Логаритми на степен са примери за решения. Какво е логаритъм? Решение на логаритми

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Инструкция

Запишете даденото логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм от 10, тогава записът му се съкращава и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако логаритъма има числото e като основа, тогава изразът се записва: ln b е натурален логаритъм. Разбираемо е, че резултатът от any е степента, на която трябва да се повдигне основното число, за да се получи числото b.

Когато намирате сумата на две функции, просто трябва да ги разграничите една по една и да добавите резултатите: (u+v)" = u"+v";

При намиране на производната на произведението на две функции е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u*v)" = u"* v+v"*u;

За да се намери производната на частното на две функции, е необходимо от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията делител, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията делител, и да се раздели всичко това чрез функцията делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ако се даде сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y=u(v(x)), тогава y"(x)=y"(u)*v"(x).

Използвайки полученото по-горе, можете да разграничите почти всяка функция. Така че нека да разгледаме няколко примера:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *х));
Има и задачи за пресмятане на производната в точка. Нека е дадена функцията y=e^(x^2+6x+5), трябва да намерите стойността на функцията в точката x=1.
1) Намерете производната на функцията: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Подобни видеа

Полезни съвети

Научете таблицата на елементарните производни. Това ще спести много време.

източници:

• постоянна производна

И така, каква е разликата между рационално уравнениеот рационалното? Ако неизвестната променлива е под знака корен квадратен, тогава уравнението се счита за ирационално.

Инструкция

Основният метод за решаване на такива уравнения е методът на повдигане на двете части уравненияв квадрат. Въпреки това. това е естествено, първата стъпка е да се отървете от знака. Технически този метод не е труден, но понякога може да доведе до проблеми. Например уравнението v(2x-5)=v(4x-7). Като повдигнете двете страни на квадрат, получавате 2x-5=4x-7. Такова уравнение не е трудно за решаване; х=1. Но номер 1 няма да бъде даден уравнения. Защо? Заменете единицата в уравнението вместо стойността x. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Такава стойност не е валидна за квадратен корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

Така, ирационално уравнениесе решава чрез метода на повдигане на квадрат на двете му части. И след като се реши уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за друг.
2x+vx-3=0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено с помощта на същото уравнение като предишното. Трансферни съединения уравнения, които нямат квадратен корен, правилната странаи след това използвайте метода на повдигане на квадрат. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друг, по-елегантен. Въведете нова променлива; vx=y. Съответно ще получите уравнение като 2y2+y-3=0. Тоест обичайното квадратно уравнение. Намерете корените му; y1=1 и y2=-3/2. След това решете две уравнения vx=1; vx \u003d -3/2. Второто уравнение няма корени, от първото намираме, че x=1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Разрешаването на самоличности е доста лесно. Това изисква извършване на идентични трансформации до постигане на целта. Така с помощта на най-простите аритметични действия задачата ще бъде решена.

Ще имаш нужда

• - хартия;
• - химикалка.

Инструкция

Най-простите такива трансформации са алгебричните съкратени умножения (като квадрат на сумата (разликата), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). Освен това има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи самоличности.

Наистина, квадратът на сбора от два члена е равен на квадрата на първия плюс два пъти произведението на първия и втория плюс квадрата на втория, тоест (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Опростете и двете

Общи принципи на решение

Повторете учебника математически анализили висша математика, която е определен интеграл. Както знаете, решението определен интегралима функция, чиято производна ще даде интегранд. Тази функциясе нарича примитивен. По този принцип се конструират основните интеграли.
Определете по формата на интегранта кой от табличните интеграли е подходящ в този случай. Не винаги е възможно да се определи това веднага. Често табличната форма става забележима само след няколко трансформации за опростяване на интегранта.

Метод на заместване на променливи

Ако интеграндът е тригонометрична функция, чийто аргумент е някакъв полином, тогава опитайте да използвате метода за промяна на променливите. За да направите това, заменете полинома в аргумента на интегранта с нова променлива. Въз основа на съотношението между новата и старата променлива, определете новите граници на интегриране. Като диференцирате този израз, намерете нов диференциал в . Така ще получите новият видпървият интеграл, близък или дори съответстващ на който и да е табличен.

Решение на интеграли от втори род

Ако интегралът е интеграл от втория вид, векторната форма на интегранта, тогава ще трябва да използвате правилата за преминаване от тези интеграли към скаларни. Едно такова правило е съотношението на Остроградски-Гаус. Този закон позволява да се премине от роторния поток на някаква векторна функция към троен интеграл върху дивергенцията на дадено векторно поле.

Подмяна на границите на интеграция

След намиране на антипроизводното е необходимо да се заменят границите на интегриране. Първо, заместете стойността на горната граница в израза за антипроизводното. Ще получите някакъв номер. След това извадете от полученото число друго число, получената долна граница на антипроизводното. Ако една от границите на интегриране е безкрайност, тогава я заместваме в противопроизводна функциянеобходимо е да се стигне до границата и да се намери към какво клони изразът.
Ако интегралът е двуизмерен или триизмерен, тогава ще трябва да представите геометричните граници на интегрирането, за да разберете как да изчислите интеграла. Наистина, в случая на, да речем, триизмерен интеграл, границите на интегриране могат да бъдат цели равнини, които ограничават обема, който трябва да бъде интегриран.

Логаритмите, като всяко число, могат да се събират, изваждат и преобразуват по всеки възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с една и съща основа: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. дневник а х+дневник а г= дневник а (х · г);
2. дневник а х−дневник а г= дневник а (х : г).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъма от произведението, а разликата е логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако базите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичния израз, дори когато не се вземат предвид отделните му части (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. Въз основа на този факт мн тестови работи. Да, контрол - подобни изрази с цялата сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонентата от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

[Надпис на фигура]

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

[Надпис на фигура]

Мисля, че последният пример има нужда от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма, стоящ там под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четворката може да се прехвърли в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова база идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъма се регистрира а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:

[Надпис на фигура]

По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:

[Надпис на фигура]

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се прецени колко са удобни само при вземане на решение логаритмични уравненияи неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни показатели. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

[Надпис на фигура]

Тъй като произведението не се променя от пермутация на множители, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

[Надпис на фигура]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

[Надпис на фигура]

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване се изисква да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай броят нстава изразител на аргумента. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се основно логаритмично тъждество.

Наистина, какво ще стане, ако броят bиздигнете до властта, така че bдо тази степен дава число а? Точно така: това е едно и също число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора „висят“ върху него.

Подобно на новите формули за базово преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

[Надпис на фигура]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Дадени са правилата за умножение на степени с същата база, получаваме:

[Надпис на фигура]

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от изпита :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които е трудно да наречем свойства - по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Постоянно се намират в проблеми и учудващо създават проблеми дори на "напредналите" ученици.

1. дневник а а= 1 е логаритмичната единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъма на произволна основа аот самата тази база е равно на едно.
2. дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъма е нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Какво е логаритъм?

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Какво е логаритъм? Как се решават логаритми? Тези въпроси объркват много абсолвенти. Традиционно темата за логаритмите се смята за сложна, неразбираема и страшна. Особено - уравнения с логаритми.

Това абсолютно не е вярно. Абсолютно! не вярвате? Добре. Сега за около 10-20 минути вие:

1. Разберете какво е логаритъм.

2. Научете се да решавате цял клас експоненциални уравнения. Дори и да не сте чували за тях.

3. Научете се да изчислявате прости логаритми.

Освен това, за това ще трябва само да знаете таблицата за умножение и как числото се повишава до степен ...

Чувствам, че се съмнявате ... Е, забележете времето! Отивам!

Първо, решете наум следното уравнение:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Днес ще говорим за логаритмични формулии направете демонстрация примери за решение.

Сами по себе си те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим формулите за логаритъм към решението, ние ви припомняме първо всички свойства:

Сега, въз основа на тези формули (свойства), показваме примери за решаване на логаритми.

Примери за решаване на логаритми по формули.

Логаритъмположително число b при основа a (означено като log a b) е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.

Според определението log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, така че log a a x = x.

Логаритми, примери:

log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8

log 7 49 = 2 защото 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5

Десетичен логаритъме обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.

log 10 100 = 2 защото 10 2 = 100

натурален логаритъм- също обичайният логаритъм логаритъм, но с основата e (e \u003d 2.71828 ... - ирационално число). Наричан като ln.

Желателно е да помним формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.

• Основно логаритмично тъждество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логаритъм на произведението е равно на суматалогаритми
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства на степента на логаритмуемо число и основата на логаритъма

  Показател на логаритъма дневник с числа a b m = mlog a b

  Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ако m = n, получаваме log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Преход към нова основа
  log a b = log c b / log c a,

  ако c = b, получаваме log b b = 1

  тогава log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Както можете да видите, формулите за логаритъм не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме примери за решаване на логаритмични уравнения по-подробно в статията: "". Не пропускайте!

Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: реших да получа образование в друг клас в чужбина като опция.