Момент ако. Силов момент: правило и приложение

Момент на двойка сили

Моментът на сила спрямо някаква точка (център) е вектор, числено равен на произведението на модула на силата и рамото, т.е. най-късото разстояние от определената точка до линията на действие на силата и насочено перпендикулярно на равнината, минаваща през избраната точка и линията на действие на силата в посоката, от която започва "въртенето", извършвано от силата около точка изглежда се случва обратно на часовниковата стрелка. Моментът на сила характеризира нейното въртеливо действие.

Ако О- точката, спрямо която се намира моментът на силата Е, тогава моментът на силата се обозначава със символа М о (Ж). Нека покажем, че ако точката на приложение на силата Еопределя се от радиус вектора r, тогава отношението

M o (F)=r×F. (3.6)

Според това съотношение моментът на силата е равен на векторното произведение на вектора r към вектора F.

Наистина, модулът на кръстосаното произведение е

М о ( Е)=RFгрях= Fh, (3.7)

където ч- ръка на силата. Обърнете внимание също, че векторът М о (Ж)насочен перпендикулярно на равнината, минаваща през векторите rи Е, в посоката, от която е най-късият завой на вектора rспрямо посоката на вектора Еизглежда обратно на часовниковата стрелка. По този начин формулата (3.6) напълно определя модула и посоката на момента на силата Е.

Понякога е полезно да напишете формула (3.7) във формата

М о ( Е)=2С, (3.8)

където С- площ на триъгълник OAB.

Позволявам х, г, zса координатите на точката на прилагане на силата, и Fx, Fy, Fzса проекциите на силата върху координатните оси. Тогава, ако точката Оразположен в началото, моментът на силата се изразява по следния начин:

От това следва, че проекциите на момента на сила върху координатните оси се определят по формулите:

М Окс(Е)=yF z -zF y,

М Ой(Е)=zF x -xF z ,

М Ой(Е)=xF y -yF x. (3.10)

Нека сега въведем понятието проекция на сила върху равнина.

Да се ​​даде сила Еи някакъв самолет. Нека пуснем перпендикуляри към тази равнина от началото и края на вектора на силата.

Проекция на сила върху равнинаНаречен вектор , чието начало и край съвпадат с проекцията на началото и проекцията на края на силата върху тази равнина.

Ако вземем равнината като разглеждана равнина хей, тогава проекцията на силата Ена тази равнина ще има вектор Еху.

Момент на сила Ехуспрямо точката О(пресечни точки на оста zсъс самолет хей) може да се изчисли по формула (3.9), ако вземем z=0, Fz=0. Вземете

МО(Еху)=(xF y -yF x)к.

По този начин моментът е насочен по оста z, и неговата проекция върху оста zточно съвпада с проекцията върху същата ос на момента на силата Еспрямо точката О. С други думи,

M Oz(Е)=M Oz(Еху)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно същият резултат може да се получи чрез проектиране на силата Екъм всяка друга равнина, успоредна на хей. В този случай пресечната точка на оста zс равнината ще бъде различен (ние обозначаваме новата пресечна точка през Оедин). Въпреки това, всички включени в правилната странаравенства (3.11) величините х, при, F x, Еостават непроменени и следователно можем да пишем

M Oz(Е)=M O 1 z ( Еху).

С други думи, проекцията на момента на силата върху точка от оста, минаваща през тази точка, не зависи от избора на точка от оста . Следователно в това, което следва, вместо символа M Oz(Е) ще използваме символа Mz(Е). Тази моментна проекция се нарича момент на сила около оста z. Изчисляването на момента на сила около ос често се извършва по-удобно чрез проекция на сила. Евърху равнина, перпендикулярна на оста, и изчисляване на количеството Mz(Еху).

В съответствие с формула (3.7) и като вземем предвид знака на проекцията, получаваме:

Mz(Е)=Mz(Еху)=± F xy h*. (3.12)

Тук з*- ръка на силата Ехуспрямо точката О. Ако наблюдателят вижда от страната на положителната посока на оста z, че силата Ехуима тенденция да върти тялото около ос zобратно на часовниковата стрелка, тогава се взема знакът "+", а в противен случай - знакът "-".

