Независими повторни тестове и формулата на Бернули. Биномиално разпределение

Формула на Бернули- формула в теорията на вероятностите, която ви позволява да намерите вероятността за настъпване на събитие A (\displaystyle A)в независими тестове. Формулата на Бернули ви позволява да се отървете от голям брой изчисления - събиране и умножение на вероятности - с достатъчно голям брой тестове. Наречен на изключителния швейцарски математик Якоб Бернули, който изведе тази формула.

Енциклопедичен YouTube

1 / 3

✪ Теория на вероятностите. 22. Формула на Бернули. Разрешаване на проблем

✪ Формула на Бернули

✪ 20 Повторете теста Формула на Бернули

субтитри

Формулировка

Теорема.Ако вероятността p (\displaystyle p)събитие A (\displaystyle A)е постоянна във всеки опит, тогава вероятността P k , n (\displaystyle P_(k,n))че събитието A (\displaystyle A)идва точно k (\displaystyle k)веднъж n (\displaystyle n)независими тестове е равно на: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), където q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Доказателство

Нека се държи n (\displaystyle n)независими тестове, а е известно, че в резултат на всеки тест събитие A (\displaystyle A)идва с вероятност P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)и следователно не се случва с вероятност P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Нека също и в хода на вероятностните тестове p (\displaystyle p)и q (\displaystyle q)остават непроменени. Каква е вероятността в резултат на това n (\displaystyle n)независим тест, събитие A (\displaystyle A)идва точно k (\displaystyle k)веднъж?

Оказва се, че е възможно точно да се изчисли броят на "успешните" комбинации от тестови резултати, за които събитието A (\displaystyle A)идва k (\displaystyle k)веднъж n (\displaystyle n)независими опити, е точно броят на комбинациите от n (\displaystyle n)На k (\displaystyle k) :

C n (k) = n! к! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

В същото време, тъй като всички изпитания са независими и техните резултати са несъвместими (събитие A (\displaystyle A)се случва или не), тогава вероятността за получаване на "успешна" комбинация е точно: .

И накрая, за да намерим вероятността, че n (\displaystyle n)независимо тестово събитие A (\displaystyle A)идва точно k (\displaystyle k)пъти, трябва да съберете вероятностите за получаване на всички „успешни“ комбинации. Вероятностите за получаване на всички "успешни" комбинации са еднакви и равни p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), броят на "успешните" комбинации е C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), така че най-накрая получаваме:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Последният израз не е нищо друго освен формулата на Бернули. Също така е полезно да се отбележи, че поради пълнотата на групата от събития ще бъде вярно:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

Обмисли Биномиално разпределение, изчислете неговото математическо очакване, дисперсия, мода. Използвайки функцията на MS EXCEL BINOM.DIST(), ще начертаем графиките на функцията на разпределението и плътността на вероятността. Нека оценим параметъра на разпределение p, математическо очакванеразпространение и стандартно отклонение. Също така разгледайте разпределението на Бернули.

Определение. Нека се държат нтестове, във всеки от които могат да възникнат само 2 събития: събитието "успех" с вероятност стр или събитието "провал" с вероятността р =1-p (т.нар схема на Бернули,Бернулиизпитания).

Вероятност да получите точно х успех в тези н тестове е равно на:

Брой успехи в извадката х е случайна променлива, която има Биномиално разпределение(Английски) Биномразпространение) стри н– са параметри на това разпределение.

Спомнете си това, за да кандидатствате Схеми на Бернулии съответно биномно разпределение,трябва да бъдат изпълнени следните условия:

• всяко изпитание трябва да има точно два резултата, условно наречени „успех” и „неуспех”.
• резултатът от всеки тест не трябва да зависи от резултатите от предишни тестове (независимост на теста).
• успеваемост стр трябва да бъде постоянно за всички тестове.

Биномиално разпределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, като се започне от версия 2010, за Биномиално разпределениеима функция BINOM.DIST() , Английско заглавие- BINOM.DIST(), което ви позволява да изчислите вероятността извадката да бъде точна х"успехи" (т.е. функция на плътността на вероятността p(x), вижте формулата по-горе), и интегрална функция на разпределение(вероятност пробата да има хили по-малко "успехи", включително 0).

Преди MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функцията BINOMDIST(), която също ви позволява да изчислявате разпределителна функцияи плътност на вероятността p(x). BINOMDIST() е оставен в MS EXCEL 2010 за съвместимост.

Примерният файл съдържа графики плътност на разпределение на вероятноститеи .

Биномиално разпределениеима обозначението б(н; стр) .

Забележка: За застрояване интегрална функция на разпределениеперфектен тип диаграма График, за плътност на разпространение – Хистограма с групиране. За повече информация относно изграждането на диаграми прочетете статията Основните типове диаграми.

Забележка: За удобство при писане на формули в примерния файл са създадени имена за параметри Биномиално разпределение: n и p.

Примерният файл показва различни вероятностни изчисления с помощта на функции на MS EXCEL:

Както се вижда на снимката по-горе, се предполага, че:

• Безкрайната популация, от която е направена извадката, съдържа 10% (или 0,1) добри елементи (параметър стр, трети аргумент на функцията =BINOM.DIST() )
• За да се изчисли вероятността в извадка от 10 елемента (параметър н, вторият аргумент на функцията) ще има точно 5 валидни елемента (първият аргумент), трябва да напишете формулата: =BINOM.DIST(5; 10; 0,1; FALSE)
• Последният, четвърти елемент е зададен = FALSE, т.е. стойността на функцията се връща плътност на разпространение.

