Open Library – відкрита бібліотека навчальної інформації. Прогнозування. Довірчий інтервал прогнозу

Одне з найпоширеніших методів прогнозування полягає у екстраполяції, тобто. у продовженні у майбутнє тенденції, що спостерігалася у минулому. Екстраполяція тенденцій динамічних рядів порівняно широко застосовується в практичних дослідженнях через її простоту, можливість здійснення на основі відносно невеликого обсягу інформації, нарешті, ясності прийнятих припущень. Відсутність іншої інформації, крім окремо розглядається динамічного рядучасто виявляється вирішальним аргументом під час виборів цього методу прогнозування.

При такому підході до прогнозування передбачається, що розмір ознаки, що характеризує явище, формується під впливом безлічі факторів, причому неможливо виділити окремо їх вплив. У зв'язку з цим хід розвитку пов'язується не з конкретними факторами, а з часом.

Екстраполяція базується на таких припущеннях:

1) розвиток явища може бути з достатньою основою охарактеризовано плавною (еволюторною) траєкторією – трендом;

2) загальні умови, що визначають тенденцію розвитку у минулому, не зазнають істотних змінв майбутньому.

Таким чином, екстраполяція дає опис деякого загального розвитку об'єкта прогнозування. Причому якщо розвиток у минулому мало перманентно стрибкоподібний характер, то при досить тривалому періоді спостережень стрибки виявляються “зафіксованими” у самому тренді, і останній знову ж таки можна застосувати у прогнозуванні.

Вище було сформульовано основні умови, наявність яких дає можливість здійснювати екстраполяцію тренду. У практиці прогнозування може виникнути питання, а як вчинити, якщо умови формування тренду помітно змінюються і слід очікувати і в майбутньому? І тут можливі різні підходи до вирішення проблем. Зокрема, у ряді випадків тренд можна “виправити”, скорочуючи період спостереження, відсікаючи члени низки, сформовані за інших умов і спотворюють нову тенденцію. Однак далеко не завжди можна провести чіткий кордон у часі, який розділяє нові та старі умови розвитку досліджуваного явища. У цьому випадку відповідним є оцінювання параметрів, що враховує старіння даних. Такий прийом можливий тоді, коли перехід до нових умов не має різкого кордону і водночас є, підстави вважати вплив цього переходу є досить ефективним. Нарешті, можливе коригування параметрів рівнянь, що характеризують тренд. Наприклад, зміна постійного члена у рівнянні полінома зрушує тренд по осі ординат, не змінюючи форми кривої. Такий прийом застосовується, коли передбачається, що розвиток слідуватиме минулої тенденції, проте є підстава для переходу до будь-якого базового рівня, що відрізняється від рівня, отриманого за рівнянням тренду.

Коригування можуть бути піддані інші параметри (крім постійного члена). Такі поправки змінюють форму тренда. Наприклад, змінюють кут нахилу прямий, розтягують чи стискають криву тощо. Подібні деформації тренду, очевидно, повинні мати достатні підстави.

Мабуть, найправильнішим було б розглядати екстраполяцію не як кінцевий результат прогнозування, а як певний момент, на основі якого із залученням додаткової інформації, що не міститься в динамічному ряду, розробляють прогноз. Водночас часто її результат з відповідним коригуванням або без неї розглядається і як остаточний прогноз.

Якщо при аналізі розвитку об'єкта прогнозу є підстави прийняти два базові припущення екстраполяції, про які йшлося вище, то процес прогнозування полягає у підстановці відповідної величини періоду попередження у формулу, що описує тренд.

Проведемо прогнозування на основі екстраполяції кращої форми тренду (поліном 3-го ступеня) для третього періоду вихідного динамічного ряду:

Для експорту,

Для імпорту.

Відповідно прогноз обсяг експорту та імпорту на 2006 рік (t=13) складе:

Експорт: млрд.$ US,

Імпорт: млрд.$US.

Відповідно прогноз обсяг експорту та імпорту на 2007 рік (t=14) складе:

Експорт: млрд.$ US,

Імпорт: млрд.$US.

Екстраполяція дає можливість отримати точкове значення прогнозу, що може бути визнано задовільним лише за наявності функціональної залежності. Однак для економічних явищ характерна кореляційна залежність та змінні, як правило, є безперервними. Отже, вказівка ​​точкових значень прогнозу, строго кажучи, позбавлена ​​змісту, оскільки "потрапляння" в крапку має нульову ймовірність. Звідси випливає, що прогноз має бути у вигляді інтервалу значень, тобто. необхідне визначення довірчого інтервалупрогнозу.

6.1. Довірчі інтервали прогнозу

При визначенні прогностичних значень того чи іншого явища за допомогою екстраполяції найбільший інтерес представляє, мабуть, не сама екстраполяція - це більш менш механічний прийом, а визначення довірчих інтервалів прогнозу.

Довірчі інтервали можна визначити двояко: формально і неформально. Що ж до останнього, це справа експертного судження, яке виноситься при якісному осмисленні результатів прогнозу, зіставленні їх із іншими наявними в експерта даними. При цьому, природно, експерт повинен враховувати не тільки ступінь коливання фактичних рівнів навколо тренду в минулому, а й можливість деформації тренду в майбутньому (відповідно, можуть бути отримані різні варіантипрогнозу).

Формальний довірчий інтервал враховує лише ту невизначеність, яка пов'язана з обмеженістю числа спостережень та неточністю знайдених оцінок параметрів кривої. Основне питання - якою мірою в майбутньому збережеться знайдена тенденція, - природно, не може бути вирішено за допомогою таких довірчих інтервалів. Це справа змістовного економічного аналізуі експертної оцінки. Основна увага в даному навчальному посібникуприділимо оцінці формальних довірчих інтервалів, що базуються на статистичному аналізі. Зауважимо, що формальні довірчі інтервали можна отримати далеко не у всіх випадках. Зокрема, для складних кривих, що відрізняються від поліномів, якщо їх і можна визначити, довірчі інтервали мають досить умовний характер. точкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, - явище малоймовірне Відповідна похибка має такі джерела:

1) вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою, а тим паче кращою для екстраполяції у цих конкретних умовах;

2) оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренду) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу у просторі властива деяка невизначеність;

3) тренд характеризує середній рівень низки за кожен час. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому. Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може суттєво змінитися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. В останньому випадку основне припущення екстраполяції не відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелами, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий прогноз перетворюється на інтервальний.

Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчого інтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірювач коливання ряду значень ознаки, що спостерігаються. Чим вище ця коливання, тим менш виразно становище тренда у просторі “рівень - час” і тим ширше має бути інтервал для варіантів прогнозу за однієї й тієї ж ступеня довіри. Традиційно як такий вимірник коливання використовується середнє квадратичне (стандартне) відхилення фактичних спостережень від розрахункових, отриманих при вирівнюванні динамічного ряду. У загальному виглядісередня квадратичне відхиленнявід тренду можна висловити як

,

де відповідно фактичне і розрахункове значення рівня ряду;

f ¾число ступенів свободи, f = n - т,де т ¾число оцінюваних параметрів; n ¾кількість спостережень. Так, якщо вирівнювання проводиться по прямій, то f = n - 2,для параболи другого ступеня f = n ‑ 3 і т.д.

Суму квадратів відхилень від тренда (візьмемо для простоти лінійний тренд) можна, очевидно, розкласти так:

Цей вираз можна спростити. Припустимо, що початок відліку часу знаходиться в середині ряду, тоді S t = 0. Параметри аі b,як ми переконалися раніше, у разі рівні:

Звідси після спрощень отримуємо:

Різниця перших двох членів правої сторони цієї рівності дорівнює сумі квадратів відхилень від середньої арифметичної, тобто. Таким чином,

Вираз показує, що сума квадратів відхилень від лінійного тренду менша, ніж від середньої арифметичної. Цим виразом можна скористатися у випадках, коли характеристика коливань навколо тренда визначається доти, як визначено сам тренд.

Сума квадратів відхилень від ліній тренду, тобто, і середнє квадратичне відхилення від тренду S yє основою щодо середньої квадратичної помилки окремих параметрів рівняння тренду та його довірчих інтервалів, і навіть помилки і довірчих інтервалів тренду і прогнозу.

Перш ніж приступити до визначення довірчого інтервалу прогнозу, необхідно зробити застереження про деяку умовність розрахунків, що розглядається. Те, що слідує далі, є, певною мірою, довільним перенесенням результатів, знайдених для регресії вибіркових показників, на аналіз динамічних рядів. Справа в тому, що припущення регресійного аналізупро нормальність розподілу відхилень навколо лінії регресії неспроможна, по суті, беззастережно затверджуватись при аналізі динамічних рядів.

Отримані в ході статистичного оцінювання параметри не вільні від похибки, пов'язаної з тим, що обсяг інформації, на основі якої проводилося оцінювання, обмежений і в певному сенсі цю інформацію можна розглядати як вибірку. У будь-якому випадку, зміщення періоду спостереження тільки на один крок або додавання, або усунення членів ряду через те, що кожен член ряду містить випадкову компоненту, призводить до зміни чисельних оцінок параметрів. Звідси розрахункові значення несуть у собі тягар невизначеності, що з помилками у значенні параметрів.

Загалом довірчий інтервал для тренду визначається як:

де ¾ середня квадратична помилкатренда;

розрахункове значення y t;

¾ значення t-Статистики Стьюдента.

Довірчий інтервал для прогнозу, очевидно, має враховувати як невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, а й можливість відхилення від цього тренда.

У практиці трапляються випадки, коли більш менш обґрунтовано для екстраполяції можна застосувати кілька типів кривих. При цьому міркування іноді зводяться до наступного. Оскільки кожна з кривих характеризує один із альтернативних трендів, то очевидно, що простір між екстраполюваними трендами і є деякою “природною довірчою областю” для прогнозованої величини. З таким твердженням не можна погодитись. Насамперед тому, що кожна з можливих ліній тренду відповідає деякій заздалегідь прийнятій гіпотезі розвитку. Простір між трендами не пов'язане з жодною з них - через нього можна провести необмежену кількість трендів. Слід також додати, що довірчий інтервал пов'язаний із деяким рівнем ймовірності виходу за його межі. Простір між трендами не пов'язане з рівнем ймовірності, а залежить від вибору типів кривих. До того ж за досить тривалого періоду попередження цей простір, як правило, стає настільки значним, що подібний “довірчий інтервал” втрачає будь-який сенс.

У STATISTICA при розрахунку довірчих інтервалів прогнозу величину середнього квадратичного відхилення S yможна визначити скориставшись таблицею дисперсійного аналізу. Розраховане в комірці Residual Mean Squares значення відповідає підкореним виразом у формулі для S y, тобто залишкової дисперсії. Залишається тільки витягти з нього квадратний корінь. Однак, необхідно пам'ятати, що ми користувалися лінеаризацією, а відповідно цей показник також необхідно перерахувати.

При визначенні прогнозних значень того чи іншого явища за допомогою екстраполяції найбільший інтерес представляє, мабуть, не сама екстраполяція – це більш менш механічний прийом, а визначення довірчих інтервалів прогнозу.

Довірчі інтервали можна визначити двояко: формально і неформально. Що ж до останнього, це справа експертного судження, яке виноситься при якісному осмисленні результатів прогнозу, зіставленні їх із іншими наявними в експерта даними. При цьому, природно, експерт має враховувати не тільки ступінь коливання фактичних рівнів навколо тренду в минулому, але й можливість деформації тренду в майбутньому (відповідно можуть бути різні варіанти прогнозу).

Формальний довірчий інтервал враховує лише ту невизначеність, яка пов'язана з обмеженістю числа спостережень та неточністю знайдених оцінок параметрів кривої. Основне питання, якою мірою в майбутньому збережеться знайдена тенденція, природно, не може бути вирішене за допомогою таких довірчих інтервалів. Це справа змістовного економічного аналізу та експертної оцінки.

Основну увагу у цьому навчальному посібнику приділимо оцінці формальних довірчих інтервалів, що базуються на статистичному аналізі.

Відповідна похибка має такі джерела:

1) вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою, а тим паче кращою для екстраполяції у цих конкретних умовах;

2) оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренду) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу у просторі властива деяка невизначеність;

3) тренд характеризує середній рівень низки за кожен час. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому. Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може суттєво змінитися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. В останньому випадку основне припущення екстраполяції не відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелами, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий прогноз перетворюється на інтервальний.

Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчого інтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірювач коливання ряду значень ознаки, що спостерігаються. Чим вище ця коливання, тим менш виразно становище тренда у просторі “рівень - час” і тим ширше має бути інтервал для варіантів прогнозу за однієї й тієї ж ступеня довіри. Традиційно як такий вимірник коливання використовується середнє квадратичне (стандартне) відхилення (3.11).

Отримані в ході статистичного оцінювання параметри не вільні від похибки, пов'язаної з тим, що обсяг інформації, на основі якої проводилося оцінювання, обмежений і в певному сенсі цю інформацію можна розглядати як вибірку. У будь-якому випадку, зміщення періоду спостереження тільки на один крок або додавання, або усунення членів ряду через те, що кожен член ряду містить випадкову компоненту, призводить до зміни чисельних оцінок параметрів. Звідси розрахункові значення несуть у собі тягар невизначеності, що з помилками у значенні параметрів.

Загалом довірчий інтервал для тренду визначається як:

, (4.1)

де – середня квадратична помилка тренду; -Розрахункове значення рівня ряду; -значення t-Статистики Стьюдента.

У STATISTICA при розрахунку довірчих інтервалів прогнозу величину середнього квадратичного відхилення S yможна визначити, скориставшись таблицею дисперсійного аналізу (див. рис. 3.17). Розраховане в осередку Residual Mean Squares значення відповідає підкореному виразу у формулі (3.11) для S y, тобто залишкової дисперсії. Залишається лише витягти з нього квадратний корінь ( тис.чол.).

Одне з найпоширеніших методів прогнозування полягає у екстраполяції, тобто. у передбаченні майбутнього на основі даних минулого.

Екстраполяція базується на таких припущеннях:

§ розвиток явища може бути з достатньою основою охарактеризовано плавною траєкторією - трендом;

§ загальні умови, що визначають тенденцію розвитку в минулому, не зазнають суттєвих змін у майбутньому.

Таким чином, екстраполяція дає опис деякого загального розвитку об'єкта прогнозування. Причому якщо розвиток у минулому мало перманентно стрибкоподібний характер, то при досить тривалому періоді спостережень стрибки виявляються «зафіксованими» у самому тренді, і останній знову ж таки можна застосувати у прогнозуванні.

Проведемо прогнозування на основі екстраполяції кращої форми тренду (лінійної) для експорту за період 2001-2007 рр.:

Нагадаємо, що у поточної змінної 7 рівнів ряду, позначених натуральними числами. Відповідно прогноз динаміки експорту у 2008 (t=8) складе:

(Млрд. дол)

Проведемо прогнозування на основі екстраполяції кращої форми тренду (лінійної) для імпорту за період 2001-2007 рр.:

Нагадаємо, що у поточної змінної 7 рівнів ряду, позначених натуральними числами. Відповідно прогноз динаміки імпорту у 2008 (t=8) складе:

(Млрд. дол)

Екстраполяція дає можливість отримати точкове значення прогнозу, що може бути визнано задовільним лише за наявності функціональної залежності. Однак для економічних явищ характерна кореляційна залежність та змінні, як правило, є безперервними. Отже, зазначення точкових значень прогнозу, строго кажучи, позбавлене змісту. Звідси випливає, що прогноз має бути у вигляді інтервалу значень, тобто. потрібне визначення довірчого інтервалу прогнозу.

Довірчі інтервали прогнозу

При складанні прогнозу похибка має такі джерела:

§ вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою, а тим паче кращою для екстраполяції у цих конкретних умовах;

§ оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренду) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу у просторі властива деяка невизначеність;

§ тренд характеризує середній рівень ряду на кожний момент часу. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому.

Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може суттєво змінитися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. В останньому випадку основне припущення екстраполяції не відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелами, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий прогноз перетворюється на інтервальний.

У будь-якому випадку, зміщення періоду спостереження тільки на один крок або додавання, або усунення членів ряду через те, що кожен член ряду містить випадкову компоненту, призводить до зміни чисельних оцінок параметрів. Звідси розрахункові значення несуть у собі тягар невизначеності, що з помилками у значенні параметрів.

Загалом довірчий інтервал для тренду визначається як:

де – середня квадратична помилка тренда;

Розрахункове значення y t;

Значення t-статистики Стьюдента.

У STATISTICA під час розрахунку довірчих інтервалів прогнозу величину середнього квадратичного відхилення S y можна визначити, скориставшись таблицею дисперсійного аналізу. Розраховане в комірці Residual Mean Squares значення відповідає підкореного виразу у формулі для S y тобто залишкової дисперсії. Залишається лише витягти з нього квадратний корінь.

Для експорту (див. таблицю 77), імпорту (див. таблицю 80).

Отже, для експорту S y = 18,11, для імпорту S y = 25,45.

Значення коефіцієнта довіри t знаходимо за таблицею Стьюдента з урахуванням довірчої ймовірності 95%. При використанні лінійної та степеневої функційчисло ступенів свободи дорівнює 4 відповідно значення критерію дорівнює 2,776.

Таким чином, довірчий інтервал прогнозу для експорту на 2008 рік визначається як:

Цей прогноз можна інтерпретувати так: кількість експорту Японії в 2008 році з ймовірністю 95% становитиме від 704,542 млрд. дол. до 805,089 млрд. дол.

Довірчий інтервал прогнозу для імпорту на 2008 рік визначається як:

Цей прогноз можна інтерпретувати так: кількість імпорту Японії в 2008 році з ймовірністю 95% становитиме від 596,072 млрд. дол. до 737,371 млрд. дол.

Графічне подання результатів прогнозування

Завершальним етапом прогнозування є побудова графічних зображень, що дають уявлення про точність прогнозу та наочно демонструють розмах довірчих інтервалів.

Таблиця 89. Дані прогнозування експорту

Мал. 63.

Таблиця 90. Дані прогнозування експорту

Мал. 64.

На жаль, у разі реальні значення вийшли межі довірчого інтервалу прогнозу, що вкотре підкреслює проблеми вибору моделі тренда.

Екстраполяція на основі середнього темпу зростання та середнього абсолютного приросту

У цьому пункті розглянемо прогнозування з урахуванням середнього темпу зростання. Значення майбутніх періодів набувають, керуючись формулою:

де - середній темпзростання; - Рівень, прийнятий за базу для екстраполяції.

Середній темп зростання визначається як:

де y n - дані за останній рікперіоду, а y 1 - дані по першому року у аналізованому періоді.

Розрахуємо для експорту:

Довірчий інтервал:

Таблиця 91. Розрахунки за формулою, середній темп зростання експорту Японії

Ідея економічного прогнозування базується на припущенні, що закономірність розвитку, що діяла в минулому (всередині низки економічної динаміки), збережеться і в прогнозованому майбутньому. У цьому сенсі прогноз заснований на екстраполяції.Екстраполяція, що проводиться у майбутнє, називається перспективною,а в минуле - ретроспективний.

Прогнозування методом екстраполяції базується на таких припущеннях:

• а) розвиток досліджуваного явища загалом описується плавною кривою;
• б) загальна тенденція розвитку явища у минулому та сьогоденні не вказує на серйозні зміни в майбутньому;
• в) облік випадковості дозволяє оцінити можливість відхилення від закономірного розвитку.

Надійність та точність прогнозу залежать від того, наскільки близькими до дійсності виявляться ці припущення та наскільки точно вдалося охарактеризувати виявлену в минулому закономірність.

На основі побудованої моделі розраховуються точкові та інтервальні прогнози.

Точковий прогноз для тимчасових моделей виходить підстановкою модель (рівняння тренда) відповідного значення чинника часу, тобто. t = п + 1, п + 2,..., п + до,де до -період попередження.

Точний збіг фактичних даних та прогностичних точкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції, має малу ймовірність. Виникнення відповідних відхилень пояснюється такими причинами:

• 1) обрана для прогнозування крива не є єдиною можливою для опису тенденції. Можна підібрати таку криву, яка дає точніші результати;
• 2) прогноз здійснюється на підставі обмеженої кількості вихідних даних. Крім того, кожен вихідний рівень має ще й випадкову компоненту; тому крива, по якій здійснюється екстраполяція, також міститиме випадкову компоненту;
• 3) тенденція характеризує рух середнього рівня низки динаміки, тому окремі спостереження можуть від нього відхилятися. Якщо такі відхилення спостерігалися у минулому, то вони спостерігатимуться й у майбутньому.

Інтервальні прогнози будуються з урахуванням точкових прогнозів. Довірчим інтерваломназивається такий інтервал, щодо якого можна з наперед обраною ймовірністю стверджувати, що він містить значення прогнозованого показника. Ширина інтервалу залежить від якості моделі (тобто ступеня її близькості до фактичних даних), числа спостережень, горизонту прогнозування, обраного користувачем рівня ймовірності та інших факторів.

При побудові довірчого інтервалу прогнозу розраховується величина U(k),яка для лінійної моделі має вигляд

де про неї -стандартна помилка (середньоквадратичне відхилення від лінії тренду); п-р -число ступенів свободи (для лінійної моделі у = a Q + a (tкількість параметрів р = 2).

Коефіцієнт / є табличним значенням ^-статистики Стьюдента при заданому рівні значущості та кількості спостережень. (Примітка. Табличне значення tможна отримати за допомогою функції Excel(стюдраспобр.)

Для інших моделей величина Щк)розраховується аналогічним чином, але має більш громіздкий вигляд. Як видно з формули (3.5.21), величина U(k)залежить прямо пропорційно від точності моделі коефіцієнта довірчої ймовірності / , ступеня поглиблення в майбутнє докроків уперед, тобто. на момент t=п + до,і обернено пропорційна обсягу спостережень.

Довірчий інтервал прогнозуматиме такі межі:

Якщо побудована модель адекватна, то з обраною користувачем ймовірністю можна стверджувати, що при збереженні закономірностей розвитку, що склалися прогнозована величина потрапляє в інтервал, утворений верхньою та нижньою межами.

Після отримання прогнозних оцінок необхідно переконатися в їх розумності та несуперечності оцінкам, отриманим іншим способом.

Приклад 3.5.4. Фінансовий директор АТ «Веста» розглядає доцільність щомісячного фінансування інвестиційного проекту з такими обсягами нетто-платежів, тис. руб.

• 1. Визначити лінійну модель залежності обсягів платежів від термінів (часу).
• 2. Оцінити якість (тобто адекватність та точність) побудованої моделі на основі дослідження:
  • а) випадковості залишкової компоненти за критерієм піків;
  • б) незалежності рівнів низки залишків за ^w-критерієм (як критичні значення використовувати рівні d x= 1,08 та d 2 = 1,36) та за першим коефіцієнтом автокореляції, критичний рівень якого г(1) = 0,36;
  • в) нормальності розподілу залишкової компоненти за /^-критерієм з критичними рівнями 2,7-3,7;
  • г) середньої за модулем відносної помилки.
• 3. Визначити розміри платежів на три наступні місяці (побудувати точковий та інтервальний прогнози на три кроки вперед (при рівні значимості 0,1), відобразити на графіку фактичні дані, результати розрахунків та прогнозування).

Оцінити доцільність фінансування цього проекту, якщо наступного кварталі з цією метою фірма може виділити лише 120 тис. крб.

• 1. Побудова моделі
• 1) Оцінка параметрів моделі за допомогою надбудови Excel Аналізданих. Збудуємо лінійну модель регресії Yвід /. Для проведення регресійного аналізу виконайте такі дії:
  • ? Виберіть команду Сервіс => Аналіз даних.
  • ? У діалоговому вікні Аналіз даних виберіть інструмент Регресія, а потім натисніть кнопку ок.
  • ? У діалоговому вікні Регресія в полі Вхідний інтервал У введіть адресу одного діапазону осередків, який представляє залежну змінну. У полі Вхідний інтервал Xвведіть адресу діапазону, який містить значення незалежної змінної t.Якщо виділено і заголовки стовпців, установіть прапорець Мітки у першому рядку.
  • ? Виберіть параметри виводу (у цьому прикладі - Нова робоча книга).
  • ? У полі Графік підбору встановіть прапорець.
  • ? У полі Залишки поставте потрібні прапорці та натисніть кнопку ОК.

Результат регресійного аналізу буде отримано у вигляді, наведеному на рис. 3.5.11 та 3.5.12.

Мал. 3.5.11.

Другий стовпець на рис. 3.5.11 містить коефіцієнти рівняння регресії а 0 , a v

Крива зростання залежності обсягів платежів від строків (часу) має вигляд

2) Оцінка параметрів моделі "вручну". У табл. 3.5.8 наведено проміжні розрахунки параметрів лінійної моделі за формулами (3.5.16). В результаті розрахунків отримуємо ті самі значення:

Мал. 3.5.12.

Таблиця 3.5.8

Іноді для перевірки розрахунків корисно перевірити введені формули. Для цього слід вибрати команду Сервіс => Параметрита поставити прапорець у вікні формули (рис. 3.5.13).

Мал. 3.5.13.

Після цього на аркуші Excel розрахункові значення будуть замінені відповідними формулами та функціями (табл. 3.5.9).

• 2. Оцінка якості моделі
• 1) Для оцінки адекватностіпобудованих моделей досліджуються характеристики залишкової компоненти, тобто. розходження рівнів, розрахованих за моделлю, та фактичних спостережень (табл. 3.5.10).

При перевірці незалежності(відсутності автокореляції) визначається відсутність у ряді залишків систематичної складової, наприклад, за допомогою ^w-критерію Дарбіна - Вотсона за формулою (3.4.8):

Так як dw" = 1,88 потрапило в інтервал від d 2 до 2, то за даним критерієм можна дійти невтішного висновку про виконання якості незалежності (див. табл. 3.4.1). Це означає, що в ряді динаміки немає автокореляції, отже, модель за цим критерієм адекватна.

Перевірку випадковості рівнів низки залишківпроведемо з урахуванням критерію поворотних точок [див. формулу (3.5.18)]. Кількість поворотних точок р при п = 12 і 5 (рис. 3.5.14):

Нерівність виконується (5> 4). Отже, властивість випадковості виконується. Модель за цим критерієм є адекватною.

Відповідність низки залишків нормальному законурозподілувизначимо за допомогою критерію:

де максимальний рівень низки залишків е тах = 4,962, мінімальний рівень низки залишків e min = -5,283 (див. табл. 3.5.10), а середньоквадратичне відхилення

Мал. 3.5.14.

Отримуємо

Розрахункове значення потрапляє до інтервалу (2,7-3,7), отже, виконується властивість нормальності розподілу. Модель за цим критерієм є адекватною.

Перевірка рівності нулю математичного очікуваннярівнів низки залишків.У нашому випадку е = 0 тому гіпотеза про рівність математичного очікування значень залишкового ряду нулю виконується.

Дані аналізу низки залишків наведено у табл. 3.5.11.

2) Для оцінки точностімоделі обчислимо середню відносну помилкуапроксимації Е ти (табл. 3.5.12).

Отримуємо

Висновок: - гарний рівеньточності моделі.

Таблиця 3.5.12

3. Побудова точкового та інтервального прогнозів на три кроки вперед

Для обчислення точкового прогнозу у побудовану модель підставляємо відповідні значення фактора t = n + до:

Для побудови інтервального прогнозу розрахуємо довірчий інтервал. За рівня значимості а = 0,1 довірча ймовірністьдорівнює 90%, а критерій Стьюдента при v = п - 2 = 10 дорівнює 1,812. Ширину довірчого інтервалу обчислимо за такою формулою (3.5.21):

де (можна взяти з протоколу регресійного аналізу), / = 1,812 (табличне значення можна отримати в Excel за допомогою функції (стюдраспобр), Т = 6,5,

(знаходимо з табл. 3.5.8);

Таблиця 3.5.13

Відповідь. Модель має вигляд Y(t)= 38,23 + 1,81/. Розміри платежів становитимуть 61,77; 63,58; 65,40 тис. руб. Отже, коштів у обсязі 120 тис. крб. на фінансування цього інвесту-

Мал. 3.5.15.

ційного проекту на три наступні місяці буде недостатньо, тому потрібно або знайти додаткові кошти, або відмовитися від цього проекту.

Якщо при аналізі розвитку об'єкта прогнозу є підстави прийняти два базові припущення екстраполяції, про які ми говорили вище, то процес екстраполяції полягає у підстановці відповідної величини періоду попередження у формулу, яка описує тренд.

Екстраполяція, власне кажучи, дає точкову прогностичну оцінку. Інтуїтивно відчувається недостатність такої оцінки та необхідність отримання інтервальної оцінкидля того, щоб прогноз, охоплюючи деякий інтервал значень прогнозованої змінної, був надійнішим. Як сказано вище, точне збіг фактичних даних і прогностичних точкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, - явище малоймовірне. Відповідна похибка має такі джерела:

1) вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою або тим найкращою для екстраполяції в даних конкретних умовах;

2) оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренду) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу у просторі властива деяка невизначеність;

3) тренд характеризує деякий середній рівень низки кожного моменту времени. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому. Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Похибка, пов'язана з другим та третім її джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий екстраполяційний прогноз перетворюється на інтервальний.

Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може суттєво змінитися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. В останньому випадку основне припущення екстраполяції не відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження прогнозу.

Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренду, полягає у визначенні довірчих інтервалів прогнозу. Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчого інтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірювач коливання ряду значень ознаки, що спостерігаються. Чим вище ця коливання, тим менш виразно становище тренда у просторі “рівень - час” і тим ширше має бути інтервал для варіантів прогнозу за однієї й тієї ж ступеня довіри. Отже, при побудові довірчого інтервалу прогнозу слід зважити на оцінку коливання або варіації рівнів ряду. Зазвичай такою оцінкою є середнє відхилення ( стандартне відхилення) фактичних спостережень від розрахункових, отриманих під час вирівнювання динамічного ряду.

Перш ніж приступити до визначення довірчого інтервалу прогнозу, необхідно зробити застереження про деяку умовність розрахунків, що розглядається. Те, що слідує далі, є певною мірою довільним перенесенням результатів, знайдених для регресії вибіркових показників, на аналіз динамічних рядів. Річ у тім, що припущення регресійного аналізу нормальності розподілу відхилень навколо лінії регресії неспроможна, сутнісно, ​​беззастережно затверджуватись при аналізі динамічних рядів.

Отримані в ході статистичного оцінювання параметри не вільні від похибки, пов'язаної з тим, що обсяг інформації, на основі якої проводилося оцінювання, обмежений і в певному сенсі цю інформацію можна розглядати як вибірку. У будь-якому випадку зміщення періоду спостереження тільки на один крок або додавання або усунення членів ряду в силу того, що кожен член ряду містить випадкову компоненту, призводить до зміни чисельних оцінок параметрів. Звідси розрахункові значення несуть у собі тягар невизначеності, що з помилками у значенні параметрів.

У загальному вигляді довірчий інтервал для тренду визначається як

де середня квадратична помилка тренда;

¾ розрахункове значення yt;

¾ значення t-Статистики Стьюдента.

Якщо t = i+ Lто рівняння визначить значення довірчого інтервалу для тренду, продовженого на Lодиниць часу.

Довірчий інтервал для прогнозу, очевидно, має враховувати як невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, а й можливість відхилення від цього тренда. У практиці трапляються випадки, коли більш менш обґрунтовано для екстраполяції можна застосувати кілька типів кривих. При цьому міркування іноді зводяться до наступного. Оскільки кожна з кривих характеризує один із альтернативних трендів, то очевидно, що простір між екстраполюваними трендами і є деякою “природною довірчою областю” для прогнозованої величини. З таким твердженням не можна погодитись. Насамперед тому, що кожна з можливих ліній тренду відповідає деякій заздалегідь прийнятій гіпотезі розвитку. Простір між трендами не пов'язане з жодною з них - через нього можна провести необмежену кількість трендів. Слід також додати, що довірчий інтервал пов'язаний із деяким рівнем ймовірності виходу за його межі. Простір між трендами не пов'язане з рівнем ймовірності, а залежить від вибору типів кривих. До того ж за досить тривалого періоду попередження цей простір, як правило, стає настільки значним, що подібний “довірчий інтервал” втрачає будь-який сенс.

За умови врахування стандартних помилок оцінок параметрів рівняння тренду (які за визначенням є вибірковими, а отже, можуть бути оцінками невідомих генеральних параметрів через прояв випадкової помилки репрезентативності), і не розглядаючи послідовність перетворень отримаємо загальну формулу довірчого інтервалу прогнозу.

де - значення прогнозу, розрахованого за рівнянням тренду на період t+L

¾ середня квадратична помилка тренду;

К - коефіцієнт, що враховує помилки коефіцієнтів рівняння тренду

¾ значення t-Статистики Стьюдента.

Коефіцієнт Дорозраховується так

n кількість спостережень (довжина ряду динаміки);

L – кількість прогнозів

Значення До залежить тільки від п і L, тобто тривалості спостереження та періоду прогнозування.

Приклад розрахунку прогнозу та побудови довірчого інтервалу прогнозу.

Оптимальним трендом є лінійний тренд . Необхідно розрахувати прогнози обсягів імпорту у Німеччині на 1996 та 1997 рік. Для цього необхідно визначити значення рівнів тренду при значеннях тимчасового фактора 14 та 15.

Обсяг імпорту в 1996 р.

Обсяг імпорту в 1997 р.

Стандартна помилка тренду Sy = 30,727. p align="justify"> Коефіцієнт довіри розподілу Ст'юдента при рівні значимості 0,05 і числі ступенів свобод дорівнює 2,16. Коефіцієнт До дорівнює 1,428:

Таким чином, нижня межа першого довірчого інтервалу дорівнює 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Верхня межа дорівнює 568,28: 473,452 +30,727 * 2,16 * 1,428.

Результати розрахунків необхідно оформити у вигляді таблиці та графічно

Даний графік малюється так:

1) необхідно зробити копію вже існуючого графіка згладжування динамічного ряду лінійним трендом

2) домалювати недостатні значення (фактичні рівні низки за 1996 та 1997 рік, прогнози на 1996 та 1997 рік, а також межі довірчих інтервалів).

Графік певною мірою умовний, оскільки точний масштаб навряд чи вдасться виставити. Малювати можна як від руки, так і за допомогою інструментів малювання Excel.