संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणनफल ज्ञात करना। एलसीएम को खोजने के लिए कम से कम सामान्य गुणक, विधियाँ, उदाहरण ढूँढना

"एकाधिक संख्या" विषय का अध्ययन ग्रेड 5 . में किया जाता है माध्यमिक स्कूल. इसका लक्ष्य गणितीय गणनाओं के लिखित और मौखिक कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाओं को पेश किया गया है - "एकाधिक संख्या" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणक खोजने की तकनीक, विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता पर काम किया जाता है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है। इस पर ज्ञान को भिन्नों के साथ उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना करके सामान्य भाजक को खोजने की आवश्यकता है।

A का गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य होता है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या में अनंत गुणज होते हैं। इसे सबसे कम माना जाता है। एक गुणक स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता।

यह साबित करना आवश्यक है कि संख्या 125 संख्या 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करना होगा। यदि 125 शेष के बिना 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलसीएम की गणना करते समय, विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) के लिए एक सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) शेष के बिना दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) सबसे छोटी है इन दो संख्याओं में से कई।

एलसीएम (80, 20) = 80।

2. यदि दो में एक उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका LCM इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम (6, 7) = 42.

अंतिम उदाहरण पर विचार करें। 42 के संबंध में 6 और 7 भाजक हैं। वे बिना किसी शेषफल के एक गुणक को विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्म भाजक हैं। उनका गुणनफल सबसे अधिक संख्या (42) के बराबर है।

एक संख्या को अभाज्य कहा जाता है यदि वह केवल स्वयं या 1 से विभाज्य हो (3:1=3; 3:3=1)। बाकी को समग्र कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 9 42 के संबंध में भाजक है या नहीं।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक भाजक एक गुणक से भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या होती है जिससे प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, और गुणक स्वयं उस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एकतथा बी, उनके सबसे छोटे गुणज से गुणा करने पर, संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त होगा एकतथा बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स एलसीएम (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक सम्मिश्र संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणज निम्न प्रकार से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, इन्हें घातों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम (168, 180, 3024) = 15120।

गणितीय अभिव्यक्तियों और कार्यों के लिए बहुत अधिक अतिरिक्त ज्ञान की आवश्यकता होती है। एनओसी मुख्य में से एक है, विशेष रूप से अक्सर विषय में उपयोग किया जाता है। विषय का अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है, जबकि सामग्री को समझना विशेष रूप से कठिन नहीं है, शक्तियों और गुणन तालिका से परिचित व्यक्ति के लिए चयन करना मुश्किल नहीं होगा आवश्यक संख्याएँ और परिणाम खोजें।

परिभाषा

एक सामान्य गुणक एक संख्या है जिसे एक ही समय (ए और बी) में पूरी तरह से दो संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। बहुधा यह संख्या मूल संख्याओं a और b को गुणा करके प्राप्त की जाती है। संख्या विचलन के बिना, एक ही बार में दोनों संख्याओं से विभाज्य होनी चाहिए।

एनओसी इसके लिए स्वीकृत शब्द है छोटा शीर्षक, पहले अक्षरों से इकट्ठे हुए।

नंबर पाने के तरीके

एलसीएम खोजने के लिए, संख्याओं को गुणा करने की विधि हमेशा उपयुक्त नहीं होती है, यह साधारण एक-अंक या दो-अंकीय संख्याओं के लिए अधिक उपयुक्त होती है। यह कारकों में विभाजित करने के लिए प्रथागत है, जितनी बड़ी संख्या होगी, उतने अधिक कारक होंगे।

उदाहरण 1

सबसे सरल उदाहरण के लिए, स्कूल आमतौर पर साधारण, एक-अंकीय या दो-अंकीय संख्याएँ लेते हैं। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य को हल करने की आवश्यकता है, संख्या 7 और 3 में से कम से कम सामान्य गुणक खोजें, समाधान काफी सरल है, बस उन्हें गुणा करें। नतीजतन, संख्या 21 है, बस कोई छोटी संख्या नहीं है।

