समीकरणएक समानता है जिसमें एक या अधिक चर होते हैं।
हम उस स्थिति पर विचार करेंगे जब समीकरण में एक चर, अर्थात् एक अज्ञात संख्या हो। संक्षेप में, समीकरण एक प्रकार का गणितीय मॉडल है। इसलिए, सबसे पहले, हमें समस्याओं को हल करने के लिए समीकरणों की आवश्यकता है।

आइए याद करते हैं बनाने की विधि गणित का मॉडलइस समस्या को हल करने के लिए।
उदाहरण के लिए, नए में शैक्षणिक वर्षस्कूल नंबर 5 में छात्रों की संख्या दोगुनी हो गई है। 20 छात्रों को दूसरे स्कूल में स्थानांतरित करने के बाद, स्कूल नंबर 5 में कुल 720 छात्रों ने पढ़ना शुरू किया। पिछले साल कितने छात्र थे?

हमें गणितीय भाषा में स्थिति में कही गई बातों को व्यक्त करने की आवश्यकता है। मान लीजिए पिछले वर्ष छात्रों की संख्या X है। फिर समस्या की स्थिति के अनुसार,
2X - 20 = 720। हमारे पास एक गणितीय मॉडल है, जो है एक चर समीकरण. अधिक सटीक रूप से, यह एक चर के साथ प्रथम-डिग्री समीकरण है। इसकी जड़ खोजना बाकी है।

समीकरण की जड़ क्या है?

चर का वह मान जिस पर हमारा समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है, समीकरण का मूल कहलाता है। ऐसे समीकरण हैं जिनकी कई जड़ें हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 2*X = (5-3)*X में X का कोई भी मान एक मूल है। और समीकरण X \u003d X + 5 की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि हम X के मान को जो भी प्रतिस्थापित करते हैं, हमें सही समानता नहीं मिलेगी। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना, या यह निर्धारित करना कि उसके कोई मूल नहीं हैं। तो हमारे प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें समीकरण 2X - 20 = 720 को हल करना होगा।

एक चर के साथ समीकरणों को कैसे हल करें?

सबसे पहले, आइए कुछ बुनियादी परिभाषाएँ लिखें। हर समीकरण का दायां और बायां पक्ष होता है। हमारे मामले में, (2X - 20) समीकरण के बाईं ओर है (यह बराबर चिह्न के बाईं ओर है), और 720 समीकरण का दाहिना पक्ष है। समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों के पदों को समीकरण के पद कहते हैं। समीकरण में हमारे पद 2X, -20 और 720 हैं।

आइए समीकरणों के 2 गुणों के बारे में तुरंत कहें:

1. समीकरण के किसी भी पद को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। इस मामले में, समीकरण के इस पद के संकेत को विपरीत में बदलना आवश्यक है। अर्थात्, 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X जैसी प्रविष्टियाँ समतुल्य हैं।
2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है। यह संख्या शून्य नहीं होनी चाहिए। अर्थात्, 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 जैसी प्रविष्टियाँ भी समतुल्य हैं।

आइए इन गुणों का उपयोग हमारे समीकरण को हल करने के लिए करें।

चलो -20 में चलते हैं दाईं ओरविपरीत संकेत के साथ। हम पाते हैं:

2X = 720 + 20. दाहिनी ओर हमारे पास जो है उसे जोड़ें। हमें वह 2X = 740 प्राप्त होता है।

अब समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को 2 से विभाजित करें।

2X:2 = 740:2 या X = 370. हमने अपने समीकरण का मूल ढूंढ लिया और साथ ही साथ अपनी समस्या का उत्तर भी ढूंढ लिया। पिछले साल स्कूल नंबर 5 में 370 छात्र थे।

आइए देखें कि क्या हमारी जड़ वास्तव में समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देती है। आइए समीकरण 2X - 20 = 720 में X को 370 की संख्या से बदलें।

2*370-20 = 720.

ठीक है।

तो, एक चर के साथ एक समीकरण को हल करने के लिए, इसे कुल्हाड़ी \u003d b के रूप के तथाकथित रैखिक समीकरण में कम किया जाना चाहिए, जहां ए और बी कुछ संख्याएं हैं। फिर बाएँ और दाएँ भागों को संख्या a से विभाजित करें। हम पाते हैं कि x = b:a.

किसी समीकरण को रैखिक समीकरण में लाने का क्या अर्थ है?

