Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Как да намерите площта на триъгълник (формули)

В процес на разглеждане триъгълник ABC, при което ъгъл С- прав.

Страните на този триъгълник, съседни на прав ъгъл (т.е. страни AC и BC) са наречени крака, и страната срещу правия ъгъл (т.е. страна AB) — хипотенуза.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако краката са известни

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката му.

Примери.

В триъгълник ABC (ъгъл C \u003d 90º), кракът AC е 5 cm, а кракът BC е 3 cm.Площта на триъгълника ABC е:

S ABC \u003d 0,5 5 3 \u003d 7,5 cm 2.

В триъгълник MNP (ъгъл N = 90º) катетът PN е 102 mm, а катетът MN е 76 mm. Площта на триъгълника MNP е:

S ABC \u003d 0,5 102 76 \u003d 3876 mm 2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако са известни две страни

Необходимо е да разберете кои точно страни на правоъгълен триъгълник са известни: два крака или хипотенузата и един от краката, т.к. подходът ще бъде напълно различен. Случаят, когато са известни дължините на два крака, е разгледан по-горе. По-долу разглеждаме случая, когато е известна дължината на хипотенузата и един от краката.

Площ на правоъгълен триъгълник по крака и хипотенузата

Последователността на решението е следната:

използвайки теоремата на Питагор, трябва да определите дължината на втория крак;
трябва да намерите площта на правоъгълен триъгълник с два крака.

Пример.

В триъгълника ABC (ъгъл C \u003d 90º) кракът AC е 6 cm, а хипотенузата AB е 9,22 cm. Дължината на втория крак е

BC \u003d КОРЕН от (9,22 2 - 6 2) \u003d 7 cm.

Сега, като използвате два известни крака (AC \u003d 6 cm, BC \u003d 7 cm), можете да определите площта на триъгълника:

S ABC \u003d 0,5 6 7 \u003d 21 cm 2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако е известна хипотенузата

Невъзможно е да се намери площта на триъгълник само като се знае дължината на хипотенузата му, тъй като хипотенузата не дефинира еднозначно правоъгълен триъгълник. В крайна сметка няколко триъгълника могат да имат еднаква дължина на хипотенузата, но напълно различни дължини на краката и съответно различни области.

Например:

хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 6 cm, BC = 8 cm, площ S = 0,5 6 8 = 24 cm 2;
хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 5 cm, BC = 8,66 cm, площ S = 0,5 5 8,66 = 21,65 cm 2;
хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 4 cm, BC = 9,165 cm, площ S = 0,5 4 9,165 = 18,33 cm 2.

В допълнение към дължината на хипотенузата, за да се определи еднозначно триъгълник, е необходимо да се знае или дължината на един от краката, или стойността на един от острите ъгли.

Определянето на площта на правоъгълен триъгълник от хипотенузата и един от краката е обсъдено по-горе.

Площ на правоъгълен триъгълник, дадена хипотенуза и ъгъл

Знаейки дължината на хипотенузата и стойността на един от острите й ъгли, можете да намерите дължините на двата крака - съседни на този остър ъгъл и противоположни на този ъгъл. Освен това, знаейки дължините на двата крака, можете лесно да определите площта на триъгълника.

източници:

P.F. Филчаков. Наръчник по начална математика. - К .: Наукова думка, 1967. - 442 с.
М.Я. Вигодски. Наръчник по начална математика. - М .: Държавно издателство за техническа и теоретична литература. — 412 стр.
Е. Хлебалина. Универсален училищна енциклопедия. В 2 тома. Том 2 (M - Z). — М.: Аванта+, 2003. — 592 с.

В процес на разглеждане триъгълник ABC, при което ъгъл С- прав.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако краката са известни

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката му.

Примери.

В триъгълник ABC (ъгъл C \u003d 90º), кракът AC е 5 cm, а кракът BC е 3 cm.Площта на триъгълника ABC е:

S ABC \u003d 0,5 5 3 \u003d 7,5 cm 2.

В триъгълник MNP (ъгъл N = 90º) катетът PN е 102 mm, а катетът MN е 76 mm. Площта на триъгълника MNP е:

S ABC \u003d 0,5 102 76 \u003d 3876 mm 2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако са известни две страни

Площ на правоъгълен триъгълник по крака и хипотенузата

Последователността на решението е следната:

използвайки теоремата на Питагор, трябва да определите дължината на втория крак;
трябва да намерите площта на правоъгълен триъгълник с два крака.

