Момент на силите спрямо оста на въртене: основни понятия, формули, пример за решаване на проблема. Как да изчислим въртящия момент

В този урок, чиято тема е „Момент на сила“, ще говорим за силата, с която трябва да действате върху тялото, за да промените скоростта му, както и за точката на приложение на тази сила. Разгледайте примери за въртене на различни тела, например люлка: в коя точка трябва да се приложи силата, за да може люлката да започне да се движи или да остане в равновесие.

Представете си, че сте футболист и пред вас има футболна топка. За да лети, трябва да бъде ударено. Просто е: колкото по-силно удряте, толкова по-бързо и по-далече ще лети и най-вероятно ще уцелите в центъра на топката (виж фиг. 1).

И за да може топката да се върти и да лети по извита траектория в полет, няма да удряте центъра на топката, а отстрани, което правят футболистите, за да заблудят противника (виж фиг. 2).

Ориз. 2. Извита траектория на полета на топката

Тук вече е важно коя точка да ударите.

Друг прост въпрос: къде трябва да вземете пръчката, за да не се обърне, когато се повдигне? Ако пръчката е еднаква по дебелина и плътност, тогава ще я вземем в средата. А ако е по-масивна от едната страна? След това ще го приближим до масивния ръб, в противен случай ще надмине (виж фиг. 3).

Ориз. 3. Точка на повдигане

Представете си: татко седна на люлка-балансьор (виж фиг. 4).

Ориз. 4. Люлка-балансьор

За да го преодолеете, сядате на люлка по-близо до противоположния край.

Във всички дадени примери за нас беше важно не само да въздействаме върху тялото с някаква сила, но и на какво място, върху коя конкретна точка от тялото да въздействаме. Избрахме тази точка на случаен принцип, използвайки житейски опит. Ами ако на щеката има три различни тежести? И ако го вдигнете заедно? И ако говорим за кран или въжен мост (виж фиг. 5)?

Ориз. 5. Примери от живота

Интуицията и опитът не са достатъчни за решаването на подобни проблеми. Без ясна теория те вече не могат да бъдат решени. Решаването на такива проблеми ще бъде обсъдено днес.

Обикновено в задачите имаме тяло, към което са приложени сили, и ги решаваме, както винаги преди, без да мислим за точката на приложение на силата. Достатъчно е да знаете, че силата се прилага просто върху тялото. Такива задачи се срещат често, ние знаем как да ги решим, но се случва, че не е достатъчно да приложите сила просто към тялото - става важно в кой момент.

Пример за проблем, при който размерът на тялото не е важен

Например на масата има малка желязна топка, върху която действа сила на гравитация от 1 N. Каква сила трябва да се приложи, за да се повдигне? Топката е привлечена от Земята, ние ще действаме нагоре върху нея, като прилагаме сила.

Силите, действащи върху топката, са насочени в противоположни посоки и за да повдигнете топката, трябва да действате върху нея със сила, по-голяма по модул от гравитацията (вижте фиг. 6).

Ориз. 6. Сили, действащи върху топката

Силата на гравитацията е равна на , което означава, че топката трябва да бъде притисната със сила:

Не сме мислили как точно да вземем топката, просто я вземаме и я вдигаме. Когато показваме как сме вдигнали топката, можем да нарисуваме точка и да покажем: действали сме върху топката (виж Фиг. 7).

Ориз. 7. Действие върху топката

Когато можем да направим това с тяло, да го покажем на фигурата под формата на точка и да не обръщаме внимание на размера и формата му, ние го считаме за материална точка. Това е модел. В действителност топката има форма и размери, но не им обърнахме внимание в тази задача. Ако същата топка трябва да бъде накарана да се върти, тогава просто да кажем, че действаме върху топката, вече не е възможно. Тук е важно да бутнем топката от ръба, а не към центъра, карайки я да се върти. В тази задача същата топка вече не може да се счита за точка.

Вече знаем примери за проблеми, при които е необходимо да се вземе предвид точката на прилагане на силата: проблем с футболна топка, с разнороден стик, със замах.

Точката на прилагане на силата също е важна при лоста. С помощта на лопата действаме върху края на дръжката. Тогава е достатъчно да приложите малка сила (виж фиг. 8).

Ориз. 8. Действието на малка сила върху дръжката на лопата

Какво е общото между разглежданите примери, където е важно да вземем предвид размера на тялото? И топката, и тоягата, и люлката, и лопатата - във всички тези случаи ставаше въпрос за въртенето на тези тела около някаква ос. Топката се въртеше около оста си, люлката се въртеше около стойката, пръчката около мястото, където я държахме, лопатата около опорната точка (виж фиг. 9).

Ориз. 9. Примери за въртящи се тела

Помислете за въртенето на телата около фиксирана ос и вижте какво кара тялото да се върти. Ще разгледаме въртенето в една равнина, тогава можем да приемем, че тялото се върти около една точка O (виж фиг. 10).