इस समीकरण पर विचार करें:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X।

यह भी एक अज्ञात चर X वाला समीकरण है। हमारा कार्य इस समीकरण को ax = b के रूप में लाना है।

ऐसा करने के लिए, हम पहले उन सभी पदों को एकत्र करते हैं जिनमें समीकरण के बाईं ओर एक कारक के रूप में एक्स है, और शेष शर्तें दाईं ओर हैं। जिन पदों में गुणनखंड के समान अक्षर होते हैं, समान पद कहलाते हैं।

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

गुणन के वितरण गुण के अनुसार, हम एक ही गुणनखंड को कोष्ठक से निकाल सकते हैं, और गुणांक (चर x के लिए गुणक) जोड़ सकते हैं। इस प्रक्रिया को समान पदों का न्यूनीकरण भी कहते हैं।

एक्स(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. हमने समीकरण को ax = b के रूप में घटा दिया है, जहां a = 7, b = 49 है।

और जैसा कि हमने ऊपर लिखा है, फॉर्म कुल्हाड़ी \u003d b के समीकरण की जड़ x \u003d b: a होगी।

यानी एक्स = 49:7 = 7।

एक चर वाले समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम।

1. समीकरण के बाईं ओर समान पदों को एकत्र करें, शेष पदों को समीकरण के दाईं ओर एकत्र करें।
2. समान शर्तें लाओ।
3. समीकरण को ax = b के रूप में लाएं।
4. सूत्र x = b:a का उपयोग करके मूल ज्ञात कीजिए।

टिप्पणी. इस लेख में, हमने उन मामलों पर विचार नहीं किया जहां चर को किसी भी शक्ति तक बढ़ाया जाता है। दूसरे शब्दों में, हमने एक चर के साथ पहली डिग्री के समीकरणों पर विचार किया। एक्सऔर परिभाषा का क्षेत्र एक्स. फिर प्रपत्र का प्रस्तावक रूप एफ (एक्स) = जी (एक्स)बुलाया एक चर के साथ समीकरण।

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकों से एक्स, जिस पर समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है, कहलाता है समीकरण की जड़ (या उसका निर्णय)। प्रश्न हल करें इसकी जड़ों का सेट खोजना है।

चर मानों का समूह जिसके लिए भाव एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)समझ में आता है, कहा जाता है समीकरण का डोमेन
एफ (एक्स) = जी (एक्स). किसी समीकरण के हलों का समुच्चय उसकी परिभाषा के क्षेत्र का एक उपसमुच्चय होता है।

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित किया जाता है, इसे दूसरे के साथ बदल दिया जाता है, सरल एक; परिणामी समीकरण को फिर से बदल दिया जाता है, इसे एक सरल के साथ बदल दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि एक समीकरण प्राप्त नहीं हो जाता जिसकी जड़ें पाई जा सकती हैं ज्ञात तरीका. लेकिन इन जड़ों के जड़ होने के लिए दिया गया समीकरण, यह आवश्यक है कि परिवर्तन की प्रक्रिया में ऐसे समीकरण प्राप्त हों जिनके मूलों के समुच्चय मेल खाते हों। ऐसे समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है।

किसी समीकरण को तुल्य समीकरण से बदलना कहलाता है परिवर्तन।

समतुल्य समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देने वाले परिवर्तन निम्नानुसार हो सकते हैं:

1. यदि समीकरण के दोनों पक्ष एफ (एक्स) = जी (एक्स)सेट पर परिभाषित एक्स, वही अभिव्यक्ति जोड़ें एच (एक्स), जो सेट पर समझ में आता है एक्स, फिर समीकरण एफ (एक्स) + एच (एक्स) = जी (एक्स) + एच (एक्स), जो दिए गए के बराबर है।

इस दावे से यह पता चलता है परिणाम , जिनका उपयोग समीकरणों को हल करने में किया जाता है:

1) यदि हम समीकरण के दोनों भागों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

2) यदि किसी पद (या चर के साथ व्यंजक) को समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जाता है, तो पद के चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है।

2. यदि समीकरण के दोनों पक्ष एफ (एक्स) = जी (एक्स)सेट पर परिभाषित एक्स, समान व्यंजक से गुणा करें एच (एक्स), जो सेट पर समझ में आता है एक्सऔर उस पर लुप्त नहीं होने पर, हमें समीकरण मिलता है एफ (एक्स)× एच (एक्स) = जी (एक्स) × एच (एक्स), जो दिए गए के बराबर है।

इस दावे से यह पता चलता है परिणाम:

यदि समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए समीकरण के बराबर होता है।

एक कार्य।निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण युग्म वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर तुल्य है:

