لحظه اگر. لحظه نیرو: قانون و اعمال

لحظه یک جفت نیرو

گشتاور نیرو نسبت به یک نقطه (مرکز) بردار عددی برابر حاصلضرب مدول نیرو و بازو است، یعنی. کوتاه ترین فاصله از نقطه مشخص شده تا خط عمل نیرو، و عمود بر صفحه ای که از نقطه انتخاب شده می گذرد و خط عمل نیرو در جهتی که "چرخش" توسط نیروی حول نقطه خلاف جهت عقربه های ساعت به نظر می رسد. لحظه نیرو، عمل چرخشی آن را مشخص می کند.

اگر یک O- نقطه ای که ممان نیرو در آن قرار دارد اف، سپس لحظه نیرو با نماد نشان داده می شود M o (F). اجازه دهید نشان دهیم که اگر نقطه اعمال نیرو افتوسط بردار شعاع تعیین می شود r، سپس رابطه

M o (F)=r×F. (3.6)

با توجه به این نسبت ممان نیرو برابر است با حاصل ضرب برداری بردار r به بردار F.

در واقع، مدول حاصلضرب متقاطع است

M o ( اف)=RFگناه= Fh, (3.7)

جایی که ساعت- بازوی قدرت همچنین توجه داشته باشید که بردار M o (F)عمود بر صفحه ای که از بردارها می گذرد rو اف، در جهتی که از آن کوتاه ترین چرخش بردار است rبه جهت بردار افخلاف جهت عقربه های ساعت به نظر می رسد بنابراین فرمول (3.6) مدول و جهت ممان نیرو را به طور کامل تعیین می کند اف.

گاهی اوقات نوشتن فرمول (3.7) در فرم مفید است

M o ( اف)=2اس, (3.8)

جایی که اس- مساحت یک مثلث OAB.

اجازه دهید ایکس, y, zمختصات نقطه اعمال نیرو هستند و Fx, Fy, Fzپیش بینی نیرو بر روی محورهای مختصات هستند. سپس اگر نقطه Oکه در مبدا قرار دارد، لحظه نیرو به صورت زیر بیان می شود:

بدین ترتیب پیش بینی گشتاور نیرو بر روی محورهای مختصات با فرمول تعیین می شود:

M Ox(اف)=yF z -zF y,

M Oy(اف)=zF x -xF z ,

M Oy(اف)=xF y -yF x. (3.10)

حال اجازه دهید مفهوم پرتاب نیرو به صفحه را معرفی کنیم.

باشد که قوت داده شود افو چند هواپیما اجازه دهید عمود بر این صفحه را از ابتدا و انتهای بردار نیرو رها کنیم.

پرتاب نیرو بر روی هواپیماتماس گرفت بردار ، که ابتدا و انتهای آن با برآمدگی ابتدا و انتهای آن نیرو بر روی این صفحه منطبق است.

اگر هواپیما را به عنوان هواپیمای در نظر گرفته شده در نظر بگیریم هوی، سپس طرح ریزی نیرو افدر این صفحه یک بردار وجود خواهد داشت افهو.

لحظه قدرت افهونسبت به نقطه O(نقاط تقاطع محور zبا هواپیما هوی) را می توان با فرمول (3.9) محاسبه کرد اگر بگیریم z=0, Fz=0. گرفتن

مO(افهو)=(xF y -yF x)ک.

بنابراین، لحظه در امتداد محور هدایت می شود z، و طرح ریزی آن بر روی محور zدقیقاً منطبق بر روی همان محور لحظه نیرو است افنسبت به نقطه O. به عبارت دیگر،

ام اوز(اف)=ام اوز(افهو)= xF y -yF x. (3.11)

بدیهی است که همین نتیجه را می توان با برون افکنی نیرو به دست آورد افبه هر صفحه موازی با هوی. در این حالت نقطه تقاطع محور zبا هواپیما متفاوت خواهد بود (نقطه تقاطع جدید را از طریق نشان می دهیم Oیک). با این حال، همه در سمت راستبرابری (3.11) مقادیر ایکس, در, F x, افبدون تغییر باقی می ماند و بنابراین می توانیم بنویسیم

ام اوز(اف)=M O 1 z ( افهو).

به عبارت دیگر، طرح ریزی گشتاور نیرو حول نقطه ای از محوری که از این نقطه می گذرد به انتخاب نقطه ای روی محور بستگی ندارد. . بنابراین، در آنچه در زیر می آید، به جای نماد ام اوز(اف) از نماد استفاده خواهیم کرد Mz(اف). این پیش بینی لحظه ای نامیده می شود لحظه نیروی حول محور z. محاسبه گشتاور نیروی حول یک محور اغلب به راحتی توسط پیش بینی نیرو انجام می شود. افروی صفحه عمود بر محور و محاسبه مقدار Mz(افهو).

مطابق با فرمول (3.7) و با در نظر گرفتن علامت برجستگی، به دست می آوریم:

Mz(اف)=Mz(افهو)=± F xy h*. (3.12)

اینجا h*- بازوی قدرت افهونسبت به نقطه O. اگر ناظر از سمت جهت مثبت محور z ببیند که نیرو افهوتمایل دارد بدن را حول یک محور بچرخاند zدر خلاف جهت عقربه های ساعت، علامت "+" گرفته می شود و در غیر این صورت - علامت "-".

فرمول (3.12) امکان فرمول بندی را فراهم می کند قانون بعدیبرای محاسبه گشتاور نیرو حول یک محور. برای این شما نیاز دارید:

یک نقطه دلخواه در محور انتخاب کنید و یک صفحه عمود بر محور بسازید.

نیرویی را روی این هواپیما بفرستید.