Ориз. 10. Опорна точка

Ако искаме да балансираме люлката, в която гредата е стъклена и тънка, тогава тя може просто да се счупи, а ако гредата е от мек метал и също така тънка, тогава може да се огъне (виж фиг. 11).

Ние няма да разглеждаме такива случаи; ще разгледаме въртенето на здрави твърди тела.

Би било погрешно да се каже, че въртеливото движение се определя само от сила. Наистина, при люлка същата сила може да предизвика въртенето им, а може и да не го предизвика, в зависимост от това къде седим. Не става въпрос само за сила, но и за местоположението на точката, върху която действаме. Всеки знае колко трудно е да повдигнеш и задържиш товар на една ръка разстояние. За да се определи точката на прилагане на силата, се въвежда понятието рамо на сила (по аналогия с рамото на ръка, която повдига товар).

Рамото на сила е минималното разстояние от дадена точка до права линия, по която действа силата.

От геометрията сигурно вече знаете, че това е перпендикуляр, спуснат от точка O към правата линия, по която действа силата (виж фиг. 12).

Ориз. 12. Графично изображениесила на раменете

Защо рамото на силата е минималното разстояние от точката О до правата, по която действа силата

Може да изглежда странно, че рамото на силата се измерва от точката O не до точката на прилагане на силата, а до правата линия, по която действа тази сила.

Нека направим този експеримент: завържете конец на лоста. Нека въздействаме на лоста с известно усилие в точката, където конецът е вързан (виж фиг. 13).

Ориз. 13. Конецът се връзва на лоста

Ако се създаде момент на сила, достатъчен да завърти лоста, той ще се завърти. Нишката ще покаже права линия, по която е насочена силата (виж фиг. 14).

Нека се опитаме да дръпнем лоста със същата сила, но вече като държим конеца. Нищо няма да се промени в действието върху лоста, въпреки че точката на приложение на силата ще се промени. Но силата ще действа по същата права линия, нейното разстояние до оста на въртене, тоест рамото на силата, ще остане същото. Нека се опитаме да действаме на лоста под ъгъл (виж фиг. 15).

Ориз. 15. Действие на лоста под ъгъл

Сега силата се прилага към същата точка, но действа по различна линия. Разстоянието му до оста на въртене е станало малко, моментът на сила е намалял и лостът вече не може да се върти.

Тялото се влияе от въртенето, въртенето на тялото. Това въздействие зависи от силата и от нейното рамо. Количеството, което характеризира ротационния ефект на силата върху тялото, се нарича момент на сила, понякога наричан още въртящ момент или въртящ момент.

Значението на думата "момент"

Ние сме свикнали да използваме думата "момент" в смисъла на много кратък период от време, като синоним на думата "миг" или "момент". Тогава не е съвсем ясно какво общо има момента със силата. Нека да разгледаме произхода на думата "момент".

Думата идва от латинското momentum, което означава „движеща сила, тласък“. Латинският глагол movēre означава "да се движа" (като английска думадвижение, а движение означава „движение“). Сега ни е ясно, че въртящият момент е това, което кара тялото да се върти.

Силовият момент е произведението на силата върху нейното рамо.

Мерната единица е нютон, умножен по метър: .

Ако увеличите рамото на силата, можете да намалите силата и моментът на сила ще остане същият. Използваме това много често в Ежедневието: когато отваряме вратата, когато използваме клещи или гаечен ключ.

Последната точка от нашия модел остава - трябва да разберем какво да правим, ако върху тялото действат няколко сили. Можем да изчислим момента на всяка сила. Ясно е, че ако силите въртят тялото в една посока, тогава тяхното действие ще се сумира (виж фиг. 16).

Ориз. 16. Добавено е действието на силите

Ако в различни посоки - моментите на силите ще се балансират взаимно и е логично да трябва да се извадят. Следователно моментите на силите, които въртят тялото в различни посоки, ще бъдат записани с различни знаци. Например, нека запишем дали силата уж върти тялото около оста по посока на часовниковата стрелка и - ако е против (виж фиг. 17).

Ориз. 17. Дефиниция на знаци

Тогава можем да запишем едно важно нещо: За да бъде тялото в равновесие, сумата от моментите на действащите върху него сили трябва да е равна на нула.

Формула на лоста

Вече знаем принципа на лоста: две сили действат върху лоста и колкото пъти рамото на лоста е по-голямо, толкова пъти по-малка е силата:

Помислете за моментите на силите, които действат върху лоста.

Да изберем положителна посока на въртене на лоста, например обратно на часовниковата стрелка (виж фиг. 18).

Ориз. 18. Избор на посоката на въртене

Тогава моментът на сила ще бъде със знак плюс, а моментът на сила ще бъде със знак минус. За да бъде лостът в равновесие, сумата от моментите на силите трябва да е равна на нула. нека напишем:

Математически това равенство и съотношението, написано по-горе за лоста, са едно и също и това, което получихме експериментално, е потвърдено.

Например, определи дали лостът, показан на фигурата, ще бъде в равновесие. Върху него действат три сили.(вижте фиг. 19) . , и. Раменете на силите са равни, и.