एक) एक्स 2 - 9 = 0 और (2 .) एक्स + 6)(एक्स - 3) = 0;

बी) (3 एक्स+ 1) × 2 = 6 एक्स+ 1 और एक्स 2 + 1 = 0;

में) एक्स 2 - एक्स- 2 = 0 और ( एक्स - 1)(एक्स + 2) = 0;

समाधान।क) समीकरण समतुल्य हैं, क्योंकि दोनों की संख्याएँ 3 और -3 हैं; b) समीकरण समतुल्य हैं, क्योंकि दोनों का कोई मूल नहीं है, अर्थात। उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं; ग) समीकरण समतुल्य नहीं हैं, क्योंकि पहले समीकरण की जड़ें संख्या -1 और 2 हैं, और दूसरी - संख्या 1 और -2।

एक कार्य।समीकरण को हल करें और समाधान प्रक्रिया में किए जाने वाले सभी परिवर्तनों का औचित्य सिद्ध करें।

समाधान।

परिवर्तनों	परिवर्तन के लिए तर्क
1. आइए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के व्यंजकों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं: .	समीकरण के बाईं ओर व्यंजक का समान परिवर्तन किया।
2. आम भाजक को छोड़ दें: 6 - 2एक्स = एक्स.	हमने समीकरण के दोनों भागों को 6 से गुणा किया (प्रमेय 2), हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिला।
3. अभिव्यक्ति --2 एक्सहम विपरीत चिह्न के साथ समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: 6 = एक्स+ 2एक्स.	हमने प्रमेय 1 से उपफल का उपयोग किया और पिछले समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त किया और इसलिए, दिए गए समीकरण के लिए।
4. हम समीकरण के दाईं ओर समान पद प्रस्तुत करते हैं: 6 = 3 एक्स.	अभिव्यक्ति के समान परिवर्तन का प्रदर्शन किया।
5. समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें: एक्स = 2.	हमने प्रमेय 2 के उपफल का उपयोग किया और पिछले समीकरण के समतुल्य समीकरण प्राप्त किया, और इसलिए दिए गए समीकरण के लिए।

चूंकि इस समीकरण को हल करते समय हमने जो सभी परिवर्तन किए, वे समान थे, यह तर्क दिया जा सकता है कि 2 इस समीकरण का मूल है।

यदि, समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, प्रमेय 1 और 2 की शर्तें संतुष्ट नहीं होती हैं, तो जड़ों का नुकसान हो सकता है या बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, यह महत्वपूर्ण है, जब एक सरल प्राप्त करने के लिए समीकरण के परिवर्तन करते हैं, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण की ओर ले जाते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें एक्स (एक्स - 1) = 2एक्स, एक्सआर. आइए दोनों भागों को विभाजित करें एक्स, हमें समीकरण मिलता है एक्स- 1 = 2, जहां से एक्स= 3, यानी इस समीकरण का एक ही मूल है - संख्या 3. लेकिन क्या यह सच है? यह देखना आसान है कि यदि इस समीकरण में चर के बजाय
एक्सस्थानापन्न 0, यह वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाएगा
0 × (0 - 1) = 2 × 0। और इसका मतलब है कि 0 इस समीकरण की जड़ है, जिसे हमने परिवर्तन करते समय खो दिया था। आइए उनका विश्लेषण करें। हमने सबसे पहले समीकरण के दोनों पक्षों को में विभाजित किया था एक्स, अर्थात्, व्यंजक से गुणा किया जाता है, लेकिन साथ एक्स= 0 इसका कोई मतलब नहीं है। नतीजतन, हमने प्रमेय 2 की शर्त को पूरा नहीं किया, जिसके कारण जड़ का नुकसान हुआ।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि इस समीकरण के मूलों के समुच्चय में दो संख्याएँ 0 और 3 हैं, हम एक अन्य हल प्रस्तुत करते हैं। आइए व्यंजक 2 . को आगे बढ़ाते हैं एक्सदांये से बांये तक: एक्स (एक्स - 1) - 2एक्स= 0. हम समीकरण के बाईं ओर कोष्ठक निकालते हैं एक्सऔर समान शर्तें दें:
एक्स (एक्स- 3) = 0. दो कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो, इसलिए एक्स= 0 या एक्स- 3 = 0. यहाँ से हम पाते हैं कि इस समीकरण के मूल 0 और 3 हैं।

प्रारंभिक गणित में सैद्धांतिक आधारसमीकरणों को हल करना घटकों और क्रियाओं के परिणामों के बीच का संबंध है।