Ако стойността на четвъртия аргумент е TRUE, тогава функцията BINOM.DIST() връща стойността интегрална функция на разпределениеили просто разпределителна функция. В този случай можете да изчислите вероятността броят на добрите елементи в извадката да бъде от определен диапазон, например 2 или по-малко (включително 0).

За да направите това, трябва да напишете формулата:
= BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Забележка: За стойност на x, която не е цяло число, . Например следните формули ще върнат същата стойност:
=BINOM.DIST( 2 ; десет; 0,1; ВЯРНО)
=BINOM.DIST( 2,9 ; десет; 0,1; ВЯРНО)

Забележка: В примерния файл плътност на вероятносттаи разпределителна функциясъщо се изчислява с помощта на дефиницията и функцията COMBIN().

Показатели за разпространение

AT примерен файл на лист Примерима формули за изчисляване на някои показатели за разпределение:

• =n*p;
• (стандартно отклонение на квадрат) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Извеждаме формулата математическо очакване Биномиално разпределениеизползвайки Схема на Бернули.

По дефиниция, случайна променлива X в Схема на Бернули(случайна променлива на Бернули) има разпределителна функция:

Това разпределение се нарича Разпределение на Бернули.

Забележка: Разпределение на Бернули- специален случай Биномиално разпределениес параметър n=1.

Нека генерираме 3 масива от 100 числа с различни вероятности за успех: 0.1; 0,5 и 0,9. За да направите това, в прозореца Поколение произволни числа задайте следните параметри за всяка вероятност p:

Забележка: Ако зададете опцията Случайно разпръскване (Случайно семе), тогава можете да изберете определен произволен набор от генерирани числа. Например, като зададете тази опция =25, можете да генерирате едни и същи набори от произволни числа на различни компютри (ако, разбира се, другите параметри на разпределение са еднакви). Стойността на опцията може да приема цели числа от 1 до 32 767. Име на опцията Случайно разпръскванеможе да обърка. Би било по-добре да го преведете като Задайте число със случайни числа.

В резултат на това ще имаме 3 колони от 100 числа, въз основа на които например можем да оценим вероятността за успех стрпо формулата: Брой успехи/100(см. примерен файлов лист Генериране на Bernoulli).

Забележка: За Разпределения на Бернулис p=0,5, можете да използвате формулата =RANDBETWEEN(0;1) , което съответства на .

Генериране на случайни числа. Биномиално разпределение

Да предположим, че в извадката има 7 дефектни артикула. Това означава, че е „много вероятно“ делът на дефектните продукти да се е променил. стр, което е характерно за нашия производствен процес. Въпреки че тази ситуация е „много вероятна“, има възможност (алфа риск, грешка тип 1, „фалшива аларма“), че стростава непроменена, а увеличеният брой дефектни продукти се дължи на случайна извадка.

Както може да се види на фигурата по-долу, 7 е броят на дефектните продукти, който е приемлив за процес с p=0,21 при същата стойност Алфа. Това илюстрира, че когато прагът на дефектни артикули в проба бъде надвишен, стр„вероятно“ се увеличи. Изразът „най-вероятно“ означава, че има само 10% шанс (100%-90%), че отклонението на процента дефектни продукти над прага се дължи само на случайни причини.

По този начин превишаването на праговия брой дефектни продукти в пробата може да служи като сигнал, че процесът е нарушен и е започнал да произвежда b относнопо-висок процент на дефектни продукти.

Забележка: Преди MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функция CRITBINOM(), която е еквивалентна на BINOM.INV(). CRITBINOM() е оставен в MS EXCEL 2010 и по-нова версия за съвместимост.

Връзка на биномиалното разпределение с други разпределения

Ако параметърът н Биномиално разпределениеклони към безкрайност и стрклони към 0, тогава в този случай Биномиално разпределениеможе да бъде приблизително.
Възможно е да се формулират условия, когато апроксимацията Поасоново разпределениеработи добре:

• стр<0,1 (по-малкото стри още н, толкова по-точно е приближението);
• стр>0,9 (като се има предвид това р=1- стр, изчисленията в този случай трябва да се извършват с помощта на р(а хтрябва да се замени с н- х). Следователно, толкова по-малко ри още н, толкова по-точно е приближението).

На 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Биномиално разпределениеможе да бъде приблизително.

на свой ред Биномиално разпределениеможе да служи като добро приближение, когато размерът на популацията е N Хипергеометрично разпределениемного по-голям от размера на извадката n (т.е. N>>n или n/N<<1).

Можете да прочетете повече за връзката на горните разпределения в статията. Там са дадени и примери за приближение и са обяснени условията кога е възможно и с каква точност.

СЪВЕТ: Можете да прочетете за други дистрибуции на MS EXCEL в статията.

Нека не мислим дълго за високото - нека започнем веднага с определение.

- това е, когато се извършват n независими експеримента от един и същи тип, във всеки от които може да се появи интересно за нас събитие А и е известна вероятността за това събитие P (A) \u003d p. Изисква се да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти по време на n опита.