بازوی پیش بینی نیروی h* را تعیین کنید.

گشتاور نیرو حول محور برابر است با حاصل ضرب ماژول نیروی پیش بینی شده روی شانه آن که با علامت مناسب گرفته شده است (قانون بالا را ببینید).

از فرمول (3.12) نتیجه می شود که گشتاور نیرو حول محور در دو حالت صفر است:

· هنگامی که پیش بینی نیرو بر روی صفحه عمود بر محور برابر با صفر باشد، یعنی. وقتی نیرو و محور موازی هستند ;

هنگام برون ریزی شانه h*برابر با صفر است، یعنی هنگامی که خط عمل از محور عبور می کند .

هر دوی این موارد را می توان در یکی ترکیب کرد: گشتاور نیرو حول محور صفر است اگر و فقط اگر خط عمل نیرو و محور در یک صفحه باشند. .

وظیفه 3.1.نسبت به یک نقطه محاسبه کنید Oلحظه قدرت افبه نقطه اعمال می شود ولیو یک وجه مکعبی به صورت مورب جهت دار با ضلع آ.

هنگام حل چنین مسائلی، توصیه می شود ابتدا لحظه های نیرو را محاسبه کنید افنسبت به محورهای مختصات ایکس, y, z. مختصات نقطه ولیاعمال زور افاراده

پیش بینی های نیرو افدر محورهای مختصات:

با جایگزینی این مقادیر به برابری (3.10)، متوجه می شویم

, , .

همین عبارات برای لحظه های زور افنسبت به محورهای مختصات را می توان با استفاده از فرمول (3.12) به دست آورد. برای این کار یک نیرو طراحی می کنیم افدر صفحه ای عمود بر محور ایکسو در. بدیهی است که . با اعمال قانون فوق، همانطور که انتظار می رود، عبارات مشابهی دریافت می کنیم:

, , .

مدول لحظه با تساوی تعیین می شود

.

اکنون مفهوم لحظه یک جفت را معرفی می کنیم. اجازه دهید ابتدا دریابیم که مجموع گشتاورهای نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند، نسبت به یک نقطه دلخواه چقدر است. اجازه دهید Oیک نقطه دلخواه در فضا است، و افو F"-نیروهایی که یک زوج را تشکیل می دهند.

سپس M o (F) = OA × اف, M o (F") = OV × اف",

M o (F) + M o (F ") = OA × اف+ OV × اف",

اما از آنجایی که F= -F"، سپس

M o (F) + M o (F ") = OA × اف- OV × اف=(OA-OV)× اف.

با در نظر گرفتن برابری OA-OV=VA ، در نهایت می یابیم:

M o (F) + M o (F ") = VA × اف.

در نتیجه، مجموع گشتاورهای نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند به موقعیت نقطه ای که ممان ها به آن گرفته شده است بستگی ندارد. .

محصول برداری VA × افو تماس گرفت لحظه جفت . لحظه جفت با نماد نشان داده می شود M(F, F")، و

M(F, F")=VA × F= AB × اف",

یا به طور خلاصه

م=VA × F= AB × اف". (3.13)

با توجه به سمت راست این برابری متوجه می شویم که ممان یک جفت بردار عمود بر صفحه جفت است که از نظر قدر مطلق برابر است با حاصل ضرب مدول یکی از نیروهای جفت و بازوی جفت (یعنی کوتاهترین فاصله بین خطوط عمل نیروهایی که جفت را تشکیل می‌دهند) و در جهتی هدایت می‌شوند که «چرخش» این جفت در خلاف جهت عقربه‌های ساعت رخ می‌دهد. . اگر یک ساعتپس شانه جفت است M(F, F")=h×F.

از خود تعریف می توان دریافت که ممان یک جفت نیرو بردار آزاد است که خط عمل آن مشخص نیست (توجیه اضافی برای این تبصره از قضایای 2 و 3 این فصل حاصل می شود).

برای اینکه یک جفت نیرو یک سیستم متعادل (سیستم نیروها معادل صفر) تشکیل دهد، لازم و کافی است که ممان جفت برابر با صفر باشد. در واقع، اگر لحظه جفت صفر باشد، م=h×F، سپس یا اف= 0، یعنی بدون قدرت، یا شانه یک زن و شوهر ساعتبرابر با صفر است. اما در این صورت نیروهای زوج در یک خط مستقیم عمل خواهند کرد; از آنجایی که آنها از نظر قدر مطلق برابر هستند و در جهت مخالف هستند، بنابراین، بر اساس اصل 1، یک سیستم متعادل را تشکیل می دهند. برعکس، اگر دو نیرو F1و F2، که یک جفت را تشکیل می دهند، متعادل هستند، سپس، بر اساس همان اصل 1، آنها در امتداد یک خط مستقیم عمل می کنند. اما در این مورد، اهرم جفت ساعتبرابر با صفر است و بنابراین م=h×F=0.

قضایای جفت

اجازه دهید سه قضیه را ثابت کنیم که با آنها تبدیل معادل جفت ها ممکن می شود. در همه ملاحظات، باید به خاطر داشت که آنها به جفت هایی اطلاق می شوند که روی هر جسم جامد عمل می کنند.

قضیه 1. دو جفتی که در یک صفحه قرار دارند را می توان با یک جفت در همان صفحه با گشتاوری برابر با مجموع گشتاورهای دو جفت داده شده جایگزین کرد.

برای اثبات این قضیه دو جفت ( F1,F" 1) و ( F2,F" 2) و نقاط اعمال همه نیروها را در امتداد خطوط عمل آنها به نقاط منتقل کنید ولیو ATبه ترتیب. با جمع نیروها مطابق اصل 3، به دست می آوریم

R=F1+F2و R"=F" 1+F" 2,

ولی F1=-F" 1و F2=-F" 2.

