Логаритмите са различни видове техни решения. Логаритмично уравнение: основни формули и техники

Логаритмични изрази, решение на примери. В тази статия ще разгледаме проблеми, свързани с решаването на логаритми. Задачите поставят въпроса за намиране стойността на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и е изключително важно да се разбере значението му. Що се отнася до USE, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложни задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Ето примери за разбиране на самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да помните:

*Логаритъм на произведението е равно на суматалогаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на частното (дробта) е равен на разликата на логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа.

* * *

*Преход към нова база

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритми е тясно свързано с използването на свойствата на експонентите.

Ние изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че при прехвърляне на числителя към знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на противоположния. Например:

Следствие от това свойство:

* * *

При повишаване на степен на степен основата остава същата, но показателите се умножават.

* * *

Както можете да видите, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се, познаването на формулите е задължително. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не е формирано, тогава при решаване на прости задачи човек лесно може да направи грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след това преминете към по-сложните. В бъдеще със сигурност ще покажа как се решават "грозните" логаритми, няма да има такива на изпита, но представляват интерес, не го пропускайте!

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с същите основания: дневник а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. дневник а х+дневник а г= дневник а (х · г);
2. дневник а х−дневник а г= дневник а (х : г).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израздори когато отделните му части не се разглеждат (вижте урока "Какво е логаритъм"). Разгледайте примерите и вижте:

log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

[Надпис на фигура]

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

[Надпис на фигура]

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъма се регистрира а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:

[Надпис на фигура]

По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:

[Надпис на фигура]

От втората формула следва, че е възможно да се разменят основата и аргументът на логаритъма, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

[Надпис на фигура]

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

[Надпис на фигура]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

[Надпис на фигура]

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай броят нстава изразител на аргумента. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се основно логаритмично тъждество.

Наистина, какво ще стане, ако броят bиздигнете до властта, така че bдо тази степен дава число а? Точно така: това е едно и също число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

[Надпис на фигура]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

[Надпис на фигура]

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от изпита :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

1. дневник а а= 1 е логаритмичната единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъма на произволна основа аот самата тази база е равно на едно.
2. дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

С това видео започвам дълга поредица от уроци за логаритмични уравнения. Сега имате три примера наведнъж, въз основа на които ще се научим да решаваме най-много прости задачи, които се наричат протозои.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нека ви напомня, че най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f(x) = b

Важно е променливата x да присъства само в аргумента, т.е. само във функцията f(x). А числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функции, съдържащи променливата x.

Основни методи за решаване

Има много начини за решаване на такива структури. Например повечето учители в училище предлагат следния начин: Незабавно изразете функцията f ( x ) с помощта на формулата е( x ) = а б . Тоест, когато срещнете най-простата конструкция, можете веднага да преминете към решението без допълнителни действия и конструкции.

Да, разбира се, решението ще се окаже правилно. Проблемът с тази формула обаче е, че повечето студенти не разбирам, откъде идва и защо точно буква а повдигаме на буква б.

В резултат на това често наблюдавам много обидни грешки, когато например тези букви се разменят. Тази формула трябва или да се разбере или да се запомни, а вторият метод води до грешки в най-неподходящите и най-важните моменти: на изпити, тестове и т.н.

Ето защо предлагам на всички мои ученици да изоставят стандартната училищна формула и да използват втория подход за решаване на логаритмични уравнения, който, както вероятно се досещате от името, се нарича канонична форма.

Идеята за каноничната форма е проста. Нека погледнем отново нашата задача: отляво имаме log a , докато буквата a означава точно числото и в никакъв случай функцията, съдържаща променливата x. Следователно тази буква подлежи на всички ограничения, които се налагат върху основата на логаритъма. а именно:

1 ≠ a > 0

От друга страна, от същото уравнение виждаме, че логаритъмът трябва да е равен на числото b и няма ограничения върху тази буква, защото тя може да приеме всякаква стойност - както положителна, така и отрицателна. Всичко зависи от това какви стойности приема функцията f(x).

