फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण बराबर है। पाठ "फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण"

शिक्षा के विकास के वर्तमान चरण में, इसका एक मुख्य कार्य रचनात्मक सोच वाले व्यक्तित्व का निर्माण है। छात्रों में रचनात्मकता की क्षमता तभी विकसित की जा सकती है जब वे अनुसंधान गतिविधियों की मूल बातों में व्यवस्थित रूप से शामिल हों। छात्रों को अपनी रचनात्मक शक्तियों, क्षमताओं और प्रतिभाओं का उपयोग करने के लिए पूर्ण ज्ञान और कौशल का गठन किया जाता है। इस संबंध में, स्कूली गणित पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए बुनियादी ज्ञान और कौशल की एक प्रणाली बनाने की समस्या का कोई छोटा महत्व नहीं है। साथ ही, पूर्ण कौशल व्यक्तिगत कार्यों का नहीं, बल्कि उनकी सावधानीपूर्वक सोची-समझी प्रणाली का उपदेशात्मक लक्ष्य होना चाहिए। व्यापक अर्थों में, एक प्रणाली को परस्पर संबंधित अंतःक्रियात्मक तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जिसमें अखंडता और एक स्थिर संरचना होती है।

विद्यार्थियों को एक फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण को कैसे तैयार किया जाए, यह सिखाने के लिए एक पद्धति पर विचार करें। संक्षेप में, स्पर्शरेखा समीकरण को खोजने के लिए सभी कार्यों को उन पंक्तियों के सेट (शीफ, परिवार) से चुनने की आवश्यकता तक कम कर दिया जाता है जो एक निश्चित आवश्यकता को पूरा करते हैं - वे एक निश्चित फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा होते हैं। इस मामले में, लाइनों का सेट जिसमें से चयन किया जाता है, दो तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

क) xOy तल पर स्थित एक बिंदु (रेखाओं की केंद्रीय पेंसिल);
बी) कोणीय गुणांक (लाइनों के समानांतर बंडल)।

इस संबंध में, सिस्टम के तत्वों को अलग करने के लिए "एक फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा" विषय का अध्ययन करते समय, हमने दो प्रकार के कार्यों की पहचान की:

1) एक बिंदु द्वारा दिए गए स्पर्शरेखा पर कार्य जिसके माध्यम से वह गुजरता है;
2) इसके ढलान द्वारा दी गई स्पर्शरेखा पर कार्य।

एक स्पर्शरेखा पर समस्याओं को हल करना सीखना ए.जी. द्वारा प्रस्तावित एल्गोरिथ्म का उपयोग करके किया गया था। मोर्दकोविच। उसके मूलभूत अंतरपहले से ही ज्ञात झूठ से यह तथ्य है कि स्पर्शरेखा बिंदु का भुज अक्षर a (x0 के बजाय) द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसके संबंध में स्पर्शरेखा का समीकरण रूप लेता है

वाई \u003d एफ (ए) + एफ "(ए) (एक्स - ए)

(y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0) के साथ तुलना करें)। यह कार्यप्रणाली तकनीक, हमारी राय में, छात्रों को जल्दी और आसानी से यह महसूस करने की अनुमति देती है कि वर्तमान बिंदु के निर्देशांक कहां लिखे गए हैं। सामान्य स्पर्शरेखा समीकरण में, और संपर्क के बिंदु कहां हैं।

फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिदम

1. पत्र के साथ संपर्क के बिंदु की अनुपस्थिति को नामित करें।
2. एफ (ए) खोजें।
3. f "(x) और f "(a) खोजें।
4. पाए गए नंबरों को a, f (a), f "(a) को स्पर्शरेखा y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a) के सामान्य समीकरण में बदलें।

इस एल्गोरिथ्म को छात्रों के संचालन के स्वतंत्र चयन और उनके निष्पादन के अनुक्रम के आधार पर संकलित किया जा सकता है।

अभ्यास से पता चला है कि लगातार समाधानएल्गोरिथ्म की मदद से प्रत्येक प्रमुख कार्य आपको चरणों में फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण को लिखने की क्षमता बनाने की अनुमति देता है, और एल्गोरिथम के चरण क्रियाओं के लिए मजबूत बिंदुओं के रूप में काम करते हैं। यह दृष्टिकोण P.Ya द्वारा विकसित मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन के सिद्धांत से मेल खाता है। गैल्परिन और एन.एफ. तालिज़िना।

