Dsv x се дава от закона за разпределение. Дискретни случайни променливи

Примери за решаване на задачи по темата "Случайни променливи".

Задача 1 . В лотарията има издадени 100 билета. Изиграна е една печалба от 50 USD. и десет победи по $10 всяка. Намерете закона за разпределение на стойността X - цената на възможна печалба.

Решение. Възможни стойности на X: x 1 = 0; х 2 = 10 и х 3 = 50. Тъй като има 89 „празни“ билета, тогава p 1 = 0,89, вероятността за печалба е 10 c.u. (10 билета) – стр 2 = 0,10 и за печалба от 50 c.u. –стр 3 = 0,01. По този начин:


	0,89	0,10	0,01

Лесен за управление:.

Задача 2. Вероятността купувачът да се е запознал предварително с рекламата на продукта е 0,6 (p = 0,6). Избирателният контрол на качеството на рекламата се извършва чрез анкетиране на купувачите преди първия, който е проучил рекламата предварително. Направете серия от разпределение на броя на интервюираните купувачи.

Решение. Според условието на задачата p = 0,6. От: q=1 -p = 0,4. Заменяйки тези стойности, получаваме:и изградете серия за разпределение:


пи		0,24

Задача 3. Компютърът се състои от три независимо работещи елемента: системен блок, монитор и клавиатура. При еднократно рязко увеличение на напрежението вероятността от повреда на всеки елемент е 0,1. Въз основа на разпределението на Бернули съставете закона за разпределение на броя на повредените елементи по време на пренапрежение в мрежата.

Решение. Обмисли Разпределение на Бернули(или бином): вероятността, че вн тестове, събитие А ще се появи точнок веднъж: , или:


	р н					стр н

AT да се върнем на задачата.

Възможни стойности на X (брой повреди):

x 0 =0 - нито един от елементите не е повреден;

x 1 =1 - отказ на един елемент;

x 2 =2 - отказ на два елемента;

x 3 =3 - отказ на всички елементи.

Тъй като по условие p = 0,1, тогава q = 1 – p = 0,9. Използвайки формулата на Бернули, получаваме

, ,

, .

Контрол: .

Следователно желаният закон за разпределение:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Задача 4. Произведени са 5000 патрона. Вероятността една касета да е дефектна . Каква е вероятността в цялата партида да има точно 3 дефектни касети?

Решение. Приложимо Поасоново разпределение: това разпределение се използва за определяне на вероятността, че при дадена много голяма

брой опити (масови опити), при всяко от които вероятността за събитие А е много малка, събитие А ще се случи k пъти: , където .

Тук n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Намираме , тогава желаната вероятност: .

Задача 5. При стрелба преди първото попадение с вероятност за попадение на p = 0,6 за изстрел, трябва да намерите вероятността попадението да се случи при третия изстрел.

Решение. Нека приложим геометричното разпределение: нека независими тестове, при всяко от които събитието А има вероятност за настъпване p (и ненастъпване q = 1 – p). Опитите приключват веднага щом настъпи събитие А.

При такива условия вероятността събитие А да се случи на k-тия тест се определя по формулата: . Тук p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Следователно, .

Задача 6. Нека е даден законът за разпределение на случайна променлива X:

намирам очаквана стойност.

Решение. .

Имайте предвид, че вероятностното значение на математическото очакване е средната стойност на случайна променлива.

Задача 7. Намерете дисперсията на случайна променлива X със следния закон на разпределение:

Решение. Тук .

Законът за разпределение на квадрата на X 2 :

х 2

Изисквано отклонение: .

Дисперсията характеризира степента на отклонение (разсейване) на случайна променлива от нейното математическо очакване.

Задача 8. Позволявам произволна стойностдадени чрез разпределение:

			10м

Намери я числови характеристики.

Решение: m, m 2 ,

М 2 , м.

За случайна променлива X може да се каже и едното и другото - нейното математическо очакване е 6,4 m с дисперсия 13,04 m 2 , или - математическото му очакване е 6,4 m с отклонение от m. Втората формулировка очевидно е по-ясна.

Задача 9. Случайна стойностх дадено от функцията на разпределение:
.

Намерете вероятността в резултат на теста стойността X да приеме стойност, съдържаща се в интервала .

Решение. Вероятността X да приеме стойност от даден интервал е равна на нарастването на интегралната функция в този интервал, т.е. . В нашия случай и следователно

Задача 10. Дискретна случайна променливах дадено от закона за разпределение:

Намиране на функция на разпределение F(x ) и изградете неговата графика.

Решение. защото разпределителна функция,

за , тогава

в ;

Подходяща диаграма:

Задача 11.Непрекъсната случайна променливах дадено от диференциалната функция на разпределение: .

Намерете вероятността за удряне X за интервал

Решение. Имайте предвид, че това е специален случай на закона за експоненциалното разпределение.

Нека използваме формулата: .

Задача 12. Намерете числените характеристики на дискретна случайна променлива X, дадена от закона за разпределение:

–5

X 2:

. , където е функцията на Лаплас.

Стойностите на тази функция се намират с помощта на таблица.

В нашия случай:.

Според таблицата намираме:, следователно:

Случайна величинаизвиква се променлива, която в резултат на всеки тест приема една неизвестна преди това стойност в зависимост от случайни причини. Случайните променливи се означават с главни букви с латински букви: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Могат да бъдат произволни променливи отделени непрекъснато.

Дискретна случайна променлива- това е такава случайна променлива, чиито стойности могат да бъдат не повече от изброими, тоест или крайни, или изброими. Преброимостта означава, че стойностите на случайна променлива могат да бъдат изброени.

Пример 1 . Нека дадем примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на попаденията в целта с $n$ изстрела, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) броят на гербовете, изпаднали при хвърляне на монета, тук възможните стойности са $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) броя на корабите, които са пристигнали на борда (изброим набор от стойности).

г) броя на повикванията, пристигащи в централата (изброим набор от стойности).

1. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива.

Дискретна случайна променлива $X$ може да приема стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятности $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Съответствието между тези стойности и техните вероятности се нарича закон на разпределение на дискретна случайна променлива. По правило това съответствие се посочва с помощта на таблица, в първия ред на която са посочени стойностите на $x_1,\dots ,\ x_n$, а във втория ред вероятностите, съответстващи на тези стойности, са $ p_1,\точки,\ p_n$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\край (масив)$

Пример 2 . Нека случайната променлива $X$ е броят точки, хвърлени при хвърляне на зара. Такава случайна променлива $X$ може да приеме следните стойности$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятностите за всички тези стойности са равни на $1/6$. Тогава законът за разпределение на вероятностите за случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\край (масив)$

Коментирайте. Тъй като в закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ събитията $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ формират пълна групасъбития, тогава сумата на вероятностите трябва да е равна на единица, т.е. $\sum(p_i)=1$.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Математическо очакване на случайна променливаопределя неговата "централна" стойност. За дискретна случайна променлива, математическото очакване се изчислява като сумата от продуктите на стойностите $x_1,\dots ,\ x_n$ и вероятностите $p_1,\dots ,\ p_n$, съответстващи на тези стойности, т.е.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англоезичната литература се използва друга нотация $E\left(X\right)$.

Свойства на очакванията$M\ляво(X\дясно)$:

$M\left(X\right)$ е между най-малкото и най-високи стойностислучайна променлива $X$.
Математическото очакване на константа е равно на самата константа, т.е. $M\ляво(C\дясно)=C$.
Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
Математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Нека намерим математическото очакване на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\над (6))+4\cdot ((1)\над (6))+5\cdot ((1)\над (6))+6\cdot ((1 )\над (6))=3,5.$$

Можем да забележим, че $M\left(X\right)$ е между най-малката ($1$) и най-голямата ($6$) стойности на случайната променлива $X$.

Пример 4 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=2$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $3X+5$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Пример 5 . Известно е, че математическото очакване на случайната променлива $X$ е равно на $M\left(X\right)=4$. Намерете математическото очакване на случайната променлива $2X-9$.

Използвайки горните свойства, получаваме $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Дисперсия на дискретна случайна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с равни математически очаквания могат да се разпръснат различно около техните средни стойности. Например в две ученически групи общ успехза изпита по теория на вероятностите се оказа равен на 4, но в едната група всички се оказаха добри, а в другата - само трима и то отличници. Следователно има нужда от такава числена характеристика на случайна променлива, която да показва разпространението на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсия.