Ориз. 19. Чертеж за условието на задача 1

За да бъде лостът в равновесие, сумата от моментите на силите, които действат върху него, трябва да е равна на нула.

Съгласно условието върху лоста действат три сили: , и . Раменете им са съответно равни на , и .

Посоката на въртене на лоста по часовниковата стрелка ще се счита за положителна. В тази посока лостът се завърта със сила , моментът му е равен на:

Сили и завъртете лоста обратно на часовниковата стрелка, пишем моментите им със знак минус:

Остава да се изчисли сумата от моментите на силите:

Общият момент не е равен на нула, което означава, че тялото няма да бъде в равновесие. Общият момент е положителен, което означава, че лостът ще се върти по посока на часовниковата стрелка (в нашия проблем това е положителна посока).

Решихме задачата и получихме резултата: общият момент на силите, действащи върху лоста, е равен на . Лостът ще започне да се върти. И когато се обърне, ако силите не променят посоката си, раменете на силите ще се променят. Те ще намаляват, докато станат нула, когато лостът се завърти вертикално (виж фиг. 20).

Ориз. 20. Раменете на силите са равни на нула

И при по-нататъшно завъртане, силите ще се насочат така, че да го завъртят в обратна посока. Следователно, след като решихме проблема, ние определихме в каква посока ще започне да се върти лостът, да не говорим какво ще се случи след това.

Сега се научихте да определяте не само силата, с която трябва да действате върху тялото, за да промените скоростта му, но и точката на прилагане на тази сила, така че да не се върти (или да се върти, както ни е необходимо).

Как да бутна шкафа, за да не се обърне?

Знаем, че когато бутаме шкаф със сила отгоре, той се преобръща и за да не се случи това, го бутаме надолу. Сега можем да обясним този феномен. Оста на нейното въртене е разположена на ръба, на който стои, докато раменете на всички сили, с изключение на силата, са или малки, или равни на нула, следователно под действието на силата шкафът пада (виж фиг. 21).

Ориз. 21. Действие върху горната част на шкафа

Прилагайки сила отдолу, намаляваме рамото му, а оттам и момента на тази сила и няма преобръщане (виж фиг. 22).

Ориз. 22. Приложена сила отдолу

Шкафът като тяло, чиито размери вземаме предвид, се подчинява на същия закон като гаечен ключ, дръжка, мостове върху подпори и т.н.

Това приключва нашия урок. Благодаря за вниманието!

Библиография

Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Наръчник с примери за решаване на задачи. - Преразпределение на 2-ро издание. - X .: Веста: Издателство "Ранок", 2005. - 464 с.
Перишкин А.В. Физика. 7 клас: учебник. за общо образование институции - 10 изд., доп. - М.: Дропла, 2006. - 192 с.: ил.

abitura.com ().
Solverbook.com().

Домашна работа

Момент на сила (синоними: въртящ момент, въртящ момент, въртящ момент, въртящ момент) е векторна физическа величина, равна на векторния продукт на радиус-вектора, изчертан от оста на въртене до точката на прилагане на сила от вектора на тази сила. Характеризира въртеливото действие на сила върху твърдо тяло.

Концепциите за "въртящи" и "въртящи" моменти в общ случайне са идентични, тъй като в технологията понятието "въртящ се" момент се разглежда като външна сила, приложена към обект, а "въртящият момент" е вътрешна сила, възникваща в обект под действието на приложени натоварвания (това понятие се използва в устойчивост на материалите).

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

7 клетки - 39. Момент на сила. моментно правило

Момент на тежестта. Дъмбел и ръка

Сила и маса

Момент на сила. Лостове в природата, техниката, ежедневието | Физика 7 клас #44 | информационен урок

Зависимост на ъгловото ускорение от момента на силите 1

субтитри

Главна информация

Специални случаи

Формула на момента на лоста

Представен е много интересен частен случай като дефиниция на момента на силата в полето:

Проблемът с това представяне е, че то не дава посоката на момента на силата, а само неговата величина. Ако силата е перпендикулярна на вектора r → (\displaystyle (\vec (r))), моментът на лоста ще бъде равен на разстоянието до центъра и моментът на сила ще бъде максимален:

| T → | = | r → | | F → | (\displaystyle \left|(\vec (T))\right|=\left|(\vec (r))\right|\left|(\vec (F))\right|)

Сила под ъгъл

Ако силата F → (\displaystyle (\vec (F)))насочени под ъгъл θ (\displaystyle \theta )към лоста r, тогава M = r F sin ⁡ θ (\displaystyle M=rF\sin \theta ).

Статичен баланс

За да бъде даден обект в равновесие, не само сумата от всички сили трябва да е равна на нула, но и сумата от всички моменти на сила около всяка точка. За двуизмерен случай с хоризонтални и вертикални сили: сумата от силите в две измерения ΣH=0, ΣV=0 и моментът на сила в третото измерение ΣM=0.