Пример.

В триъгълника ABC (ъгъл C \u003d 90º) кракът AC е 6 cm, а хипотенузата AB е 9,22 cm. Дължината на втория крак е

BC \u003d КОРЕН от (9,22 2 - 6 2) \u003d 7 cm.

Сега, като използвате два известни крака (AC \u003d 6 cm, BC \u003d 7 cm), можете да определите площта на триъгълника:

S ABC \u003d 0,5 6 7 \u003d 21 cm 2.

Площ на правоъгълен триъгълник, ако е известна хипотенузата

Например:

хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 6 cm, BC = 8 cm, площ S = 0,5 6 8 = 24 cm 2;
хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 5 cm, BC = 8,66 cm, площ S = 0,5 5 8,66 = 21,65 cm 2;
хипотенуза AC = 10 cm, катети AC = 4 cm, BC = 9,165 cm, площ S = 0,5 4 9,165 = 18,33 cm 2.

Определянето на площта на правоъгълен триъгълник от хипотенузата и един от краката е обсъдено по-горе.

Площ на правоъгълен триъгълник, дадена хипотенуза и ъгъл

източници:

P.F. Филчаков. Наръчник по начална математика. - К .: Наукова думка, 1967. - 442 с.
М.Я. Вигодски. Наръчник по начална математика. - М .: Държавно издателство за техническа и теоретична литература. — 412 стр.
Е. Хлебалина. Универсална училищна енциклопедия. В 2 тома. Том 2 (M - Z). — М.: Аванта+, 2003. — 592 с.

Инструкция

Задача 1.
Намерете дължините на всички страни на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че дължината на единия катет надвишава дължината на другия с 1 cm, а площта на триъгълника е 28 cm.

Решение.
Запишете основната формула за площ S = (a*b)/2 = 28. Известно е, че b = a + 1, заместете тази стойност във формулата: 28 = (a*(a+1))/2.
отворете скобите, вземете квадратно уравнениес едно неизвестно a^2 + a - 56 = 0.
Намерете корените на това уравнение, за което изчислете дискриминанта D = 1 + 224 = 225. Уравнението има две решения: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 и a_2 = (-1 - √225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Вторият корен няма смисъл, тъй като дължината на сегмента не може да бъде отрицателна, така че a = 7 (cm).
Намерете дължината на втория катет b = a + 1 = 8 (cm).
Остава да се намери дължината на третата страна. Според Питагоровата теорема за правоъгълен триъгълник c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, следователно c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10,6 (cm).

Задача 2.
Намерете дължините на всички страни на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че неговата площ е 14 cm и ъгъл ACB е 30°.

Решение.
Запишете основната формула S = (a*b)/2 = 14.
Сега изразете дължините на катетите чрез произведението на хипотенузата и тригонометричните функции според свойството на правоъгълен триъгълник:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0,87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0,5*c.

Заместете получените стойности във формулата на площта:
14 = (0,87*0,5*c^2)/2, от където:
28 ≈ 0,435*s^2 → c = √64,4 ≈ 8 (cm).
Намерихте дължината на хипотенузата, сега намерете дължините на другите две страни:
a = 0,87*c = 0,87*8 ≈ 7 (cm), b = 0,5*c = 0,5*8 = 4 (cm).

Подобни видеа

Първо, нека се споразумеем за нотацията. Кракът се нарича страна на правоъгълен триъгълник, която е в съседство с правия ъгъл (тоест сключва ъгъл от 90 градуса с другата страна). Ще се съгласим да обозначим дължините на катетите a и b. Стойностите на острите ъгли на правоъгълен триъгълник срещу краката ще се наричат съответно A и B. Хипотенузата е страната на правоъгълен триъгълник, която е срещу правия ъгъл (т.е прав ъгъл, образува остри ъгли с другите страни на триъгълника). Нека означим дължината на хипотенузата с s. Означете търсената площ с S.

Инструкция

c е дължината на хипотенузата (страната срещу правия ъгъл);

a, b са дължините на краката (страни, съседни на правия ъгъл);

A е ъгълът, противоположен на крака a;

B е ъгълът, противоположен на катета b.

Ако ви е даден един от острите ъгли, например A, и хипотенузата, тогава краката могат да бъдат намерени от дефинициите на основните тригонометрични функции:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Ако един от острите ъгли е даден, например, A, и един от катетите, например, a, тогава хипотенузата и другият ъгъл се изчисляват от отношенията: b=a*tg(A), c=a * грях (A).

