यादृच्छिक चर: असतत और निरंतर।

स्टोकेस्टिक प्रयोग करते समय, प्राथमिक घटनाओं का एक स्थान बनता है - इस प्रयोग के संभावित परिणाम। ऐसा माना जाता है कि प्राथमिक घटनाओं के इस स्थान पर यादृच्छिक मूल्य X, यदि एक नियम (नियम) दिया गया है जिसके अनुसार प्रत्येक प्रारंभिक घटना को एक संख्या दी गई है। इस प्रकार, यादृच्छिक चर X को प्राथमिक घटनाओं के स्थान पर परिभाषित एक फलन के रूप में माना जा सकता है।

यादृच्छिक- एक मान जो, प्रत्येक परीक्षण के दौरान, एक या किसी अन्य संख्यात्मक मान पर ले जाता है (यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा है), यादृच्छिक कारणों के आधार पर जिन्हें पहले से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। यादृच्छिक चर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों और संभावित मानों द्वारा निरूपित किए जाते हैं अनियमित चर- छोटा। इसलिए, जब एक पासा फेंका जाता है, तो संख्या x से जुड़ी एक घटना घटित होती है, जहां x लुढ़के बिंदुओं की संख्या है। अंकों की संख्या एक यादृच्छिक मान है, और संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 इस मान के संभावित मान हैं। एक बंदूक से दागे जाने पर प्रक्षेप्य की दूरी भी एक यादृच्छिक चर है (यह दृष्टि की स्थापना, हवा की ताकत और दिशा, तापमान और अन्य कारकों पर निर्भर करता है), और संभावित मान इस मात्रा का एक निश्चित अंतराल (ए; बी) से संबंधित है।

असतत यादृच्छिक चर- एक यादृच्छिक चर जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक संभावित मान लेता है। असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या परिमित या अनंत हो सकती है।

■ सतत यादृच्छिक चरएक यादृच्छिक चर है जो कुछ परिमित या अनंत अंतराल से सभी मान ले सकता है। एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय गिराए गए अंकों की संख्या, नियंत्रण कार्य के लिए अंक असतत यादृच्छिक चर हैं; बंदूक से फायरिंग करते समय प्रक्षेप्य की दूरी, शैक्षिक सामग्री को आत्मसात करने के समय के संकेतक की माप त्रुटि, किसी व्यक्ति की ऊंचाई और वजन निरंतर यादृच्छिक चर होते हैं।

यादृच्छिक चर का वितरण नियम- यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार, अर्थात। प्रत्येक संभावित मान x i प्रायिकता p i से जुड़ा है जिसके साथ यादृच्छिक चर यह मान ले सकता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम सारणीबद्ध रूप से (तालिका के रूप में), विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और आलेखीय रूप से दिया जा सकता है।

मान लीजिए कि एक असतत यादृच्छिक चर X क्रमशः x 1 , x 2 , …, x n प्रायिकता p 1 , p 2 , …, p n के साथ मान लेता है, अर्थात। P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2 ,…, P(X=x n) = p n। इस मान के वितरण कानून के एक सारणीबद्ध असाइनमेंट के साथ, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान x 1, x 2, ..., x n, और दूसरी - उनकी संभावनाएं शामिल हैं

परीक्षण के परिणामस्वरूप, असतत यादृच्छिक चर X संभावित मानों में से एक और केवल एक लेता है, इसलिए घटनाएं X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n रूप पूरा समूहजोड़ीवार असंगत घटनाएँ, और इसलिए, इन घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है, अर्थात्। पी 1 + पी 2 + ... + पी एन \u003d 1.

असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम। बहुभुज (बहुभुज) वितरण।

जैसा कि आप जानते हैं, एक यादृच्छिक चर है चर, जो मामले के आधार पर कुछ मूल्यों को ग्रहण कर सकता है। यादृच्छिक चर निरूपित करते हैं बड़े अक्षरलैटिन वर्णमाला (X, Y, Z), और उनके मान - संगत निचला मामला(एक्स, वाई, जेड)। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।

एक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं वाले मानों का केवल एक परिमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमएक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित तरीकों में से एक में निर्दिष्ट किया जा सकता है।

1. वितरण नियम तालिका द्वारा दिया जा सकता है:

जहां >0, के = 0, 1, 2, ….

ग) वितरण फलन F(x) का उपयोग करते हुए, जो प्रत्येक मान x के लिए यह प्रायिकता निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान पर ले जाएगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).

फलन के गुण F(x)

3. वितरण कानून को ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है - एक वितरण बहुभुज (बहुभुज) द्वारा (कार्य 3 देखें)।

ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या अधिक संख्याओं को जानना पर्याप्त होता है जो वितरण कानून की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को दर्शाते हैं। यह एक संख्या हो सकती है जिसका एक यादृच्छिक चर के "औसत मूल्य" का अर्थ है, या एक संख्या जो अपने औसत मूल्य से यादृच्छिक चर के विचलन का औसत आकार दिखाती है। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर के संख्यात्मक अभिलक्षण कहते हैं।

असतत यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं:

• असतत यादृच्छिक चर M(X)=Σ x i p i की गणितीय अपेक्षा (औसत मान)।
  द्विपद बंटन के लिए M(X)=np, पॉइसन बंटन के लिए M(X)=λ
• एक असतत यादृच्छिक चर का फैलाव D(X)= M 2 या D(X) = M(X 2)− 2 । अंतर X-M(X) को एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन कहा जाता है।
  द्विपद बंटन के लिए D(X)=npq, पॉइसन बंटन के लिए D(X)=λ
• औसत मानक विचलन (मानक विचलन) (एक्स)=√डी(एक्स)।

परिवर्तनशील श्रृंखला की प्रस्तुति की स्पष्टता के लिए बहुत महत्वउसके ग्राफिक्स हैं। ग्राफिक रूप से, एक विविधता श्रृंखला को बहुभुज, एक हिस्टोग्राम और एक संचयी के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

एक वितरण बहुभुज (शाब्दिक रूप से, एक वितरण बहुभुज) को एक टूटी हुई रेखा कहा जाता है, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्मित होती है। विशेषता का मान एब्सिस्सा, संबंधित आवृत्तियों (या सापेक्ष आवृत्तियों) पर - कोर्डिनेट के साथ प्लॉट किया जाता है। बिंदु (या ) रेखाखंडों से जुड़े होते हैं और एक वितरण बहुभुज प्राप्त होता है। बहुधा, असतत का प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुभुज का उपयोग किया जाता है विविधता श्रृंखला, लेकिन उनका उपयोग इसके लिए भी किया जा सकता है अंतराल श्रृंखला. इस मामले में, इन अंतरालों के मध्य बिंदुओं के अनुरूप बिंदुओं को भुज अक्ष पर प्लॉट किया जाता है।

उत्तर: एक असंतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्ससंभावित मूल्यों के साथ। इनमें से प्रत्येक मान संभव है, लेकिन निश्चित नहीं है, और मान एक्सउनमें से प्रत्येक को कुछ संभावना के साथ स्वीकार कर सकते हैं। प्रयोग के परिणामस्वरूप, मान एक्सइनमें से कोई एक मान लेगा, यानी असंगत घटनाओं के पूरे समूह में से एक घटित होगा:

आइए हम इन घटनाओं की संभावनाओं को अक्षरों द्वारा निरूपित करें आरसंबंधित सूचकांक के साथ:

अर्थात्, विभिन्न मानों का संभाव्यता वितरण एक वितरण तालिका द्वारा दिया जा सकता है, जिसमें शीर्ष रेखा किसी दिए गए असतत यादृच्छिक चर द्वारा लिए गए सभी मानों को इंगित करती है, और नीचे की रेखा मानों की संभावनाओं को दर्शाती है। इसके अनुरूप। चूँकि असंगत घटनाएँ (3.1) एक पूर्ण समूह बनाती हैं, अर्थात्, यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है। निरंतर यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को तालिका के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऐसे यादृच्छिक चर के मूल्यों की संख्या सीमित अंतराल में भी अनंत है। साथ ही, किसी विशेष मान के प्राप्त होने की प्रायिकता शून्य होती है। एक यादृच्छिक चर पूरी तरह से एक संभाव्य दृष्टिकोण से वर्णित किया जाएगा यदि हम इस वितरण को निर्दिष्ट करते हैं, अर्थात, हम इंगित करते हैं कि प्रत्येक घटना की वास्तव में क्या संभावना है। यह एक यादृच्छिक चर के वितरण के तथाकथित कानून को स्थापित करेगा। एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून कोई भी संबंध है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। हम एक यादृच्छिक चर के बारे में कहेंगे कि यह दिए गए वितरण कानून के अधीन है। आइए हम उस रूप को स्थापित करें जिसमें एक असंतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम दिया जा सकता है एक्स।इस कानून को स्थापित करने का सबसे सरल रूप एक तालिका है जो एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं को सूचीबद्ध करती है:

हम ऐसी तालिका को यादृच्छिक चर के वितरण की श्रृंखला कहेंगे एक्स।

चावल। 3.1

वितरण श्रृंखला को अधिक दृश्य रूप देने के लिए, वे अक्सर इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व का सहारा लेते हैं: एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और इन मूल्यों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है। स्पष्टता के लिए, प्राप्त बिंदु सीधी रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं। ऐसी आकृति को वितरण बहुभुज कहते हैं (चित्र 3.1)। वितरण बहुभुज, साथ ही वितरण श्रृंखला, पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता है। यह वितरण के नियम का एक रूप है। कभी-कभी वितरण श्रृंखला की तथाकथित "यांत्रिक" व्याख्या सुविधाजनक हो जाती है। कल्पना कीजिए कि एकता के बराबर कुछ द्रव्यमान एब्सिस्सा अक्ष के साथ वितरित किया जाता है ताकि in एनअलग-अलग बिंदु केंद्रित होते हैं, क्रमशः, द्रव्यमान . फिर वितरण श्रृंखला को एक्स-अक्ष पर स्थित कुछ द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के रूप में व्याख्या किया जाता है।

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रेखांकन, वितरण कानून असतत मात्रातथाकथित वितरण बहुभुज के रूप में दिया गया है।

ग्राफिक छविवितरण श्रृंखला (चित्र 5 देखें) को वितरण बहुभुज कहा जाता है।

एक असंतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को चिह्नित करने के लिए, एक श्रृंखला (तालिका) और एक वितरण बहुभुज का अक्सर उपयोग किया जाता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इसकी छवि के लिए, बिंदु (Y Pi) (x - i Pa) बनाए जाते हैं और रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। वितरण बहुभुज एक यादृच्छिक चर के वितरण की प्रकृति का अनुमानित दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

स्पष्टता के लिए, एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को ग्राफिक रूप से भी चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए बिंदु (x /, p) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बनाए जाते हैं, और फिर वे रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी आकृति को वितरण कहा जाता है बहुभुज।

एम (एक्सएन; पीएन) (एलएस - - एक्सटी पीआई के संभावित मूल्य - संबंधित संभावनाएं) और उन्हें लाइन सेगमेंट से कनेक्ट करें। परिणामी आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है।

पासे पर अंकों के योग के प्रायिकता बंटन पर विचार करें। नीचे दिए गए आंकड़े एक, दो और तीन हड्डियों के मामले के लिए वितरण बहुभुज दिखाते हैं।

इस मामले में, एक यादृच्छिक वितरण बहुभुज के बजाय, एक वितरण घनत्व फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है, जिसे अंतर वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है और यह एक अंतर वितरण कानून है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर x (x Xr) के वितरण घनत्व को संभावना के अनुपात की सीमा के रूप में समझा जाता है कि x अंतराल (x, x - - Ax) से Ax में आता है, जब Al; शून्य हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण को चिह्नित करने के लिए, विभेदक फ़ंक्शन के अलावा, अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसे अक्सर वितरण फ़ंक्शन या अभिन्न वितरण कानून कहा जाता है।

इस तरह के एक निर्माण के साथ, अंतराल में गिरने की सापेक्ष आवृत्ति हिस्टोग्राम के संबंधित स्तंभों के क्षेत्रों के बराबर होगी, जैसे कि संभावनाएं संबंधित वक्रीय समलम्बाकार के क्षेत्रों के बराबर होती हैं। y कभी-कभी, तुलना की स्पष्टता के लिए, एक वितरण बहुभुज बनाया गया है, जो श्रृंखला में मध्य बिंदुओं को जोड़ता है ऊपरी आधारहिस्टोग्राम बार।

देने के लिए विभिन्न अर्थ 0 से z तक, प्रायिकताएँ PQ, P RF - Pp प्राप्त करें, जो आलेख पर अंकित हैं। दिया गया आर; i11, प्रायिकता बंटन का एक बहुभुज बनाइए।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून इसके संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच कोई पत्राचार है। कानून को सारणीबद्ध रूप से (वितरण श्रृंखला), ग्राफिक रूप से (वितरण बहुभुज, आदि) और विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

वितरण वक्र का पता लगाना, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर के वितरण को स्थापित करना, घटना की अधिक गहराई से जांच करना संभव बनाता है, जो इस विशेष वितरण श्रृंखला द्वारा पूरी तरह से व्यक्त होने से बहुत दूर है। चित्र में पाया गया समतल वितरण वक्र और आंशिक जनसंख्या के आधार पर निर्मित वितरण बहुभुज दोनों को प्रस्तुत करके शोधकर्ता स्पष्ट रूप से देख सकता है विशेषताएँअध्ययन के तहत घटना की विशेषता। इसके कारण, सांख्यिकीय विश्लेषण घटना में कुछ नियमित परिवर्तन से देखे गए डेटा के विचलन पर शोधकर्ता का ध्यान रोकता है, और शोधकर्ता को इन विचलन के कारणों का पता लगाने के कार्य का सामना करना पड़ता है।

फिर, इस अंतराल में प्रवाह के साथ महीनों की संख्या के अनुरूप, अंतराल के बीच से एब्सिसास (पैमाने पर) खींचे जाते हैं। इन भुजों के सिरे जुड़े हुए हैं और इस प्रकार, एक बहुभुज, या वितरण बहुभुज प्राप्त होता है।

एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का चित्रमय प्रतिनिधित्व देने वाले बिंदु कार्तिकये निर्देशांकपरिमाण मान - मूल्यों की संभावना, आमतौर पर रेखा खंडों से जुड़ी होती है और परिणामी कहलाती है ज्यामितीय आकृतिवितरण बहुभुज। अंजीर पर। तालिका 46 में 3 (साथ ही चित्र 4 और 5 में) केवल वितरण बहुभुज दिखाता है।

5.2. असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम। वितरण बहुभुज

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि एक असतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करने के लिए, इसके सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करने के लिए पर्याप्त है। वास्तव में, ऐसा नहीं है: यादृच्छिक चर में संभावित मूल्यों की समान सूची हो सकती है, लेकिन उनकी संभावनाएं भिन्न होती हैं। इसलिए, एक असतत यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करने के लिए, इसके सभी संभावित मूल्यों को सूचीबद्ध करना पर्याप्त नहीं है; किसी को उनकी संभावनाओं को भी इंगित करना चाहिए।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियमसंभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच पत्राचार का नाम दें; इसे सारणीबद्ध रूप से, विश्लेषणात्मक रूप से (सूत्र के रूप में) और ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

परिभाषा।कोई भी नियम (तालिका, कार्य, ग्राफ) जो आपको मनमानी घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है ए एस (एस- -अंतरिक्ष की घटनाओं का बीजगणित ), विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर या इन मूल्यों के एक सेट के व्यक्तिगत मूल्यों की संभावनाओं को दर्शाता है, कहा जाता है यादृच्छिक चर वितरण कानून(या केवल: वितरण) आर.वी. के बारे में ऐसा कहा जाता है कि "यह वितरण के दिए गए कानून का पालन करता है।"

होने देना एक्स- d.r.v., जो मान लेता है एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन,… (इन मानों का समुच्चय परिमित या गणनीय है) कुछ प्रायिकता के साथ पी मैं, कहाँ पे मैं = 1,2,…, एन,… डी.आर.वी. का वितरण कानून। सूत्र का उपयोग करके सेट करने के लिए सुविधाजनक पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं)कहाँ पे मैं = 1,2,…, एन,…, जो इस प्रायिकता को निर्धारित करता है कि, प्रयोग के परिणामस्वरूप, r.v. एक्सअर्थ पर ले जाएगा एक्स मैं. डी.आर.वी. के लिए एक्सवितरण कानून के रूप में दिया जा सकता है वितरण तालिका:

जब एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के कानून का एक सारणीबद्ध असाइनमेंट, तालिका की पहली पंक्ति में संभावित मान होते हैं, और दूसरी - उनकी संभावनाएं। ऐसी तालिका कहलाती है वितरण के निकट.

यह ध्यान में रखते हुए कि एक परीक्षण में यादृच्छिक चर एक और केवल एक संभावित मान लेता है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि घटनाएं एक्स = एक्स 1 , एक्स = एक्स 2 , ..., एक्स = एक्स एनएक पूरा समूह बनाएं; इसलिए, इन घटनाओं की संभावनाओं का योग, अर्थात। तालिका की दूसरी पंक्ति की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है, अर्थात .

यदि संभव मानों का समुच्चय एक्सअनंत (गणनीय), फिर श्रृंखला आर 1 + आर 2 + ... अभिसरण करता है और इसका योग एक के बराबर होता है।

उदाहरण।नकद लॉटरी में 100 टिकट जारी किए गए। 50 रूबल की एक जीत खेली जाती है। और 1 रगड़ की दस जीत। एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्स- एक लॉटरी टिकट के मालिक के लिए संभावित जीत की लागत।

समाधान।आइए संभावित मान लिखें एक्स: एक्स 1 = 50, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 0. इन संभावित मानों की प्रायिकताएँ हैं: आर 1 = 0,01, आर 2 = 0,01, आर 3 = 1 – (आर 1 + आर 2)=0,89.

आइए वांछित वितरण कानून लिखें:

नियंत्रण: 0.01 + 0.1 + 0.89 = 1.

उदाहरण।एक कलश में 8 गेंदें होती हैं, जिनमें से 5 सफेद और शेष काली होती हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। नमूने में सफेद गेंदों की संख्या के लिए वितरण कानून खोजें।

समाधान।आर.वी. के संभावित मान एक्स- नमूने में सफेद गेंदों की संख्या है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 1, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 3. उनकी प्रायिकताएँ क्रमशः होंगी

;
;
.

हम वितरण नियम को तालिका के रूप में लिखते हैं।

नियंत्रण:
.

डी.आर.वी. का वितरण नियम ग्राफिक रूप से सेट किया जा सकता है, यदि आरवी के संभावित मूल्यों को एब्सिस्सा अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और इन मूल्यों की संभावनाओं को ऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। एक बहुभुज रेखा जो क्रमिक रूप से बिंदुओं को जोड़ती है ( एक्स 1 , आर 1), (एक्स 2 , आर 2),... कहा जाता है बहुभुज(या बहुभुज) वितरण(चित्र 5.1 देखें)।

चावल। 5.1. वितरण बहुभुज

अब हम d.r.v की अधिक सटीक परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा।यादृच्छिक मूल्य एक्स असतत हैयदि संख्याओं का एक परिमित या गणनीय समुच्चय है एक्स 1 , एक्स 2 ,… ऐसा कि पी{एक्स = एक्स मैं } = पी मैं > 0 (मैं= 1,2,…) और पी 1 + पी 2 + आर 3 +… = 1.

आइए असतत r.v पर गणितीय संक्रियाओं को परिभाषित करें।

परिभाषा।जोड़ (अंतर, काम) डी.आर.वी. एक्स, जो मान लेता है एक्स मैंसंभावनाओं के साथ पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं }, मैं = 1, 2, …, एन, और डी.आर.वी. यू, जो मान लेता है आप जे संभावनाओं के साथ पी जे = पी{यू = आप जे }, जे = 1, 2, …, एम, d.r.v कहा जाता है। जेड = एक्स + यू (जेड = एक्स – यू, जेड = एक्स यू) मान लेना जेड आईजेयू = एक्स मैं + आप जे (जेड आईजेयू = एक्स मैं – आप जे , जेड आईजेयू = एक्स मैं  आप जे) संभावनाओं के साथ पी आईजेयू = पी{एक्स = एक्स मैं , यू = आप जे) सभी निर्दिष्ट मूल्यों के लिए मैंतथा जे. अगर कुछ राशि मेल खाती है एक्स मैं + आप जे (मतभेद एक्स मैं – आप जे, काम करता है एक्स मैं  आप जे) संबंधित संभावनाएं जुड़ती हैं।

परिभाषा।कामडी.आर.वी. पर के साथ संख्या d.r.v कहा जाता है सीएक्स, जो मान लेता है साथएक्स मैंसंभावनाओं के साथ पी मैं = पी{एक्स = एक्स मैं }.

परिभाषा।दो डी.आर.वी. एक्सतथा यूबुलाया स्वतंत्र, यदि घटनाएँ ( एक्स = एक्स मैं } = ए मैंतथा ( यू = आप जे } = बी जेकिसी के लिए स्वतंत्र मैं = 1, 2, …, एन, जे = 1, 2, …, एम, वह है

अन्यथा, आर.वी. बुलाया आश्रित. कई आर.वी. पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कहलाते हैं यदि उनमें से किसी का वितरण नियम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अन्य मात्राओं ने क्या संभावित मान लिए हैं।

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले वितरण कानूनों में से कुछ पर विचार करें।