Задачите, които се решават по схемата на Бернули, са изключително разнообразни: от прости (като „намерете вероятността стрелецът да уцели 1 път от 10“) до много тежки (например задачи за проценти или карти за игра) . В действителност тази схема често се използва за решаване на проблеми, свързани с контрола на качеството на продукта и надеждността на различни механизми, всички характеристики на които трябва да бъдат известни преди започване на работа.

Да се ​​върнем към дефиницията. Тъй като говорим за независими опити и във всеки опит вероятността за събитие А е една и съща, възможни са само два резултата:

1. A е появата на събитие A с вероятност p;
2. "не A" - събитие A не се е появило, което се случва с вероятност q = 1 − p.

Най-важното условие, без което схемата на Бернули губи смисъла си, е постоянството. Без значение колко експеримента провеждаме, ние се интересуваме от едно и също събитие А, което се случва с еднаква вероятност p.

Между другото, не всички проблеми в теорията на вероятностите могат да бъдат сведени до постоянни условия. Всеки компетентен учител по висша математика ще ви каже за това. Дори нещо толкова просто като ваденето на цветни топки от кутия не е експеримент с постоянни условия. Извадиха друга топка - съотношението на цветовете в кутията се промени. Следователно вероятностите също са се променили.

Ако условията са постоянни, може точно да се определи вероятността събитие А да се случи точно k пъти от n възможни. Ние формулираме този факт под формата на теорема:

Нека вероятността за възникване на събитие А във всеки експеримент е постоянна и равна на p. Тогава вероятността в n независими опита събитие А да се появи точно k пъти се изчислява по формулата:

където C n k е броят на комбинациите, q = 1 − p.

Тази формула се нарича: Интересно е да се отбележи, че проблемите по-долу са напълно решени без използването на тази формула. Например, можете да приложите формули за добавяне на вероятности. Обемът на изчисленията обаче ще бъде просто нереалистичен.

Задача. Вероятността за производство на дефектен продукт на машината е 0,2. Определете вероятността в партида от десет детайла, произведени на дадена машина, точно k да са без дефекти. Решете задачата за k = 0, 1, 10.

По предположение, ние се интересуваме от събитие А на освобождаване на продукти без дефекти, което се случва всеки път с вероятност p = 1 − 0,2 = 0,8. Трябва да определим вероятността това събитие да се случи k пъти. Събитието А е противопоставено на събитието „не А“, т.е. производство на дефектен продукт.

Така имаме: n = 10; р=0,8; q = 0,2.

И така, намираме вероятността всички части в партидата да са дефектни (k = 0), че само една част е дефектна (k = 1) и че изобщо няма дефектни части (k = 10):

Задача. Монетата се хвърля 6 пъти. Загубата на герба и опашките е еднакво вероятна. Намерете вероятността, че:

1. гербът ще падне три пъти;
2. гербът ще падне веднъж;
3. гербът ще се появи поне два пъти.

И така, интересуваме се от събитието А, когато гербът изпада. Вероятността за това събитие е p = 0,5. Събитието А се противопоставя на събитието „не А“, когато излиза на опашки, което се случва с вероятност q = 1 − 0,5 = 0,5. Необходимо е да се определи вероятността гербът да изпадне k пъти.

Така имаме: n = 6; р = 0,5; q = 0,5.

Нека определим вероятността гербът да е паднал три пъти, т.е. k = 3:

Сега нека определим вероятността гербът да е паднал само веднъж, т.е. k = 1:

Остава да се определи с каква вероятност гербът ще изпадне поне два пъти. Основната пречка е във фразата „не по-малко“. Оказва се, че всяко k, с изключение на 0 и 1, ще ни подхожда, т.е. трябва да намерите стойността на сумата X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Обърнете внимание, че тази сума също е равна на (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), т.е. от всички възможни варианти е достатъчно да „изрежете“ тези, когато гербът е паднал 1 път (k = 1) или изобщо не е изпаднал (k = 0). Тъй като P 6 (1) вече знаем, остава да намерим P 6 (0):

Задача. Вероятността телевизорът да има скрити дефекти е 0,2. Складът получи 20 телевизора. Кое събитие е по-вероятно: да има два телевизора със скрити дефекти в тази партида или три?

Интересно събитие А е наличието на латентен дефект. Общо телевизори n = 20, вероятността за скрит дефект p = 0,2. Съответно вероятността да получите телевизор без скрит дефект е q = 1 − 0,2 = 0,8.

Получаваме началните условия за схемата на Бернули: n = 20; р = 0,2; q = 0,8.

Нека намерим вероятността да получим два "дефектни" телевизора (k = 2) и три (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Очевидно P 20 (3) > P 20 (2), т.е. вероятността да получите три телевизора със скрити дефекти е по-вероятно да получите само два такива телевизора. Освен това разликата не е слаба.

Малка бележка за факторите. Много хора изпитват неясно чувство на дискомфорт, когато видят записа "0!" (прочетете "нулев факториел"). И така, 0! = 1 по дефиниция.

P.S. И най-голямата вероятност в последната задача е да получите четири телевизора със скрити дефекти. Направете си сметката и вижте сами.