در نتیجه، R=-R"، یعنی استحکام - قدرت آرو R"تشکیل یک زوج بیایید لحظه این جفت را با استفاده از فرمول (3.13) پیدا کنیم:

M=M(آر, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

هنگامی که نیروهایی که جفت را تشکیل می دهند در امتداد خطوط عمل آنها منتقل می شوند، نه بازو و نه جهت چرخش جفت ها تغییر می کند، بنابراین، ممان جفت نیز تغییر نمی کند. به معنای،

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M 2

و فرمول (3.14) شکل می گیرد

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

که صحت قضیه فوق را اثبات می کند.

اجازه دهید دو نکته در مورد این قضیه بیان کنیم.

1. خطوط عمل نیروهایی که جفت ها را تشکیل می دهند ممکن است موازی باشند. قضیه در این مورد نیز معتبر است، اما برای اثبات آن باید از قاعده جمع نیروهای موازی استفاده کرد.

2. پس از اضافه ممکن است معلوم شود که م(آر, R")=0; بر اساس تذکری که قبلاً بیان شد، این نشان می دهد که مجموعه دو جفت ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

قضیه 2. دو جفت که دارای گشتاورهای هندسی مساوی هستند، معادل هستند.

اجازه دهید در بدن در هواپیما منیک زوج ( F1,F" 1) با لحظه M 1. اجازه دهید نشان دهیم که این جفت را می توان با جفت دیگری جایگزین کرد ( F2,F" 2) واقع در هواپیما II، اگر فقط لحظه اش باشد M 2برابر است M 1(طبق تعریف (نگاه کنید به 1.1) این بدان معنی است که جفت ( F1,F" 1) و ( F2,F" 2) معادل هستند). اول از همه، توجه می کنیم که هواپیماها منو IIباید موازی باشند، به ویژه ممکن است منطبق باشند. در واقع، از موازی بودن لحظه ها M 1و M 2(در مورد ما M 1=M 2) نتیجه می شود که صفحات عمل جفت ها عمود بر ممان ها نیز موازی هستند.

بیایید یک جفت جدید معرفی کنیم ( F3,F" 3) و آن را همراه با جفت ( F2,F" 2) به بدن، قرار دادن هر دو جفت در هواپیما II. برای انجام این کار، طبق Axiom 2، باید یک جفت ( F3,F" 3) با لحظه M 3به طوری که سیستم اعمال نیروها ( F2,F" 2, F3,F" 3) متعادل بود. این را می توان به عنوان مثال به صورت زیر انجام داد: ما تنظیم می کنیم F3=-F" 1و F" 3 =-F1و اجازه دهید نقاط اعمال این نیروها را با پیش بینی ها ترکیب کنیم ولی 1 و AT 1 امتیاز ولیو ATبه هواپیما II. با توجه به ساخت، خواهیم داشت: M 3 \u003d -M 1یا با توجه به آن M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

با در نظر گرفتن تذکر دوم به قضیه قبل، به دست می آوریم ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. بنابراین جفت ها ( F2,F" 2) و ( F3,F" 3) متوازن هستند و دلبستگی آنها به بدن حالت آن را نقض نمی کند (اصل 2) به طوری که

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

از سوی دیگر نیروهای F1و F3، همچنین F" 1و F" 3می توان با توجه به قاعده جمع نیروهای موازی هدایت شده در یک جهت اضافه کرد. مدول، همه این نیروها با یکدیگر برابر هستند، بنابراین حاصل آنها آرو R"باید در نقطه تقاطع مورب های مستطیل اعمال شود ABB 1 ولییک علاوه بر این، آنها از نظر قدر مطلق برابر هستند و در جهت مخالف هستند. این بدان معنی است که آنها یک سیستم معادل صفر را تشکیل می دهند. بنابراین،

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(آر, R")=0.

حالا میتونیم بنویسیم

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

با مقایسه روابط (3.16) و (3.17)، به ( F1,F" 1)=(F2,F" 2) که قرار بود ثابت شود.

از این قضیه برمی‌آید که می‌توان یک جفت نیرو را در صفحه عمل آن حرکت داد و به یک صفحه موازی منتقل کرد. در نهایت، در یک جفت، می توانید نیروها و شانه را به طور همزمان تغییر دهید و فقط جهت چرخش جفت و مدول تکانه آن را حفظ کنید ( اف 1 ساعت 1 =اف 2 ساعت 2).

در ادامه، از چنین تبدیل‌های معادل یک جفت استفاده گسترده خواهیم کرد.

قضیه 3. دو جفت که در صفحات متقاطع قرار دارند معادل یک جفت ممان هستند برابر با مجموع استلحظات دو جفت داده شده

اجازه دهید زوج ها ( F1,F" 1) و ( F2,F" 2) در صفحات متقاطع قرار دارند منو IIبه ترتیب. با استفاده از نتیجه قضیه 2، هر دو جفت را به شانه کاهش می دهیم ABواقع در خط تقاطع هواپیماها منو II. جفت های تبدیل شده را با ( Q1,س" 1) و ( Q2,س" 2). در این مورد، برابری ها

M 1 = M(Q1,س" 1)=م(F1,F" 1) و M 2 = M(Q2,س" 2)=م(F2,F" 2).

اجازه دهید طبق اصل 3 نیروهای اعمال شده در نقاط را اضافه کنیم ولیو ATبه ترتیب. سپس می گیریم R \u003d Q 1 + Q 2و R"= Q" 1 +Q" 2. با توجه به اینکه Q" 1 \u003d -Q 1و Q" 2 \u003d -Q 2، ما گرفتیم R=-R". بنابراین، ما ثابت کردیم که سیستم دو جفت معادل یک جفت است ( آر,R").

بیا یه لحظه پیدا کنیم ماین زوج بر اساس فرمول (3.13) داریم

م(آر,R")=VA× (Q1 + Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=م(Q1,س" 1)+م(Q2,س" 2)=م(F1,F" 1)+م(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

آن ها قضیه ثابت شده است

توجه داشته باشید که نتیجه به دست آمده برای جفت هایی که در صفحات موازی قرار دارند نیز معتبر است. با قضیه 2 می توان چنین جفت هایی را به یک صفحه تقلیل داد و با قضیه 1 می توان آنها را با یک جفت واحد که گشتاور آن برابر با مجموع گشتاورهای جفت های مؤلفه است جایگزین کرد.

قضایای جفت اثبات شده در بالا به یک نتیجه مهم منجر می شود: لحظه جفت یک بردار آزاد است و به طور کامل عمل جفت را بر روی یک جسم کاملاً صلب تعیین می کند. . در واقع، ما قبلاً ثابت کرده‌ایم که اگر دو جفت ممان‌های یکسانی داشته باشند (و بنابراین در یک صفحه یا در صفحات موازی قرار بگیرند)، پس آنها با یکدیگر معادل هستند (قضیه 2). از طرف دیگر، دو جفت که در صفحات متقاطع قرار دارند نمی توانند معادل باشند، زیرا این بدان معناست که یکی از آنها و جفت مقابل دیگری معادل صفر هستند که غیرممکن است، زیرا مجموع لحظه های این جفت ها متفاوت است. از صفر

بنابراین، مفهوم معرفی شده از لحظه یک زوج بسیار مفید است، زیرا به طور کامل عمل مکانیکی یک زوج را بر روی بدن منعکس می کند. به این معنا، می توان گفت که لحظه به طور کامل نشان دهنده عمل یک جفت بر روی یک جسم صلب است.

برای اجسام قابل تغییر شکل، تئوری جفت بالا قابل اجرا نیست. دو جفت متضاد، به عنوان مثال، بر روی انتهای میله عمل می کنند، از نقطه نظر استاتیک یک جسم صلب، معادل صفر هستند. در همین حال، عمل آنها بر روی میله تغییر شکل پذیر باعث پیچش آن می شود و هر چه بیشتر، ماژول های ممان ها بیشتر شود.

بیایید به حل مسائل اول و دوم استاتیک بپردازیم، زمانی که فقط جفت نیرو بر روی بدن وارد می شود.

لحظه قدرت (مترادف ها: گشتاور، گشتاور، گشتاور ، گشتاور) یک کمیت فیزیکی برداری است برابر با حاصلضرب بردار شعاع که از محور چرخش تا نقطه اعمال نیرو توسط بردار این نیرو کشیده شده است. عملکرد چرخشی نیرو بر روی یک جسم صلب را مشخص می کند.

مفاهیم "چرخش" و "گشتاور" لحظات در مورد کلییکسان نیستند، زیرا در تکنولوژی مفهوم گشتاور چرخشی به عنوان نیروی خارجی اعمال شده به جسم در نظر گرفته می شود و گشتاور نیرویی درونی است که در اثر بارهای وارده در جسم ایجاد می شود (این مفهوم در مقاومت مواد).

اطلاعات کلی

مناسبت های خاص

فرمول لحظه ای اهرمی

یک مورد خاص بسیار جالب به عنوان تعریف لحظه نیرو در میدان ارائه شده است:

$\backslash \; چپ\; |\backslash vec\; M\backslash راست|\; =\; \backslash چپ|\backslash vec(M)\_1\backslash راست|\; \backslash \; چپ\; |\backslash vec\; F\backslash راست|$، جایی که: $\backslash left|\backslash vec(M)\_1\backslash right|$- لحظه اهرم، $\backslash \; چپ\; |\backslash vec\; F\backslash راست|$- بزرگی نیروی عامل.

مشکل این نمایش این است که جهت لحظه نیرو را نشان نمی دهد، بلکه فقط اندازه آن را نشان می دهد. اگر نیرو عمود بر بردار باشد $\backslash vec\; r$ممان اهرم برابر با فاصله تا مرکز و ممان نیرو حداکثر خواهد بود:

$\backslash \; چپ\; |\backslash vec(T)\backslash راست|\; =\; \backslash چپ|\backslash vec\; r\backslash راست|\; \backslash \; چپ\; |\backslash vec\; F\backslash راست|$

نیرو در یک زاویه

اگر قدرت $\backslash vec\; F$در یک زاویه هدایت شده است $\backslash \; تتا$به اهرم r، سپس $M\; =\; r\; F\backslash sin\backslash theta$.

تعادل ایستا

برای اینکه جسمی در حالت تعادل باشد، نه تنها مجموع همه نیروها باید برابر با صفر باشد، بلکه مجموع تمام گشتاورهای نیرو در اطراف هر نقطه نیز باید برابر باشد. برای یک حالت دو بعدی با نیروهای افقی و عمودی: مجموع نیروها در دو بعد ΣH=0، ΣV=0 و ممان نیرو در بعد سوم ΣM=0.

لحظه نیرو به عنوان تابعی از زمان

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac(d\backslash vec\; L)(dt)$,

جایی که $\backslash vec\; L$- حرکت زاویه ای.

بیایید یک بدن سفت و سخت بگیریم. حرکت یک جسم صلب را می توان به عنوان حرکت یک نقطه خاص و چرخش به دور آن نشان داد.

تکانه زاویه ای نسبت به نقطه O یک جسم صلب را می توان از طریق حاصل ضرب ممان اینرسی و سرعت زاویه ای نسبت به مرکز جرم و حرکت خطی مرکز جرم توصیف کرد.

$\backslash vec(L\_o)\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

ما حرکات چرخشی را در سیستم مختصات کونیگ در نظر خواهیم گرفت، زیرا توصیف حرکت یک جسم صلب در سیستم مختصات جهانی بسیار دشوارتر است.

بیایید این عبارت را با توجه به زمان متمایز کنیم. و اگر $من$پس ثابت در زمان است

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac(d\backslash vec\backslash omega)(dt)\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

رابطه بین لحظه نیرو و کار

$A\; =\; \backslash int\_(\backslash theta\_1)^(\backslash theta\_2)\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm(d)\backslash تتا$

در مورد یک لحظه ثابت، به دست می آوریم:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash theta$

سرعت زاویه ای معمولا مشخص است $\backslash \; امگا$بر حسب رادیان در ثانیه و زمان عمل لحظه $تی$.

سپس کار انجام شده توسط لحظه نیرو به صورت زیر محاسبه می شود:

$A\; =\; \backslash چپ|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

لحظه نیرو در مورد یک نقطه

اگر نکته مادی وجود دارد $از$که نیرو به آن اعمال می شود $\backslash vec\; F$، سپس لحظه نیرو در مورد نقطه $O$برابر است با حاصلضرب بردار شعاع $\backslash vec\; r$نقاط اتصال $O$و $از$، روی بردار نیرو $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec(M\_O)\; =\; \backslash چپ[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash راست]$.

لحظه نیروی حول محور

گشتاور نیرو حول یک محور برابر است با گشتاور جبری تابش این نیرو بر روی صفحه ای عمود بر این محور نسبت به نقطه تقاطع محور با صفحه، یعنی $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

واحدها

لحظه نیرو بر حسب اندازه گیری می شود نیوتن متر. 1 نیوتن متر لحظه ای است که توسط نیروی 1 نیوتن بر روی اهرمی به طول 1 متر ایجاد می شود که به انتهای اهرم وارد شده و عمود بر آن است.

اندازه گیری گشتاور

تا به امروز، اندازه گیری گشتاور نیرو با استفاده از کرنش سنج، لودسل های نوری و القایی انجام می شود.

همچنین ببینید

نظری را در مورد مقاله "لحظه نیرو" بنویسید

گزیده ای که لحظه نیرو را توصیف می کند

اما اگرچه در پایان نبرد، مردم وحشت کامل عمل خود را احساس کردند، اگرچه با خوشحالی متوقف می‌شدند، اما نوعی نیروی نامفهوم و مرموز همچنان آنها را هدایت می‌کرد و عرق‌ریزان، در باروت و خون، یکی باقی می‌ماند. توسط سه نفر، توپخانه‌ها، گرچه سکندری خورده بودند و از خستگی خفه می‌شدند، آنها را متهم می‌کردند، فتیله‌ها را شارژ می‌کردند، هدایت می‌کردند. و گلوله های توپ به همان سرعت و بی رحمانه از دو طرف پرواز کردند و صاف شدند بدن انسانو آن عمل هولناک ادامه یافت، که نه به خواست مردم، بلکه به خواست کسی که مردم و جهانیان را رهبری می کند انجام می شود.
هر کس به پشت پریشان ارتش روسیه نگاه کند، می‌گوید که فرانسوی‌ها باید یک تلاش کوچک دیگر انجام دهند و ارتش روسیه ناپدید می‌شود. و هر کس به پشت فرانسوی ها نگاه می کرد، می گفت که روس ها باید یک تلاش کوچک دیگر انجام دهند و فرانسوی ها از بین می روند. اما نه فرانسوی ها و نه روس ها این تلاش را انجام ندادند و شعله های نبرد آرام آرام خاموش شد.
روس ها چون به فرانسوی ها حمله نکردند این تلاش را نکردند. در آغاز نبرد فقط در راه مسکو ایستادند و جلوی آن را گرفتند و به همین ترتیب در پایان نبرد همچنان که در ابتدای آن ایستادند به ایستادن ادامه دادند. اما حتی اگر هدف روس‌ها سرنگونی فرانسوی‌ها بود، نمی‌توانستند این آخرین تلاش را انجام دهند، زیرا تمام نیروهای روس شکست خوردند، حتی یک بخش از سربازان نبود که در جنگ آسیب نبیند و روس ها با ماندن در مکان های خود نیمی از نیروهای خود را از دست دادند.
فرانسوی ها با خاطره تمام پیروزی های پانزده ساله قبلی، با اطمینان به شکست ناپذیری ناپلئون، با آگاهی از اینکه بخشی از میدان جنگ را به تصرف خود درآورده اند، تنها یک چهارم مردم را از دست داده اند و هنوز هم دارند. بیست هزار نگهبان دست نخورده، انجام این تلاش آسان بود. فرانسوی ها که با هدف از بین بردن ارتش روسیه حمله کردند، مجبور بودند این تلاش را انجام دهند، زیرا تا زمانی که روس ها مانند قبل از نبرد، راه مسکو را مسدود کردند، هدف فرانسوی ها نبود. به دست آوردند و تمام زحمات و زیان هایشان به هدر رفت. اما فرانسوی ها چنین تلاشی نکردند. برخی از مورخان می گویند که ناپلئون باید گارد قدیمی خود را دست نخورده می داد تا نبرد پیروز شود. صحبت درباره اینکه اگر ناپلئون نگهبانانش را بدهد چه اتفاقی می‌افتد، مانند صحبت کردن درباره اینکه اگر بهار پاییز شود چه اتفاقی می‌افتد است. این نمی تواند باشد. این ناپلئون نبود که نگهبان خود را نداد، زیرا او نمی خواست، اما این کار انجام نشد. همه ژنرال ها، افسران، سربازان ارتش فرانسه می دانستند که این کار نمی تواند انجام شود، زیرا روحیه سقوط کرده سربازان اجازه نمی دهد.
نه تنها ناپلئون آن احساس رؤیایی را تجربه کرد که تاب وحشتناک بازو بدون قدرت می افتد، بلکه همه ژنرال ها، همه سربازان ارتش فرانسه که شرکت می کردند و شرکت نمی کردند، پس از تمام تجربیات نبردهای قبلی (جایی که پس از ده برابر کمتر تلاش، دشمن فرار کرد)، همان احساس وحشت را قبل از آن دشمن تجربه کرد، که با از دست دادن نیمی از ارتش خود، در پایان به همان اندازه در آغاز نبرد ایستاد. نیروی اخلاقی ارتش مهاجم فرانسوی تمام شده بود. نه آن پیروزی که با برداشتن تکه‌های ماده بر روی چوب‌ها به نام بنر و فضایی که نیروها روی آن ایستاده‌اند و ایستاده‌اند مشخص می‌شود، بلکه پیروزی اخلاقی است که دشمن را به برتری اخلاقی دشمنش متقاعد می‌کند. از ناتوانی او، روس ها در زمان بورودین پیروز شدند. تهاجم فرانسه، مانند جانوري خشمگين كه جراحتي مهلک در دويدن خود گرفت، مرگ خود را احساس کرد. اما نتوانست متوقف شود، همانطور که ضعیف ترین ارتش روسیه نمی توانست منحرف شود. پس از این فشار، ارتش فرانسه همچنان می توانست به مسکو برسد. اما در آنجا، بدون تلاش های جدید از جانب ارتش روسیه، از زخمی که در بورودینو ایجاد شده بود، خونریزی می کرد. پیامد مستقیم نبرد بورودینو، فرار غیرمنطقی ناپلئون از مسکو، بازگشت او در امتداد جاده قدیمی اسمولنسک، مرگ پانصد هزارمین تهاجم و مرگ فرانسه ناپلئونی بود، که برای اولین بار در نزدیکی بورودینو توسط نیروی دریایی زمین گذاشته شد. قوی ترین دشمن در روح