एक कार्य।समीकरण हल करें ( एक्स× 9): 24 = 3, गतिविधियों के घटकों और परिणामों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए।

समाधान।चूंकि लाभांश में अज्ञात है, लाभांश को खोजने के लिए, आपको भाजक को भागफल से गुणा करना होगा: एक्स× 9 = 24 × 3, या एक्स× 9 = 72. अज्ञात कारक खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है: एक्स= 72:9, या एक्स= 8, इसलिए इस समीकरण का मूल संख्या 8 है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. समीकरण 2 एक्स 4 + 4एक्स 2 - 6 = 0 सेट पर दिया गया है प्राकृतिक संख्या. बताएं कि संख्या 1 इस समीकरण का मूल क्यों है, लेकिन 2 और -1 इसकी जड़ें नहीं हैं।

2. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण युग्म समुच्चय पर तुल्य है आर:

ए) 3 + 7 एक्स= -4 और 2(3 + 7 एक्स) = -8; ग) 3 + 7 एक्स= -4 और एक्स + 2 = 0.

बी) 3 + 7 एक्स= -4 और 6 + 7 एक्स = -1;

3. समीकरणों को हल करें और उन्हें सरल बनाने की प्रक्रिया में किए गए सभी परिवर्तनों को सही ठहराएं:

एक) ; बी) ; मे २ - एक्स) × 2 - एक्स (एक्स + 1,5) = 4.

4. घटकों और क्रियाओं के परिणामों के बीच संबंध का उपयोग करके समीकरणों को हल करें:

एक) ( एक्स+ 70) × 4 = 328; सी) (85 एक्स + 765) : 170 = 98;

ख) 560: ( एक्स+ 9) = 56; जी) ( एक्स - 13581) : 709 = 306.

स्कूल में रूसी भाषा का अध्ययन करते समय, कई लोगों ने सोचा कि यह शब्द क्यों है मैदान के माध्यम से वर्तनी एक , क्योंकि चेक शब्द चिकना के माध्यम से वर्तनी के बारे में ? असल में जवाब आसान है। आखिरकार, मैदान को इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसके सभी बिंदु स्थित हैं एक बराबरी की स्थिति में दूरी (समुद्र तल से) और इसके लिए परीक्षण शब्द - बराबरी.

हे परिभाषा: चर x वाला एक समीकरण A(x)=B(x) के रूप की समानता है, जहां A(x) और B(x) x के व्यंजक हैं। बहुत साराटी मान x, जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक वास्तविक संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है, कहा जाता है कई सच्चाईदिया गया समीकरण or फेसलादिया गया समीकरण, और प्रत्येक ऐसा मूल्यचर - समीकरण की जड़.

इस प्रकार, यह स्पष्ट हो जाता है कि किसी भी समीकरण का आधार समानता हैके बारे मेंइसके दो भाग। और जब, समीकरणों को हल करते समय, वे इसके भागों पर बने होते हैं, तो यह समानता हमेशा देखी जानी चाहिए।

एक चर वाले समीकरणों को हल करने के तरीके

बड़ी संख्या में हैं विभिन्न प्रकारसमीकरण जिनके समाधान के लिए उपयोग किया जाता है विभिन्न तरीके. लेकिन समीकरणों को आसानी से हल करने के लिए, आपको तीन बुनियादी तरीकों को जानना होगा:

समीकरणों की पहचान परिवर्तन

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

एक नए चर का परिचय

समीकरणों की पहचान परिवर्तन

सबसे सरल और एक ही समय में समीकरणों को हल करने के सबसे सामान्य तरीकों में से एक समान परिवर्तनों की विधि है। पर कोई समीकरणअज्ञात को खोजने के लिए, मूल उदाहरण को बदलना और सरल बनाना आवश्यक है। इसके अलावा, ताकि बदलते समय दिखावट समीकरण का सार नहीं बदला है।ऐसे परिवर्तनों को कहा जाता है सदृशया उसके बराबर। आइए हम बीजीय व्यंजकों के समरूप रूपांतरणों के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

समान परिवर्तनों के उदाहरण और सूत्र:

पहला समान परिवर्तन: किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ा (घटाया) जा सकता है कोई(लेकिन वही!) एक संख्या या एक अभिव्यक्ति (अज्ञात के साथ अभिव्यक्ति सहित!)। समीकरण का सार नहीं बदलता है।