Вижте също:

Благодаря ви, че прочетохте и споделихте с другите

При решаването на вероятностни проблеми човек често среща ситуации, в които едно и също изпитание се повтаря много пъти и резултатът от всяко изпитание е независим от резултатите на другите. Този експеримент се нарича още схема на повторни независими тестовеили Схема на Бернули.

Примери за повторни тестове:

1) многократно извличане на една топка от урната, при условие че топката, извадена след регистриране на цвета й, се връща обратно в урната;

2) повторение от един стрелец на изстрели в една и съща цел, при условие че вероятността за успешно попадение с всеки изстрел се приема за една и съща (ролята на нулирането не се взема предвид).

Така че, нека в резултат на теста възможно два изхода: или ще се появи събитие НО, или противоположното му събитие. Нека проведем n опита на Бернули. Това означава, че всички n опита са независими; вероятността за възникване на събитието $A$ във всеки отделен или отделен тест е постоянна и не се променя от тест на тест (т.е. тестовете се провеждат при едни и същи условия). Нека означим вероятността за настъпване на събитието $A$ в едно изпитание с буквата $p$, т.е. $p=P(A)$, а вероятността за обратното събитие (събитието $A$ не се е случило) се дава с буквата $q=P(\overline(A))=1-p$.

Тогава вероятността събитието НОще се появи в тези нтестове точно кпъти, изразено Формула на Бернули

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Извиква се разпределението на броя успехи (случки на събитие). биномно разпределение.

Онлайн калкулатори за формулата на Бернули

Някои от най-популярните видове задачи, които използват формулата на Бернули, са анализирани в статии и са снабдени с онлайн калкулатор, можете да отидете до тях, като използвате връзките:

Примери за решения на задачи по формулата на Бернули

Пример.Една урна съдържа 20 бели и 10 черни топки. Изваждат се 4 топки и всяка извадена топка се връща в урната, преди да бъде изтеглена следващата и топките в урната да се смесят.

Формула на Бернули. Разрешаване на проблем

Намерете вероятността 2 от 4-те изтеглени топки да са бели.

Решение.Събитие НО- получи бяла топка. След това вероятностите
, .
Според формулата на Бернули търсената вероятност е
.

Пример.Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има не повече от 3 момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква.

Решение.Вероятността да имаш момиче
, тогава .

Нека намерим вероятностите в семейството да няма момичета, родени са едно, две или три момичета:

, ,

, .

Следователно желаната вероятност

.

Пример.Сред детайлите, обработвани от работника, има средно 4% нестандартни. Намерете вероятността две от 30-те части, взети за тестване, да бъдат нестандартни.

Решение.Тук опитът се крие в проверката на качеството на всяка от 30-те части.

Събитие А е „поява на нестандартна част“, ​​неговата вероятност е , тогава . От тук, по формулата на Бернули, намираме
.

Пример.За всеки отделен изстрел от пистолета вероятността за попадение в целта е 0,9. Намерете вероятността от 20 изстрела броят на успешните изстрели да бъде поне 16 и най-много 19.

Решение.Изчисляваме по формулата на Бернули:

Пример.Независимите изпитания продължават до събитието НОняма да стане кведнъж. Намерете вероятността, че ще отнеме нопити (n ³ k), ако във всяко от тях .

Решение.Събитие AT- точно нтестове преди к-та поява на събитието НОе продукт на следните две събития:

D-in нти тест НОсе случи;

C - първо (n–1)ти тест НОсе появи (к-1)веднъж.

Теоремата за умножение и формулата на Бернули дават търсената вероятност:

Трябва да се отбележи, че използването на биномния закон често е свързано с изчислителни трудности. Следователно, с нарастващи стойности ни мстава целесъобразно да се използват приблизителни формули (Поасон, Моавр-Лаплас), които ще бъдат разгледани в следващите раздели.

Видео урок Формула на Бернули

За тези, които са по-визуални в последователно видео обяснение, 15-минутен видеоклип:

Формула за пълна вероятност: теория и примери за решаване на проблеми

Формула за обща вероятност и условни вероятности за събития

Формула за пълна вероятност е следствие от основните правила на теорията на вероятностите - правилото за събиране и правилото за умножение.

Формулата за обща вероятност ви позволява да намерите вероятността за събитие А, което може да се случи само с всеки от нвзаимно изключващи се събития, които образуват пълна система, ако техните вероятности са известни, и условни вероятности разработки Апо отношение на всяко от събитията на системата са равни на .

Събитията се наричат ​​още хипотези, те се изключват взаимно. Следователно в литературата можете да намерите и тяхното обозначение не по буквата б, но с писмо з(хипотеза).

За решаване на задачи с такива условия е необходимо да се разглеждат 3, 4, 5 или в общия случай нвъзможността за събитие Ас всяко събитие.

Използвайки теоремите за събиране и умножение на вероятностите, получаваме сумата от продуктите на вероятностите за всяко от събитията на системата по условна вероятност разработки Аза всяко събитие в системата.

21 изпитания на Бернули. Формула на Бернули

Тоест вероятността от събитие Аможе да се изчисли по формулата

или като цяло

,

което се нарича формула за обща вероятност .

Формула за пълна вероятност: примери за решаване на проблеми

Пример 1Има три еднакви на вид урни: в първата има 2 бели топки и 3 черни, във втората има 4 бели и една черна, в третата има три бели топки. Някой произволно се приближава до една от урните и изважда една топка от нея. Възползвам се формула за обща вероятност, намерете вероятността топката да е бяла.