Дисперсия на дискретна случайна променлива$X$ е:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англоезичната литература се използва обозначението $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Много често дисперсията $D\left(X\right)$ се изчислява по формулата $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ляво(X \дясно)\дясно))^2$.

Свойства на дисперсия$D\ляво(X\дясно)$:

Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $D\наляво(X\надясно)\ge 0$.
Дисперсията от константа е равна на нула, т.е. $D\ляво(C\дясно)=0$.
Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията, при условие че е повдигнат на квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X+Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.
Дисперсията на разликата на независимите случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии, т.е. $D\ляво(X-Y\дясно)=D\ляво(X\дясно)+D\ляво(Y\дясно)$.

Пример 6 . Нека изчислим дисперсията на случайната променлива $X$ от пример $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\над (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\приблизително 2,92.$$

Пример 7 . Известно е, че дисперсията на случайната променлива $X$ е равна на $D\left(X\right)=2$. Намерете дисперсията на случайната променлива $4X+1$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ляво(X\дясно)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно е, че дисперсията на $X$ е равна на $D\left(X\right)=3$. Намерете дисперсията на случайната променлива $3-2X$.

Използвайки горните свойства, намираме $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ляво(X\дясно)=4\cdot 3=12$.

4. Функция на разпределение на дискретна случайна величина.

Методът за представяне на дискретна случайна променлива под формата на серия на разпределение не е единственият и най-важното е, че не е универсален, тъй като непрекъсната случайна променлива не може да бъде определена с помощта на серия на разпределение. Има и друг начин за представяне на случайна променлива - функцията на разпределение.

разпределителна функцияслучайна променлива $X$ е функция $F\left(x\right)$, която определя вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойност, по-малка от някаква фиксирана стойност $x$, т.е. $F\left(x\ дясно)$ )=P\ляво(X< x\right)$

Свойства на функцията на разпределение:

$0\le F\left(x\right)\le 1$.
Вероятността случайната променлива $X$ да приема стойности от интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал : $P\наляво(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - ненамаляващ.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Пример 9 . Нека намерим функцията на разпределение $F\left(x\right)$ за закона за разпределение на дискретната случайна променлива $X$ от пример $2$.

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\край (масив)$

Ако $x\le 1$, тогава очевидно $F\left(x\right)=0$ (включително $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ако $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $x > 6$, тогава $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Така че $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ на\ 2< x\le 3,\\
1/2, при \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ в\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ в \ 4< x\le 5,\\
1,\ за \ x > 6.
\end(матрица)\right.$

Както е известно, случайна величина Наречен променлива, които могат да приемат определени стойности в зависимост от случая. Случайни променливи означават главни буквилатиница (X, Y, Z), а техните стойности са в съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива се нарича случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределение може да бъде зададен графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на "средна стойност" на случайна променлива или число, което показва средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
За биномно разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2) − 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Задача 1.

Издадени 1000 лотарийни билети: 5 от тях получават печалба в размер на 500 рубли, 10 - печалба от 100 рубли, 20 - печалба от 50 рубли, 50 - печалба от 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Намерете математическото очакване на X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната случайна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е повреден), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 \u003d 3 (три елемента са неуспешни).

Повредите на елементите са независими една от друга, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формула на Бернули . Като се има предвид, че по условие n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 \u003d 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

По този начин желаното биномен законразпределението X има формата:

На абсцисната ос начертаваме възможните стойности x i, а на ординатната ос - съответните вероятности р i . Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

3. Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X

За x ≤ 0 имаме F(x) = P(X<0) = 0;
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще бъде F(x) = 1, защото събитието е сигурно.

Графика на функцията F(x)

4. За биномното разпределение X:
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- средно аритметично стандартно отклонениеσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Определение 2.3. Случайна променлива, означена с X, се нарича дискретна, ако приема краен или изброим набор от стойности, т.е. множеството е крайно или изброимо множество.

Разгледайте примери за дискретни случайни променливи.

1. Две монети се хвърлят веднъж. Броят на гербовете в този експеримент е случайна променлива х. Възможните му стойности са 0,1,2, т.е. е крайно множество.