उदाहरण: 9 एक्स 2 + 12एक्स + 10 = 15एक्स + 10 → दोनों पक्षों से दस घटाएँ → 9 एक्स 2 + 12एक्स = 15एक्स

दूसरा पहचान परिवर्तन: विपरीत संकेतों के साथ समीकरण की शर्तों को एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करना।

उदाहरण: 9 एक्स 2 + 12एक्स = 15एक्स→ 15x को बाईं ओर ले जाएँ → 9 एक्स 2 + 12एक्स — 15एक्स = 0।सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं: 9 एक्स 2 - 3एक्स = 0

तीसरा समान परिवर्तन: समीकरण के दोनों पक्षों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है गैर-शून्यसंख्या या अभिव्यक्ति। एक समझने योग्य सीमा पहले से ही यहां दिखाई देती है: शून्य से गुणा करना बेवकूफी है, लेकिन इसे विभाजित करना बिल्कुल भी असंभव है।

उदाहरण: 9 एक्स 2 - 3एक्स = 0 →समीकरण के दोनों पक्षों को तीन से विभाजित करें → 3x 2 - एक्स = 0

चौथा समान परिवर्तन: कर सकते हैं समीकरण के दोनों पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाएँया निचोड़समीकरण के दोनों ओर से, विषम घात का मूल. यह याद रखना चाहिए कि:

ए) निर्माण यहाँ तक कीपरिणाम हो सकता है खरीदने के लिएबाहरी जड़ें;
बी) गलतनिष्कर्षण यहां तक ​​कि जड़कारण बनना जड़ों का नुकसान.

उदाहरण: 49 एक्स 2 = 1225 → दोनों भागों का वर्गमूल लें → | 7 एक्स| = 35

एक अभिव्यक्ति फैक्टरिंग

अब हम बहुपदों को सरलतम बीजीय के रूप में, गुणनखंडों में गुणनखंड करने के लिए कुछ सबसे सामान्य विधियों की सूची देते हैं।

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

मामले में जब एक बहुपद के सभी सदस्यों के समान सामान्य कारक होते हैं, तो इसे ब्रैकेट से बाहर निकाला जा सकता है, जिससे बहुपद का अपघटन प्राप्त होता है।
उदाहरण: बहुपद x 5 - 2x 3 + x 2 का गुणनखंड कीजिए।
हल: इस बहुपद के प्रत्येक पद में एक गुणनखंड x 2 है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें और उत्तर प्राप्त करें:

x 5 - 2x 3 + x 2 \u003d x 2 (x 3 - 2x + 1)।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग

बहुपद का गुणन करते समय संक्षिप्ताक्षरों का काफी प्रभावी ढंग से उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित सूत्रों को याद रखना उपयोगी है:

1. दो राशियों के योग का वर्ग वर्ग के बराबर हैपहला जोड़ पहले के गुणनफल का दोगुना और दूसरा जमा दूसरे का वर्ग।

(ए+बी) 2 =ए 2 +2एबी+बी 2

2. दो राशियों के अंतर का वर्ग पहले ऋण के वर्ग के बराबर होता है जो पहली और दूसरी के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरी राशि के वर्ग के बराबर होता है।

(ए-बी) 2 =ए 2 -2ab+b 2

3. दो राशियों के योग और उनके अंतर का गुणनफल उनके वर्गों के अंतर के बराबर होता है।

(ए+बी)(ए-बी)=ए 2 -बी 2

4. दो राशियों के योग का घन, पहले जोड़ के घन के बराबर होता है, पहले के वर्ग के गुणनफल को दूसरे के गुणनफल से गुणा करता है और पहली के गुणनफल को दूसरे के वर्ग से जोड़ के दूसरे के घन के बराबर होता है .

(ए+बी) 3 =ए 3 +3ए 2 बी+3एबी 2 +बी 3

5. दो राशियों के अंतर का घन, पहले घटा के घन के बराबर होता है, पहले के वर्ग का तिगुना गुणनफल दूसरे के वर्ग के गुणनफल के साथ दूसरे के वर्ग के तिगुने गुणनफल को घटाकर दूसरे का घन .

