एक मॉड्यूल युक्त रैखिक फ़ंक्शन प्लॉट करना। मॉड्यूल के साथ रैखिक फ़ंक्शन प्लॉट

मॉड्यूलो संकेत शायद गणित में सबसे दिलचस्प घटनाओं में से एक है। इस संबंध में, कई स्कूली बच्चों का सवाल है कि मॉड्यूल वाले कार्यों के ग्राफ कैसे बनाएं। आइए इस मुद्दे की विस्तार से जांच करें।

1. मॉड्यूल युक्त प्लॉटिंग फ़ंक्शन

उदाहरण 1

फलन y = x 2 - 8|x| . को आलेखित करें + 12.

समाधान।

आइए फ़ंक्शन की समता को परिभाषित करें। y(-x) का मान y(x) के मान के समान है, इसलिए दिया गया कार्ययहाँ तक की। तब इसका ग्राफ ओए अक्ष के संबंध में सममित है। हम x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 8x + 12 का एक ग्राफ बनाते हैं और नकारात्मक x (छवि 1) के लिए ओए के संबंध में सममित रूप से ग्राफ प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण 2

अगला ग्राफ y = |x 2 - 8x + 12| है।

- प्रस्तावित समारोह की सीमा क्या है? (वाई 0)।

- चार्ट कैसा है? (x-अक्ष के ऊपर या स्पर्श करना)।

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: वे फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 8x + 12 को प्लॉट करते हैं, ग्राफ़ के उस भाग को छोड़ देते हैं जो ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित होता है, और ग्राफ़ का वह भाग जो नीचे स्थित होता है एब्सिस्सा अक्ष को ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है (चित्र 2)।

उदाहरण 3

फलन y = |x 2 – 8|x| . को आलेखित करने के लिए + 12| परिवर्तनों का एक संयोजन करें:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 - 8|x| + 12|.

उत्तर : आकृति 3.

माना परिवर्तन सभी प्रकार के कार्यों के लिए मान्य हैं। आइए एक टेबल बनाएं:

2. सूत्र में "नेस्टेड मॉड्यूल" युक्त प्लॉटिंग फ़ंक्शन

हम पहले ही उदाहरण देख चुके हैं द्विघात फंक्शन, मॉड्यूल युक्त, साथ ही साथ सामान्य नियम y = f(|x|), y = |f(x)| . के रूप का आलेखन फलन और y = |f(|x|)|। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करते समय ये परिवर्तन हमारी सहायता करेंगे।

उदाहरण 4

y = |2 – |1 – |x||| के रूप के एक फलन पर विचार करें। फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाली अभिव्यक्ति में "नेस्टेड मॉड्यूल" होता है।

समाधान।

हम ज्यामितीय परिवर्तनों की विधि का उपयोग करते हैं।

आइए क्रमिक परिवर्तनों की एक श्रृंखला लिखें और संबंधित चित्र बनाएं (चित्र 4):

y = x → y = |x| → वाई = -|एक्स| → वाई = -|एक्स| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 -|1 - |x|||।

आइए उन मामलों पर विचार करें जब समरूपता और समानांतर अनुवाद परिवर्तन साजिश रचने की मुख्य तकनीक नहीं हैं।

उदाहरण 5

फॉर्म y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2 के एक फ़ंक्शन का ग्राफ बनाएं।

समाधान।

ग्राफ़ बनाने से पहले, हम उस सूत्र को बदल देते हैं जो फ़ंक्शन को परिभाषित करता है और दूसरा प्राप्त करता है विश्लेषणात्मक कार्यकार्य (चित्र। 5)।

y = (x 2 - 4)/√(x + 2) 2 = (x-2)(x + 2)/|x + 2|।

आइए हर में मॉड्यूल का विस्तार करें:

x > -2 के लिए, y = x - 2, और x . के लिए< -2, y = -(x – 2).

डोमेन डी (वाई) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞)।

रेंज ई (वाई) = (-4; +∞)।

जिन बिंदुओं पर ग्राफ निर्देशांक अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है: (0; -2) और (2; 0)।

अंतराल (-∞; -2) से सभी x के लिए फलन घटता है, x के लिए -2 से +∞ तक बढ़ता है।

यहां हमें मापांक के चिह्न को प्रकट करना था और प्रत्येक मामले के लिए फलन को प्लॉट करना था।

उदाहरण 6

फलन पर विचार करें y = |x + 1| - |x - 2|।

समाधान।

मॉड्यूल के संकेत का विस्तार करते हुए, सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना आवश्यक है।

चार संभावित मामले हैं:

(x + 1 - x + 2 = 3, x -1 और x ≥ 2 के साथ;

(-x - 1 + x - 2 = -3, x . के साथ< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, x -1 और x . के लिए< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, x . के साथ< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

तब मूल कार्य इस तरह दिखेगा:

(3, x 2 के लिए;

y = (-3, x . पर)< -1;

(2x - 1, -1 ≤ x . के साथ)< 2.

हमें एक टुकड़ा-वार दिया गया फलन मिला है, जिसका आलेख चित्र 6 में दिखाया गया है।

3. फॉर्म के कार्यों के ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम

वाई = ए 1 | एक्स - एक्स 1 | + ए 2 |एक्स - एक्स 2 | + … + ए एन | एक्स - एक्स एन | + कुल्हाड़ी + ख।

पिछले उदाहरण में, मॉड्यूल संकेतों का विस्तार करना काफी आसान था। यदि अधिक मात्रा में मॉड्यूल हैं, तो सबमॉड्यूल अभिव्यक्तियों के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना समस्याग्रस्त है। हम इस मामले में फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ कर सकते हैं?

ध्यान दें कि ग्राफ एक पॉलीलाइन है, जिसमें एब्सिसास -1 और 2 वाले बिंदुओं पर शिखर होते हैं। x = -1 और x = 2 के लिए, सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन शून्य के बराबर होते हैं। व्यावहारिक तरीकाहमने इस तरह के ग्राफ बनाने के लिए नियम का रुख किया:

y = a 1 |x - x 1 | . के रूप के एक फलन का आलेख + ए 2 |एक्स - एक्स 2 | + … + ए एन | एक्स - एक्स एन | + कुल्हाड़ी + बी अनंत अंत लिंक के साथ एक टूटी हुई रेखा है। ऐसी पॉलीलाइन का निर्माण करने के लिए, इसके सभी शीर्षों को जानना पर्याप्त है (वर्टेक्स एब्सिसस सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य हैं) और बाएं और दाएं अनंत लिंक पर प्रत्येक पर एक नियंत्रण बिंदु है।

एक कार्य।

फलन y = |x| . आलेखित करें + |x - 1| + |x + 1| और इसका सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन के शून्य: 0; -एक; 1. पॉलीलाइन के कोने (0; 2); (-13); (13)। नियंत्रण बिंदु दाईं ओर (2; 6), बाईं ओर (-2; 6)। हम एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 7)। न्यूनतम f(x) = 2.

क्या आपका कोई प्रश्न है? पता नहीं कैसे एक मापांक के साथ एक समारोह ग्राफ़ करने के लिए?
ट्यूटर की मदद लेने के लिए - रजिस्टर करें।

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एर्दनिगोरीएवा मरीना

यह कार्य 8वीं कक्षा में एक ऐच्छिक विषय के अध्ययन का परिणाम है। यह ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों और मॉड्यूल के साथ प्लॉटिंग के लिए उनके अनुप्रयोग को दर्शाता है। एक मॉड्यूल और उसके गुणों की अवधारणा पेश की जाती है। दिखाता है कि मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ कैसे बनाया जाता है विभिन्न तरीके: परिवर्तनों की मदद से और एक मॉड्यूल की अवधारणा के आधार पर। परियोजना का विषय गणित के पाठ्यक्रम में सबसे कठिन में से एक है, ऐच्छिक में विचार किए गए मुद्दों को संदर्भित करता है, गणित के उन्नत अध्ययन के साथ कक्षाओं में अध्ययन किया जाता है . फिर भी, परीक्षा में जीआईए के दूसरे भाग में ऐसे कार्य दिए जाते हैं। यह कार्य आपको यह समझने में मदद करेगा कि न केवल रैखिक, बल्कि अन्य कार्यों (द्विघात, व्युत्क्रमानुपाती, आदि) के मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ कैसे बनाया जाए। यह कार्य GIA और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा।

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मॉड्यूल के साथ एक रैखिक फ़ंक्शन के रेखांकन मरीना एर्डनिगोर्येवा का काम, एमकेओयू "कामिशोव्स्काया ओओएसएच" के 8 वीं कक्षा के छात्र, पर्यवेक्षक गोरियावा ज़ोया एर्डनिगोर्येवना, एमकेओयू "कामिशोवस्काया ओओएसएच" पी के गणित शिक्षक। काम्यशोवो, 2013

परियोजना का उद्देश्य: इस प्रश्न का उत्तर देना कि रेखांकन कैसे बनाया जाए रैखिक कार्यमॉड्यूल के साथ। परियोजना के उद्देश्य: इस मुद्दे पर साहित्य का अध्ययन करना। ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों और मॉड्यूल के साथ प्लॉटिंग के लिए उनके अनुप्रयोग का अध्ययन करना। एक मॉड्यूल और उसके गुणों की अवधारणा का अध्ययन करने के लिए। विभिन्न तरीकों से मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ बनाना सीखें।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक ऐसा फलन है जिसे y=kx के रूप के सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहाँ x एक स्वतंत्र चर है, k एक शून्येतर संख्या है।

आइए फलन y = x x 0 2 y 0 2 . को आलेखित करें

ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन नियम #1 फलन y = f (x) + k - एक रैखिक फलन का आलेख - फलन y = f (x) + k इकाई के O y अक्ष के समानांतर स्थानांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है जब k> 0 या |- k| k . पर O y अक्ष के अनुदिश नीचे की इकाइयाँ

आइए ग्राफ बनाएं y=x+3 y=x-2

नियम संख्या 2 फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d kf (x) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ को O y अक्ष के साथ a> 1 के लिए एक बार खींचकर और O y के साथ सिकुड़कर प्राप्त किया जाता है 0 स्लाइड 9 . पर एक बार अक्ष

आइए प्लॉट करें y=x y= 2 x

नियम संख्या 3 फ़ंक्शन y \u003d - f (x) का ग्राफ सममित रूप से ग्राफ y \u003d f (x) को O x अक्ष के बारे में प्रदर्शित करके प्राप्त किया जाता है

नियम संख्या 4 फलन y=f(-x) का ग्राफ सममित रूप से O अक्ष y के परितः फलन y = f (x) के ग्राफ को प्रदर्शित करके प्राप्त किया जाता है।

नियम संख्या 5 फलन y=f(x+c) का ग्राफ O x अक्ष के अनुदिश फलन y=f(x) के ग्राफ के समानांतर स्थानांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है यदि c 0 ।

आइए ग्राफ बनाएं y=f(x) y=f(x+2)

मापांक की परिभाषा एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मापांक संख्या a के बराबर है; एक ऋणात्मक संख्या a का मापांक इसके विपरीत धनात्मक संख्या -a के बराबर होता है। या, |a|=a अगर a 0 |a|=-a अगर a

मॉड्यूल के साथ रैखिक कार्यों के रेखांकन बनाए गए हैं: मॉड्यूल की परिभाषा का विस्तार करके ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करना।

नियम #6 फंक्शन ग्राफ y=|f(x)| निम्न प्रकार से प्राप्त किया जाता है: ग्राफ़ y=f(x) का भाग O x अक्ष के ऊपर स्थित होता है; O x अक्ष के नीचे स्थित भाग को O x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

फलन को प्लॉट करें y=-2| x-3|+4 बिल्ड y ₁=| एक्स | हम y₂= |x - 3 | . बनाते हैं → ऑक्स अक्ष के साथ +3 इकाइयों द्वारा समानांतर अनुवाद (दाईं ओर शिफ्ट) बिल्ड y =+2|x-3| → O y अक्ष के अनुदिश 2 गुना बढ़ाएँ = 2 y₂ बिल्ड y =-2|x-3| → भुज के बारे में समरूपता = - y₃ भवन y₅ =-2|x-3|+4 → समानांतर अनुवाद +4 इकाइयाँ O अक्ष के साथ y (शिफ्ट अप) = y +4

फलन का ग्राफ y =-2|x-3|+4

फलन का ग्राफ y= 3|х|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → 3 बार खींचना y₃=3|x| +2= y₄+2 → 2 यूनिट ऊपर शिफ्ट करें

नियम संख्या 7 फलन y=f(| x |) का ग्राफ फलन y=f(x) के ग्राफ से निम्नानुसार प्राप्त होता है: x > 0 के लिए, फलन का ग्राफ संरक्षित रहता है, और वही ग्राफ़ का हिस्सा O y अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होता है

फलन को प्लॉट करें y = || एक्स-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| वाई=||एक्स-1|-2|

फ़ंक्शन y=│f(│x│)│ के ग्राफ को प्लॉट करने के लिए एल्गोरिदम y=f(│x│) फ़ंक्शन को प्लॉट करें। फिर निर्मित ग्राफ के सभी भागों को अपरिवर्तित छोड़ दें जो x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं। एक्स अक्ष के नीचे स्थित भागों को इस अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है।

वाई=|2|एक्स|-3| निर्माण: a) y \u003d 2x-3 x\u003e 0 के लिए, b) y \u003d -2x-3 x स्लाइड 26 के लिए

नियम #8 व्यसन ग्राफ | y|=f(x) फलन y=f(x) के ग्राफ से प्राप्त होता है यदि सभी बिंदु जिनके लिए f(x) > 0 संरक्षित हैं और उन्हें x-अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थानांतरित भी किया जाता है।

समतल पर बिंदुओं के एक सेट की रचना करें जिसका कार्तीय निर्देशांक x और y समीकरण को संतुष्ट करता है |y|=||x-1|-1|।

| y|=||x-1| -1| हम दो ग्राफ बनाते हैं 1) y=||x-1|-1| और 2) y=-|| x-1|-1| y₁=|x| य=| एक्स-1 | → ऑक्स अक्ष के अनुदिश दायीं ओर 1 इकाई y₃ = | . शिफ्ट करें x -1 |- 1= → 1 इकाई नीचे शिफ्ट करें y = || x-1|- 1| → ग्राफ बिंदुओं की समरूपता जिसके लिए x . के संबंध में y₃ 0

समीकरण का ग्राफ |y|=||x-1|-1| हम निम्नानुसार प्राप्त करते हैं: 1) फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ बनाएं और इसके उस हिस्से को अपरिवर्तित छोड़ दें, जहां y≥0 2) ऑक्स अक्ष के बारे में समरूपता का उपयोग करके, y के अनुरूप ग्राफ का एक और भाग बनाएं

फलन y=|x | . को आलेखित करें - | 2 - एक्स | . समाधान। यहां मापांक का चिह्न दो अलग-अलग शब्दों में प्रवेश करता है और इसे हटा दिया जाना चाहिए। 1) सबमॉड्यूल व्यंजकों के मूल ज्ञात कीजिए: x=0, 2-x=0, x=2 2) अंतरालों पर चिह्नों को सेट करें:

फंक्शन ग्राफ

निष्कर्ष परियोजना का विषय गणित के पाठ्यक्रम में सबसे कठिन है, यह ऐच्छिक में विचार किए गए मुद्दों को संदर्भित करता है, इसका अध्ययन गणित के पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए कक्षाओं में किया जाता है। फिर भी, ऐसे कार्य GIA के दूसरे भाग में दिए गए हैं। यह काम आपको यह समझने में मदद करेगा कि न केवल रैखिक कार्यों के मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ बनाने के लिए, बल्कि अन्य कार्यों (द्विघात, व्युत्क्रमानुपाती, आदि) के भी। काम जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा और आपको गणित में उच्च अंक प्राप्त करने की अनुमति देगा।

साहित्य विलेंकिन एन.वाई.ए. , झोखोव वी.आई. गणित"। पाठ्यपुस्तक ग्रेड 6 मास्को। पब्लिशिंग हाउस "मेनमोसिन", 2010 विलेनकिन एन.वाईए।, विलेनकिन एल.एन., सुरविलो जी.एस. और अन्य। बीजगणित। ग्रेड 8: पाठ्यपुस्तक। गणित के गहन अध्ययन के साथ छात्रों और कक्षाओं के लिए एक मैनुअल। - मास्को। ज्ञानोदय, 2009 गेदुकोव आई.आई. "निरपेक्ष मूल्य"। मास्को। ज्ञानोदय, 1968। गुर्स्की आई.पी. "कार्य और रेखांकन"। मास्को। ज्ञानोदय, 1968। यशचिना एन.वी. मॉड्यूल युक्त ग्राफ बनाने की तकनीक। Zh / l "स्कूल में गणित", नंबर 3, 1994 बच्चों का विश्वकोश। मास्को। "शिक्षाशास्त्र", 1990। डायनकिन ई.बी., मोलचानोवा एस.ए. गणित की समस्याये. एम।, "नौका", 1993। पेट्राकोव आई.एस. कक्षा 8-10 में गणितीय वृत्त। एम।, "ज्ञानोदय", 1987। गैलिट्स्की एम.एल. और अन्य। ग्रेड 8-9 के लिए बीजगणित में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलगणित के गहन अध्ययन वाले छात्रों और कक्षाओं के लिए। - 12वीं एड। - एम .: ज्ञानोदय, 2006। - 301 पी। माक्रिचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी. बीजगणित: अतिरिक्त अध्याय स्कूल पाठ्यपुस्तकग्रेड 9: गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / जी.वी. डोरोफीव द्वारा संपादित। - एम .: ज्ञानोदय, 1997। - 224 पी। सैडकिना एन। मापांक / गणित के संकेत वाले रेखांकन और निर्भरता का निर्माण। - नंबर 33। - 2004. - पी.19-21।

