Пряма та зворотна пропорційності

Якщо t - час рух пішохода (у годинах), s - пройдений шлях (у кілометрах), і він рухається рівномірно зі швидкістю 4 км/год, залежність між цими величинами можна виразити формулою s = 4t. Оскільки кожному значенню t відповідає єдине значення s, можна говорити, що з допомогою формули s = 4t задана функція. Її називають прямою пропорційністю та визначають наступним чином.

Визначення. Прямою пропорційністю називається функція, яка може бути задана за допомогою формули = kх, де k - нерівне нулю дійсне число.

Назва функції у = k х пов'язана з тим, що у формулі у = kх є змінні х та у, які можуть бути значеннями величин. А якщо відношення двох величин дорівнює деякому числу, відмінному від нуля, їх називають прямо пропорційними . У разі = k (k≠0). Це число називають коефіцієнт пропорційності.

Функція у = k х є математичною моделлюбагато реальних ситуацій, що розглядаються вже в початковому курсі математики. Одна з них описана вище. Інший приклад: якщо в одному пакеті борошна 2 кг, а куплено таких пакетів, то всю масу купленої борошна (позначимо її через у) можна представити у вигляді формули у = 2х, тобто. залежність між кількістю пакетів та всією масою купленого борошна є прямою пропорційністю з коефіцієнтом k=2.

Нагадаємо деякі властивості прямої пропорційності, які вивчаються у шкільному курсі математики.

1. Області визначення функції у = k х і областю її значень є безліч дійсних чисел.

2. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат. Тому для побудови графіка прямої пропорційності достатньо знайти лише одну точку, що належить йому і не збігається з початком координат, а потім через цю точку та початок координат провести пряму.

Наприклад, щоб побудувати графік функції у = 2х, достатньо мати точку з координатами (1, 2), а потім через неї та початок координат провести пряму (рис. 7).

3. При k > 0 функція у = kх зростає по всій області визначення; при k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Якщо функція f - пряма пропорційність і (х 1, у 1), (х 2, у 2) - пари відповідних значень змінних х та у, причому х 2 ≠0 то .

Справді, якщо функція f - пряма пропорційність, вона може бути задана формулою у=kх, і тоді у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 . Оскільки при х 2 ≠0 та k≠0, то у 2 ≠0. Тому і значить.

Якщо значеннями змінних х і у служать позитивні дійсні числа, то доведена властивість прямої пропорційності можна сформулювати так: зі збільшенням (зменшенням) значення змінної х у кілька разів відповідне значення змінної у збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Ця властивість притаманна лише прямий пропорційності, і ним можна користуватися при вирішенні текстових завдань, в яких розглядаються прямо пропорційні величини.

Завдання 1. За 8 год токар виготовив 16 деталей. Скільки годин знадобиться токареві на виготовлення 48 деталей, якщо він працюватиме з тією ж продуктивністю?

Рішення. У задачі розглядаються величини - час роботи токаря, кількість зроблених ним деталей та продуктивність (тобто кількість деталей, що виготовляються токарем за 1 год), причому остання величина постійна, а дві інші приймають різні значення. Крім того кількість зроблених деталей і час роботи-величини прямо пропорційні, так як їх відношення дорівнює деякому числу, не рівному нулю, а саме - числу деталей, що виготовляються токарем за 1 год. Якщо кількість зроблених деталей позначити буквою у, час роботи х, а продуктивність - k, то отримаємо, що = k чи у = kх, тобто. математичною моделлю ситуації, поданої у задачі, є пряма пропорційність.

Розв'язати задачу можна двома арифметичними способами:

1 спосіб: 2 спосіб:

1) 16: 8 = 2 (дет.) 1) 48: 16 = 3 (рази)

2) 48:2 = 24(год) 2) 8-3 = 24(год)

Вирішуючи завдання першим способом, ми спочатку знайшли коефіцієнт пропорційності до, він дорівнює 2, а потім, знаючи, що у = 2х знайшли значення х за умови, що у = 48.

