एक वेक्टर के साथ व्युत्पन्न। दिशात्मक व्युत्पन्न

(x, y, z) और बिंदु 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) पर फलन u(x, y, z) पर विचार करें।

आइए बिंदुओं M और M 1 से होकर एक सदिश बनाएं। निर्देशांक अक्षों x, y, z की दिशा में इस वेक्टर के झुकाव के कोणों को क्रमशः a, b, g द्वारा दर्शाया जाएगा। इन कोणों की कोज्या कहलाती हैं दिशा कोज्यावेक्टर ।

वेक्टर पर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी को DS द्वारा दर्शाया जाएगा।

जहां ई 1, ई 2, ई 3 मात्राएं असीम रूप से छोटी हैं।

ज्यामितीय विचारों से यह स्पष्ट है:

इस प्रकार, उपरोक्त समानताओं को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

ध्यान दें कि s एक अदिश मान है। यह केवल वेक्टर की दिशा निर्धारित करता है।

इस समीकरण से निम्नलिखित परिभाषा का पालन होता है:

सीमा कहा जाता है सदिश की दिशा में फलन u(x, y, z) का अवकलजनिर्देशांक (x, y, z) के साथ बिंदु पर।

आइए हम एक उदाहरण के साथ उपरोक्त समानता का अर्थ स्पष्ट करें।

उदाहरण 9.1। वेक्टर की दिशा में बिंदु ए (1, 2) पर फ़ंक्शन z \u003d x 2 + y 2 x के व्युत्पन्न की गणना करें। में (3,0) ।

समाधान।सबसे पहले, वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

हम फलन z in . का आंशिक अवकलज पाते हैं सामान्य दृष्टि से:

बिंदु A पर इन मात्राओं का मान:

वेक्टर की दिशा कोसाइन खोजने के लिए, हम निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं:

साथ निर्देशित एक मनमाना वेक्टर दिया गया वेक्टर, अर्थात। विभेदन की दिशा निर्धारित करना।

यहां से हम वेक्टर की दिशा कोसाइन के मान प्राप्त करते हैं:

कोसा =; कोसब=-

अंत में हमें मिलता है: - व्युत्पन्न का मूल्य दिया गया कार्यवेक्टर की दिशा में।

यदि कोई फंक्शन u = u(x, y, z) किसी डोमेन D में दिया गया है और कुछ वेक्टर जिसका निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपण संबंधित बिंदु पर फ़ंक्शन u के मानों के बराबर है

तब इस वेक्टर को कहा जाता है ढालकार्य यू.

इस मामले में, हम कहते हैं कि क्षेत्र डी में ग्रेडियेंट का एक क्षेत्र दिया गया है।

प्रमेय: मान लें कि फलन u = u(x, y, z) दिया गया है और ढाल क्षेत्र

फिर कुछ वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न वेक्टर पर वेक्टर ग्रेडू के प्रक्षेपण के बराबर है।

सबूत: एक इकाई वेक्टर और कुछ फ़ंक्शन u = u(x, y, z) पर विचार करें और वैक्टर के अदिश उत्पाद का पता लगाएं और डिग्री.

इस समानता के दायीं ओर का व्यंजक दिशा s में फलन u का व्युत्पन्न है।

वे। . यदि सदिशों के बीच का कोण डिग्रीऔर j द्वारा निरूपित किया जाता है, तो अदिश उत्पाद को इन सदिशों के मॉड्यूल और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि वेक्टर इकाई है, अर्थात। इसका मापांक एक के बराबर है, हम लिख सकते हैं:

इस समानता के दायीं ओर का व्यंजक सदिश का प्रक्षेपण है ग्रेड यूवेक्टर को।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ग्रेडिएंट के ज्यामितीय और भौतिक अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, मान लें कि ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जो किसी बिंदु पर किसी स्केलर फ़ील्ड के सबसे तेज़ परिवर्तन की दिशा दिखा रहा है। भौतिकी में, तापमान प्रवणता, दबाव प्रवणता आदि जैसी अवधारणाएँ हैं। वे। ग्रेडिएंट की दिशा फ़ंक्शन के सबसे तेज़ विकास की दिशा है।

ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के संदर्भ में, ग्रेडिएंट फ़ंक्शन के स्तर की सतह के लंबवत होता है।

1) दो चरों के फलन का मामला। दिशा एक वेक्टर द्वारा दी गई है। हम एक इकाई वेक्टर चुनते हैं जो विमान पर दिशा निर्दिष्ट करता है: . यह सदिश OX अक्ष की धनात्मक दिशा वाला कोण बनाता है। दो चरों वाले फलन के दिशात्मक अवकलज को व्यंजक कहा जाता है .

2) तीन चर के एक समारोह का मामला। मान लीजिए कि एक इकाई वेक्टर दिया गया है जो क्रमशः OX, OY और OZ अक्षों के साथ कोण बनाता है। यदि हम सदिश के निर्देशांकों को इस रूप में निर्दिष्ट करते हैं, तो दो सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के लिए सूत्र द्वारा और हमें प्राप्त होता है। वैसे ही, । , कुल्हाड़ियों OX, OY और OZ के साथ कोण बनाने वाले इकाई वेक्टर में निर्देशांक होते हैं। तीन चरों वाले फलन के दिशात्मक अवकलज को व्यंजक कहा जाता है

परिभाषा।ढालकार्यों को आमतौर पर वेक्टर कहा जाता है . इस कारण से, इकाई वेक्टर द्वारा दी गई दिशा में एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है , जहां सूत्र में दाईं ओर फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट और इकाई दिशा वेक्टर का अदिश उत्पाद है।

ढाल की मुख्य संपत्ति: सभी संभावित दिशाओं में, दिशा में व्युत्पन्न ग्रेडिएंट की दिशा में सबसे बड़ा, और सकारात्मक, मान लेता है। यह संपत्ति परिभाषा से इस प्रकार है डॉट उत्पाद. चूँकि व्युत्पन्न की सकारात्मकता का अर्थ है फलन की वृद्धि, बिंदु पर ढाल की दिशा है फ़ंक्शन की सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा.

उच्च ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव.

चरों के किसी फलन का कोई आंशिक अवकलज स्वयं भी चर का एक कार्य है। अनेक चरों वाले फलन के आंशिक अवकलज का आंशिक अवकलज कहलाता है दूसरा क्रम आंशिक व्युत्पन्नकार्य। इस मामले में, यदि वे चर जिनके संबंध में पहले फ़ंक्शन से व्युत्पन्न लिया जाता है और फिर फ़ंक्शन से मेल नहीं खाता है, तो ऐसे आंशिक व्युत्पन्न को आमतौर पर मिश्रित कहा जाता है। दूसरा क्रम आंशिक व्युत्पन्न संकेतन: . मामले में जब और किसी बिंदु के पड़ोस में निरंतर कार्य कर रहे हैं, इस बिंदु पर।

इसी तरह, किसी भी ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव पेश किए जाते हैं।

उदाहरण
Ref.rf . पर होस्ट किया गया
फ़ंक्शन से खोजें। हमारे पास है
.

MAXIM का उपयोग करके समान व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम कमांड का उपयोग करते हैं अंतर (लॉग (एक्स + 3 * वाई), एक्स, 2, वाई, 1).

उच्च क्रम अंतर.

डेरिवेटिव के साथ समानता से, उच्च ऑर्डर के अंतर पेश किए जाते हैं, यानी अंतर से अंतर। तीन चर के एक समारोह पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का अंतर अभिव्यक्ति है। ध्यान दें कि अंतिम व्यंजक में शामिल अवकलज के फलन हैं, और चरों के अंतर इस पर निर्भर नहीं करते हैं। इस कारण से, मिश्रित डेरिवेटिव की निरंतरता की स्थिति के तहत, दूसरे क्रम के अंतर का रूप होता है

अंतिम सूत्र में, हमने मिश्रित व्युत्पन्नों की समानता के गुण का उपयोग किया है। यह देखना आसान है कि दूसरे क्रम के अंतर का सूत्र तीन पदों के योग की दूसरी डिग्री के सूत्र के समान है। दो चरों के फलन के दूसरे और तीसरे क्रम के अंतरों की गणना करना मुश्किल नहीं है:

एक व्यायाम।पाना बिंदु पर फलन के लिए (1,1)।

अनेक चरों के फलन के लिए टेलर सूत्र.

जैसे कि एक चर के फलनों के मामले में, अनेकों के फलनों के लिए चर सूत्रटेलर एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसी बिंदु पर उसके अंतर के बीच संबंध देता है:

कहाँ पे .

विशेष रूप से, दो चर के एक समारोह के लिए हमारे पास है:

यहां .

दिशात्मक व्युत्पन्न। - अवधारणा और प्रकार। "दिशात्मक व्युत्पन्न" श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं। 2017, 2018।

- दिशात्मक व्युत्पन्न। ढाल। ढाल और दिशात्मक व्युत्पन्न के बीच संबंध।

(x, y, z) और बिंदु М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz) पर फलन u(x, y, z) पर विचार करें। आइए बिंदुओं M और M1 से होकर एक सदिश बनाएं। निर्देशांक अक्षों x, y, z की दिशा में इस वेक्टर के झुकाव के कोणों को क्रमशः a, b, g द्वारा दर्शाया जाएगा। इन कोणों की कोज्याएँ सदिश की दिक्-कोसाइन कहलाती हैं। ....

- दिशात्मक व्युत्पन्न

अदिश क्षेत्र U(M) की एक महत्वपूर्ण विशेषता निर्दिष्ट दिशा में क्षेत्र फलन के परिवर्तन की दर है। यदि यह दिशा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक की दिशा से मेल खाती है, तो हमें संबंधित आंशिक व्युत्पन्न का मान प्राप्त होगा। वेक्टर बीजगणित से ....

- दिशात्मक व्युत्पन्न। ढाल।

मान लीजिए फलन U = F (X, Y, Z) कुछ डोमेन D में सतत है और इस डोमेन में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है। हम विचाराधीन क्षेत्र में एक बिंदु M(X,Y,Z) चुनते हैं और उसमें से एक सदिश S खींचते हैं, जिसकी दिशा कोसाइन cosA, cosB, cosG है। सदिश S पर अपने मूल से कुछ दूरी पर DS...

- विषय 11. दिशा में व्युत्पन्न। ढाल

दिशा के साथ एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सीमा कहा जाता है जहां सीमा मौजूद होती है। यदि फ़ंक्शन अवकलनीय है, तो दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है (1) जहां वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं विशेष रूप से, यदि दो चर का एक फ़ंक्शन है,... ।

- दिशात्मक व्युत्पन्न। ढाल

अदिश क्षेत्र। स्तर की सतहें। गणितीय क्षेत्र सिद्धांत के तत्व गणितीय भौतिकी के विकास में मुख्य चरण गणितीय भौतिकी XVIII के अंत में एक स्वतंत्र विज्ञान के रूप में उभरा - प्रारंभिक XIXसदी। इसमें है...

दिशात्मक व्युत्पन्न।

विमान में चलो XOYबिंदु स्थित है एम 0 (एक्स 0 ,आप 0 ) एक मनमाना कोण सेट करें एकऔर उसी तल पर बिंदुओं के समुच्चय पर विचार करें, जिसके निर्देशांक सूत्रों से निर्धारित होते हैं

एक्स = एक्स 0 + टीक्योंकि ए, वाई = वाई 0 + टीपाप एक। (1)

यहां टी- एक पैरामीटर जो किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है। सूत्रों से (1) यह इस प्रकार है:

(Y y 0)/(एक्स-एक्स 0) = टीजी एक

इसका मतलब है कि सभी बिंदु एम(एक्स, वाई), जिनके निर्देशांक समानताएं (1) को संतुष्ट करते हैं, बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा पर स्थित हैं एम 0 (एक्स 0 , यू 0) और कोण बनाते हैं एकधुरी के साथ बैल. प्रत्येक मान टीएक बिंदु से मेल खाती है एम(एक्स, वाई) इस सीधी रेखा पर झूठ बोलना, और सूत्र के अनुसार (1) बिंदुओं के बीच की दूरी से एम 0 (एक्स 0 , यू 0) और एम(एक्स, वाई) बराबर टी. हम इस सीधी रेखा को एक संख्यात्मक अक्ष के रूप में मान सकते हैं जिसकी सकारात्मक दिशा पैरामीटर में वृद्धि से निर्धारित होती है टी. आइए हम इस अक्ष की धनात्मक दिशा को प्रतीक द्वारा निरूपित करें मैं.

मैं.व्युत्पन्न कार्य जेड = एफ(एक्स, वाई) बिंदु पर एम 0 (एक्स 0 , यू 0)की ओर मैं एक नंबर कहा जाता है

दिशा के संबंध में एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक ज्यामितीय व्याख्या दी जा सकती है। यदि एक सीधी रेखा से मैंसूत्रों द्वारा परिभाषित (1), एक लंबवत विमान बनाएं पी(वास्तव में, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, समीकरण (1) इसी विमान को परिभाषित करते हैं), तो यह विमान फ़ंक्शन की ग्राफ़ सतह को प्रतिच्छेद करेगा जेड = एफ(एक्स, वाई) साथ-साथ

कुछ अंतरिक्ष वक्र ली. एक बिंदु पर क्षैतिज तल और इस वक्र के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा एम 0 (एक्स 0 , यू 0) दिशा में इस बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है मैं.

किसी भी कोर्स में गणितीय विश्लेषणयह साबित होता है कि सूत्र (2) द्वारा परिभाषित दिशात्मक व्युत्पन्न को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

ध्यान दें कि के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न एक्सएक दिशात्मक व्युत्पन्न भी है। यह दिशा समानता से निर्धारित होती है: cos ए =एक; पाप ए = 0. इसी तरह, के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न आपदिशा के संबंध में व्युत्पन्न है, जिसे शर्तों द्वारा दिया जा सकता है क्योंकि ए = 0; पाप ए = 1.

सूत्र (3) का विश्लेषण करने से पहले, हम सदिश बीजगणित पाठ्यक्रम से कुछ अवधारणाएँ और तथ्य प्रस्तुत करते हैं। समतल में समन्वय प्रणाली के साथ चलो XOYएक निर्देशित खंड या (जो समान है) एक वेक्टर दिया जाता है, और बिंदु एम 0 (एक्स 0 , यू 0) इसका प्रारंभिक बिंदु है, और एम 1 (एक्स 1 , यू 1) अंतिम बिंदु है। अक्ष के अनुदिश सदिश का निर्देशांक ज्ञात कीजिए बैलके बराबर संख्या के रूप में एक्स 1 ‑ एक्स 0 , और अक्ष के अनुदिश निर्देशांक के बराबर एक संख्या के रूप में आप 1 ‑ आप 0. किसी भी संख्या के एक क्रमित जोड़े को देखते हुए एकतथा बी, तो इन नंबरों को विमान में कुछ वेक्टर के निर्देशांक के रूप में माना जा सकता है XOY, और इस वेक्टर की लंबाई सूत्र द्वारा परिभाषित की जाती है

और ढलान की स्पर्शरेखा जीअक्ष के लिए वेक्टर बैलसूत्र tg . से निर्धारित होता है जी = बी/ए(ध्यान दें कि tg . का मान जानना जी, साथ ही किसी भी संख्या का चिन्ह एकतथा बी, हम कोण को परिभाषित कर सकते हैं जी 2 तक पी).

एक सदिश का उसके निर्देशांकों के युग्म के रूप में निरूपण के रूप में लिखा जाएगा। इस प्रतिनिधित्व में एक है मुख्य विशेषताएं: यह विमान पर वेक्टर का स्थान निर्धारित नहीं करता है XOY. इसे निर्धारित करने के लिए, वेक्टर के निर्देशांक के साथ, आपको निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, इसके प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक या, जैसा कि इसे कहा जा सकता है, वेक्टर के आवेदन का बिंदु।

यदि दो सदिश दिए गए हैं: तथा , तो अदिश उत्पादइन सदिशों की संख्या कहलाती है ( जेवैक्टर के बीच का कोण है)।

किसी भी वेक्टर बीजगणित पाठ्यक्रम में, यह साबित होता है कि वैक्टर का अदिश उत्पाद और समान नाम वाले इन वैक्टर के निर्देशांक के उत्पादों के योग के बराबर है:

= एक 1 बी 1 + एक 2 बी 2 . (4)

चलो कुछ क्षेत्र में जीविमान XOYसमारोह दिया गया है जेड = एफ(एक्स, वाई) , जिसमें दोनों तर्कों के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है।

ढालया ढाल वेक्टर कार्यों एफ (एक्स, वाई)एक बिंदु पर (x,y) О G एक सदिश है जो सूत्र द्वारा दिया जाता है

समारोह एफक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करता है जीइस बिंदु से निकलने वाला ग्रेडिएंट वेक्टर।

आइए अब हम सूत्र (3) पर लौटते हैं। उसकी दाईं ओरहम वैक्टर के अदिश उत्पाद के रूप में सोच सकते हैं। पहला फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट वेक्टर है जेड = एफ(एक्स, वाई) बिंदु पर एम 0 (एक्स 0 , यू 0):

दूसरा एक वेक्टर है . यह 1 की लंबाई वाला एक वेक्टर है और ऑक्स अक्ष के झुकाव के कोण के बराबर है एक.

अब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फलन का अवकलज जेड = एफ(एक्स, वाई) कोण द्वारा निर्धारित दिशा में एकधुरी के लिए झुकाव बैल, बिंदु पर एम 0 (एक्स 0 , यू 0) सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

. (5)

यहां बी- वेक्टर और वेक्टर के बीच का कोण, जो उस दिशा को निर्दिष्ट करता है जिसके साथ व्युत्पन्न लिया जाता है। यहाँ यह भी ध्यान में रखा गया है कि

अदिश क्षेत्रअंतरिक्ष का एक भाग (या संपूर्ण स्थान) कहलाता है, प्रत्येक बिंदु, जो किसी अदिश राशि के संख्यात्मक मान से मेल खाता है।

उदाहरण

एक पिंड जिसका प्रत्येक बिंदु पर एक निश्चित तापमान मान होता है, एक अदिश क्षेत्र होता है।

एक अमानवीय पिंड, जिसका प्रत्येक बिंदु एक निश्चित घनत्व से मेल खाता है - एक अदिश घनत्व क्षेत्र।

इन सभी मामलों में अदिशयू समय पर निर्भर नहीं है, बल्कि अंतरिक्ष में बिंदु एम की स्थिति (निर्देशांक) पर निर्भर करता है, अर्थात यह तीन चर का एक कार्य है, इसे कहा जाता है क्षेत्र समारोह. और इसके विपरीत, तीन चरों का कोई भी फलन यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)कुछ अदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है।

समतलीय अदिश क्षेत्र फलन दो चरों पर निर्भर करता है जेड = एफ (एक्स, वाई).

