هنگام پردازش سری های زمانی، باید حضور را در نظر گرفت خود همبستگیو خودرگرسیون، که در آن مقادیر سطح بعدی سری به مقادیر قبلی بستگی دارد.

خود همبستگی- پدیده رابطه بین سری: سری اصلی و همان سری نسبت به موقعیت اصلی با نقاط h در زمان جابجا شدند.

از نظر کمی، خودهمبستگی را می توان با استفاده از یک ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح این سری اندازه گیری کرد که چندین مرحله در زمان جابجا شده است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی به صورت زیر است:

این مقدار نامیده می شود ضریب خود همبستگیسطوح سری مرتبه اول، زیرا وابستگی بین سطوح مجاور سری و .

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب خود همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و با فرمول تعیین می شود:

جایی که

جابجایی بین سطوح مجاور یا جابجایی با هر تعداد دوره زمانی نامیده می شود اختلاف زمانی . با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از قابلیت اطمینان آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب در نظر گرفته می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از .

ویژگی های ضریب همبستگی.

1. ضریب همبستگی بر اساس قیاس با ساخته شده است ضریب خطیهمبستگی و بنابراین نزدیکی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد. برای برخی از سری‌های زمانی با روند غیرخطی قوی (مثلاً سهمی مرتبه دوم یا نمایی)، ضریب همبستگی سطوح سری اصلی ممکن است به صفر نزدیک شود.

2. با علامت ضریب خود همبستگی نمی توان در مورد روند افزایشی یا کاهشی سطوح سری نتیجه گیری کرد. بیشتر سری‌های زمانی داده‌های اقتصادی حاوی یک خودهمبستگی مثبت سطوح هستند، با این حال، ممکن است روند کاهشی داشته باشند.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. سفارشات نامیده می شود تابع همبستگی خودکارسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. همبستگی.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است، و در نتیجه تاخیری که در آن رابطه بین سطوح فعلی و قبلی سری نزدیک ترین است، تعیین کنیم. با استفاده از تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خودهمبستگی ترتیب بالاترین باشد، آنگاه سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب در نقاط زمانی است. اگر هیچ یک از ضرایب خودهمبستگی معنی دار نباشد، می توان یکی از دو فرض را در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا این سری حاوی یک روند غیرخطی قوی است که برای آن نیاز دارید. برای انجام تجزیه و تحلیل اضافی. بنابراین ضریب همبستگی سطوح و تابع همبستگی خودکارتوصیه می شود برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

مثال 3

اجازه دهید برخی از داده های مشروط (جدول 11) در مورد مقدار کل دریافت شده وجود داشته باشد محصولات قابل فروشبه انبار شرکت

جدول 11 - تعداد کل محصولات تجاری دریافتی در انبار.

اگر سری زمانی فقط شامل یک جزء تصادفی باشد، سطوح سری زمانی مستقل از یکدیگر خواهند بود. اگر سری زمانی حاوی یک روند یا نوسانات چرخه ای باشد، مقادیر هر سطح بعدی به سطوح قبلی بستگی دارد.

وابستگی همبستگی بین سطوح متوالی یک سری زمانی را خودهمبستگی سطوح سری می گویند.خود همبستگی را می توان کمی سازی کرد. برای انجام این کار، ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح همان سری را که با یک یا چند مرحله در زمان جابجا شده اند محاسبه کنید.

به عنوان مثال، منطقی است که فرض کنیم درآمد خانوار در سال جاری به درآمد خانوار در سال های قبل بستگی دارد. اجازه دهید ضریب همبستگی بین آنها را تعیین کنیم. فرمول کاری ضریب همبستگی خطی مشخص است

به عنوان یک عامل، درآمد دوره قبل را در نظر می گیریم ( در t-1، و در نتیجه درآمد دوره جاری ( در تی) سپس فرمول بالا شکل خواهد گرفت

سطح متوسط ​​برای سری اولیه دینامیک، بدون در نظر گرفتن سطح اول تعیین می شود.

a میانگین سطح برای یک سری از دینامیک جابجا شده توسط یک تاریخ است.