(ए-बी) 3 =ए 3 -3 ए 2 बी+3एबी 2 -बी 3

6. दो राशियों के योग का गुणनफल अधूरा वर्गअंतर उनके घनों के योग के बराबर है।

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा दो राशियों के अंतर का गुणनफल उनके घनों के अंतर के बराबर होता है।

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

उदाहरण: (3x+5) 2=9x 2+30x+25=0

हल: सूत्र का उपयोग करना (1) 9x 2 +30x+25=(3x+5) 2

पूर्ण वर्ग चयन लागू करना

यह अतिशयोक्ति के बिना कहा जा सकता है कि पूर्ण वर्ग चयन विधि सबसे अधिक में से एक है प्रभावी तरीकेवितरण में प्रयुक्त गुणनखंडन और

आइए एक चर के साथ दो भाव लेते हैं: 4x और 5x + 2. उन्हें एक समान चिह्न से जोड़कर, हमें वाक्य 4x \u003d 5x + 2 मिलता है। इसमें एक चर होता है और, चर के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते समय, बदल जाता है एक बयान।

उदाहरण के लिए, x = -2 पर, वाक्य 4x = 5x + 2 एक वास्तविक संख्यात्मक समानता 4-(-2) = 5-(-2) + 2 में बदल जाता है, और x = 1 पर - एक असत्य 4-1 = 5- में बदल जाता है। 1 + 2. इसलिए, वाक्य 4x = 5x + 2 एक प्रस्तावक रूप है। वे उसे बुलाते हैं एक चर के साथ समीकरण।

पर सामान्य दृष्टि सेएक चर समीकरण को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

परिभाषा।मान लीजिए f(x) और q(x) चर x और डोमेन X वाले दो व्यंजक हैं। तब f(x) के रूप का प्रस्तावक रूप =q(x) को एक चर वाला समीकरण कहा जाता है।

परिवर्तनीय मूल्य एक्सअनेकों से एक्स,जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता बन जाता है, कहलाता है समीकरण की जड़ (या उसका निर्णय)। किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके मूलों का समुच्चय ज्ञात करना। .

तो, समीकरण 4x \u003d 5x + 2 की जड़, अगर हम इसे सेट पर मानते हैं आरवास्तविक संख्या, संख्या -2 है। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ें नहीं हैं। अतः इसके मूलों का समुच्चय (-2) है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समीकरण (x-1)(x+2)=0 दिया जाए। इसकी दो जड़ें हैं - संख्या 1 और -2। इसलिए, इस समीकरण के मूलों का समुच्चय है: (-2,-1)।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया गया समीकरण (3x + 1) × 2 = 6x + 2, चर x के सभी वास्तविक मानों के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है: यदि हम बाईं ओर कोष्ठक खोलते हैं, हमें प्राप्त होता है 6x + 2 = 6 एक्स+ 2. इस स्थिति में, हम कहते हैं कि इसका मूल कोई वास्तविक संख्या है, और मूलों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया गया समीकरण (3x + 1)-2 = 6x + 1, x के किसी भी वास्तविक मान के लिए वास्तविक संख्यात्मक समानता में परिवर्तित नहीं होता है: बाईं ओर के कोष्ठकों को खोलने पर, हम पाते हैं कि 6x + 2 = 6x + 1, जो किसी भी x के लिए असंभव है। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि दिए गए समीकरण का कोई मूल नहीं है और इसके मूलों का समुच्चय रिक्त है।

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित किया जाता है, इसे दूसरे के साथ बदल दिया जाता है, सरल एक; परिणामी समीकरण को फिर से बदल दिया जाता है, इसे एक सरल के साथ बदल दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि एक ऐसा समीकरण प्राप्त नहीं हो जाता जिसकी जड़ों को ज्ञात तरीके से पाया जा सकता है। लेकिन इन जड़ों को दिए गए समीकरण की जड़ें होने के लिए, यह आवश्यक है कि परिवर्तन की प्रक्रिया में ऐसे समीकरण प्राप्त हों जिनके मूल सेट मेल खाते हों। ऐसे समीकरण कहलाते हैं बराबर।

परिभाषा।दो समीकरण f 1 (x) =क्यू 1 (एक्स) और एफ 2 (एक्स) =q 2 (х) को समतुल्य कहा जाता है यदि उनके मूलों के समुच्चय मेल खाते हों।

उदाहरण के लिए,समीकरण x 2 - 9 = 0 और (2x + 6) (x - 3) = 0 बराबर हैं क्योंकि दोनों की जड़ें 3 और -3 हैं। समीकरण (3x + 1)-2 = 6x + 1 और x 2 + 1 भी समतुल्य हैं = 0, चूँकि दोनों की कोई जड़ नहीं है, अर्थात्। उनकी जड़ों के सेट समान हैं।

परिभाषा. किसी समीकरण को तुल्य समीकरण से बदलने को तुल्य परिवर्तन कहते हैं।

आइए अब हम यह पता करें कि कौन से परिवर्तन तुल्य समीकरण प्राप्त करना संभव बनाते हैं।