Формула (3.12) дава възможност да се формулира следващото правилоза изчисляване на момента на силата около ос. За целта са ви необходими:

изберете произволна точка от оста и построете равнина, перпендикулярна на оста;

проектирайте сила върху тази равнина;

Определете проекционното рамо на силата h*.

Моментът на силата около оста е равен на произведението на модула на проекцията на силата върху нейното рамо, взето със съответния знак (виж горното правило).

От формула (3.12) следва, че моментът на силата около оста е нула в два случая:

· когато проекцията на силата върху равнина, перпендикулярна на оста, е равна на нула, т.е. когато силата и оста са успоредни ;

когато раменна проекция з*е равно на нула, т.е. когато линията на действие пресича оста .

И двата случая могат да бъдат комбинирани в един: моментът на силата спрямо оста е нула тогава и само ако линията на действие на силата и оста са в една и съща равнина .

Задача 3.1.Изчислете спрямо точка Омомент на сила Еприложен към точката НОи диагонално насочено лице на куб със страна а.

При решаването на такива задачи е препоръчително първо да се изчислят моментите на силата Еспрямо координатните оси х, г, z. Координати на точки НОприлагане на сила Еще

Проекции на сила Епо координатните оси:

Замествайки тези стойности в равенства (3.10), намираме

, , .

Същите изрази за моментите на сила Еспрямо координатните оси може да се получи по формула (3.12). За да направим това, ние проектираме сила Евърху равнина, перпендикулярна на оста хи при. Очевидно е, че . Прилагайки горното правило, получаваме, както се очаква, същите изрази:

, , .

Модулът на момента се определя от равенството

.

Нека сега въведем концепцията за момента на двойка. Нека първо намерим каква е сумата от моментите на силите, съставляващи двойката, спрямо произволна точка. Позволявам Ое произволна точка в пространството и Еи F"-сили, които съставляват двойка.

Тогава M o (F)= ОА × Е, M o (F") = OV × F",

M o (F) + M o (F ") = ОА × Е+ OV × F",

но тъй като F= -F", тогава

M o (F) + M o (F ") = ОА × Е- OV × Е=(ОА-OV)× Е.

Като се има предвид равенството OA-OV=VA , най-накрая намираме:

M o (F) + M o (F ") = Вирджиния × Е.

Следователно, сумата от моментите на силите, които съставляват двойката, не зависи от позицията на точката, спрямо която се вземат моментите .

векторен продукт Вирджиния × Еи се обади момент на двойка . Моментът на двойката се обозначава със символа M(F, F"), и

M(F, F")=Вирджиния × F= AB × F",

или накратко,

М=Вирджиния × F= AB × F". (3.13)

Разглеждайки дясната страна на това равенство, забелязваме това моментът на двойката е вектор, перпендикулярен на равнината на двойката, равен по абсолютна стойност на произведението на модула на една от силите на двойката и рамото на двойката (т.е. най-късото разстояние между линиите на двойката действие на силите, които изграждат двойката) и насочени в посоката, от която се вижда, че "въртенето" на двойката се извършва обратно на часовниковата стрелка . Ако че рамото на двойката, тогава M(F, F")=h×F.

От самото определение се вижда, че моментът на двойка сили е свободен вектор, чиято линия на действие не е дефинирана (допълнителна обосновка за тази забележка следва от теореми 2 и 3 на тази глава).

За да може една двойка сили да образува уравновесена система (система от сили, еквивалентна на нула), е необходимо и достатъчно моментът на двойката да е равен на нула. Наистина, ако моментът на двойката е нула, М=h×F, тогава или Е=0, т.е. няма сила, или рамото на двойка че равно на нула. Но в този случай силите на двойката ще действат в една права линия; тъй като те са равни по абсолютна стойност и са насочени в противоположни посоки, тогава, въз основа на аксиома 1, те ще съставляват балансирана система. Обратно, ако две сили F1и F2, които съставляват двойка, са балансирани, тогава въз основа на същата аксиома 1 те действат по една права линия. Но в този случай ливъриджът на двойката че равно на нула и следователно М=h×F=0.

Теореми за двойки

Нека докажем три теореми, чрез които стават възможни еквивалентни трансформации на двойки. Във всички съображения трябва да се помни, че те се отнасят до двойки, действащи върху всяко едно твърдо тяло.

