مفهوم تابع تولید. توابع تولید (1) - آزمایشات

تولید در واقع فرآیند تبدیل یک محصول به محصول دیگر است. در فرآیندی که در ذات خود چیزی پیچیده تر از کلیت ساده بدست می آید. تابع تولید کاب-داگلاس، مانند هر تابع دیگری، منعکس کننده رابطه موجود بین نتیجه به دست آمده و ترکیب عواملی است که برای دستیابی به آن استفاده شده است. تفاوت بین مدل های مختلف در عمق پوشش آنها از وضعیت واقعی امور نهفته است. ساده ترین آنها خطی است که نشان دهنده رابطه بین تعداد کارگران و خروجی واقعی است. مدل تولید کاب-داگلاس دیگر تنها نیروی کار را به عنوان منبعی برای به دست آوردن نتایج در نظر نمی گیرد، بلکه سرمایه را نیز در نظر می گیرد. پیچیده ترین آنها مدل های چند عاملی مدرن هستند. آنها شامل زمین، توانایی های کارآفرینی و حتی اطلاعات هستند.

تولید به عنوان یک فرآیند

انتشار محصول اساساً تبدیل ورودی‌های مختلف ملموس و نامشهود (طرح‌ها، دانش فنی) برای ایجاد اقلام در نظر گرفته شده برای مصرف است. این فرآیند ایجاد یک محصول یا خدمات است که برای افراد مفید است. افزایش تولید به معنای بهبود رفاه اقتصادی است. این امر به این دلیل است که همه محصولات به طور مستقیم یا غیر مستقیم برای رفع نیازهای انسان مورد استفاده قرار می گیرند. و دومی، همانطور که می دانید، نامحدود است. بنابراین، رفاه اقتصادی دولت اغلب بر اساس میزان برآورده شدن نیازهای شهروندان ارزیابی می شود. افزایش آن به دو عامل نسبت داده می شود: بهبود نسبت کیفیت به قیمت محصولات موجود و افزایش قدرت خرید مردم از طریق تولید کارآمدتر در بازار.

منبع ثروت اقتصادی

عمدتاً در اقتصاد فقط دو فرآیند وجود دارد: تولید و مصرف. و بسیاری از انواع بازیگران. تولیدکنندگان محصولاتی را برای رفع نیازهای مصرف کنندگان تولید می کنند. بنابراین رفاه اقتصادی از دو جزء تشکیل شده است. اولی تولید کارآمد، دومی تعامل بین عوامل است. رفاه مصرف کنندگان بستگی به محصولاتی دارد که می توانند بخرند و تولیدکنندگان - به درآمدی که به عنوان غرامت برای کار خود دریافت می کنند و دارایی های مشهود و نامشهود سرمایه گذاری شده در فرآیند تولید.

فرآیند ایجاد محصول

هر بنگاه اقتصادی در طول کار خود با بسیاری از اقدامات فردی سروکار دارد. با این حال، برای سهولت درک تولید، مرسوم است که پنج فرآیند اصلی را متمایز کنیم که هر کدام منطق، اهداف، تئوری و ارقام کلیدی خود را دارند. و مهم است که آنها را نه تنها به عنوان یک کل، بلکه به طور جداگانه مطالعه کنید. بنابراین، در جریان تولید، فرآیندهای زیر متمایز می شوند:

تعریف اقتصادی

تابع تولید رابطه بین بازده و ترکیب عواملی است که برای تولید آن استفاده می شود. مهمترین آنها کارگری است. مدل خطی ساده فقط آن را در نظر می گیرد. تابع تولید کاب-داگلاس، که نمونه ای از آن در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت، نه تنها نیروی کار، بلکه سرمایه را نیز به عنوان عاملی در فرآیند تولید در نظر می گیرد. مدل های دیگر علاوه بر این، زمین (P) و توانایی کارآفرینی (H) را در نظر می گیرند. بنابراین، تولید تابعی از ترکیبی از این شاخص ها یا Q = f (K, L, P, H) است. هر شاخه از اقتصاد یا حتی یک بنگاه جداگانه ویژگی های خاص خود را دارد. بنابراین، تعداد نامحدودی از توابع تولید وجود دارد.

مدل خطی ساده

تابع تولید کاب-داگلاس، همانطور که در نظریه های نئوکلاسیک مرسوم است، دو عامل را در نظر می گیرد. با این حال، در نظر گرفتن تنها یکی بسیار ساده تر است. تئوری مزیت های مطلق آدام اسمیت، که در واقع کل اقتصاد مدرن با آن آغاز شد، تنها بر نیروی کار به عنوان عامل تولید استوار بود. این فرض و دیوید ریکاردو را ترک نکرد. و تنها در دهه 60 قرن گذشته، اقتصاددانان سوئدی، الی هکشر و برتیل اولین، شروع به بررسی عامل دیگری کردند - سرمایه. ساده ترین مدل ساخت خطی است. رابطه بین نیروی کار و بازده را توصیف می کند. معادله او فقط شامل یک متغیر مستقل است. بنابراین، تابع تولید خطی شکل زیر را دارد: Q = a * L، که در آن Q حجم خروجی است، a یک پارامتر است، L تعداد کارگران شاغل در تولید است. بیایید یک مثال جداگانه در نظر بگیریم. یک کارگر می تواند 10 صندلی در روز بسازد. در این حالت، معادله به این صورت خواهد بود: Q = 10 * L.

قانون بازده نزولی

بیایید با مثال بالا ادامه دهیم. تابع خطینشان می دهد که افزایش تعداد کارگران همیشه منجر به افزایش تولید می شود. یک استاد می تواند 10 صندلی در روز بسازد، 5 تا 50، صد تا 1000. با این حال، در واقعیت، همه چیز کمی پیچیده تر است. چنین مدلهایی نیاز به حسابداری سهام سرمایه ثابت و بازده کاهشی دارند. بنابراین، یک پارامتر اضافی در معادله - b ظاهر می شود. در فاصله بین صفر و یک است که از آن نتیجه می شود جوهره اقتصادی. اکنون رابطه بین خروجی و تعداد کارگران را می توان به صورت زیر توصیف کرد: Q = a * L b. معادله مثال قبلی در واقعیت به این صورت خواهد بود: Q \u003d 10 * L 0.5. و این بدان معناست که یک کارگر 10 صندلی تولید می کند، و پنج کارگر اصلاً 50 صندلی تولید نمی کند، بلکه فقط 22 عدد. و این قانون کاهش بازده در عمل است.

مدل های چند عاملی

تابع تولید کاب داگلاس به شکل زیر است: Q = a * L b * K c. همانطور که از فرمول مشخص است، ما در حال حاضر با سه پارامتر (a, b, c) و دو عامل (L, K) سر و کار داریم. نه تنها منابع نیروی کار (تعداد کارمندان)، بلکه منابع سرمایه (تعداد اره های در اختیار) را نیز در نظر می گیرد. پارامترهای تابع تولید کاب-داگلاس نه تنها به بخش اقتصاد، بلکه به فناوری مورد استفاده در یک شرکت فردی نیز بستگی دارد. ما نباید در مورد عملکرد قانون کاهش بازده از هر عامل استفاده شده فراموش کنیم. معادله ما از مثال بالا را می توان به صورت زیر گسترش داد: Q = 10 * L 0.5 * K. تابع تولید کاب-داگلاس به دلیل سادگی نسبی و نزدیکی به واقعیت، اغلب در نظریه های مدرن نئوکلاسیک استفاده می شود. مدل های پیچیده تر به تازگی شروع به کار کرده اند.

نسبت تصویر ثابت

فرض کنید تنها راه تولید صندلی این است که به هر کارگر یک اره بدهید. ابزار اضافی در این مورد به سادگی بی فایده هستند. این بدان معناست که خروجی یک محصول مستلزم وجود نسبت معینی از سرمایه و منابع کار است. در عین حال، حجم تولید توسط "حلقه ضعیف" تعیین می شود. در این مورد، اقتصاددانان کارکرد خاصی را ارائه کرده اند. شکل زیر را دارد: min (L, K). اگر برای ایجاد یک صندلی دو کارگر و یک اره لازم است، آنگاه min(2L, K).

جایگزین های ایده آل

اگر بتوان یک عامل را با عامل دیگری جایگزین کرد، این امر بر شکل تابع تولید تأثیر می گذارد. به عنوان مثال، فرض کنید می توان به جای نجار از روبات ها استفاده کرد. فرمول مثال به این صورت خواهد بود: Q = 10 * L + 10 * R. یا به طور کلی تر: Q = a * L + d * R، که در آن a، d پارامترها هستند، و L و R تعداد نجارها هستند. و روبات ها اگر ماشین ها 10 برابر سریعتر از کارگران باشند، فرمول به این صورت خواهد بود: Q = 10 * L + 100 * R.

تابع تولید کاب داگلاس: خواص

بیایید بررسی خود را در مورد محبوب ترین مدل نئوکلاسیک با ویژگی های اصلی آن آغاز کنیم:

1. توابع تولیدکاب داگلاس دو عامل را در نظر می گیرد: نیروی کار و سرمایه.

2. کاهش مثبت محصول نهایی.

3. کشش ثابت خروجی، برابر b برای L و c برای K.

4. تابع تولید کاب-داگلاس به شکل زیر است: Q = a * L b * K c.

5. اثر مقیاس ثابت، برابر با مجموعب و ج.

اطلاعات تاریخی

در قلب هر کدام نظریه اقتصادیعوامل تولید هستند. تابع تولید کاب-داگلاس دو مورد از چهار مورد اساسی را در نظر می گیرد: نیروی کار و سرمایه. امروزه، برای هر شرکتی، می توانید نمونه های جداگانه آن را ارائه دهید. حل توابع تولید کاب-داگلاس بدون کار کنات ویکسل (1851-1926) اتفاق نیفتاد. او بود که اولین بار این مدل را طراحی کرد. چارلز کاب و پل داگلاس که بعداً نام آنها نامگذاری شد، فقط آن را در عمل آزمایش کردند. در سال 1928 کتاب آنها منتشر شد که رشد اقتصادی ایالات متحده در سالهای 1899-1922 را شرح می داد. دانشمندان آن را با کمک دو عامل توضیح دادند: منابع نیروی کار استفاده شده و سرمایه سرمایه گذاری شده. البته بسیاری از پارامترهای دیگر بر رشد اقتصادی تأثیر می‌گذارند، اما آمارها نشان داده‌اند که هنوز هم آن دو مورد تعیین‌کننده هستند که کنات ویکسل به آنها اشاره کرده است.

به گفته پل داگلاس، اولین فرمول تابع در سال 1927 ظاهر شد. در این زمان سعی کرد عقب نشینی کند بیان ریاضیپیوند بین کارگران و سرمایه به همکارش چارلز کاب برگشت. دومی موفق به استخراج معادله مدرن شد، که، همانطور که معلوم شد، قبلاً توسط کنات ویکسل در کار خود استفاده شده بود. با استفاده از روش کمترین مربعاتدانشمندان موفق به استخراج توان کار (0.75) شدند. اهمیت آن توسط داده های دفتر ملی تحقیقات اقتصادی تأیید شده است. در دهه 1940، دانشمندان از ثابت ها فاصله گرفتند و اظهار داشتند که توان ها می توانند در طول زمان تغییر کنند.

مفروضات مدل

اگر خروجی مشتق از دو عامل (کار و سرمایه) باشد، کشش کل تابع به بهره وری نهایی هر یک از آنها بستگی دارد. بنابراین، کاب و داگلاس مدل خود را بر اساس مفروضات زیر ساختند:

• در غیاب یکی از عوامل تولید نمی تواند ادامه یابد. کار و سرمایه جایگزینی نیستند که بتوانند جایگزین یکدیگر در فرآیند تولید شوند. اره های اضافی نمی توانند بدون نجار صندلی ایجاد کنند.
• بهره وری نهایی هر یک از عوامل متناسب با حجم تولید در واحد است.

الاستیسیته را آزاد کنید

بدیهی است کاهش حجم مواد مصرفی منجر به کاهش حجم محصولات می شود. تابع تولید کاب-داگلاس با خروجی نهایی سروکار دارد. کشش در اقتصاد عبارت است از درصد تغییر در ارزش یک شاخص در پاسخ به کاهش یا افزایش شاخص دیگر مرتبط با آن. تابع تولید کاب-داگلاس نشان می دهد که b و c ثابت هستند. اگر b 0.2 باشد و تعداد کارگران 10% افزایش یابد، تولید 2% افزایش خواهد یافت.

اثر مقیاس

برای افزایش واقعی تولید، مقدار عوامل تولید مورد استفاده باید به طور متناسب افزایش یابد. اگر اینطور باشد، می گوییم که از صرفه جویی در مقیاس استفاده می کنیم. تابع تولید کاب-داگلاس، که ویژگی های آن را قبلاً در نظر گرفتیم، آن را در نظر می گیرد. اگر b + c = 1 باشد، این بدان معناست که ما با یک اثر مقیاس ثابت روبرو هستیم، >1 - افزایش،<1 - уменьшающимся.

عامل زمان

مدل تابع تولید کاب-داگلاس اغلب برای توصیف میان مدت و بلند مدت استفاده می شود. واضح است که استخدام افراد جدید بسیار ساده تر از افزایش منابع سرمایه است. بنابراین، برخی از اقتصاددانان استدلال می کنند که یک مدل خطی ساده بهترین راه برای توصیف دوره های زمانی کوتاه شرکت است. این شرکت دارای اندازه مشخصی از محل است، تعداد محدودی ماشین، که تنها با کمک برنامه ریزی بلند مدت قابل تغییر است. مدت زمانی که طول می کشد می تواند از یک مرکز به مرکز دیگر متفاوت باشد، همانطور که کشش عملکرد تولید کاب-داگلاس نیز متفاوت است.

مشکلات برنامه

علیرغم اینکه تابع تولید دو عاملی فراگیر شده و توسط کاب و داگلاس به صورت آماری آزمایش شده است، برخی از اقتصاددانان هنوز در صحت آن در صنایع و دوره های زمانی مختلف تردید دارند. فرض اصلی این مدل ثبات کشش نیروی کار و سرمایه در کشورهای توسعه یافته است. با این حال، آیا واقعا اینطور است؟ نه کاب و نه داگلاس زمینه نظری وجود آن را فراهم نکردند. ثابت بودن ضرایب b و c محاسبات را بسیار ساده می کند و بس. در همان زمان، دانشمندان چیزی در مهندسی، فناوری و مدیریت فرآیند تولید نمی‌دانستند. علاوه بر این، امکان کاربرد آن در سطح خرد نیز نشان دهنده صحت آن در شرایط کلان اقتصادی نیست و بالعکس.

انتقاد از عملکرد تولید کاب-داگلاس از زمان شروع آن در سال 1928 وجود داشته است. در ابتدا، این امر دانشمندان را به قدری ناراحت کرد که می خواستند کار روی آن را کنار بگذارند. اما بعد تصمیم گرفتند ادامه بدهند. در سال 1947، داگلاس با تاییدیه های جدیدی مبنی بر صحت خود به عنوان رئیس انجمن اقتصادی آمریکا اعلام کرد. این دانشمند به دلیل مشکلات سلامتی قادر به ادامه کار بر روی آن نبود. بعدها، عملکرد تولید توسط پل ساموئلسون و رابرت سولو بهبود یافت و برای همیشه روش مطالعه ما در اقتصاد کلان را تغییر داد.

تابع تولید کاب داگلاس یکی از مهمترین مفاهیم امروزی است. رابطه بین عوامل ورودی و نتیجه را توصیف می کند. برخلاف مدل های خطی ساده که فقط برای توصیف دوره کوتاه عمر یک شرکت مناسب هستند، می توان از آن برای برنامه ریزی بلندمدت استفاده کرد. با این حال، نباید تعدادی از مفروضات و مشکلات مرتبط با کاربرد آن را فراموش کرد.

در شرایط جامعه مدرن، هیچ فردی نمی تواند فقط آنچه را که خودش تولید می کند مصرف کند. هر فرد در دو نقش در بازار عمل می کند: به عنوان یک مصرف کننده و به عنوان یک تولید کننده. بدون دائمی تولید کالامصرفی وجود نخواهد داشت به سوال معروف "چه چیزی تولید کنیم؟" مصرف کنندگان در بازار با "رای دادن" با محتویات کیف پول خود برای کالاهایی که واقعاً به آنها نیاز دارند پاسخ می دهند. به این سوال که چگونه تولید کنیم؟ باید پاسخگوی شرکت هایی باشد که در بازار کالا تولید می کنند.

دو نوع کالا در اقتصاد وجود دارد: کالاهای مصرفی و عوامل تولید (منابع) - اینها کالاهایی هستند که برای سازماندهی فرآیند تولید ضروری هستند.

نظریه نئوکلاسیک به طور سنتی سرمایه، زمین و نیروی کار را به عوامل تولید نسبت می دهد.

در دهه 70 قرن نوزدهم، آلفرد مارشال چهارمین عامل تولید - سازمان را مشخص کرد. علاوه بر این، جوزف شومپیتر این عامل را کارآفرینی نامید.

به این ترتیب، تولید فرآیند ترکیب عواملی مانند سرمایه، نیروی کار، زمین و کارآفرینی به منظور دستیابی به کالاها و خدمات جدید مورد نیاز مصرف کنندگان است.

برای سازماندهی فرآیند تولید، عوامل تولید لازم باید به میزان معینی وجود داشته باشد.

وابستگی حداکثر حجم محصول تولید شده به هزینه های عوامل مورد استفاده را تابع تولید می گویند:

که در آن Q حداکثر حجم محصولی است که می توان با یک فناوری معین و عوامل تولید معین تولید کرد. K - هزینه های سرمایه ای؛ L - هزینه های نیروی کار؛ م - هزینه مواد اولیه، مواد.

برای تجزیه و تحلیل و پیش بینی انبوه، از یک تابع تولید استفاده می شود که تابع کاب داگلاس نامیده می شود:

Q = k K L M

که در آن Q حداکثر حجم محصول برای عوامل تولید معین است. K، L، M - به ترتیب، هزینه های سرمایه، نیروی کار، مواد. k - ضریب تناسب یا مقیاس. , , ، - شاخص های کشش حجم تولید به ترتیب برای سرمایه، نیروی کار و مواد یا ضرایب رشد Q به ازای 1% رشد عامل مربوطه:

+ + = 1

با وجود این واقعیت که ترکیبی از عوامل مختلف برای تولید یک محصول خاص مورد نیاز است، تابع تولید دارای تعدادی ویژگی مشترک است:

عوامل تولید مکمل یکدیگر هستند. یعنی این فرآیند تولید تنها با مجموعه ای از عوامل خاص امکان پذیر است. عدم وجود یکی از این عوامل، تولید محصول برنامه ریزی شده را غیرممکن خواهد کرد.

قابلیت تعویض معینی از عوامل وجود دارد. در فرآیند تولید، یک عامل می تواند به نسبت معینی با عامل دیگری جایگزین شود. قابلیت تعویض به معنای امکان حذف کامل هیچ عاملی از فرآیند تولید نیست.

مرسوم است که 2 نوع تابع تولید را در نظر بگیریم: با یک عامل متغیر و با دو عامل متغیر.

الف) تولید با یک عامل متغیر؛

بیایید فرض کنیم که در نمای کلیتابع تولید با یک عامل متغیر است:

جایی که y const است، x مقدار عامل متغیر است.

به منظور انعکاس تاثیر یک عامل متغیر بر تولید، مفاهیم کل (عمومی)، متوسط ​​و محصول نهایی معرفی شده است.

کل محصول (TP) - مقدار یک کالای اقتصادی تولید شده با استفاده از مقداری از یک عامل متغیر است.این مقدار کل محصول تولید شده با افزایش استفاده از عامل متغیر تغییر می کند.

محصول متوسط ​​(AP) (متوسط ​​بهره وری منابع)نسبت کل محصول به مقدار عامل متغیر مورد استفاده در تولید است:

محصول نهایی (نماینده مجلس) (بهره وری منابع حاشیه ای) معمولاً به عنوان افزایش در محصول کل ناشی از افزایش بی نهایت کوچک در مقدار عامل متغیر استفاده شده تعریف می شود:

نمودار نسبت MP، AP و TP را نشان می دهد.

کل محصول (Q) با افزایش استفاده از عامل متغیر (x) در تولید افزایش خواهد یافت، اما این رشد در چارچوب یک فناوری معین محدودیت‌های خاصی دارد. در مرحله اول تولید (OA)، افزایش هزینه های نیروی کار به استفاده کامل تر از سرمایه کمک می کند: بهره وری نهایی و کل نیروی کار رشد می کند. این در رشد محصول حاشیه ای و متوسط ​​بیان می شود، در حالی که MP > АР. در نقطه A "محصول نهایی به حداکثر خود می رسد. در مرحله دوم (AB) مقدار محصول حاشیه ای کاهش می یابد و در نقطه B برابر با محصول متوسط ​​می شود (MP = AP). اگر در مرحله اول (0A) محصول کل کندتر از مقدار عامل متغیر استفاده شده افزایش می یابد، سپس در مرحله دوم (AB) کل محصول سریعتر از مقدار عامل متغیر استفاده شده رشد می کند (شکل 5-1a). ). در مرحله سوم تولید (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. او استدلال می کند که با رشد در استفاده از هر عامل تولید(اگر بقیه بدون تغییر باقی بمانند)، دیر یا زود به نقطه ای می رسد که در آن اعمال اضافی یک عامل متغیر منجر به کاهش حجم نسبی و مطلق بیشتر خروجی می شود.

ب) تولید با دو عامل متغیر.

فرض کنید در کلی ترین شکل تابع تولید با دو عامل متغیر به شکل زیر باشد:

که در آن x و y مقادیر عامل متغیر هستند.

به عنوان یک قاعده، 2 عامل به طور همزمان مکمل و قابل تعویض در نظر گرفته می شود: نیروی کار و سرمایه.

این تابع را می توان به صورت گرافیکی با استفاده از نمایش داد ایزوکوانت ها :

یک هم کوانت یا منحنی محصول برابر، همه ترکیبات ممکن از دو عامل را نشان می دهد که می توان از آنها برای تولید مقدار معینی از محصول استفاده کرد.

با افزایش حجم فاکتورهای متغیر استفاده شده، امکان تولید حجم بیشتری از محصولات فراهم می شود. ایزوکوانت که تولید حجم بیشتری از محصول را منعکس می کند، در سمت راست و بالای ایزوکوانت قبلی قرار خواهد گرفت.

تعداد فاکتورهای استفاده شده x و y به ترتیب می توانند به طور مداوم تغییر کنند، حداکثر خروجی محصول کاهش یا افزایش می یابد. بنابراین، ممکن است وجود داشته باشد مجموعه ای از ایزوکوانت های مربوط به حجم های مختلف خروجی که تشکیل می شوند نقشه ایزوکوانت.

ایزوکوانت ها شبیه منحنی های بی تفاوتی هستند تنها با این تفاوت که وضعیت را نه در حوزه مصرف، بلکه در حوزه تولید منعکس می کنند. یعنی ایزوکوانت ها خواصی مشابه منحنی های بی تفاوتی دارند.

شیب منفی ایزوکوانت ها با این واقعیت توضیح داده می شود که افزایش استفاده از یک عامل در یک مقدار مشخصانتشار یک محصول همیشه با کاهش مقدار عامل دیگری همراه خواهد بود.

همانطور که منحنی‌های بی‌تفاوتی که در فواصل مختلف از مبدأ قرار گرفته‌اند، سطوح مختلف مطلوبیت را برای مصرف‌کننده مشخص می‌کنند، همسان‌ها اطلاعاتی را در مورد سطوح مختلفخروجی محصول

مشکل جایگزینی یک عامل با عامل دیگر را می توان با محاسبه نرخ نهایی جایگزینی تکنولوژیکی (MRTS xy یا MRTS LK) حل کرد.

نرخ نهایی جایگزینی تکنولوژیک با نسبت تغییر در عامل y به تغییر در عامل x اندازه گیری می شود. از آنجایی که فاکتورها برعکس جایگزین می شوند، عبارت ریاضی شاخص MRTS x,y با علامت منفی گرفته می شود:

MRTS x,y = orMRTS LK=

اگر هر نقطه ای از همسان را بگیریم، مثلاً نقطه A را و یک مماس KM روی آن رسم کنیم، آنگاه مماس زاویه مقدار MRTS x,y را به ما می دهد:

می توان اشاره کرد که در قسمت بالایی ایزوکوانت، زاویه کاملاً بزرگ خواهد بود که نشان می دهد برای تغییر ضریب x به یک تغییر، تغییرات قابل توجهی در ضریب y لازم است. بنابراین در این قسمت از منحنی مقدار MRTS x,y بزرگ خواهد بود.

با حرکت به سمت پایین ایزوکوانت، مقدار نرخ نهایی جایگزینی تکنولوژیک به تدریج کاهش می یابد. این بدان معناست که برای افزایش یک ضریب x، کاهش جزئی در ضریب y لازم است.

در فرآیندهای تولید واقعی، دو حالت استثنایی در پیکربندی هم کوانت وجود دارد:

این وضعیتی است که در آن دو عامل متغیر کاملاً قابل تعویض هستند، با قابلیت جایگزینی کامل عوامل تولید MRTS x,y = const. وضعیت مشابهی را می توان با امکان اتوماسیون کامل تولید تصور کرد. سپس در نقطه A کل فرآیند تولید از نهاده های سرمایه تشکیل می شود. در نقطه B، تمام ماشین ها با دست های کار جایگزین می شوند و در نقاط C و D، سرمایه و نیروی کار مکمل یکدیگر خواهند بود.

در شرایطی که فاکتورها مکمل یکدیگر هستند، نرخ نهایی جایگزینی تکنولوژی برابر با 0 خواهد بود (MRTS x,y = 0). اگر از یک ناوگان تاکسی مدرن با تعداد ثابت ماشین (y 1) استفاده کنیم که به تعداد معینی راننده (x1) نیاز دارد، می‌توان گفت که تعداد مسافران سرویس‌دهی شده در طول روز افزایش نمی‌یابد. تعداد درایورها به x 2 , x 3 , ... x n . تنها در صورت افزایش تعداد خودروهای فرسوده در ناوگان تاکسیرانی و تعداد رانندگان، حجم محصول تولیدی از Q 1 به Q 2 افزایش می یابد.

هر تولیدکننده با کسب عواملی برای سازماندهی تولید، محدودیت های خاصی در ابزار دارد.

فرض کنید نیروی کار (عامل x) و سرمایه (عامل y) به عنوان عوامل متغیر عمل می کنند. آنها قیمت های خاصی دارند که برای دوره تحلیل ثابت می ماند (P x , P y - const).

سازنده می تواند فاکتورهای لازم را در ترکیب خاصی خریداری کند که فراتر از توانایی های بودجه ای او نیست. سپس هزینه او برای بدست آوردن عامل x P x · x خواهد بود، هزینه عامل y به ترتیب P y · y خواهد بود. کل هزینه ها (C) خواهد بود:

C = P x X + P y Y یا
.

برای نیروی کار و سرمایه:

یا

نمایش گرافیکی تابع هزینه (C) نامیده می شود ایزوکوست (هزینه های مساوی مستقیم، یعنی همه ترکیبی از منابع هستند که استفاده از آنها منجر به هزینه های یکسانی می شود که برای تولید صرف می شود).این خط مستقیم در امتداد دو نقطه مشابه خط بودجه (در تعادل مصرف کننده) ساخته شده است.

شیب این خط مستقیم با موارد زیر تعیین می شود:

با افزایش بودجه برای خرید عوامل متغیر، یعنی با کاهش محدودیت‌های بودجه، خط هزینه هم‌زمان به سمت راست و بالا تغییر می‌کند:

C 1 \u003d P x X 1 + P y Y 1.

از نظر گرافیکی، هزینه های همسان با ردیف بودجه مصرف کننده یکسان است. در قیمت‌های ثابت، هزینه‌های هم‌زمان خطوط موازی مستقیم با شیب منفی هستند. هرچه امکانات بودجه سازنده بیشتر باشد، هزینه ایزوکوست از مبدأ مختصات دورتر است.

نمودار isoccost در صورت کاهش قیمت عامل x در امتداد ابسیسا از نقطه x 1 به x 2 مطابق با افزایش استفاده از این عامل در فرآیند تولید حرکت می کند (شکل a).

و در صورت افزایش قیمت فاکتور y تولید کننده قادر خواهد بود مقدار کمتری از این فاکتور را وارد تولید کند. نمودار isoccost در امتداد محور y از نقطه y 1 به y 2 حرکت می کند.

با توجه به قابلیت های تولید (ایزوکوانت ها) و محدودیت های بودجه تولید کننده (ایزو هزینه ها)، می توان تعادل را تعیین کرد. برای این کار نقشه isoquant را با isocost ترکیب می کنیم. آن ایزوکوانتی که در رابطه با آن ایزوکاستی موقعیت مماس را به خود اختصاص می دهد، با توجه به امکانات بودجه، بیشترین حجم تولید را تعیین می کند. نقطه لمس ایزوکوانت ایزوکوست نقطه منطقی ترین رفتار تولیدکننده خواهد بود.

هنگام تجزیه و تحلیل ایزوکوانت، متوجه شدیم که شیب آن در هر نقطه با شیب مماس یا نرخ جایگزینی تکنولوژیکی تعیین می شود:

MRTS x,y =

ایزوکوست در نقطه E با مماس منطبق است. شیب isocost همانطور که قبلاً تعیین کردیم برابر با شیب است . بر این اساس می توان تعیین کرد نقطه تعادل مصرف کننده برابری نسبت های بین قیمت عوامل تولید و تغییر این عوامل است..

یا

با آوردن این برابری به شاخص های حاصلضرب حاشیه ای عامل متغیر تولید، در این حالت MP x و MP y است، به دست می آوریم:

یا

این تعادل تولید کننده یا قانون کمترین هزینه است..

برای نیروی کار و سرمایه، تعادل تولید کننده به این صورت خواهد بود:

فرض کنید قیمت منابع ثابت می ماند در حالی که بودجه تولیدکننده دائما در حال افزایش است. با اتصال نقاط تقاطع ایزوکوانت ها با هزینه های همسان، خط OS - "مسیر توسعه" (مشابه با خط استاندارد زندگی در تئوری رفتار مصرف کننده) به دست می آید. این خط نرخ رشد نسبت بین عوامل در روند گسترش تولید را نشان می دهد. به عنوان مثال، در شکل، نیروی کار در مسیر توسعه تولید به میزان بیشتری از سرمایه استفاده شده است. شکل منحنی «مسیر توسعه» اولاً به شکل همسانت‌ها و ثانیاً به قیمت منابع (نسبت بین آنها شیب هم‌زمان‌ها را تعیین می‌کند) بستگی دارد. خط "مسیر توسعه" می تواند از مبدأ مستقیم یا منحنی باشد.

اگر فاصله بین همسانان کاهش یابد، این نشان می دهد که صرفه جویی در مقیاس افزایش می یابد، به عنوان مثال، افزایش تولید با صرفه جویی نسبی منابع حاصل می شود. و شرکت نیاز به افزایش حجم تولید دارد، زیرا این امر منجر به صرفه جویی نسبی در منابع موجود می شود.

اگر فاصله بین همسان ها افزایش یابد، این نشان دهنده کاهش صرفه جویی در مقیاس است. کاهش صرفه جویی در مقیاس نشان می دهد که حداقل اندازه کارآمد شرکت قبلاً رسیده است و افزایش بیشتر تولید توصیه نمی شود.

وقتی افزایش تولید مستلزم افزایش متناسب در منابع است، از صرفه‌های مقیاس دائمی صحبت می‌شود.

بنابراین، تجزیه و تحلیل خروجی با استفاده از ایزوکوانت ها، تعیین کارایی فنی تولید را ممکن می سازد. تقاطع هم‌زمان‌ها با هزینه‌های همسان باعث می‌شود که نه تنها کارایی فناوری، بلکه کارایی اقتصادی نیز تعیین شود، یعنی انتخاب فناوری (صرفه‌جویی در کار یا سرمایه، صرفه‌جویی در انرژی یا مواد و غیره) که امکان اطمینان از حداکثر را فراهم می‌کند. خروجی محصولات با بودجه در دسترس سازنده برای سازماندهی تولید.

تابع تولید- وابستگی حجم تولید به کمیت و کیفیت عوامل تولید موجود، بیان شده با استفاده از مدل ریاضی. تابع تولید امکان شناسایی را فراهم می کند اندازه بهینههزینه های مورد نیاز برای تولید بخش معینی از کالا. در عین حال، این عملکرد همیشه برای یک فناوری خاص در نظر گرفته شده است - ادغام پیشرفت های جدید مستلزم نیاز به تجدید نظر در وابستگی است.

تابع تولید: ظاهر و خواص کلی

توابع تولید دارای ویژگی های زیر است:

• افزایش تولید به دلیل یک عامل تولید همیشه محدود کننده است (به عنوان مثال، تعداد محدودی از متخصصان می توانند در یک اتاق کار کنند).

• عوامل تولید قابل تعویض هستند (روبات ها جایگزین منابع انسانی می شوند) و مکمل (کارگران به ابزار و ماشین آلات نیاز دارند).

به طور کلی، تابع تولید به صورت زیر است:

س = f (ک, م, آن, ن),

تولیدبه نام هر فعالیت انسانیدر مورد تبدیل منابع محدود - مواد، نیروی کار، طبیعی - به محصولات نهایی. تابع تولید، رابطه بین مقدار منابع مورد استفاده (عوامل تولید) و حداکثر خروجی ممکن را که می توان به دست آورد، مشخص می کند، مشروط بر اینکه از همه منابع موجود به منطقی ترین روش استفاده شود.

تابع تولید دارای ویژگی های زیر است:

1 محدودیتی برای افزایش تولید وجود دارد که می توان با افزایش یک منبع و ثابت نگه داشتن سایر منابع به آن رسید. اگر مثلاً در کشاورزیبا مقادیر ثابت سرمایه و زمین، میزان کار را افزایش دهید، آنگاه دیر یا زود به نقطه ای می رسد که رشد تولید متوقف می شود.

2 منابع مکمل یکدیگر هستند، اما در محدوده های معین، قابلیت تعویض آنها بدون کاهش خروجی نیز امکان پذیر است. به عنوان مثال، کار دستی را می توان با استفاده جایگزین کرد بیشترماشین ها و بالعکس

تولید نمی تواند از هیچ محصولی ایجاد کند. فرآیند تولید با مصرف منابع مختلف همراه است. تعداد منابع شامل همه چیزهایی است که برای فعالیت های تولیدی ضروری است - مواد اولیه، انرژی، نیروی کار، تجهیزات و فضا.

برای توصیف رفتار یک بنگاه، باید دانست که با استفاده از منابع در حجم های مختلف، چه مقدار محصول می تواند تولید کند. ما از این فرض پیش خواهیم رفت که شرکت یک محصول همگن تولید می کند که مقدار آن بر حسب واحدهای طبیعی - تن، قطعه، متر و غیره اندازه گیری می شود. وابستگی مقدار محصولی که یک شرکت می تواند تولید کند به حجم هزینه های منابع نامیده میشود تابع تولید.

اما یک شرکت می تواند فرآیند تولید را به روش های مختلف و با استفاده از روش های مختلف فن آوری انجام دهد. انواع مختلفسازمان تولید، به طوری که مقدار محصول به دست آمده با همان ورودی منابع ممکن است متفاوت باشد. مدیران شرکت باید گزینه‌های تولیدی را که خروجی کمتری از محصول می‌دهند، رد کنند، در صورتی که برای ورودی یکسان هر نوع منبع، بتوان خروجی بالاتری به دست آورد. به طور مشابه، آنها باید گزینه هایی را که به ورودی بیشتر حداقل یک منبع نیاز دارند، بدون افزایش بازده محصول و کاهش هزینه منابع دیگر، رد کنند. گزینه هایی که به این دلایل رد می شوند نامیده می شوند از نظر فنی ناکارآمد است.

فرض کنید شرکت شما یخچال تولید می کند. برای ساخت کیس باید ورق فلز را برش دهید. بسته به نحوه علامت گذاری و برش ورق استاندارد آهن، می توان قسمت های بیشتری یا کمتری از آن برش داد. بر این اساس، برای ساخت تعداد معینی یخچال، ورق های آهن استاندارد کمتر یا بیشتر مورد نیاز است. در عین حال، مصرف سایر مواد، نیروی کار، تجهیزات، برق بدون تغییر باقی خواهد ماند. چنین گزینه تولیدی که می تواند با برش منطقی تر آهن بهبود یابد، باید از نظر فنی ناکارآمد شناخته شود و رد شود.

از نظر فنی کارآمدبه گزینه های تولیدی گفته می شود که با افزایش تولید یک محصول بدون افزایش مصرف منابع و یا با کاهش هزینه های یک منبع بدون کاهش تولید و بدون افزایش هزینه های منابع دیگر قابل بهبود نیستند. عملکرد تولید فقط گزینه های فنی کارآمد را در نظر می گیرد. معنی آن است بزرگترینمقدار محصولی که یک شرکت می تواند با توجه به حجم مصرف منابع تولید کند.

ابتدا ساده ترین حالت را در نظر بگیرید: یک شرکت یک نوع محصول تولید می کند و یک نوع منبع را مصرف می کند. یافتن نمونه ای از چنین تولیدی در واقعیت بسیار دشوار است. حتی اگر شرکتی را در نظر بگیریم که بدون استفاده از تجهیزات و مواد (ماساژ، تدریس خصوصی) و صرف نیروی کار کارگران، خدماتی را در خانه مشتریان ارائه می‌کند، باید فرض کنیم که کارگران با پای پیاده (بدون استفاده از خدمات حمل و نقل) مشتریان را دور می‌زنند. ) و بدون کمک پست و تلفن با مشتریان مذاکره کنید.