Решение. Събитие А- появата на бяла топка. Излагаме три хипотези:

— избрана е първата урна;

— избира се втората урна;

— избира се третата урна.

Вероятности за условни събития Аза всяка от хипотезите:

, , .

Прилагаме формулата за обща вероятност, като резултат - необходимата вероятност:

.

Пример 2В първия завод от всеки 100 електрически крушки се произвеждат средно 90 стандартни крушки, във втория - 95, в третия - 85, като продукцията на тези заводи е съответно 50%, 30% и 20% от всички електрически крушки, доставени на магазините в определен район. Намерете вероятността да закупите стандартна електрическа крушка.

Решение. Нека обозначим вероятността за придобиване на стандартна електрическа крушка като А, и събитията, че закупената електрическа крушка е произведена съответно в първи, втори и трети завод до . По условие са известни вероятностите за тези събития: , , и условните вероятности за събитието Апо отношение на всеки от тях: , , . Това са вероятностите за придобиване на стандартна електрическа крушка, при условие че е произведена съответно в първия, втория и третия завод.

Събитие Аще се случи, ако се случи събитие или К– крушката е произведена в първия завод и е стандартна, или събитие Л- крушката е направена във втория завод и е стандартна или събитие М- крушката е произведена в трети завод и е стандартна.

Други възможности за настъпване на събитието Ане. Следователно събитието Ае сумата от събития К, Ли Мкоито са несъвместими. Прилагайки теоремата за добавяне на вероятностите, представяме вероятността за събитие Акато

и чрез теоремата за умножение на вероятността получаваме

това е, специален случай на формулата за пълна вероятност.

Замествайки вероятностите в лявата част на формулата, получаваме вероятността за събитието А:

Нямате време да се задълбочите в решението? Можете да поръчате работа!

Пример 3Самолетът каца на летището. Ако времето позволява, пилотът приземява самолета, като използва освен прибори и визуално наблюдение. В този случай вероятността за успешно кацане е . Ако летището е облачно с ниска облачност, тогава пилотът приземява самолета, като се ориентира само по прибори. В този случай вероятността за успешно кацане е ; .

Устройствата, които осигуряват сляпо кацане, имат надеждност (вероятност за безотказна работа) П. При наличие на ниска облачност и неуспешни инструменти за сляпо кацане, вероятността за успешно кацане е ; . Статистиката показва, че в к% от кацанията, летището е покрито с ниска облачност. намирам пълна вероятност за събитиетоА- безопасно кацане на самолета.

Решение. Хипотези:

— няма ниска облачност;

- Има ниска облачност.

Вероятностите на тези хипотези (събития):

;

Условна вероятност.

Условната вероятност отново се намира по формулата за общата вероятност с хипотези

- устройствата за сляпо кацане работят;

- устройствата за сляпо кацане отказаха.

Вероятностите на тези хипотези са:

Според формулата за пълна вероятност

Пример 4Устройството може да работи в два режима: нормален и ненормален. Нормален режим се наблюдава в 80% от всички случаи на работа на устройството, а ненормален - в 20% от случаите. Вероятност за повреда на устройството за определено време Tравно на 0,1; в ненормалното 0,7. намирам пълна вероятностповреда на устройството във времето T.

Решение. Отново означаваме вероятността от повреда на устройството като А. И така, по отношение на работата на устройството във всеки режим (събития), вероятностите са известни по условие: за нормален режим е 80% (), за ненормален режим - 20% (). Вероятност на събитието А(т.е. повреда на устройството) в зависимост от първото събитие (нормален режим) е 0,1 (); в зависимост от второто събитие (ненормален режим) - 0,7 ( ). Ние заместваме тези стойности във формулата за обща вероятност (т.е. сумата от продуктите на вероятността на всяко от събитията на системата и условната вероятност на събитието Апо отношение на всяко от събитията на системата) и имаме търсения резултат.

Дефиниция на повторни независими тестове. Формули на Бернули за изчисляване на вероятността и най-вероятното число. Асимптотични формули за формулата на Бернули (локални и интегрални, теореми на Лаплас). Използване на интегралната теорема. Формула на Поасон за малко вероятни случайни събития.

Повтарящи се независими тестове

На практика трябва да се справят с такива задачи, които могат да бъдат представени като многократно повтарящи се тестове, в резултат на всеки от които събитието А може да се появи или да не се появи. В същото време резултатът, който представлява интерес, не е резултатът от всеки "отделен опит, а общият брой повторения на събитие А в резултат на определен брой опити. В такива проблеми трябва да можете да определите вероятността от произволен брой m повторения на събитие А в резултат на n опита. Да разгледаме случая, когато опитите са независими и вероятността за възникване на събитие А във всеки опит е постоянна. Такива опити се наричат повтарящи се независими.

Пример за независимо тестване би било тестването на годността на продукти, взети от една от няколко партиди. Ако процентът на дефектите в тези партии е еднакъв, тогава вероятността избраният продукт да бъде дефектен във всеки случай е постоянно число.