И тук си спомняме нашето прекрасно правило, че всяко число b може да бъде представено като логаритъм при основа a от a на степен b:

b = log a a b

Как да запомните тази формула? Да, много просто. Нека напишем следната конструкция:

b = b 1 = b log a a

Разбира се, в този случай възникват всички ограничения, които записахме в началото. А сега нека използваме основното свойство на логаритъма и въведем коефициента b като степен на а. Получаваме:

b = b 1 = b log a a = log a a b

В резултат на това първоначалното уравнение ще бъде пренаписано в следната форма:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Това е всичко. Нова функциявече не съдържа логаритъм и се решава чрез стандартни алгебрични техники.

Разбира се, сега някой ще възрази: защо изобщо беше необходимо да се измисли някаква канонична формула, защо да се правят две допълнителни ненужни стъпки, ако беше възможно незабавно да се премине от първоначалната конструкция към крайната формула? Да, само защото повечето ученици не разбират откъде идва тази формула и в резултат на това редовно правят грешки, когато я прилагат.

Но такава последователност от действия, състояща се от три стъпки, ви позволява да решите оригиналното логаритмично уравнение, дори ако не разбирате откъде идва тази крайна формула. Между другото, този запис се нарича канонична формула:

log a f(x) = log a a b

Удобството на каноничната форма се крие и във факта, че тя може да се използва за решаване на много широк клас логаритмични уравнения, а не само на най-простите, които разглеждаме днес.

Примери за решения

Сега нека да разгледаме реални примери. Така че нека решим:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Нека го пренапишем така:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Много ученици бързат и се опитват незабавно да повишат числото 0,5 на степен, която ни дойде от първоначалната задача. И наистина, когато вече сте добре обучени да решавате подобни проблеми, можете веднага да извършите тази стъпка.

Въпреки това, ако сега започвате да изучавате тази тема, по-добре е да не бързате никъде, за да не правите обидни грешки. Така че имаме каноничната форма. Ние имаме:

3x - 1 = 0,5 -3

Това вече не е логаритмично уравнение, а линейно по отношение на променливата x. За да го решим, нека първо се справим с числото 0,5 на степен −3. Обърнете внимание, че 0,5 е 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Преобразувайте всички десетични знаци в дроби, когато решавате логаритмично уравнение.

Пренаписваме и получаваме:

3x − 1 = 8
3x=9
х=3

Всичко, което получихме отговора. Първата задача е решена.

Втора задача

Да преминем към втората задача:

Както можете да видите, това уравнение вече не е най-простото. Макар и само защото разликата е отляво, а не един логаритъм в една основа.

Следователно трябва по някакъв начин да се отървете от тази разлика. В този случай всичко е много просто. Нека разгледаме по-отблизо основите: вляво е числото под корена:

Обща препоръка: във всички логаритмични уравнения се опитайте да се отървете от радикалите, т.е. записи с корени и преминете към мощностни функции, просто защото показателите на тези степени лесно се изваждат от знака на логаритъма и в крайна сметка такава нотация значително опростява и ускорява изчисленията. Нека го напишем така:

Сега си припомняме забележителното свойство на логаритъма: от аргумента, както и от основата, можете да извадите степени. В случай на бази се случва следното:

log a k b = 1/k log b

С други думи, числото, което е стояло в степента на основата, се изнася напред и в същото време се обръща, тоест става реципрочна стойност на числото. В нашия случай имаше степен на база с показател 1/2. Следователно можем да го извадим като 2/1. Получаваме:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Моля, обърнете внимание: в никакъв случай не трябва да се отървете от логаритмите на тази стъпка. Спомнете си математиката от 4-5 клас и реда на операциите: първо се извършва умножение и едва след това събиране и изваждане. В този случай изваждаме един от същите елементи от 10 елемента:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Сега нашето уравнение изглежда както трябва. Това е най-простата конструкция и ние я решаваме с помощта на каноничната форма:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
х=25

Това е всичко. Вторият проблем е решен.

Трети пример

Да преминем към третата задача:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Спомнете си следната формула:

log b = log 10 b

Ако по някаква причина сте объркани, като пишете lg b, тогава, когато правите всички изчисления, можете просто да напишете log 10 b. Можете да работите с десетични логаритми по същия начин, както с други: изваждайте степени, събирайте и представяйте всяко число като lg 10.

Точно тези свойства ще използваме сега, за да решим задачата, тъй като тя не е най-простата, която записахме в самото начало на нашия урок.

Като начало отбележете, че множителят 2 преди lg 5 може да бъде вмъкнат и става степен на основа 5. В допълнение, свободният член 3 може също да бъде представен като логаритъм - това е много лесно да се види от нашата нотация.

Преценете сами: всяко число може да бъде представено като логаритъм по основа 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Нека пренапишем оригиналния проблем, като вземем предвид получените промени:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Пред нас отново е каноничната форма и ние я получихме, заобикаляйки етапа на трансформации, т.е. най-простото логаритмично уравнение не се появи никъде с нас.

Това е, за което говорих в самото начало на урока. Каноничната форма позволява решаването на по-широк клас задачи от стандартната училищна формула, която се дава от повечето училищни учители.

Това е всичко, отърваваме се от знака на десетичния логаритъм и получаваме проста линейна конструкция:

х + 3 = 25 000
х = 24997

Всичко! Проблема решен.

Бележка относно обхвата

Тук бих искал да направя важна забележка относно областта на дефиницията. Със сигурност сега има ученици и учители, които ще кажат: „Когато решаваме изрази с логаритми, е задължително да запомним, че аргументът f (x) трябва да е по-голям от нула!“ В тази връзка възниква логичен въпрос: защо в нито една от разгледаните задачи не сме изискали това неравенство да бъде изпълнено?

Не се безпокой. В тези случаи няма да се появят допълнителни корени. И това е друг страхотен трик, който ви позволява да ускорите решението. Просто знайте, че ако в задачата променливата x се среща само на едно място (или по-скоро в единствения аргумент на единствения логаритъм) и никъде другаде в нашия случай променливата x не се появява, тогава напишете домейна няма нуждазащото ще работи автоматично.

Преценете сами: в първото уравнение получихме това 3x - 1, т.е. аргументът трябва да е равен на 8. Това автоматично означава, че 3x - 1 ще бъде по-голямо от нула.

Със същия успех можем да напишем, че във втория случай x трябва да е равно на 5 2, т.е. със сигурност е по-голямо от нула. И в третия случай, където х + 3 = 25 000, т.е. отново очевидно е по-голямо от нула. С други думи, обхватът е автоматичен, но само ако x се среща само в аргумента само на един логаритъм.

Това е всичко, което трябва да знаете, за да решавате прости проблеми. Само това правило, заедно с правилата за трансформация, ще ви позволи да разрешите много широк клас проблеми.

Но нека бъдем честни: за да разберете най-накрая тази техника, за да научите как да прилагате каноничната форма на логаритмичното уравнение, не е достатъчно само да гледате един видео урок. Затова още сега изтеглете опциите за самостоятелно решение, които са приложени към този видео урок и започнете да решавате поне една от тези две независими работи.

Ще ви отнеме само няколко минути. Но ефектът от такова обучение ще бъде много по-висок в сравнение с това, ако току-що сте гледали този видео урок.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да разберете логаритмичните уравнения. Приложете каноничната форма, опростете изразите, като използвате правилата за работа с логаритми - и няма да се страхувате от никакви задачи. И това е всичко, което имам за днес.

Разглеждане на обхвата

Сега нека поговорим за обхвата логаритмична функция, както и как това се отразява на решаването на логаритмични уравнения. Помислете за конструкция на формата

log a f(x) = b

Такъв израз се нарича най-прост - той има само една функция, а числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функция, която зависи от променливата x. Решава се много просто. Просто трябва да използвате формулата:

b = log a a b

Тази формула е едно от ключовите свойства на логаритъма и при заместване в нашия оригинален израз получаваме следното:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Това е позната формула от училищни учебници. Много ученици вероятно ще имат въпрос: тъй като функцията f ( x ) в оригиналния израз е под знака на дневника, върху нея се налагат следните ограничения:

f(x) > 0

Това ограничение е валидно, защото не съществува логаритъм от отрицателни числа. Така че може би поради това ограничение трябва да въведете проверка за отговори? Може би те трябва да бъдат заменени в източника?

