Обчислення меж 1 та 2 чудові межі. Перша чудова межа: теорія та приклади

Знайти чудові межіважко не лише багатьом студентам першого, другого курсу навчання, які вивчають теорію меж, а й деяким викладачам.

Формула першої чудової межі

Наслідки першої чудової межі запишемо формулами
1. 2. 3. 4. Але власними силами загальні формули чудових меж нікому на іспиті чи тесті не допомагають. Суть у тому, що реальні завдання побудовані так що до вищезаписаних формул потрібно ще прийти. І більшість студентів, які пропускають пари, заочно вивчають цей курс або мають викладачів, які самі не завжди розуміють, про що пояснюють, не можуть вирахувати найелементарніших прикладів на чудові межі. З формул першої чудової межі бачимо, що з їхньою допомогою можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль для виразів із тригонометричними функціями. Розглянемо спочатку низку прикладів на перший чудова межау, а потім вивчимо другу чудову межу.

Приклад 1. Знайти межу функції sin(7*x)/(5*x)
Рішення: Як бачите функція під межею близька до першої чудової межі, але сама межа функції точно не дорівнює одиниці. У таких завданнях на межі слід у знаменнику виділити змінну з таким самим коефіцієнтом, який міститься при змінній під синусом. У цьому випадку слід розділити та помножити на 7

Деяким така деталізація здасться зайвою, але більшості студентів, яким важко даються межі, допоможе краще зрозуміти правила і засвоїти теоретичний матеріал.
Також, якщо є зворотний виглядфункції - це також перша чудова межа. А все тому, що чудова межа дорівнює одиниці

Це правило стосується і наслідків 1 чудової межі. Тому якщо Вас запитають "Чому дорівнює перша чудова межа?" Ви без вагань повинні відповісти, що це одиниця.

Приклад 2. Знайти межу функції sin(6x)/tan(11x)
Рішення: Для розуміння кінцевого результату розпишемо функцію у вигляді

Щоб застосувати правила чудової межі помножимо та розділимо на множники

Далі межу добутку функцій розпишемо через добуток меж

Без складних формул ми виявили межу частки тригонометричних функцій. Для засвоєння простих формулспробуйте придумати і знайти межу на 2 та 4 формулу слідства 1 чудової межі. Ми розглянемо складніші завдання.

Приклад 3. Обчислити межу (1-cos(x))/x^2
Рішення: Під час перевірки підстановкою отримаємо невизначеність 0/0 . Багатьом невідомо, як звести такий приклад до 1 чудової межі. Тут слід використовувати тригонометричну формулу

При цьому межа перетвориться на зрозумілий вигляд

Нам удалося звести функцію до квадрата чудової межі.

Приклад 4. Знайти межу
Рішення: При підстановці отримаємо знайому особливість 0/0. Однак змінна прагне Pi, а не нуля. Тому для застосування першої чудової межі виконаємо таку заміну змінної х, щоб нова змінна прямувала до нуля. Для цього знаменник позначимо за нову змінну Pi-x=y

Таким чином, використавши тригонометричну формулу, яка наведена в попередньому завданні, приклад зведений до 1 чудової межі.

Приклад 5. Обчислити межу
Рішення: Спочатку неясно, як спростити межі. Але якщо є приклад, то має бути і відповідь. Те, що змінна прямує до одиниці, дає при підстановці особливість виду нуль помножити на нескінченність, тому тангенс потрібно замінити за формулою.

Після цього отримаємо необхідність 0/0. Далі виконуємо заміну змінних у межі, і використовуємо періодичність котангенсу

Останні заміни дозволяють використовувати наслідок 1 чудової межі.

Друга чудова межа дорівнює експоненту

Це класика до якої реальних завданнях межі який завжди легко прийти.
У обчисленнях Вам знадобляться межі - наслідки другої чудової межі:
1. 2. 3. 4.
Завдяки другій чудовій межі та її наслідків можна дослідити невизначеності типу нуль розділити на нуль, одиниця в ступеня нескінченність, і нескінченність розділити на нескінченність, та ще й у такому ж ступені

Почнемо для ознайомлення з простих прикладів.

Приклад 6. Знайти межу функції
Рішення: Безпосередньо застосувати 2 чудові межі не вийде. Спочатку слід перетворити показник, щоб він мав вигляд зворотний до доданку в дужках

Це і є техніка зведення до 2 чудової межі та по суті - виведення 2 формули слідства межі.

Приклад 7. Знайти межу функції
Рішення: Маємо завдання на 3 формулу слідства 2 чудової межі. Підстановка нуля дає особливість 0/0. Для зведення межі під правило перетворимо знаменник, щоб при змінній був той самий коефіцієнт що і на логарифм

Це також легко зрозуміти та виконати на іспиті. Труднощі у студентів при обчисленні меж починаються з наступних завдань.

Приклад 8. Обчислити межу функції[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Рішення: Маємо особливість типу 1 ступеня нескінченність. Якщо не вірите, можете скрізь замість "ікс" підставити нескінченність і переконатись у цьому. Для зведення під правило поділимо в дужках чисельник на знаменник, для цього заздалегідь виконаємо маніпуляції

Підставимо вираз у межу і перетворимо до 2 чудової межі

Межа дорівнює експоненті 10 ступеня. Константи, які є доданками при змінній як у дужках так і ступеня ніякої "погоди" не вносять - слід пам'ятати. А якщо Вас спитають викладачі - "Чому не перетворюєте показник?" (Для цього прикладу в x-3), то скажіть що "Коли змінна прагне до нескінченності то до неї хоч додай 100 хоч забирай 1000, а межа залишиться такою як і був!".
Існує і другий спосіб обчислювати межі такого типу. Про нього розповімо у наступному завданні.

Приклад 9. Знайти межу
Рішення: Тепер винесемо змінну в чисельнику і знаменнику і перетворимо особливість на іншу. Для отримання кінцевого значення використовуємо формулу слідства 2 чудової межі

приклад 10. Знайти межу функції
Рішення: Задана межазнайти під силу не кожному. Для зведення під 2 межу уявімо, що sin (3x) це змінна, а потрібно перетворити показник

Далі показник запишемо як ступінь ступеня


У дужках описані проміжні міркування. В результаті використання першої та другої чудової межі отримали експоненту в кубі.

Приклад 11. Обчислити межу функції sin(2*x)/ln(3*x+1)
Рішення: Маємо невизначеність 0/0. Крім цього бачимо, що функцію слід перетворювати на використання обох чудових меж. Виконаємо попередні математичні перетворення

Далі легко межа прийме значення

Ось так вільно Ви почуватиметеся на контрольних роботах, тестах, модулях, якщо навчитеся швидко розписувати функції і зводити під першу чи другу чудову межу. Якщо завчити наведені методики знаходження меж Вам важко, завжди можете замовити контрольну роботуна межі у нас.
Для цього заповніть форму, вкажіть дані та вкладіть файл із прикладами. Ми допомогли багатьом студентам – зможемо допомогти і Вам!

Ця стаття: «Друга чудова межа» присвячена розкриттю в межах невизначеностей виду:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ і $^\infty $.

Також такі невизначеності можна розкривати за допомогою логарифмування показово- статечної функціїАле це вже інший метод рішення, про який буде висвітлено в іншій статті.

Формула та наслідки

Формуладругої чудової межі записується наступним чином: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( де ) e \approx 2.718 $$

З формули випливають слідства, які дуже зручно застосовувати для вирішення прикладів з межами: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( де ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Варто зауважити, що друга чудова межа можна застосовувати не завжди до показово-ступеневої функції, а лише у випадках коли основа прагне одиниці. Для цього спочатку в розумі обчислюють межу основи, а потім роблять висновки. Все це буде розглянуто у прикладах рішень.

Приклади рішень

Розглянемо приклади рішень із використанням прямої формули та її наслідків. Також розберемо випадки, у яких формула не потрібна. Достатньо записати лише готову відповідь.