प्रमेय 1. मान लीजिए समीकरण f(x) = q(x) एक समुच्चय पर दिया गया है और h(x) उसी समुच्चय पर परिभाषित व्यंजक है। तब समीकरण f(x) = q(x) (1) और f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) समतुल्य हैं।

सबूत।टी 1 द्वारा समीकरण (1) के समाधान के सेट, और टी 2 के माध्यम से समीकरण (2) के समाधान के सेट को निरूपित करें। तब समीकरण (1) और (2) समतुल्य होंगे यदि T 1 = T 2 । इसे सत्यापित करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि T 1 से कोई भी मूल समीकरण (2) का मूल है और, इसके विपरीत, T 2 से कोई भी मूल समीकरण (1) का मूल है।

मान लीजिए कि संख्या a समीकरण का मूल है (1)। तब a н T 1 , और समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर यह एक वास्तविक संख्यात्मक समानता f(a) = q(a) में बदल जाता है, और व्यंजक h(x) इसे एक संख्यात्मक व्यंजक h(a) में बदल देता है जो बनाता है समुच्चय X पर भाव। आइए हम वास्तविक समानता f(a) = q(a) के दोनों भागों में संख्यात्मक व्यंजक h(a) जोड़ें। हम वास्तविक संख्यात्मक समानता के गुणों के अनुसार, वास्तविक संख्यात्मक समानता f (a) + h (a) \u003d q (a) + h (a) प्राप्त करते हैं, जो इंगित करता है कि संख्या a समीकरण का मूल है (2) )

अतः, यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण (1) का प्रत्येक मूल भी समीकरण (2) का एक मूल है, अर्थात्। टी 1 टी 2।

अब मान लीजिए a समीकरण (2) का मूल है। फिर a T 2 , और समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर यह वास्तविक संख्यात्मक समानता f(a) + h(a) = q(a) + h(a) में बदल जाता है। आइए इस समानता के दोनों भागों में एक संख्यात्मक व्यंजक - h (a) जोड़ें। हमें वास्तविक संख्यात्मक समानता f (a) \u003d q (a) प्राप्त होती है, कि संख्या a समीकरण (1) का मूल है।

अतः, यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण (2) का प्रत्येक मूल भी समीकरण (1) का एक मूल है, अर्थात्। टी 2 टी 1।

चूंकि टी 1 Ì टी 2 और टी 2 टी 1 , तो बराबर सेट की परिभाषा से टी 1 = टी 2, और इसलिए समीकरण (1) और (2) समकक्ष हैं।

इस प्रमेय 1 को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: यदि हम समीकरण के दोनों भागों में डोमेन X के साथ समान व्यंजक को एक ही सेट पर परिभाषित चर के साथ जोड़ते हैं, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक नया समीकरण मिलता है।

इस प्रमेय से परिणाम निकलते हैं, जिनका उपयोग समीकरणों को हल करने में किया जाता है:

1. यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ते हैं, तो हमें एक समीकरण मिलता है जो दिए गए समीकरण के बराबर होता है।

2. यदि किसी पद (संख्यात्मक व्यंजक या चर के साथ व्यंजक) को समीकरण के एक भाग से दूसरे में स्थानांतरित किया जाता है, तो पद के चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है, तो हमें इसके बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

प्रमेय 2।मान लीजिए समीकरण f(x) = q(x) सेट X पर दिया गया है और h(x) एक ऐसा व्यंजक है जो एक ही सेट पर परिभाषित है और सेट X से x के किसी भी मान के लिए गायब नहीं होता है। समीकरण f(x) = q(х) और f(х) × h(х) = q(х) × h(х) समतुल्य हैं।

इस प्रमेय का प्रमाण प्रमेय 1 के प्रमाण के समान है।

प्रमेय 2 को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: यदि डोमेन X वाले समीकरण के दोनों भागों को एक ही व्यंजक से गुणा किया जाता है, जो एक ही समुच्चय पर परिभाषित है और उस पर लुप्त नहीं होता है, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक नया समीकरण प्राप्त होता है।

इस प्रमेय का परिणाम इस प्रकार है: यदि समीकरण के दोनों भागों को शून्य के अलावा एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, तो हमें दिए गए समीकरण के बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है।

आइए समीकरण x R को हल करें, और उन सभी परिवर्तनों को सही ठहराएं जो हम हल करने की प्रक्रिया में करेंगे।