2. Записва се броят на повикванията на линейка за даден период от време. Случайна стойност х– брой обаждания. Възможните му стойности са 0, 1, 2, 3, ..., т.е. =(0,1,2,3,...) е изброимо множество.

3. В групата има 25 ученика. В даден ден се записва броят на учениците, дошли на занятия - случайна променлива х. Възможните му стойности са: 0, 1, 2, 3, ..., 25 т.е. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Въпреки че всичките 25 души в пример 3 не могат да пропуснат часовете, но случайната променлива хможе да приеме тази стойност. Това означава, че стойностите на една случайна променлива имат различни вероятности.

Да разгледаме математически модел на дискретна случайна променлива.

Нека бъде проведен случаен експеримент, който съответства на крайно или изброимо пространство от елементарни събития. Нека разгледаме преобразуването на това пространство върху множеството от реални числа, т.е. свързваме всяко елементарно събитие с някакво реално число , . Наборът от числа в този случай може да бъде краен или изброим, т.е. или

Системата от подмножества, която включва всяко подмножество, включително едноточково, образува -алгебра на числено множество (-крайно или изброимо).

Тъй като всяко елементарно събитие е свързано с определени вероятности p i(в случай на крайни всички ), и , тогава можем да присвоим определена вероятност на всяка стойност на случайната променлива p i, така че .

Позволявам хе произволно реално число. Обозначете R X (x)вероятността случайната променлива хвзе стойност, равна на х, т.е. P X (x) \u003d P (X \u003d x). След това функцията R X (x)може да приема положителни стойности само за тези стойности х, които принадлежат към крайно или изброимо множество , а за всички други стойности, вероятността за тази стойност P X (x)=0.

И така, дефинирахме набора от стойности, -алгебра като система от всякакви подмножества и за всяко събитие ( X=x) сравнява вероятността за всякакви, т.е. изгради вероятностно пространство.

Например, пространството на елементарни събития на експеримент, състоящ се в хвърляне на симетрична монета два пъти, се състои от четири елементарни събития: , където

Когато една монета беше хвърлена два пъти, две решетки изпаднаха; при два пъти хвърляне на монета изпадали два герба;

При първото хвърляне на монета изпадна решетка, а при второто - герб;

При първото хвърляне на монета изпадаше гербът, а при второто - решетката.

Нека случайната променлива хе броят на отпаданията на решетката. Той е дефиниран върху и множеството от неговите стойности . Всички възможни подмножества, включително едноточковите, образуват - алгебра, т.е. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Вероятност за събитие ( X=x i}, і = 1,2,3, ние го дефинираме като вероятността за възникване на събитие, което е негов прототип:

По този начин, върху елементарни събития ( X = x i) задайте числова функция R X, така .

Определение 2.4. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е набор от двойки числа (x i, p i), където x i са възможните стойности на случайната променлива, а p i са вероятностите, с които тя приема тези стойности и .

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности:

			…		…
			…		…

Такава таблица се нарича ред за разпределение. За да се направи серията на разпределение по-нагледна, тя е изобразена графично: на оста опоставяйте точки x iи начертайте от тях перпендикуляри на дължина p i. Получените точки се свързват и се получава многоъгълник, който е една от формите на закона за разпределение (фиг. 2.1).

По този начин, за да зададете дискретна случайна променлива, трябва да зададете нейните стойности и съответните вероятности.

Пример 2.2.Пароприемникът на машината се задейства всеки път, когато се пусне монета с вероятност Р. След като работи, монетите не се спускат. Позволявам х- броя на монетите, които трябва да бъдат спуснати, преди да се задейства касетоприемникът на машината. Конструирайте серия от разпределение на дискретна случайна променлива х.

Решение.Възможни стойности на случайна променлива х: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...Нека намерим вероятностите за тези стойности: стр. 1е вероятността чекмеджето за пари да работи при първото спускане, и p 1 =p; стр 2 -вероятността да бъдат направени два опита. За да направите това, е необходимо: 1) при първия опит приемникът на пари да не работи; 2) при втория опит - получи се. Вероятността за това събитие е (1–r)r. по същия начин и така нататък, . Диапазон на разпространение хще приеме формата

	1	2	3	…	да се	…
	Р	qp	q 2 p		q r -1 p

Обърнете внимание, че вероятностите r къмобразуват геометрична прогресия със знаменател: 1–p=q, р<1, така че това разпределение на вероятностите се нарича геометричен.