पहले प्रकार के कार्यों में, दो प्रमुख कार्यों की पहचान की गई:

स्पर्शरेखा वक्र पर स्थित एक बिंदु से गुजरती है (समस्या 1);
स्पर्शरेखा उस बिंदु से गुजरती है जो वक्र पर नहीं है (समस्या 2)।

कार्य 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की बराबरी करें बिंदु M(3; - 2) पर।

समाधान। बिंदु M(3; - 2) संपर्क का बिंदु है, क्योंकि

1. ए = 3 - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. च(3) = - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 स्पर्शरेखा समीकरण है।

कार्य 2. बिंदु M(- 3; 6) से गुजरने वाले फलन y = - x 2 - 4x + 2 के ग्राफ पर सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए।

समाधान। बिंदु M(-3; 6) स्पर्शरेखा बिंदु नहीं है, क्योंकि f(-3) 6 (चित्र 2)।

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - स्पर्शरेखा समीकरण।

स्पर्शरेखा बिंदु M(-3; 6) से गुजरती है, इसलिए इसके निर्देशांक स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

6 = - ए 2 - 4 ए + 2 - 2 (ए + 2) (- 3 - ए),
ए 2 + 6 ए + 8 = 0 ^ ए 1 = - 4, ए 2 = - 2।

यदि a = - 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण y = 4x + 18 है।

यदि a \u003d - 2, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप y \u003d 6 है।

दूसरे प्रकार में, मुख्य कार्य निम्नलिखित होंगे:

स्पर्शरेखा किसी सीधी रेखा के समानांतर है (समस्या 3);
स्पर्शरेखा दी गई रेखा से किसी कोण पर गुजरती है (समस्या 4)।

कार्य 3. फ़ंक्शन y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 के ग्राफ़ के सभी स्पर्शरेखाओं के समीकरणों को रेखा y \u003d 9x + 1 के समानांतर लिखें।

1. ए - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. एफ (ए) = ए 3 - 3 ए 2 + 3।
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a।

लेकिन, दूसरी ओर, f "(a) \u003d 9 (समानांतरता की स्थिति)। तो, हमें समीकरण 3a 2 - 6a \u003d 9 को हल करने की आवश्यकता है। इसकी जड़ें a \u003d - 1, a \u003d 3 (चित्र। 3))।

4. 1) ए = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) एफ "(- 1) = 9;
4) वाई = - 1 + 9 (एक्स + 1);

y = 9x + 8 स्पर्शरेखा समीकरण है;

1) ए = 3;
2) च(3) = 3;
3) एफ "(3) = 9;
4) वाई = 3 + 9 (एक्स - 3);

y = 9x - 24 स्पर्शरेखा समीकरण है।

कार्य 4। फ़ंक्शन y = 0.5x 2 - 3x + 1 के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें, जो 45 ° के कोण पर सीधी रेखा y = 0 (चित्र 4) से गुजरता है।

समाधान। स्थिति से f "(a) \u003d tg 45 ° हम पाते हैं: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. ए = 4 - स्पर्श बिंदु का भुज।
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. च "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. वाई \u003d - 3 + 1 (एक्स - 4)।

y \u003d x - 7 - स्पर्शरेखा का समीकरण।

यह दिखाना आसान है कि किसी भी अन्य समस्या का समाधान एक या कई प्रमुख समस्याओं के समाधान में कम हो जाता है। एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित दो समस्याओं पर विचार करें।

1. परवलय y = 2x 2 - 5x - 2 की स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए, यदि स्पर्श रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनमें से एक भुज 3 (चित्र 5) के साथ बिंदु पर परवलय को स्पर्श करती है।

समाधान। चूंकि संपर्क बिंदु का भुज दिया गया है, समाधान के पहले भाग को मुख्य समस्या 1 में घटा दिया गया है।

1. ए = 3 - पक्षों में से एक के स्पर्श बिंदु का भुज समकोण.
2. च(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - पहली स्पर्शरेखा का समीकरण।

मान लीजिए a पहली स्पर्शरेखा का ढाल है। चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं, तो दूसरी स्पर्शरेखा का झुकाव कोण है। पहली स्पर्श रेखा के समीकरण y = 7x - 20 से हमें tg a = 7 प्राप्त होता है। खोजें