При розв'язанні задачі другим способом ми скористалися властивістю прямої пропорційності: у скільки разів збільшується кількість деталей, зроблених токарем, у стільки ж разів збільшується кількість часу на їх виготовлення.

Перейдемо тепер до розгляду функції, яка називається зворотною пропорційністю.

Якщо t - час руху пішохода (у годиннику), v - його швидкість (в км/год) і він пройшов 12 км, то залежність між цими величинами можна виразити формулою v t = 20 або v = .

Оскільки кожному значенню t (t ≠ 0) відповідає єдине значення швидкості v, можна говорити, що з допомогою формули v = задана функція. Її називають зворотною пропорційністю та визначають наступним чином.

Визначення. Зворотною пропорційністю називається функція, яка може бути задана за допомогою формули у = де k - нерівне нулю дійсне число.

Назва цієї функції пов'язана з тим, що в у = є змінні х та у, які можуть бути значеннями величин. А якщо добуток двох величин дорівнює деякому числу, відмінному від нуля, то їх називають обернено пропорційними. У разі ху = k(к ≠0). Це число k називають коефіцієнтом пропорційності.

Функція у = є математичною моделлю багатьох реальних ситуацій, що розглядаються вже у початковому курсі математики. Одна їх описана перед визначенням зворотної пропорційності. Інший приклад: якщо купили 12 кг борошна і розклали її в л: банок по кг у кожну, то залежність між даними величинами можна представити в вигляді х-у= 12, тобто. вона є зворотною пропорційністю з коефіцієнтом k=12.

Нагадаємо деякі властивості зворотної пропорційності, відомі зі шкільного курсу математики.

1.Область визначення функції у = і областю її значень х є безліч дійсних чисел, відмінних від нуля.

2. Графіком зворотної пропорційності є гіпербола.

3. При k > 0 гілки гіперболи розташовані в 1-й та 3-й чвертях та функція у = є спадною по всій області визначення х (рис. 8).

Рис. 8 Мал.9

При до< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = є зростаючою по всій області визначення х (рис. 9).

4. Якщо функція f - обернена пропорційність і (х 1, у 1), (х 2, у 2) - пари відповідних значень змінних х і у, то .

Справді, якщо функція f - обернена пропорційність, то вона може бути задана формулою у = ,і тоді . Оскільки х 1 ≠0, х 2 ≠0, х 3 ≠0, то

Якщо значеннями змінних х і у служать позитивні дійсні числа, це властивість зворотної пропорційності можна сформулювати так: зі збільшенням (зменшенням) значення змінної х у кілька разів відповідне значення змінної у зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Ця властивість притаманна тільки зворотній пропорційності, і ним можна користуватися при вирішенні текстових завдань, в яких обернено пропорційні величини.

Завдання 2. Велосипедист, рухаючись зі швидкістю 10 км/год, проїхав відстань від А до В за 6 год. Скільки часу витратить велосипедист на дорогу назад, якщо їхати зі швидкістю 20 км/год?

Рішення. У задачі розглядаються величини: швидкість руху велосипедиста, час руху та відстань від А до В, причому остання величина постійна, а дві інші набувають різних значень. Крім того, швидкість і час руху - величини обернено пропорційні, тому що їх добуток дорівнює деякому числу, а саме пройденій відстані. Якщо час руху велосипедиста позначити буквою у, швидкість - х, а відстань АВ - k, отримаємо, що ху = k чи у = , тобто. математичною моделлю ситуації, поданої у завданні, є зворотна пропорційність.

Розв'язати задачу можна двома способами:

1 спосіб: 2 спосіб:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (рази)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(год)

Вирішуючи завдання першим способом, ми спочатку знайшли коефіцієнт пропорційності до, він дорівнює 60, а потім, знаючи, що у = знайшли значення у за умови, що х = 20.

При розв'язанні задачі другим способом ми скористалися властивістю зворотної пропорційності: у скільки разів збільшується швидкість руху, у стільки ж разів зменшується час на проходження однієї й тієї ж відстані.

Зауважимо, що при вирішенні конкретних завдань із зворотно пропорційними або прямо пропорційними величинами накладаються деякі обмеження на х і у, зокрема, вони можуть розглядатися не на всій множині дійсних чисел, а на його підмножинах.

Завдання 3. Олена купила їх олівців, а Катя в 2 рази більше. Позначте число олівців, куплених Катею через у, виразіть у через х та побудуйте графік встановленої відповідності за умови, що х≤5. Чи ця відповідність функцією? Яка її область визначення та область значень?

Рішення. Катя купила у = 2х олівців. При побудові графіка функції у=2х необхідно врахувати, що змінна х позначає кількість олівців і х≤5, отже, вона може набувати лише значення 0, 1, 2, 3, 4, 5. Це буде область визначення даної функції. Щоб одержати область значень цієї функції, треба кожне значення х області визначення помножити на 2, тобто. це буде безліч (0, 2, 4, 6, 8, 10). Отже, графіком функції у = 2х з областю визначення (0, 1, 2, 3, 4, 5) буде безліч точок, що зображені на малюнку 10. Всі ці точки належать прямий у = 2х.

Про плюси навчання за допомогою відеоуроків можна говорити нескінченно. По-перше, вони викладають думки чітко та зрозуміло, послідовно та структуровано. По-друге, вони займають певний фіксований час, не є, найчастіше розтягнутими та стомлюючими. По-третє, вони більш захоплюючі для школярів, ніж звичайні уроки, до яких вони звикли. Переглянути їх можна жому у спокійній обстановці.

У багатьох завданнях з курсу математики учні 6 класу стикатимуться з прямою та зворотною пропорційною залежністю. Перш, ніж почати вивчення цієї теми, варто згадати, що ж таке пропорції, і якою основною властивістю вони мають.

Темі "Пропорції" присвячений попередній відеоурок. Цей же є логічним продовженням. Варто зазначити, що тема досить важлива і найпоширеніша. Її варто як слід зрозуміти раз і назавжди.

Щоб показати важливість теми, відеоурок починається із завдання. Умова з'являється на екрані та озвучується диктором. Запис даних наводиться у вигляді деякої схеми, щоб школяр, який переглядає відеозапис, міг якнайкраще зрозуміти. Буде краще, якщо спочатку він буде дотримуватися такої форми запису.

Невідоме, як це прийнято здебільшого, дізнається латинською літерою x. Для його знаходження необхідно в першу чергу перемножити значення навхрест. Таким чином, вийде рівність двох співвідношень. Це говорить про те, що справа має з пропорціями і варто згадати основну їхню властивість. Звертаємо увагу, що всі величини вказані в однаковій одиниці виміру. В іншому випадку необхідно було привести їх до одного виміру.

Переглянувши метод вирішення відеозапису, не повинно виникнути жодних труднощів при подібних завданнях. Диктор коментує кожен хід, пояснює всі дії, нагадує вивчений матеріал, що використовується.

Відразу після перегляду першої частини відеоуроку «Пряма та зворотна пропорційні залежності» можна запропонувати школяреві вирішити це завдання без допомоги підказок. Після цього можна запропонувати альтернативну іншу задачу.

Залежно від розумових здібностей учня, можна поступово збільшувати складності наступних завдань.

Після першої розглянутої задачі наводиться визначення прямо пропорційних величин. Визначення зачитується диктором. Основне поняття виділено червоним.

Далі демонструється ще одне завдання, на основі якого пояснюється зворотна пропорційна залежність. Ці поняття школяру найкраще записати у зошиті. У разі потреби перед контрольними роботами, учень може легко знайти всі правила і визначення і перечитати.

Переглянувши цей відеозапис, 6-класник зрозуміє, яким чином потрібно використовувати пропорції в тих чи інших завданнях. Це досить важлива тема, яку не можна пропустити в жодному разі. Якщо школяр не пристосований сприймати матеріал, який вчитель підносить під час уроку серед інших учнів, то подібні навчальні ресурси стануть відмінним порятунком!

Поняття про пряму пропорційність

Уявіть, що ви задумали купити своїх улюблених цукерок (або будь-чого, що вам дуже подобається). У цукерок у магазині своя ціна. Припустимо, 300 рублів за кілограм. Чим більше цукерок ви придбаєте, тим більше грошейзаплатіть. Тобто якщо захочете 2 кілограми - заплатіть 600 р., а захочете 3 кіло - віддасте 900 рублів. З цим начебто все ясно, вірно?

Якщо так, то тоді вам зараз ясно і що таке пряма пропорційність - це поняття, яке описує відношення двох залежних один від одного величин. І відношення цих величин залишається незмінним і постійним: на скільки частин збільшується або зменшується одна з них, на стільки частин пропорційно збільшується або зменшується друга.

Описати пряму пропорційність можна такою формулою: f (x) = a * x, і a в цій формулі - постійна величина (a = const). У нашому прикладі для цукерки вартість - це незмінна величина, константа. Вона не зростає і не зменшується, скільки б цукерок ви не задумали купити. Незалежна змінна (аргумент) x - це те, скільки кілограмів цукерок купити ви збираєтеся. А залежна змінна f (x) (функція) - те, скільки грошей ви в результаті заплатите за свою покупку. Тож можемо підставити у формулу цифри і отримати: 600 грн. = 300 грн. * 2 кг.

Проміжний висновок такий: якщо зростає аргумент, зростає і функція, якщо аргумент зменшується, функція теж зменшується

Функція та її властивості

Функцією прямої пропорційностіє окремий випадок лінійної функції. Якщо лінійна функція це y = k * x + b, то для прямої пропорційності це виглядає так: y = k * x, де k називається коефіцієнтом пропорційності, і це завжди не дорівнює нулю число. Обчислитиk легко – він як приватне функції і аргументу: k = у/х.

Щоб було наочніше, візьмемо ще один приклад. Уявіть, що з пункту А до пункту Б рухається автомобіль. Його швидкість – 60 км/год. Якщо припустити, що швидкість руху залишається постійною, її можна вважати константу. І тоді запишемо умови як: S = 60*t , і це формула аналогічна функції прямої пропорційності y = k *x . Проведемо паралель далі: якщо k = у/г, то швидкість автомобіля можна обчислити, знаючи відстань між А і Б і витрачений на дорогу час: V = S /t .

А тепер від прикладного застосування знань про пряму пропорційність повернемося назад до її функції. До властивостей якої належить:

областю її визначення є множина всіх дійсних чисел (а також його підмножини);

функція непарна;

зміна змінних прямо пропорційно здійснюється по всій довжині числової прямої.

Пряма пропорційність та її графік

Графік функції прямої пропорційності – це пряма, яка перетинає точку початку координат. Щоб його побудувати, достатньо відзначити ще одну точку. І з'єднати її та початок координат прямої.

У випадку з графіком - це кутовий коефіцієнт. Якщо кутовий коефіцієнт менший за нуль (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графік і вісь абсцис утворюють гострий кут, А функція – зростаюча.

І ще одна властивість графіка функції прямої пропорційності безпосередньо пов'язана з кутовим коефіцієнтом. Припустимо, у нас дві не ідентичні функції і, відповідно, два графіки. Так от, якщо коефіцієнти цих функцій рівні, їх графіки розташовані на осі координат паралельно. А якщо коефіцієнти не рівні один одному, графіки перетинаються.

Приклади завдань

А тепер вирішимо пару задач на пряму пропорційність

Почнемо із простого.

Завдання 1: Уявіть, що 5 курок за 5 днів знесли 5 яєць. А якщо буде 20 курок, скільки яєць вони знесуть за 20 днів?

Рішення: Позначимо невідоме як. І міркуватимемо наступним чином: у скільки разів більше курок стало? Розділимо 20 на 5 і дізнаємося, що у 4 рази. А скільки разів більше яєць знесуть 20 курок за ті ж 5 днів? Теж у 4 рази більше. Отже, знаходимо наших так: 5*4*4 = 80 яєць знесуть 20 курок за 20 днів.

Тепер приклад трохи складніший, перефразуємо завдання із «Загальної арифметики» Ньютона. Завдання 2: Письменник за 8 днів може написати 14 сторінок нової книги. Якби у нього були помічники, скільки б людей знадобилося, щоб написати 420 сторінок за 12 днів?

Рішення: Розмірковуємо, що кількість осіб (письменник + помічники) збільшується із збільшенням обсягу роботи, якби її довелося зробити за ту саму кількість часу. Але скільки разів? Розділивши 420 на 14, дізнаємося, що збільшується у 30 разів. Але оскільки за умовою завдання працювати дається більше часу, то кількість помічників збільшується над 30 разів, отже: х = 1 (письменник) * 30 (раз) : 12/8 (днів). Перетворимо та з'ясуємо, що х = 20 осіб напишуть 420 сторінок за 12 днів.

Вирішимо ще завдання, схоже на ті, що були у нас у прикладах.

Завдання 3: В одну і ту ж подорож вирушили два автомобілі. Один рухався зі швидкістю 70 км/год і за 2 години пройшов той самий шлях, що інший за 7 годин. Знайдіть швидкість другого автомобіля.

Рішення: Як пам'ятаєте, шлях визначається через швидкість і час – S = V *t . Оскільки шлях обидва автомобілі пройшли однаковий, ми можемо прирівняти два вирази: 70*2 = V*7. Звідки знайдемо, що швидкість другого автомобіля це V = 70*2/7 = 20 км/год.

І ще кілька прикладів завдань з функціями прямої пропорційності. Іноді завдання потрібно знайти коефіцієнт k.

Завдання 4: Дано функції у = - х/16 і у = 5х/2, визначте їх коефіцієнти пропорційності.

Рішення: Як ви пам'ятаєте, k = у/г. Отже, першої функції коефіцієнт дорівнює -1/16, а другої k = 5/2.

А ще вам може зустрітися завдання, як завдання 5: Запишіть формулою пряму пропорційність. Її графік та графік функції у = -5х + 3 розташовані паралельно.

Рішення: Функція, яка дана нам за умови, – лінійна. Нам відомо, що пряма пропорційність – окремий випадок лінійної функції. А також ми знаємо, якщо коефіцієнти k функцій рівні, їх графіки паралельні. Отже, все, що потрібно – це обчислити коефіцієнт відомої функції та задати пряму пропорційність за знайомою нам формулою: y = k * x. Коефіцієнт k = -5, пряма пропорційність: у = -5 * х.

Висновок

Тепер ви дізналися (або згадали, якщо вже проходили цю тему раніше), що називається прямою пропорційністю, і розглянули її приклади. Ми також поговорили про функцію прямої пропорційності та її графіку, вирішили кілька завдань для прикладу.

Якщо ця стаття виявилася корисною та допомогла розібратися у темі, розкажіть нам про це у коментарях. Щоб ми знали, чи змогли вам принести користь.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Типи залежностей

Розглянемо заряджання батареї. Як перша величина візьмемо час, який вона заряджається. Друга величина – час, який вона працюватиме після заряджання. Чим довше заряджається батарея, тим довше вона працюватиме. Процес триватиме, доки батарея не повністю зарядиться.

Залежність часу роботи батареї від часу, що вона заряджається

Зауваження 1

Така залежність називається прямий:

Зі збільшенням однієї величини збільшується і друга. Зі зменшенням однієї величини зменшується і друга величина.

Розглянемо інший приклад.

Чим більше книг прочитає учень, тим менше помилок зробить у диктанті. Або що вище піднятися в гори, то нижче буде атмосферний тиск.

