Бібліографічний опис:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Єльков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмельова О. В. Способи розв'язання квадратних рівнянь // Юний вчений. 2016. №6.1. С. 17-20..02.2019).



Наш проект присвячений способам розв'язання квадратних рівнянь. Мета проекту: навчитися вирішувати квадратні рівняння способами, які не входять до шкільної програми. Завдання: знайти всі можливі способи розв'язання квадратних рівнянь та навчитися їх використовувати самим та познайомити однокласників із цими способами.

Що таке «квадратні рівняння»?

Квадратне рівняння- Рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c- Деякі числа ( a ≠ 0), x- Невідоме.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

• a називається першим коефіцієнтом;
• b називається другим коефіцієнтом;
• c – вільним членом.

А хто ж перший "винайшов" квадратні рівняння?

Деякі алгебраїчні прийоми розв'язання лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому у Стародавньому Вавилоні. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є ранніми свідченнями про вивчення квадратних рівнянь. На цих табличках викладено методи розв'язання деяких типів квадратних рівнянь.

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики.

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Вавилонські математики приблизно з IV століття до н. використовували метод доповнення квадрата для вирішення рівнянь з позитивним корінням. Близько 300 року до н. Евклід придумав загальніший геометричний метод рішення. Першим математиком, який знайшов рішення рівняння з негативним корінням у вигляді алгебраїчної формули, був індійський учений Брахмагупта(Індія, VII століття нашої ери).

Брахмагупта виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>0

У цьому рівнянні коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так учена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмідається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах2 = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи розв'язання зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків та коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі у 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллісеред перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Розглянемо кілька способів розв'язання квадратних рівнянь.

Стандартні способи розв'язання квадратних рівнянь із шкільної програми:

1. Розкладання лівої частини рівняння на множники.
2. Метод виділення повного квадрата.
3. Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
4. Графічний розв'язок квадратного рівняння.
5. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Зупинимося докладніше на розв'язання наведених та не наведених квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Нагадаємо, що для вирішення наведених квадратних рівнянь достатньо знайти два числа такі, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума - другому коефіцієнту з протилежним знаком.

приклад.x 2 -5x+6=0

Потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 6, а сума 5. Такими числами будуть 3 та 2.

Відповідь: x 1 =2, x 2 =3.

Але можна використовувати цей спосіб і для рівнянь з першим коефіцієнтом не рівним одиниці.

приклад.3x 2 +2x-5=0

Беремо перший коефіцієнт та множимо його на вільний член: x 2 +2x-15=0

Корінням цього рівняння будуть числа, добуток яких дорівнює - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримане коріння ділимо на перший коефіцієнт.

Відповідь: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Розв'язання рівнянь способом "перекидання".

Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 де а≠0.

Помножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + abх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильному даному. Його коріння у 1 та у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо х 1 = у 1/а та х 2 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання". Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перекинемо" коефіцієнт 2 до вільного члена і зробивши заміну отримаємо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до зворотної теореми Вієта

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 = 2,5; у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Відповідь: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1.

2. Якщо а – b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = – 1.

приклад.345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Відповідь: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

приклад.132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Існують інші властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. але їх використання складніше.

8. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Рис 1. Номограма

Це старий і нині забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений с.83 збірки: Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Криволинійна шкала номограми побудована за формулами (рис. 1):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а(Все в см), з рис.1 подоби трикутників САНі CDFотримаємо пропорцію

звідки після підстановок та спрощень випливає рівняння z 2 + pz + q = 0,причому буква zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Рис. 2 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

приклади.

1) Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0номограма дає коріння z 1 = 8,0 та z 2 = 1,0

Відповідь: 8,0; 1.0.

2) Вирішимо за допомогою номограми рівняння

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2 отримаємо рівняння z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 та z 2 = 0,5.

Відповідь: 4; 0,5.

9. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

приклад.х 2 + 10х = 39.

В оригіналі це завдання формулюється так: "Квадрат і десять коренів дорівнюють 39".

Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже площа кожного дорівнює 2,5x. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD, добудовуючи в кутах чотири рівні квадрати, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25

Рис. 3 Графічний спосіб розв'язання рівняння х 2 + 10х = 39

Площа S квадрата ABCD можна як суму площ: початкового квадрата x 2 , чотирьох прямокутників (4∙2,5x = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25∙ 4 = 25) , тобто. S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки випливає, що сторона квадрата АВСD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата отримаємо

10. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Безу.

Теорема Безу. Залишок від поділу многочлена P(x) на двочлен x - α дорівнює P(α) (тобто значення P(x) при x = α).

Якщо число α є коренем многочлена P(x), цей многочлен ділиться на x -α без залишку.

приклад.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Розділимо Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х = 1, або х-3 = 0, х = 3; Відповідь: х1 =2, х2 =3.

Висновок:Вміння швидко і раціонально вирішувати квадратні рівняння просто необхідне вирішення складніших рівнянь, наприклад, дробово-раціональних рівнянь, рівнянь вищих ступенів, біквадратних рівнянь, а старшій школі тригонометричних, показових і логарифмічних рівнянь. Вивчивши всі знайдені способи розв'язання квадратних рівнянь, ми можемо порадити однокласникам, крім стандартних способів, вирішення способом перекидання (6) і розв'язання рівнянь за якістю коефіцієнтів (7), оскільки є більш доступними для розуміння.

Література:

1. Брадіс В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.
2. Алгебра 8 клас: підручник для 8 кл. загальноосвіт. установ Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б. за ред. С. А. Теляковського 15-те вид., Дораб. - М: Просвітництво, 2015
3. https://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. / За ред. В.М. Молодшого. - М: Просвітництво, 1964.

Протягом теми «Рішення рівнянь» матеріал цієї статті познайомить вас із квадратними рівняннями.

Розглянемо все докладно: суть і запис квадратного рівняння, поставимо супутні терміни, розберемо схему розв'язання неповних і повних рівнянь, познайомимося з формулою коренів і дискримінантом, встановимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами, і наведемо наочне рішення практичних прикладів.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратне рівняння, його види

Визначення 1

Квадратне рівняння– це рівняння, записане як a · x 2 + b · x + c = 0, де x- Змінна, a, b і c- Деякі числа, при цьому aнемає нуль.

Найчастіше квадратні рівняння також звуться рівнянь другого ступеня, оскільки насправді квадратне рівняння є алгебраїчне рівняння другого ступеня.

Наведемо приклад для ілюстрації заданого визначення: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення 2

Числа a, b і c– це коефіцієнти квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, при цьому коефіцієнт aносить назву першого, або старшого, або коефіцієнта при x 2 b - другого коефіцієнта, або коефіцієнта при x, а cназивають вільним членом.

Наприклад, у квадратному рівнянні 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0старший коефіцієнт дорівнює 6 другий коефіцієнт є − 2 , а вільний член дорівнює − 11 . Звернемо увагу на той факт, що коли коефіцієнти bта/або c є негативними, то використовується коротка форма запису виду 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0, а не 6 · x 2 + (−2) · x + (− 11) = 0.

Уточнимо також такий аспект: якщо коефіцієнти aта/або bрівні 1 або − 1 , то явної участі в записі квадратного рівняння вони можуть не брати, що пояснюється особливостями запису вказаних числових коефіцієнтів. Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 − y + 7 = 0старший коефіцієнт дорівнює 1 а другий коефіцієнт є − 1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

За значенням першого коефіцієнта квадратні рівняння поділяють на наведені та ненаведені.

Визначення 3

Наведене квадратне рівняння- Це квадратне рівняння, де старший коефіцієнт дорівнює 1. За інших значень старшого коефіцієнта квадратне рівняння є ненаведеним.

Наведемо приклади: квадратні рівняння x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 є наведеними, у кожному з яких старший коефіцієнт дорівнює 1 .

9 · x 2 − x − 2 = 0- ненаведене квадратне рівняння, де перший коефіцієнт відмінний від 1 .

Будь-яке ненаведене квадратне рівняння можна перетворити на наведене рівняння, якщо розділити обидві його частини на перший коефіцієнт (рівносильне перетворення). Перетворене рівняння матиме таке ж коріння, як і задане ненаведене рівняння або не мати коріння зовсім.

Розгляд конкретного прикладу дозволить нам продемонструвати виконання переходу від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

Приклад 1

Задано рівняння 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необхідно перетворити вихідне рівняння на наведену форму.

Рішення

Згідно з зазначеною вище схемою розділимо обидві частини вихідного рівняння на старший коефіцієнт 6 . Тоді отримаємо: (6 · x 2 + 18 · x − 7): 3 = 0: 3, і це те саме, що: (6 · x 2) : 3 + (18 · x) : 3 − 7: 3 = 0і далі: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x − 7: 6 = 0 .Звідси: x 2 + 3 · x - 1 1 6 = 0. Таким чином, отримано рівняння, рівносильне заданому.

Відповідь: x 2 + 3 · x - 1 1 6 = 0.

Повні та неповні квадратні рівняння

Звернемося до визначення квадратного рівняння. У ньому ми уточнили, що a ≠ 0. Подібна умова необхідна, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c = 0було саме квадратним, оскільки при a = 0воно по суті перетворюється на лінійне рівняння b · x + c = 0.

У разі, коли коефіцієнти bі cрівні нулю (що можливо, як окремо, і спільно), квадратне рівняння зветься неповного.

Визначення 4

Неповне квадратне рівняння– таке квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0де хоча б один із коефіцієнтів bі c(або обидва) дорівнює нулю.

Повне квадратне рівняння- Квадратне рівняння, в якому всі числові коефіцієнти не рівні нулю.

Поміркуємо, чому типу квадратних рівнянь дано саме такі назви.

При b = 0 квадратне рівняння набуде вигляду a · x 2 + 0 · x + c = 0, що те саме, що a · x 2 + c = 0. При c = 0квадратне рівняння записано як a · x 2 + b · x + 0 = 0, що рівносильно a · x 2 + b · x = 0. При b = 0і c = 0рівняння набуде вигляду a · x 2 = 0. Рівняння, які ми отримали, відмінні від повного квадратного рівняння тим, що в їх лівих частинах не міститься або доданку зі змінною x, або вільного члена, або обох одночасно. Власне, цей факт і поставив назву такого типу рівнянь – неповна.

Наприклад, x 2 + 3 · x + 4 = 0 і − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – це повні квадратні рівняння; x 2 = 0, − 5 · x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 · x = 0 – неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Задане вище визначення дозволяє виділити такі види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 = 0, такому рівнянню відповідають коефіцієнти b = 0і c = 0;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0.

Розглянемо послідовно розв'язання кожного виду неповного квадратного рівняння.

Розв'язання рівняння a x 2 = 0

Як було зазначено вище, такому рівнянню відповідають коефіцієнти bі c, що дорівнює нулю. Рівняння a · x 2 = 0можна перетворити на рівносильне йому рівняння x 2 = 0, яке ми отримаємо, поділивши обидві частини вихідного рівняння на число a, Не рівне нулю. Очевидний факт, що корінь рівняння x 2 = 0це нуль, оскільки 0 2 = 0 . Іншого коріння це рівняння не має, що можна пояснити властивостями ступеня: для будь-якого числа p ,не рівного нулю, вірна нерівність p 2 > 0, з чого випливає, що за p ≠ 0рівність p 2 = 0ніколи не буде досягнуто.

Визначення 5

Таким чином, для неповного квадратного рівняння a · x 2 = 0 існує єдиний корінь x = 0.

Приклад 2

Наприклад вирішимо неповне квадратне рівняння − 3 · x 2 = 0. Йому рівносильне рівняння x 2 = 0, його єдиним коренем є x = 0тоді і вихідне рівняння має єдиний корінь - нуль.

Коротко рішення оформляється так:

− 3 · x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Розв'язання рівняння a · x 2 + c = 0

На черзі - розв'язання неповних квадратних рівнянь, де b = 0 c ≠ 0 тобто рівнянь виду a · x 2 + c = 0. Перетворимо це рівняння, перенісши доданок з однієї частини рівняння на іншу, змінивши знак на протилежний і розділивши обидві частини рівняння на число, що не дорівнює нулю:

• переносимо cу праву частину, що дає рівняння a · x 2 = − c;
• ділимо обидві частини рівняння на a, Отримуємо в результаті x = - C a.

Наші перетворення є рівносильними, відповідно отримане рівняння також рівносильно вихідному, і цей факт дає можливість робити висновок про коріння рівняння. Від того, які значення aі cзалежить значення виразу - c a: воно може мати знак мінус (припустимо, якщо a = 1і c = 2тоді - c a = - 2 1 = - 2) або знак плюс (наприклад, якщо a = − 2і c = 6, то - c a = - 6 - 2 = 3); воно не дорівнює нулю, оскільки c ≠ 0. Докладніше зупинимося на ситуаціях, коли - c a< 0 и - c a > 0 .

У разі, коли - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа pрівність p 2 = - c a може бути вірним.

Все інакше, коли - c a > 0: згадаємо квадратний корінь, і стане очевидно, що коренем рівняння x 2 = - c a буде число - c a , оскільки - c a 2 = - c a . Неважко зрозуміти, що число - - a - також корінь рівняння x 2 = - a: дійсно, - - a 2 = - c a .

Іншого коріння рівняння не матиме. Ми можемо це продемонструвати, використовуючи метод протилежного. Для початку поставимо позначення знайдених вище коренів як x 1і − x 1. Висловимо припущення, що рівняння x 2 = - a має також корінь x 2, який відрізняється від коріння x 1і − x 1. Ми знаємо, що, підставивши в рівняння замість xйого коріння, перетворимо рівняння на справедливу числову рівність.

Для x 1і − x 1запишемо: x 1 2 = - c a , а для x 2- x 2 2 = - C a. Спираючись на властивості числових рівностей, почленно віднімемо одну правильну рівність з іншої, що дасть нам: x 1 2 − x 2 2 = 0. Використовуємо властивості дій з числами, щоб переписати останню рівність як (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Відомо, що добуток двох чисел є нуль тоді і лише тоді, коли хоча б одне із чисел є нулем. Зі сказаного випливає, що x 1 − x 2 = 0та/або x 1 + x 2 = 0, що те саме, x 2 = x 1та/або x 2 = − x 1. Виникла очевидна суперечність, адже спочатку було зумовлено, що корінь рівняння x 2відрізняється від x 1і − x 1. Так, ми довели, що рівняння не має іншого коріння, крім x = - c a і x = - c a .

Резюмуємо всі міркування вище.

Визначення 6

Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c = 0рівносильне рівнянню x 2 = - c a , яке:

• не матиме коріння при - c a< 0 ;
• матиме два корені x = - c a та x = - - c a при - c a > 0 .

Наведемо приклади розв'язування рівнянь a · x 2 + c = 0.

Приклад 3

Задано квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 = 0.Потрібно знайти його рішення.

Рішення

Перенесемо вільний член у праву частину рівняння, тоді рівняння набуде вигляду 9 · x 2 = − 7 .
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на 9 прийдемо до x 2 = - 7 9 . У правій частині бачимо число зі знаком мінус, що означає: задане рівняння не має коріння. Тоді й вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 = 0не матиме коріння.

Відповідь:рівняння 9 · x 2 + 7 = 0не має коріння.

Приклад 4

Необхідно вирішити рівняння − x 2 + 36 = 0.

Рішення

Перенесемо 36 у праву частину: − x 2 = − 36.
Розділимо обидві частини на − 1 , отримаємо x 2 = 36. У правій частині - позитивне число, звідси можна дійти невтішного висновку, що x = 36 або x = -36.
Виймемо корінь і запишемо остаточний підсумок: неповне квадратне рівняння − x 2 + 36 = 0має два корені x = 6або x = − 6.

Відповідь: x = 6або x = − 6.

Розв'язання рівняння a x 2 + b x = 0

Розберемо третій вид неповних квадратних рівнянь, коли c = 0. Щоб знайти розв'язок неповного квадратного рівняння a · x 2 + b · x = 0, скористаємося методом розкладання на множники Розкладемо на множники багаточлен, що знаходиться в лівій частині рівняння, винісши за дужки загальний множник x. Цей крок дасть можливість перетворити вихідне неповне квадратне рівняння на рівносильне йому x · (a · x + b) = 0. А це рівняння, у свою чергу, рівносильне сукупності рівнянь x = 0і a · x + b = 0. Рівняння a · x + b = 0лінійне, і корінь його: x = − b a.

Визначення 7

Таким чином, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x = 0матиме два корені x = 0і x = − b a.

Закріпимо матеріал прикладом.

Приклад 5

Необхідно знайти рішення рівняння 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Рішення

Винесемо xза дужки та отримаємо рівняння x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Це рівняння рівносильне рівнянням x = 0та 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Тепер слід розв'язати отримане лінійне рівняння: 2 3 · x = 2 2 7 x = 2 2 7 2 3 .

Коротко рішення рівняння запишемо так:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0

x = 0 або 2 3 · x - 2 2 7 = 0

x = 0 або x = 3 3 7

Відповідь: x = 0, x = 3 3 7 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для знаходження розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів:

Визначення 8

x = - b ± D 2 · a де D = b 2 − 4 · a · c- Так званий дискримінант квадратного рівняння.

Запис x = - b ± D 2 · a по суті означає, що x 1 = - b + D 2 · a x 2 = - b - D 2 · a .

Не зайвим буде розуміти, як було виведено зазначену формулу і як її застосовувати.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай перед нами стоїть завдання розв'язати квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0. Здійснимо ряд рівносильних перетворень:

• розділимо обидві частини рівняння на число a, Відмінне від нуля, отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 + b a · x + c a = 0;
• виділимо повний квадрат в лівій частині рівняння, що вийшло:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Після цього рівняння набуде вигляду: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• тепер можна зробити перенесення двох останніх доданків у праву частину, змінивши знак на протилежний, після чого отримуємо: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• нарешті, перетворимо вираз, записаний у правій частині останньої рівності:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Таким чином, ми дійшли рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , рівносильного вихідного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0.

Вирішення подібних рівнянь ми розбирали в попередніх пунктах (вирішення неповних квадратних рівнянь). Вже отриманий досвід дає можливість зробити висновок щодо коренів рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 рівняння має вигляд x + b 2 · a 2 = 0 тоді x + b 2 · a = 0 .

Звідси очевидний єдиний корінь x = - b 2 · a;

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 вірним буде: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , що те саме, що x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, тобто. рівняння має два корені.

Можливо зробити висновок, що наявність або відсутність коренів рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а значить і вихідного рівняння) залежить від знака виразу b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записаного у правій частині. А знак цього виразу задається знаком чисельника, (знаменник 4 · a 2завжди буде позитивним), тобто, знаком виразу b 2 − 4 · a · c. Цьому виразу b 2 − 4 · a · cдано назву - дискримінант квадратного рівняння і визначена як його позначення літера D. Тут можна записати суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи буде квадратне рівняння мати дійсне коріння, і, якщо буде, то яка кількість коренів - один або два.

Повернемося до рівняння x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишемо його, використовуючи позначення дискримінанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Знову сформулюємо висновки:

Визначення 9

• при D< 0 рівняння не має дійсних коренів;
• при D = 0рівняння має єдиний корінь x = - b 2 · a;
• при D > 0рівняння має два корені: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 або x = - b 2 · a - D 4 · a 2 . Це коріння на основі властивості радикалів можна записати у вигляді: x = - b 2 · a + D 2 · a або - b 2 · a - D 2 · a . А коли розкриємо модулі і приведемо дроби до спільного знаменника, отримаємо: x = - b + D 2 · a , x = - b - D 2 · a .

Так, результатом наших міркувань стало виведення формули коріння квадратного рівняння:

x = - b + D 2 · a , x = - b - D 2 · a , дискримінант Dобчислюється за формулою D = b 2 − 4 · a · c.

Дані формули дають можливість при дискримінанті більше нуля визначити обидва дійсні корені. Коли дискримінант дорівнює нулю, застосування обох формул дасть той самий корінь, як єдине рішення квадратного рівняння. У випадку, коли дискримінант негативний, спробувавши використати формулу кореня квадратного рівняння, ми зіткнемося з необхідністю витягти квадратний корінь із негативного числа, що виведе нас за межі дійсних чисел. При негативному дискримінанті у квадратного рівняння не буде дійсних коренів, але можлива пара комплексно пов'язаних коренів, що визначаються тими самими отриманими нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Вирішити квадратне рівняння можливо, відразу задіюючи формулу коренів, але в основному так роблять при необхідності знайти комплексне коріння.

У більшості випадків зазвичай мається на увазі пошук не комплексних, а дійсних коренів квадратного рівняння. Тоді оптимально перед тим, як використовувати формули коренів квадратного рівняння, спочатку визначити дискримінант і переконатися, що він не є негативним (інакше зробимо висновок, що у рівняння немає дійсних коренів), а потім приступити до обчислення значення коренів.

Міркування вище дають можливість сформулювати алгоритм розв'язання квадратного рівняння.

Визначення 10

Щоб розв'язати квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, необхідно:

• за формулою D = b 2 − 4 · a · cвизначити значення дискримінанта;
• при D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D = 0 знайти єдиний корінь рівняння за формулою x = - b 2 · a;
• при D > 0 визначити два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою x = - b ± D 2 · a.

Зазначимо, що коли дискримінант є нуль, можна використовувати формулу x = - b ± D 2 · a , вона дасть той же результат, що і формула x = - b 2 · a .

Розглянемо приклади.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наведемо рішення прикладів за різних значень дискримінанта.

Приклад 6

Необхідно знайти коріння рівняння x 2 + 2 · x − 6 = 0.

Рішення

Запишемо числові коефіцієнти квадратного рівняння: a = 1, b = 2 і c = − 6. Далі діємо алгоритмом, тобто. приступимо до обчислення дискримінанта, для чого підставимо коефіцієнти a, b і cу формулу дискримінанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Отже, ми отримали D > 0 , а це означає, що вихідне рівняння матиме два дійсні корені.
Для їхнього знаходження використовуємо формулу кореня x = - b ± D 2 · a і, підставивши відповідні значення, отримаємо: x = - 2 ± 28 2 · 1 . Спростимо отриманий вираз, винісши множник за знак кореня з наступним скороченням дробу:

x = - 2 ± 2 · 7 2

x = - 2 + 2 · 7 2 або x = - 2 - 2 · 7 2

x = - 1 + 7 або x = - 1 - 7

Відповідь: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

Приклад 7

Необхідно розв'язати квадратне рівняння − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0.

Рішення

Визначимо дискримінант: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. При такому значенні дискримінанта вихідне рівняння матиме лише один корінь, який визначається за формулою x = - b 2 · a .

x = - 28 2 · (- 4) x = 3 , 5

Відповідь: x = 3, 5.

Приклад 8

Необхідно вирішити рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0

Рішення

Числові коефіцієнти цього рівняння будуть: a = 5 b = 6 і c = 2 . Використовуємо ці значення для знаходження дискримінанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Обчислений дискримінант негативний, таким чином, вихідне квадратне рівняння не має дійсних коренів.

У разі, коли стоїть завдання вказати комплексне коріння, застосуємо формулу коренів, виконуючи дії з комплексними числами:

x = - 6 ± - 4 2 · 5

x = - 6 + 2 · i 10 або x = - 6 - 2 · i 10

x = - 3 5 + 1 5 · i або x = - 3 5 - 1 5 · i.

Відповідь:дійсне коріння відсутнє; комплексні коріння наступні: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

У шкільній програмі стандартно немає вимоги шукати комплексне коріння, тому, якщо в ході рішення дискримінант визначений як негативний, відразу записується відповідь, що дійсних коренів немає.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) дає можливість отримати ще одну формулу, більш компактну, що дозволяє знаходити розв'язки квадратних рівнянь з парним коефіцієнтом при x (або з коефіцієнтом виду 2 · n, наприклад, 2 · 3 або 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5). Покажемо, як виводиться ця формула.

Нехай перед нами стоїть завдання знайти розв'язок квадратного рівняння a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Діємо за алгоритмом: визначаємо дискримінант D = (2 · n) 2 - 4 · a · c = 4 · n 2 - 4 · a · c = 4 · (n 2 - a · c), а потім використовуємо формулу коренів:

x = - 2 · n ± D 2 · a , x = - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a , x = - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a , x = - n ± n 2 - a · c a.

Нехай вираз n 2 − a · c буде позначено як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду:

x = - n ± D 1 a , де D 1 = n 2 − a · c.

Легко побачити, що D = 4 · D 1 або D 1 = D 4 . Інакше висловлюючись, D 1 – це чверть дискримінанта. Очевидно, що знак D 1 такий самий, як знак D , а значить знак D 1 може служити індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Визначення 11

Таким чином, щоб знайти розв'язок квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n необхідно:

• знайти D 1 = n 2 − a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 = 0 визначити єдиний корінь рівняння за формулою x = - n a;
• при D 1 > 0 визначити два дійсних кореня за формулою x = - n ± D 1 a.

Приклад 9

Необхідно розв'язати квадратне рівняння 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .

Рішення

Другий коефіцієнт заданого рівняння можемо уявити як 2 · (− 3) . Тоді перепишемо задане квадратне рівняння як 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 де a = 5 , n = − 3 і c = − 32 .

Обчислимо четверту частину дискримінанта: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169 . Отримане значення позитивно, це означає, що рівняння має два дійсні корені. Визначимо їх за відповідною формулою коренів:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 або x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 або x = - 2

Можливо було б зробити обчислення і за звичайною формулою коренів квадратного рівняння, але в такому разі рішення було б більш громіздким.

Відповідь: x = 3 1 5 або x = -2.

Спрощення виду квадратних рівнянь

Іноді є можливість оптимізувати вид вихідного рівняння, що дозволить спростити процес обчислення коренів.

Наприклад, квадратне рівняння 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно зручніше для розв'язання, ніж 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .

Найчастіше спрощення виду квадратного рівняння виробляється процесами множення чи розподілу його обох елементів на деяке число. Наприклад, ми показали спрощену запис рівняння 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , отриману розподілом обох його частин на 100 .

Таке перетворення можливе, коли коефіцієнти квадратного рівняння є взаємно простими числами. Тоді зазвичай здійснюють розподіл обох частин рівняння найбільший загальний дільник абсолютних величин його коефіцієнтів.

Як приклад використовуємо квадратне рівняння 12 · x 2 - 42 · x + 48 = 0. Визначимо НОД абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12 , 42 , 48) = НОД (НОД (12 , 42) , 48) = НОД (6 , 48) = 6 . Зробимо поділ обох частин вихідного квадратного рівняння на 6 і отримаємо рівносильне йому квадратне рівняння 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 .

Множенням обох частин квадратного рівняння зазвичай позбавляються дробових коефіцієнтів. У цьому множать найменше загальне кратне знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо кожну частину квадратного рівняння 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 = 0 перемножити з НОК (6 , 3 , 1) = 6 , воно стане записано у простішому вигляді x 2 + 4 · x − 18 = 0.

Насамкінець відзначимо, що майже завжди позбавляються мінуса при першому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки кожного члена рівняння, що досягається шляхом множення (або поділу) обох частин на − 1 . Наприклад, від квадратного рівняння − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можна перейти до спрощеної його версії 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами

Вже відома нам формула коренів квадратних рівнянь x = - b ± D 2 · a виражає коріння рівняння через його числові коефіцієнти. Спираючись на цю формулу, ми маємо можливість задати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомими та застосовними є формули теореми Вієта:

x 1 + x 2 = - a і x 2 = c a .

Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів є другий коефіцієнт із протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 можна відразу визначити, що його коренів дорівнює 7 3 , а добуток коренів - 22 3 .

Також можна знайти ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, сума квадратів коренів квадратного рівняння може бути виражена через коефіцієнти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 = - b a 2 - 2 · c a = b 2 a 2 - 2 · c a = b 2 - 2 · a · c a 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Початковий рівень

Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)

У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третьому (і більшому) ступені.

Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.

приклад 1.

Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса

Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!

приклад 2.

Домножимо ліву та праву частину на:

Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!

приклад 3.

Домножимо все на:

Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:

Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:

Приклади:

Відповіді:

1. квадратне;
2. квадратне;
3. не квадратне;
4. не квадратне;
5. не квадратне;
6. квадратне;
7. не квадратне;
8. квадратне.

Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:

• Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)

• Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

  Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

1. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
2. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
3. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

1. в. Оскільки ми знаємо, як видобувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.

А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння!

Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:

Відповідь:

Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два корені.

Відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що це рівняння завжди має тільки один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Розв'язання повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.

1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.

Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.

Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

А отже рівняння має два корені.

Крок 3

Відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже, рівняння має один корінь.

Відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2

Знаходимо дискримінант:

Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.

Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

Відповідь:Коренів немає

2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

Відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Наведене рівняння, а значить:

Відповідь:

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.

При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулка рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.

Розв'язання різних типів квадратних рівнянь

Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.

Можна виділити тип таких рівнянь:

I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.

ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.

Очевидно, що це рівняння завжди має тільки один корінь:

Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння немає рішень;

якщо, маємо навчаємо два корені

Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а отже, у рівняння

немає коріння.

Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.

Відповідь:

Отже, це рівняння має два корені: і.

Відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Відповідь:

Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.

Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має коріння:
• Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:

  Таке коріння називається дворазовим.

• Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.

Чому можлива різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.

Приклади:

Рішення:

Відповідь:

Відповідь: .

Відповідь:

Отже, рішень немає.

Відповідь: .

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:

• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює;
• в. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і – коріння нашого рівняння.

Відповідь: ; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:

та: у сумі дають.

та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.

Відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їхня різниця дорівнює - не підходить;

та: - не підходить;

та: - не підходить;

та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:

Відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:

Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:

Відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Наведене рівняння, а значить:

Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:

Очевидно, що корінням є числа в.

Відповідь:

Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Розв'язання завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0

За теоремою Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, оскільки сума;

: сума - те що треба

Відповідь: ; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.

Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).

Відповідь: ; .

Завдання 3.

Хм… А де тут що?

Потрібно перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:

Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь: ; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.

Відповідь: ; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їхня різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь: ; .

Підіб'ю підсумок:

1. Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться чи знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, отже цілих коренів немає, і треба вирішувати в інший спосіб (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

Наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

Відповідь:

У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.

Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:
• якщо і, рівняння має вигляд: .

1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Виразимо невідоме: ,

2) Перевіряємо знак виразу:

• якщо, то рівняння немає рішень,
• якщо, то рівняння має два корені.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:

1) Винесемо загальним множник за дужки: ,

2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння має тільки один корінь: .

2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанта

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,

2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коріння.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, у якому стоїть невідоме — «2», то перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" і "c" - задані числа.

• "a" - перший або старший коефіцієнт;
• "b" - другий коефіцієнт;
• "c" - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Рівняння	Коефіцієнти
a = 5 b = −14 з = 17
a = −7 b = −13 з = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• з =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• з = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• з = −8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для розв'язання квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коріння.

Запам'ятайте!

Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0". Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;
• використовувати формулу для коріння:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 − 3x − 4 = 0

Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже наведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати формулу знаходження коріння квадратного рівняння.

Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.

У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз
"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».

Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x = 7x

У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Тепер можна використати формулу для коріння.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Відповідь: x = 3

Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і є єдиним. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться – зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок - і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує лише з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.