Полезни съвети

В случай, че не знаете стойността на синуса или косинуса на един от ъглите, необходими за изчисляване, можете да използвате таблиците на Брадис, те предоставят стойностите на тригонометричните функции за Голям бройъгли. Освен това повечето съвременни калкулатори могат да изчисляват синусите и косинусите на ъглите.

източници:

как да изчислим страната на правоъгълен триъгълник през 2017 г

Съвет 4: Как да намерите основата на правоъгълен триъгълник

В такава фигура като правоъгълен триъгълник задължително има ясно съотношение на страните една спрямо друга. Познавайки две от тях, винаги можете да намерите третата. Как може да стане това, ще научите от инструкциите по-долу.

Ще имаш нужда

- калкулатор.

Инструкция

Квадрат двата крака и след това ги съберете заедно a2 + b2. Резултатът е хипотенузата ( база) в квадрат c2. След това просто трябва да вземете корена на последното число и хипотенузата е намерена. Този методе най-простият и удобен за използване на практика. Основното нещо в процеса на намиране на страни триъгълниктака - не забравяйте да извлечете корена от предварителния резултат, за да избегнете най-честата грешка. Формулата е получена благодарение на най-известната теорема на Питагор в света, която във всички източници изглежда така: a2+b2 = c2.

Разделете един от катетите a на синуса на противоположния му ъгъл sin α. В случай, че страните и синусите са известни в условието, тази опция за намиране на хипотенузата ще бъде най-приемлива. Формулата в този случай ще има много проста форма: c=a/sin α. Бъдете внимателни с всички изчисления.

Умножете страна а по две. Хипотенузата е изчислена. Това е може би най-елементарният начин да намерим страната, от която се нуждаем. Но, за съжаление, този метод се използва само в един случай - ако има страна, която лежи срещу ъгъла в градусна мярка, равна на числото тридесет. Ако има такава, можете да сте сигурни, че тя винаги ще бъде точно половината от хипотенузата. Съответно трябва само да го удвоите и отговорът е готов.

Разделете катет a на косинуса на прилежащия към него ъгъл cos α. Този метод е подходящ само ако знаете един от краката и косинуса на ъгъла, съседен на него. Този метод прилича на този, който вече ви беше представен по-рано, при който също се използва катет, но вместо косинус, синусът на противоположния ъгъл. Само тук формулата в този случай ще има малко по-различна промяна външен вид: с=a/ cos α. Това е всичко.

Съвет 5: Как да намерите ъгъла, ако страните на правоъгълен триъгълник са известни

Тре квадрат, един от ъглите на който е прав (равен на 90 °), се нарича прав ъгъл. Най-дългата му страна винаги лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза, а другите две странисе наричат кънки. Ако дължините на тези три страни са известни, тогава намерете стойностите на всички ъгли на триъгълника квадрати не е трудно, тъй като всъщност трябва да изчислите само един от ъглите. Това може да стане по няколко начина.

Инструкция

Използвайте за изчисляване на стойностите на ъглите (α, β, γ) дефинициите на тригонометрични функции по отношение на правоъгълен триъгълник квадрат. Такава дефиниция, например, за синуса на остър ъгъл се формулира като съотношението на дължината на противоположния крак към дължината на хипотенузата. Така че, ако дължините на краката (A и B) и хипотенузата (C) са известни, тогава можете да намерите например синуса на ъгъл α, който лежи срещу крака A, като разделите дължината страниИ за дължината страни C (хипотенуза): sin(α)=A/C. След като сте научили стойността на синуса на този ъгъл, можете да намерите стойността му в градуси, като използвате обратната функция на синуса - арксинуса. Тоест α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). По същия начин можете да намерите стойността на друг остър ъгъл в триъгълника квадратд, но не е необходимо. Тъй като сумата от всички ъгли е квадрат a винаги е 180° и в правоъгълен триъгълник квадратАко един от ъглите е равен на 90°, тогава стойността на третия ъгъл може да се изчисли като разликата между 90° и стойността на намерения ъгъл: β=180°-90°-α=90°-α.

Вместо да дефинирате синуса, можете да използвате дефиницията на косинуса на остър ъгъл, който се формулира като съотношението на дължината на крака, съседен на желания ъгъл, към дължината на хипотенузата: cos(α)=B/ ° С. И тук използвайте обратната тригонометрична функция (аркосинус), за да намерите стойността на ъгъла в градуси: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). След това, както в предишната стъпка, остава да се намери стойността на липсващия ъгъл: β=90°-α.

