एक संख्यात्मक अनुक्रम की परिभाषा। अनुक्रमों की सीमा की गणना कैसे करें

पालना। डायपर। रोना।
शब्द। कदम। ठंडा। चिकित्सक।
आसपास चल रहा है। खिलौने। भइया।
यार्ड। झूला। बालवाड़ी।
स्कूल। ड्यूस। ट्रोइका। पाँच।
गेंद। कदम। जिप्सम। बिस्तर।
झगड़ा करना। खून। टूटी हुई नाक।
यार्ड। मित्र। समारोह। ताकत।
संस्थान। वसन्त। झाड़ियाँ।
ग्रीष्म ऋतु। सत्र। पूंछ।
बीयर। वोदका। आइस्ड जिन।
कॉफ़ी। सत्र। डिप्लोमा।
स्वच्छंदतावाद। प्यार। सितारा।
हथियार। होंठ। बिना नींद के रात।
शादी। सास। ससुर। जाल।
बहस। क्लब। मित्र। कप।
मकान। काम। मकान। एक परिवार।
रवि। ग्रीष्म ऋतु। बर्फ। सर्दी।
बेटा। डायपर। पालना।
तनाव। मालकिन। बिस्तर।
व्यवसाय। पैसे। योजना। एवरल।
टेलीविजन। टीवी सीरीज।
बहुत बड़ा घर। चेरी। तुरई।
भूरे बाल। माइग्रेन। चश्मा।
पोता। डायपर। पालना।
तनाव। दबाव। बिस्तर।
हृदय। गुर्दे। हड्डियाँ। चिकित्सक।
भाषण। ताबूत। बिदाई। रोना।

जीवन क्रम

SEQUENCE - (अनुक्रम), संगठित तरीके से व्यवस्थित संख्याएँ या तत्व। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं (तत्वों की सीमित संख्या वाले) या अनंत, एक पूर्ण अनुक्रम की तरह प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4 ….… …

वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

परिभाषा:संख्यात्मक अनुक्रमप्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N पर दिया गया संख्यात्मक कहलाता है। संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, आमतौर पर के बजाय च (एन)लिखना एक और इस तरह अनुक्रम को निरूपित करें: एक ) नंबर एक 1 , एक 2 , …, एक,… बुलाया अनुक्रम तत्व।

आमतौर पर संख्यात्मक अनुक्रम सेटिंग द्वारा निर्धारित किया जाता है एन-वें तत्व या एक पुनरावर्ती सूत्र, जिसके अनुसार प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक वर्णनात्मक तरीका भी संभव है। उदाहरण के लिए:

• अनुक्रम के सभी सदस्य "1" हैं. इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

• अनुक्रम में सभी शामिल हैं अभाज्य सँख्याबढ़ते क्रम में।इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

आवर्तक विधि के साथ, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो आपको व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

• आप 1 = 3; वाई एन =आप एन-1 + 4 , यदि एन = 2, 3, 4,…

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

• आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n =आप एन-2 + आप एन-1 , यदि एन = 3, 4,…

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

पुनरावर्ती सूत्र द्वारा व्यक्त अनुक्रम वाई एन =आप एन-1 + 4 विश्लेषणात्मक रूप से भी दिया जा सकता है: Y n= वाई 1 +4 * (एन -1)

जाँच करें: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

यहां हमें n-वें तत्व की गणना करने के लिए संख्यात्मक अनुक्रम के पिछले सदस्य को जानने की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल इसकी संख्या और पहले तत्व का मान निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का यह तरीका कार्यों को निर्दिष्ट करने के विश्लेषणात्मक तरीके के समान है। वास्तव में संख्यात्मक क्रम एक विशेष प्रकार का होता है संख्यात्मक कार्य, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जा सकता है।

संख्या क्रम एक बहुत ही रोचक और सूचनात्मक विषय है। यह विषय बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों में पाया जाता है, जो लेखकों द्वारा छात्रों को प्रस्तुत किए जाते हैं। उपदेशात्मक सामग्री, कार्यों में गणितीय ओलंपियाड, उच्च के लिए प्रवेश परीक्षा शैक्षणिक संस्थानोंऔर पर ।और अगर आप करीब से देखना चाहते हैं विभिन्न प्रकारसंख्या क्रम, यहाँ क्लिक करें। ठीक है, अगर आपके लिए सब कुछ स्पष्ट और सरल है, लेकिन उत्तर देने का प्रयास करें।

मान लीजिए कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक निश्चित वास्तविक संख्या से मेल खाती है: संख्या 1 एक 1, संख्या 2 - एक 2, संख्या n - a n से मेल खाती है। इस मामले में, हम कहते हैं कि एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है, जो इस प्रकार लिखा गया है: ए 1, ए 2, ..., और एन, जहां 1 पहला सदस्य है, और 2 दूसरा सदस्य है, ... , और n is नौवां सदस्यक्रम।

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तीन मुख्य तरीके हैं।

1. विश्लेषणात्मक।अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है; उदाहरण के लिए, सूत्र a n \u003d n / (n + 1) एक अनुक्रम a 1, a 2, ..., और n निर्दिष्ट करता है, जिसमें

और 1 = 1/(1+1) = 1/2; और 2 \u003d 2 / (2 + 1) \u003d 2/3 ...;

वे। अनुक्रम 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1)।

2. आवर्तक।अनुक्रम के किसी भी सदस्य को पूर्ववर्ती सदस्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। अनुक्रम निर्दिष्ट करने की इस पद्धति के साथ, अनुक्रम के पहले सदस्य और एक सूत्र को इंगित किया जाना चाहिए जो आपको ज्ञात पिछले सदस्यों से अनुक्रम के किसी भी सदस्य की गणना करने की अनुमति देता है।

आइए अनुक्रम के कई सदस्यों को खोजें a 1 = 1, a 2 = 1…, और n +2 = a n + a n +1।

ए 3 \u003d ए 1 + ए 2 \u003d 1 + 1 \u003d 2;

ए 4 \u003d ए 2 + ए 3 \u003d 1 + 2 \u003d 3, आदि।

नतीजतन, हमें अनुक्रम मिलता है: 1, 1, 2, 3, 5 ....

3. मौखिक।यह विवरण द्वारा एक अनुक्रम असाइनमेंट है। उदाहरण के लिए, संख्या ई की कमी से दशमलव सन्निकटन का एक क्रम।

अनुक्रम या तो आरोही या अवरोही होते हैं।

एक अनुक्रम (a n), जिसका प्रत्येक पद उसके अनुसरण करने वाले पद से छोटा है, अर्थात्। यदि एक< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью.

एक अनुक्रम (a n) जिसमें प्रत्येक पद उसके अनुसरण करने वाले पद से बड़ा है, अर्थात्। यदि किसी n के लिए a n > a n + 1 अवरोही क्रम कहलाता है।

उदाहरण के लिए:

क) 1, 4, 9, 16, 25,…, n 2,… - बढ़ते क्रम;

बी) -1, -2, -3, -4, ..., -एन, ... - घटते क्रम;

ग) -1, 2, -3, 4, -5, 6, ..., (-1) n n, ... एक न बढ़ने वाला और न घटने वाला क्रम है;

d) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … एक स्थिर (स्थिर) अनुक्रम है।

यदि अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य (ए एन), दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या डी के साथ जोड़ा जाता है, तो ऐसे अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। संख्या d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

इस प्रकार, समांतर श्रेणी को समानता द्वारा दिया जाता है: a n +1 = a n + d। उदाहरण के लिए,

ए 5 = ए 4 + डी।

d > 0 के लिए, समांतर श्रेणी में वृद्धि होती है, d . के लिए< 0 убывает.

अनुक्रम 3, 5, 7, 9, 11, 13 ... एक समांतर श्रेणी है,
जहां ए 1 \u003d 3, डी \u003d 2 (5 - 3, 7 - 5, 9 - 7, आदि)।

कभी-कभी, संपूर्ण अनुक्रम, जो एक अंकगणितीय प्रगति है, पर विचार नहीं किया जाता है, लेकिन केवल इसके पहले कुछ सदस्य होते हैं। इस मामले में, एक परिमित अंकगणितीय प्रगति की बात करता है।

एक अंकगणितीय प्रगति में तीन गुण होते हैं.

1. समांतर श्रेणी के n-वें सदस्य का सूत्र:

ए एन \u003d ए 1 + डी (एन -1)

2. अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र:

ए) एस एन = ((ए 1 + ए एन)/2) एन;

बी) एस एन = ((2 ए 1 ​​+ डी (एन – 1)) / 2) एन।

यहां एस 1 \u003d ए 1, एस एन \u003d ए 1 + ए 2 + ए 3 + ... + ए एन।

3. एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति:अनुक्रम है अंकगणित क्रमयदि और केवल यदि पहली (और एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के मामले में अंतिम) को छोड़कर इसकी प्रत्येक शर्तें, पिछले और बाद के शब्दों के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं:

ए एन \u003d (ए एन -1 + ए एन +1) / 2।

यदि अनुक्रम का पहला पद (b n) गैर-शून्य है और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, उसी गैर-शून्य संख्या q से गुणा किया जाता है, तो ऐसे अनुक्रम को कहा जाता है ज्यामितीय अनुक्रम. संख्या q को प्रगति का हर कहा जाता है।

इस प्रकार, ज्यामितीय प्रगति समानता b n +1 = b n ∙ q . द्वारा दी गई है . उदाहरण के लिए, बी 7 = बी 6 ∙ क्यू।

अनुक्रम 100, 30, 9, 27/10, ... एक ज्यामितीय प्रगति है, जहाँ b 1 = 100, q = 3/10।

एक ज्यामितीय प्रगति तीन गुणों की विशेषता है

1. ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र:

बी एन \u003d बी 1 क्यू एन -1।

2. ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के लिए सूत्र:

ए) एस एन \u003d (बी एन क्यू - बी 1) / (क्यू - 1);

बी) एस एन = (बी 1 (क्यू एन -1)) / (क्यू -1)।

3. एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति:एक अनुक्रम एक ज्यामितीय अनुक्रम है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के मामले में अंतिम) को छोड़कर, सूत्र द्वारा पिछले और बाद के सदस्यों के साथ जुड़ा हुआ है:

बी एन 2 \u003d बी एन -1 बी एन +1।

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होवनिस्यान इवा

संख्यात्मक अनुक्रम। सार।

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पूर्वावलोकन:

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान
"औसत समावेशी स्कूलनंबर 31"
बरनौली का शहर

संख्या अनुक्रम

सार

काम पूरा हो गया है:
ओगनेसियन ईवा,
8 वीं कक्षा के छात्र एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"
पर्यवेक्षक:
पोलेवा इरीना अलेक्जेंड्रोवना,
गणित शिक्षक एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"

बरनौल - 2014

परिचय ……………………………………………………………… 2

संख्यात्मक अनुक्रम। ………………………………………………… 3

संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने के तरीके…………………………4

प्रगति के सिद्धांत का विकास……………………………………………..5

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण …………………………………… 7

अंकगणितीय प्रगति……………………………..................................... ...............9

ज्यामितीय प्रगति ……………………………………………….10

निष्कर्ष ………………………………………………………… 11

सन्दर्भ ………………………………………………………11

परिचय

इस सार का उद्देश्य- संख्यात्मक अनुक्रमों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन, व्यवहार में उनका अनुप्रयोग।
कार्य:

1. प्रगति के सिद्धांत के विकास के ऐतिहासिक पहलुओं का अध्ययन करना;
2. संख्यात्मक अनुक्रमों की स्थापना के तरीकों और गुणों पर विचार करें;
3. अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बारे में जानें।

वर्तमान में, संख्यात्मक अनुक्रमों को किसी फ़ंक्शन के विशेष मामलों के रूप में माना जाता है। संख्यात्मक अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा कार्य के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले उत्पन्न हुई और विकसित हुई। यहाँ प्राचीन काल में ज्ञात अनंत संख्या अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं:

1, 2, 3, 4, 5,… - प्राकृत संख्याओं का क्रम।

2, 4, 6, 8, 10,… - सम संख्याओं का एक क्रम।

1, 3, 5, 7, 9,… - विषम संख्याओं का एक क्रम।

1, 4, 9, 16, 25,… - प्राकृत संख्याओं के वर्गों का क्रम।

2, 3, 5, 7, 11… - अभाज्य संख्याओं का एक क्रम।

1, ½, 1/3, , 1/5,… - प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का क्रम।

इनमें से प्रत्येक श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अनंत है; पहले पांच क्रम नीरस रूप से बढ़ रहे हैं, अंतिम एक नीरस रूप से घट रहा है। 5वें को छोड़कर सभी सूचीबद्ध अनुक्रम इस तथ्य के कारण दिए गए हैं कि उनमें से प्रत्येक के लिए सामान्य शब्द ज्ञात है, अर्थात, किसी भी संख्या के साथ एक पद प्राप्त करने का नियम। अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम के लिए, एक सामान्य शब्द अज्ञात है, लेकिन तीसरी शताब्दी की शुरुआत में। ईसा पूर्व इ। अलेक्जेंड्रिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने इसके एन-वें सदस्य को प्राप्त करने के लिए एक विधि (यद्यपि बहुत बोझिल) का संकेत दिया। इस विधि को "इराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता था।

प्रगति - विशेष प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम - द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व के स्मारकों में पाए जाते हैं। इ।

संख्या अनुक्रम

संख्या अनुक्रम की विभिन्न परिभाषाएँ हैं।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक संख्या स्थान (विकिपीडिया) के तत्वों का एक क्रम है।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक क्रमांकित संख्या सेट है।

y = f (x), x . के रूप का एक फलनप्राकृतिक तर्क का फलन कहलाता है यासंख्यात्मक अनुक्रमऔर y = f(n) or . को निरूपित करें

, , , …, संकेतन ().

हम धनात्मक सम संख्याओं को आरोही क्रम में लिखेंगे। पहली ऐसी संख्या 2 है, दूसरी 4 है, तीसरी 6 है, चौथी 8 है, और इसी तरह, हमें अनुक्रम मिलता है: 2; चार; 6; आठ; दस …।

जाहिर है, इस क्रम में पांचवां स्थान 10, दसवां - 20, सौवां - 200 होगा। सामान्य तौर पर, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, आप संबंधित सकारात्मक सम संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह 2n के बराबर है।

आइए एक और क्रम देखें। हम 1 के बराबर अंश वाले उचित भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखेंगे:

; ; ; ; ; … .

किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, हम संगत भिन्न निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह बराबर है. अत: छठे स्थान पर भिन्न होना चाहिए, तीसवें पर - , हजारवें पर - एक अंश .

अनुक्रम बनाने वाली संख्याएँ क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ आदि कहलाती हैं। अनुक्रम के सदस्य। अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर सदस्य की क्रमिक संख्या को इंगित करने वाले सबस्क्रिप्ट वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:, , आदि। सामान्य तौर पर, संख्या n के साथ अनुक्रम की अवधि, या, जैसा कि वे कहते हैं, अनुक्रम के nवें सदस्य को निरूपित किया जाता है. अनुक्रम स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है () एक अनुक्रम में सदस्यों की अनंत संख्या और एक परिमित दोनों हो सकते हैं। इस मामले में, इसे अंतिम कहा जाता है। उदाहरण के लिए: दो अंकों की संख्याओं का एक क्रम।10; ग्यारह; 12; 13; …; 98; 99

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके

अनुक्रमों को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आमतौर पर अनुक्रम सेट करने के लिए अधिक उपयुक्त होता हैइसके उभयनिष्ठ nवें पद का सूत्र, जो आपको अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या जानने के लिए खोजने की अनुमति देता है। इस मामले में, अनुक्रम दिया जाना कहा जाता हैविश्लेषणात्मक रूप से। उदाहरण के लिए: सकारात्मक सम पदों का क्रम= 2एन।

एक कार्य: अनुक्रम के सामान्य पद के लिए सूत्र खोजें (:

6; 20; 56; 144; 352;…

समाधान। हम अनुक्रम के प्रत्येक पद को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

एन = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनुक्रम की शर्तें लगातार विषम संख्याओं से दो गुणा की शक्ति का उत्पाद हैं, और दो को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है जो प्रश्न में तत्व की संख्या के बराबर है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

उत्तर: सामान्य शब्द सूत्र:

अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक अन्य तरीका अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट करना हैआवर्तक संबंध . एक सूत्र जो किसी अनुक्रम के किसी सदस्य को पिछले वाले (एक या अधिक) के माध्यम से कुछ से शुरू करके व्यक्त करता है, कहलाता हैआवर्तक (लैटिन शब्द रिकुरो से - वापसी के लिए)।

इस मामले में, अनुक्रम के एक या कई पहले तत्व निर्दिष्ट हैं, और बाकी किसी नियम के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं।

पुनरावर्ती रूप से दिए गए अनुक्रम का एक उदाहरण फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम है - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... वाले: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 इत्यादि। यह क्रम पुनरावर्ती रूप से दिया जा सकता है:

एन एन, = 1.

एक कार्य: परिणाम कोपुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया गया+, एन एन, = 4. इस क्रम के पहले कुछ पद लिखिए।

समाधान। आइए दिए गए अनुक्रम का तीसरा पद ज्ञात करें:

+ =

आदि।

जब अनुक्रम बार-बार दिए जाते हैं, तो गणना बहुत बोझिल होती है, क्योंकि तत्वों को खोजने के लिए बड़ी संख्या, निर्दिष्ट अनुक्रम के सभी पिछले सदस्यों को खोजना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, खोजने के लिएहमें पिछले सभी 499 पदों को खोजने की जरूरत है।

वर्णनात्मक तरीकाएक संख्यात्मक अनुक्रम के असाइनमेंट में यह समझाना शामिल है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1 । "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

साथ ही, एक सरल द्वारा एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया जा सकता हैअपने सदस्यों को सूचीबद्ध करना।

प्रगति के सिद्धांत का विकास

प्रोग्रेस शब्द लैटिन मूल (प्रोग्रेसियो) का है, जिसका शाब्दिक अर्थ है "आगे बढ़ना" (जैसे "प्रगति" शब्द) और पहली बार रोमन लेखक बोथियस (5वीं-6वीं शताब्दी) द्वारा सामना किया गया है। इसे एक दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखें, उदाहरण के लिए , प्राकृत संख्याओं का एक क्रम, उनके वर्ग और घन। मध्य युग के अंत में और आधुनिक समय की शुरुआत में, इस शब्द का आमतौर पर इस्तेमाल बंद हो जाता है। 17वीं शताब्दी में, उदाहरण के लिए, जे. ग्रेगरी ने प्रगति के बजाय "श्रृंखला" शब्द का प्रयोग किया, और एक अन्य प्रमुख अंग्रेजी गणितज्ञ, जे. वालिस ने अनंत श्रृंखला के लिए "अनंत प्रगति" शब्द का प्रयोग किया।

वर्तमान में, हम प्रगति को संख्यात्मक अनुक्रमों के विशेष मामले मानते हैं।

प्रगति से संबंधित सैद्धांतिक जानकारी सबसे पहले प्राचीन ग्रीस के उन दस्तावेजों में मिलती है जो हमारे पास आए हैं।

Psammite में, आर्किमिडीज ने पहली बार अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति की तुलना की:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

प्रगति को अनुपातों की निरंतरता के रूप में माना जाता था, यही वजह है कि अंकगणित और ज्यामितीय को अनुपात से प्रगति में स्थानांतरित किया गया था।

प्रगति के इस दृष्टिकोण को 17वीं और यहां तक ​​कि 18वीं शताब्दी के कई गणितज्ञों द्वारा संरक्षित रखा गया था। इस तरह से इस तथ्य की व्याख्या की जानी चाहिए कि बैरो में पाया गया प्रतीक, और फिर उस समय के अन्य अंग्रेजी वैज्ञानिकों में एक निरंतर ज्यामितीय अनुपात को निरूपित करने के लिए, 18 वीं शताब्दी की अंग्रेजी और फ्रेंच पाठ्यपुस्तकों में एक ज्यामितीय प्रगति को इंगित करना शुरू किया। सादृश्य से, उन्होंने एक अंकगणितीय प्रगति को नामित करना शुरू किया।

आर्किमिडीज के प्रमाणों में से एक, उनके काम "द क्वाड्रेचर ऑफ द पैराबोला" में निर्धारित किया गया है, अनिवार्य रूप से एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए उबलता है।

ज्यामिति और यांत्रिकी से कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आर्किमिडीज ने प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के लिए सूत्र निकाला, हालांकि यह उनके सामने इस्तेमाल किया गया था।

1/6n(n+1)(2n+1)

प्रगति से संबंधित कुछ सूत्र चीनी और भारतीय वैज्ञानिकों को ज्ञात थे। तो, आर्यभट्ट (वी शताब्दी) सामान्य शब्द के सूत्रों को जानता था, अंकगणितीय प्रगति का योग, आदि, मगवीरा (IX शताब्दी) ने सूत्र का उपयोग किया: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) और अन्य अधिक जटिल श्रृंखला। हालांकि, एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग को खोजने का नियम सबसे पहले पीसा के लियोनार्डो द्वारा बुक ऑफ द एबैकस (1202) में पाया गया है। द साइंस ऑफ नंबर्स (1484) में, एन. शुक, आर्किमिडीज की तरह, अंकगणितीय प्रगति की तुलना ज्यामितीय एक से करते हैं और देता है सामान्य नियमकिसी भी अतिसूक्ष्म घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए। अनंत रूप से घटती प्रगति के योग का सूत्र पी. फ़र्मेट और 17वीं शताब्दी के अन्य गणितज्ञों को ज्ञात था।

अंकगणित (और ज्यामितीय) प्रगति के लिए समस्याएं प्राचीन चीनी पथ "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी पाई जाती हैं, हालांकि, किसी भी योग सूत्र के उपयोग के लिए निर्देश शामिल नहीं हैं।

पहली प्रगति की समस्याएं जो हमारे सामने आई हैं, वे प्रश्नों से संबंधित हैं आर्थिक जीवनऔर सामाजिक प्रथाएं, जैसे उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, आदि।

एक क्यूनिफॉर्म टैबलेट से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, अमावस्या से पूर्णिमा तक चंद्रमा का अवलोकन करते हुए, बेबीलोन के लोग निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे: अमावस्या के बाद पहले पांच दिनों में, चंद्र डिस्क की रोशनी में वृद्धि के अनुसार होती है 2 के हर के साथ ज्यामितीय प्रगति का नियम। बाद के एक अन्य टैबलेट में, हम योग ज्यामितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं:

1+2+ +…+ . समाधान और उत्तर S=512+(512-1), प्लेट में डेटा सुझाव देता है कि लेखक ने सूत्र का उपयोग किया है।

एसएन = +( -1), लेकिन कोई नहीं जानता कि वह उस तक कैसे पहुंचा।

ज्यामितीय प्रगति का योग और संबंधित समस्याओं का संकलन जो हमेशा व्यावहारिक जरूरतों को पूरा नहीं करते हैं, प्राचीन और मध्य युग में गणित के कई प्रेमियों द्वारा अभ्यास किया गया था।

संख्या अनुक्रम गुण

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, और इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कुछ गुणों (सीमा, एकरसता) पर भी विचार किया जाता है।

सीमित क्रम

परवर्ती () कहा जाता है ऊपर से बंधा हुआ, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () कहा जाता है नीचे से घिरा हुआ, यदि ऐसी कोई संख्या m . है, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को बाउंडेड . कहा जाता है , यदि यह ऊपर से घिरा हुआ है और नीचे से घिरा हुआ है, यानी ऐसी संख्या मौजूद है M0 , जो किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को अनबाउंड . कहा जाता है , यदि ऐसी कोई संख्या M . मौजूद है0 है कि एक संख्या n मौजूद है जैसे कि,एम।

एक कार्य: अनुक्रम का अन्वेषण करें = सीमा तक।

समाधान। दिया गया क्रम परिबद्ध है, क्योंकि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:

0 1,

अर्थात्, अनुक्रम नीचे से शून्य से घिरा हुआ है, और साथ ही ऊपर से एकता से घिरा हुआ है, और इसलिए भी बाध्य है।

उत्तर: अनुक्रम सीमित है - नीचे से शून्य, और ऊपर से एक।

बढ़ते और घटते क्रम

परवर्ती () वृद्धि कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है:

उदाहरण के लिए, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... एक बढ़ता हुआ क्रम है।

परवर्ती () घटते कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले एक से कम है:

उदाहरण के लिए, 1; अवरोही क्रम है।

बढ़ते और घटते क्रम मिलते हैं सामान्य कार्यकाल - मोनोटोनिक अनुक्रम. आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं।

1; - यह क्रम न तो बढ़ रहा है और न ही घट रहा है (नॉनमोनोटोनिक अनुक्रम)।

2एन. हम बात कर रहे हैं क्रम 2, 4, 8, 16, 32,... - एक बढ़ता हुआ क्रम।

सामान्य तौर पर, यदि a > 1, तो अनुक्रम= बढ़ता है;

अगर 0 = घट रहा है।

अंकगणितीय प्रगति

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, योग के बराबर हैपिछले पद और उसी संख्या d को कहा जाता हैअंकगणितीय प्रगति, और संख्या d अंकगणितीय प्रगति का अंतर है।

इस प्रकार, एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है

एक्स, == + d, (n = 2, 3, 4,…; a और d दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... एक बढ़ती हुई समांतर श्रेणी है, जिसमें= 1, डी = 2.

उदाहरण 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - एक घटती हुई अंकगणितीय प्रगति, जिसमें= 20, डी = -3।

उदाहरण 3. प्राकृत संख्याओं के एक अनुक्रम पर विचार करें, जिन्हें चार से विभाजित करने पर शेषफल 1:1 प्राप्त होता है; 5; 9; 13; 17; 21…

प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद में संख्या 4 जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति का एक उदाहरण है।

एक स्पष्ट (सूत्र) अभिव्यक्ति खोजना आसान हैएन के माध्यम से अगले तत्व का मान पिछले एक की तुलना में d से बढ़ जाता है, इस प्रकार, n तत्व का मान अंकगणितीय प्रगति के पहले सदस्य की तुलना में (n - 1)d से बढ़ जाएगा, अर्थात।

= + डी (एन -1)। यह एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है।

यह योग सूत्र है एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्य।

अंकगणितीय प्रगति का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, उसके आसन्न दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है - पिछला और अगला, वास्तव में,

ज्यामितीय अनुक्रम

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य गैर-शून्य हैं और जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, कहलाता हैज्यामितीय अनुक्रम, और संख्या q एक ज्यामितीय प्रगति का हर है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है (संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी, = q (n = 2, 3, 4…; b और q दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति

2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... एक गुणोत्तर श्रेणी है= 2, क्यू = -1।

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, यानी।; ;…-

एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद के बराबर है, और हर है.

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र है:

एक ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों के योग का सूत्र:

विशेषता संपत्तिज्यामितीय प्रगति: एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है,

निष्कर्ष

कई वैज्ञानिकों द्वारा कई सदियों से संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन किया गया है।पहली प्रगति की समस्याएँ जो हमारे सामने आई हैं, वे आर्थिक जीवन और सामाजिक व्यवहार की माँगों से जुड़ी हैं, जैसे कि उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, और इसी तरह। वे में से एक हैं महत्वपूर्ण अवधारणाएंअंक शास्त्र। अपने काम में, मैंने संख्यात्मक अनुक्रमों से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को प्रतिबिंबित करने की कोशिश की, उन्हें कैसे सेट किया जाए, गुण, और उनमें से कुछ पर विचार किया। अलग-अलग, प्रगति (अंकगणित और ज्यामितीय) पर विचार किया गया, और उनसे जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं का वर्णन किया गया।

ग्रन्थसूची

1. ए.जी. मोर्दकोविच, बीजगणित, ग्रेड 10, पाठ्यपुस्तक, 2012
2. ए.जी. मोर्दकोविच, बीजगणित, ग्रेड 9, पाठ्यपुस्तक, 2012
3. महान छात्र मार्गदर्शक। मॉस्को, "ड्रोफा", 2001
4. जी.आई. ग्लेसर, स्कूल में गणित का इतिहास,

एम.: ज्ञानोदय, 1964।

1. "स्कूल में गणित", पत्रिका, 2002.
2. शिक्षात्मक ऑनलाइन सेवाएं Webmath.ru
3. सार्वभौमिक लोकप्रिय विज्ञान ऑनलाइन विश्वकोश "क्रुगोस्वेट"

संख्यात्मक अनुक्रम और इसकी सीमा इस विज्ञान के अस्तित्व के इतिहास में गणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक का प्रतिनिधित्व करती है। लगातार अद्यतन ज्ञान, नए प्रमेय और प्रमाण तैयार किए - यह सब हमें इस अवधारणा को नए पदों से और विभिन्न के तहत विचार करने की अनुमति देता है

एक संख्यात्मक अनुक्रम, सबसे सामान्य परिभाषाओं में से एक के अनुसार, एक गणितीय कार्य है, जिसका आधार एक पैटर्न या किसी अन्य के अनुसार व्यवस्थित प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।

संख्या क्रम बनाने के लिए कई विकल्प हैं।

सबसे पहले, इस फ़ंक्शन को तथाकथित "स्पष्ट" तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब एक निश्चित सूत्र होता है जिसके द्वारा इसके प्रत्येक सदस्य को केवल क्रम संख्या को दिए गए अनुक्रम में प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जा सकता है।

दूसरी विधि को "पुनरावर्ती" कहा जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि संख्यात्मक अनुक्रम के पहले कुछ सदस्य दिए गए हैं, साथ ही एक विशेष पुनरावर्ती सूत्र भी है, जिसकी सहायता से, पिछले सदस्य को जानकर, आप अगले को पा सकते हैं।

अंत में, सबसे सामान्य तरीके सेअनुक्रमों का असाइनमेंट तथाकथित है जब बिना किसी कठिनाई के न केवल एक निश्चित क्रम संख्या के तहत एक या दूसरे शब्द की पहचान करना संभव है, बल्कि इस फ़ंक्शन के सामान्य सूत्र में आने के लिए लगातार कई शर्तों को जानना भी संभव है।

संख्यात्मक अनुक्रम घट या बढ़ सकता है। पहले मामले में, प्रत्येक बाद की अवधि पिछले एक से कम है, और दूसरे में, इसके विपरीत, यह अधिक है।

इस विषय को ध्यान में रखते हुए, अनुक्रमों की सीमा के मुद्दे को छूना असंभव नहीं है। एक अनुक्रम की सीमा एक ऐसी संख्या होती है, जब किसी के लिए, जिसमें एक असीम रूप से छोटे मूल्य के लिए, एक क्रमिक संख्या होती है, जिसके बाद अनुक्रम के क्रमिक सदस्यों का संख्यात्मक रूप में दिए गए बिंदु से विचलन उस अवधि के दौरान निर्दिष्ट मान से कम हो जाता है। इस समारोह का गठन।

कुछ अभिन्न और विभेदक गणना करते समय संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

गणितीय अनुक्रमों में दिलचस्प गुणों का एक पूरा सेट होता है।

सबसे पहले, कोई भी संख्यात्मक अनुक्रम गणितीय फ़ंक्शन का एक उदाहरण है, इसलिए, वे गुण जो कार्यों की विशेषता हैं, उन्हें अनुक्रमों पर सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है। सबसे द्वारा एक प्रमुख उदाहरणऐसे गुण अंकगणितीय श्रृंखला को बढ़ाने और घटाने पर प्रावधान है, जो एक द्वारा संयुक्त होते हैं सामान्य सिद्धांतमोनोटोनिक अनुक्रम हैं।

दूसरे, अनुक्रमों का एक काफी बड़ा समूह है जिसे या तो बढ़ते या घटते के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है - ये आवधिक अनुक्रम हैं। गणित में, उन्हें उन कार्यों के रूप में माना जाता है जिनमें एक तथाकथित अवधि की लंबाई होती है, अर्थात, एक निश्चित क्षण (एन) से, निम्नलिखित समानता संचालित होने लगती है y n \u003d y n + T, जहां टी होगा अवधि की बहुत लंबी अवधि।

प्राकृतिक तर्क n (n=1; 2; 3; 4;...) के फलन a n =f (n) को संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है।

नंबर ए 1 ; एक 2 ; एक 3 ; एक 4;… एक अनुक्रम बनाने वाले एक संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्य कहलाते हैं। तो 1 = एफ (1); ए 2 = एफ (2); ए 3 = एफ (3); ए 4 = एफ(4);…

तो, अनुक्रम के सदस्यों को उनके सदस्यों की क्रम संख्या - सूचकांकों को इंगित करने वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है: a 1 ; एक 2 ; एक 3 ; a 4 ;…, इसलिए, a 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

ए 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य;

ए 3 - अनुक्रम का तीसरा सदस्य;

ए 4 अनुक्रम का चौथा सदस्य है, और इसी तरह।

संक्षेप में, संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा गया है: a n \u003d f (n) या (a n)।

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के निम्नलिखित तरीके हैं:

1) मौखिक तरीका।यह शब्दों में वर्णित अनुक्रम के सदस्यों की व्यवस्था के लिए एक पैटर्न या नियम है।

उदाहरण 1 । उन सभी अऋणात्मक संख्याओं का क्रम लिखिए जो 5 के गुणज हों।

समाधान। चूँकि 0 या 5 पर समाप्त होने वाली सभी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं, इसलिए क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

उदाहरण 2. अनुक्रम दिया गया है: 1; चार; 9; 16; 25; 36; .... इसे मौखिक रूप से पूछें।

समाधान। ध्यान दें कि 1=1 2 ; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... हम निष्कर्ष निकालते हैं: प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों से मिलकर एक अनुक्रम दिया गया है।

2) विश्लेषणात्मक तरीका।अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: a n =f (n)। इस सूत्र का उपयोग करके, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

उदाहरण 3. संख्यात्मक अनुक्रम के k-वें सदस्य का व्यंजक ज्ञात है: a k = 3+2 (k+1)। इस अनुक्रम के प्रथम चार पदों की गणना कीजिए।

ए 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

ए 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

ए 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

ए 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

उदाहरण 4. अपने पहले सदस्यों में से कई द्वारा संख्यात्मक अनुक्रम को संकलित करने के लिए नियम निर्धारित करें और अनुक्रम के सामान्य सदस्य को एक सरल सूत्र के साथ व्यक्त करें: 1; 3; 5; 7; 9; ....

समाधान। ध्यान दें कि हमें विषम संख्याओं का एक क्रम दिया गया है। किसी भी विषम संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 2k-1, जहाँ k एक प्राकृत संख्या है, अर्थात्। के = 1; 2; 3; चार; .... उत्तर: एक के \u003d 2k-1।

3) पुनरावर्ती तरीका।अनुक्रम भी एक सूत्र द्वारा दिया जाता है, लेकिन एक सामान्य शब्द सूत्र द्वारा नहीं जो केवल पद की संख्या पर निर्भर करता है। एक सूत्र दिया गया है जिसके द्वारा प्रत्येक अगला पद पिछले पदों के माध्यम से ज्ञात किया जाता है। किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के आवर्तक तरीके के मामले में, अनुक्रम के एक या अधिक पहले सदस्य हमेशा अतिरिक्त रूप से निर्दिष्ट होते हैं।

उदाहरण 5. अनुक्रम के पहले चार सदस्यों को लिखिए (a n ),

अगर 1 =7; ए एन+1 = 5+ए एन।

ए 2 \u003d 5 + ए 1 \u003d 5 + 7 \u003d 12;

ए 3 \u003d 5 + ए 2 \u003d 5 + 12 \u003d 17;

ए 4 \u003d 5 + ए 3 \u003d 5 + 17 \u003d 22। उत्तर: 7; 12; 17; 22; ....

उदाहरण 6. अनुक्रम के पहले पाँच सदस्यों को लिखिए (b n ),

अगर बी 1 = -2, बी 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 ।

बी 3 \u003d 2 बी 1 + बी 2 \u003d 2 (-2) + 3 \u003d -4 + 3 \u003d -1;

बी 4 \u003d 2 बी 2 + बी 3 \u003d 2 3 + (-1) \u003d 6 -1 \u003d 5;

बी 5 \u003d 2 बी 3 + बी 4 \u003d 2 (-1) + 5 \u003d -2 +5 \u003d 3. उत्तर: -2; 3; -एक; 5; 3; ....

4) ग्राफिक तरीका।संख्यात्मक अनुक्रम एक ग्राफ द्वारा दिया जाता है जो पृथक बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है। इन बिंदुओं के भुज प्राकृत संख्याएं हैं: n=1; 2; 3; चार; .... निर्देशांक अनुक्रम सदस्यों के मान हैं: a 1 ; एक 2 ; एक 3 ; एक 4;…।

उदाहरण 7. एक अंकीय क्रम के सभी पाँच सदस्यों को आलेखीय तरीके से लिखिए।

इसमें प्रत्येक बिंदु कार्तिकये निर्देशांकनिर्देशांक हैं (एन; ए एन)। आइए चिह्नित बिंदुओं के निर्देशांक को भुज n के आरोही क्रम में लिखें।

हमें मिलता है: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7)।

इसलिए, 1 \u003d -3; ए 2 = 1; एक 3 = 4; ए4=6; एक 5 = 7.

उत्तर: -3; एक; चार; 6; 7.

एक फ़ंक्शन के रूप में माना गया संख्यात्मक अनुक्रम (उदाहरण 7) पहले पांच प्राकृतिक संख्याओं (एन = 1; 2; 3; 4; 5) के सेट पर दिया गया है, इसलिए, है परिमित संख्या अनुक्रम(पांच सदस्यों से मिलकर बनता है)।

यदि प्राकृतिक संख्याओं के पूरे सेट पर एक फ़ंक्शन के रूप में एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया जाता है, तो ऐसा अनुक्रम होगा अनंत संख्या अनुक्रम।

संख्या क्रम कहलाता है की बढ़ती, यदि इसके सदस्य बढ़ रहे हैं (a n+1 >a n) और यदि इसके सदस्य घट रहे हैं कमी(एन+1

बढ़ते या घटते संख्यात्मक क्रम कहलाते हैं नीरस.