पाठ 5

लक्ष्य: मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ को परिवर्तित करने के बुनियादी कौशल में महारत हासिल करें।

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का संचार

द्वितीय . कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन

1. प्रश्नों के उत्तर गृहकार्य(अनसुलझी समस्याओं का विश्लेषण)।

2. सामग्री के आत्मसात की निगरानी (लिखित सर्वेक्षण)।

विकल्प 1

एफ (x), फलन y = . को आलेखित करेंएफ (-एक्स) + 2?

2. फ़ंक्शन प्लॉट करें:

विकल्प 2

1. फलन y = . का ग्राफ जानने से कैसेएफ (x), फलन y = - को आलेखित करेंएफ (एक्स) - 1?

2. फ़ंक्शन प्लॉट करें:

III. नई सामग्री सीखना

पिछले पाठ की सामग्री से, यह देखा जा सकता है कि ग्राफ को बदलने की विधियाँ उनके निर्माण में अत्यंत उपयोगी हैं। इसलिए, हम मॉड्यूल वाले ग्राफ़ को परिवर्तित करने के मुख्य तरीकों पर भी विचार करेंगे। ये विधियां सार्वभौमिक हैं और किसी भी कार्य के लिए उपयुक्त हैं। निर्माण की सरलता के लिए, हम एक टुकड़े के अनुसार रैखिक फलन पर विचार करेंगेएफ (एक्स) गुंजाइश के साथडी (एफ ), जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। आइए मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ के तीन मानक परिवर्तनों पर विचार करें।

1) फलन y = | . को आलेखित करनाएफ(एक्स)|

एफ / (एक्स), अगर डीएक्स)> 0,

मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:इसका अर्थ है कि फलन y = | . को आलेखित करनाच (एक्स )| फ़ंक्शन y \u003d . के ग्राफ़ के एक भाग को सहेजना आवश्यक हैच (एक्स ), जिसके लिए y 0. फलन y = . के आलेख का वह भागएफ (x) जिसके लिए y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) फलन y = . को आलेखित करनाएफ(|एक्स|)

जी / ओ), अगर डीएक्स)> 0,

मॉड्यूल का विस्तार करें और प्राप्त करें:इसलिए, फलन y = . को आलेखित करने के लिएच(|x |) फ़ंक्शन y = . के ग्राफ के एक भाग को सहेजना आवश्यक हैएफ (x), जिसके लिए x 0. इसके अलावा, यह भाग y-अक्ष के संबंध में सममित रूप से बाईं ओर परिलक्षित होना चाहिए।

3) समीकरण को प्लॉट करना |y| =एफ (एक्स)

मॉड्यूल की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास वह हैएफ (x) 0 दो फलनों के आलेख बनाना आवश्यक है: y = f(x) और y=-f (एक्स)। इसका मतलब है कि समीकरण को प्लॉट करने के लिए |y| =एफ (x) फ़ंक्शन y \u003d . के ग्राफ़ के एक भाग को सहेजना आवश्यक हैएफ (x), जिसके लिए y 0. इसके अतिरिक्त, यह भाग x-अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से नीचे की ओर परावर्तित होना चाहिए।

ध्यान दें कि निर्भरता |y| =एफ (x) एक फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करता है, अर्थात x . के लिए∈ (-2.6; 1.4) प्रत्येक x मान दो y मानों से मेल खाता है। इसलिए, आंकड़ा बिल्कुल समीकरण का ग्राफ दिखाता है |у| =एफ (एक्स)।

हम अधिक प्लॉट करने के लिए मॉड्यूल के साथ ग्राफ़ को परिवर्तित करने के लिए विचार किए गए तरीकों का उपयोग करते हैं जटिल कार्यऔर समीकरण।

उदाहरण 1

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

हम इस फ़ंक्शन में पूर्णांक भाग का चयन करते हैंऐसा ग्राफ फ़ंक्शन y \u003d -1 / के ग्राफ़ को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता हैएक्स 2 यूनिट दाईं ओर और 1 यूनिट नीचे। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक अतिपरवलय है।

उदाहरण 2

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

विधि 1 के अनुसार, हम उदाहरण 1 से आलेख के भाग को सहेजते हैं, जिसके लिए y 0. आलेख का वह भाग जिसके लिए y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

उदाहरण 3

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

विधि 2 का उपयोग करके, हम उदाहरण 1 से ग्राफ के भाग को सहेजेंगे, जिसके लिए x 0. इसके अलावा, हम इस सहेजे गए भाग को y-अक्ष के सापेक्ष बाईं ओर मिरर करेंगे। हमें एक फ़ंक्शन ग्राफ़ मिलता है जो y-अक्ष के बारे में सममित है।

उदाहरण 4

आइए समीकरण का एक ग्राफ बनाएं

विधि 3 के अनुसार, हम उदाहरण 1 से ग्राफ़ के भाग को सहेजते हैं, जिसके लिए y 0. इसके अलावा, हम इस सहेजे गए भाग को एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से नीचे दर्शाते हैं। हमें इस समीकरण का आलेख प्राप्त होता है।

बेशक, ग्राफ़ को परिवर्तित करने की मानी गई विधियों का भी एक साथ उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण 5

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करते हैंउदाहरण 3 में निर्मित। इस ग्राफ को बनाने के लिए, हम ग्राफ 3 के उन हिस्सों को सहेजते हैं जिनके लिए y 0. ग्राफ 3 के वे भाग जिनके लिए y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

ऐसे मामलों में जहां मॉड्यूल एक अलग तरीके से निर्भर हैं (विधियों 1-3 की तुलना में), इन मॉड्यूल को खोलना आवश्यक है।

उदाहरण 6

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

व्यंजक x - 1 और x + 2 मॉड्यूल के संकेतों के तहत प्रवेश करने से उनके संकेत x = 1 और . पर बदलते हैंएक्स = -2 क्रमशः। आइए इन बिंदुओं को निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करें। वे इसे तीन अंतरालों में तोड़ते हैं। मॉड्यूल परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, आइए प्रत्येक अंतराल में मॉड्यूल का विस्तार करें।

हम पाते हैं:

1. कब

2. कब

3. कब

आइए चर x के अंतराल को ध्यान में रखते हुए, इन कार्यों के रेखांकन बनाएं, जिसमें मापांक के संकेत प्रकट हुए थे। हमें एक टूटी हुई रेखा मिलती है।

अक्सर, जब उनके प्रकटीकरण के लिए मॉड्यूल के साथ समीकरणों की साजिश रचते हैं, तो वे उपयोग करते हैं कार्तिकये निर्देशांक. आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 7

आइए समीकरण का एक ग्राफ बनाएं

व्यंजक y - x सरल रेखा y = x पर अपना चिन्ह बदलता है। आइए इस सीधी रेखा का निर्माण करें - पहले और तीसरे समन्वय कोणों का द्विभाजक। यह रेखा समतल के बिंदुओं को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है: 1 - रेखा y - x के ऊपर स्थित बिंदु; 2 - इस रेखा के नीचे स्थित बिंदु। आइए ऐसे क्षेत्रों में मॉड्यूल खोलें। क्षेत्र 1 में, उदाहरण के लिए, नियंत्रण बिंदु (0; 5) लें। हम देखते हैं कि इस बिंदु के लिए अभिव्यक्ति y - x\u003e 0. मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हमें मिलता है: y - x + y + x \u003d 4 याआप = 2. हम पहले क्षेत्र के भीतर ऐसी सीधी रेखा बनाते हैं। जाहिर है, क्षेत्र 2 में, व्यंजक y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. रैखिक भिन्नात्मक फलन और समीकरण को आलेखित करें:

4. फलन, समीकरणों, असमानताओं का आलेख आलेखित करें:

आठवीं। पाठ को सारांशित करना

मापांक के संकेत वाले कार्यों के रेखांकन का निर्माण।

मुझे आशा है कि आपने बिंदु 23 का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है और व्यू फंक्शन और ए के बीच के अंतर को समझ लिया है। आइए अब कुछ और उदाहरणों पर एक नज़र डालते हैं जो ग्राफ़ बनाते समय आपकी मदद कर सकते हैं।

उदाहरण 1. एक फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें

हमारे पास फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां।

1. हम पहले एक सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन, यानी एक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, इस भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करें। मैं आपको याद दिलाता हूं कि यह दो तरीकों से किया जा सकता है: अंश को हर से विभाजित करके "एक कॉलम में" या अंश को चित्रित करके ताकि एक अभिव्यक्ति जो हर के गुणक में दिखाई दे। चलिए दूसरे तरीके से पूरे पार्ट को सेलेक्ट करते हैं।

तो सबमॉड्यूल फ़ंक्शन का रूप है . इसलिए, इसका ग्राफ 1 इकाई को दाईं ओर और 3 इकाई ऊपर स्थानांतरित किए गए रूप का एक अतिपरवलय है।

आइए इस चार्ट का निर्माण करें।

2. वांछित फ़ंक्शन का ग्राफ प्राप्त करने के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के भाग को अपरिवर्तित छोड़ना आवश्यक है, जो ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है, और ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ का हिस्सा ऊपरी में सममित रूप से प्रदर्शित होना चाहिए आधा विमान। आइए करते हैं ये ट्रांसफॉर्मेशन।

चार्ट बनाया गया है।

एक्स-अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु के भुज की गणना समीकरण को हल करके की जा सकती है

वाई = 0, यानी। हमें वह मिलता है।

अब, ग्राफ के अनुसार, आप फ़ंक्शन के सभी गुणों को निर्धारित कर सकते हैं, सबसे छोटा और सबसे बड़ा मूल्यअंतराल पर कार्य करता है, एक पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करता है।

उदाहरण के लिए, आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं। "पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए एकसमीकरण का एक ही हल है?

आइए सीधे ड्रा करें वाई =एकपर विभिन्न मूल्यपैरामीटर एक. (निम्न चित्र में पतली लाल रेखाएँ)

यह देखा गया है कि यदि एक<0 , तो निर्मित फलन के ग्राफ और सीधी रेखा में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण का एक भी हल नहीं है।

यदि एक 0< एक<3 या ए>3, फिर सीधी रेखा वाई =एकऔर निर्मित ग्राफ में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं, अर्थात् समीकरण के दो हल हैं।

यदि ए = 0या ए = 3, तो समीकरण का एक ही हल है, क्योंकि इन मानों के लिए एककिसी फ़ंक्शन की रेखा और ग्राफ़ में ठीक एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

उदाहरण 2एक फ़ंक्शन प्लॉट करें

समाधान

आइए पहले x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। यदि, तो हमारा कार्य भी रूप लेता है, और वांछित कार्य प्रपत्र का एक कार्य है।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ बाईं ओर "निर्देशित" परवलय की शाखा है, जिसे 4 इकाइयों द्वारा स्थानांतरित किया गया है सही. (क्योंकि हम कल्पना कर सकते हैं ).

आइए इस फ़ंक्शन को प्लॉट करें

और हम इसके केवल उस हिस्से पर विचार करेंगे, जो ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित है। हम बाकी मिटा देंगे।

कृपया ध्यान दें कि हमने y-अक्ष पर स्थित आलेख बिंदु की कोटि के मान की गणना की है। ऐसा करने के लिए, x = 0 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करना पर्याप्त है। हमारे मामले में, at एक्स = 0प्राप्त वाई = 2.

आइए अब इसके लिए फंक्शन प्लॉट करें एक्स< 0 . ऐसा करने के लिए, हम ओए अक्ष के सापेक्ष, हमारे द्वारा पहले से निर्मित एक सममित रेखा का निर्माण करेंगे।

इस प्रकार, हमने वांछित फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया है।

उदाहरण 3. एक फलन का आलेख बनाइए

यह काम अब आसान नहीं रहा। हम देखते हैं कि मॉड्यूल के साथ दोनों प्रकार के फ़ंक्शन यहां मौजूद हैं: और, और। आइए क्रम में निर्माण करें:

सबसे पहले, आइए सभी मॉड्यूल के बिना फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें: फिर प्रत्येक तर्क के लिए मॉड्यूल जोड़ें। हमें फॉर्म का एक फंक्शन मिलता है, यानी। ऐसा ग्राफ बनाने के लिए, आपको ओए अक्ष के बारे में समरूपता लागू करने की आवश्यकता है। आइए एक बाहरी मॉड्यूल जोड़ें। अंत में, हमें वांछित फ़ंक्शन मिलता है। चूंकि यह फ़ंक्शन बाहरी मॉड्यूल का उपयोग करके पिछले एक से प्राप्त किया गया था, हमारे पास फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जिसका अर्थ है कि ऑक्स के संबंध में समरूपता लागू करना आवश्यक है।

अब ज्यादा।

यह एक फ्रैक्शनल लीनियर फंक्शन है, ग्राफ बनाने के लिए, आपको पूर्णांक भाग का चयन करना होगा, जो हम करेंगे।

इसका मतलब यह है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ फॉर्म का एक हाइपरबोला है जिसे 2 दाईं ओर और 4 नीचे स्थानांतरित किया गया है।

आइए निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक की गणना करें।

y = 0 x = 0 पर, इसलिए आलेख मूल बिंदु से होकर जाएगा।

2. अब फंक्शन प्लॉट करते हैं।

ऐसा करने के लिए, मूल ग्राफ़ में, पहले उस हिस्से को मिटा दें जो ओए अक्ष के बाईं ओर स्थित है:

, और फिर इसे Oy अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करें। कृपया ध्यान दें कि स्पर्शोन्मुख भी सममित रूप से प्रदर्शित होते हैं!

अब फंक्शन का अंतिम ग्राफ बनाते हैं: । ऐसा करने के लिए, हम ऑक्स अक्ष के ऊपर पड़े पिछले ग्राफ के हिस्से को अपरिवर्तित छोड़ देंगे, और ऑक्स अक्ष के नीचे क्या है, हम ऊपरी आधे विमान में सममित रूप से प्रदर्शित करेंगे। फिर से, यह न भूलें कि ग्राफ़ के साथ स्पर्शोन्मुख प्रदर्शित होते हैं!

चार्ट बनाया गया है।

उदाहरण 4: विभिन्न ग्राफ रूपांतरणों का उपयोग करते हुए, एक फलन प्लॉट करें

कुछ पूरी तरह से मुड़ और जटिल! मॉड्यूल के टन! और x-वर्ग का कोई मापांक नहीं है !!! निर्माण करना असंभव है!

तो या ऐसा कुछ औसत छात्र तर्क कर सकता है 8 वीं कक्षाचार्टिंग तकनीकों से अपरिचित।

लेकिन हम नहीं! क्योंकि हम फ़ंक्शन ग्राफ़ को बदलने के विभिन्न तरीके जानते हैं और हम मॉड्यूल के विभिन्न गुणों को भी जानते हैं।

तो, चलिए क्रम से शुरू करते हैं।

पहली समस्या x वर्ग के लिए एक मॉड्यूल की कमी है। कोई बात नहीं। हम जानते हैं कि । अच्छा। तो हमारे फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है . यह पहले से ही बेहतर है, क्योंकि ऐसा लगता है।

आगे। फ़ंक्शन में एक बाहरी मॉड्यूल होता है, इसलिए ऐसा लगता है कि आपको किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए नियमों का उपयोग करना होगा। आइए देखें कि एक सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन क्या है। यह प्रपत्र का एक कार्य है . यदि -2 के लिए नहीं, तो फ़ंक्शन में फिर से एक बाहरी मॉड्यूल होगा और हम जानते हैं कि फ़ंक्शन को कैसे ग्राफ़ करना है समरूपता का उपयोग करना। आह! लेकिन आखिरकार, अगर हम इसे बनाते हैं, तो इसे 2 इकाइयों से नीचे खिसकाने से हमें वह मिलता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं!

तो, कुछ उभरने लगा है। आइए ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए एल्गोरिथम बनाने का प्रयास करें।

1.

5. और अंत में . ऑक्स अक्ष के नीचे जो कुछ भी है वह ऊपरी आधे तल में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाएगा।

हुर्रे! शेड्यूल तैयार है!

चार्टिंग की आपकी कड़ी मेहनत के लिए शुभकामनाएँ!