उदाहरण #2

दूसरा विकल्प बहुत अधिक कठिन है। संख्या 300 और 1260 दी गई है, LCM ज्ञात करना अनिवार्य है। कार्य को हल करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाओं को माना जाता है:

पहली और दूसरी संख्याओं का सरलतम गुणनखंडों में अपघटन। 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. पहला चरण पूरा हो चुका है।

दूसरे चरण में पहले से प्राप्त आंकड़ों के साथ काम करना शामिल है। प्राप्त संख्याओं में से प्रत्येक को अंतिम परिणाम की गणना में भाग लेना चाहिए। प्रत्येक कारक के लिए, घटनाओं की सबसे बड़ी संख्या मूल संख्याओं से ली जाती है। एनओसी है कुल गणना, इसलिए संख्याओं के गुणनखंडों को इसमें अंतिम तक दोहराया जाना चाहिए, यहां तक ​​कि वे जो एक प्रति में मौजूद हैं। दोनों प्रारंभिक संख्याओं में उनकी रचना संख्या 2, 3 और 5 है, अलग-अलग डिग्री में, 7 केवल एक मामले में है।

अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए, आपको समीकरण में प्रत्येक संख्या को उनकी सबसे बड़ी प्रतिनिधित्व शक्तियों में लेना होगा। यह केवल गुणा करने और उत्तर प्राप्त करने के लिए बनी हुई है, सही भरने के साथ, कार्य बिना स्पष्टीकरण के दो चरणों में फिट बैठता है:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) नॉक = 6300।

इतना ही सारा काम है, यदि आप गुणा करके वांछित संख्या की गणना करने की कोशिश करते हैं, तो उत्तर निश्चित रूप से सही नहीं होगा, क्योंकि 300 * 1260 = 378,000।

इंतिहान:

6300/300 = 21 - सच;

6300/1260 = 5 सही है।

परिणाम की शुद्धता की जाँच - LCM को दोनों मूल संख्याओं से विभाजित करके निर्धारित की जाती है, यदि संख्या दोनों मामलों में पूर्णांक है, तो उत्तर सही है।

गणित में एनओसी का क्या अर्थ है

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में एक भी बेकार कार्य नहीं है, यह कोई अपवाद नहीं है। इस संख्या का सबसे सामान्य उद्देश्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना है। आमतौर पर 5-6 . ग्रेड में क्या पढ़ा जाता है उच्च विद्यालय. यह अतिरिक्त रूप से सभी गुणकों के लिए एक सामान्य भाजक है, यदि ऐसी स्थितियाँ समस्या में हैं। ऐसा व्यंजक न केवल दो संख्याओं का, बल्कि बहुत का भी गुणज ढूंढ सकता है अधिक- तीन, पांच और इतने पर। जितनी अधिक संख्या - कार्य में उतनी ही अधिक क्रियाएं, लेकिन इससे जटिलता नहीं बढ़ती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 250, 600 और 1500 को देखते हुए, आपको उनका कुल LCM ज्ञात करना होगा:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - यह उदाहरण बिना किसी कमी के गुणनखंड का विस्तार से वर्णन करता है।

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

एक व्यंजक की रचना करने के लिए सभी कारकों का उल्लेख करना आवश्यक है, इस स्थिति में 2, 5, 3 दिए गए हैं - इन सभी संख्याओं के लिए अधिकतम डिग्री निर्धारित करना आवश्यक है।

ध्यान दें: सभी गुणकों को पूर्ण सरलीकरण में लाया जाना चाहिए, यदि संभव हो तो, एकल अंकों के स्तर तक विघटित होना चाहिए।

इंतिहान:

1) 3000/250 = 12 - सच;

2) 3000/600 = 5 - सत्य;

3) 3000/1500 = 2 सही है।

इस पद्धति के लिए किसी तरकीब या प्रतिभा स्तर की क्षमताओं की आवश्यकता नहीं है, सब कुछ सरल और स्पष्ट है।

एक और तरीका

गणित में, बहुत कुछ जुड़ा हुआ है, दो या दो से अधिक तरीकों से बहुत कुछ हल किया जा सकता है, वही कम से कम सामान्य गुणक, एलसीएम खोजने के लिए जाता है। सरल दो अंकों के मामले में निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है और एकल अंक. एक तालिका संकलित की जाती है जिसमें गुणक को लंबवत, गुणक को क्षैतिज रूप से दर्ज किया जाता है, और उत्पाद को स्तंभ के प्रतिच्छेदन कक्षों में दर्शाया जाता है। आप तालिका को एक पंक्ति के माध्यम से प्रतिबिंबित कर सकते हैं, एक संख्या ली जाती है और इस संख्या को पूर्णांक से गुणा करने के परिणाम एक पंक्ति में लिखे जाते हैं, 1 से अनंत तक, कभी-कभी 3-5 अंक पर्याप्त होते हैं, दूसरी और बाद की संख्याएं अधीन होती हैं एक ही कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के लिए। सब कुछ तब तक होता है जब तक एक सामान्य गुणक नहीं मिल जाता।

संख्या 30, 35, 42 को देखते हुए, आपको सभी संख्याओं को जोड़ने वाला LCM ज्ञात करना होगा:

1) 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, आदि के गुणज।

2) 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, आदि के गुणज।

3) 42 के गुणज: 84, 126, 168, 210, 252, आदि।

यह ध्यान देने योग्य है कि सभी संख्याएं काफी भिन्न हैं, उनमें से एकमात्र सामान्य संख्या 210 है, इसलिए यह एलसीएम होगा। इस गणना से जुड़ी प्रक्रियाओं में सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी है, जिसकी गणना समान सिद्धांतों के अनुसार की जाती है और अक्सर पड़ोसी समस्याओं का सामना करना पड़ता है। अंतर छोटा है, लेकिन काफी महत्वपूर्ण है, एलसीएम में एक संख्या की गणना शामिल है जो सभी दिए गए प्रारंभिक मूल्यों से विभाज्य है, और जीसीएम में गणना शामिल है सबसे बड़ा मूल्यजिससे मूल संख्याएँ विभाज्य होती हैं।

GCD सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

• दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए;
• सामान्य कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

GCD खोजने का एक उदाहरण:

संख्या 315 और 245 की GCD ज्ञात कीजिए।

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए:

3. सामान्य कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

जीसीडी(315; 245) = 5 * 7 = 35।

उत्तर: जीसीडी(315; 245) = 35।

एनओसी का पता लगाना

एलसीएम कम से कम सामान्य गुणक है।

अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए:

• संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;
• किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल कारकों को लिख सकेंगे;
• उनके साथ दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

एनओसी खोजने का एक उदाहरण:

संख्या 236 और 328 का LCM ज्ञात कीजिए:

1. हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल गुणनखंडों को लिखिए और दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़िए:

2; 2; 59; 2; 41.

3. परिणामी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

एलसीएम (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352।

उत्तर: एलसीएम(236; 328) = 19352।

दो संख्याओं का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) खोजने के लिए, आपको चाहिए:

2. प्राप्त प्रसारों में सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए (रेखांकित कीजिए)।

3. उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

दो संख्याओं का LCM (कम से कम सामान्य गुणक) खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करें।

2. उनमें से एक के प्रसार में दूसरी संख्या के विस्तार के वे गुणनखंड शामिल करें, जो पहली संख्या के विस्तार में नहीं हैं।

3. प्राप्त कारकों के उत्पाद की गणना करें।

किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। संख्याओं के समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या है जो समूह में प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होती है। कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। साथ ही, LCM की गणना कई अन्य विधियों का उपयोग करके की जा सकती है जो दो या अधिक संख्याओं के समूहों पर लागू होती हैं।

कदम

गुणकों की संख्या

इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो प्रत्येक 10 से कम होती हैं। यदि बड़ी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

• उदाहरण के लिए, संख्याओं 5 और 8 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। ये छोटी संख्याएँ हैं, इसलिए इस विधि का उपयोग किया जा सकता है।

1. किसी संख्या का गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। गुणन तालिका में कई संख्याएँ पाई जा सकती हैं।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं वे हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40।

2. संख्याओं की एक श्रृंखला लिखिए जो पहली संख्या के गुणज हों।संख्याओं की दो पंक्तियों की तुलना करने के लिए इसे पहली संख्या के गुणकों के अंतर्गत करें।

   • उदाहरण के लिए, जो संख्याएँ 8 के गुणज हैं वे हैं: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 और 64।

3. गुणजों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।कुल ज्ञात करने के लिए आपको गुणकों की लंबी श्रंखला लिखनी पड़ सकती है। गुणकों की दोनों श्रृंखलाओं में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या सबसे छोटी संख्या है।

   • उदाहरण के लिए, 5 और 8 के गुणकों की श्रृंखला में दिखाई देने वाली सबसे छोटी संख्या 40 है। इसलिए, 40, 5 और 8 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

   मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

   1. इन नंबरों को देखें।यहां वर्णित विधि का सबसे अच्छा उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ दी जाती हैं जो दोनों 10 से बड़ी होती हैं। यदि छोटी संख्याएँ दी गई हैं, तो एक अलग विधि का उपयोग करें।

      • उदाहरण के लिए, संख्याओं 20 और 84 का सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए। प्रत्येक संख्या 10 से बड़ी है, इसलिए इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

   2. पहली संख्या का गुणनखंड करें।अर्थात्, आपको ऐसी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है, जब गुणा करने पर आपको एक दी गई संख्या प्राप्त होती है। अभाज्य गुणनखंडों को खोजने के बाद, उन्हें एक समानता के रूप में लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)तथा 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10. इस प्रकार, संख्या 20 के अभाज्य गुणनखंड संख्या 2, 2 और 5 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   3. अभाज्य गुणनखंडों में दूसरी संख्या का गुणनखंड करें।इसे वैसे ही करें जैसे आपने पहली संख्या का गुणन किया है, यानी ऐसी अभाज्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर यह संख्या मिले।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\बार 6=42)तथा 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). इस प्रकार, संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 7, 3 और 2 हैं। उन्हें एक व्यंजक के रूप में लिखिए: .

   4. दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड लिखिए।गुणन संक्रिया के रूप में ऐसे कारकों को लिखिए। जब आप प्रत्येक गुणनखंड को लिखते हैं, तो उसे दोनों भावों में काट दें (ऐसे भाव जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का वर्णन करते हैं)।

      • उदाहरण के लिए, दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है, इसलिए लिखिए 2 × (\displaystyle 2\बार )और दोनों भावों में 2 को काट दें।
      • दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 का एक अन्य गुणनखंड है, इसलिए लिखिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2)और दूसरे 2 को दोनों भावों में काट दें।

   5. गुणन संक्रिया में शेष गुणनखंडों को जोड़ें।ये ऐसे गुणनखंड हैं जिन्हें दोनों व्यंजकों में काट नहीं दिया गया है, अर्थात ऐसे गुणनखंड जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ नहीं हैं।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\बार 2\गुना 5)दोनों दो (2) को काट दिया गया है क्योंकि वे सामान्य कारक हैं। गुणनखंड 5 को पार नहीं किया गया है, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5)
      • अभिव्यक्ति में 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\गुना 7\गुना 3\गुना 2)दोनों ड्यूस (2) को भी काट दिया जाता है। गुणनखंड 7 और 3 को काटकर नहीं निकाला जाता है, इसलिए गुणन संक्रिया इस प्रकार लिखिए: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3).

   6. कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें।ऐसा करने के लिए, लिखित गुणन संक्रिया में संख्याओं को गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\बार 2\गुना 5\गुना 7\गुना 3=420). अतः 20 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य 420 है।

   सामान्य भाजक ढूँढना

   1. एक ग्रिड बनाएं जैसे आप टिक-टैक-टो के खेल के लिए करेंगे।इस तरह के ग्रिड में दो समानांतर रेखाएँ होती हैं जो दो अन्य समानांतर रेखाओं के साथ (समकोण पर) प्रतिच्छेद करती हैं। इसके परिणामस्वरूप तीन पंक्तियाँ और तीन स्तंभ होंगे (ग्रिड बहुत कुछ # चिह्न जैसा दिखता है)। पहली पंक्ति और दूसरे कॉलम में पहली संख्या लिखें। पहली पंक्ति और तीसरे कॉलम में दूसरी संख्या लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में 18 लिखिए, और पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में 30 लिखिए।

   2. दोनों संख्याओं का भाजक ज्ञात कीजिए।इसे पहली पंक्ति और पहले कॉलम में लिख लें। अभाज्य भाजक की तलाश करना बेहतर है, लेकिन यह कोई पूर्वापेक्षा नहीं है।

      • उदाहरण के लिए, 18 और 30 सम संख्याएं हैं, इसलिए उनका सामान्य भाजक 2 है। इसलिए पहली पंक्ति और पहले कॉलम में 2 लिखें।

   3. प्रत्येक संख्या को पहले भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भागफल को संगत संख्या के नीचे लिखिए। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है।

      • उदाहरण के लिए, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), इसलिए 9 अंडर 18 लिखें।
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), अत: 15 के अंतर्गत 30 लिखें।

   4. दोनों भागफलों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।यदि ऐसा कोई भाजक नहीं है, तो अगले दो चरणों को छोड़ दें। अन्यथा, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में भाजक लिखिए।

      • उदाहरण के लिए, 9 और 15 3 से विभाज्य हैं, इसलिए दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में 3 लिखें।

   5. प्रत्येक भागफल को दूसरे भाजक से विभाजित करें।प्रत्येक भाग के परिणाम को संबंधित भागफल के अंतर्गत लिखें।

      • उदाहरण के लिए, 9 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), इसलिए 3 अंडर 9 लिखें।
      • 15 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), अत: 5 के अंतर्गत 15 लिखें।

   6. यदि आवश्यक हो, अतिरिक्त कोशिकाओं के साथ ग्रिड को पूरक करें।उपरोक्त चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि भागफल में एक सामान्य भाजक न हो।

   7. ग्रिड के पहले कॉलम और आखिरी पंक्ति में संख्याओं को सर्कल करें।फिर हाइलाइट की गई संख्याओं को गुणन संक्रिया के रूप में लिखें।

      • उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 3 पहले कॉलम में हैं, और संख्याएँ 3 और 5 अंतिम पंक्ति में हैं, इसलिए गुणन संक्रिया को इस प्रकार लिखें: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5).

   8. संख्याओं को गुणा करने का परिणाम ज्ञात कीजिए।यह दी गई दो संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करेगा।

      • उदाहरण के लिए, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\बार 3\गुना 3\गुना 5=90). अतः 18 और 30 का लघुत्तम समापवर्तक 90 है।

   यूक्लिड का एल्गोरिथम

   1. डिवीजन ऑपरेशन से जुड़ी शब्दावली याद रखें।लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जा रहा है। भाजक वह संख्या है जिससे भाग देना है। भागफल दो संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम है। शेष वह संख्या है जो दो संख्याओं को विभाजित करने पर बची है।

      • उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)विश्राम। 3:
        15 विभाज्य है
        6 भाजक है
        2 निजी है
        3 शेष है।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, इत्यादि को 5 का गुणज माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत गुणज होते हैं।

सामान्य बहु प्राकृतिक संख्या- एक संख्या जो उनके द्वारा शेष के बिना विभाज्य है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाजित होती है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। गुणक अभिलेख में निरूपित करते हैं बड़ा अक्षरप्रति।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के(6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना आवश्यक है।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में भिन्न भिन्न गुणनखंड हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, पहली सबसे बड़ी संख्या के विस्तार में जो गुणनखंड नहीं हैं, उन्हें रेखांकित करें और फिर उन्हें उसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

तो, प्रमुख कारकों का उत्पाद अधिकऔर दूसरी संख्या के गुणनखंड, जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, आप 16, 24, 36 संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं थे (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि संख्याओं में से एक को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि आपको पारस्परिक रूप से कम से कम सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है अभाज्य सँख्या, जिनके समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके उत्पाद के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम(10, 11) = 110।