Формула на Бернули

Нека използваме концепцията трудно събитие, което означава комбинацията от няколко елементарни събития, състояща се в появата или неявяването на събитие А в i -тия тест. Нека бъдат проведени n независими опита, във всяко от които събитие А може или да се появи с вероятност p, или да не се появи с вероятност q=1-p. Да разгледаме събитието B_m, което се състои в това, че събитието A в тези n опита ще се случи точно m пъти и следователно няма да се случи точно (n-m) пъти. Обозначете A_i~(i=1,2,\lточки,(n))настъпване на събитие A , a \overline(A)_i - ненастъпване на събитие A в i-тото изпитване. Поради постоянството на условията на теста имаме

Събитие A може да се появи m пъти в различни последователности или комбинации, редувайки се с противоположното събитие \overline(A) . Броят на възможните комбинации от този вид е равен на броя на комбинациите от n елемента по m, т.е. C_n^m. Следователно събитието B_m може да бъде представено като сума от сложни събития, които са несъвместими едно с друго, а броят на членовете е равен на C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

където събитие А се появява във всеки продукт m пъти, а \overline(A) - (n-m) пъти.

Вероятността за всяко съставно събитие, включено във формула (3.1), съгласно теоремата за умножение на вероятностите за независими събития, е равна на p^(m)q^(n-m) . Тъй като общият брой на такива събития е равен на C_n^m , тогава, използвайки теоремата за добавяне на вероятности за несъвместими събития, получаваме вероятността за събитието B_m (ние го обозначаваме с P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(or)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Формула (3.2) се извиква Формула на Бернули, а повторните опити, които отговарят на условието за независимост и постоянство на вероятностите за настъпване на събитието А във всяко от тях, се наричат Изпитания на Бернули, или схемата на Бернули.

Пример 1. Вероятността за излизане извън полето на толеранс при обработка на части на струг е 0,07. Определете вероятността от пет части, произволно избрани по време на смяната, един от размерите на диаметъра да не отговаря на определения толеранс.

Решение. Условието на задачата удовлетворява изискванията на схемата на Бернули. Следователно, ако приемем n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, по формула (3.2) получаваме

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\приблизително 0,\!262.

Пример 2. Наблюденията установяват, че в някои райони през септември има 12 дъждовни дни. Каква е вероятността от 8 произволно взети дни този месец 3 дни да са дъждовни?

Решение.

P_(3;8)=C_8^3(\вляво(\frac(12)(30)\вдясно)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Най-вероятният брой повторения на събитието

Най-вероятен външен видсъбитие А в n независими опита се нарича такова число m_0, за което вероятността, съответстваща на това число, надвишава или, според поне, не по-малко от вероятността за всяко от другите възможни числа на събитието A . За да се определи най-вероятното число, не е необходимо да се изчисляват вероятностите за възможния брой повторения на събитието, достатъчно е да се знае броят на опитите n и вероятността за възникване на събитието А в отделно изпитване. Нека P_(m_0,n) означава вероятността, съответстваща на най-вероятното число m_0. Използвайки формула (3.2), записваме

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Съгласно дефиницията на най-вероятното число, вероятностите събитието А да се случи m_0+1 и m_0-1 пъти, съответно, не трябва поне да надвишава вероятността P_(m_0,n) , т.е.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\квад P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Като заместим стойността P_(m_0,n) и изразите за вероятностите P_(m_0+1,n) и P_(m_0-1,n) в неравенствата, получаваме

Решавайки тези неравенства за m_0, получаваме

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Комбинирайки последните неравенства, получаваме двойно неравенство, което се използва за определяне на най-вероятното число:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Тъй като дължината на интервала, определен от неравенството (3.4), е равна на единица, т.е.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

и дадено събитие може да се случи в n опита само цял брой пъти, тогава трябва да се има предвид, че:

1) ако np-q е цяло число, тогава има две стойности на най-вероятното число, а именно: m_0=np-q и m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ако np-q е дробно число, то има едно най-вероятно число, а именно: единственото цяло число между дробните числа, получено от неравенство (3.4);

3) ако np е цяло число, тогава има едно най-вероятно число, а именно: m_0=np .

За големи стойности на n е неудобно да се използва формула (3.3) за изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число. Ако в равенство (3.3) заместим формулата на Стърлинг

N!\приблизително(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

валидни за достатъчно голямо n и вземем най-вероятното число m_0=np, тогава получаваме формула за приблизително изчисляване на вероятността, съответстваща на най-вероятното число:

P_(m_0,n)\приблизително\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Пример 2. Известно е, че \frac(1)(15) някои от продуктите, доставени от завода на търговската база, не отговарят на всички изисквания на стандарта. В базата е доставена партида продукти в размер на 250 броя. Намерете най-вероятния брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта, и изчислете вероятността тази партида да съдържа най-вероятния брой продукти.

Решение. По условие n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Съгласно неравенството (3.4) имаме

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

където 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Следователно най-вероятният брой продукти, които отговарят на изискванията на стандарта в партида от 250 броя. е равно на 234. Замествайки данните във формула (3.5), изчисляваме вероятността да имаме най-вероятния брой елементи в партидата:

P_(234 250)\приблизително\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\приблизително0,\!101

Локална теорема на Лаплас

Използването на формулата на Бернули за големи стойности на n е много трудно. Например ако n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, тогава за намиране на вероятността P_(30,50) е необходимо да се изчисли стойността на израза

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Естествено възниква въпросът: възможно ли е да се изчисли вероятността от лихва, без да се използва формулата на Бернули? Оказва се, че можете. Локалната теорема на Лаплас дава асимптотична формула, която ви позволява приблизително да намерите вероятността за възникване на събития точно m пъти в n опити, ако броят на опитите е достатъчно голям.