Нека освен това приемем, че е конструиран математически модел експеримент, описан от дискретна случайна променлива хи разгледайте изчисляването на вероятностите за възникване на произволни събития.

Нека произволно събитие съдържа краен или изброим набор от стойности x i: А= {x 1, x 2,..., x i, ...).Събитие НОможе да се представи като обединение на несъвместими събития от вида : . След това, прилагайки аксиомата 3 на Колмогоров , получаваме

тъй като сме определили вероятностите за възникване на събитията да бъдат равни на вероятностите за възникване на събития, които са техни прототипи. Това означава, че вероятността от всяко събитие , , може да се изчисли по формулата , тъй като това събитие може да бъде представено като обединение на събития , където .

След това разпределителната функция F(х) = Р(–<Х<х) се намира по формулата. От това следва, че функцията на разпределение на дискретна случайна променлива хе прекъсната и нараства със скокове, т.е. това е стъпкова функция (фиг. 2.2):

Ако множеството е крайно, тогава броят на членовете във формулата е краен; ако е изброимо, тогава броят на членовете също е изброим.

Пример 2.3.Техническото средство се състои от два елемента, които работят независимо един от друг. Вероятността за повреда на първия елемент за време T е 0,2, а вероятността за повреда на втория елемент е 0,1. Случайна стойност х- броят на неуспешните елементи за време T. Намерете функцията на разпределение на случайна променлива и изградете нейната графика.

Решение.Пространството на елементарните събития на експеримента, който се състои в изследване на надеждността на два елемента от техническо средство, се определя от четири елементарни събития , , , : – двата елемента са в добро състояние; - първият елемент е изправен, вторият е дефектен; - първият елемент е дефектен, вторият е изправен; – и двата елемента са дефектни. Всяко от елементарните събития може да бъде изразено чрез елементарните събития на пространствата и , където – първият елемент е изправен; - първият елемент е неизправен; – вторият елемент е изправен; - Вторият елемент не работи. Тогава , и тъй като елементите на техническото устройство работят независимо един от друг, тогава

8. Каква е вероятността стойностите на дискретна случайна променлива да принадлежат към интервала?

Дискретно произволнопроменливите се наричат случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга, които могат да бъдат изброени предварително.
разпределителен закон
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Диапазонът на разпределение на дискретна случайна променлива е списък от нейните възможни стойности и съответните им вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива се нарича функцията:
,
което определя за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността за приемане на случайна променлива X стойности.
Ако една случайна променлива приеме изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Вариация на броя на появяванията на събитие в n независими опита
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Съставете закона за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (d.r.v.) X – числото k на поне една „шестица“ в n = 8 хвърляния на чифт зарове. Начертайте полигона на разпределението. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А - "по време на хвърлянето на чифт зарове шестицата се появи поне веднъж." За да се намери вероятността P(A) = p на събитието A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā – „при хвърляне на чифт зарове шестицата не се появи дори веднъж".
Тъй като вероятността да не се появи „шестица“ при хвърляне на един зар е 5/6, тогава по теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата се провеждат по схемата на Бернули, следователно d.r.v. величина х- номер котпадането на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от нНа к.

Удобно е да подредите изчисленията, извършени за този проблем, под формата на таблица:
Вероятностно разпределение на d.r.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )

к

PN(к)

Многоъгълник (многоъгълник) на вероятностното разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фиг.:

Ориз. Многоъгълник на вероятностното разпределение на d.r.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.r.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е:
М(х) = = 2,4444,
където xk = ке стойността, приета от д.р.в. х. дисперсия д(х) намираме разпределенията по формулата:
д(х) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределение

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава е равна на вероятността за събитие, което може да се осъществи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава, съгласно теоремата за събиране, вероятността за събитие е равна на сбора от вероятностите 0,3 + 0,1=0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде аналитично написана, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условието вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни на:

Законът за разпределение има формата: