Пряка и обратна пропорционалност

Ако t е времето, през което пешеходецът се движи (в часове), s е изминатото разстояние (в километри) и той се движи равномерно със скорост 4 km/h, тогава връзката между тези количества може да се изрази с формулата s = 4t. Тъй като всяка стойност на t съответства на уникална стойност на s, можем да кажем, че дадена функция е дадена с помощта на формулата s = 4t. Нарича се пряка пропорционалност и се определя по следния начин.

Определение. Пряката пропорционалност е функция, която може да бъде определена с помощта на формулата y \u003d kx, където k е ненулево реално число.

Името на функцията y \u003d k x се дължи на факта, че във формулата y \u003d kx има променливи x и y, които могат да бъдат стойности на количества. И ако съотношението на две стойности е равно на някакво число, различно от нула, те се наричат право-пропорционален . В нашия случай = k (k≠0). Този номер се нарича фактор на пропорционалност.

Функцията y = k x е математически моделмного реални ситуации, разгледани още в началния курс по математика. Един от тях е описан по-горе. Друг пример: ако има 2 kg брашно в една опаковка и x са закупени такива опаковки, тогава цялата маса на закупеното брашно (означаваме я с y) може да бъде представена като формула y \u003d 2x, т.е. връзката между броя на опаковките и общата маса на закупеното брашно е правопропорционална с коефициента k=2.

Спомнете си някои свойства на пряката пропорционалност, които се изучават в училищния курс по математика.

1. Домейнът на функцията y \u003d k x и домейнът на неговите стойности е множеството от реални числа.

2. Графиката на правата пропорционалност е права линия, минаваща през началото. Следователно, за да се изгради графика на пряка пропорционалност, е достатъчно да се намери само една точка, която принадлежи към нея и не съвпада с произхода, и след това да се начертае права линия през тази точка и произхода.

Например, за да начертаете функцията y = 2x, е достатъчно да имате точка с координати (1, 2), след което да начертаете права линия през нея и началото (фиг. 7).

3. За k > 0 функцията y = kx расте по цялата област на дефиниране; за к< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ако функцията f е права пропорционалност и (x 1, y 1), (x 2, y 2) - двойки съответстващи стойности на променливите x и y, и x 2 ≠ 0 тогава.

Наистина, ако функцията f е пряка пропорционалност, тогава тя може да бъде дадена по формулата y \u003d kx, а след това y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Тъй като при x 2 ≠0 и k≠0, тогава y 2 ≠0. Ето защо и означава.

Ако стойностите на променливите x и y са положителни реални числа, тогава доказаното свойство на пряка пропорционалност може да се формулира, както следва: с увеличаване (намаляване) на стойността на променливата x няколко пъти, съответната стойност на променливата y се увеличава (намалява) със същото количество.

Това свойство е присъщо само на правата пропорционалност и може да се използва при решаване на текстови задачи, в които се разглеждат правопропорционални величини.

Задача 1. За 8 часа стругарът изработи 16 детайла. Колко часа ще са необходими на един стругар, за да изработи 48 детайла, ако работи при същата производителност?

Решение. В задачата се разглеждат количествата - време на стругаря, брой изработени от него детайли и производителност (т.е. брой детайли, произведени от стругаря за 1 час), като последната стойност е постоянна, а другите две приемат различни значения. Освен това броят на изработените части и времето за работа са правопропорционални, тъй като тяхното съотношение е равно на определено число, което не е равно на нула, а именно броят на частите, направени от стругар за 1 час. на изработените части се обозначава с буквата y, времето за работа е x, а производителността - k, тогава получаваме, че = k или y = kx, т.е. математическият модел на ситуацията, представена в задачата, е правата пропорционалност.

Задачата може да се реши по два аритметични начина:

1 начин: 2 начин:

1) 16:8 = 2 (деца) 1) 48:16 = 3 (пъти)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Решавайки проблема по първия начин, първо намерихме коефициента на пропорционалност k, той е равен на 2, а след това, знаейки, че y \u003d 2x, намерихме стойността на x, при условие че y \u003d 48.

При решаването на задачата по втория начин използвахме свойството на пряката пропорционалност: колко пъти се увеличава броят на частите, изработени от стругар, с толкова се увеличава и времето за тяхното производство.

Нека сега се обърнем към разглеждането на функция, наречена обратна пропорционалност.

Ако t е времето на движение на пешеходеца (в часове), v е неговата скорост (в km/h) и той е изминал 12 km, тогава връзката между тези стойности може да се изрази с формулата v∙t = 20 или v = .

Тъй като всяка стойност на t (t ≠ 0) съответства на една единствена стойност на скоростта v, можем да кажем, че дадена функция е дадена с помощта на формулата v = . Нарича се обратна пропорционалност и се определя по следния начин.

Определение. Обратната пропорционалност е функция, която може да бъде определена с помощта на формулата y \u003d, където k е ненулево реално число.

Името на тази функция идва от факта, че y= има променливи x и y, които могат да бъдат стойности на количества. И ако произведението на две количества е равно на някакво число, различно от нула, тогава те се наричат ​​обратно пропорционални. В нашия случай xy = k(k ≠ 0). Това число k се нарича коефициент на пропорционалност.

функция y= е математически модел на много реални ситуации, разгледани още в началния курс по математика. Един от тях е описан преди определението за обратна пропорционалност. Друг пример: ако сте купили 12 кг брашно и сте го сложили в l: кутии по y kg всяка, тогава връзката между тези количества може да бъде представена като x-y= 12, т.е. тя е обратно пропорционална с коефициент k=12.

Спомнете си някои свойства на обратната пропорционалност, известни от училищния курс по математика.

1. Обхват на функцията y= и неговият диапазон x е множеството от ненулеви реални числа.

2. Графиката на обратната пропорционалност е хипербола.

3. При k > 0 клоновете на хиперболата се намират в 1-ви и 3-ти квадрант и функцията y= намалява върху цялата област на x (фиг. 8).

Ориз. 8 Фиг.9

Когато k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= се увеличава в цялата област на x (фиг. 9).

4. Ако функцията f е обратно пропорционална и (x 1, y 1), (x 2, y 2) са двойки от съответстващи стойности на променливите x и y, тогава.

Наистина, ако функцията f е обратно пропорционална, тогава тя може да бъде дадена с формулата y= ,и тогава . Тъй като x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, тогава

Ако стойностите на променливите x и y са положителни реални числа, тогава това свойство на обратната пропорционалност може да се формулира по следния начин: с увеличаване (намаляване) на стойността на променливата x няколко пъти, съответната стойност на променливата y намалява (увеличава) със същото количество.

Това свойство е присъщо само на обратната пропорционалност и може да се използва при решаване на текстови задачи, в които се разглеждат обратно пропорционални величини.

Задача 2. Велосипедист, движещ се със скорост 10 км/ч, изминава разстоянието от А до В за 6 часа.

Решение. Задачата разглежда следните величини: скоростта на велосипедиста, времето на движение и разстоянието от А до В, като последната стойност е постоянна, а другите две са с различни стойности. Освен това скоростта и времето на движение са обратно пропорционални, тъй като произведението им е равно на определено число, а именно изминатото разстояние. Ако времето на движение на велосипедиста е означено с буквата y, скоростта е x, а разстоянието AB е k, тогава получаваме, че xy \u003d k или y \u003d, т.е. математическият модел на ситуацията, представена в задачата, е обратната пропорционалност.

Можете да разрешите проблема по два начина:

1 начин: 2 начин:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (пъти)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Решавайки проблема по първия начин, първо намерихме коефициента на пропорционалност k, той е равен на 60, а след това, знаейки, че y \u003d, намерихме стойността на y, при условие че x \u003d 20.

При решаването на задачата по втория начин използвахме свойството на обратната пропорционалност: колкото пъти се увеличава скоростта на движение, времето за изминаване на същото разстояние намалява със същото количество.

Имайте предвид, че при решаването на специфични задачи с обратно пропорционални или право пропорционални количества се налагат някои ограничения върху x и y, по-специално те могат да се разглеждат не върху целия набор от реални числа, а върху неговите подмножества.

Задача 3. Лена купи x моливи, а Катя 2 пъти повече. Означете броя моливи, закупени от Катя, като y, изразете y чрез x и начертайте установената графика на съответствие, при условие че x ≤ 5. Това съвпадение функция ли е? Каква е неговата област на дефиниране и диапазон от стойности?

Решение. Катя купи u = 2 молива. Когато се изобразява функцията y=2x, трябва да се има предвид, че променливата x означава броя на моливите и x≤5, което означава, че тя може да приема само стойности 0, 1, 2, 3, 4, 5. Това ще бъде домейнът на тази функция. За да получите диапазона на тази функция, трябва да умножите всяка стойност x от домейна на дефиницията по 2, т.е. това ще бъде набор (0, 2, 4, 6, 8, 10). Следователно графиката на функцията y \u003d 2x с домейн на дефиниция (0, 1, 2, 3, 4, 5) ще бъде множеството от точки, показани на фигура 10. Всички тези точки принадлежат на правата y \u003d 2x.

Можете да говорите безкрайно за предимствата на ученето с помощта на видео уроци. Първо, те изразяват мисли ясно и разбираемо, последователно и структурирано. Второ, те отнемат определено време, не са, често разтегнати и досадни. Трето, те са по-вълнуващи за учениците от обичайните уроци, на които са свикнали. Можете да ги разгледате в спокойна атмосфера.

В много задачи от курса по математика учениците от 6 клас ще срещат права и обратна пропорционалност. Преди да започнете изучаването на тази тема, си струва да си припомните какви са пропорциите и какво основно свойство имат.

Темата „Пропорции“ е посветена на предишния видео урок. Това е логично продължение. Заслужава да се отбележи, че темата е доста важна и често срещана. Трябва да се разбере правилно веднъж завинаги.

За да покаже важността на темата, видео урокът започва със задача. Условието се появява на екрана и се съобщава от диктора. Записът на данните е даден под формата на диаграма, така че ученикът, който гледа видеозаписа, да може да го разбере възможно най-добре. Би било по-добре, ако за първи път той се придържа към тази форма на запис.

Неизвестното, както е прието в повечето случаи, се идентифицира латиницах. За да го намерите, първо трябва да умножите стойностите на кръст. Така ще се получи равенство на двете съотношения. Това предполага, че това е свързано с пропорциите и си струва да запомните основното им свойство. Моля, обърнете внимание, че всички стойности са дадени в една и съща мерна единица. В противен случай беше необходимо да ги приведем в едно и също измерение.

След като видите метода на решение във видеото, не трябва да има никакви затруднения при такива задачи. Дикторът коментира всеки ход, обяснява всички действия, припомня изучавания материал, който се използва.

Веднага след като изгледахте първата част на видео урока „Напред и обратно пропорционални зависимостиМожете да предложите на ученика да реши същия проблем без помощта на подкани. След това може да се предложи алтернативна задача.

В зависимост от умствените способности на ученика можете постепенно да увеличавате сложността на следващите задачи.

След първата разгледана задача е дадена дефиницията на правопропорционални величини. Определението се прочита от диктора. Основната концепция е подчертана в червено.

След това се демонстрира друга задача, на базата на която се обяснява обратнопропорционалната зависимост. Най-добре е ученикът да записва тези понятия в тетрадка. Ако е необходимо преди контролна работа, ученикът може лесно да намери всички правила и определения и да ги препрочете.

След като изгледа това видео, ученикът от 6 клас ще разбере как да използва пропорциите в определени задачи. Това е достатъчно важна темане трябва да се пропуска при никакви обстоятелства. Ако ученикът не е адаптиран да възприема материала, представен от учителя по време на урока сред другите ученици, тогава такива учебни ресурси ще бъдат голямо спасение!

Концепцията за пряка пропорционалност

Представете си, че мислите да си купите любимите си бонбони (или каквото наистина харесвате). Сладките в магазина имат своя цена. Да предположим, че 300 рубли на килограм. Колкото повече бонбони купувате, толкова повече паризаплащане. Тоест, ако искате 2 килограма - платете 600 рубли, а ако искате 3 килограма - дайте 900 рубли. Всичко изглежда ясно с това, нали?

Ако да, тогава вече ви е ясно какво е права пропорционалност - това е понятие, което описва отношението на две величини, които зависят една от друга. И съотношението на тези количества остава непроменено и постоянно: с колко части една от тях се увеличава или намалява, със същия брой части втората се увеличава или намалява пропорционално.

Пряката пропорционалност може да се опише със следната формула: f(x) = a*x, а a в тази формула е постоянна стойност (a = const). В нашия пример с бонбони цената е константа, константа. Не се увеличава или намалява, независимо колко сладки сте решили да купите. Независимата променлива (аргумент) x е колко килограма сладки ще купите. И зависимата променлива f(x) (функция) е колко пари в крайна сметка плащате за покупката си. Така че можем да заместим числата във формулата и да получим: 600 r. = 300 r. * 2 кг.

Междинният извод е следният: ако аргументът нараства, функцията също нараства, ако аргументът намалява, функцията също намалява

Функция и нейните свойства

Право пропорционална функцияе частен случай линейна функция. Ако линейната функция е y = k*x + b, тогава за пряката пропорционалност тя изглежда така: y = k*x, където k се нарича коефициент на пропорционалност и това винаги е различно от нула число. Изчисляването на k е лесно - намира се като частно на функция и аргумент: k = y/x.

За да стане по-ясно, нека вземем друг пример. Представете си, че кола се движи от точка А до точка Б. Скоростта му е 60 км/ч. Ако приемем, че скоростта на движение остава постоянна, тогава тя може да се приеме за константа. И след това записваме условията във формата: S \u003d 60 * t и тази формула е подобна на функцията на пряка пропорционалност y \u003d k * x. Нека направим паралел по-нататък: ако k \u003d y / x, тогава скоростта на автомобила може да се изчисли, като се знае разстоянието между A и B и времето, прекарано на пътя: V \u003d S / t.

А сега, от приложното приложение на знанията за правата пропорционалност, нека се върнем към нейната функция. Свойствата на които включват:

неговата област на дефиниране е множеството от всички реални числа (както и неговото подмножество);

функцията е нечетна;

промяната на променливите е право пропорционална на цялата дължина на числовата линия.

Пряка пропорционалност и нейната графика

Графика на правопропорционална функция е права линия, която пресича началната точка. За изграждането му е достатъчно да маркирате само още една точка. И го свържете с началото на правата.

В случай на графика k е наклонът. Ако наклонът е по-малък от нула (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графиката и формата на оста x остър ъгъл, а функцията се увеличава.

И още едно свойство на графиката на функцията на пряката пропорционалност е пряко свързано с наклона k. Да предположим, че имаме две неидентични функции и съответно две графики. Така че, ако коефициентите k на тези функции са равни, техните графики са успоредни на координатната ос. И ако коефициентите k не са равни един на друг, графиките се пресичат.

Примерни задачи

Нека решим двойка проблеми с правата пропорционалност

Да започнем просто.

Задача 1: Представете си, че 5 кокошки са снесли 5 яйца за 5 дни. И ако има 20 кокошки, колко яйца ще снесат за 20 дни?

Решение: Означете неизвестното като x. И ще спорим по следния начин: колко пъти е имало повече пилета? Разделете 20 на 5 и намерете това 4 пъти. И колко пъти повече яйца ще снесат 20 кокошки за същите 5 дни? Също така 4 пъти повече. И така, намираме нашето така: 5 * 4 * 4 \u003d 80 яйца ще бъдат снесени от 20 кокошки за 20 дни.

Сега примерът е малко по-сложен, нека перифразираме проблема от "Общата аритметика" на Нютон. Задача 2: Един писател може да напише 14 страници от нова книга за 8 дни. Ако имаше помощници, колко хора ще са необходими, за да напишат 420 страници за 12 дни?

Решение: Разсъждаваме, че броят на хората (писател + асистенти) се увеличава с увеличаването на обема на работата, ако тя трябва да бъде извършена за същото време. Но колко пъти? Разделяйки 420 на 14, откриваме, че се увеличава 30 пъти. Но тъй като според условието на задачата се дава повече време за работа, броят на асистентите не се увеличава 30 пъти, а по този начин: x \u003d 1 (писател) * 30 (пъти): 12/8 (дни). Нека трансформираме и разберем, че x = 20 души ще напишат 420 страници за 12 дни.

Нека решим друга задача, подобна на тези, които имахме в примерите.

Задача 3: Две коли тръгват на едно и също пътуване. Единият се е движел със скорост 70 km/h и е изминал същото разстояние за 2 часа, както другият за 7 часа. Намерете скоростта на втората кола.

Решение: Както си спомняте, пътят се определя чрез скорост и време - S = V *t. Тъй като и двете коли са пътували по един и същи път, можем да приравним двата израза: 70*2 = V*7. Къде намираме, че скоростта на втората кола е V = 70*2/7 = 20 km/h.

И още няколко примера за задачи с функции на права пропорционалност. Понякога в задачи се изисква да се намери коефициентът k.

Задача 4: Като се имат предвид функциите y \u003d - x / 16 и y \u003d 5x / 2, определете техните коефициенти на пропорционалност.

Решение: Както си спомняте, k = y/x. Следователно за първата функция коефициентът е -1/16, а за втората k = 5/2.

А може да срещнете и задача като Задача 5: Запишете формулата за права пропорционалност. Неговата графика и графиката на функцията y \u003d -5x + 3 са разположени успоредно.

Решение: Функцията, която ни е дадена в условието е линейна. Знаем, че пряката пропорционалност е частен случай на линейна функция. И също така знаем, че ако коефициентите на k функции са равни, техните графики са успоредни. Това означава, че всичко, което е необходимо, е да се изчисли коефициентът на известна функция и да се зададе пряка пропорционалност, като се използва познатата формула: y \u003d k * x. Коефициент k \u003d -5, пряка пропорционалност: y \u003d -5 * x.

Заключение

Сега научихте (или си спомнихте, ако вече сте разглеждали тази тема преди), какво се нарича пряка пропорционалност, и го обмисли примери. Говорихме и за функцията на правата пропорционалност и нейната графика, решихме например няколко задачи.

Ако тази статия е била полезна и ви е помогнала да разберете темата, разкажете ни за нея в коментарите. За да знаем дали можем да ви бъдем от полза.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Типове зависимости

Помислете за зареждане на батерията. Като първа стойност нека вземем времето, необходимо за зареждане. Втората стойност е времето, през което ще работи след зареждане. Колкото по-дълго се зарежда батерията, толкова по-дълго ще издържи. Процесът ще продължи, докато батерията се зареди напълно.

Зависимостта на живота на батерията от времето на зареждане

Забележка 1

Тази зависимост се нарича прав:

С нарастването на едната стойност се увеличава и другата. Когато една стойност намалява, другата стойност също намалява.

Нека разгледаме друг пример.

Колкото повече книги прочете ученикът, толкова по-малко грешки ще допусне при диктовката. Или колкото по-високо се изкачвате в планините, толкова по-ниско ще бъде атмосферното налягане.

Забележка 2

Тази зависимост се нарича обратен:

Когато една стойност се увеличава, другата намалява. Когато една стойност намалява, другата стойност се увеличава.

Така в случая пряка зависимости двете количества се променят по един и същи начин (и двете се увеличават или намаляват), а в случая обратна зависимост- противоположни (единият се увеличава, а другият намалява, или обратното).

Определяне на зависимости между величини

Пример 1

Времето, необходимо за посещение на приятел, е $20$ минути. С увеличаване на скоростта (на първата стойност) с $2$ пъти ще разберем как ще се промени времето (втората стойност), което ще бъде изразходвано по пътя към приятел.

Очевидно времето ще намалее с $2$ пъти.

Забележка 3

Тази зависимост се нарича пропорционален:

Колко пъти се променя една стойност, толкова пъти ще се променя втората.

Пример 2

За хляб за 2 долара в магазина трябва да платите 80 рубли. Ако трябва да купите $4$ хляб (количеството хляб се увеличава $2$ пъти), колко повече ще трябва да платите?

Очевидно цената също ще се увеличи с $2$ пъти. Имаме пример за пропорционална зависимост.

И в двата примера са разгледани пропорционални зависимости. Но в примера с хляба стойностите се променят в една посока, следователно зависимостта е прав. А в примера с пътуване до приятел връзката между скорост и време е такава обратен. По този начин има правопропорционална връзкаи обратно пропорционална връзка.

Пряка пропорционалност

Помислете за $2$ пропорционални количества: броят на хлябовете и тяхната цена. Нека 2$ хляба струват 80$ рубли. С увеличаване на броя на ролките с $4$ пъти ($8$ ролки), общата им цена ще бъде $320$ рубли.

Съотношението на броя хвърляния: $\frac(8)(2)=4$.

Съотношение на разходите за ролка: $\frac(320)(80)=4$.

Както можете да видите, тези съотношения са равни едно на друго:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Определение 1

Равенството на две отношения се нарича пропорция.

При пряко пропорционална връзка се получава съотношение, когато промяната в първата и втората стойност е еднаква:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Определение 2

Двете величини се наричат право-пропорционаленако при промяна (увеличаване или намаляване) на една от тях другата стойност се променя (съответно се увеличава или намалява) със същото количество.

Пример 3

Колата измина $180$ км за $2$ часа. Намерете времето, необходимо му да измине $2$ пъти разстоянието със същата скорост.

Решение.

Времето е право пропорционално на разстоянието:

$t=\frac(S)(v)$.

Колко пъти ще се увеличи разстоянието, при постоянна скорост, времето ще се увеличи със същото количество:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Колата измина $180$ км - за време от $2$ час

Колата изминава $180 \cdot 2=360$ км - за време от $x$ часа

Колкото по-голямо разстояние изминава колата, толкова повече време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е правопропорционална.

Да направим пропорция:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $4$ часа.

Обратна пропорционалност

Определение 3

Решение.

Времето е обратно пропорционално на скоростта:

$t=\frac(S)(v)$.

Колко пъти се увеличава скоростта, при същия път, времето намалява със същото количество:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Нека запишем условието на задачата под формата на таблица:

Колата измина $60$ км - за време от $6$ часа

Една кола изминава $120$ км - за време от $x$ часа

Колкото по-бърза е колата, толкова по-малко време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е обратно пропорционална.

Да направим пропорция.

защото пропорционалността е обратна, превръщаме второто съотношение в пропорция:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $3$ часа.

I. Право пропорционални величини.

Нека стойността гзависи от размера х. Ако с увеличение хняколко пъти по-голям от размера присе увеличава със същия фактор, тогава такива стойности хи присе наричат ​​правопропорционални.

Примери.

1 . Количеството на закупената стока и цената на покупката (при фиксирана цена на една единица стока - 1 брой или 1 кг и т.н.) Колкото пъти повече стоки са закупени, толкова пъти повече и платени.

2 . Изминатото разстояние и времето, прекарано на него (при постоянна скорост). Колкото пъти по-дълъг е пътят, толкова пъти повече време ще отделим за него.

3 . Обемът на тялото и неговата маса. ( Ако една диня е 2 пъти по-голяма от другата, то нейната маса ще бъде 2 пъти по-голяма)

II. Свойството на пряка пропорционалност на количествата.

Ако две количества са право пропорционални, тогава съотношението на две произволни стойности на първото количество е равно на съотношението на двете съответни стойности на второто количество.

Задача 1.За сладко от малини 12 кгмалини и 8 кгСахара. Колко захар ще се изисква, ако се приема 9 кгмалини?

Решение.

Ние спорим така: нека се наложи х кгзахар върху 9 кгмалини. Масата на малините и масата на захарта са правопропорционални: колко пъти по-малко малини, толкова е необходимо количество захар. Следователно, съотношението на взетите (тегловни) малини ( 12:9 ) ще бъде равно на съотношението на взетата захар ( 8:x). Получаваме пропорцията:

12: 9=8: Х;

х=9 · 8: 12;

х=6. Отговор:на 9 кгмалини за приемане 6 кгСахара.

Решението на проблемаможеше да се направи така:

Нека 9 кгмалини за приемане х кгСахара.

(Стрелките на фигурата са насочени в една посока и няма значение нагоре или надолу. Значение: колко пъти числото 12 повече брой 9 , същото число 8 повече брой х, т.е. тук има пряка зависимост).

Отговор:на 9 кгмалини за приемане 6 кгСахара.

Задача 2.кола за 3 часаизминато разстояние 264 км. Колко време ще му отнеме 440 кмако се движи със същата скорост?

Решение.

Нека за x часаколата ще измине разстоянието 440 км.

Отговор:колата ще мине 440 км за 5 часа.