Теорема 3.1. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и единица, тогава вероятността P_(m,n), че събитие A ще се появи в n опита точно m пъти, е приблизително равна (колкото по-точно, по-голямо n ) към стойността на функцията

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))при .

Има таблици, които съдържат стойности на функции \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), съответстващи на положителни стойности на аргумента x . За стойности на отрицателни аргументи се използват същите таблици, тъй като функцията \varphi(x) е четна, т.е. \varphi(-x)=\varphi(x).

И така, приблизително вероятността събитие А да се появи в n опита точно m пъти,

P_(m,n)\приблизително\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x),където x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Пример 3. Намерете вероятността събитие А да се случи точно 80 пъти в 400 опита, ако вероятността за възникване на събитие А във всеки опит е 0,2.

Решение. По условие n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Използваме асимптотичната формула на Лаплас:

P_(80 400)\приблизително\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (х).

Нека изчислим стойността x, определена от данните на проблема:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Според таблицата adj, 1 намираме \varphi(0)=0,\!3989. Желана вероятност

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Формулата на Бернули води до приблизително същия резултат (изчисленията са пропуснати поради тяхната тромавост):

P_(80,100)=0,\!0498.

Интегрална теорема на Лаплас

Да предположим, че са проведени n независими опита, във всяко от които вероятността за настъпване на събитието A е постоянна и равна на p . Необходимо е да се изчисли вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие А ще се появи в n опита поне m_1 и най-много m_2 пъти (за краткост ще кажем "от m_1 до m_2 пъти"). Това може да се направи с помощта на интегралната теорема на Лаплас.

Теорема 3.2. Ако вероятността p за възникване на събитие A във всеки опит е постоянна и различна от нула и единица, тогава приблизително вероятността P_((m_1,m_2),n), че събитие A ще се появи в опити от m_1 до m_2 пъти,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,където .

При решаване на задачи, изискващи прилагането на интегралната теорема на Лаплас, се използват специални таблици, тъй като неопределеният интеграл \int(e^(-x^2/2)\,dx)не се изразява чрез елементарни функции. Интегрална маса \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dzдадено в ап. 2, където стойностите на функцията \Phi(x) са дадени за положителни стойности на x , за x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 може да приеме \Phi(x)=0,\!5 .

И така, приблизително вероятността събитие А да се появи в n независими опита от m_1 до m_2 пъти,

P_((m_1,m_2),n)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x"),където x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Пример 4. Вероятност дадена част да е произведена в нарушение на стандартите, p=0,\!2 . Намерете вероятността сред 400 произволно избрани нестандартни части да има от 70 до 100 части.

Решение. По условие p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Нека използваме интегралната теорема на Лаплас:

P_((70,100),400)\приблизително\Phi(x"")-\Phi(x").

Нека изчислим границите на интегриране:

нисък

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

горен

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

По този начин

P_((70,100),400)\приблизително\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Според таблицата ап. 2 намерете

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Желана вероятност

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Приложение на интегралната теорема на Лаплас

Ако числото m (броят повторения на събитие А в n независими опита) ще се промени от m_1 на m_2, тогава частта \frac(m-np)(\sqrt(npq))ще се промени от \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"преди \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Следователно интегралната теорема на Лаплас може да бъде записана и по следния начин:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Нека поставим задачата да намерим вероятността абсолютната стойност на отклонението на относителната честота \frac(m)(n) от постоянната вероятност p да не надвишава даденото число \varepsilon>0 . С други думи, намираме вероятността за неравенството \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon, което е същото -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Тази вероятност ще бъде означена по следния начин: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Като вземем предвид формула (3.6), за тази вероятност получаваме

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\надясно).

Пример 5. Вероятността частта да е нестандартна, p=0,\!1 . Намерете вероятността сред произволно избрани 400 части относителната честота на поява на нестандартни части да се отклонява от вероятността p=0,\!1 по абсолютна стойност с не повече от 0,03.

Решение. По условие n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Трябва да намерим вероятността P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\). Използвайки формула (3.7), получаваме

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

Според таблицата ап. 2 намираме \Phi(2)=0,\!4772 , следователно 2\Phi(2)=0,\!9544 . Така че желаната вероятност е приблизително равна на 0,9544. Значението на получения резултат е следното: ако вземем достатъчно голям брой проби от 400 части всяка, тогава приблизително в 95,44% от тези проби отклонението на относителната честота от постоянната вероятност p=0,\!1 в абсолютната стойност няма да надвишава 0,03.

Формула на Поасон за малко вероятни събития

Ако вероятността p за настъпване на събитие в отделен опит е близка до нула, тогава дори за големи числатестове n, но при малка стойност на произведението np вероятностите P_(m, n), получени по формулата на Лаплас, не са достатъчно точни и има нужда от друга приблизителна формула.

Теорема 3.3. Ако вероятността p за настъпване на събитие A във всеки опит е постоянна, но малка, броят на независимите опити n е достатъчно голям, но стойността на продукта np=\lambda остава малка (не повече от десет), тогава вероятността че събитие А се случва m пъти в тези опити,

P_(m,n)\приблизително\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

За да се опростят изчисленията с помощта на формулата на Поасон, е съставена таблица със стойности на функцията на Поасон \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(вижте приложение 3).