Не, в най-простите логаритмични уравнения не е необходима допълнителна проверка. И ето защо. Разгледайте нашата крайна формула:

f(x) = a b

Факт е, че числото a във всеки случай е по-голямо от 0 - това изискване също се налага от логаритъма. Числото a е основата. В този случай не се налагат ограничения върху числото b. Но това няма значение, защото на каквато и степен да повдигнем положително число, пак ще получим положително число на изхода. Така изискването f (x) > 0 се изпълнява автоматично.

Това, което наистина си струва да се провери, е обхватът на функцията под знака на журнала. Може да има доста сложни дизайни и в процеса на решаването им определено трябва да ги следвате. Да видим.

Първа задача:

Първа стъпка: преобразувайте дробта отдясно. Получаваме:

Отърваваме се от знака на логаритъма и получаваме обичайното ирационално уравнение:

От получените корени само първият ни подхожда, тъй като вторият корен е по-малък от нула. Единственият отговор ще бъде числото 9. Това е всичко, проблемът е решен. Не се изискват допълнителни проверки дали изразът под знака логаритъм е по-голям от 0, тъй като той не просто е по-голям от 0, но по условието на уравнението е равен на 2. Следователно изискването „по-голямо от нула“ е автоматично изпълнени.

Да преминем към втората задача:

Тук всичко е същото. Пренаписваме конструкцията, замествайки тройката:

Отърваваме се от знаците на логаритъма и получаваме ирационално уравнение:

Поставяме на квадрат двете части, като вземем предвид ограниченията и получаваме:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Решаваме полученото уравнение чрез дискриминанта:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Но x = −6 не ни устройва, защото ако заместим това число в нашето неравенство, получаваме:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашия случай се изисква то да е по-голямо от 0 или в краен случай равно. Но x = −1 ни подхожда:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственият отговор в нашия случай е x = −1. Това е цялото решение. Да се ​​върнем към самото начало на нашите изчисления.

Основният извод от този урок е, че не е необходимо да се проверяват границите за функция в най-простите логаритмични уравнения. Тъй като в процеса на решаване всички ограничения се изпълняват автоматично.

Това обаче в никакъв случай не означава, че можете напълно да забравите за проверката. В процеса на работа върху логаритмично уравнение, то може да се превърне в ирационално, което ще има свои собствени ограничения и изисквания за дясната страна, които видяхме днес в два различни примера.

Чувствайте се свободни да решавате подобни проблеми и бъдете особено внимателни, ако има корен в спора.

Логаритмични уравнения с различни основи

Продължаваме да изучаваме логаритмични уравнения и анализираме още два доста интересни трика, с които е модерно да се решават по-сложни структури. Но първо, нека си припомним как се решават най-простите задачи:

log a f(x) = b

В тази нотация a и b са просто числа, а във функцията f (x) променливата x трябва да присъства и само там, тоест x трябва да присъства само в аргумента. Ние ще трансформираме такива логаритмични уравнения, като използваме каноничната форма. За това отбелязваме, че

b = log a a b

И a b е просто аргумент. Нека пренапишем този израз, както следва:

log a f(x) = log a a b

Точно това се опитваме да постигнем, така че и отляво, и отдясно да има логаритъм при основа а. В този случай можем, образно казано, да зачеркнем знаците на log, а от гледна точка на математиката можем да кажем, че просто приравняваме аргументите:

f(x) = a b

В резултат на това получаваме нов израз, който ще бъде решен много по-лесно. Нека приложим това правило към нашите задачи днес.