فاصله بین سطوح سری زمانی که ضریب همبستگی برای آنها تعیین می شود نامیده می شود تاخیر.فرمول بالا میزان خودهمبستگی بین سطوح مجاور یعنی با تاخیر 1 را تعیین می کند، بنابراین این ضریب را ضریب خودهمبستگی مرتبه اول می نامند. بیایید بگوییم r1= 0.98. مقدار به دست آمده حاکی از رابطه بسیار قوی بین درآمدهای دوره جاری و قبل و در نتیجه وجود روند خطی قوی در مجموعه است.

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. ضریب خود همبستگی مرتبه دوم نزدیکی رابطه بین سطوح را با تغییر دو تاریخ مشخص می کند، یعنی با تاخیر 2 و غیره.

با افزایش تاخیر، تعداد جفت هایی که ضریب خودهمبستگی برای آنها محاسبه می شود کاهش می یابد و در نتیجه قابلیت اطمینان ضرایب کاهش می یابد. بنابراین، برای اطمینان از پایایی آماری، تاخیر نباید بیشتر از آن باشد پ/ 4، کجا پتعداد سطوح است.

هنگام تجزیه و تحلیل ضرایب خودهمبستگی، موارد زیر را در نظر داشته باشید:

1. با فرمول ضریب همبستگی خطی تعیین می شود، بنابراین، تنگی رابطه خطی سطح فعلی و قبلی سری زمانی را اندازه می گیرد. برای سری های زمانی با روند غیر خطی قوی، ضریب همبستگی سطح می تواند نزدیک به صفر باشد.

2. علامت ضریب خود همبستگی نشان دهنده جهت روند در سری داده های اصلی (افزایش یا کاهش) نیست. اکثر سری های زمانی متغیرهای اقتصادی دارای یک خود همبستگی مثبت سطوح هستند، اما خود سری نیز می تواند روند منفی داشته باشد.

اگر ضرایب را بر اساس مقدار تاخیر (یعنی ضرایب مرتبه اول، دوم، سوم و غیره) مرتب کنیم، به دست می‌آییم. تابع همبستگی سری زمانی. نمودار وابستگی مقدار ضریب خودهمبستگی به تاخیر نامیده می شود همبستگی

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند که ساختار سری های زمانی آشکار شود. آشکار ساختن ساختار یک سری زمانی به معنای آشکار ساختن وجود یا عدم وجود اجزای اصلی آن (مولفه T - روند و S - جزء فصلی یا چرخه‌ای) است. این سری فقط می تواند شامل روند و اجزای تصادفی باشد. یا چرخه ای و تصادفی؛ ممکن است فقط شامل یک جزء تصادفی یا هر سه جزء به طور همزمان باشد.

اگر ضریب مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است.

اگر ضریب همبستگی خود سفارش به،سپس سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب است بهبنابراین، به عنوان مثال، اگر در تجزیه و تحلیل سری های زمانی، ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم بالاترین باشد، آنگاه این سری دارای چرخه هایی در دو دوره زمانی است، یعنی به اصطلاح ساختار دندان اره ای دارد. بالاترین ضریب مرتبه چهارم نشان دهنده وجود یک چرخه در سری در چهار نقطه (دوره) زمانی است. اگر هیچ یک از ضرایب از نظر آماری معنی دار نباشد، می توان مفروضات زیر را انجام داد:

1. سری شامل هیچ روند یا چرخه ای نیست، بلکه فقط از یک جزء تصادفی تشکیل شده است.

2. این سری شامل یک روند غیر خطی قوی است که برای شناسایی نیاز به تجزیه و تحلیل اضافی دارد.

هنگام مدل‌سازی سری‌های زمانی، موقعیت‌هایی وجود دارد که باقی‌مانده‌ها دارای روند یا چرخه هستند. در این مورد، باقیمانده ها مستقل نیستند، هر مقدار بعدی باقیمانده به مقدار قبلی بستگی دارد. این پدیده نامگذاری شده است خود همبستگی باقیمانده ها

اجازه دهید دلایل وجود خودهمبستگی باقیمانده ها را نام ببریم:

1. مدل شامل عاملی نیست که تأثیر قابل توجهی بر نتیجه داشته باشد. تأثیر آن در باقیمانده ها منعکس خواهد شد، یعنی می توان آنها را همبستگی خودکار کرد.

2. مدل تأثیر چندین عامل ثانویه را در نظر نمی گیرد که تأثیر ترکیبی آنها می تواند قابل توجه باشد (اگر روند آنها منطبق باشد یا مراحل چرخه منطبق باشد).

3. خود همبستگی باقیمانده ها ممکن است به دلیل مشخصات عملکردی نادرست مدل باشد.

دو راه برای تعیین خودهمبستگی در باقیمانده ها وجود دارد. اولین مورد تجزیه و تحلیل بصری نمودار باقیمانده ها در مقابل زمان است. روش دوم شامل استفاده از آزمون دوربین واتسون است. مقدار معیار (d) را می توان با یکی از فرمول ها تعیین کرد

یا d 2 (1 - r e 1) ,

جایی که r e 1– ضریب خود همبستگی باقیمانده های مرتبه اول.

اگر باقیمانده وجود داشته باشد همبستگی کامل مثبت، سپس r e 1= 1 و d = 0. اگر در باقیمانده همبستگی کامل منفی،سپس

r e 1=-1 و d = 4. اگر خودهمبستگی باقیمانده ها وجود نداشته باشد، پس r e 1= 0 و d = 2.

در عمل، از الگوریتم زیر برای آزمون فرضیه همبستگی خودکار باقیمانده ها استفاده می شود:

1. یک فرضیه صفر در مورد عدم وجود خودهمبستگی در باقیمانده ها مطرح شده است.

2. مقدار واقعی معیار دوربین واتسون (d) تعیین می شود.

3. با توجه به جداول خاص (کاربرد کتاب درسی اقتصاد سنجی) مقادیر بحرانی معیار d L و d u را بیابید که در آن پ -تعداد مشاهدات ک- متغیرهای مستقل در مدل، - سطح اهمیت.

4. بازه عددی همه مقادیر ممکن d به 5 بخش تقسیم می شود

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. اگر d - واقعی در منطقه عدم قطعیت قرار گیرد، وجود خود همبستگی در باقیمانده ها فرض می شود.

در مورد دوم، بررسی روابط علت و معلولی متغیرها توسط باقیمانده ها غیرممکن است؛ ما یک همبستگی نادرست دریافت می کنیم.

در صورت نقض همسویی (یعنی وجود ناهمسانی) و وجود خودهمبستگی باقیمانده ها، روش سنتی توصیه می شود. کمترین مربعات(OLS)، که بر روی داده های اصلی انجام می شود، باید با روش حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS)، که بر روی داده های تبدیل شده انجام می شود، جایگزین شود.

4.1. خود همبستگی سطوح سری زمانی

(4.1)

جایی که

این مقدار ضریب همبستگی سطوح سری اول نامیده می شود، زیرا وابستگی بین سطوح مجاور سری را اندازه گیری می کند. و
.

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و
و با فرمول تعیین می شود:

(4.2)

جایی که

(7.1.)

جایی که
، آ
.

تعداد دوره ها ، که توسط آن ضریب خود همبستگی محاسبه می شود، نامیده می شود لاگوم . با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از پایایی آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب تلقی می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از
.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. سفارشات نامیده می شود تابع همبستگی خودکارسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. همبستگی.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر یک بالاترینضریب همبستگی بود سفارش ، سپس سری شامل نوسانات چرخه ایبا تناوب در مواقعی اگر هیچ یک از ضرایب خود همبستگی معنی دار نباشد، یکی از دو فرض را می توان در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا سری حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای آن تحلیل بیشتر لازم است. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

در نظر گرفتن مثال. اجازه دهید برخی از داده های مشروط در مورد تعداد کل تخلفات در گمرکات یکی از نهادهای تشکیل دهنده فدراسیون روسیه (به عنوان مثال، جمهوری تاتارستان) وجود داشته باشد.

جدول 4.1

بیایید فیلد همبستگی را بسازیم:

برنج. 4.4.

در حال حاضر از نمودار، می توان دریافت که مقادیر شکل دندانه اره را تشکیل می دهد. بیایید چندین ضریب همبستگی متوالی را محاسبه کنیم. برای این کار اولین جدول کمکی را جمع آوری می کنیم.

جدول 4.2

لازم به ذکر است که مقدار متوسط ​​از تقسیم نه بر 16، بلکه بر 15 به دست می آید، زیرا ما اکنون یک مشاهده کمتر داریم.

اکنون ضریب خودهمبستگی مرتبه اول را با استفاده از فرمول (4.1) محاسبه می کنیم:

ما یک جدول کمکی برای محاسبه ضریب خودهمبستگی مرتبه دوم تهیه می کنیم.

جدول 4.3

در نتیجه

به طور مشابه، ضرایب خودهمبستگی مرتبه های بالاتر را پیدا می کنیم و تمام مقادیر به دست آمده را در جدول محوری قرار می دهیم.

جدول 4.4

همبستگی:

برنج. 4.5.

تجزیه و تحلیل همبستگی و نمودار سطوح اولیه سری های زمانی به ما این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم که در سری زمانی مورد مطالعه نوسانات فصلی با بسامد چهار چهارم وجود دارد.

خود همبستگی سطوح سری زمانی

اگر روند و نوسانات دوره ای در سری زمانی وجود داشته باشد، مقادیر هر سطح بعدی از سری به سطوح قبلی بستگی دارد. وابستگی همبستگی بین سطوح متوالی یک سری زمانی را خودهمبستگی سطوح سری می گویند.

می توان آن را به صورت کمی با استفاده از یک ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح این سری اندازه گیری کرد که چندین مرحله در زمان جابجا شده است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی به صورت زیر است:

این مقدار ضریب همبستگی خودسرانه سطوح سری مرتبه اول نامیده می شود، زیرا وابستگی بین سطوح مجاور سری و .

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب خود همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و با فرمول تعیین می شود:

تعداد دوره هایی که ضریب خودهمبستگی در آنها محاسبه می شود، تاخیر نامیده می شود. با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از قابلیت اطمینان آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب در نظر گرفته می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از .

ویژگی های ضریب همبستگی.

این با قیاس با ضریب همبستگی خطی ساخته شده است و بنابراین تنگی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد. برای برخی از سری‌های زمانی با روند غیرخطی قوی (مثلاً سهمی مرتبه دوم یا نمایی)، ضریب همبستگی سطوح سری اصلی ممکن است به صفر نزدیک شود.

با علامت ضریب همبستگی، نمی توان در مورد روند افزایش یا کاهش در سطوح سری نتیجه گیری کرد. بیشتر سری‌های زمانی داده‌های اقتصادی حاوی یک خودهمبستگی مثبت سطوح هستند، با این حال، ممکن است روند کاهشی داشته باشند.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. دستورات را تابع همبستگی خودسری های زمانی می نامند. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی خود) همبستگی نامیده می شود.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است، و در نتیجه تاخیری که در آن رابطه بین سطوح فعلی و قبلی سری نزدیک ترین است، تعیین کنیم. با استفاده از تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خودهمبستگی ترتیب بالاترین باشد، آنگاه سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب در نقاط زمانی است. اگر هیچ یک از ضرایب خود همبستگی معنی دار نباشد، یکی از دو فرض را می توان در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا سری حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای آن تحلیل بیشتر لازم است. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

خودهمبستگی در سری های زمانی

برای توصیف پویایی تغییر نشانگرهای اقتصادیمفهوم اغلب استفاده می شود خود همبستگی، که نه تنها وابستگی متقابل سطوح همان سری مربوط به لحظات مختلف مشاهدات، بلکه درجه ثبات توسعه فرآیند در زمان، ارزش دوره پیش بینی بهینه و غیره را مشخص می کند.

درجه تنگی رابطه آماری بین سطوح سری زمانی که با t واحد زمان جابجا شده اند با مقدار ضریب همبستگی تعیین می شود، زیرا تنگی رابطه بین سطوح همان سری زمانی را اندازه می گیرد، بنابراین معمولا نامیده می شود . نمودار تابع خودهمبستگی نامیده می شود همبستگی .

ضریب خود همبستگی نمونه با فرمول محاسبه می شود:

(3.4.13)

برای محاسبه ضریب همبستگی خود با استفاده از فرمول (3.4.12) در اکسل می توانید از تابع CORREL استفاده کنید. فرض کنید که متغیر پایه شامل محدوده A1:A34 است.

سپس ضریب همبستگی به صورت زیر است:

CORREL (A1:A33؛ A2:A34).

در عمل، به عنوان یک قاعده، هنگام محاسبه خودهمبستگی از فرمول (3.4.13) استفاده می شود.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است، تعیین کنیم. با استفاده از تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خودهمبستگی مرتبه t بالاترین باشد، این سری شامل نوسانات چرخه ای با دوره تناوب t نقاط زمانی است.

اگر هیچ یک از ضرایب خودهمبستگی معنی دار نباشد، می توان یکی از دو فرض را در مورد ساختار این سری انجام داد: یا این سری شامل روند و نوسانات فصلی نیست، یا این سری حاوی یک روند غیرخطی قوی است که نیاز به اضافی دارد. تجزیه و تحلیل برای شناسایی بنابراین، استفاده از ضریب خودهمبستگی سطح و تابع خودهمبستگی برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند (f(t)) و یک جزء فصلی (S) در یک سری زمانی توصیه می شود.

مثال 3.4.3.تحلیل سری زمانی تولید ناخالص داخلی

تولید ناخالص داخلی ( تولید ناخالص ملی) - در مرحله تولید نشان دهنده مجموع ارزش افزوده بخش های اقتصاد و در مرحله استفاده - ارزش کالاها و خدماتی است که برای مصرف نهایی، انباشت و صادرات در نظر گرفته شده است.

داده های زیر به عنوان اطلاعات اولیه استفاده می شود: حجم اسمی تولید ناخالص داخلی، میلیارد روبل (از سال 1998 میلیون روبل)- داده های فصلی از 1994:1 تا 2003:1 (جدول 3.4.7). نمودار این سری در شکل 3.4.6 نشان داده شده است.

نشان می دهد که داده ها روند صعودی دارند. بنابراین، در حال حاضر یک تحلیل بصری به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که سری زمانی اولیه غیر ثابت است.

بیایید این فرض را بررسی کنیم، ضرایب خودهمبستگی را محاسبه کنیم (جدول 3.4.8) و تابع خود همبستگی سری زمانی تولید ناخالص داخلی (همبستگی) را رسم کنیم (شکل 3.4.7 را ببینید).

Tab. 3.4.7. تولید ناخالص ملی[

Tab. 3.4.8.

برنج. 3.4.7. Correlogram.

همبستگی تابع خودهمبستگی در مورد یک سری زمانی ثابت باید با افزایش t پس از چند مقدار اول به سرعت کاهش یابد. برنج. 3.4.7 نشان می دهد که سری مورد مطالعه ثابت نیست. سری زمانی تولید ناخالص داخلی شامل یک جزء روند است.

مقدمه

وابستگی دوره ای نقش یک نوع کلی از اجزای سری زمانی را بازی می کند. دیدن این که هر مشاهده بسیار شبیه به مشاهدات مرزی است دشوار نیست. علاوه بر این، یک جزء دوره ای تکرارشونده وجود دارد، به این معنی که هر مشاهده نیز مشابه مشاهده در همان زمان یک دوره قبل است.

به طور کلی، یک رابطه تناوبی را می توان به طور رسمی به عنوان یک همبستگی از مرتبه n بین هر یک تعریف کرد عنصر i-امردیف و (i-n) - m عنصر. می توان آن را با استفاده از همبستگی خودکار (یعنی همبستگی بین خود اعضای سری) اندازه گیری کرد. n معمولاً تاخیر نامیده می شود (گاهی اوقات از اصطلاحات معادل استفاده می شود: shift، delay). اگر خطای اندازه گیری خیلی زیاد نباشد، می توان تناوب را به صورت بصری با نگاه کردن به رفتار اعضای سری در هر n واحد زمانی تعیین کرد.

مولفه های تناوبی یک سری زمانی را می توان با استفاده از همبستگی پیدا کرد. Correlogram (autocorrelogram) تابع همبستگی خودکار را به صورت عددی و گرافیکی نشان می دهد. به عبارت دیگر، ضرایب خودهمبستگی برای دنباله ای از مراحل از یک محدوده خاص. همبستگی به سادگی محدوده دو خطای استاندارد را در هر تاخیر مشخص می کند، اما معمولاً بزرگی خودهمبستگی جالب تر از قابلیت اطمینان آن است، زیرا عمدتاً خود همبستگی های بسیار قوی هستند که مورد توجه هستند.

هنگام مطالعه همبستگی ها، باید موارد زیر را بدانید: خودهمبستگی تاخیرهای متوالی به طور رسمی به یکدیگر وابسته هستند.

یک مثال را در نظر بگیرید. اگر عضو اول یک سری با نفر دوم و نفر دوم با سوم ارتباط نزدیکی داشته باشد، عضو اول نیز باید به نحوی به سومی وابسته باشد و غیره. این منجر به این واقعیت می شود که وابستگی دوره ای می تواند پس از حذف همبستگی های مرتبه اول به طور قابل توجهی تغییر کند (یعنی پس از گرفتن تفاوت با تاخیر 1).

هدف، واقعگرایانه:

1. اطلاعات نظری اولیه را ارائه دهید

2. مثال هایی از محاسبه ACF ارائه دهید

اطلاعات نظری

ضریب خود همبستگی و برآورد آن

برای توصیف کامل حرکت تصادفی، انتظار ریاضی و پراکندگی آن کافی نیست. احتمال اینکه مقادیر خاص خاصی در یک مکان خاص اتفاق بیفتند به کدام نقش بستگی دارد مقدار تصادفیزودتر دریافت شده یا دیرتر دریافت خواهد شد.

به عبارت دیگر، یک میدان پراکندگی از جفت مقادیر x(t)، x (t+n) سری زمانی وجود دارد، که در آن n یک بازه یا تاخیر ثابت است که وابستگی اجرای فرآیندهای بعدی را به قبلی مشخص می کند. آنهایی که تنگی این رابطه با ضرایب اتوکوواریانس تخمین زده می شود -

g (n) = E[(x(t) - m) (x (t + n) - m)] -

و خودهمبستگی

r (n) = E[(x(t) - m) (x (t + n) - m)] / D،

جایی که m و D - ارزش مورد انتظارو واریانس فرآیند تصادفی. برای محاسبه خودکوواریانس و خودهمبستگی فرآیندهای واقعی، اطلاعاتی در مورد توزیع احتمال مشترک سطوح سری p (x(t 1)، x(t 2)) مورد نیاز است.

r(n) = g(n)/g(0)،

از این رو نتیجه می شود که r (0) = 1. تحت شرایط ثابتی یکسان، ضریب همبستگی r (n) بین دو مقدار سری زمانی فقط به مقدار بازه زمانی n بستگی دارد و به لحظات مشاهده ای خود. ضریب خودهمبستگی را می توان برای یک سری غیر ثابت نیز تخمین زد، اما در این مورد تفسیر احتمالی آن از بین می رود.

در آمار، چندین تخمین نمونه از مقادیر نظری خودهمبستگی r(n) یک فرآیند در یک سری زمانی محدود از n مشاهدات وجود دارد. محبوب ترین تخمینگر ضریب خودهمبستگی غیر چرخه ای با تاخیر n است

اصلی ترین ضرایب خودهمبستگی مختلف اولین - r 1 است که نزدیکی رابطه بین سطوح x(1)، x(2)،…، x (n-1) و x(2)، x( 3)،…، x(n).

توزیع ضرایب خودهمبستگی ناشناخته است، بنابراین، برای ارزیابی صحت آنها، گاهی اوقات از نظریه ناپارامتری اندرسون (1976) که آمار را پیشنهاد کرده است، استفاده می شود.

t \u003d r 1 (n -1) 0.5،

که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، به طور معمول توزیع شده است، میانگین صفر و واریانس آن برابر با یک است (تیننر، 1965).

اگر روند و نوسانات دوره ای در سری زمانی وجود داشته باشد، مقادیر هر سطح بعدی از سری به سطوح قبلی بستگی دارد. وابستگی همبستگی بین سطوح متوالی یک سری زمانی را خودهمبستگی سطوح سری می گویند.

می توان آن را به صورت کمی با استفاده از یک ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح این سری اندازه گیری کرد که چندین مرحله در زمان جابجا شده است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی به صورت زیر است:

جایی که

این مقدار ضریب همبستگی سطوح سری اول نامیده می شود، زیرا وابستگی بین سطوح مجاور سری را اندازه گیری می کند. و
.

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و
و با فرمول تعیین می شود:

(4.2)

جایی که

(7.1.)

جایی که
، آ
.

تعداد دوره ها ، که توسط آن ضریب خود همبستگی محاسبه می شود، نامیده می شود لاگوم . با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از پایایی آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب تلقی می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از
.

ویژگی های ضریب همبستگی.

این با قیاس با ضریب همبستگی خطی ساخته شده است و بنابراین تنگی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد. برای برخی از سری‌های زمانی با روند غیرخطی قوی (مثلاً سهمی مرتبه دوم یا نمایی)، ضریب همبستگی سطوح سری اصلی ممکن است به صفر نزدیک شود.

با علامت ضریب همبستگی، نمی توان در مورد روند افزایش یا کاهش در سطوح سری نتیجه گیری کرد. بیشتر سری‌های زمانی داده‌های اقتصادی حاوی یک خودهمبستگی مثبت سطوح هستند، با این حال، ممکن است روند کاهشی داشته باشند.

دنباله ضرایب خود همبستگی سطوح اول، دوم و غیره. سفارشات نامیده می شود تابع همبستگی خودکارسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. همبستگی.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است، و در نتیجه تاخیری که در آن رابطه بین سطوح فعلی و قبلی سری نزدیک ترین است، تعیین کنیم. با استفاده از تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر یک بالاترینضریب همبستگی بود سفارش ، سپس سری شامل نوسانات چرخه ایبا فرکانس لحظه های زمان اگر هیچ یک از ضرایب خود همبستگی معنی دار نباشد، یکی از دو فرض را می توان در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا سری حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای آن تحلیل بیشتر لازم است. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

در نظر گرفتن مثال. اجازه دهید برخی از داده های مشروط در مورد تعداد کل تخلفات در گمرکات یکی از نهادهای تشکیل دهنده فدراسیون روسیه (به عنوان مثال، جمهوری تاتارستان) وجود داشته باشد.

جدول 4.1

بیایید فیلد همبستگی را بسازیم:

برنج. 4.4.

در حال حاضر از نمودار، می توان دریافت که مقادیر شکل دندانه اره را تشکیل می دهد. بیایید چندین ضریب همبستگی متوالی را محاسبه کنیم. برای این کار اولین جدول کمکی را جمع آوری می کنیم.

جدول 4.2

لازم به ذکر است که مقدار متوسط ​​از تقسیم نه بر 16، بلکه بر 15 به دست می آید، زیرا ما اکنون یک مشاهده کمتر داریم.

اکنون ضریب خودهمبستگی مرتبه اول را با استفاده از فرمول (4.1) محاسبه می کنیم:

ما یک جدول کمکی برای محاسبه ضریب خودهمبستگی مرتبه دوم تهیه می کنیم.

جدول 4.3

در نتیجه

به طور مشابه، ضرایب خودهمبستگی مرتبه های بالاتر را پیدا می کنیم و تمام مقادیر به دست آمده را در جدول محوری قرار می دهیم.

جدول 4.4

همبستگی:

برنج. 4.5.

تجزیه و تحلیل همبستگی و نمودار سطوح اولیه سری های زمانی به ما این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم که در سری زمانی مورد مطالعه نوسانات فصلی با بسامد چهار چهارم وجود دارد.

اگر روند و نوسانات دوره ای در سری زمانی وجود داشته باشد، مقادیر هر سطح بعدی از سری به سطوح قبلی بستگی دارد. وابستگی همبستگی بین سطوح متوالی سری های زمانی نامیده می شود خودهمبستگی سطوح سری.

می توان آن را به صورت کمی با استفاده از یک ضریب همبستگی خطی بین سطوح سری زمانی اصلی و سطوح این سری اندازه گیری کرد که چندین مرحله در زمان جابجا شده است.

فرمول محاسبه ضریب همبستگی به صورت زیر است:

(4.1)

.

این مقدار نامیده می شود ضریب خود همبستگی سطوح سری مرتبه اول، از آنجایی که وابستگی بین سطوح مجاور سری و .

به طور مشابه، می توان ضرایب خودهمبستگی مرتبه دوم و بالاتر را تعیین کرد. بنابراین، ضریب خود همبستگی مرتبه دوم، تنگی رابطه بین سطوح را مشخص می کند و با فرمول تعیین می شود:

(4.2)

تعداد دوره هایی که ضریب خودهمبستگی در آنها محاسبه می شود نامیده می شود لاگوم. با افزایش تاخیر، تعداد جفت مقادیر مورد استفاده برای محاسبه ضریب همبستگی کاهش می یابد. استفاده از قانون برای اطمینان از قابلیت اطمینان آماری ضرایب خودهمبستگی مناسب در نظر گرفته می شود - حداکثر تاخیر نباید بیشتر از .

ویژگی های ضریب همبستگی.

1. با قیاس با ضریب همبستگی خطی ساخته شده است و همچنین تنگی تنها یک رابطه خطی بین سطوح فعلی و قبلی سری را مشخص می کند. بنابراین، ضریب خودهمبستگی را می توان برای قضاوت در مورد وجود یک روند خطی (یا نزدیک به خطی) استفاده کرد. برای برخی از سری‌های زمانی با روند غیرخطی قوی (مثلاً سهمی مرتبه دوم یا نمایی)، ضریب همبستگی سطوح سری اصلی ممکن است به صفر نزدیک شود.

2. با علامت ضریب خود همبستگی نمی توان در مورد روند افزایشی یا کاهشی سطوح سری نتیجه گیری کرد. بیشتر سری‌های زمانی داده‌های اقتصادی حاوی یک خودهمبستگی مثبت سطوح هستند، با این حال، ممکن است روند کاهشی داشته باشند.

دنباله ضرایب خودهمبستگی سطوح مرتبه اول، دوم و غیره نامیده می شود تابع خودهمبستگیسری زمانی. نمودار وابستگی مقادیر آن به مقدار تاخیر (از مرتبه ضریب همبستگی) نامیده می شود. کورلوگرام.

تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی این امکان را فراهم می کند تا تاخیری را که در آن خودهمبستگی بالاترین است و در نتیجه تاخیری که در آن رابطه بین سطوح فعلی و قبلی سری نزدیکترین است، یعنی با استفاده از با تجزیه و تحلیل تابع خودهمبستگی و همبستگی، می توان ساختار سری را آشکار کرد.

اگر ضریب خود همبستگی مرتبه اول بالاترین باشد، سری مورد مطالعه فقط دارای یک روند است. اگر ضریب خودهمبستگی ترتیب بالاترین باشد، آنگاه سری شامل نوسانات چرخه ای با تناوب در نقاط زمانی است. اگر هیچ یک از ضرایب خود همبستگی معنی دار نباشد، یکی از دو فرض را می توان در مورد ساختار این سری انجام داد: یا سری شامل روند و نوسانات چرخه ای نیست، یا سری حاوی یک روند غیر خطی قوی است که برای آن تحلیل بیشتر لازم است. بنابراین، ضریب خود همبستگی سطح و تابع خود همبستگی باید برای شناسایی وجود یا عدم وجود یک جزء روند و یک جزء چرخه ای (فصلی) در یک سری زمانی استفاده شود.

در نظر گرفتن مثال. اجازه دهید برخی از داده های مشروط در مورد حجم کل مصرف برق در یکی از شرکت های شهر وجود داشته باشد.

جدول 4.1

بیایید فیلد همبستگی را بسازیم:

در حال حاضر از نمودار، می توان دریافت که مقادیر Yشکل دندانه اره را تشکیل می دهد.

بیایید چندین ضریب همبستگی متوالی را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، اولین جدول کمکی را جمع آوری می کنیم (جدول 4.2 را ببینید).

لازم به ذکر است که مقدار متوسط ​​با تقسیم بر 16، بلکه بر 15 به دست می آید، زیرا اکنون یک مشاهده کمتر داریم.

اکنون ضریب خودهمبستگی مرتبه اول را با استفاده از فرمول (4.1) محاسبه می کنیم:

.

ما یک جدول کمکی 4.3 را برای محاسبه ضریب خودهمبستگی مرتبه دوم تهیه می کنیم.

در نتیجه

به همین ترتیب، ضرایب خود همبستگی مرتبه های بالاتر را پیدا می کنیم و تمام مقادیر به دست آمده در جدول خلاصه 4.4 وارد می شوند.

جدول 4.2

جدول 4.3