चर के साथ समानता एफ (एक्स) = जी (एक्स)एक चर x वाला समीकरण कहलाता है। चर का कोई भी मान जिस पर f(x) और g(x) समान संख्यात्मक मान लेते हैं, ऐसे समीकरण का मूल कहलाता है। अतः किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है समीकरण के सभी मूल ज्ञात करना या यह सिद्ध करना कि कोई नहीं है।

समीकरण x 2 + 1 \u003d 0 की वास्तविक जड़ें नहीं हैं, लेकिन इसकी काल्पनिक जड़ें हैं: इस मामले में, ये जड़ें हैं x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i। निम्नलिखित में, हम केवल समीकरण के वास्तविक मूलों में ही रुचि लेंगे।

यदि समीकरणों के मूल समान हों, तो वे तुल्य कहलाते हैं। जिन समीकरणों की कोई जड़ नहीं होती है वे तुल्य होती हैं।

आइए निर्धारित करें कि क्या समीकरण समतुल्य हैं:

ए) एक्स + 2 = 5 और एक्स + 5 = 8

1. पहला समीकरण हल करें

2. दूसरा समीकरण हल करें

समीकरणों के मूल समान हैं, इसलिए x + 2 = 5 और x + 5 = 8 समतुल्य हैं।

बी) एक्स 2 + 1 = 0 और 2x 2 + 5 = 0

इन दोनों समीकरणों के वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए वे तुल्य हैं।

सी) एक्स - 5 \u003d 1 और एक्स 2 \u003d 36

1. पहले समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

2. दूसरे समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

एक्स 1 = 6, एक्स 2 = -6

समीकरणों की जड़ें मेल नहीं खातीं, इसलिए x - 5 \u003d 1 और x 2 \u003d 36 समतुल्य नहीं हैं।

समीकरण को हल करते समय, वे इसे एक समकक्ष से बदलने की कोशिश करते हैं, लेकिन अधिक सरल समीकरण. इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि किन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप यह समीकरण इसके समतुल्य समीकरण में बदल जाता है।

प्रमेय 1. यदि किसी समीकरण के किसी पद को चिन्ह बदलते हुए एक भाग से दूसरे भाग में स्थानान्तरित किया जाता है, तो दिए गए पद के समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 2 = 3x समीकरण x 2 + 2 - 3x = 0 के बराबर है।

प्रमेय 2। यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही संख्या (शून्य के बराबर नहीं) से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होता है जो दिए गए के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x समीकरण x 2 - 1 \u003d 6x के बराबर है। हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करते हैं।

एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण फॉर्म कुल्हाड़ी \u003d बी का एक समीकरण है, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं, और ए को चर का गुणांक कहा जाता है, और बी मुक्त शब्द है।

रैखिक समीकरण ax = b के लिए तीन स्थितियों पर विचार करें।

1. ए 0. इस मामले में, एक्स \u003d बी / ए (क्योंकि ए गैर-शून्य है)।

2. a \u003d 0, b \u003d 0. समीकरण का रूप लेगा: 0 x \u003d 0. यह समीकरण किसी भी x के लिए सत्य है, अर्थात। समीकरण का मूल कोई वास्तविक संख्या है।

3. ए \u003d 0, बी ≠ 0. इस मामले में, समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि शून्य से विभाजन निषिद्ध है (0 x = b)।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, कई समीकरण रैखिक में कम हो जाते हैं।

समीकरण हल करना

क) (1/5) x + 2/15 = 0

1. घटक 2/15 को समीकरण के बाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाएं। ऐसा परिवर्तन प्रमेय 1 द्वारा नियंत्रित होता है। तो, समीकरण का रूप लेगा: (1/5)x = -2/15।

2. हर से छुटकारा पाने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 15 से गुणा करते हैं। प्रमेय 2 हमें ऐसा करने की अनुमति देता है। तो, समीकरण का रूप लेगा:

(1/5)x 15= - 2/15 ∙ 15

इस प्रकार, समीकरण का मूल -2/3 है।

बी) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1

1. हर से छुटकारा पाने के लिए, हम समीकरण के दोनों भागों को गुणा करते हैं 12 पर (प्रमेय 2 द्वारा)। समीकरण रूप लेगा:

12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)

8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12

10 + x = 5x - 12

2. प्रमेय 1 का उपयोग करते हुए, हम दाईं ओर की सभी संख्याओं और बाईं ओर x वाले घटकों को "एकत्रित" करते हैं। समीकरण रूप लेगा:

10 +12 \u003d 5x - x

अत: समीकरण का मूल 5.5 है।

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