Можете да използвате подобна дефиниция на тангентата - тя се изразява чрез съотношението на дължината на катета срещу желания ъгъл към дължината на съседния катет: tg(α)=A/B. Стойността на ъгъла в градуси отново се определя чрез обратната тригонометрична функция - арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формулата за липсващ ъгъл ще остане непроменена: β=90°-α.

Подобни видеа

Съвет 6: Как да намерите дължината на страна на правоъгълен триъгълник

Триъгълникът се счита за правоъгълен триъгълник, ако един от ъглите му е прав ъгъл. отстрани триъгълникразположен срещу прав ъгъл се нарича хипотенуза, а другите две страни- катетри. Да се намерят дължините на страните на правоъгълник триъгълник, може да се използва по няколко начина.

Инструкция

1. Стойностите на два крака са известни

В този случай площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:
S=0.5ab

2. Известни са един катет и хипотенуза

При такива условия е най-логично да се използва Питагоровата теорема и горната формула:
S = 0,5∙sqrt(c^2-a^2)∙a,
където е sqrt Корен квадратен, c^2-a^2 - радикален израз, обозначаващ разликата на квадрата на хипотенузата и катета.

3. Дадени са стойностите на всички страни на триъгълника

За такива проблеми можете да използвате формулата на Heron:
S = (p-a)(p-b),
където p е полупериметърът, който се намира чрез следния израз: p = 0,5∙ (a+b+c)

4. Един катет и ъгъл са известни

Тук си струва да се обърнем към тригонометричните функции. Например tg(1) = 1/сtg(1) = b/a. Тоест, благодарение на това съотношение е възможно да се определи стойността на неизвестния крак. След това проблемът се свежда до първата точка.

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Има няколко вида триъгълници. Някои имат всички остри ъгли, други имат един тъп и два остри, а трети имат два остри и един прав. На тази основа всеки тип от тези геометрични формии получи името: остроъгълни, тъпоъгълни и правоъгълни. Тоест, триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник, в който един от ъглите е 90 °. Има и друго определение, подобно на първото. Правоъгълният триъгълник е триъгълник, който има две страни, които са перпендикулярни.

Хипотенуза и катети

В острите и тъпите триъгълници сегментите, свързващи върховете на ъглите, се наричат просто страни. Страните на правоъгълен триъгълник имат други имена. Тези, които са в съседство с прав ъгъл, се наричат крака. Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза. В превод от гръцки думата "хипотенуза" означава "опъната", а "крак" - "перпендикулярна".

Връзки между хипотенузата и катетите

Страните на правоъгълен триъгълник са свързани помежду си с определени съотношения, което значително улеснява изчисленията. Например, знаейки размерите на краката, можете да изчислите дължината на хипотенузата. Това съотношение, кръстено на математика, който го е открил, се нарича Питагорова теорема и изглежда така:

c2=a2+b2, където c е хипотенузата, a и b са катети. Тоест хипотенузата ще бъде равна на корен квадратен от сбора на квадратите на катетите. За да намерите някой от катетите, е достатъчно да извадите квадрата на другия катет от квадрата на хипотенузата и да извлечете квадратния корен от получената разлика.

Съседен и противоположен крак

Начертайте правоъгълен триъгълник ACB. Буквата C се използва за означаване на върха на прав ъгъл, A и B са върховете на острите ъгли. Страните срещу всеки ъгъл са удобно наречени a, b и c, след имената на ъглите срещу тях. Помислете за ъгъл A. Крак a за него ще бъде противоположен, крак b - съседен. Съотношението на противоположния катет към хипотенузата се нарича синус. Тази тригонометрична функция може да се изчисли по формулата: sinA=a/c. Съотношението на съседния катет към хипотенузата се нарича косинус. Изчислява се по формулата: cosA=b/c.

По този начин, знаейки ъгъла и една от страните, е възможно да се изчисли другата страна с помощта на тези формули. И двата крака са свързани с тригонометрични отношения. Отношението на противоположното към съседното се нарича тангенс, а отношението на съседното към противоположното се нарича котангенс. Тези съотношения могат да бъдат изразени с формулите tgA=a/b или ctgA=b/a.

В зависимост от вида на триъгълника има няколко варианта за намиране на площта му. Например, за да се изчисли площта на правоъгълен триъгълник, се използва формулата S = a * b / 2, където a и b са неговите крака. Ако искате да знаете района равнобедрен триъгълник, тогава е необходимо да се раздели на две произведението на неговата основа и височина. Тоест S= b*h / 2, където b е основата на триъгълника, а h е неговата височина.