Зауваження 2

Така залежність називається зворотній:

Зі збільшенням однієї величини зменшується друга. Зі зменшенням однієї величини збільшується друга величина.

Таким чином, у випадку прямої залежностіобидві величини змінюються однаково (обидві або збільшуються, або зменшуються), а у випадку зворотної залежності- Протилежно (одна збільшується, а інша зменшується або навпаки).

Визначення залежностей між величинами

Приклад 1

Час, витрачений для походу в гості до друга, становить $20$ хвилин. При збільшенні швидкості (першої величини) у $2$ рази знайдемо, як зміниться час (друга величина), що буде витрачено на шлях до друга.

Очевидно, що час зменшиться у $2$ рази.

Примітка 3

Таку залежність називають пропорційною:

Скільки разів зміниться одна величина, стільки разів зміниться і друга.

Приклад 2

За $ 2 $ булки хліба в магазині потрібно заплатити 80 рублів. Якщо потрібно купити $4$ булки хліба (кількість хліба збільшується в $2$ рази), скільки разів доведеться більше заплатити?

Очевидно, що вартість також збільшиться у $2$ рази. Маємо приклад пропорційної залежності.

В обох прикладах було розглянуто пропорційні залежності. Але в прикладі з булками хліба величини змінюються в один бік, отже, залежність є прямий. А в прикладі з походом до друга залежність між швидкістю та часом – зворотна. Таким чином, існує прямо пропорційна залежністьі назад пропорційна залежність.

Пряма пропорційність

Розглянемо $2$ пропорційні величини: кількість булок хліба та його вартість. Нехай $2$ булки хліба коштують $80$ рублів. При збільшенні кількості булок $4$ рази ($8$ булок) їх загальна вартість становитиме $320$ рублів.

Відношення кількості булок: $ frac (8) (2) = 4 $.

Відношення вартості булок: $ frac (320) (80) = 4 $.

Як видно, ці відносини рівні між собою:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Визначення 1

Рівність двох відносин називається пропорцією.

При прямо пропорційної залежності виходить відношення, коли зміна першої та другої величини збігається:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Визначення 2

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при зміні (збільшенні або зменшенні) однієї з них у стільки ж разів змінюється (збільшується або зменшується відповідно) та інша величина.

Приклад 3

Автомобіль проїхав $180$ за $2$ години. Знайти час, за який він з тією ж швидкістю проїде у $2$ рази більшу відстань.

Рішення.

Час прямо пропорційний відстані:

$t=\frac(S)(v)$.

У скільки разів збільшиться відстань, за постійної швидкості, у стільки ж разів збільшиться час:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Автомобіль проїхав $180$ км - за час $2$ години

Автомобіль проїде $180 \cdot 2=360$ км - за час $x$ годин

Чим більше відстань проїде автомобіль, тим більше йому знадобиться. Отже, залежність між величинами прямо пропорційна.

Складемо пропорцію:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$ x = \ frac (360 \ cdot 2) (180) $;

Відповідь: автомобілю знадобиться $4$ години.

Зворотня пропорційність

Визначення 3

Рішення.

Час назад пропорційно швидкості:

$t=\frac(S)(v)$.

У скільки разів збільшується швидкість, при тому ж шляху, у стільки ж разів зменшується час:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Запишемо умову завдання у вигляді таблиці:

Автомобіль проїхав $60$ км - за час $6$ годин

Автомобіль проїде $120$ км – за час $x$ годин

Чим більша швидкість автомобіля, тим менше часу йому знадобиться. Отже, залежність між величинами обернено пропорційна.

Складемо пропорцію.

Т.к. пропорційність зворотна, друге відношення у пропорції перевертаємо:

$ frac (60) (120) = frac (x) (6) $;

$ x = \ frac (60 \ cdot 6) (120) $;

Відповідь: автомобілю знадобиться $3$ години.

I. Прямо пропорційні величини.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

приклади.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення задачіможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.