एक अदिश क्षेत्र पर विचार करें यू = एफ (एक्स, वाई, जेड)।

एक सदिश जिसके निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु पर परिकलित फलन के आंशिक अवकलज होते हैं, कहलाते हैं ढालइस बिंदु पर कार्य करें या अदिश क्षेत्र का ढाल।

एक वेक्टर पर विचार करें जिस पर दो बिंदु हैं एम 0 (एक्स 0, वाई 0, जेड 0)तथा । आइए दिशा में फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं:

दिशात्मक व्युत्पन्नअगली सीमा कहा जाता है अगर यह मौजूद है:

वेक्टर की दिशा कोसाइन कहां हैं; α, β, वे कोण हैं जो वेक्टर निर्देशांक अक्षों के साथ बनाते हैं, यदि ।

दो चरों के एक फलन के लिए, ये सूत्र रूप लेते हैं:

या ,

इसलिये ।

एक ही बिंदु पर ढाल और दिशात्मक व्युत्पन्न के बीच एक संबंध है।

प्रमेय।किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट का अदिश उत्पाद और किसी दिशा का एक वेक्टर इस वेक्टर की दिशा में दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है:

परिणाम।दिशात्मक व्युत्पन्न है उच्चतम मूल्य, यदि यह दिशा ग्रेडिएंट की दिशा के साथ मेल खाती है (डॉट उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करके और यह मानकर अपने आप को सही ठहराएं)।

निष्कर्ष:

1. ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जो किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा दिखाता है और संख्यात्मक रूप से मॉड्यूलस होता है गति के बराबरयह वृद्धि:

2. दिशा में व्युत्पन्न दिशा में कार्य के परिवर्तन की दर है: यदि, तो इस दिशा में कार्य बढ़ता है, यदि, तो कार्य घटता है।

3. यदि सदिश किसी एक सदिश के साथ संपाती हो, तो इस सदिश की दिशा में अवकलज संबंधित आंशिक अवकलज के साथ संपाती होता है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो।

उदाहरण

एक समारोह दिया , डॉट ए(1, 2)और वेक्टर।

खोजें: 1);

समाधान

1) फलन के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए और बिंदु A पर उनकी गणना कीजिए।

, .

फिर .

2) सदिश की दिशा कोज्या ज्ञात कीजिए:

उत्तर: ; .

साहित्य [ 1,2]

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न:

1. दो चरों का फलन क्या कहलाता है, इसकी परिभाषा का क्षेत्र?

2. आंशिक डेरिवेटिव कैसे निर्धारित किए जाते हैं?

3. क्या है ज्यामितीय अर्थनिजी डेरिवेटिव?

4. किसी दिए गए बिंदु पर अदिश क्षेत्र की प्रवणता क्या कहलाती है?

5. एक दिशात्मक व्युत्पन्न क्या कहलाता है?

6. दो चरों वाले फलन का चरम ज्ञात करने के लिए नियम बनाइए।

विकल्प 1

टास्क नंबर 1

एक) ; बी) ;

में) ; जी) .

टास्क नंबर 2निरंतरता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच करें: फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट ढूंढें और उनके प्रकार का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ बनाएं।

कार्य संख्यादिया गया जटिल संख्या Z. आवश्यक: संख्या Z को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूपों में लिखें। .

टास्क नंबर 4.

1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) ।

टास्क नंबर 5.डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच करें और अध्ययन के परिणामों का उपयोग करके एक ग्राफ बनाएं। .

टास्क नंबर 6.फलन z=f(x,y) दिया गया है। जाँच करें कि क्या पहचान F≡0 पूरी हुई है?

टास्क नंबर 7एक समारोह दिया Z=x2+xy+y2, बिंदु और वेक्टर। पाना:

1) ग्रेड्ज़बिंदु पर लेकिन;

2) एक बिंदु पर व्युत्पन्न लेकिनवेक्टर की दिशा में .

विकल्प 2

टास्क नंबर 1 L'Hopital के नियम का उपयोग किए बिना फलनों की सीमाओं की गणना कीजिए।

एक) ; बी) ;

में) ; जी) .

टास्क नंबर 2निरंतरता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच करें: फ़ंक्शन के ब्रेकपॉइंट ढूंढें और उनके प्रकार का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाएं।

टास्क नंबर 3एक सम्मिश्र संख्या Z दिया गया है। आवश्यक: संख्या Z को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय रूपों में लिखें।

टास्क नंबर 4.इन फलनों का प्रथम कोटि अवकलज ज्ञात कीजिए।