След това може да се наложи да изчислите площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Тук на помощ идва следната формула: S = a * a / 2, където краката "a" и "a" задължително трябва да са с еднакви стойности.

Освен това често трябва да изчисляваме площта равностранен триъгълник. Намира се по формулата: S= a * h/ 2, където a е страната на триъгълника, а h е неговата височина. Или според тази формула: S= √3/ 4 *a^2, където a е страната.

Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник

Трябва да намерите площта на правоъгълен триъгълник, но в същото време условията на проблема не показват размерите на двата му крака наведнъж? Тогава няма да можем да използваме тази формула (S= a * b / 2) директно.

Помислете за няколко настроикирешения:

Ако не знаете дължината на единия крак, но са дадени размерите на хипотенузата и втория крак, тогава се обръщаме към великия Питагор и според неговата теорема (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2 ), изчислете дължината на неизвестния крак, след което го използвайте, за да изчислите площта на триъгълника.
Ако са дадени дължината на единия катет и градусният наклон на ъгъла срещу него: намираме дължината на втория катет по формулата - a=b*ctg(C).
Дадени са: дължината на единия катет и градусният наклон на ъгъла, прилежащ към него: за да намерим дължината на втория катет, използваме формулата - a=b*tg(C).
И накрая, като се има предвид: ъгълът и дължината на хипотенузата: изчисляваме дължината на двата й катета, по следните формули - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как да намерите площта на равнобедрен триъгълник

Площта на равнобедрен триъгълник може да се намери много лесно и бързо с помощта на формулата S \u003d b * h / 2, но при липса на един от индикаторите задачата става много по-сложна. В крайна сметка трябва да се предприемат допълнителни стъпки.

Възможни опции за задача:

Дадени са: дължината на една от страните и дължината на основата. Чрез Питагоровата теорема намираме височината, тоест дължината на втория крак. При условие, че дължината на основата, разделена на две, е кракът, а първоначално известната страна е хипотенузата.
Дадени са: основа и ъгъл между страна и основа. Изчислете височината, като използвате формулата h=c*ctg(B)/2 (не забравяйте да разделите страната „c” на две).
Дадени са: височината и ъгълът, образуван от основата и страната: използвайте формулата c=h*tg(B)*2, за да намерите височината и умножете резултата по две. След това изчисляваме площта.
Известни са: дължината на страната и ъгълът, който се образува между нея и височината. Решение: използваме формулите - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C), за да намерим основата и височината, след което изчисляваме площта.

Как да намерите площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник

Ако всички данни са известни, тогава с помощта на стандартната формула S = a * a / 2 изчисляваме площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник, но ако някои показатели не са посочени в задачата, тогава се извършват допълнителни действия.

Например: не знаем дължините на двете страни (спомняме си, че при равнобедрен правоъгълен триъгълникте са равни), но е дадена дължината на хипотенузата. Нека приложим Питагоровата теорема, за да намерим еднаквите страни "a" и "a". Формула на Питагор: a^2+b^2=c^2. В случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник се преобразува в следното: 2a^2 = c^2. Оказва се, че за да намерите крака "a", трябва да разделите дължината на хипотенузата на корен от 2. Резултатът от решението ще бъде дължината на двата крака на равнобедрен правоъгълен триъгълник. След това намерете областта.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник

Използвайки формулата S= √3/ 4*a^2, можете лесно да изчислите площта на равностранен триъгълник. Ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е известен, тогава площта може да се намери по формулата: S= 3√3/ 4*R^2, където R е радиусът на окръжността.

Ако според условието на задачата е даден радиус на вписаната окръжност, то площта се изчислява по формулата: S= 3√3*r^2, където r е радиусът на окръжността.

Освен това, ако започнем от тази формула - S= a * h/ 2, тогава неизвестният индикатор в задачата може да бъде височината h, за да я намерите, използвайте Питагоровата теорема. Тогава височината на триъгълника ще бъде катет, неговата странична страна ще бъде хипотенузата, а половината от страната, върху която се освобождава височината, ще бъде вторият катет. Ако равностранен триъгълник има всички страни равни, тогава намирането на височината няма да е трудно. След това намираме площта по формулата S \u003d a * h / 2.

Видео как да намерите площта на триъгълник: