Концепцията за производствена функция. Производствени функции (1) - Тестове

Производството всъщност е процес на превръщане на един продукт в друг. В процеса на което от съвкупността на простото се получава нещо по-сложно по своята същност. Производствената функция на Коб-Дъглас, както всяка друга, отразява съществуващата връзка между получения резултат и комбинацията от фактори, използвани за постигането му. Разликите между различните модели се състоят в дълбочината на отразяване на реалното състояние на нещата. Най-простият е линейният, който отразява връзката между броя на работниците и реалната продукция. Производственият модел на Коб-Дъглас вече не разглежда само труда като ресурс за постигане на резултати, но и капитала. Най-сложни са съвременните многофакторни модели. Те включват земя, предприемачески способности и дори информация.

Производството като процес

Освобождаването на продукта е по същество трансформирането на различни материални и нематериални входящи данни (планове, ноу-хау) за създаване на артикули, предназначени за потребление. Това е процес на създаване на продукт или услуга, които са полезни за хората. Увеличаването на производството означава подобряване на икономическото благосъстояние. Това се дължи на факта, че всички продукти се използват пряко или косвено за задоволяване на човешките нужди. А последните, както знаете, са безгранични. Следователно икономическото благосъстояние на държавата често се оценява по степента, в която са задоволени нуждите на нейните граждани. Увеличението му се дължи на два фактора: подобряване на съотношението качество-цена на наличните продукти и увеличаване на покупателната способност на хората чрез по-ефективно пазарно производство.

Източник на икономическо богатство

Основно в икономиката има само два процеса: производство и потребление. И толкова много видове актьори. Производителите произвеждат продукти, които отговарят на нуждите на потребителите. Следователно икономическото благосъстояние се състои от два компонента. Първият е ефективното производство, вторият е взаимодействието между факторите. Благосъстоянието на потребителите зависи от продуктите, които могат да си позволят, а на производителите – от доходите, които получават като възнаграждение за труда си и материалните и нематериални активи, вложени в производствения процес.

Процес на създаване на продукта

Всяко предприятие в процеса на своята работа се занимава с много индивидуални действия. Въпреки това, за по-лесно разбиране на производството, е обичайно да се разграничават пет основни процеса, всеки от които има своя собствена логика, цели, теория и ключови фигури. И е важно да ги изучаваме не само като цяло, но и поотделно. Така в хода на производството се разграничават следните процеси:

Икономическа дефиниция

Производствената функция е връзката между продукцията и комбинацията от фактори, използвани за нейното производство. Главен сред тях е трудът. Простият линеен модел разглежда само него. Производствената функция на Коб-Дъглас, чийто пример ще бъде разгледан по-долу, взема предвид не само труда, но и капитала като фактор в производствения процес. Други модели допълнително вземат предвид земята (P) и предприемаческите способности (H). По този начин производството е функция на комбинация от тези показатели или Q = f (K, L, P, H). Всеки клон на икономиката или дори отделно предприятие има свои собствени характеристики. Следователно има безкраен брой производствени функции.

Прост линеен модел

Производствената функция на Коб-Дъглас отчита два фактора, както е обичайно в неокласическите теории. Въпреки това е много по-лесно да се вземе предвид само един. Теорията за абсолютните предимства на Адам Смит, с която всъщност започна цялата съвременна икономика, се основаваше само на труда като производствен фактор. Не остави това предположение и Давид Рикардо. И едва през 60-те години на миналия век шведските икономисти Ели Хекшер и Бертил Олин се заеха да започнат да разглеждат още един фактор - капитала. Най-простият модел на производство е линеен. Той описва връзката между работната сила и продукцията. Нейното уравнение включва само една независима променлива. Така линейната производствена функция има следната форма: Q = a * L, където Q е обемът на продукцията, a е параметър, L е броят на работниците, заети в производството. Нека разгледаме отделен пример. Един работник може да направи 10 стола на ден. В този случай уравнението ще изглежда така: Q = 10 * L.

закон за намаляваща възвращаемост

Нека продължим с примера по-горе. Линейна функцияозначава, че увеличаването на броя на работниците винаги води до увеличаване на производството. Един майстор може да направи 10 стола на ден, пет - 50, сто - 1000. Но в действителност всичко е малко по-сложно. Такива модели трябва да отчитат запасите от основен капитал и намаляващата възвръщаемост. Следователно в уравнението се появява допълнителен параметър - b. Намира се в интервала между нула и единица, което следва от неговата икономическа същност. Сега връзката между производството и броя на работниците може да се опише по следния начин: Q = a * L b . Уравнението от предишния пример в действителност ще изглежда така: Q \u003d 10 * L 0,5. А това означава, че един работник произвежда 10 стола, а петима изобщо не правят 50, а само 22. Сто майстори всъщност могат да направят не хиляда изделия, а само сто. И това е законът за намаляващата възвръщаемост в действие.

Многофакторни модели

Производствената функция на Коб-Дъглас има формата: Q = a * L b * K c . Както се вижда от формулата, вече имаме работа с три параметъра (a, b, c) и два фактора (L, K). Той взема предвид не само трудовите ресурси (брой служители), но и капиталовите ресурси (брой триони на разположение). Параметрите на производствената функция на Коб-Дъглас зависят не само от сектора на икономиката, но и от технологията, използвана в отделното предприятие. Не трябва да забравяме за действието на закона за намаляваща възвръщаемост от всеки използван фактор. Нашето уравнение от горния пример може да бъде разширено, както следва: Q = 10 * L 0,5 * K. Производствената функция на Коб-Дъглас се използва най-често в съвременните неокласически теории поради нейната относителна простота и близост до реалността. По-сложните модели едва започват да излитат.

Фиксирано съотношение

Да предположим, че единственият начин да се произведе стол е да се даде на всеки работник трион. Допълнителните инструменти в този случай са просто безполезни. Това означава, че продукцията на даден продукт предполага наличието на определено съотношение на капитал и трудови ресурси. В същото време обемът на производството се определя от „слабото звено“. В този случай икономистите са измислили специална функция. Има следната форма: min (L, K). Ако са необходими двама работници и един трион, за да се създаде стол, тогава min(2L, K).

Идеални заместители

Ако един фактор може да бъде заменен с друг, това ще окаже влияние върху формата на производствената функция. Да предположим например, че могат да се използват роботи вместо дърводелци. Примерната формула тогава ще изглежда така: Q = 10 * L + 10 * R. Или по-общо: Q = a * L + d * R, където a, d са параметрите, а L и R са броят на дърводелците и роботи. Ако машините са 10 пъти по-бързи от работниците, тогава формулата ще изглежда така: Q = 10 * L + 100 * R.

Производствена функция на Коб-Дъглас: свойства

Нека започнем разглеждането на най-популярния неокласически модел с неговите основни характеристики:

1. Производствени функцииКоб-Дъглас взема предвид два фактора: труд и капитал.

2. Положително намаляващ пределен продукт.

3. Постоянна еластичност на продукцията, равна на b за L и c за K.

4. Производствената функция на Коб-Дъглас има формата: Q = a * L b * K c .

5. Постоянен ефект на мащаба, равно на сумата b и c.

Историческа информация

В основата на всяка икономическа теорияса производствените фактори. Производствената функция на Коб-Дъглас разглежда две от четирите основни: труд и капитал. Днес за всяко предприятие можете да излезете с неговите индивидуални примери. Разрешаването на производствените функции на Коб-Дъглас не се случи без работата на Кнут Виксел (1851-1926). Той беше първият, който проектира този модел. Чарлз Коб и Пол Дъглас, чиито имена е кръстен по-късно, само го тестват на практика. През 1928 г. излиза тяхната книга, която описва икономическия растеж на САЩ през 1899-1922 г. Учените го обясняват с помощта на два фактора: използваните трудови ресурси и инвестирания капитал. Разбира се, много други параметри влияят върху икономическия растеж, но статистиката показва, че все пак решаващи са тези два, които Knath Wicksell посочи.

Според Пол Дъглас първата формулировка на функцията се появява през 1927 г. В този момент той се опита да се оттегли математически изразвръзки между работници и капитал. Той се обърна към колегата си Чарлз Коб. Последният успя да изведе съвременното уравнение, което, както се оказа, преди това е използвано в работата си от Кнат Виксел. Използване на метода най-малки квадратиучените успяват да изведат трудовия показател (0,75). Значимостта му е потвърдена от данни на Националното бюро за икономически изследвания. През 40-те години на миналия век учените се отдалечиха от константите и заявиха, че показателите могат да се променят с времето.

Моделни допускания

Ако продукцията е производна на два фактора (труд и капитал), тогава еластичността на цялата функция ще зависи от пределната производителност на всеки от тях. По този начин Коб и Дъглас изградиха своя модел на следните предположения:

• Производството не може да продължи без един от факторите. Трудът и капиталът не са заместители, които могат да се заменят взаимно в процеса на производство. Допълнителните триони не могат да създават столове без дърводелци.
• Пределната производителност на всеки от факторите е пропорционална на обема на продукцията за единица.

Освободете еластичността

Очевидно намаляването на обема на използваните материали води до намаляване на обема на продуктите. Производствената функция на Коб-Дъглас се занимава с пределното производство. Еластичността в икономиката е процентното изменение в стойността на един показател в отговор на намаление или увеличение на друг, свързан с него. Производствената функция на Коб-Дъглас предполага, че b и c са константи. Ако b е 0,2 и броят на работниците се увеличи с 10%, тогава производството ще се увеличи с 2%.

ефект на мащаба

За реално увеличение на продукцията количеството на използваните производствени фактори трябва да нараства пропорционално. Ако случаят е такъв, тогава казваме, че използваме икономии от мащаба. Производствената функция на Коб-Дъглас, чиито свойства вече разгледахме, го взема предвид. Ако b + c = 1, това означава, че имаме работа с постоянен мащабен ефект, >1 - нарастващ,<1 - уменьшающимся.

Времеви фактор

Моделът на производствената функция на Cobb-Douglas често се използва за описание на средносрочен и дългосрочен план. Ясно е, че често е много по-лесно да наемете нови хора, отколкото да увеличите капиталовите ресурси. Ето защо някои икономисти твърдят, че простият линеен модел е най-добрият начин да се опишат кратките времеви периоди на предприятието. Фирмата притежава определен размер на помещенията, ограничен брой машини, които могат да бъдат променяни само с помощта на дългосрочно планиране. Периодът от време, който е необходим, може да варира от едно съоръжение до друго, както и еластичността на производствената функция на Cobb-Douglas.

Проблеми с приложението

Въпреки факта, че двуфакторната производствена функция стана широко разпространена и беше статистически тествана от Коб и Дъглас, някои икономисти все още се съмняват в нейната точност в различни отрасли и периоди от време. Основното допускане на този модел е постоянството на еластичността на труда и капитала в развитите страни. Дали обаче наистина е така? Нито Коб, нито Дъглас предоставиха теоретичната основа за съществуването му. Постоянността на коефициентите b и c значително опростява изчисленията и това е всичко. В същото време учените не разбират нищо от техника, технология и управление на производствения процес. В допълнение, възможността за прилагането му на микрониво не показва неговата коректност в макроикономически условия, както и обратното.

Критиката преследва производствената функция на Cobb-Douglas от самото й начало през 1928 г. Първоначално това разстрои учените толкова много, че те искаха да спрат работата по него. Но после решиха да продължат. През 1947 г. Дъглас излезе с нови потвърждения за правотата си като президент на Американската икономическа асоциация. Ученият не успя да продължи да работи по него поради здравословни проблеми. По-късно производствената функция беше подобрена от Пол Самуелсън и Робърт Солоу, променяйки завинаги начина, по който изучаваме макроикономиката.

Производствената функция на Cobb-Douglas е една от най-важните концепции днес. Той описва връзката между входящите фактори и резултата. За разлика от простите линейни модели, които са подходящи само за описание на краткия период от живота на предприятието, той може да се използва за дългосрочно планиране. Не бива обаче да се забравят редица предположения и проблеми, свързани с приложението му.

В условията на съвременното общество никой не може да консумира само това, което сам произвежда. Всеки индивид действа на пазара в две роли: като потребител и като производител. Без постоянно производство на стокинямаше да има консумация. На добре познатия въпрос "Какво да произвеждаме?" потребителите на пазара реагират, като „гласуват“ със съдържанието на портфейла си за онези стоки, от които наистина се нуждаят. На въпроса "Как да произвеждам?" трябва да отговорят тези фирми, които произвеждат стоки на пазара.

В икономиката има два вида стоки: потребителски стоки и производствени фактори (ресурси) - това са стоките, необходими за организиране на производствения процес.

Неокласическата теория традиционно приписва капитала, земята и труда на производствените фактори.

През 70-те години на 19 век Алфред Маршал обособява четвъртия производствен фактор – организацията. Освен това Йозеф Шумпетер нарича този фактор предприемачество.

По този начин, производството е процесът на комбиниране на фактори като капитал, труд, земя и предприемачество, за да се получат нови стоки и услуги, необходими на потребителите.

За организацията на производствения процес трябва да присъстват в определено количество необходимите производствени фактори.

Зависимостта на максималния обем на произведения продукт от разходите на използваните фактори се нарича производствена функция:

където Q е максималният обем на продукт, който може да бъде произведен при дадена технология и определени производствени фактори; К - капиталови разходи; L - разходи за труд; M - разходите за суровини, материали.

За обобщен анализ и прогнозиране се използва производствена функция, наречена функция на Коб-Дъглас:

Q = k K L M ,

където Q е максималният обем на продукта за дадени производствени фактори; K, L, M - съответно разходите за капитал, труд, материали; k - коефициент на пропорционалност или мащаб; , , , - показатели за еластичността на обема на производството, съответно за капитал, труд и материали, или коефициенти на растеж Q, за 1% от растежа на съответния фактор:

+ + = 1

Въпреки факта, че за производството на определен продукт е необходима комбинация от различни фактори, производствената функция има редица общи свойства:

производствените фактори се допълват. Това означава, че този производствен процес е възможен само при набор от определени фактори. Липсата на един от тези фактори ще направи невъзможно производството на планирания продукт.

има известна взаимозаменяемост на факторите. В процеса на производство един фактор може да бъде заменен в определено съотношение с друг. Взаимозаменяемостта не означава възможност за пълно елиминиране на всеки фактор от производствения процес.

Прието е да се разглеждат 2 разновидности на производствената функция: с един променлив фактор и с два променливи фактора.

а) производство с един променлив фактор;

Да предположим, че в общ изгледпроизводствената функция с един променлив фактор е:

където y е const, x е стойността на променливия фактор.

За да се отрази влиянието на променлив фактор върху производството, се въвеждат понятията общ (общ), среден и пределен продукт.

общ продукт (TP) - е количеството икономическо благо, произведено с помощта на известно количество променлив фактор.Това общо количество произведен продукт се променя с увеличаване на използването на променливия фактор.

Среден продукт (AP) (средна производителност на ресурси)е отношението на общия продукт към количеството променлив фактор, използван в производството:

пределен продукт (MP) (пределна производителност на ресурсите) обикновено се определя като увеличението на общия продукт в резултат на безкрайно малко увеличение на количеството на използвания променлив фактор:

Графиката показва съотношението на MP, AP и TP.

Общият продукт (Q) ще нараства с увеличаването на използването на променливия фактор (x) в производството, но този растеж има определени граници в рамките на дадена технология. На първия етап от производството (ОА) увеличаването на разходите за труд допринася за все по-пълното използване на капитала: пределната и общата производителност на труда нарастват. Това се изразява в нарастване на пределния и средния продукт, докато MP > АР. В точка А "пределният продукт достига своя максимум. На втория етап (AB) стойността на пределния продукт намалява и в точка B" става равна на средния продукт (MP = AP). Ако в първия етап (0A) общият продукт нараства по-бавно от количеството на използвания променлив фактор, тогава във втория етап (AB) общият продукт нараства по-бързо от количеството на използвания променлив фактор (фиг. 5-1a). ). На третия етап на производство (BV) MP< АР, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора и, наконец, наступает четвертая стадия (пос­ле точки В), когда MP < 0. В результате прирост переменного фак­тора х приводит к уменьшению выпуска совокупной продукции. В этом и заключается закон убывающей предельной производительности. Той твърди, че с нарастването на използването на всякакви производствен фактор(ако останалите останат непроменени), рано или късно се достига точка, при която допълнителното прилагане на променлив фактор води до намаляване на относителния и допълнително абсолютен обем на продукцията.

б) производство с два променливи фактора.

Да приемем, че в най-общ вид производствената функция с два променливи фактора има формата:

където x и y са стойностите на променливия фактор.

По правило се разглеждат 2 едновременно допълващи се и взаимозаменяеми фактора: труд и капитал.

Тази функция може да бъде представена графично с помощта на изокванти :

Изоквантата или кривата на равен продукт представлява всички възможни комбинации от два фактора, които могат да бъдат използвани за производството на дадено количество продукт.

С увеличаване на обема на използваните променливи фактори става възможно производството на по-голям обем продукти. Изоквантата, която отразява производството на по-голям обем продукт, ще бъде разположена вдясно и над предишната изокванта.

Броят на използваните фактори x и y може постоянно да се променя, съответно максималната производителност на продукта ще намалява или нараства. Следователно може да има набор от изокванти, съответстващи на различни обеми продукция, които образуват изоквантна карта.

Изоквантите са подобни на кривите на безразличие с единствената разлика, че отразяват ситуацията не в сферата на потреблението, а в сферата на производството. Тоест изоквантите имат свойства, подобни на кривите на безразличие.

Отрицателният наклон на изоквантите се обяснява с факта, че увеличаването на използването на един фактор при определена сумаосвобождаването на даден продукт винаги ще бъде придружено от намаляване на количеството на друг фактор.

Точно както кривите на безразличие, разположени на различни разстояния от началото, характеризират различни нива на полезност за потребителя, така и изоквантите предоставят информация за различни ниваизход на продукта.

Проблемът със заменяемостта на един фактор с друг може да бъде решен чрез изчисляване на пределната норма на технологично заместване (MRTS xy или MRTS LK).

Пределната норма на технологично заместване се измерва чрез съотношението на промяната във фактора y към промяната във фактора x. Тъй като факторите се заменят по обратния начин, математическият израз за MRTS индикатора x,y се приема със знак минус:

MRTS x,y = илиMRTS LK=

Ако вземем която и да е точка от изоквантата, например точка A и начертаем допирателна KM към нея, тогава тангентата на ъгъла ще ни даде стойността на MRTS x,y:

Може да се отбележи, че в горната част на изоквантата ъгълът ще бъде доста голям, което показва, че са необходими значителни промени във фактора y, за да се промени факторът x с единица. Следователно в тази част от кривата стойността на MRTS x,y ще бъде голяма.

Докато се движите надолу по изоквантата, стойността на пределната норма на технологично заместване постепенно ще намалява. Това означава, че за да се увеличи факторът x с единица, е необходимо леко намаляване на фактора y.

В реалните производствени процеси има два изключителни случая в конфигурацията на изоквантата:

Това е ситуация, при която два променливи фактора са напълно взаимозаменяеми, с пълна заменимост на производствените фактори MRTS x,y = const. Подобна ситуация може да си представим и с възможността за пълна автоматизация на производството. Тогава в точка А целият производствен процес ще се състои от капиталови вложения. В точка B всички машини ще бъдат заменени от работещи ръце, а в точки C и D капиталът и трудът ще се допълват взаимно.

В ситуация със строго допълване на факторите пределната норма на технологично заместване ще бъде равна на 0 (MRTS x,y = 0). Ако вземем модерен таксиметров парк с постоянен брой автомобили (y 1), които изискват определен брой шофьори (x 1), тогава можем да кажем, че броят на обслужваните пътници през деня няма да се увеличи, ако увеличим брой драйвери до x 2, x 3, ... x n. Обемът на произведения продукт ще се увеличи от Q 1 на Q 2 само ако броят на употребяваните автомобили в таксиметровия парк и броят на шофьорите се увеличат.

Всеки производител, придобивайки фактори за организация на производството, има определени ограничения в средствата.

Нека приемем, че трудът (фактор x) и капиталът (фактор y) действат като променливи фактори. Те имат определени цени, които остават постоянни за периода на анализ (P x , P y - const).

Производителят може да закупи необходимите фактори в определена комбинация, която не надхвърля бюджетните му възможности. Тогава неговата цена за придобиване на фактора x ще бъде P x · x, цената на фактора y, съответно, ще бъде P y · y. Общите разходи (C) ще бъдат:

C = P x X + P y Y или
.

За труд и капитал:

или

Извиква се графичното представяне на функцията на разходите (C). isocost (преки равни разходи, т.е. това са всички комбинации от ресурси, чието използване води до едни и същи разходи, изразходвани за производство).Тази права линия се конструира по две точки подобно на бюджетната линия (в равновесието на потребителя).

Наклонът на тази права линия се определя от:

С увеличаване на средствата за закупуване на променливи фактори, тоест с намаляване на бюджетните ограничения, линията на изокост ще се измести надясно и нагоре:

C 1 \u003d P x X 1 + P y Y 1.

Графично изокостите изглеждат по същия начин като бюджетната линия на потребителя. При постоянни цени изокостите са прави успоредни линии с отрицателен наклон. Колкото по-големи са бюджетните възможности на производителя, толкова по-далече от началото на координатите е изокостът.

Графиката на изокост в случай на намаляване на цената на фактора x ще се движи по абсцисата от точката x 1 до x 2 в съответствие с увеличаването на използването на този фактор в производствения процес (фиг. а).

И ако цената на фактора y се увеличи, производителят ще може да привлече по-малко количество от този фактор в производството. Графиката на изокост по оста y ще се премести от точка y 1 до y 2 .

Като се имат предвид производствените възможности (изоквантите) и бюджетните ограничения на производителя (изоразходите), може да се определи равновесие. За да направим това, ние комбинираме картата на изоквантите с изокостите. Тази изокванта, по отношение на която изокостът заема позицията на допирателна, ще определи най-големия обем на производството при възможностите на бюджета. Допирната точка на изоквантата на изокоста ще бъде точката на най-рационалното поведение на производителя.

При анализа на изоквантата установихме, че нейният наклон във всяка точка се определя от наклона на тангентата или скоростта на технологично заместване:

MRTS x,y =

Изокостът в точка E съвпада с тангентата. Наклонът на изокостата, както определихме по-рано, е равен на наклона . Въз основа на това е възможно да се определи точка на равновесие на потребителя като равенство на съотношенията между цените на производствените фактори и изменението на тези фактори.

или

Привеждайки това равенство към показателите на пределния продукт на променливия фактор на производство, в този случай това е MP x и MP y , получаваме:

или

Това е равновесието на производителя или правилото за най-малката цена..

За труда и капитала равновесието на производителя ще изглежда така:

Да приемем, че цените на ресурсите остават постоянни, докато бюджетът на производителя постоянно се увеличава. Свързвайки пресечните точки на изоквантите с изокостите, получаваме линията OS - "пътят на развитие" (подобно на линията на стандарта на живот в теорията на потребителското поведение). Този ред показва скоростта на нарастване на съотношението между факторите в процеса на разширяване на производството. На фигурата например трудът в хода на развитието на производството се използва в по-голяма степен от капитала. Формата на кривата на "пътя на развитие" зависи, първо, от формата на изоквантите и, второ, от цените на ресурсите (съотношението между които определя наклона на изокантите). Линията на "пътя на развитие" може да бъде права или извита от началото.

Ако разстоянията между изоквантите намаляват, това показва, че има нарастваща икономия от мащаба, т.е. увеличение на продукцията се постига с относителна икономия на ресурси. И компанията трябва да увеличи обема на производството, тъй като това води до относителна икономия на наличните ресурси.

Ако разстоянията между изоквантите се увеличават, това показва намаляващи икономии от мащаба. Намаляването на икономиите от мащаба показва, че минималният ефективен размер на предприятието вече е достигнат и по-нататъшното увеличаване на производството не е препоръчително.

Когато увеличаването на производството изисква пропорционално увеличение на ресурсите, се говори за постоянни икономии от мащаба.

По този начин анализът на продукцията с помощта на изокванти дава възможност да се определи техническата ефективност на производството. Пресичането на изоквантите с изокостите дава възможност да се определи не само технологичната, но и икономическата ефективност, т.е. да се избере технология (спестяваща труд или капитал, спестяваща енергия или материали и т.н.), която позволява да се осигури максимална производство на продукти с наличните средства производителят да организира производството.

производствена функция- зависимостта на обема на производството от количеството и качеството на наличните производствени фактори, изразена чрез използване математически модел. Производствената функция дава възможност за идентифициране оптимален размерразходите, необходими за производството на определена част от стоките. В същото време функцията винаги е предназначена за конкретна технология - интегрирането на нови разработки води до необходимостта от преразглеждане на зависимостта.

Производствена функция: общ вид и свойства

Производствените функции имат следните свойства:

• Увеличаването на производството поради един производствен фактор винаги е ограничаващо (например ограничен брой специалисти могат да работят в една стая).

• Производствените фактори са взаимозаменяеми (човешките ресурси са заменени от роботи) и допълващи се (работниците се нуждаят от инструменти и машини).

Най-общо производствената функция изглежда така:

Q = f (К, М, Л, Т, н),

производствонаречен всякакъв човешка дейноствърху превръщането на ограничени ресурси - материални, трудови, природни - в готови продукти. Производствената функция характеризира връзката между количеството на използваните ресурси (фактори на производството) и максималната възможна продукция, която може да бъде постигната, при условие че всички налични ресурси се използват по най-рационалния начин.

Производствената функция има следните свойства:

1 Има ограничение за увеличаване на производството, което може да бъде достигнато чрез увеличаване на един ресурс и поддържане на други ресурси постоянни. Ако например в селско стопанствоувеличаване на количеството труд с постоянни количества капитал и земя, тогава рано или късно идва момент, когато производството спира да расте.

2 Ресурсите се допълват взаимно, но в определени граници е възможна и тяхната взаимозаменяемост, без да се намалява продукцията. Ръчният труд, например, може да бъде заменен с употреба Повече ▼автомобили и обратно.

Производството не може да създава продукти от нищото. Производственият процес е свързан с потреблението на различни ресурси. Броят на ресурсите включва всичко, което е необходимо за производствената дейност - суровини, енергия, труд, оборудване и пространство.

За да се опише поведението на една фирма, е необходимо да се знае каква част от продукта може да произведе, използвайки ресурси в различни обеми. Ще изхождаме от предположението, че компанията произвежда хомогенен продукт, чието количество се измерва в натурални единици - тонове, парчета, метри и т.н. Зависимостта на количеството продукт, което една компания може да произведе, от обема на разходите за ресурси е наречен производствена функция.

Но предприятието може да извършва производствения процес по различни начини, използвайки различни технологични методи, различни вариантиорганизация на производството, така че количеството продукт, получено при едно и също влагане на ресурси, може да бъде различно. Мениджърите на фирмите трябва да отхвърлят производствените варианти, които дават по-ниска производителност на продукта, ако при една и съща вложеност на всеки вид ресурс може да се получи по-висока производителност. По същия начин те трябва да отхвърлят опции, които изискват повече влагане на поне един ресурс, без да увеличават добива на продукта и да намаляват цената на други ресурси. Отхвърлените по тези причини опции се извикват технически неефективни.

Да приемем, че вашата компания произвежда хладилници. За производството на кутията трябва да изрежете ламарина. В зависимост от това как е маркиран и изрязан стандартният железен лист, от него могат да бъдат изрязани повече или по-малко части; съответно за производството на определен брой хладилници ще са необходими по-малко или повече стандартни листове желязо. В същото време потреблението на всички останали материали, труд, оборудване, електроенергия ще остане непроменено. Такава производствена опция, която може да бъде подобрена чрез по-рационално рязане на желязо, трябва да бъде призната за технически неефективна и отхвърлена.

технически ефективнасе наричат ​​производствени опции, които не могат да бъдат подобрени нито чрез увеличаване на производството на продукт, без да се увеличи потреблението на ресурси, нито чрез намаляване на разходите за ресурс, без намаляване на продукцията и без увеличаване на разходите за други ресурси. Производствената функция взема предвид само технически ефективни опции. Значението му е най великколичеството продукт, което предприятието може да произведе при обема на потреблението на ресурси.

Разгледайте първо най-простия случай: едно предприятие произвежда един вид продукт и консумира един вид ресурс. Пример за такова производство е доста трудно да се намери в действителност. Дори ако разгледаме предприятие, предоставящо услуги по домовете на клиентите без използването на каквото и да е оборудване и материали (масаж, обучение) и изразходвайки само труда на работниците, трябва да приемем, че работниците обикалят клиентите пеша (без да използват транспортни услуги ) и преговаряйте с клиенти без помощта на поща и телефон.

производствена функция- показва зависимостта на количеството продукт, което фирмата може да произведе, от размера на разходите на използваните фактори

Q= f(x1, x2…xn)

Q= f(К, Л),

където Q- изходен обем

x1, x2…xn– обеми на прилаганите фактори

К- обем на капиталовия фактор

Л- фактор обем на труда

И така, предприятието, изразходващо ресурс в размер х, може да произвежда продукт в количество р. производствена функция

Помислете за най-простите модели на производство и потребление. Производствените модели се изграждат с помощта на производствените функции, а моделите на потреблението се основават на целевата функция на потреблението.

Производствени функции и техните характеристики

Най-простият модел на производство може да бъде представен като определена система, която обработва различни видове ресурси в готови продукти.

Ресурсите могат да бъдат:

1. сурови материали;
2. разходи за труд;
3. разходи за енергия;
4. изследователски ресурси;
5. технологични ресурси;
6. транспортни ресурси и др.

производствена функциянарича връзката между обема на произведените продукти y,и разходи различни видовересурси, необходими за производството на този продукт:
.
На практика, за да опростим модела, често използваме двуфакторенпроизводствена функция, която включва два вида ресурси:
1. материални, включително разходите за суровини, енергия, транспорт и други ресурси;
2. трудови ресурси.
Производствената функция трябва да удовлетворява серията изисквания :
1. Без разходи за ресурси няма освобождаване: f(0,0)=0.
2. С увеличаване на цената на някой от ресурсите, продукцията расте, т.е. производствената функция трябва да нараства по отношение на някой от факторите.
3. Законът за намаляващата ефективност: със същите абсолютни увеличения на разходите за всеки от ресурсите Δ хувеличаване на производствения обем Δ приколкото по-малко, толкова по-голяма е продукцията. С други думи, производствената функция трябва да бъде изпъкнала във всеки аргумент.
Познавайки производствената функция, можем да изчислим серията числови характеристики . Нека разгледаме основните.
1. Средна производителност
, ,
които имат значението на средната продукция, базирана на единичната цена на даден ресурс.
Ако - материални разходи и - труд, тогава А 1 се обади възвръщаемост на капиталаа НО 2 - наречен производителност на труда.
2. Пределна или пределна производителност За всеки ресурс се наричат ​​следните количества:
, .
Тези стойности показват приблизително колко единици продукцията ще се промени, ако разходите за определен ресурс се променят с една единица: .
3. Частен еластичност За всеки ресурс се наричат ​​следните количества:

Еластичностите показват приблизително с колко процента продукцията ще се промени, ако разходите за определен ресурс се променят с един процент: .
Стойността се нарича обща еластичност или еластичност на производството.
4. Технологична норма на подмяна е стойност, която приблизително показва как продукцията ще се промени, ако единица от един ресурс бъде заменена с единица от друг.
ПРИМЕР.Производствената функция има формата . Намерете средната и пределната производителност, еластичност, коефициент на технологично заместване.
Решение.
Средните показатели са:

Пределните изпълнения са:

Еластичностите са:

Има стандарт за технологична подмяна
.

Линейни и производствени функции на Коб-Дъглас

В практиката при моделиране на реално производство най-често се използват два вида производствени функции: линейни и Коб-Дъглас.
Линейна производствена функция изглежда като:
.
Конструира се в случаите, когато продукцията е пропорционална на разходите. въпреки това дадена функцияне удовлетворява първото и третото изискване за производствени функции, така че може да се използва за приближаване на реални функции в малки локални области на промяна в техните аргументи (вижте фигурата). За да се изпълни второто изискване, трябва да са изпълнени условията.
Производствена функция на Коб-Дъглас изглежда като:
.
За да се изпълнят всички изисквания за производствени функции, трябва да бъдат изпълнени следните условия:
Да намерим средната и пределната производителност, еластичността, коефициента на технологично заместване за линейни и Cobb-Douglas производствени функции.
За линейна функция ще бъде:



И така, коефициентите а 1 и а 2 линейни производствени функции имат значението на пределна производителност и могат да бъдат изчислени по формулите:
. (6.1)
Производствената функция на Коб-Дъглас би била:




И така, коефициентите а 1 и аДвете производствени функции на Коб-Дъглас имат значението на частична еластичност и могат да бъдат изчислени с помощта на формулите:
(6.2)
Пример.Едно предприятие, изразходвайки 65 единици материални разходи и 17 труд за производство, е произвело 120 единици продукция. В резултат на разширяване и увеличаване на разходите за материали до 68 единици, продукцията се увеличи до 124 единици, а с увеличаване на разходите за труд до 19 единици, продукцията се увеличи до 127 единици. Напишете линейна производствена функция и функция на Коб-Дъглас.
Решение.

Линейна функция . За намиране на параметри а 1 и а 2 използваме формула (8.1):

Получаваме . За намиране b реши уравнението за b, получаваме . В резултат на това получаваме линейна производствена функция .
Производствената функция на Коб-Дъглас има формата . По формула (8.2) намираме коефициентите на уравнението:
.
Получаваме уравнение от вида . За намиране bзаместваме първоначалните данни от втората колона на таблицата в уравнението: . Изчислявайки, получаваме . В резултат производствената функция изглежда така:

Функция за целево потребление

В условията на пазарна система за управление на производствените и маркетингови дейности на предприятията и фирмите икономическите решения се основават на пазарна информация, а валидността на решенията се проверява от пазара по време на продажбата на стоки и услуги. При този подход отправната точка на целия бизнес цикъл е изследването на потребителското търсене. Нека разгледаме някои въпроси на моделирането на търсенето и потреблението.
Помислете за потребител, който в резултат на своето съществуване консумира някои стоки. Нивото на задоволяване на нуждите на потребителите се означава с U. Да приемем, че има нвидове стоки B 1 , B 2 ,…, B н. Ползите могат да бъдат:
- хранителни продукти;
- стоки от първа необходимост;
- стоки от несъществена нужда;
- луксозни предмети;
- платени услуги и др.
Нека количеството потребление на всяка стока е х 1 , х 2 ,…, xn. Функция за целево потреблениенарича връзката между степента (равнището) на задоволяване на потребностите Uи количеството на консумираните стоки: х 1 , х 2 ,…,x n. Тази функция изглежда така: .
В пространството на потребителските стоки всяко уравнение съответства на определена повърхност от еквивалентни, или безразлични, набори от стоки, която се нарича повърхността на безразличието. Хиперповърхността на такава крива, наречена многомерна повърхност на безразличие, може да бъде представена като: , където ОТ- постоянен. За по-голяма яснота, нека разгледаме пространството на две стоки, например, под формата на две агрегирани групи стоки: храна B 1 и нехранителни продукти, включително платени услуги B 2 . Тогава нивата на целевата функция на потреблението могат да бъдат изобразени на равнината като криви на безразличие, съответстващи на различни значенияконстанти ОТ. За да направите това, изразете количеството потребление на една стока х 1 през друг х 2. Помислете за пример.
Пример. . Намерете кривите на безразличие.
Решение.Кривите на безразличие изглеждат така , или или (трябва да се отбележи, че трябва да е вярно).
Всеки потребител се стреми да увеличи максимално нивото на задоволяване на потребностите, т.е. Въпреки това, максимизирането на степента на задоволяване на нуждите ще попречи на възможностите на потребителя. Нека означим цената за единица на всяка стока като Р 1 , Р 2 ,…, p n, и доходите на потребителите чрез д. Тогава трябва да се направи бюджетно ограничение , което има смисъла на закона, според който разходите на потребителя не трябва да надвишават размера на дохода:
.
В резултат на това, за да се намери оптималният набор от предимства, е необходимо да се реши проблемът с оптималното програмиране:
(6.3)
Помислете за двуфакторна функция на потреблението, където х 1 - обемът на консумацията на храна и х 2. - потребление на нехранителни стоки и платени услуги. Освен това да предположим, че потребителят насочва целия си доход към задоволяване на своите нужди. В този случай бюджетното ограничение ще съдържа само два члена и неравенството ще се превърне в равенство. В този случай проблемът с оптималното програмиране ще приеме формата:
(6.4)
Геометрично оптималното решение има значението на точката, в която кривата на безразличието докосва линията, съответстваща на бюджетното ограничение.
От бюджетното ограничение на системата (8.4) може да се изрази променливата . Замествайки този израз в целева функция, получаваме функция на една променлива , чийто максимум може да се намери от уравнението чрез приравняване на производната на нула: .
Пример.Функцията на целевото потребление има формата: . Цената на стока B 1 е 20, цената на стока B 2 е 50. Доходът на потребителя е 1800 единици. Намерете кривите на безразличие, оптималния набор от потребителски стоки, функцията на търсенето за първата стока по отношение на цената, функцията на търсенето за първата стока по отношение на дохода.
Решение.Кривите на безразличие изглеждат така:
.
Получаваме набор от хиперболи, разположени в първата координатна четвърт и разположени на различни разстояния от началото, в зависимост от стойността на константата ОТ.
Ние намираме оптималния набор от предимства. Проблемът с оптималното програмиране има формата:

За да го разрешим, изразяваме тяхното бюджетно ограничение една променлива през друга:


Получаваме .
По този начин оптималният набор от обезщетения е 30,5 и 23,8 единици. Сега намираме функцията на търсенето за първата стока по нейната цена. За да направим това, в бюджетното ограничение, вместо фиксирана стойност, въвеждаме цената на първата стока, получавайки уравнението: . Ние изразяваме . Заместител в целевата функция:

Намираме производната и я приравняваме на нула:

или , откъдето намираме функцията на търсенето за първата стока на цената: .
Сега намираме функцията на търсенето за първата стока по отношение на дохода. За да направим това, ние изразяваме една променлива от бюджетното ограничение по отношение на друга: . Заместител в целевата функция:

Намираме производната и я приравняваме на нула:

От тук намираме функцията на търсенето за първата стока по отношение на дохода:
.