Теорема 1. Две двойки, лежащи в една и съща равнина, могат да бъдат заменени с една двойка, лежаща в една и съща равнина с момент, равен на сумата от моментите на дадените две двойки.

За да докажете тази теорема, разгледайте две двойки ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) и прехвърлете точките на приложение на всички сили по линиите на тяхното действие към точките НОи ATсъответно. Събирайки силите съгласно аксиома 3, получаваме

R=F1+F2и R"=F" 1+Е" 2,

но F1=-F" 1и F2=-Е" 2.

Следователно, R=-R", т.е. сила Ри R"образуват двойка. Нека намерим момента на тази двойка, използвайки формула (3.13):

М=М(Р, R")=VA × R= VA × (F1+F2)=VA × F1+VA × F2. (3.14)

Когато силите, съставляващи двойката, се прехвърлят по линиите на тяхното действие, нито рамото, нито посоката на въртене на двойките се променят, следователно моментът на двойката също не се променя. означава,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=М 1, VA × F 2 \u003d M(F2,Е" 2)=М 2

и формула (3.14) приема формата

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

което доказва валидността на горната теорема.

Нека направим две забележки към тази теорема.

1. Линиите на действие на силите, които съставляват двойките, могат да се окажат успоредни. Теоремата остава валидна и в този случай, но за доказването й трябва да се използва правилото за събиране на успоредни сили.

2. След добавяне може да се окаже, че М(Р, R")=0; Въз основа на забележката, направена по-рано, това означава, че множеството от две двойки ( F1,F" 1, F2,Е" 2)=0.

Теорема 2. Две двойки с геометрично равни моменти са еквивалентни.

Нека върху тялото в самолета аздвойка ( F1,F" 1) с момент М 1. Нека покажем, че тази двойка може да бъде заменена с друга с двойката ( F2,Е" 2), разположени в равнината II, ако само неговият момент М 2се равнява М 1(според дефиницията (виж 1.1) това ще означава, че двойките ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) са еквивалентни). На първо място, ние отбелязваме, че самолетите ази IIтрябва да са успоредни, по-специално те могат да съвпадат. Наистина от успоредността на моментите М 1и М 2(в нашия случай М 1=М 2) следва, че равнините на действие на двойките, перпендикулярни на моментите, също са успоредни.

Нека представим нова двойка ( F3,Е" 3) и го приложете заедно с двойката ( F2,Е" 2) към тялото, поставяйки двете двойки в равнината II. За да направим това, според аксиома 2, трябва да изберем двойка ( F3,Е" 3) с момент М 3така че приложената система от сили ( F2,Е" 2, F3,Е" 3) беше балансиран. Това може да стане например по следния начин: задаваме F3=-F" 1и F" 3 =-F1и нека комбинираме точките на приложение на тези сили с проекциите НО 1 и AT 1 точки НОи ATдо самолета II. Според конструкцията ще имаме: M 3 \u003d -M 1или предвид това М 1 = М 2,

M 2 + M 3 = 0.

Като вземем предвид втората забележка към предходната теорема, получаваме ( F2,Е" 2, F3,Е" 3)=0. И така двойките ( F2,Е" 2) и ( F3,Е" 3) са взаимно балансирани и тяхното прикрепване към тялото не нарушава неговото състояние (аксиома 2), така че

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,Е" 2, F3,Е" 3). (3.16)

От друга страна, сили F1и F3, както и F" 1и Е" 3могат да се добавят съгласно правилото за добавяне на успоредни сили, насочени в една посока. По модул, всички тези сили са равни една на друга, така че тяхната резултатна Ри R"трябва да се приложи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника ABB 1 НОедин ; освен това те са равни по абсолютна стойност и са насочени в противоположни посоки. Това означава, че те представляват система, еквивалентна на нула. Така,

(F1,F" 1, F3,Е" 3)=(Р, R")=0.

Сега можем да пишем

(F1,F" 1, F2,Е" 2, F3,Е" 3)=(F3,Е" 3). (3.17)

Сравнявайки отношения (3.16) и (3.17), получаваме ( F1,F" 1)=(F2,Е" 2), което трябваше да се докаже.

От тази теорема следва, че двойка сили може да бъде преместена в равнината на нейното действие, прехвърлена в успоредна равнина; накрая, в двойка можете да промените силите и рамото едновременно, запазвайки само посоката на въртене на двойката и модула на нейния импулс ( Е 1 ч 1 =Е 2 ч 2).

В това, което следва, ние ще използваме широко такива еквивалентни трансформации на двойка.

Теорема 3. Две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, са еквивалентни на една двойка, чийто момент е равно на суматамоменти от две дадени двойки.

Нека двойки ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) са разположени в пресичащи се равнини ази IIсъответно. Използвайки следствието от теорема 2, свеждаме двете двойки до рамото ABразположен на линията на пресичане на равнините ази II. Трансформираните двойки означаваме с ( Q1,Q" 1) и ( Q2,Q" 2). В този случай равенствата

М 1 = М(Q1,Q" 1)=М(F1,F" 1) и М2 =М(Q2,Q" 2)=М(F2,Е" 2).

Нека добавим съгласно аксиома 3 силите, приложени в точките НОи ATсъответно. Тогава получаваме R \u003d Q 1 + Q 2и R"= Q" 1 +Q" 2. Като се има предвид това Q" 1 \u003d -Q 1и Q" 2 \u003d -Q 2, получаваме R=-R". Така доказахме, че системата от две двойки е еквивалентна на една двойка ( Р,R").

Да намерим момент Мтази двойка. Въз основа на формула (3.13) имаме

М(Р,R")=VA × (Q1+Q2)=VA × Q1+ VA × Q2=

=М(Q1,Q" 1)+М(Q2,Q" 2)=М(F1,F" 1)+М(F2,Е" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

тези. теоремата е доказана.

Имайте предвид, че полученият резултат е валиден и за двойки, разположени в успоредни равнини. Чрез теорема 2 такива двойки могат да бъдат сведени до една равнина, а чрез теорема 1 те могат да бъдат заменени с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на съставните двойки.

Доказаните по-горе двойки теореми водят до важно заключение: моментът на двойката е свободен вектор и напълно определя действието на двойката върху абсолютно твърдо тяло . Наистина, вече доказахме, че ако две двойки имат еднакви моменти (и следователно лежат в една и съща равнина или в успоредни равнини), тогава те са еквивалентни една на друга (теорема 2). От друга страна, две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, не могат да бъдат еквивалентни, защото това би означавало, че едната от тях и двойката срещу другата са еквивалентни на нула, което е невъзможно, тъй като сумата от моментите на такива двойки е различна от нулата.

По този начин въведената концепция за момента на двойка е изключително полезна, тъй като напълно отразява механичното действие на двойка върху тялото. В този смисъл можем да кажем, че моментът изчерпателно представя действието на двойка върху твърдо тяло.

За деформируемите тела горната теория на двойките не е приложима. Две противоположни двойки, действащи например върху краищата на пръта, са еквивалентни на нула от гледна точка на статиката на твърдо тяло. Междувременно тяхното действие върху деформируемия прът причинява неговото усукване и колкото повече, толкова по-големи са модулите на моментите.

Нека да преминем към решаването на първата и втората задача на статиката, когато върху тялото действат само двойки сили.

Момент на сила (синоними: въртящ момент, въртящ момент, въртящ момент, въртящ момент) е векторна физическа величина, равна на векторния продукт на радиуса-вектор, изчертан от оста на въртене до точката на прилагане на сила от вектора на тази сила. Характеризира въртеливото действие на сила върху твърдо тяло.

Концепциите за "въртящи" и "въртящи" моменти в общ случайне са идентични, тъй като в технологията концепцията за "въртящ" момент се разглежда като външна сила, приложена към обект, а "въртящият момент" е вътрешна сила, която възниква в обект под действието на приложени натоварвания (тази концепция се използва в съпротивлението на материалите).

Главна информация

Специални случаи

Формула на момента на лоста

Представен е много интересен частен случай като дефиниция на момента на силата в полето:

$\backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$, където: $\backslash вляво|\backslash vec(M)\_1\backslash вдясно|$- момент на лоста, $\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$- големината на действащата сила.

Проблемът с това представяне е, че то не дава посоката на момента на силата, а само неговата величина. Ако силата е перпендикулярна на вектора $\backslash vec\; r$, моментът на лоста ще бъде равен на разстоянието до центъра и моментът на сила ще бъде максимален:

$\backslash вляво|\backslash vec(T)\backslash вдясно|\; =\; \backslash left|\backslash vec\; r\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$

Сила под ъгъл

Ако силата $\backslash vec\; F$насочени под ъгъл $\backslash тета$към лоста r, тогава $M\; =\; r\; F\backslash sin\backslash theta$.

Статичен баланс

За да бъде даден обект в равновесие, не само сумата от всички сили трябва да е равна на нула, но и сумата от всички моменти на сила около всяка точка. За двуизмерен случай с хоризонтални и вертикални сили: сумата от силите в две измерения ΣH=0, ΣV=0 и моментът на сила в третото измерение ΣM=0.

Силовият момент като функция на времето

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

където $\backslash vec\; L$- ъглов момент.

Да вземем твърдо тяло. Движението на твърдо тяло може да се представи като движение на определена точка и въртене около нея.

Ъгловият момент около точката O на твърдо тяло може да се опише чрез произведението на инерционния момент и ъгловата скорост около центъра на масата и линейното движение на центъра на масата.

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

Ще разгледаме въртеливи движения в координатната система на Кьониг, тъй като е много по-трудно да се опише движението на твърдо тяло в световната координатна система.

Нека разграничим този израз по отношение на времето. И ако $аз$тогава е константа във времето

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

Връзка между момент на сила и работа

$A\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(d)\backslash тета$

В случай на постоянен момент получаваме:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash theta$

Ъгловата скорост обикновено е известна $\backslash \; омега$в радиани за секунда и времето на действие на момента $T$.

Тогава работата, извършена от момента на силата, се изчислява като:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

Силов момент около точка

Ако има материална точка $НА$към който се прилага силата $\backslash vec\; F$, тогава моментът на силата около точката $О$е равно на векторното произведение на радиус вектора $\backslash vec\; r$свързващи точки $О$и $НА$, върху вектора на силата $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash left[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash right]$.

Силов момент около оста

Моментът на сила около ос е равен на алгебричния момент на проекцията на тази сила върху равнина, перпендикулярна на тази ос спрямо точката на пресичане на оста с равнината, т.е. $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

Единици

Силовият момент се измерва в нютон метри. 1 Nm е моментът, създаден от сила от 1 N върху лост с дължина 1 m, приложен към края на лоста и насочен перпендикулярно на него.

Измерване на въртящия момент

Към днешна дата измерването на момента на силата се извършва с помощта на тензодатчици, оптични и индуктивни товарни клетки.

Вижте също

Напишете отзив за статията "Момент на сила"

Откъс, характеризиращ момента на силата

Но въпреки че до края на битката хората изпитаха пълния ужас на постъпката си, въпреки че биха се радвали да спрат, някаква непонятна, мистериозна сила продължаваше да ги ръководи и, потни, покрити с барут и кръв, оставаха един до друг трима, артилеристи, въпреки че се препъваха и задушаваха от умора, те зареждаха, зареждаха, насочваха, прилагаха фитили; и гюлетата летяха също толкова бързо и жестоко от двете страни и се сплескваха човешкото тяло, и продължи да се върши онова ужасно дело, което се извършва не по волята на хората, а по волята на този, който ръководи хора и светове.
Всеки, който би погледнал разстроения тил на руската армия, би казал, че французите трябва да направят още едно малко усилие и руската армия ще изчезне; и всеки, който погледнеше в гърба на французите, би казал, че руснаците трябва да направят още едно малко усилие и французите ще загинат. Но нито французите, нито руснаците направиха това усилие и пламъците на битката бавно изгоряха.
Руснаците не направиха това усилие, защото не нападнаха французите. В началото на битката те стояха само на пътя за Москва, блокирайки го, и по същия начин продължиха да стоят в края на битката, както стояха в началото. Но дори ако целта на руснаците беше да съборят французите, те не биха могли да направят това последно усилие, защото всички руски войски бяха победени, нямаше нито една част от войските, която да не пострада в битката, и Руснаците, останали на местата си, загубиха половината от войските си.
Французите, със спомена за всичките предишни петнадесет години победи, с увереността в непобедимостта на Наполеон, със съзнанието, че са завладели част от бойното поле, че са загубили само една четвърт от хората и че те все още имаха двадесет хиляди недокоснати пазачи, беше лесно да се направи това усилие. Французите, които атакуваха руската армия с цел да я извадят от позиция, трябваше да направят това усилие, защото докато руснаците, точно както преди битката, блокираха пътя към Москва, целта на французите не беше постигнати и всичките им усилия и загуби бяха пропилени. Но французите не направиха такива усилия. Някои историци казват, че Наполеон е трябвало да остави старата си гвардия непокътната, за да бъде спечелена битката. Да говорим за това какво би се случило, ако Наполеон даде своята гвардия, е все едно да говорим за това какво би станало, ако пролетта стане есен. Не можеше да бъде. Не Наполеон не даде охраната си, защото не искаше, но това не можеше да стане. Всички генерали, офицери, войници от френската армия знаеха, че това не може да се направи, защото падналият морал на войските не го позволяваше.
Не само Наполеон изпита онова съновидно чувство, че ужасният замах на ръката пада безсилно, но и всички генерали, всички войници от френската армия, които участват и не участват, след всички преживявания от предишни битки (където след десет пъти по-малко усилие, врагът избяга), изпита същото чувство на ужас пред този враг, който, загубил половината от армията си, стоеше също толкова страхотно в края, колкото и в началото на битката. Моралните сили на френската атакуваща армия са изчерпани. Не онази победа, която се определя от събрани парчета материя върху пръчки, наречени знамена, и от пространството, на което войските са стояли и стоят, а морална победа, която убеждава врага в моралното превъзходство на неговия враг и на безсилието му, беше спечелен от руснаците под Бородин. Френското нашествие, подобно на разярен звяр, получил смъртоносна рана в бягането си, почувства смъртта си; но не можеше да спре, както и най-слабата руска армия не можеше да не се отклони. След този натиск френската армия все още можеше да стигне до Москва; но там, без нови усилия от страна на руската армия, той трябваше да умре, кървящ от смъртоносна рана, нанесена при Бородино. Пряка последица от битката при Бородино беше неразумното бягство на Наполеон от Москва, връщането по стария Смоленск път, смъртта на петстотинхилядната инвазия и смъртта на Наполеонова Франция, която за първи път близо до Бородино беше положена от ръката на най-силния духом враг.

Абсолютната непрекъснатост на движението е непонятна за човешкия ум. Законите на всякакъв вид движение стават ясни за човек само когато той разглежда произволно взети единици на това движение. Но в същото време от това произволно разделяне на непрекъснатото движение на прекъснати единици възникват голяма част от човешките заблуди.
Известен е така нареченият софизъм на древните, който се състои в това, че Ахил никога няма да настигне костенурката отпред, въпреки факта, че Ахил върви десет пъти по-бързо от костенурката: щом Ахил премине пространството, което го разделя. от костенурката, костенурката ще премине пред него една десета от това пространство; Ахил ще премине през тази десета, костенурката ще премине през една стотна и така нататък до безкрайност. Този проблем е изглеждал неразрешим на древните. Безсмислието на решението (че Ахил никога няма да настигне костенурката) произтича от факта, че произволно са разрешени прекъснати единици на движение, докато движението и на Ахил, и на костенурката е непрекъснато.
Приемайки все по-малки единици на движение, ние само се доближаваме до решението на задачата, но никога не го достигаме. Само чрез приемане на безкрайно малка величина и прогресия, възходяща от нея до една десета, и вземане на сумата от това геометрична прогресия, достигаме до решение на проблема. Нов клон на математиката, постигнал изкуството да се борави с безкрайно малки количества, а в други още трудни въпросидвижението сега дава отговори на въпроси, които изглеждаха неразрешими.
Този нов, непознат на древните, клон на математиката, когато разглежда въпросите за движението, допускайки безкрайно малки количества, тоест тези, при които се възстановява главното условие на движението (абсолютната непрекъснатост), по този начин коригира онази неизбежна грешка, че човешкият ум не може да не прави, когато се разглежда вместо непрекъснато движение, отделни единици на движение.
Абсолютно същото се случва и при търсенето на законите на историческото движение.
Движението на човечеството, произтичащо от безбройните човешки произволи, се извършва непрекъснато.
Разбирането на законите на това движение е целта на историята. Но за да разбере законите на непрекъснатото движение на сбора от всички произволи на хората, човешкият ум допуска произволни, прекъснати единици. Първият метод на историята е да вземем произволна поредица от непрекъснати събития и да я разгледаме отделно от другите, докато няма и не може да има начало на каквото и да е събитие и винаги едно събитие непрекъснато следва друго. Вторият трик е да се разглежда действието на един човек, царя, командира, като сбор от произволите на хората, докато сборът от произволите на хората никога не се изразява в дейността на един историческа личност.
Историческата наука в своето движение непрекъснато приема все по-малки единици за разглеждане и по този начин се стреми да се доближи до истината. Но колкото и малки да са единиците, които историята приема, ние чувстваме, че предположението за единица, отделена от друга, предположението за началото на някакво явление и предположението, че произволът на всички хора се изразява в действията на една историческа личност , са фалшиви сами по себе си.
Всяко заключение на историята, без най-малкото усилие от страна на критиката, се разпада като прах, без да остави нищо след себе си, само в резултат на факта, че критиката избира по-голяма или по-малка прекъсната единица като обект на наблюдение; на което винаги има право, тъй като взетата историческа единица винаги е произволна.
Само като позволим една безкрайно малка единица за наблюдение - диференциала на историята, тоест хомогенните стремежи на хората, и след като сме постигнали изкуството на интегрирането (като вземем сумите на тези безкрайно малки), можем да се надяваме да разберем законите на историята .
Първите петнадесет години 19 векв Европа представляват необикновено движение на милиони хора. Хората напускат обичайните си занимания, хвърлят се от единия край на Европа в другия, грабят, убиват се един друг, триумфират и се отчайват, а целият ход на живота се променя за няколко години и представлява засилено движение, което отначало се увеличава, а след това отслабване. Каква е причината за това движение или по какви закони е станало? пита човешкият ум.
Историците, отговаряйки на този въпрос, ни описват делата и речите на няколко десетки хора в една от сградите на град Париж, наричайки тези дела и речи думата революция; тогава дават подробна биографияНаполеон и някои симпатични и враждебни хора, говорят за влиянието на някои от тези хора върху други и казват: затова е възникнало това движение и това са неговите закони.
Но човешкият ум не само отказва да повярва на това обяснение, но директно казва, че методът на обяснение не е правилен, тъй като в това обяснение най-слабото явление се взема като причина за най-силното. Сборът от човешки произвол направи и революцията, и Наполеон и само сборът от тези произволи ги изтърпя и унищожи.

Силовият момент около оста или просто моментът на силата е проекцията на силата върху права линия, която е перпендикулярна на радиуса и начертана в точката на прилагане на силата, умножена по разстоянието от тази точка до оста. Или продуктът на силата върху рамото на нейното приложение. Рамото в този случай е разстоянието от оста до точката на прилагане на силата. Силовият момент характеризира ротационното действие на силата върху тялото. Оста в този случай е мястото, където е закрепено тялото, спрямо което може да се върти. Ако тялото не е фиксирано, тогава центърът на масата може да се счита за оста на въртене.

Формула 1 - Момент на сила.

F - Силата, действаща върху тялото.

r - Сила на рамото.

Фигура 1 - Момент на сила.

Както се вижда от фигурата, рамото на силата е разстоянието от оста до точката на прилагане на силата. Но това е така, ако ъгълът между тях е 90 градуса. Ако това не е така, тогава е необходимо да начертаете линия по протежение на действието на силата и да спуснете перпендикуляр от оста върху нея. Дължината на този перпендикуляр ще бъде равна на рамото на силата. И преместването на точката на приложение на силата по посока на силата не променя нейния импулс.

Обичайно е да се счита за положителен такъв момент на сила, който кара тялото да се върти по посока на часовниковата стрелка спрямо точката на наблюдение. И съответно отрицателни, причиняващи въртене срещу него. Силовият момент се измерва в нютони на метър. Един нютонометър е сила от 1 нютон, действаща върху рамо от 1 метър.

Ако силата, действаща върху тялото, минава по линията, минаваща през оста на въртене на тялото, или центъра на масата, ако тялото няма ос на въртене. Тогава моментът на сила в този случай ще бъде равен на нула. Тъй като тази сила няма да предизвика въртене на тялото, а просто ще го премести напред по линията на приложение.

Фигура 2 - Моментът на сила е нула.

Ако върху тялото действат няколко сили, тогава моментът на сила ще се определя от тяхната резултатна. Например върху едно тяло могат да действат две еднакви по големина и противоположно насочени сили. В този случай общият момент на сила ще бъде равен на нула. Тъй като тези сили ще се компенсират взаимно. С прости думи, представете си детска въртележка. Ако едното момче го бутне по посока на часовниковата стрелка, а другото със същата сила срещу него, тогава въртележката ще остане неподвижна.

Често чуваме изрази: „инертен е“, „движи се по инерция“, „инерционен момент“. AT преносен смисълдумата "инерция" може да се тълкува като липса на инициатива и действие. Интересуваме се от прякото значение.

Какво е инерция

По дефиниция инерциявъв физиката това е способността на телата да поддържат състояние на покой или движение при липса на външни сили.

Ако всичко е ясно със самата концепция за инерция на интуитивно ниво, тогава момент на инерция- отделен въпрос. Съгласете се, трудно е да си представите какво е това. В тази статия ще научите как да решавате основни задачи по темата "Момент на инерция".

Определяне на инерционния момент

От училищната програма е известно, че масата е мярка за инерцията на тялото. Ако бутаме две колички с различни маси, тогава ще бъде по-трудно да спрем тази, която е по-тежка. Тоест, колкото по-голяма е масата, толкова по-голямо външно влияние е необходимо за промяна на движението на тялото. Разгледаното се отнася за транслационното движение, когато количката от примера се движи по права линия.

По аналогия с масовото и транслационното движение, инерционният момент е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение около ос.

Момент на инерция- скаларни физическо количество, мярка за инерцията на тялото, докато се върти около ос. Означава се с буква Дж и в системата SI измерено в килограми, умножени по квадратен метър.

Как да изчислим инерционния момент? Във физиката има обща формула, по която се изчислява инерционният момент на всяко тяло. Ако тялото се натроши на безкрайно малки парчета маса дм , тогава инерционният момент ще бъде равен на сумата от продуктите на тези елементарни маси и квадрата на разстоянието до оста на въртене.

Това е общата формула за инерционния момент във физиката. За материална точка от маса м , въртящи се около ос на разстояние r от него тази формула приема формата:

Теорема на Щайнер

От какво зависи инерционният момент? От масата, положението на оста на въртене, формата и размера на тялото.

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер е много важна теорема, която често се използва при решаване на проблеми.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер гласи:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос е равен на сумата от инерционния момент на тялото около ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на произволна ос, и произведението на масата на тялото по квадрата на разстояние между осите.

За тези, които не искат постоянно да се интегрират, когато решават задачи за намиране на инерционния момент, ето фигура, показваща инерционните моменти на някои хомогенни тела, които често се срещат в задачи:

Пример за решаване на задачата за намиране на инерционния момент

Нека разгледаме два примера. Първата задача е да се намери инерционният момент. Втората задача е да се използва теоремата на Хюйгенс-Щайнер.

Задача 1. Намерете инерционния момент на хомогенен диск с маса m и радиус R. Оста на въртене минава през центъра на диска.

Решение:

Нека разделим диска на безкрайно тънки пръстени, чийто радиус варира от 0 преди Ри помислете за един такъв пръстен. Нека неговият радиус е r, и масата дм. Тогава инерционният момент на пръстена:

Масата на пръстена може да бъде представена като:

Тук дзе височината на пръстена. Заместете масата във формулата за инерционния момент и интегрирайте:

Резултатът беше формула за инерционния момент на абсолютно тънък диск или цилиндър.

Задача 2. Нека отново има диск с маса m и радиус R. Сега трябва да намерим инерционния момент на диска спрямо оста, минаваща през средата на един от неговите радиуси.

Решение:

Инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през центъра на масата, е известен от предишната задача. Прилагаме теоремата на Щайнер и намираме:

Между другото, в нашия блог можете да намерите други полезни материали по физика и.

Надяваме се, че ще намерите нещо полезно в статията. Ако има трудности в процеса на изчисляване на тензора на инерцията, не забравяйте за студентската служба. Нашите експерти ще ви посъветват по всеки въпрос и ще помогнат за решаването на проблема за няколко минути.