И така, първият дизайн:

Първо, отбелязвам, че вдясно има дроб, чийто знаменател е log. Когато видите израз като този, струва си да си спомните прекрасното свойство на логаритмите:

Преведено на руски, това означава, че всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с произволна основа c. Разбира се, 0< с ≠ 1.

И така: тази формула има един забележителен специален случай, когато променливата c е равна на променливата b. В този случай получаваме конструкция на формата:

Това е тази конструкция, която наблюдаваме от знака вдясно в нашето уравнение. Нека заменим тази конструкция с log a b, получаваме:

С други думи, в сравнение с първоначалната задача сме разменили аргумента и основата на логаритъма. Вместо това трябваше да обърнем дробта.

Припомняме, че всяка степен може да бъде извадена от основата според следното правило:

С други думи, коефициентът k, който е степента на основата, се изважда като обърната дроб. Нека го изведем като обърната дроб:

Дробният фактор не може да бъде оставен отпред, защото в този случай няма да можем да представим този запис като канонична форма (в края на краищата в каноничната форма няма допълнителен фактор пред втория логаритъм). Следователно, нека поставим дробта 1/4 в аргумента като степен:

Сега приравняваме аргументите, чиито основи са еднакви (и наистина имаме еднакви бази) и записваме:

х + 5 = 1

x = −4

Това е всичко. Получихме отговора на първото логаритмично уравнение. Обърнете внимание: в първоначалния проблем променливата x се среща само в един журнал и е в неговия аргумент. Следователно няма нужда да проверяваме домейна и нашето число x = −4 наистина е отговорът.

Сега да преминем към втория израз:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Тук, в допълнение към обичайните логаритми, ще трябва да работим с lg f (x). Как да решим такова уравнение? На неподготвен ученик може да изглежда, че това е някакъв калай, но всъщност всичко е решено елементарно.

Погледнете внимателно термина lg 2 log 2 7. Какво можем да кажем за него? Основите и аргументите на log и lg са еднакви и това би трябвало да даде някои улики. Нека си припомним още веднъж как се изваждат градусите под знака на логаритъма:

log a b n = nlog a b

С други думи, степента на числото b в аргумента става фактор пред самия log. Нека приложим тази формула към израза lg 2 log 2 7. Не се страхувайте от lg 2 – това е най-често срещаният израз. Можете да го пренапишете така:

За него са валидни всички правила, които важат за всеки друг логаритъм. По-специално, факторът отпред може да бъде въведен в силата на аргумента. нека напишем:

Много често учениците упорито не виждат това действие, защото не е добре да въвеждате един дневник под знака на друг. Всъщност в това няма нищо престъпно. Освен това получаваме формула, която е лесна за изчисляване, ако запомните важно правило:

Тази формула може да се разглежда както като определение, така и като едно от нейните свойства. Във всеки случай, ако трансформирате логаритмично уравнение, трябва да знаете тази формула по същия начин, както представянето на което и да е число под формата на логаритъм.

Връщаме се към нашата задача. Пренаписваме го, като вземем предвид факта, че първият член отдясно на знака за равенство просто ще бъде равен на lg 7. Имаме:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Нека преместим lg 7 наляво, получаваме:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Изваждаме изразите отляво, защото имат една и съща основа:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Сега нека разгледаме по-отблизо уравнението, което имаме. На практика това е каноничната форма, но има коефициент −3 отдясно. Нека го поставим в правилния lg аргумент:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че задраскваме знаците на lg и приравняваме аргументите:

(x + 4) -3 = 8

х + 4 = 0,5

Това е всичко! Решихме второто логаритмично уравнение. В този случай не са необходими допълнителни проверки, тъй като в първоначалния проблем x присъства само в един аргумент.

Позволете ми да обобщя ключовите моменти от този урок.

Основната формула, която се изучава във всички уроци на тази страница, посветени на решаването на логаритмични уравнения, е каноничната форма. И не се страхувайте, че в повечето училищни учебници ви учат да решавате подобни проблеми по различен начин. Този инструмент работи много ефективно и ви позволява да решавате много по-широк клас проблеми от най-простите, които изучавахме в самото начало на нашия урок.

В допълнение, за решаване на логаритмични уравнения ще бъде полезно да знаете основните свойства. а именно:

1. Формулата за преместване на една база и специален случай, когато обръщаме дневник (това ни беше много полезно в първата задача);
2. Формулата за въвеждане и извеждане на степени под знака на логаритъма. Тук много студенти се забиват и не виждат направо, че изведената и вкарана мощност може сама по себе си да съдържа log f (x). Нищо лошо в това. Можем да въведем един дневник според знака на друг и в същото време значително да опростим решението на задачата, което наблюдаваме във втория случай.

В заключение бих искал да добавя, че не е необходимо да проверявате обхвата във всеки от тези случаи, тъй като навсякъде променливата x присъства само в един знак на log и в същото време е в неговия аргумент. В резултат на това всички изисквания на домейна се изпълняват автоматично.

Проблеми с променлива база

Днес ще разгледаме логаритмични уравнения, които за много ученици изглеждат нестандартни, ако не и напълно неразрешими. Това е заза изрази, базирани не на числа, а на променливи и дори функции. Ние ще решаваме такива конструкции, използвайки нашата стандартна техника, а именно чрез каноничната форма.

Като начало, нека си припомним как се решават най-простите задачи, които се основават на обикновени числа. И така, най-простата конструкция се нарича

log a f(x) = b

За да разрешим такива проблеми, можем да използваме следната формула:

b = log a a b

Пренаписваме нашия оригинален израз и получаваме:

log a f(x) = log a a b

След това приравняваме аргументите, т.е. пишем:

f(x) = a b

Така се отърваваме от знака на дневника и решаваме обичайния проблем. В този случай корените, получени в решението, ще бъдат корените на първоначалното логаритмично уравнение. В допълнение, записът, когато и лявото, и дясното са на един и същ логаритъм с една и съща основа, се нарича канонична форма. Именно до този запис ще се опитаме да сведем днешните строежи. Така че да тръгваме.

Първа задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменете 1 с log x − 2 (x − 2) 1 . Степента, която наблюдаваме в аргумента, всъщност е числото b, което беше отдясно на знака за равенство. Нека пренапишем нашия израз. Получаваме:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

какво виждаме Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че можем спокойно да приравним аргументите. Получаваме:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Но решението не свършва дотук, защото това уравнение не е еквивалентно на първоначалното. В края на краищата, получената конструкция се състои от функции, които са дефинирани на цялата числова ос, а нашите оригинални логаритми не са дефинирани навсякъде и не винаги.

Следователно трябва да запишем домейна на дефиниция отделно. Нека не бъдем по-мъдри и първо да напишем всички изисквания:

Първо, аргументът на всеки от логаритмите трябва да е по-голям от 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Второ, основата не само трябва да е по-голяма от 0, но и различна от 1:

x − 2 ≠ 1

В резултат на това получаваме системата:

Но не се страхувайте: при обработката на логаритмични уравнения такава система може да бъде значително опростена.

Съдете сами: от една страна, от нас се изисква квадратичната функция да е по-голяма от нула, а от друга страна, тази квадратна функция се приравнява на определен линеен израз, който също се изисква да бъде по-голям от нула.

В този случай, ако изискваме x − 2 > 0, тогава автоматично ще бъде изпълнено изискването 2x 2 − 13x + 18 > 0. Следователно можем спокойно да зачеркнем неравенството, съдържащо квадратична функция. По този начин броят на изразите, съдържащи се в нашата система, ще бъде намален до три.

Разбира се, може и да задраскаме линейно неравенство, т.е. задраскваме x − 2 > 0 и изискваме 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но трябва да се съгласите, че е много по-бързо и по-лесно да се реши най-простото линейно неравенство, отколкото тази система, която получава едни и същи корени.

Като цяло, опитайте се да оптимизирате изчисленията, когато е възможно. А в случай на логаритмични уравнения, задраскайте най-трудните неравенства.

Нека пренапишем нашата система:

Ето такава система от три израза, два от които всъщност вече сме измислили. Да пишем отделно квадратно уравнениеи го реши:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Пред нас е редуциран квадратен тричлен и следователно можем да използваме формулите на Vieta. Получаваме:

(x − 5)(x − 2) = 0

х 1 = 5

х2 = 2

Сега, обратно към нашата система, откриваме, че x = 2 не ни подхожда, защото от нас се изисква x да е строго по-голямо от 2.

Но x \u003d 5 ни подхожда доста добре: числото 5 е по-голямо от 2 и в същото време 5 не е равно на 3. Следователно, единственото решениена тази система ще бъде x = 5.

Всичко, задачата е решена, включително като се вземе предвид ODZ. Да преминем към второто уравнение. Тук очакваме още интересни и смислени изчисления:

Първата стъпка: както и последния път, ние привеждаме целия този бизнес в канонична форма. За да направим това, можем да напишем числото 9 по следния начин:

Основата с корена не може да бъде докосната, но е по-добре да трансформирате аргумента. Нека преминем от корена към степента с рационален показател. нека напишем:

Нека не пренаписвам цялото ни голямо логаритмично уравнение, а веднага приравнявам аргументите:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Пред нас е отново намаленият квадратен трином, използваме формулите на Vieta и записваме:

(x + 3)(x + 1) = 0

х 1 = -3

х 2 = -1

И така, получихме корените, но никой не ни гарантира, че ще отговарят на първоначалното логаритмично уравнение. В края на краищата регистрационните знаци налагат допълнителни ограничения (тук ще трябва да запишем системата, но поради тромавостта на цялата конструкция реших да изчисля отделно домейна на дефиницията).

Първо, не забравяйте, че аргументите трябва да са по-големи от 0, а именно:

Това са изискванията, наложени от областта на дефиницията.

Веднага отбелязваме, че тъй като приравняваме първите два израза на системата един към друг, можем да зачеркнем всеки от тях. Нека зачеркнем първото, защото изглежда по-заплашително от второто.

Освен това имайте предвид, че решенията на второто и третото неравенство ще бъдат едни и същи множества (кубът на някакво число е по-голям от нула, ако самото това число е по-голямо от нула; подобно е с корена на трета степен - тези неравенства са напълно подобни, така че един от тях можем да го зачеркнем).

Но с третото неравенство това няма да работи. Нека се отървем от знака на радикала вляво, за което повдигаме двете части на куб. Получаваме:

Така че получаваме следните изисквания:

−2 ≠ x > −3

Кой от нашите корени: x 1 = -3 или x 2 = -1 отговаря на тези изисквания? Очевидно само x = −1, тъй като x = −3 не удовлетворява първото неравенство (тъй като нашето неравенство е строго). Общо, връщайки се към нашия проблем, получаваме един корен: x = −1. Това е, проблемът е решен.

Още веднъж ключовите точки на тази задача:

1. Чувствайте се свободни да прилагате и решавате логаритмични уравнения, като използвате канонична форма. Студентите, които правят такъв запис и не преминават директно от първоначалния проблем към конструкция като log a f ( x ) = b , правят много по-малко грешки от тези, които бързат за някъде, прескачайки междинните стъпки на изчисленията;
2. Веднага щом в логаритъма се появи променлива основа, проблемът престава да бъде най-простият. Следователно при решаването му е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията: аргументите трябва да са по-големи от нула, а базите не само трябва да са по-големи от 0, но и не трябва да са равни на 1.

Можете да наложите последните изисквания към крайните отговори по различни начини. Например, възможно е да се реши цяла система, съдържаща всички изисквания на домейна. От друга страна, можете първо да решите самата задача и след това да си спомните за областта на дефиницията, да я разработите отделно под формата на система и да я приложите към получените корени.

Кой начин да изберете, когато решавате определено логаритмично уравнение, зависи от вас. Във всеки случай отговорът ще бъде същият.

произтичащи от неговата дефиниция. И така, логаритъма на числото bпо разум адефинирана като степенна степен, до която трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъмът съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаването на уравнението брадва=b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bпо разум асе равнява с. Също така е ясно, че темата за логаритъма е тясно свързана с темата за степента на числото.

С логаритмите, както с всички числа, можете да изпълнявате операции събиране, изважданеи трансформирайте по всякакъв възможен начин. Но с оглед на факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук важат техните собствени специални правила, които се наричат основни свойства.

Събиране и изваждане на логаритми.

Вземете два логаритма с една и съща основа: дневник xи log a y. След това премахнете възможно е да извършвате операции за събиране и изваждане:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = дневник x 1 + дневник x 2 + дневник x 3 + ... + log a x k.

от теореми за частен логаритъмможе да се получи още едно свойство на логаритъма. Добре известно е, че лог а 1= 0, следователно,

дневник а 1 /b= дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

Така че има равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми на две взаимно реципрочни числана една и съща основа ще се различават един от друг само по знак. Така:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, тогава можете лесно да намерите степента, до която трябва да вдигнете две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност дефиницията на логаритъма:

Логаритъмът при основа a на аргумента x е степента, на която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числото x.

Нотация: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е това, на което е равен логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Може също да регистрираме 2 64 = 6, защото 2 6 = 64 .

Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се нарича логаритъм. Така че нека добавим нов ред към нашата таблица:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

За съжаление, не всички логаритми се разглеждат толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5 . Числото 5 го няма в таблицата, но логиката подсказва, че логаритъма ще лежи някъде в сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват неограничено и никога не се повтарят. Ако логаритъма се окаже ирационален, по-добре е да го оставим така: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). В началото много хора бъркат къде е основата и къде аргументът. Да избегна злощастни недоразуменияпросто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъма. Помня: логаритъма е степента, на който трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента. Това е основата, която е повдигната на степен - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам това прекрасно правило на моите ученици още на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме определението - остава да се научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определението на степента чрез рационален показател, до който се свежда определението на логаритъма.
2. Базата трябва да е различна от единица, тъй като единица на всяка степен е единица. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат валиден диапазон(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма) не се налага. Например, логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 \u003d -1, тъй като 0,5 = 2 −1 .

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем ODZ на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенствата влязат в действие, изискванията на DHS ще станат задължителни. Всъщност в основата и аргумента може да има много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега разгледайте общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

1. Изразете основата a и аргумента x като степен с най-малката възможна основа, по-голяма от единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
2. Решете уравнението за променливата b: x = a b ;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Подобен на десетични знаци: ако веднага ги преведете в обикновени, ще има многократно по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Нека представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Получи отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Нека представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Получен отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Нека представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не е представено като степен на седем, защото 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предходния параграф следва, че логаритъмът не се взема предвид;
3. Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последния пример. Как да се уверим, че едно число не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разложи на прости множители. Ако има поне два различни фактора в разширението, числото не е точна степен.

Задача. Разберете дали точните степени на числото са: 8; 48; 81; 35; четиринадесет .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - точната степен, т.к. има само един множител;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 не е точна степен, защото има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 = 7 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 2 - отново не е точна степен;

Също така отбелязваме, че ние прости числавинаги са точни сили сами по себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Десетичният логаритъм на аргумента x е логаритъм с основа 10, т.е. степента, на която трябва да повдигнете числото 10, за да получите числото x. Обозначение: lg x .

Например, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. то десетичен логаритъм. Ако обаче не сте свикнали с такова обозначение, винаги можете да го пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните числа.

натурален логаритъм

Има друг логаритъм, който има собствена нотация. В известен смисъл той е дори по-важен от десетичния знак. Това е натурален логаритъм.

Натуралният логаритъм от x е логаритъмът с основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x .

Мнозина ще попитат: какво друго е числото e? Това е ирационално число точна стойностневъзможно за намиране и записване. Ето само първите числа:
e = 2,718281828459...

Няма да се задълбочаваме какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип натуралният логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единица: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.