Силовият момент като функция на времето

M → = d L → d t (\displaystyle (\vec (M))=(\frac (d(\vec (L)))(dt))),

където L → (\displaystyle (\vec (L)))- ъглов момент.

Да вземем твърдо тяло. Движението на твърдо тяло може да се представи като движение на определена точка и въртене около нея.

Ъгловият импулс спрямо точка O на твърдо тяло може да се опише чрез произведението на инерционния момент и ъгловата скорост спрямо центъра на масата и линейното движение на центъра на масата.

L o → = I c ω → + [ M (r o → − r c →) , v c → ] (\displaystyle (\vec (L_(o)))=I_(c)\,(\vec (\omega )) +)

Ще разгледаме въртеливи движения в координатната система на Кьониг, тъй като е много по-трудно да се опише движението на твърдо тяло в световната координатна система.

Нека разграничим този израз по отношение на времето. И ако аз (\displaystyle аз)тогава е константа във времето

M → = I d ω → d t = I α → (\displaystyle (\vec (M))=I(\frac (d(\vec (\omega )))(dt))=I(\vec (\alpha ))),

където α → (\displaystyle (\vec (\alpha )))- ъглово ускорение, измерено в радиани за секунда за секунда (rad / s 2). Пример: Еднороден диск се върти.

Ако тензорът на инерцията се променя с времето, тогава движението около центъра на масата се описва с помощта на динамичното уравнение на Ойлер:

M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] (\displaystyle (\vec (M_(c)))=I_(c)(\frac (d(\vec (\omega ))) (dt))+[(\vec (w)),I_(c)(\vec (w))]).

Силов момент около остае моментът на проекцията на сила върху равнина, перпендикулярна на оста, спрямо точката на пресичане на оста с тази равнина

Моментът около ос е положителен, ако силата се стреми да завърти равнина, перпендикулярна на оста, обратно на часовниковата стрелка, когато се гледа към оста.

Силовият момент спрямо оста е 0 в два случая:

Ако силата е успоредна на оста

Ако силата пресече оста

Ако линията на действие и оста лежат в една и съща равнина, тогава моментът на силата около оста е 0.

27. Връзката между момента на силата спрямо ос и вектора на момента на силата спрямо точка.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМоментът на силата спрямо оста е равен на проекцията на вектора на момента на силите спрямо точката на оста върху тази ос.

28. Основната теорема на статиката за привеждане на системата от сили към даден център (теорема на Поансо). Главен вектор и главен момент на системата от сили.

Всяка пространствена система от сили в общия случай може да бъде заменена от еквивалентна система, състояща се от една сила, приложена в дадена точка на тялото (център на редукция) и равна на главния вектор на тази система от сили, и една двойка сили, чийто момент е равен на главния момент на всички сили спрямо избрания референтен център.

Главният вектор на силовата системанаречен вектор Рравна на векторната сума на тези сили:

Р = Е 1 + Е 2 + ... + Е n= Еаз

За плоска система от сили главният й вектор лежи в равнината на действие на тези сили.

Основният момент на системата от силиоколо центъра O се нарича вектор Л O , равна на сумата от векторните моменти на тези сили спрямо точката O:

ЛО= М O( Е 1) + М O( Е 2) + ... + М O( Е n) = М O( Еи).

вектор Рне зависи от избора на центъра O и вектора Л O при промяна на позицията на центъра O обикновено може да се промени.

Теорема на Поансо: Произволна пространствена система от сили може да бъде заменена с една сила с главния вектор на системата от сили и двойка сили с главния момент, без да се нарушава състоянието на твърдото тяло. Главният вектор е геометричната сума на всички сили, действащи върху твърдо тяло и се намира в равнината на действие на силите. Главният вектор се разглежда чрез неговите проекции върху координатните оси.

За да приведете сили към даден център, приложени в някаква точка на твърдо тяло, е необходимо: 1) да прехвърлите силата към себе си успоредно на даден център, без да променяте модула на силата; 2) в даден център приложете двойка сили, чийто векторен момент е равен на векторния момент на прехвърлената сила на относителния нов център, тази двойка се нарича прикрепена двойка.

Зависимост на основния момент от избора на центъра на редукция. Главният момент спрямо новия редукционен център е равен на геометричната сума на главния момент спрямо стария редукционен център и кръстосаното произведение на радиус-вектора, свързващ новия редукционен център със стария и главния вектор.

29 Специални случаи на намаляване на пространствената система от сили

	Стойности на главен вектор и главен момент	Резултат от кастинга
		Системата от сили се свежда до двойка сили, чийто момент е равен на основния момент (основният момент на системата от сили не зависи от избора на центъра на редукция O).
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на преминаване през центъра O.
		Системата от сили се свежда до резултатна, равна на главния вектор и успоредна на него и отделена от него на разстояние. Позицията на линията на действие на резултанта трябва да бъде такава, че посоката на нейния момент спрямо центъра на редукция O да съвпада с посоката спрямо центъра O.
	, а векторите не са перпендикулярни	Системата от сили се свежда до динамо (силов винт) - комбинация от сила и двойка сили, лежащи в равнина, перпендикулярна на тази сила.
		Системата от сили, приложени към твърдо тяло, е балансирана.

30. Намаляване до динамика.В механиката динамото е такъв набор от сили и двойка сили (), действащи върху твърдо тяло, при което силата е перпендикулярна на равнината на действие на двойката сили. Използвайки векторния момент на двойка сили, може също да се дефинира динамо като комбинация от сила и двойка, чиято сила е успоредна на векторния момент на двойка сили.

Уравнение на централната спирална осДа предположим, че в центъра на редукция, взет като начало на координатите, се получава основният вектор с проекции върху координатните оси и главният момент с проекции.Когато системата от сили се сведе до центъра на редукция O 1 (фиг. 30), се получава динамо с главния вектор и главния момент , Вектори и като образуващи линам. са успоредни и следователно могат да се различават само със скаларен коефициент k 0. Имаме, тъй като .Главните моменти и , удовлетворяват отношението

Момент на двойка сили

Моментът на сила спрямо някаква точка (център) е вектор, числено равен на произведението на модула на силата и рамото, т.е. най-късото разстояние от определената точка до линията на действие на силата и насочено перпендикулярно на равнината, минаваща през избраната точка и линията на действие на силата в посоката, от която започва "въртенето", извършвано от силата около точка изглежда в посока обратна на часовниковата стрелка. Моментът на сила характеризира нейното въртеливо действие.

Ако О- точката, спрямо която се намира моментът на силата Е, тогава моментът на силата се обозначава със символа М о (Ж). Нека покажем, че ако точката на приложение на силата Еопределя се от радиус вектора r, тогава отношението

M o (F)=r×F. (3.6)

Според това съотношение моментът на силата е равен на векторното произведение на вектора r към вектора F.

Наистина, модулът на кръстосаното произведение е

М о ( Е)=RFгрях= Fh, (3.7)

където ч- ръка на силата. Обърнете внимание също, че векторът М о (Ж)насочен перпендикулярно на равнината, минаваща през векторите rи Е, в посоката, от която е най-късият завой на вектора rспрямо посоката на вектора Еизглежда обратно на часовниковата стрелка. По този начин формулата (3.6) напълно определя модула и посоката на момента на силата Е.

Понякога е полезно да напишете формула (3.7) във формата

М о ( Е)=2С, (3.8)

където С- площ на триъгълник OAB.

Позволявам х, г, zса координатите на точката на прилагане на силата, и F x, Fy, Fzса проекциите на силата върху координатните оси. Тогава, ако точката Оразположен в началото, моментът на силата се изразява по следния начин:

От това следва, че проекциите на момента на сила върху координатните оси се определят по формулите:

М Окс(Е)=yF z -zF y,

М Ой(Е)=zF x -xF z ,

М Ой(Е)=xF y -yF x. (3.10)

Нека сега въведем понятието проекция на сила върху равнина.

Да се даде сила Еи някакъв самолет. Нека пуснем перпендикуляри към тази равнина от началото и края на вектора на силата.

Проекция на сила върху равнинаНаречен вектор , чието начало и край съвпадат с проекцията на началото и проекцията на края на силата върху тази равнина.

Ако вземем равнината като разглеждана равнина хей, тогава проекцията на силата Ена тази равнина ще има вектор Еху.

Момент на сила Ехуспрямо точката О(пресечни точки на оста zсъс самолет хей) може да се изчисли по формула (3.9), ако вземем z=0, Fz=0. Вземете

МО(Еху)=(xF y -yF x)к.

По този начин моментът е насочен по оста z, и неговата проекция върху оста zточно съвпада с проекцията върху същата ос на момента на силата Еспрямо точката О. С други думи,

M Oz(Е)=M Oz(Еху)= xF y -yF x. (3.11)

Очевидно същият резултат може да се получи чрез проектиране на силата Екъм всяка друга равнина, успоредна на хей. В този случай пресечната точка на оста zс равнината ще бъде различен (ние обозначаваме новата пресечна точка през Оедин). Въпреки това, всички включени в правилната странаравенства (3.11) величините х, при, F x, Еостават непроменени и следователно можем да пишем

M Oz(Е)=M O 1 z ( Еху).

С други думи, проекцията на момента на силата върху точка от оста, минаваща през тази точка, не зависи от избора на точка от оста . Следователно в това, което следва, вместо символа M Oz(Е) ще използваме символа Mz(Е). Тази моментна проекция се нарича момент на сила около оста z. Изчисляването на момента на сила около ос често се извършва по-удобно чрез проекция на сила. Евърху равнина, перпендикулярна на оста, и изчисляване на количеството Mz(Еху).

В съответствие с формула (3.7) и като вземем предвид знака на проекцията, получаваме:

Mz(Е)=Mz(Еху)=± F xy h*. (3.12)

Тук з*- ръка на силата Ехуспрямо точката О. Ако наблюдателят вижда от страната на положителната посока на оста z, че силата Ехуима тенденция да върти тялото около ос zобратно на часовниковата стрелка, тогава се взема знакът "+", а в противен случай - знакът "-".

Формула (3.12) дава възможност да се формулира следващото правилоза изчисляване на момента на силата около ос. За целта са ви необходими:

изберете произволна точка от оста и построете равнина, перпендикулярна на оста;

проектирайте сила върху тази равнина;

Определете проекционното рамо на силата h*.

Моментът на силата около оста е равен на произведението на модула на проекцията на силата върху нейното рамо, взето със съответния знак (виж горното правило).

От формула (3.12) следва, че моментът на силата около оста е нула в два случая:

· когато проекцията на силата върху равнина, перпендикулярна на оста, е равна на нула, т.е. когато силата и оста са успоредни ;

когато раменна проекция з*е равно на нула, т.е. когато линията на действие пресича оста .

И двата случая могат да бъдат комбинирани в един: моментът на силата спрямо оста е нула тогава и само ако линията на действие на силата и оста са в една и съща равнина .

Задача 3.1.Изчислете спрямо точка Омомент на сила Еприложен към точката НОи диагонално насочено лице на куб със страна а.

При решаването на такива задачи е препоръчително първо да се изчислят моментите на силата Еспрямо координатните оси х, г, z. Координати на точки НОприлагане на сила Еще

Проекции на сила Епо координатните оси:

Замествайки тези стойности в равенства (3.10), намираме

Същите изрази за моментите на сила Еспрямо координатните оси може да се получи по формула (3.12). За да направим това, ние проектираме сила Евърху равнина, перпендикулярна на оста хи при. Очевидно е, че . Прилагайки горното правило, получаваме, както се очаква, същите изрази:

, , .

Модулът на момента се определя от равенството

Нека сега въведем концепцията за момента на двойка. Нека първо намерим каква е сумата от моментите на силите, съставляващи двойката, спрямо произволна точка. Позволявам Ое произволна точка в пространството и Еи F"-сили, които съставляват двойка.

Тогава M o (F)= ОА × Е, M o (F") = OV × F",

M o (F) + M o (F ") = ОА × Е+ OV × F",

но тъй като F= -F", тогава

M o (F) + M o (F ") = ОА × Е- OV × Е=(ОА-OV)× Е.

Като се има предвид равенството OA-OV=VA , най-накрая намираме:

M o (F) + M o (F ") = Вирджиния × Е.

Следователно, сумата от моментите на силите, които съставляват двойката, не зависи от позицията на точката, спрямо която се вземат моментите .

векторен продукт Вирджиния × Еи се обади момент на двойка . Моментът на двойката се обозначава със символа M(F, F"), и

M(F, F")=Вирджиния × F= AB × F",

или накратко,

М=Вирджиния × F= AB × F". (3.13)

Разглеждайки дясната страна на това равенство, забелязваме това моментът на двойката е вектор, перпендикулярен на равнината на двойката, равен по абсолютна стойност на произведението на модула на една от силите на двойката и рамото на двойката (т.е. най-късото разстояние между линиите на двойката действие на силите, които изграждат двойката) и насочени в посоката, от която се вижда, че "въртенето" на двойката се извършва обратно на часовниковата стрелка . Ако че рамото на двойката, тогава M(F, F")=h×F.

От самото определение се вижда, че моментът на двойка сили е свободен вектор, чиято линия на действие не е дефинирана (допълнителна обосновка за тази забележка следва от теореми 2 и 3 на тази глава).

За да може една двойка сили да образува уравновесена система (система от сили, еквивалентна на нула), е необходимо и достатъчно моментът на двойката да е равен на нула. Наистина, ако моментът на двойката е нула, М=h×F, тогава или Е=0, т.е. няма сила, или рамото на двойка че равно на нула. Но в този случай силите на двойката ще действат в една права линия; тъй като те са равни по абсолютна стойност и са насочени в противоположни посоки, тогава, въз основа на аксиома 1, те ще съставляват балансирана система. Обратно, ако две сили F1и F2, които съставляват двойка, са балансирани, тогава въз основа на същата аксиома 1 те действат по една права линия. Но в този случай ливъриджът на двойката че равно на нула и следователно М=h×F=0.

Теореми за двойки

Нека докажем три теореми, чрез които стават възможни еквивалентни трансформации на двойки. Във всички съображения трябва да се помни, че те се отнасят до двойки, действащи върху всяко едно твърдо тяло.

Теорема 1. Две двойки, лежащи в една и съща равнина, могат да бъдат заменени с една двойка, лежаща в една и съща равнина с момент, равен на сумата от моментите на дадените две двойки.

За да докажете тази теорема, разгледайте две двойки ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) и прехвърлете точките на приложение на всички сили по линиите на тяхното действие към точките НОи ATсъответно. Събирайки силите съгласно аксиома 3, получаваме

R=F1+F2и R"=F" 1+Е" 2,

но F1=-F" 1и F2=-Е" 2.

Следователно, R=-R", т.е. сила Ри R"образуват двойка. Нека намерим момента на тази двойка, използвайки формула (3.13):

М=М(Р, R")=VA × R= VA × (F1+F2)=VA × F1+VA × F2. (3.14)

Когато силите, съставляващи двойката, се прехвърлят по линиите на тяхното действие, нито рамото, нито посоката на въртене на двойките се променят, следователно моментът на двойката също не се променя. означава,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=М 1, VA × F 2 \u003d M(F2,Е" 2)=М 2

и формула (3.14) приема формата

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

което доказва валидността на горната теорема.

Нека направим две забележки към тази теорема.

1. Линиите на действие на силите, които съставляват двойките, могат да се окажат успоредни. Теоремата остава валидна и в този случай, но за доказването й трябва да се използва правилото за събиране на успоредни сили.

2. След добавяне може да се окаже, че М(Р, R")=0; Въз основа на забележката, направена по-рано, това означава, че множеството от две двойки ( F1,F" 1, F2,Е" 2)=0.

Теорема 2. Две двойки с геометрично равни моменти са еквивалентни.

Нека върху тялото в самолета аздвойка ( F1,F" 1) с момент М 1. Нека покажем, че тази двойка може да бъде заменена с друга с двойката ( F2,Е" 2), разположени в равнината II, ако само неговият момент М 2се равнява М 1(според дефиницията (виж 1.1) това ще означава, че двойките ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) са еквивалентни). На първо място, ние отбелязваме, че самолетите ази IIтрябва да са успоредни, по-специално те могат да съвпадат. Наистина от успоредността на моментите М 1и М 2(в нашия случай М 1=М 2) следва, че равнините на действие на двойките, перпендикулярни на моментите, също са успоредни.

Нека представим нова двойка ( F3,Е" 3) и го приложете заедно с двойката ( F2,Е" 2) към тялото, поставяйки двете двойки в равнината II. За да направим това, според аксиома 2, трябва да изберем двойка ( F3,Е" 3) с момент М 3така че приложената система от сили ( F2,Е" 2, F3,Е" 3) беше балансиран. Това може да стане например по следния начин: задаваме F3=-F" 1и F" 3 =-F1и нека комбинираме точките на приложение на тези сили с проекциите НО 1 и AT 1 точки НОи ATдо самолета II. Според конструкцията ще имаме: M 3 \u003d -M 1или предвид това М 1 = М 2,

M 2 + M 3 = 0.

Като вземем предвид втората забележка към предходната теорема, получаваме ( F2,Е" 2, F3,Е" 3)=0. И така двойките ( F2,Е" 2) и ( F3,Е" 3) са взаимно балансирани и тяхното прикрепване към тялото не нарушава неговото състояние (аксиома 2), така че

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,Е" 2, F3,Е" 3). (3.16)

От друга страна, сили F1и F3, както и F" 1и Е" 3могат да се добавят съгласно правилото за добавяне на успоредни сили, насочени в една посока. По модул, всички тези сили са равни една на друга, така че тяхната резултатна Ри R"трябва да се приложи в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника ABB 1 НОедин ; освен това те са равни по абсолютна стойност и са насочени в противоположни посоки. Това означава, че те представляват система, еквивалентна на нула. Така,

(F1,F" 1, F3,Е" 3)=(Р, R")=0.

Сега можем да пишем

(F1,F" 1, F2,Е" 2, F3,Е" 3)=(F3,Е" 3). (3.17)

Сравнявайки отношения (3.16) и (3.17), получаваме ( F1,F" 1)=(F2,Е" 2), което трябваше да се докаже.

От тази теорема следва, че двойка сили може да бъде преместена в равнината на нейното действие, прехвърлена в успоредна равнина; накрая, в двойка можете да промените силите и рамото едновременно, запазвайки само посоката на въртене на двойката и модула на нейния импулс ( Е 1 ч 1 =Е 2 ч 2).

В това, което следва, ние ще използваме широко такива еквивалентни трансформации на двойка.

Теорема 3. Две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, са еквивалентни на една двойка, чийто момент е равно на суматамоменти от две дадени двойки.

Нека двойки ( F1,F" 1) и ( F2,Е" 2) са разположени в пресичащи се равнини ази IIсъответно. Използвайки следствието от теорема 2, свеждаме двете двойки до рамото ABразположен на линията на пресичане на равнините ази II. Трансформираните двойки означаваме с ( Q1,Q" 1) и ( Q2,Q" 2). В този случай равенствата

М 1 = М(Q1,Q" 1)=М(F1,F" 1) и М2 =М(Q2,Q" 2)=М(F2,Е" 2).

Нека добавим съгласно аксиома 3 силите, приложени в точките НОи ATсъответно. Тогава получаваме R \u003d Q 1 + Q 2и R"= Q" 1 +Q" 2. Като се има предвид това Q" 1 \u003d -Q 1и Q" 2 \u003d -Q 2, получаваме R=-R". Така доказахме, че системата от две двойки е еквивалентна на една двойка ( Р,R").

Да намерим момент Мтази двойка. Въз основа на формула (3.13) имаме

М(Р,R")=VA × (Q1+Q2)=VA × Q1+ VA × Q2=

=М(Q1,Q" 1)+М(Q2,Q" 2)=М(F1,F" 1)+М(F2,Е" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

тези. теоремата е доказана.

Имайте предвид, че полученият резултат е валиден и за двойки, разположени в успоредни равнини. Чрез теорема 2 такива двойки могат да бъдат сведени до една равнина, а чрез теорема 1 те могат да бъдат заменени с една двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на съставните двойки.

Доказаните по-горе двойки теореми водят до важно заключение: моментът на двойката е свободен вектор и напълно определя действието на двойката върху абсолютно твърдо тяло . Наистина, вече доказахме, че ако две двойки имат еднакви моменти (и следователно лежат в една и съща равнина или в успоредни равнини), тогава те са еквивалентни една на друга (теорема 2). От друга страна, две двойки, лежащи в пресичащи се равнини, не могат да бъдат еквивалентни, защото това би означавало, че едната от тях и двойката срещу другата са еквивалентни на нула, което е невъзможно, тъй като сумата от моментите на такива двойки е различна от нулата.

По този начин въведената концепция за момента на двойка е изключително полезна, тъй като отразява напълно механичното действие на двойка върху тялото. В този смисъл можем да кажем, че моментът изчерпателно представя действието на двойка върху твърдо тяло.

За деформируемите тела горната теория на двойките не е приложима. Две противоположни двойки, действащи например върху краищата на пръта, са еквивалентни на нула от гледна точка на статиката на твърдо тяло. Междувременно тяхното действие върху деформируемия прът причинява неговото усукване и колкото повече, толкова по-големи са модулите на моментите.

Нека да преминем към решаването на първата и втората задача на статиката, когато върху тялото действат само двойки сили.

Моментът на силата около оста на въртене е физическа величина, равна на произведението на силата и нейното рамо.

Силовият момент се определя по формулата:

M - FI, където F е силата, I е рамото на силата.

Рамото на силата е най-късото разстояние от линията на действие на силата до оста на въртене на тялото.

На фиг. 1.33, а показва твърдо тяло, което може да се върти около ос. Оста на въртене на това тяло е перпендикулярна на равнината на фигурата и минава през точката, обозначена с буквата O. Рамото на силата F тук е разстоянието 1X от оста на въртене до линията на действие на силата . Намерете го по следния начин. Първо начертайте линията на действие на силата. Тогава от точката О, през която минава оста на въртене на тялото, се спуска перпендикуляр към линията на действие на силата. Дължината на този перпендикуляр е рамото на дадената сила.

Силовият момент характеризира въртеливото действие на силата. Това действие зависи както от силата, така и от ливъриджа. Колкото по-голямо е рамото, толкова по-малка сила трябва да се приложи, за да се получи желаният резултат, т.е. същия момент на сила (виж (1.33)). Ето защо е много по-трудно да отворите вратата, като я натиснете близо до пантите, отколкото като държите дръжката, и е много по-лесно да развиете гайката с дълъг гаечен ключ, отколкото с къс гаечен ключ.

За единица момент на сила в SI се приема момент на сила от 1 N, чието рамо е 1 m - нютон метър (N m).

моментно правило

Твърдо тяло, способно да се върти около фиксирана ос, е в равновесие, ако моментът на силата M, който го върти по посока на часовниковата стрелка, е равен на момента на силата M2, която го върти обратно на часовниковата стрелка:

M1 \u003d -M2 или F 1 ll \u003d - F 2 l 2.

Правилото на моментите е следствие от една от теоремите на механиката, формулирана от френския учен П. Вариньон през 1687 г.

Ако две равни и противоположно насочени сили, които не лежат на една права линия, действат върху тяло, тогава такова тяло не е в равновесие, тъй като резултантният момент на тези сили около която и да е ос не е равен на нула, тъй като и двете сили имат моменти насочени в същата посока. Две такива сили, действащи едновременно върху едно тяло, се наричат двойка сили. Ако тялото е фиксирано върху ос, тогава под действието на двойка сили то ще се върти. Ако върху свободно тяло се приложи двойка сили, то ще се върти около ос, минаваща през центъра на тежестта на тялото, фиг. 1.33б.

Моментът на двойка сили е еднакъв за всяка ос, перпендикулярна на равнината на двойката. Общият момент M на двойка винаги е равен на произведението на една от силите F и разстоянието I между силите, което се нарича рамо на двойката, независимо от сегментите и /2, в които позицията на оста на рамото на двойката се разделя:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Моментът на няколко сили, чиято резултантна е нула, ще бъде еднакъв по отношение на всички успоредни една на друга оси, така че действието на всички тези сили върху тялото може да бъде заменено с действието на една двойка сили с същия момент.