تداوم مطلق حرکت برای ذهن انسان غیرقابل درک است. قوانین هر نوع حرکتی تنها زمانی برای شخص روشن می شود که واحدهایی را که خودسرانه از این جنبش گرفته شده در نظر بگیرد. اما در عین حال، از این تقسیم دلخواه حرکت مداوم به واحدهای ناپیوسته، بخش بزرگی از توهمات انسانی به وجود می آید.
به اصطلاح سفسطه پیشینیان معروف است که آشیل هرگز به لاک پشتی که از جلو راه می رود نمی رسد، با وجود اینکه آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت راه می رود: به محض اینکه آشیل از فضا جدا می شود. او از لاک پشت، لاک پشت یک دهم این فضا از جلوی او عبور می کند. آشیل از این دهم عبور خواهد کرد، لاک پشت از یک صدم عبور خواهد کرد، و به همین ترتیب تا بی نهایت. این مشکل از نظر گذشتگان غیرقابل حل به نظر می رسید. بی معنی بودن این تصمیم (که آشیل هرگز از لاک پشت پیشی نمی گیرد) از این واقعیت ناشی می شود که واحدهای حرکتی ناپیوسته به طور خودسرانه مجاز بودند، در حالی که حرکت آشیل و لاک پشت پیوسته بود.
با پذیرش واحدهای حرکتی کوچکتر و کوچکتر، فقط به حل مسئله نزدیک می شویم، اما هرگز به آن نمی رسیم. فقط با فرض یک قدر بینهایت کوچک و یک تصاعد صعودی از آن تا یک دهم و گرفتن مجموع این پیشرفت هندسی، ما به یک راه حل برای مشکل می رسیم. شاخه جدیدی از ریاضیات که به هنر برخورد با کمیت های بی نهایت کوچک دست یافته است و در سایر موارد بیشتر سوالات دشوارجنبش اکنون به سوالاتی که غیر قابل حل به نظر می رسید پاسخ می دهد.
این شاخه جدید و ناشناخته ریاضیات برای قدیم‌ها، هنگام بررسی سؤالات حرکت، مقادیر بی‌نهایت کوچک را می‌پذیرد، یعنی آن‌هایی را که شرایط اصلی حرکت (تداوم مطلق) در آنها برقرار می‌شود، به این وسیله آن اشتباه اجتناب‌ناپذیر ذهن انسان را تصحیح می‌کند. نمی توان به جای حرکت مداوم، واحدهای تک تک حرکت را در نظر گرفت.
دقیقاً همین اتفاق در جستجوی قوانین حرکت تاریخی می افتد.
حرکت بشر، برخاسته از بی‌شمار خودسری‌های انسانی، پیوسته صورت می‌گیرد.
درک قوانین این جنبش هدف تاریخ است. اما برای درک قوانین حرکت مداوم مجموع همه دلبخواهی های افراد، ذهن انسان واحدهای دلبخواه و ناپیوسته را می پذیرد. اولین روش تاریخ این است که سلسله ای دلخواه از رویدادهای پیوسته را در نظر بگیریم و آنها را جدا از دیگران در نظر بگیریم، در حالی که آغازی برای هیچ رویدادی وجود ندارد و نمی تواند باشد و همیشه یک رویداد به طور پیوسته از رویدادی دیگر پیروی می کند. ترفند دوم این است که عمل یک شخص، پادشاه، فرمانده را مجموع خودسری افراد بدانیم، در حالی که مجموع خودسری افراد هرگز در فعالیت یک نفر بیان نمی شود. شخص تاریخی.
علم تاریخ در حرکت خود پیوسته واحدهای کوچکتر و کوچکتر را برای بررسی می پذیرد و از این طریق می کوشد به حقیقت نزدیک شود. اما هر چقدر هم واحدهایی که تاریخ بپذیرد کوچک باشد، ما احساس می کنیم که فرض واحدی جدا از دیگری، فرض آغاز یک پدیده، و این فرض که اراده همه مردم در اعمال یک شخص تاریخی بیان می شود. ، به خودی خود نادرست هستند.
هر نتیجه‌گیری از تاریخ، بدون کوچک‌ترین تلاشی از سوی نقد، مانند غبار از هم می‌پاشد و چیزی از خود باقی نمی‌گذارد، تنها در نتیجه این واقعیت است که نقد واحد ناپیوسته بزرگ‌تر یا کوچک‌تری را به عنوان موضوع مشاهده انتخاب می‌کند. که همیشه حق دارد، زیرا واحد تاریخی گرفته شده همیشه دلخواه است.
تنها با اجازه دادن به یک واحد بی نهایت کوچک برای مشاهده - دیفرانسیل تاریخ، یعنی تمایلات همگن مردم، و دستیابی به هنر یکپارچه سازی (با جمع آوری این بی نهایت کوچک ها)، می توان امیدوار بود که قوانین تاریخ را درک کنیم. .
پانزده سال اول قرن 19در اروپا نشان دهنده یک جنبش فوق العاده از میلیون ها نفر است. مردم مشاغل معمول خود را رها می کنند، از این سوی اروپا به آن سوی اروپا هجوم می آورند، دزدی می کنند، یکدیگر را می کشند، پیروز می شوند و ناامید می شوند و کل مسیر زندگی برای چندین سال تغییر می کند و نشان دهنده یک حرکت شدید است که ابتدا افزایش می یابد، سپس ادامه می یابد. تضعیف شدن دلیل این حرکت چیست یا بر اساس چه قوانینی رخ داده است؟ ذهن انسان را می پرسد.
مورخان در پاسخ به این پرسش، اعمال و سخنان چند ده نفر را در یکی از ساختمان های شهر پاریس برای ما توصیف می کنند و این اعمال و سخنان را کلمه انقلاب می نامند. سپس می دهند بیوگرافی دقیقناپلئون و عده ای دلسوز و متخاصم از تأثیر برخی از این افراد بر برخی دیگر صحبت می کنند و می گویند: به همین دلیل این جنبش به وجود آمد و اینها قوانین آن است.
اما ذهن انسان نه تنها از باور به این تبیین خودداری می کند، بلکه مستقیماً می گوید که روش تبیین صحیح نیست، زیرا در این تبیین ضعیف ترین پدیده به عنوان علت قوی ترین گرفته شده است. مجموع خودسری های بشر هم انقلاب کرد و هم ناپلئون و فقط مجموع این خودسری ها آنها را تحمل کرد و نابود کرد.

