното разпределение.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$
Зареждане...