تابع تولید- وابستگی مقدار محصولی را که یک شرکت می تواند تولید کند به میزان هزینه های عوامل استفاده شده نشان می دهد

Q= f(x1، x2…xn)

Q= f(K, L)

جایی که س- حجم خروجی

x1، x2…xn- حجم فاکتورهای کاربردی

ک- حجم عامل سرمایه

L- عامل حجم کار

بنابراین، شرکت، صرف یک منبع در مقدار ایکس، می تواند یک محصول را به مقدار تولید کند q. تابع تولید

ساده ترین مدل های تولید و مصرف را در نظر بگیرید. مدل های تولید با استفاده از توابع تولید و مدل های مصرف بر اساس تابع مصرف هدف ساخته می شوند.

توابع تولید و ویژگی های آنها

ساده ترین مدل تولید را می توان به عنوان یک سیستم معین نشان داد که انواع مختلفی از منابع را به محصولات نهایی پردازش می کند.

منابع می توانند:

1. مواد خام؛
2. هزینه های نیروی کار؛
3. هزینه های انرژی؛
4. منابع تحقیقاتی؛
5. منابع تکنولوژیکی؛
6. منابع حمل و نقل و غیره

تابع تولیدرابطه بین حجم محصولات تولیدی نامیده می شود y،و هزینه ها انواع مختلفمنابع مورد نیاز برای تولید این محصول:
.
در عمل، برای ساده کردن مدل، ما اغلب استفاده می کنیم دو عاملیتابع تولید که شامل دو نوع منبع است:
1. مواد، از جمله هزینه مواد خام، انرژی، حمل و نقل و سایر منابع.
2. منابع کار.
تابع تولید باید مجموعه را برآورده کند الزامات :
1. بدون هزینه منابع، هیچ انتشاری وجود ندارد: f(0,0)=0.
2. با افزایش هزینه هر یک از منابع، خروجی رشد می کند، یعنی. تابع تولید باید با توجه به هر یک از عوامل افزایش یابد.
3. قانون کاهش بازده: با همان افزایش مطلق در هزینه های هر یک از منابع Δ ایکسافزایش حجم تولید Δ درهر چه کمتر، خروجی بیشتر باشد. به عبارت دیگر، تابع تولید باید در هر آرگومان محدب باشد.
با دانستن تابع تولید، می توانیم سری را محاسبه کنیم ویژگی های عددی . بیایید موارد اصلی را در نظر بگیریم.
1. عملکرد متوسط
, ,
که معنای میانگین خروجی بر اساس هزینه واحد یک منبع معین را دارند.
اگر - هزینه های مواد، و - نیروی کار، پس آ 1 تماس گرفت بازگشت سرمایهآ ولی 2 - صدا زد بهره وری نیروی کار
2. بهره وری حاشیه ای یا حاشیه ای برای هر منبع، مقادیر زیر نامیده می شود:
, .
این مقادیر نشان می‌دهند که اگر هزینه‌های یک منبع خاص یک واحد تغییر کند، خروجی تقریباً چند واحد تغییر می‌کند: .
3. خصوصی قابلیت ارتجاعی برای هر منبع، مقادیر زیر نامیده می شود:

کشش ها تقریباً نشان می دهند که اگر هزینه های یک منبع خاص یک درصد تغییر کند، خروجی چند درصد تغییر می کند: .
مقدار کشش کل یا کشش تولید.
4. هنجار تکنولوژیکی جایگزینی مقداری است که تقریباً نشان می دهد که اگر واحدی از یک منبع با واحد دیگری جایگزین شود خروجی چگونه تغییر می کند.
مثال.تابع تولید دارای فرم است. بهره وری متوسط ​​و حاشیه ای، کشش، نرخ جایگزینی تکنولوژیکی را بیابید.
راه حل.
میانگین اجراها عبارتند از:

اجراهای حاشیه ای عبارتند از:

کشش ها عبارتند از:

یک استاندارد جایگزین تکنولوژیکی وجود دارد
.

توابع تولید خطی و کاب داگلاس

در عمل، هنگام مدل‌سازی تولید واقعی، بیشتر از دو نوع تابع تولید استفاده می‌شود: خطی و کاب داگلاس.
تابع تولید خطی به نظر می رسد:
.
در مواردی ساخته می شود که خروجی متناسب با هزینه باشد. با این حال عملکرد داده شدهراضی نمی کند الزامات اول و سوم برای توابع تولید، بنابراین می توان از آن برای تقریب توابع واقعی در مناطق کوچک محلی تغییر در آرگومان های آنها استفاده کرد (شکل را ببینید). برای تحقق شرط دوم، شرایط باید رعایت شود.
تابع تولید کاب داگلاس به نظر می رسد:
.
برای انجام کلیه الزامات عملکردهای تولید، شرایط زیر باید رعایت شود:
بیایید بهره وری متوسط ​​و حاشیه ای، کشش، نرخ جایگزینی تکنولوژیکی برای توابع تولید خطی و کاب-داگلاس را پیدا کنیم.
برای تابع خطی خواهد بود:



بنابراین ضرایب آ 1 و آ 2 تابع تولید خطی به معنای بهره وری نهایی هستند و با استفاده از فرمول قابل محاسبه هستند:
. (6.1)
تابع تولید کاب-داگلاس خواهد بود:




بنابراین ضرایب آ 1 و آدو تابع تولید کاب داگلاس به معنای کشش های جزئی هستند و می توان آنها را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد:
(6.2)
مثال.یک شرکت معین، با صرف 65 واحد هزینه مواد و 17 نیروی کار برای تولید، 120 واحد خروجی تولید کرد. در نتیجه گسترش و افزایش هزینه مواد به 68 واحد، تولید به 124 واحد و با افزایش هزینه نیروی کار به 19 واحد، تولید به 127 واحد افزایش یافت. یک تابع تولید خطی و یک تابع کاب داگلاس بنویسید.
راه حل.

تابع خطی . برای یافتن پارامترها آ 1 و آ 2 ما از فرمول (8.1) استفاده می کنیم:

ما گرفتیم . برای یافتن ب معادله را حل کنید ب، ما گرفتیم . در نتیجه یک تابع تولید خطی دریافت می کنیم .
تابع تولید کاب داگلاس به شکل . با فرمول (8.2) ضرایب معادله را پیدا می کنیم:
.
معادله ای از فرم بدست می آوریم. برای یافتن بداده های اولیه از ستون 2 جدول را در معادله جایگزین می کنیم: . با محاسبه، می گیریم . در نتیجه، تابع تولید به نظر می رسد:

تابع مصرف هدف

در شرایط یک سیستم بازار برای مدیریت فعالیت‌های تولیدی و بازاریابی بنگاه‌ها و بنگاه‌ها، تصمیمات اقتصادی مبتنی بر اطلاعات بازار است و اعتبار تصمیمات در حین فروش کالا و خدمات توسط بازار بررسی می‌شود. با این رویکرد، نقطه شروع کل چرخه تجاری، مطالعه تقاضای مصرف کننده است. بیایید برخی از سوالات مدل سازی تقاضا و مصرف را در نظر بگیریم.
مصرف کننده ای را در نظر بگیرید که در نتیجه وجود خود، برخی کالاها را مصرف می کند. سطح ارضای نیازهای مصرف کننده با نشان داده می شود U. بیایید فرض کنیم وجود دارد nانواع کالا B 1 , B 2 ,…, B n. مزایا می تواند باشد:
- مواد غذایی؛
- کالاهای ضروری؛
- کالاهای غیر ضروری؛
- اقلام لوکس؛
- خدمات پولی و غیره
مقدار مصرف هر کالا باشد ایکس 1 , ایکس 2 ,…, xn. تابع مصرف هدفرابطه بین درجه (سطح) ارضای نیازها نامیده می شود Uو مقدار کالای مصرفی: ایکس 1 , ایکس 2 ,…,x n. این تابع به نظر می رسد: .
در فضای کالاهای مصرفی، هر معادله مربوط به سطح معینی از مجموعه های معادل یا بی تفاوت است که به آن می گویند سطح بی تفاوتی. ابرسطح چنین منحنی، که سطح بی تفاوتی چند بعدی نامیده می شود، می تواند به صورت زیر نمایش داده شود: ، جایی که از جانب- مقدار ثابت. برای وضوح، اجازه دهید فضای دو کالا را در نظر بگیریم، به عنوان مثال، در قالب دو گروه کالایی تجمیع شده: مواد غذایی B 1 و محصولات غیر خوراکی، از جمله خدمات پولی B 2 . سپس سطوح تابع هدف مصرف را می توان در صفحه به عنوان منحنی های بی تفاوتی مربوط به تصویر نشان داد. معانی مختلفثابت ها از جانب. برای این کار میزان مصرف یک کالا را بیان کنید ایکس 1 از طریق دیگری ایکس 2. یک مثال را در نظر بگیرید.
مثال. . منحنی های بی تفاوتی را پیدا کنید
راه حل.منحنی های بی تفاوتی به نظر می رسد ، یا یا (لازم به ذکر است که باید درست باشد).
هر مصرف کننده به دنبال به حداکثر رساندن سطح ارضای نیازهاست، یعنی. با این حال، به حداکثر رساندن درجه ارضای نیازها با توانایی های مصرف کننده تداخل خواهد داشت. اجازه دهید قیمت هر واحد هر کالا را به عنوان نشان دهیم آر 1 , آر 2 ,…, p n، و درآمد مصرف کننده از طریق D. سپس باید انجام شود محدودیت بودجه که به معنای قانون است که طبق آن هزینه های مصرف کننده نباید از میزان درآمد بیشتر باشد:
.
در نتیجه، برای یافتن مجموعه ای از مزایا بهینه، حل مسئله برنامه نویسی بهینه ضروری است:
(6.3)
یک تابع مصرف دو عاملی را در نظر بگیرید که در آن ایکس 1 - حجم مصرف غذا و ایکس 2. - مصرف محصولات غیر خوراکی و خدمات پولی. علاوه بر این، فرض کنید که مصرف کننده تمام درآمد را برای ارضای نیازهای خود هدایت می کند. در این صورت محدودیت بودجه تنها شامل دو عبارت خواهد بود و نابرابری به برابری تبدیل می شود. در این حالت، مسئله برنامه نویسی بهینه به شکل زیر خواهد بود:
(6.4)
راه حل هندسی بهینه به معنای نقطه ای است که منحنی بی تفاوتی خط مربوط به محدودیت بودجه را لمس می کند.
از محدودیت بودجه سیستم (8.4) می توان متغیر . جایگزینی این عبارت به تابع هدف، تابعی از یک متغیر می گیریم که حداکثر آن را می توان با معادل سازی مشتق به صفر از معادله بدست آورد: .
مثال.تابع مصرف هدف به شکل زیر است: . قیمت کالای B 1 20 قیمت کالای B 2 50 درآمد مصرف کننده 1800 واحد است. منحنی های بی تفاوتی، مجموعه بهینه کالاهای مصرفی، تابع تقاضا برای اولین کالا با توجه به قیمت، تابع تقاضا برای اولین کالا با توجه به درآمد را بیابید.
راه حل.منحنی های بی تفاوتی به این صورت هستند:
.
مجموعه ای از هذلولی ها را می گیریم که در یک چهارم مختصات اول قرار دارند و بسته به مقدار ثابت در فواصل مختلف از مبدا قرار دارند. از جانب.
ما مجموعه بهینه مزایا را پیدا می کنیم. مسئله برنامه نویسی بهینه به شکل زیر است:

برای حل آن محدودیت بودجه آنها را بیان می کنیم یک متغیر از طریق متغیر دیگر:


ما گرفتیم .
بنابراین، مجموعه بهینه مزایا 30.5 و 23.8 واحد است. اکنون تابع تقاضا برای اولین کالا را با قیمت آن پیدا می کنیم. برای این کار در محدودیت بودجه به جای مقدار ثابت، قیمت کالای اول را با بدست آوردن معادله معرفی می کنیم: . بیان می کنیم . جایگزین در تابع هدف:

مشتق را پیدا می کنیم و آن را با صفر برابر می کنیم:

یا ، از آنجا تابع تقاضا برای اولین کالا را در قیمت می یابیم: .
اکنون تابع تقاضا برای اولین کالا را با توجه به درآمد می یابیم. برای انجام این کار، یک متغیر از محدودیت بودجه را بر حسب متغیر دیگری بیان می کنیم: . جایگزین در تابع هدف:

مشتق را پیدا می کنیم و آن را با صفر برابر می کنیم:

از اینجا تابع تقاضا برای کالای اول را با توجه به درآمد می یابیم:
.