گشتاور نیرو حول محور یا به طور ساده ممان نیرو به بیرون آمدن نیرو بر روی خط مستقیمی گفته می شود که عمود بر شعاع آن است و در نقطه اعمال نیرو ضرب در فاصله این نقطه تا محور کشیده می شود. . یا حاصل ضرب نیرو بر شانه اعمال آن. شانه در این حالت فاصله از محور تا نقطه اعمال نیرو است. لحظه نیرو، عملکرد چرخشی نیرو بر روی بدن را مشخص می کند. محور در این حالت محل اتصال بدن است که نسبت به آن می تواند بچرخد. اگر جسم ثابت نباشد، مرکز جرم را می توان محور چرخش در نظر گرفت.

فرمول 1 - لحظه نیرو.

و - نیروی وارد بر بدن.

r - قدرت شانه.

شکل 1 - لحظه نیرو.

همانطور که از شکل مشخص است، شانه نیرو، فاصله محور تا نقطه اعمال نیرو است. اما این در صورتی است که زاویه بین آنها 90 درجه باشد. اگر اینطور نیست، لازم است یک خط در امتداد عمل نیرو رسم کنید و یک عمود از محور روی آن پایین بیاورید. طول این عمود برابر با بازوی نیرو خواهد بود. و حرکت نقطه اعمال نیرو در جهت نیرو باعث تغییر تکانه آن نمی شود.

مرسوم است که چنین لحظه ای نیرو را مثبت در نظر بگیریم که باعث می شود بدن نسبت به نقطه مشاهده در جهت عقربه های ساعت بچرخد. و به ترتیب منفی باعث چرخش در برابر آن می شود. گشتاور نیرو بر حسب نیوتن بر متر اندازه گیری می شود. یک نیوتنومتر نیروی 1 نیوتن است که بر بازوی 1 متری وارد می شود.

اگر نیروی وارد بر جسم در امتداد خطی که از محور چرخش جسم یا مرکز جرم می گذرد، در صورتی که جسم دارای محور چرخش نباشد، عبور کند. سپس ممان نیرو در این حالت برابر با صفر خواهد بود. از آنجایی که این نیرو باعث چرخش بدن نمی شود، بلکه آن را به سادگی در امتداد خط اعمال به جلو می برد.

شکل 2 - ممان نیرو صفر است.

اگر چندین نیرو بر روی جسم وارد شوند، آنگاه لحظه نیرو با حاصل آن ها مشخص می شود. به عنوان مثال، دو نیروی مساوی از نظر قدر و جهت مخالف می توانند بر روی یک جسم اثر بگذارند. در این حالت کل ممان نیرو برابر با صفر خواهد بود. از آنجایی که این نیروها یکدیگر را جبران خواهند کرد. به زبان ساده، یک چرخ فلک کودکانه را تصور کنید. اگر یکی از پسرها آن را در جهت عقربه های ساعت فشار دهد و دیگری با همان قدرت به آن فشار آورد، چرخ فلک بی حرکت می ماند.

اغلب ما عباراتی را می شنویم: "بی اثر است"، "حرکت با اینرسی"، "لحظه اینرسی". AT معنای مجازیواژه اینرسی را می توان به فقدان ابتکار و عمل تعبیر کرد. ما به معنای مستقیم علاقه مندیم.

اینرسی چیست

طبق تعریف اینرسیدر فیزیک، توانایی اجسام برای حفظ حالت استراحت یا حرکت در غیاب نیروهای خارجی است.

اگر همه چیز با مفهوم اینرسی در سطح شهودی روشن باشد، پس ممان اینرسی- یک موضوع جداگانه موافقم، تصور اینکه آن چیست در ذهن دشوار است. در این مقاله، نحوه حل مشکلات اساسی در مورد موضوع را یاد خواهید گرفت "ممان اینرسی".

تعیین ممان اینرسی

از برنامه درسی مدرسه معلوم است که جرم اندازه گیری اینرسی یک جسم است. اگر دو گاری با توده های مختلف را فشار دهیم، متوقف کردن گاری که سنگین تر است دشوارتر خواهد بود. یعنی هر چه جرم بیشتر باشد، تأثیر خارجی بیشتری برای تغییر حرکت بدن لازم است. Considered به حرکت انتقالی اشاره دارد، زمانی که گاری از مثال در یک خط مستقیم حرکت می کند.

بر اساس قیاس با جرم و حرکت انتقالی، ممان اینرسی معیاری از اینرسی یک جسم در حین حرکت چرخشی حول یک محور است.

ممان اینرسی- اسکالر کمیت فیزیکی، اندازه گیری اینرسی بدن هنگام چرخش حول یک محور. با حرف مشخص می شود جی و در سیستم SI در کیلوگرم ضرب در متر مربع اندازه گیری می شود.

چگونه ممان اینرسی را محاسبه کنیم؟ یک فرمول کلی وجود دارد که با آن ممان اینرسی هر جسمی در فیزیک محاسبه می شود. اگر بدن به قطعات بی نهایت کوچک از جرم شکسته شود dm ، آنگاه ممان اینرسی برابر با مجموع حاصلضرب این جرم های ابتدایی و مجذور فاصله تا محور چرخش خواهد بود.

این فرمول کلی برای ممان اینرسی در فیزیک است. برای یک نقطه جرم مادی متر ، چرخش حول یک محور در فاصله r از آن، این فرمول به شکل زیر است:

قضیه اشتاینر

ممان اینرسی به چه چیزی بستگی دارد؟ از جرم، موقعیت محور چرخش، شکل و اندازه بدن.

قضیه هویگنز-اشتاینر یک قضیه بسیار مهم است که اغلب در حل مسائل استفاده می شود.

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قضیه هویگنز-اشتاینر بیان می کند:

ممان اینرسی یک جسم حول محور دلخواه برابر است با مجموع ممان اینرسی جسم نسبت به محوری که از مرکز جرم موازی با یک محور دلخواه عبور می کند و حاصل ضرب جرم جسم ضربدر مربع است. فاصله بین محورها

برای کسانی که نمی‌خواهند در هنگام حل مسائل یافتن ممان اینرسی دائماً ادغام شوند، در اینجا شکلی وجود دارد که ممان‌های اینرسی برخی اجسام همگن را که اغلب در مسائل یافت می‌شوند نشان می‌دهد:

مثالی از حل مسئله یافتن ممان اینرسی

بیایید دو مثال را در نظر بگیریم. اولین کار یافتن ممان اینرسی است. کار دوم استفاده از قضیه هویگنز-اشتاینر است.

مسئله 1. ممان اینرسی یک دیسک همگن به جرم m و شعاع R را پیدا کنید. محور چرخش از مرکز دیسک می گذرد.

راه حل:

اجازه دهید دیسک را به حلقه های بی نهایت نازک تقسیم کنیم که شعاع آنها از 0 قبل از آرو یکی از این حلقه ها را در نظر بگیرید. بگذارید شعاع آن باشد r، و جرم dm. سپس لحظه اینرسی حلقه:

جرم حلقه را می توان به صورت زیر نشان داد:

اینجا dzارتفاع حلقه است جرم را در فرمول ممان اینرسی جایگزین کرده و ادغام کنید:

نتیجه فرمولی برای ممان اینرسی یک دیسک یا سیلندر نازک مطلق بود.

مشکل 2. اجازه دهید دوباره یک دیسک به جرم m و شعاع R وجود داشته باشد. اکنون باید گشتاور اینرسی دیسک را در مورد محوری که از وسط یکی از شعاع های آن می گذرد، پیدا کنیم.

راه حل:

ممان اینرسی دیسک در مورد محوری که از مرکز جرم می گذرد از مسئله قبلی مشخص است. قضیه اشتاینر را اعمال می کنیم و پیدا می کنیم:

به هر حال، در وبلاگ ما می توانید مطالب مفید دیگری در مورد فیزیک و.

امیدواریم مطالب مفیدی در مقاله پیدا کنید. اگر در فرآیند محاسبه تانسور اینرسی مشکلاتی وجود دارد، خدمات دانشجویی را فراموش نکنید. کارشناسان ما در مورد هر مشکلی مشاوره می دهند و در عرض چند دقیقه به حل مشکل کمک می کنند.