Пример 6. Нека вероятността за производство на нестандартна част е 0,004. Намерете вероятността сред 1000 части да има 5 нестандартни.

Решение. Тук n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. И трите числа отговарят на изискванията на теорема 3.3, така че за да намерим вероятността за желаното събитие P_(5,1000), използваме формулата на Поасон. Съгласно таблицата със стойностите на функцията на Поасон (прил. 3) с \lambda=4;m=5 получаваме P_(5,1000)\приблизително 0,\!1563.

Нека намерим вероятността за същото събитие, използвайки формулата на Лаплас. За да направим това, първо изчисляваме стойността x, съответстваща на m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\приблизително\frac(1)(1,\!996)\приблизително0 ,\!501.

Следователно, според формулата на Лаплас, желаната вероятност

P_(5,1000)\приблизително\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\приблизително\frac(0,\!3519)(1,\!996)\приблизително0,\ !1763

и според формулата на Бернули точната му стойност

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\приблизително 0,\!1552.

По този начин, относителна грешкаизчисляването на вероятностите P_(5,1000) с помощта на приблизителната формула на Лаплас е

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!196, или 13,\!6\%

и според формулата на Поасон -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\приблизително 0,\!007, или 0,\!7\%

Тоест в пъти по-малко.
Преминете към следващия раздел
Едномерен случайни променливи Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

Повтарящите се независими опити се наричат ​​опити на Бернули, ако всеки опит има само два възможни резултата и вероятностите за резултати остават еднакви за всички опити.

Обикновено тези два изхода се наричат ​​"успех" (S) или "неуспех" (F) и съответните вероятности се обозначават стри р. Това е ясно стр 0, р³ 0 и стр+р=1.

Елементарното пространство на събитията на всеки опит се състои от две събития Y и H.

Пространство на елементарни събития нИзпитания на Бернули Ω съдържа 2 нелементарни събития, които са последователности (вериги) от нсимволи Y и H. Всяко елементарно събитие е един от възможните резултати от последователността нИзпитания на Бернули. Тъй като тестовете са независими, тогава, съгласно теоремата за умножение, вероятностите се умножават, т.е. вероятността за всяка конкретна последователност е продуктът, получен чрез заместване на символите U и H с стри рсъответно, тоест например: Р( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Имайте предвид, че резултатът от теста на Бернули често се означава с 1 и 0, а след това елементарното събитие в последователността нТестове на Бернули - има верига, състояща се от нули и единици. Например:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Опитите на Бернули са най-важната схема, разглеждана в теорията на вероятностите. Тази схема е кръстена на швейцарския математик Й. Бернули (1654-1705), който изучава този модел задълбочено в своите трудове.

Основният проблем, който ще ни интересува тук е: каква е вероятността от събитието, което в нПроцесите на Бернули се случиха муспех?

Ако тези условия са изпълнени, вероятността по време на независими тестове събитие ще се спазва точно м пъти (без значение в кои експерименти), се определя от Формула на Бернули:

(21.1)

където - вероятност за възникване във всеки тест и
е вероятността в дадено преживяване събитие Не се случи.

Ако вземем предвид П н (м)като функция м, то дефинира вероятностно разпределение, което се нарича биномно. Нека проучим тази връзка П н (м)от м, 0£ м£ н.

Разработки бм ( м = 0, 1, ..., н), състоящ се от различен брой повторения на събитието НОв нтестове, са несъвместими и образуват пълна група. Следователно,
.

Помислете за съотношението:

=
=
=
.

Оттук следва, че П н (m+1)>П н (м),ако (н- m)p> (m+1)q, т.е. функция П н (м) се увеличава, ако м< np- р. по същия начин, П н (m+1)< П н (м),ако (н- m)p< (m+1)q, т.е. П н (м)намалява, ако м> np- р.

Така има число м 0, при което П н (м)достига най-високата си стойност. Да намерим м 0 .

Според значението на числото м 0 имаме П н (м 0)³ П н (м 0 -1) и П н (м 0) ³ П н (м 0 +1), следователно

, (21.2)

. (21.3)

Решаване на неравенства (21.2) и (21.3) по отношение на м 0, получаваме:

стр/ м 0 ³ р/(н- м 0 +1) Þ м 0 £ np+ стр,

р/(н- м 0 ) ³ стр/(м 0 +1) Þ м 0 ³ np- р.

Така желаното число м 0 удовлетворява неравенствата

np- р£ м 0 £ np+p. (21.4)

защото стр+р=1, тогава дължината на интервала, определен от неравенство (21.4), е равна на единица и има поне едно цяло число м 0, удовлетворяващ неравенствата (21.4):

1) ако np - ре цяло число, тогава има две стойности м 0, а именно: м 0 = np - ри м 0 = np - р + 1 = np + стр;

2) ако np - р- дробно, тогава има едно число м 0 , а именно единственото цяло число между дробните числа, получено от неравенство (21.4);

3) ако npе цяло число, тогава има едно число м 0, а именно м 0 = np.

Номер м 0 се нарича най-вероятната или най-вероятната стойност (число) на настъпване на събитието Ав поредица от ннезависими тестове.