Матричним рівнянням називається рівняння виду

A ⋅ X = B

X ⋅ A = B ,

де Aі B- відомі матриці, X- Невідома матриця, яку потрібно знайти.

Як вирішити матричне рівняння у першому випадку? Для того щоб вирішити матричне рівняння виду A ⋅ X = B , обидві його частини слід помножити на зворотну до Aматрицю зліва:

За визначенням зворотної матриці, добуток зворотної матриці на дану вихідну матрицю дорівнює одиничній матриці: тому

.

Так як E- Поодинока матриця, то E ⋅ X = X . В результаті отримаємо, що невідома матриця Xдорівнює добутку матриці, зворотної до матриці A, ліворуч, на матрицю B :

Як розв'язати матричне рівняння у другому випадку? Якщо дано рівняння

X ⋅ A = B ,

тобто таке, у якому у творі невідомої матриці Xта відомої матриці Aматриця Aзнаходиться справа, то потрібно діяти аналогічно, але змінюючи напрямок множення на матрицю, зворотну матрицю A, і множити матрицю Bна неї праворуч:

,

Як бачимо, дуже важливо, з якого боку множити на зворотну матрицю, оскільки . Зворотній до Aматриця множиться на матрицю Bз того боку, з якого матриця Aмножиться на невідому матрицю X. Тобто з того боку, де у творі з невідомою матрицею знаходиться матриця A .

Як розв'язати матричне рівняння у третьому випадку? Трапляються випадки, коли в лівій частині рівняння невідома матриця Xзнаходиться в середині твору трьох матриць. Тоді відому матрицю з правої частини рівняння слід помножити ліворуч на матрицю, зворотну тієї, яка у згаданому вище творі трьох матриць була ліворуч, і праворуч на матрицю, зворотну матриці, яка розташовувалася праворуч. Таким чином, рішенням матричного рівняння

A ⋅ X ⋅ B = C ,

є

.

Розв'язання матричних рівнянь: приклади

приклад 1.Розв'язати матричне рівняння

.

A ⋅ X = B Aта невідомої матриці Xматриця A B AA .

A :

.

A :

.

A :

Тепер у нас є все, щоб знайти матрицю, зворотну матриці A :

.

Зрештою, знаходимо невідому матрицю:

приклад 3.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Дане рівняння має вигляд X ⋅ A = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця A Bна матрицю, зворотну матриці AA .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю додатків алгебри:

.

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A :

A :

.

Знаходимо невідому матрицю:

До цього часу ми вирішували рівняння з матрицями другого порядку, тепер настала черга матриць третього порядку.

приклад 4.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Це рівняння першого виду: A ⋅ X = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця Aзнаходиться ліворуч. Тому рішення слід шукати у вигляді , тобто невідома матриця дорівнює добутку матриці Bна матрицю, зворотну матриці Aзліва. Знайдемо матрицю, зворотну матриці A .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю додатків алгебри:

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A :

.

Знаходимо матрицю, зворотну матриці A, і робимо це легко, тому що визначник матриці Aдорівнює одиниці:

.

Знаходимо невідому матрицю:

Приклад 5.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Дане рівняння має вигляд X ⋅ A = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця Aзнаходиться праворуч. Тому рішення слід шукати у вигляді , тобто невідома матриця дорівнює добутку матриці Bна матрицю, зворотну матриці Aправоруч. Знайдемо матрицю, зворотну матриці A .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю додатків алгебри:

.

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A .

Визначники матриць часто використовуються у обчисленнях, у лінійній алгебрі та аналітичній геометрії. Поза академічним світом визначники матриць постійно потрібні інженерам і програмістам, особливо тим, хто працює з комп'ютерною графікою. Якщо ви вже знаєте, як знайти визначник матриці розмірністю 2x2, то з інструментів для знаходження визначника матриці 3x3 вам будуть потрібні тільки додавання, віднімання та множення.

Кроки

Пошук визначника

Запишіть матрицю розміром 3 x 3.Запишемо матрицю розмірністю 3 x 3, яку позначимо M і знайдемо її визначник |M|. Далі наводиться загальна форма запису матриці, яку ми будемо використовувати, та матриця для нашого прикладу:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

1. Виберіть рядок або стовпець матриці.Цей рядок (або стовпець) буде опорним. Результат буде однаковий незалежно від того, який рядок або який стовпець ви виберете. У цьому прикладі давайте візьмемо перший рядок. Трохи пізніше ви знайдете кілька порад щодо того, як вибирати рядок або стовпець, щоб спростити обчислення.

   • Давайте виберемо перший рядок матриці M у прикладі. Обведіть числа 1 5 3. загальної формиобведіть a 11 a 12 a 13 .

2. Закресліть рядок або стовпець з першим елементом.Зверніться до опорного рядка (або до опорного стовпця) та виберіть перший елемент. Проведіть горизонтальну та вертикальну межу через цей елемент, викресливши таким чином стовпець та рядок з цим елементом. Має залишитися чотири числа. Вважатимемо ці елементи новою матрицею розмірністю 2 x 2.

   • У нашому прикладі опорним рядком буде 1 5 3. Перший елемент знаходиться на перетині першого стовпця та першого рядка. Викресліть рядок і стовпець з цим елементом, тобто перший термін і перший стовпець. Запишіть елементи, що залишилися у вигляді матриці 2 x 2 :
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Знайдіть визначник матриці 2 х 2.Запам'ятайте, що визначник матриці (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\c&d\end(pmatrix)))обчислюється як ad - bc. Спираючись на це, ви можете обчислити визначник отриманої матриці 2 x 2, яку, якщо хочете, можете позначити як X. Помножте два числа матриці X, з'єднаних по діагоналі зліва направо (тобто:). Потім відніміть результат множення двох інших чисел по діагоналі справа наліво (тобто так: /). Використовуйте цю формулу, щоб визначити обчислювач матриці, яку ви тільки що отримали.

   Помножте отриману відповідь на вибраний елемент матриці M.Згадайте, який елемент із опорного рядка (або стовпця) ми використовували, коли викреслювали інші елементи рядка та стовпця, щоб отримати нову матрицю. Помножте цей елемент на отриманий мінор (визначник матриці 2x2, яку ми позначили X).

   • У прикладі ми вибирали елемент a 11 , який дорівнював 1. Помножимо його на -34 (визначник матриці 2x2), і ми вийде 1*-34 = -34 .

4. Визначте знак отриманого результату.Далі вам знадобиться помножити отриманий результат на 1 або на -1, щоб отримати алгебраїчне доповнення(кофактор)вибраного елемента. Знак кофактора залежатиме від того, де матриці 3x3 стоїть елемент. Запам'ятайте цю просту схемузнаків, щоб знати знак кофактора:

5. Повторіть усі описані вище дії з другим елементом опорного рядка (або стовпця).Поверніться до вихідної матриці розмірністю 3x3 та рядку, який ми обвели на самому початку обчислень. Повторіть усі дії з цим елементом:

   • Викресліть рядок та стовпець з цим елементом.У прикладі ми повинні вибрати елемент a 12 (рівний 5). Викреслимо перший рядок (1 5 3) та другий стовпець (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))))матриці.
   • Запишіть елементи, що залишилися, у вигляді матриці 2x2.У нашому прикладі матриця матиме вигляд (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\4&2\end(pmatrix)))
   • Знайдіть визначник цієї нової матриці 2×2.Скористайтеся наведеною вище формулою ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
   • Помножте отриманий визначник на вибраний елемент матриці 3x3. -24 * 5 = -120
   • Перевірте, чи потрібно збільшити результат на -1.Скористайтеся формулою (-1) ij , щоб визначити знак додатка алгебри. Для обраного нами елемента a 12 у таблиці вказано знак "-", аналогічний результат дає і формула. Тобто ми маємо змінити знак: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторіть третій елемент.Далі вам знадобиться знайти ще один додаток алгебри. Обчисліть його для останнього елемента опорного рядка або опорного стовпця. Далі наводиться короткий опистого, як обчислюється додаток алгебри для a 13 в нашому прикладі:

   • Закресліть перший рядок і третій стовпець, щоб отримати матрицю (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix))))
   • Її визначник дорівнює 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
   • Помножте результат елемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Елемент a 13 має знак + у наведеній вище таблиці, тому відповідь буде -12 .

7. Складіть отримані результати.Це останній крок. Вам необхідно скласти отримані додатки алгебри елементів опорного рядка (або опорного стовпця). Складіть їх разом і ви отримаєте значення визначника матриці 3x3.

   • У прикладі визначник дорівнює -34 + 120 + -12 = 74 .

   Як спростити завдання

   1. Вибирайте як опорний рядок (або стовпчик) той, що має більше нулів.Пам'ятайте, що як опорна ви можете вибрати будь-якурядок чи стовпець. Вибір опорного рядка або стовпця не впливає на результат. Якщо ви виберете рядок з найбільшою кількістю нулів, вам доведеться виконувати менше обчислень, оскільки вам буде потрібно обчислити додатки алгебри тільки для ненульових елементів. Ось чому:

      • Допустимо, ви вибрали 2 рядок з елементами a 21 , a 22 , and a 23 . Щоб знайти визначник, вам потрібно буде знайти визначники трьох різних матриць розмірністю 2x2. Назвемо їх A 21 , A 22 , and A 23 .
      • Тобто визначник матриці 3x3 дорівнює a 21 | A 21 | - a 22 | A 22 | + a 23 | A 23 |.
      • Якщо обидва елементи a 22 і a 23 дорівнюють 0, то наша формула стає набагато коротшою за a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 | A 21 | - 0 + 0 = a 21 | A 21 | Тобто необхідно обчислити лише додаток алгебри одного елемента.

   2. Використовуйте додавання рядків, щоб спростити матрицю.Якщо ви візьмете один рядок і додасте до нього інший, то визначник матриці не зміниться. Те саме вірно і для стовпців. Подібні дії можна виконувати кілька разів, крім того, ви можете множити значення рядка на постійну (перед додаванням) для того, щоб отримати якомога більше нулів. Подібні дії можуть заощадити багато часу.

      • Наприклад, у нас є матриця із трьох рядків: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))
      • Щоб позбутися 9 на місці елемента a 11 ми можемо помножити другий рядок на -3 і додати результат до першої. Новий перший рядок буде + [-9 -3 0] = .
      • Тобто ми отримуємо нову матрицю (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2(endmatrix))Спробуйте зробити те саме зі стовпцями, щоб отримати на місці елемента a 12 нуль.

   3. Пам'ятайте, що обчислювати визначник трикутних матриць набагато простіше.Визначник трикутних матриць обчислюється як добуток елементів на головній діагоналі, від a 11 у верхньому лівому куті до a 33 в правому нижньому кутку. В даному випадку йдеться про трикутні матриці розмірністю 3x3. Трикутні матриці можуть бути наступних видів, залежно від розташування ненульовихзначень:

      • Верхня трикутна матриця: Всі ненульові елементи знаходяться на головній діагоналі і вище за неї. Усі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.
      • Нижня трикутна матриця: Усі ненульові елементи знаходяться нижче за головну діагональ і на ній.
      • Діагональна матриця: Усі ненульові елементи знаходяться на головній діагоналі. Є окремим випадком вищеописаних матриць.
      • Описаний метод поширюється квадратні матриці будь-якого рангу. Наприклад, якщо ви використовуєте його для матриці 4x4, то після викреслення будуть залишатися матриці 3x3, для яких визначник буде обчислюватися вищезгаданим способом. Будьте готові до того, що обчислювати визначник для матриць таких розмірностей вручну – дуже трудомістке завдання!
      • Якщо всі елементи рядка або стовпця дорівнюють 0, то визначник матриці теж дорівнює 0.

Заняття №1. Матриці. Операції над матрицями.

1. Що називається матрицею.

2. Які дві матриці називаються рівними?

3. Яка матриця називається квадратною, діагональною, одиничною.

4. Як виконати операції складання матриць та множення матриці на число.

5. Для яких матриць вводиться операція множення та правило її виконання.

6. Які перетворення над матрицями є елементарними.

7. Яку матрицю називають канонічною.

Типові приклади Дії над матрицями

Завдання №1.Дано матриці

Знайти матрицю D=
(1)

Рішення.За визначенням твору матриця на число отримуємо:

D=

Завдання № 2. Знайти добуток АВ двох квадратних матриць:

Рішення.Обидві матриці є квадратними матрицями 2-го порядку. Такі матриці можна помножити, використовуючи формулу

Формула (2) має такий зміст: щоб отримати елемент матриці С = АВ, що стоїть на перетині рядки та стовпця потрібно взяти суму творів елементів -ого рядка матриці А на відповідні елементи -го стовпця матриці У.

Відповідно до формули (2) знайдемо:

Отже, добуток С = АВ матиме вигляд:

Завдання №3.Знайти добуток АВ та ВА матриць:

Рішення.Згідно з формулою (2), елементи матриць АВ і ВА будуть мати вигляд:

Висновок:Порівнюючи матриці АВ і ВА та користуючись визначенням рівності матриць, робимо висновок, що АВВА, тобто множення матриць не підпорядковується переміщувальному закону.

Завдання № 4(Усно). Дано матриці
Чи існують твори (у дужках дано правильні відповіді): АВ (так), ВА (ні), АС (так), СА (ні), АВС (ні), АСВ (так), СВА (ні).

Завдання №5.Знайти добуток АВ та ВА двох матриць виду:

Рішення.Наведені матриці виду
отже, існують твори АВ і ВА даних матриць, які матимуть вигляд:

Завдання №6. Знайти добуток АВ матриць:

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення:

Дано матриці

Знайти матрицю D=2А-4В+3С.

2. Знайти твори АВ та ВА квадратних матриць:

Знайти добуток матриць:

Знайти добуток матриць:

7. Знайти добуток матриць:

8.Знайти матрицю: В = 6А 2 +8А, якщо
.

9. Дана матриця
.Знайти всі матриці, перестановочні з матрицею А.

10. Довести, що й А - діагональна матриця і всі елементи її головної діагоналі різні між собою, будь-яка матриця, перестановочна з А, теж діагональна.

Заняття 2. Визначники квадратних матриць та їх обчислення. Зворотна матриця.

Для засвоєння практичного матеріалу необхідно відповісти на такі теоретичні питання:

Що називається визначником n-го порядку? Правила обчислення приn = 1,2,3.

Властивості визначників.

Яка матриця називається невиродженою?

Яка матриця називається поодинокою?

Яка матриця називається зворотною стосовно даної?

Що є необхідною та достатньою умовою для існування зворотної матриці?

Сформулювати правило знаходження зворотної матриці.

Ранг матриці. Правила знаходження.

Типові приклади Обчислення визначників

Завдання №1.Обчислити визначник
:

а) за правилом трикутника;

б) за допомогою розкладання по першому рядку;

в) перетворенням, використовуючи властивості визначників.

в)

Завдання № 2. Знайти мінор і додаток алгебри елементаa 23 визначника
та обчислити його розкладанням за елементами рядка чи стовпця.

Рішення.

М 23
; А 23

Завдання №3.Обчислити визначник за допомогою розкладання по 2 рядку:

Відповідь:

Завдання №4.Вирішити рівняння

Завдання №5.Обчислити визначник 4-го порядку розкладанням за елементами рядка чи стовпця:

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого – визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою – таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицюрозміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того самого розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожний елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумітворів відповідних елементів у i-му рядкупершого множника та j-му стовпчику другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реального життяможна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну системурівнянь чи навпаки - зіткнутися з набагато складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтесь за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.