Доказателство:

Нека първо докажем теоремата за случая на последователността

Според биномната формула на Нютон:

Ако приемем, че получим

От това равенство (1) следва, че с нарастването на n броят на положителните членове от дясната страна се увеличава. Освен това, когато n нараства, числото намалява, така че количествата нараства. Следователно последователността нараства, докато (2)* Нека покажем, че е ограничен. Нека заменим всяка скоба от дясната страна на равенството с една, дясна частнараства, получаваме неравенството

Засилваме полученото неравенство, заместваме 3,4,5, ..., стоящи в знаменателите на дробите, с числото 2: Намираме сумата в скоби по формулата за сумата на членовете геометрична прогресия: Ето защо (3)*

Така последователността е ограничена отгоре, а неравенствата (2) и (3) са в сила: Следователно, въз основа на теоремата на Вайерщрас (критерий за сходимост на последователност), последователността нараства монотонно и е ограничено, което означава, че има граница, означена с буквата e. Тези.

Знаейки, че второто прекрасен лимите вярно за естествени стойности на x, ще докажем втората забележителна граница за реално x, тоест ще докажем, че . Разгледайте два случая:

1. Нека всяка стойност на x е затворена между две положителни цели числа: , където е цяла частх. => =>

Ако , тогава Следователно, според ограничението Ние имаме

По знак (за границата междинна функция) наличието на ограничения

2. Нека . Тогава нека направим заместване − x = t

От тези два случая следва, че за реално х.

Последствия:

9 .) Сравнение на безкрайно малки. Теоремата за замяната на безкрайно малките с еквивалентни в предела и теоремата за главната част на безкрайно малките.

Нека функциите a( х) и b( х) – б.м. при х ® х 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1) а( х) Наречен безкрайно малко повече висок редкак b (х) ако

Запишете: a( х) = o(b( х)) .

2) а( х) и b( х)Наречен безкрайно малки от същия порядък, ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

Запишете: a( х) = О(б( х)) .

3) а( х) и b( х) Наречен еквивалентен , ако

Запишете: a( х) ~ b( х).

4) а( х) се нарича безкрайно малък ред k по отношение на
много безкрайно малък b( х), ако е безкрайно малъка( х)и(б( х)) к имат същия ред, т.е. ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (относно замяната на безкрайно малки с еквивалентни).

Позволявама( х), b( х), а 1 ( х), b 1 ( х)– б.м. при х ® х 0 . Акоа( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х),

тогава

Доказателство: Нека a( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х), тогава

ТЕОРЕМА 7 (за основната част от безкрайно малкия).

Позволявама( х)и b( х)– б.м. при х ® х 0 , и b( х)– б.м. по-висок порядък ота( х).

= , a тъй като b( х) – по-висок ред от a( х), тогава , т.е. от ясно е, че а( х) + b( х) ~ a( х)

10) Непрекъснатост на функцията в точка (на езика на границите епсилон-делта, геометрична) Едностранна непрекъснатост. Непрекъснатост на интервал, на отсечка. Свойства на непрекъснатите функции.

1. Основни определения

Позволявам f(х) е дефинирана в някаква околност на точката х 0 .

ДЕФИНИЦИЯ 1. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако равенството е вярно

Забележки.

1) Съгласно теорема 5 от §3, равенството (1) може да бъде записано като

Условие (2) - дефиниция на непрекъснатостта на функция в точка на езика на едностранните граници.

2) Равенство (1) може да се запише и като:

Те казват: „ако една функция е непрекъсната в точка х 0 , тогава знакът на границата и функцията могат да бъдат разменени.

ДЕФИНИЦИЯ 2 (на език e-d).

функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако"e>0 $d>0 такива, Какво

ако хОU( х 0 , d) (т.е. | х – х 0 | < d),

след това f(х)ОU( f(х 0), e) (т.е. | f(х) – f(х 0) | < e).

Позволявам х, х 0 Î д(f) (х 0 - фиксиран, х-произволен)

Обозначете: D х= х-х 0 – увеличение на аргумента

д f(х 0) = f(х) – f(х 0) – нарастване на функцията в точка x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрично).

функция f(х) на Наречен непрекъснато в точка х 0 ако в този момент безкрайно малко увеличение на аргумента съответства на безкрайно малко увеличение на функцията, т.е.

Нека функцията f(х) е дефинирана на интервала [ х 0 ; х 0 + d) (на интервала ( х 0 - d; х 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 на дясно (наляво ), ако равенството е вярно

Очевидно е, че f(х) е непрекъсната в точката х 0 Û f(х) е непрекъсната в точката х 0 дясно и ляво.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато на интервал д ( а; b) ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

функция f(х) се нарича непрекъснат на сегмента [а; b] ако е непрекъснат на интервала (а; b) и има едностранна непрекъснатост в граничните точки(т.е. непрекъснато в точката анадясно, точка b- наляво).

11) Точки на прекъсване, тяхната класификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ако функцията f(х) е определена в някаква околност на точката x 0 , но не е непрекъснат в тази точка, тогава f(х) се нарича прекъснат в точката x 0 , но точката х 0 наречена точка на пречупване функции f(х) .

Забележки.

1) f(х) могат да бъдат определени в непълна околност на точката х 0 .

След това разгледайте съответната едностранна непрекъснатост на функцията.

2) От дефиницията на z, точката х 0 е точката на прекъсване на функцията f(х) в два случая:

а) U( х 0 , г)н д(f) , но за f(х) равенството не е спазено

б) U * ( х 0 , г)н д(f) .

За елементарни функции е възможен само случай b).

Позволявам х 0 - точка на прекъсване на функцията f(х) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване аз мил ако функцията f(х)има крайни граници в тази точка отляво и отдясно.

Ако освен това тези граници са равни, тогава точката x 0 Наречен точка на пречупване , в противен случай - точка на скок .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване II мил ако поне една от едностранните граници на функцията f(х)в този момент е равно на¥ или не съществува.

12) Свойства на функции, непрекъснати на отсечка (теореми на Вайерщрас (без доказателство) и Коши

Теорема на Вайерщрас

Нека функцията f(x) е непрекъсната на отсечката , тогава

1)f(x) е ограничено до

2)f(x) приема най-малката си стойност в интервала и най-висока стойност

Определение: Стойността на функцията m=f се нарича най-малка, ако m≤f(x) за всеки x ∈ D(f).

Стойността на функцията m=f се нарича най-голяма, ако m≥f(x) за всеки x ∈ D(f).

Функцията може да приема най-малката \ най-голямата стойност в няколко точки от сегмента.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцията f(x) е непрекъсната в интервала и x е числото, затворено между f(a) и f(b), тогава има поне една точка x 0 € такава, че f(x 0)= g

Има няколко прекрасни граници, но най-известните са първата и втората чудесни граници. Забележителното при тези лимити е, че те се използват широко и могат да се използват за намиране на други лимити, срещани при множество проблеми. Това е, което ще правим в практическата част на този урок. За да се решат проблемите чрез намаляване до първата или втората забележителна граница, не е необходимо да се разкриват съдържащите се в тях несигурности, тъй като стойностите на тези граници отдавна са изведени от велики математици.

Първата забележителна границанаречена граница на съотношението на синуса на безкрайно малка дъга към същата дъга, изразено в радианова мярка:

Нека да преминем към решаването на задачи на първата забележителна граница. Забележка: ако една тригонометрична функция е под знака за граница, това е почти сигурен знак, че този израз може да бъде намален до първата забележителна граница.

Пример 1Намерете границата.

Решение. Вместо това заместване хнула води до несигурност:

.

Знаменателят е синус, следователно изразът може да бъде намален до първата забележителна граница. Да започнем трансформацията:

.

В знаменателя - синус от три x, а в числителя има само едно x, което означава, че трябва да получите три x в числителя. За какво? Да представя 3 х = аи вземете израза.

И стигаме до вариант на първата забележителна граница:

защото няма значение коя буква (променлива) в тази формула е вместо x.

Умножаваме x по три и веднага разделяме:

.

В съответствие с отбелязаното първо забележително ограничение, заместваме дробния израз:

Сега най-накрая можем да решим тази граница:

.

Пример 2Намерете границата.

Решение. Директното заместване отново води до несигурността „нула, делене на нула“:

.

За да получим първата забележителна граница, е необходимо х под знака синус в числителя и само х в знаменателя да са с еднакъв коефициент. Нека този коефициент е равен на 2. За да направите това, нека си представим текущия коефициент при x, както е показано по-долу, изпълнявайки действия с дроби, получаваме:

.

Пример 3Намерете границата.

Решение. При заместване отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Вероятно вече разбирате, че от оригиналния израз можете да получите първата прекрасна граница, умножена по първата прекрасна граница. За да направим това, разлагаме квадратите на х в числителя и синуса в знаменателя на едни и същи множители и за да получим еднакви коефициенти за х и синуса, разделяме х в числителя на 3 и веднага умножете по 3. Получаваме:

.

Пример 4Намерете границата.

Решение. Отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Можем да получим съотношението на първите две забележителни граници. Разделяме и числителя, и знаменателя на x. След това, за да съвпаднат коефициентите при синуси и при x, умножаваме горното x по 2 и веднага делим на 2, а долното x умножаваме по 3 и веднага делим на 3. Получаваме:

Пример 5Намерете границата.

Решение. И отново, несигурността на "нула, разделена на нула":

Спомняме си от тригонометрията, че тангенсът е съотношението на синуса към косинуса, а косинусът на нулата е равен на едно. Правим трансформации и получаваме:

.

Пример 6Намерете границата.

Решение. Тригонометричната функция под знака за граница отново подсказва идеята за прилагане на първата забележителна граница. Представяме го като отношение на синус към косинус.

В тази тема ще анализираме тези формули, които могат да бъдат получени с помощта на втората забележителна граница (намира се темата, посветена директно на втората забележителна граница). Позволете ми да ви напомня за две формулировки на втората забележителна граница, които ще са необходими в този раздел: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ и $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Обикновено давам формули без доказателство, но за тази страница мисля да направя изключение. Факт е, че доказателството за последствията от втората забележителна граница съдържа някои трикове, които са полезни при директното решаване на проблеми. Е, и най-общо казано е желателно да знаете как се доказва тази или онази формула. Това ви позволява да го разберете по-добре. вътрешна структура, както и границите на приложимост. Но тъй като доказателствата може да не представляват интерес за всички читатели, ще ги скрия под бележките след всяко следствие.

Следствие #1

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equation)

Доказателство за следствие №1: показване\скриване

Тъй като за $x\to 0$ имаме $\ln(1+x)\to 0$, то в разглежданата граница има неопределеност от вида $\frac(0)(0)$. За да разкрием тази несигурност, нека представим израза $\frac(\ln(1+x))(x)$ както следва: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Сега нека добавим фактора $\frac(1)(x)$ към степента на $(1+x)$ и приложим второто забележително ограничение:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ към\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Отново имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Ще разчитаме на формулата, която вече сме доказали. Тъй като $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, тогава $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Следствие №2

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equation)

Доказателство за следствие №2: показване\скриване

Тъй като за $x\to 0$ имаме $e^x-1\to 0$, тогава в разглежданата граница има несигурност от формата $\frac(0)(0)$. За да разкрием тази несигурност, нека променим променливата, обозначавайки $t=e^x-1$. Тъй като $x\to 0$, тогава $t\to 0$. Освен това от формулата $t=e^x-1$ получаваме: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\до 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (подравнено) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\до 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Отново имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Ще разчитаме на формулата, която вече сме доказали. Тъй като $a^x=e^(x\ln a)$, тогава:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Следствие #3

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equation)

Доказателство за следствие №3: показване\скриване

Отново имаме работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Тъй като $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, получаваме:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to\ \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Пример #1

Изчислете границата $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$. За да разкрием тази несигурност, ще използваме формулата. За да напаснем нашата граница към тази формула, трябва да се има предвид, че изразите в степента на числото $e$ и в знаменателя трябва да съвпадат. С други думи, синусът в знаменателя няма място. Знаменателят трябва да бъде $9x$. Освен това при решаването на този пример ще се използва първата забележителна граница.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ към\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Отговор: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Пример #2

Изчислете границата $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Имаме несигурност от формата $\frac(0)(0)$ (припомнете си, че $\ln\cos 0=\ln 1=0$). За да разкрием тази несигурност, ще използваме формулата. Първо, нека вземем предвид, че $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (вижте списъка с тригонометрични функции). Сега $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, така че знаменателят трябва да бъде $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (за да съобразим нашия пример с ). В следващото решение ще се използва първата забележителна граница.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Отговор: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Терминът "забележителна граница" се използва широко в учебниците и учебни помагалаза посочване на важни идентичности, които помагат значително опростете работатада намери граници.

Но да да може да донесеграницата на забележителното, трябва да го разгледате добре, защото те не възникват директно, а често под формата на последствия, оборудвани с допълнителни условия и фактори. Все пак първо теорията, после примерите и ще успеете!

Първият прекрасен лимит

Хареса ли? Отметка

Първата забележителна граница е написана както следва (несигурност от формата $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Последици от първата забележителна граница

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Примерни решения: 1 чудесен лимит

Пример 1 Изчисляване на лимит $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Решение.Първата стъпка винаги е една и съща - заместваме граничната стойност $x=0$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$, която трябва да бъде разрешена. Ако се вгледате внимателно, оригиналната граница е много подобна на първата забележителна, но не съвпада с нея. Нашата задача е да доведем до сходство. Нека го трансформираме по следния начин - погледнете израза под синуса, направете същото в знаменателя (относително казано, умножихме и разделихме на $3x$), след това намаляваме и опростяваме:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

По-горе беше получена първата чудесна граница: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( направи условно заместване) y=3x. $$ Отговор: $3/8$.

Пример 2 Изчисляване на ограничение $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Решение.Заместваме граничната стойност $x=0$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$. Нека трансформираме границата, използвайки първата прекрасна граница в опростяване (три пъти!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Отговор: $9/16$.

Пример 3 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Решение.Но какво ще стане, ако под тригонометричната функция има сложен израз? Няма значение и тук действаме по същия начин. Първо проверете вида на несигурността, заменете $x=0$ във функцията и получете:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$. Умножете и разделете на $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Отново има несигурност, но в този случай това е само част. Нека намалим числителя и знаменателя с $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Отговор: $3/5$.

Втората прекрасна граница

Второто забележително ограничение е написано по следния начин (неопределеност на формата $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\до 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Последици от второто забележително ограничение

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\до 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Примерни решения: 2 чудесни граници

Пример 4 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Решение.Нека проверим вида на несигурността, заместваме $x=\infty$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Получихме несигурност от формата $\left$. Границата може да бъде намалена до второто забележително. Нека трансформираме:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Изразът в скоби всъщност е втората прекрасна граница $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, само $t=- 3x/2$, така че

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Отговор:$e^(-2/3)$.

Пример 5 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Решение.Заместете $x=\infty$ във функцията и получете несигурността на формата $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. И имаме нужда от $\left$. Така че нека започнем с преобразуването на израза в скоби:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \вдясно)^(x) = \lim\limits_(x\до \infty)\вляво(\вляво(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\вдясно) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Изразът в скоби всъщност е втората прекрасна граница $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, само $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, така че

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Този онлайн математически калкулатор ще ви помогне, ако имате нужда изчисляване на границата на функцията. програма ограничителни решенияне само дава отговор на проблема, той води подробно решениес обяснения, т.е. показва напредъка на изчисляването на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищав подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпит, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Въведете функционален израз

Изчислете лимита

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Границата на функцията при x-> x 0

Нека функцията f(x) е дефинирана върху някакво множество X и нека точката \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Вземете от X последователност от точки, различни от x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сближаващи се към x*. Функционалните стойности в точките на тази последователност също образуват числова последователност
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се постави въпросът за съществуването на неговата граница.

Определение. Числото A се нарича граница на функцията f (x) в точката x \u003d x 0 (или в x -> x 0), ако за всяка последователност (1) от стойности на аргумента x която се свежда до x 0, различна от x 0, съответната последователност (2) от функцията на стойностите се свежда до числото A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функцията f(x) може да има само една граница в точката x 0. Това следва от факта, че последователността
(f(x n)) има само една граница.

Има и друга дефиниция на границата на функция.

ОпределениеЧислото A се нарича граница на функцията f(x) в точката x = x 0, ако за всяко число \(\varepsilon > 0 \) съществува число \(\delta > 0 \), такова че за всички \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяващ неравенството \(|x-x_0| Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана като
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Обърнете внимание, че неравенствата \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Първата дефиниция се основава на понятието за граница числова последователност, поради което често се нарича дефиниция на „езика на последователността“. Втората дефиниция се нарича дефиниция на "език \(\varepsilon - \delta \)".
Тези две дефиниции на границата на функция са еквивалентни и можете да използвате всяка от тях, в зависимост от това коя е по-удобна за решаване на конкретен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на границата на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиниция на границата на функция според Хайне, а дефиницията на границата на функция „на езика \(\varepsilon - \delta \)" също се нарича дефиниция на границата на функция според Коши.

Функционална граница при x->x 0 - и при x->x 0 +

В това, което следва, ще използваме концепциите за едностранни граници на функция, които са дефинирани по следния начин.

ОпределениеЧислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за всяка последователност (1), сходна към x 0, чиито елементи x n са по-големи (по-малки) от x 0 , съответната последователност (2) се сближава с A.

Символично се изписва така:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Може да се даде еквивалентна дефиниция на едностранни граници на функция "на езика \(\varepsilon - \delta \)":

Определениечислото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f(x) в точката x 0, ако за всеки \(\varepsilon > 0 \) съществува \(\delta > 0 \), така че за всички x, удовлетворяващи неравенствата \(x_0 Символни записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0