Розберемо випадки, коли завдання схоже на другу чудову межу, але вирішується без неї.

У статті: «Друга чудова межа: приклади рішень» було розібрано формулу, її наслідки та наведено часті типи завдань на цю тему.

Формула другої чудової межі має вигляд lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Інша форма запису має такий вигляд: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Коли говоримо про другий чудовому межі, нам доводиться мати справу з невизначеністю виду 1 ∞ , тобто. одиницею нескінченною мірою.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Розглянемо завдання, у яких нам знадобиться вміння обчислювати другу чудову межу.

Приклад 1

Знайдіть межу lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Рішення

Підставимо потрібну формулу і виконаємо обчислення.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

У нас у відповіді вийшла одиниця в міру нескінченність. Щоб визначитися з методом розв'язання, використовуємо таблицю невизначеностей. Виберемо другу чудову межу і зробимо заміну змінних.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Якщо x → ∞ , то t → - ∞ .

Подивимося, що в нас вийшло після заміни:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Відповідь: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Приклад 2

Обчисліть межу lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.

Рішення

Підставимо нескінченність і отримаємо таке.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

У відповіді у нас знову вийшло те саме, що й у попередньому завданні, отже, ми можемо знову скористатися другою чудовою межею. Далі нам потрібно виділити в основі статечної функції цілу частину:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Після цього межа набуває наступного вигляду:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Замінюємо змінні. Припустимо, що t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; якщо x → ∞, то t → ∞.

Після цього записуємо, що в нас вийшло у вихідній межі:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Щоб виконати це перетворення, ми використовували основні властивості меж і ступенів.

Відповідь: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e-2.

Приклад 3

Обчисліть межу lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Рішення

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Після цього нам потрібно виконати перетворення функції для застосування другої чудової межі. У нас вийшло таке:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Оскільки зараз у нас є однакові показники ступеня в чисельнику і знаменнику дробу (рівні шести), то межа дробу на нескінченності дорівнюватиме відношенню даних коефіцієнтів при старших ступенях.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

При заміні t = x 2 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 у нас вийде друга чудова межа. Значить, що:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Відповідь: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e-3.

Висновки

Невизначеність 1 ∞, тобто. одиниця в нескінченній мірі, є статечною невизначеністю, отже, її можна розкрити, використовуючи правила знаходження меж показово статечних функцій.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Чудових меж існує кілька, але найвідомішими є перший і другий чудові межі. Чудовість цих меж у тому, що вони мають широке застосування і з допомогою можна знайти й інші межі, які у численних завданнях. Цим ми і займатимемося в практичній частині цього уроку. Для вирішення завдань шляхом приведення до першої або другої чудової межі не потрібно розкривати невизначеності, що містяться в них, оскільки значення цих меж вже давно вивели великі математики.

Першою чудовою межеюназивається межа відношення синуса нескінченно малої дуги до тієї ж дуги, вираженої в радіанній мірі:

Переходимо до вирішення завдань на першу чудову межу. Зауважимо: якщо під знаком межі знаходиться тригонометрична функція, це майже вірна ознака того, що цей вираз можна привести до першої чудової межі.

приклад 1.Знайти межу.

Рішення. Підстановка замість xнуля призводить до невизначеності:

.

У знаменнику - синус, отже, вираз можна призвести до першої чудової межі. Починаємо перетворення:

.

У знаменнику - синус трьох ікс, а в чисельнику лише один ікс, отже, потрібно отримати три ікс і в чисельнику. Для чого? Щоб уявити 3 x = aі отримати вираз.

І приходимо до різновиду першої чудової межі:

тому що не має значення, яка літера (змінна) у цій формулі стоїть замість ікса.

Помножуємо ікс на три і відразу ділимо:

.

Відповідно до поміченої першої чудової межі робимо заміну дробового виразу:

Тепер можемо остаточно вирішити цю межу:

.

приклад 2.Знайти межу.

Рішення. Безпосередня підстановка знову призводить до невизначеності "нуль ділити на нуль":

.

Щоб отримати першу чудову межу, потрібно, щоб ікс під знаком синуса в чисельнику і просто ікс у знаменнику були з тим самим коефіцієнтом. Нехай цей коефіцієнт дорівнюватиме 2. Для цього представимо нинішній коефіцієнт при іксі як і далі, роблячи дії з дробами, отримуємо:

.

приклад 3.Знайти межу.

Рішення. При підстановці знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":

.

Напевно, вам уже зрозуміло, що з вихідного виразу можна отримати першу чудову межу, помножену на першу чудову межу. Для цього розкладаємо квадрати ікса в чисельнику і синуса в знаменнику на однакові множники, а щоб отримати у іксів і синуса однакові коефіцієнти, ікси в чисельникі ділимо на 3 і відразу множимо на 3. Отримуємо:

.

приклад 4.Знайти межу.

Рішення. Знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":

.

Можемо отримати відношення двох перших чудових меж. Ділимо і чисельник, і знаменник на ікс. Потім, щоб коефіцієнти при синусах і при іксах збігалися, верхній ікс множимо на 2 і відразу ділимо на 2, а нижній ікс множимо на 3 і відразу ділимо на 3. Отримуємо:

Приклад 5.Знайти межу.

Рішення. І знову невизначеність "нуль ділити на нуль":

Пам'ятаємо з тригонометрії, що тангенс - це ставлення синуса до косінус, а косинус нуля дорівнює одиниці. Виробляємо перетворення та отримуємо:

.

Приклад 6.Знайти межу.

Рішення. Тригонометрична функція під знаком межі знову наштовхує на думку про застосування першої чудової межі. Представляємо його як ставлення синуса до косінус.

Тепер зі спокійною душею переходимо до розгляду чудових меж.
має вигляд .

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до 0.

Необхідно обчислити межу

Як видно, ця межа дуже схожа на першу чудову, але це не зовсім так. Взагалі, якщо Ви помічаєте в межі sin, то треба відразу подумати про те, чи можливе застосування першої чудової межі.

Згідно з нашим правилом №1 підставимо замість хнуль:

Отримуємо невизначеність.

Тепер спробуємо самостійно організувати першу чудову межу. Для цього проведемо нехитру комбінацію:

Таким чином ми організовуємо чисельник та знаменник так, щоб виділити 7х. Ось уже і виявилася знайома чудова межа. Бажано при рішенні виділяти його:

Підставимо рішення першого чудового прикладуі отримуємо:

Спрощуємо дріб:

Відповідь: 7/3.

Як бачите, все дуже просто.

Має вигляд , де e = 2,718281828 ... - Це ірраціональне число.

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до .

Необхідно обчислити межу

Тут ми бачимо наявність ступеня під знаком межі, отже можливе застосування другої чудової межі.

Як завжди скористаємося правилом №1 – підставимо замість х:

Видно, що з х основу ступеня , а показник – 4x > , тобто. отримуємо невизначеність виду:

Скористаємося другою чудовою межею для розкриття нашої невизначеності, але спочатку треба її організувати. Як видно - треба домогтися присутності в показнику, для чого зведемо основу в ступінь 3х, і одночасно в ступінь 1/3x, щоб вираз не змінювався:

Не забуваємо виділяти нашу чудову межу:

Ось такі справді чудові межі!
Якщо у вас залишилися якісь питання щодо першому та другому чудовим межам, то сміливо задавайте їх у коментарях.
Всім наскільки можна відповімо.

Також ви можете порозумітися з педагогом з цієї теми.
Ми раді запропонувати Вам послуги підбору кваліфікованого репетитора у Вашому місті. Наші партнери оперативно підберуть для вас хорошого викладача на вигідних для вас умовах.

Мало інформації? - Ви можете !

Можна писати математичні обчислення у блокнотах. У блокноти з логотипом (http://www.blocnot.ru) індивідуальним писати набагато приємніше.