इसका मतलब है कि दूसरी स्पर्शरेखा का ढलान है।

आगे के समाधान को मुख्य कार्य 3 में घटा दिया गया है।

मान लीजिए B(c; f(c)) दूसरी रेखा का स्पर्शरेखा बिंदु है, तो

1. - संपर्क के दूसरे बिंदु का भुज।
2.
3.
4.
दूसरी स्पर्शरेखा का समीकरण है।

टिप्पणी। टेंगेंट का कोणीय गुणांक आसान पाया जा सकता है यदि छात्र लंबवत रेखाओं के गुणांक के अनुपात को जानते हैं k 1 k 2 = - 1।

2. फलन ग्राफ़ की सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए

समाधान। सामान्य स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदुओं के एब्सिस को खोजने के लिए कार्य को कम किया जाता है, अर्थात, मुख्य समस्या 1 को सामान्य रूप में हल करना, समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करना और फिर इसे हल करना (चित्र 6)।

1. मान लीजिए कि फलन y = x 2 + x + 1 के ग्राफ पर स्थित स्पर्श बिंदु का भुज a है।
2. एफ (ए) = ए 2 + ए + 1।
3. एफ "(ए) = 2 ए + 1।
4. वाई \u003d ए 2 + ए + 1 + (2 ए + 1) (एक्स - ए) \u003d (2 ए + 1) एक्स + 1 - ए 2.

1. मान लीजिए c फलन के ग्राफ पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदु का भुज है
2.
3. एफ "(सी) = सी।
4.

चूँकि स्पर्श रेखाएँ उभयनिष्ठ हैं, तो

अतः y = x + 1 और y = - 3x - 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

विचार किए गए कार्यों का मुख्य लक्ष्य छात्रों को अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय महत्वपूर्ण कार्य के प्रकार की आत्म-पहचान के लिए तैयार करना है, जिसके लिए कुछ शोध कौशल (विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्य करने, एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की क्षमता, आदि) की आवश्यकता होती है। ऐसे कार्यों में कोई भी कार्य शामिल होता है जिसमें मुख्य कार्य को एक घटक के रूप में शामिल किया जाता है। आइए एक उदाहरण के रूप में समस्या (समस्या 1 के विपरीत) पर विचार करें कि इसके स्पर्शरेखा के परिवार से एक फ़ंक्शन का पता लगाना है।

3. फ़ंक्शन y \u003d x 2 + bx + c के ग्राफ़ के लिए y \u003d x और y \u003d - 2x स्पर्शरेखा रेखाएँ b और c किसके लिए हैं?

मान लीजिए t परवलय y = x 2 + bx + c के साथ रेखा y = x के संपर्क बिंदु का भुज है; p रेखा y = - 2x के परवलय y = x 2 + bx + c के संपर्क बिंदु का भुज है। तब स्पर्शरेखा समीकरण y = x, y = (2t + b)x + c - t 2 का रूप लेगा, और स्पर्शरेखा समीकरण y = - 2x, y = (2p + b)x + c - p 2 का रूप लेगा। .

समीकरणों की एक प्रणाली लिखें और हल करें

उत्तर:

स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है , जो एक बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्पर्श करता है और सभी बिंदु जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ से सबसे छोटी दूरी पर होते हैं। इसलिए, स्पर्शरेखा एक निश्चित कोण पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा से गुजरती है और कई स्पर्शरेखा विभिन्न कोणों पर स्पर्शरेखा बिंदु से नहीं गुजर सकती हैं। स्पर्शरेखा समीकरण और फ़ंक्शन के सामान्य के समीकरणों को व्युत्पन्न का उपयोग करके संकलित किया जाता है।

स्पर्शरेखा समीकरण सरल रेखा समीकरण से लिया गया है .

हम स्पर्शरेखा के समीकरण को प्राप्त करते हैं, और फिर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य के समीकरण को प्राप्त करते हैं।

आप = केएक्स + बी .

उसमें क- कोणीय गुणांक।

यहां से हमें निम्नलिखित प्रविष्टि मिलती है:

आप - आप 0 = क(एक्स - एक्स 0 ) .

व्युत्पन्न मूल्य एफ "(एक्स 0 ) कार्यों आप = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्स0 ढलान के बराबर क= टीजी φ एक बिंदु के माध्यम से खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा एम0 (एक्स 0 , आप 0 ) , कहाँ पे आप0 = एफ(एक्स 0 ) . यह क्या है ज्यामितीय अर्थयौगिक .

इस प्रकार, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं कपर एफ "(एक्स 0 ) और निम्नलिखित प्राप्त करें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण :

आप - आप 0 = एफ "(एक्स 0 )(एक्स - एक्स 0 ) .

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के कार्यों में (और हम जल्द ही उन पर आगे बढ़ेंगे), उपरोक्त सूत्र से प्राप्त समीकरण को लाने की आवश्यकता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण. ऐसा करने के लिए, आपको सभी अक्षरों और संख्याओं को समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित करना होगा, और दाईं ओर शून्य छोड़ना होगा।

अब सामान्य समीकरण के बारे में। सामान्य स्पर्शरेखा के लंबवत फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। सामान्य समीकरण :

(एक्स - एक्स 0 ) + एफ "(एक्स 0 )(आप - आप 0 ) = 0

पहले उदाहरण को गर्म करने के लिए, आपको इसे स्वयं हल करने के लिए कहा जाता है, और फिर समाधान को देखें। यह आशा करने का हर कारण है कि यह कार्य हमारे पाठकों के लिए "ठंडा स्नान" नहीं होगा।

उदाहरण 0.एक बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य के समीकरण के समीकरण की रचना करें एम (1, 1) .

उदाहरण 1फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण और सामान्य के समीकरण की रचना करें यदि स्पर्श बिंदु का भुज है।

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

अब हमारे पास वह सब कुछ है जिसे स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक संदर्भ में दी गई प्रविष्टि में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हम पाते हैं

इस उदाहरण में, हम भाग्यशाली थे: ढलान शून्य के बराबर निकला, इसलिए समीकरण को अलग से लाएं सामान्य दृष्टि सेकी जरूरत नहीं थी। अब हम सामान्य समीकरण लिख सकते हैं:

नीचे दिए गए चित्र में: फ़ंक्शन का ग्राफ़ बरगंडी, स्पर्शरेखा हरा रंग, सामान्य नारंगी है।

अगला उदाहरण भी जटिल नहीं है: फ़ंक्शन, पिछले एक की तरह, भी एक बहुपद है, लेकिन ढलान गुणांक शून्य के बराबर नहीं होगा, इसलिए एक और कदम जोड़ा जाएगा - समीकरण को सामान्य रूप में लाना।

उदाहरण 2

समाधान। आइए स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें, अर्थात स्पर्शरेखा का ढलान:

हम "रिक्त सूत्र" में प्राप्त सभी डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और स्पर्शरेखा समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम समीकरण को एक सामान्य रूप में लाते हैं (हम बाईं ओर शून्य के अलावा सभी अक्षरों और संख्याओं को एकत्र करते हैं, और दाईं ओर शून्य छोड़ देते हैं):

हम सामान्य के समीकरण की रचना करते हैं:

उदाहरण 3स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य का समीकरण यदि संपर्क बिंदु का भुज है।

समाधान। आइए स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

हम स्पर्शरेखा का समीकरण पाते हैं:

समीकरण को एक सामान्य रूप में लाने से पहले, आपको इसे थोड़ा "गठबंधन" करने की आवश्यकता है: शब्द को 4 से गुणा करें। हम ऐसा करते हैं और समीकरण को एक सामान्य रूप में लाते हैं:

हम सामान्य के समीकरण की रचना करते हैं:

उदाहरण 4स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य का समीकरण यदि संपर्क बिंदु का भुज है।

समाधान। आइए स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

हमें स्पर्शरेखा समीकरण मिलता है:

हम समीकरण को एक सामान्य रूप में लाते हैं:

हम सामान्य के समीकरण की रचना करते हैं:

स्पर्शरेखा और सामान्य समीकरण लिखते समय एक सामान्य गलती यह नहीं है कि उदाहरण में दिया गया फ़ंक्शन जटिल है और एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में इसके व्युत्पन्न की गणना करें। निम्नलिखित उदाहरण पहले से ही हैं जटिल कार्य(संबंधित पाठ एक नई विंडो में खुलेगा)।

उदाहरण 5स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य का समीकरण यदि संपर्क बिंदु का भुज है।

समाधान। आइए स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात करें:

ध्यान! यह समारोह- जटिल, स्पर्शरेखा के तर्क के बाद से (2 एक्स) स्वयं एक फ़ंक्शन है। इसलिए, हम एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं।

स्पर्शरेखावक्र के एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और इस बिंदु पर इसके साथ पहले क्रम तक मेल खाती है (चित्र 1)।

अन्य परिभाषा: यह . पर secant की सीमा स्थिति है एक्स→0.

व्याख्या: एक रेखा लीजिए जो वक्र को दो बिंदुओं पर काटती है: लेकिनतथा बी(तस्वीर देखो)। यह एक सेकेंट है। हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएंगे जब तक कि इसमें केवल एक ही न हो आम बातएक वक्र के साथ। तो हमें एक स्पर्शरेखा मिलती है।

स्पर्शरेखा की सख्त परिभाषा:

कार्य करने के लिए स्पर्शरेखा ग्राफ एफ, एक बिंदु पर अवकलनीय एक्सके बारे में, बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है ( एक्सके बारे में; एफ(एक्सके बारे में)) और ढलान वाले एफ′( एक्सके बारे में).

ढलान की एक सीधी रेखा होती है वाई =केएक्स +बी. गुणक कऔर है ढलान कारकयह सीधी रेखा।

कोणीय गुणांक स्पर्शरेखा के बराबर होता है न्यून कोणभुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा द्वारा निर्मित:

क = tgα

यहाँ कोण α रेखा . के बीच का कोण है वाई =केएक्स +बीऔर x-अक्ष की धनात्मक (अर्थात वामावर्त) दिशा। यह कहा जाता है झुकाव का कोण सीधा(चित्र 1 और 2)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है वाई =केएक्स +बीतीव्र है, तो ढाल एक धनात्मक संख्या है। ग्राफ बढ़ता है (चित्र 1)।

यदि झुकाव का कोण सीधा है वाई =केएक्स +बीअधिक है, तो ढाल एक ऋणात्मक संख्या है। ग्राफ घट रहा है (चित्र 2)।

यदि रेखा x-अक्ष के समांतर है, तो रेखा का ढाल शून्य है। इस स्थिति में, रेखा का ढाल भी शून्य होता है (क्योंकि शून्य की स्पर्श रेखा शून्य होती है)। सीधी रेखा का समीकरण y = b जैसा दिखेगा (चित्र 3)।

यदि एक सीधी रेखा का झुकाव कोण 90º (π/2) है, अर्थात यह x-अक्ष पर लंबवत है, तो सीधी रेखा समानता द्वारा दी जाती है एक्स =सी, कहाँ पे सी- कुछ वास्तविक संख्या (चित्र 4)।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरणआप = एफ(एक्स) बिंदु पर एक्सके बारे में:

उदाहरण : आइए समीकरण खोजेंफ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा एफ(एक्स) = एक्स 3 – 2एक्स 2 + 1 बिंदु पर भुज 2 के साथ।

समाधान ।

हम एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं।

1) स्पर्श बिंदु एक्सके बारे मेंबराबर 2. गणना करें एफ(एक्सके बारे में):

एफ(एक्सके बारे में) = एफ(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) खोजें एफ′( एक्स) ऐसा करने के लिए, हम पिछले अनुभाग में उल्लिखित विभेदीकरण सूत्रों का उपयोग करते हैं। इन सूत्रों के अनुसार, एक्स 2 = 2एक्स, एक एक्स 3 = 3एक्स 2. माध्यम:

एफ′( एक्स) = 3एक्स 2 – 2 ∙ 2एक्स = 3एक्स 2 – 4एक्स.

अब, परिणामी मान का उपयोग करते हुए एफ′( एक्स), गणना करें एफ′( एक्सके बारे में):

एफ′( एक्सके बारे में) = एफ(2) = 3 2 2 - 4 ∙ 2 = 12 - 8 = 4।

3) तो, हमारे पास सभी आवश्यक डेटा हैं: एक्सके बारे में = 2, एफ(एक्सके बारे में) = 1, एफ ′( एक्सके बारे में) = 4. हम इन संख्याओं को स्पर्शरेखा समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और अंतिम हल पाते हैं:

वाई = एफ(एक्सके बारे में) + एफ′( एक्सके बारे में) (एक्स - एक्स ओ) \u003d 1 + 4 (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

उत्तर: y \u003d 4x - 7.

उदाहरण 1एक समारोह दिया एफ(एक्स) = 3एक्स 2 + 4एक्स- 5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एफ(एक्स) भुज के साथ ग्राफ के बिंदु पर एक्स 0 = 1.

समाधान।फ़ंक्शन व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर . आइए इसे ढूंढते हैं:

= (3एक्स 2 + 4एक्स- 5)′ = 6 एक्स + 4.

फिर एफ(एक्स 0) = एफ(1) = 2; (एक्स 0) = = 10. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

आप = (एक्स 0) (एक्स – एक्स 0) + एफ(एक्स 0),

आप = 10(एक्स – 1) + 2,

आप = 10एक्स – 8.

उत्तर। आप = 10एक्स – 8.

उदाहरण 2एक समारोह दिया एफ(एक्स) = एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एफ(एक्स), रेखा के समानांतर आप = 2एक्स – 11.

= (एक्स 3 – 3एक्स 2 + 2एक्स+ 5)′ = 3 एक्स 2 – 6एक्स + 2.

चूँकि फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा है एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 रेखा के समानांतर है आप = 2एक्स– 11, तो इसका ढाल 2 है, अर्थात् ( एक्स 0) = 2. इस भुज को इस शर्त से ज्ञात कीजिए कि 3 एक्स– 6एक्स 0 + 2 = 2. यह समानता केवल के लिए मान्य है एक्स 0 = 0 और एक्स 0 = 2. चूंकि दोनों स्थितियों में एफ(एक्स 0) = 5, फिर सीधी रेखा आप = 2एक्स + बीफ़ंक्शन के ग्राफ़ को या तो बिंदु (0; 5) या बिंदु (2; 5) पर स्पर्श करता है।

पहले मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य है 5 = 2×0 + बी, कहाँ पे बी= 5, और दूसरे मामले में, संख्यात्मक समानता सत्य है 5 = 2 × 2 + बी, कहाँ पे बी = 1.

अत: दो स्पर्श रेखाएं हैं आप = 2एक्स+ 5 और आप = 2एक्स+ 1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एफ(एक्स) रेखा के समानांतर आप = 2एक्स – 11.

उत्तर। आप = 2एक्स + 5, आप = 2एक्स + 1.

उदाहरण 3एक समारोह दिया एफ(एक्स) = एक्स 2 – 6एक्स+ 7. आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें एफ(एक्स) बिंदु से गुजरना ए (2; –5).

समाधान।इसलिये एफ(2) -5, फिर बिंदु एफ़ंक्शन के ग्राफ से संबंधित नहीं है एफ(एक्स) होने देना एक्स 0 - स्पर्श बिंदु का भुज।

फ़ंक्शन व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर . आइए इसे ढूंढते हैं:

= (एक्स 2 – 6एक्स+ 1)′ = 2 एक्स – 6.

फिर एफ(एक्स 0) = एक्स– 6एक्स 0 + 7; (एक्स 0) = 2एक्स 0 - 6. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

आप = (2एक्स 0 – 6)(एक्स – एक्स 0) + एक्स– 6एक्स+ 7,

आप = (2एक्स 0 – 6)एक्स– एक्स+ 7.

बिंदु के बाद से एस्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है, तो संख्यात्मक समानता सत्य है

–5 = (2एक्स 0 - 6)×2– एक्स+ 7,

कहाँ पे एक्स 0 = 0 या एक्स 0 = 4. इसका मतलब है कि बिंदु के माध्यम से एफलन के ग्राफ़ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचना संभव है एफ(एक्स).

यदि एक एक्स 0 = 0, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है आप = –6एक्स+ 7. अगर एक्स 0 = 4, तो स्पर्शरेखा समीकरण का रूप होता है आप = 2एक्स – 9.

उत्तर। आप = –6एक्स + 7, आप = 2एक्स – 9.

उदाहरण 4दिए गए कार्य एफ(एक्स) = एक्स 2 – 2एक्स+ 2 और जी(एक्स) = –एक्स 2 - 3. आइए इन फलनों के ग्राफ़ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

समाधान।होने देना एक्स 1 - फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ वांछित रेखा के संपर्क बिंदु का भुज एफ(एक्स), एक एक्स 2 - फ़ंक्शन के ग्राफ के साथ एक ही रेखा के संपर्क बिंदु का भुज जी(एक्स).

फ़ंक्शन व्युत्पन्न एफ(एक्स) किसी भी x . के लिए मौजूद है आर . आइए इसे ढूंढते हैं:

= (एक्स 2 – 2एक्स+ 2)′ = 2 एक्स – 2.

फिर एफ(एक्स 1) = एक्स– 2एक्स 1 + 2; (एक्स 1) = 2एक्स 1 - 2. स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है:

आप = (2एक्स 1 – 2)(एक्स – एक्स 1) + एक्स– 2एक्स 1 + 2,

आप = (2एक्स 1 – 2)एक्स – एक्स+ 2. (1)

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें जी(एक्स):

= (–एक्स 2 - 3)′ = -2 एक्स.

Y \u003d f (x) और यदि इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा को फ़ंक्शन ग्राफ़ पर खींचा जा सकता है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो स्पर्शरेखा का ढलान f "(a) है। हम पहले ही इसका कई उपयोग कर चुके हैं समय। उदाहरण के लिए, 33 में यह स्थापित किया गया था, कि मूल में फ़ंक्शन y \u003d sin x (साइनसॉइड) का ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष के साथ 45 ° का कोण बनाता है (अधिक सटीक रूप से, ग्राफ पर स्पर्शरेखा मूल x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° का कोण बनाता है), और उदाहरण में दिए गए शेड्यूल पर 33 में से 5 अंक पाए गए कार्यों, जिसमें स्पर्शरेखा x-अक्ष के समानांतर है। उदाहरण 2 33 में, बिंदु x \u003d 1 पर फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण तैयार किया गया था (अधिक सटीक रूप से, बिंदु (1; 1) पर, लेकिन अधिक बार केवल भुज का मान इंगित किया जाता है, यह मानते हुए कि यदि भुज का मान ज्ञात है, तो कोटि का मान समीकरण y = f(x)) से ज्ञात किया जा सकता है। इस खंड में, हम किसी फलन के ग्राफ़ में स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एक एल्गोरिथम विकसित करेंगे।

मान लें कि फ़ंक्शन y \u003d f (x) और बिंदु M (a; f (a)) दिया गया है, और यह भी ज्ञात है कि f "(a) मौजूद है। आइए हम ग्राफ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें। दिया गया कार्यकिसी दिए गए बिंदु पर। यह समीकरण, किसी भी सीधी रेखा के समीकरण की तरह जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, का रूप y = kx + m है, इसलिए समस्या गुणांक k और m के मानों को खोजने की है।

ढलान k के साथ कोई समस्या नहीं है: हम जानते हैं कि k \u003d f "(a)। m के मान की गणना करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वांछित रेखा बिंदु M (a; f (a)) से होकर गुजरती है। इसका मतलब यह है कि यदि हम निर्देशांक M को एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें सही समानता मिलती है: f (a) \u003d ka + m, जहाँ से हम पाते हैं कि m \u003d f (a) - ka।
यह व्हेल गुणांक के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है समीकरणसीधा:

हमने बिंदु x \u003d a पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त किया है।
अगर कहें,
समीकरण (1) में पाया गया मान a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, हमें मिलता है: y \u003d 1 + 2 (x-f), यानी y \u003d 2x -1.
इस परिणाम की तुलना 33 के उदाहरण 2 में प्राप्त परिणाम से करें। स्वाभाविक रूप से, वही हुआ।
आइए हम फलन y \u003d tg x के मूल में ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें। हमारे पास है: इसलिए cos x f "(0) = 1. पाए गए मानों को a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: y \u003d x .
यही कारण है कि हमने निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से 15 (चित्र 62 देखें) में स्पर्शरेखा को 45 ° के कोण पर भुज अक्ष पर खींचा।
इन्हें सुलझाना काफी है सरल उदाहरण, हमने वास्तव में एक निश्चित एल्गोरिथम का उपयोग किया है, जो सूत्र (1) में अंतर्निहित है। आइए इस एल्गोरिथम को स्पष्ट करें।

ग्राफ़ y \u003d f (x) के लिए स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के समीकरण की रचना के लिए एल्गोरिदम

1) पत्र के साथ संपर्क के बिंदु के एब्सिस्सा को नामित करें।
2) 1 (ए) की गणना करें।
3) f "(x) खोजें और f" (a) की गणना करें।
4) प्राप्त संख्याओं को a, f(a), (a) को सूत्र (1) में रखें।

उदाहरण 1बिंदु x = 1 पर फलन के आलेख की स्पर्श रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।
आइए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, इस उदाहरण पर विचार करते हुए

अंजीर पर। 126 एक हाइपरबोला दिखाता है, एक सीधी रेखा y \u003d 2x निर्मित होती है।
चित्र उपरोक्त गणनाओं की पुष्टि करता है: वास्तव में, रेखा y \u003d 2-x बिंदु (1; 1) पर हाइपरबोला को छूती है।

उत्तर:वाई \u003d 2-एक्स।
उदाहरण 2फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं ताकि यह सीधी रेखा y \u003d 4x - 5 के समानांतर हो।
आइए समस्या के सूत्रीकरण को परिष्कृत करें। "एक स्पर्शरेखा खींचना" की आवश्यकता का अर्थ आमतौर पर "एक स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाना" है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि यदि कोई व्यक्ति स्पर्शरेखा के लिए एक समीकरण बनाने में सक्षम था, तो उसे इस पर निर्माण करने में कठिनाई होने की संभावना नहीं है कार्तिकये निर्देशांकउसके समीकरण के अनुसार सीधी रेखा।
आइए स्पर्शरेखा समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, इस उदाहरण पर विचार करते हुए, लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां अस्पष्टता है: स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है।
चलिए इस तरह बात करना शुरू करते हैं। वांछित स्पर्शरेखा सीधी रेखा y \u003d 4x-5 के समानांतर होनी चाहिए। दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके ढलान समान हों। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा का ढलान दी गई सीधी रेखा के ढलान के बराबर होना चाहिए: इस प्रकार, हम समीकरण f "(a) \u003d 4 से a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
हमारे पास है:
समीकरण से तो, दो स्पर्शरेखाएँ हैं जो समस्या की शर्तों को संतुष्ट करती हैं: एक बिंदु पर भुज 2 के साथ, दूसरा बिंदु पर भुज -2 के साथ।
अब आप एल्गोरिथम के अनुसार कार्य कर सकते हैं।

उदाहरण 3बिंदु (0; 1) से फलन के आलेख पर एक स्पर्श रेखा खींचिए
आइए स्पर्शरेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें, यह देखते हुए कि इस उदाहरण में ध्यान दें कि यहां, उदाहरण 2 में, स्पर्शरेखा बिंदु का भुज स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। फिर भी, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

शर्त के अनुसार, स्पर्शरेखा बिंदु (0; 1) से होकर गुजरती है। समीकरण (2) में x = 0, y = 1 के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, इस उदाहरण में, केवल एल्गोरिथम के चौथे चरण में हम स्पर्श बिंदु के एब्सिस्सा को खोजने में कामयाब रहे। मान a \u003d 4 को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अंजीर पर। 127 माना उदाहरण का एक ज्यामितीय चित्रण दिखाता है: फ़ंक्शन का एक ग्राफ

32 में हमने देखा कि एक फलन y = f(x) के लिए, जिसका एक निश्चित बिंदु x पर अवकलज है, सन्निकट समानता रखती है:

आगे के तर्क की सुविधा के लिए, हम संकेतन बदलते हैं: x के बजाय हम a लिखेंगे, इसके बजाय x लिखेंगे, और तदनुसार हम x-a लिखेंगे। तब ऊपर लिखी गई अनुमानित समानता का रूप लेगी:

अब अंजीर पर एक नज़र डालें। 128. बिंदु M (a; f (a)) पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। x-अक्ष पर a के निकट बिंदु x चिह्नित करें। यह स्पष्ट है कि f(x) निर्दिष्ट बिंदु x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कोटि है। और f (a) + f "(a) (x-a) क्या है? यह उसी बिंदु x के संगत स्पर्शरेखा की कोटि है - सूत्र देखें (1)। सन्निकट समानता (3) का क्या अर्थ है? फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करें, स्पर्शरेखा कोटि का मान लिया जाता है।

उदाहरण 4संख्यात्मक व्यंजक 1.02 7 का अनुमानित मान ज्ञात कीजिए।
हम बिंदु x \u003d 1.02 पर फ़ंक्शन y \u003d x 7 का मान ज्ञात करने की बात कर रहे हैं। हम इस उदाहरण में इस बात को ध्यान में रखते हुए सूत्र (3) का उपयोग करते हैं
परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो हमें मिलता है: 1.02 7 = 1.148685667...
जैसा कि आप देख सकते हैं, सन्निकटन सटीकता काफी स्वीकार्य है।
उत्तर: 1,02 7 =1,14.

ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित ग्रेड 10

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