Пряма та зворотна пропорційності

Якщо t - час рух пішохода (у годинах), s - пройдений шлях (у кілометрах), і він рухається рівномірно зі швидкістю 4 км/год, залежність між цими величинами можна виразити формулою s = 4t. Оскільки кожному значенню t відповідає єдине значення s, можна говорити, що з допомогою формули s = 4t задана функція. Її називають прямою пропорційністю та визначають наступним чином.

Визначення. Прямою пропорційністю називається функція, яка може бути задана за допомогою формули = kх, де k - нерівне нулю дійсне число.

Назва функції у = k х пов'язана з тим, що у формулі у = kх є змінні х та у, які можуть бути значеннями величин. А якщо відношення двох величин дорівнює деякому числу, відмінному від нуля, їх називають прямо пропорційними . У разі = k (k≠0). Це число називають коефіцієнт пропорційності.

Функція у = k х є математичною моделлюбагато реальних ситуацій, що розглядаються вже в початковому курсі математики. Одна з них описана вище. Інший приклад: якщо в одному пакеті борошна 2 кг, а куплено таких пакетів, то всю масу купленої борошна (позначимо її через у) можна представити у вигляді формули у = 2х, тобто. залежність між кількістю пакетів та всією масою купленого борошна є прямою пропорційністю з коефіцієнтом k=2.

Нагадаємо деякі властивості прямої пропорційності, які вивчаються у шкільному курсі математики.

1. Області визначення функції у = k х і областю її значень є безліч дійсних чисел.

2. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат. Тому для побудови графіка прямої пропорційності достатньо знайти лише одну точку, що належить йому і не збігається з початком координат, а потім через цю точку та початок координат провести пряму.

Наприклад, щоб побудувати графік функції у = 2х, достатньо мати точку з координатами (1, 2), а потім через неї та початок координат провести пряму (рис. 7).

3. При k > 0 функція у = kх зростає по всій області визначення; при k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Якщо функція f - пряма пропорційність і (х 1, у 1), (х 2, у 2) - пари відповідних значень змінних х та у, причому х 2 ≠0 то .

Справді, якщо функція f - пряма пропорційність, вона може бути задана формулою у=kх, і тоді у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 . Оскільки при х 2 ≠0 та k≠0, то у 2 ≠0. Тому і значить.

Якщо значеннями змінних х і у служать позитивні дійсні числа, то доведена властивість прямої пропорційності можна сформулювати так: зі збільшенням (зменшенням) значення змінної х у кілька разів відповідне значення змінної у збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Ця властивість притаманна лише прямий пропорційності, і ним можна користуватися при вирішенні текстових завдань, в яких розглядаються прямо пропорційні величини.

Завдання 1. За 8 год токар виготовив 16 деталей. Скільки годин знадобиться токареві на виготовлення 48 деталей, якщо він працюватиме з тією ж продуктивністю?

Рішення. У задачі розглядаються величини - час роботи токаря, кількість зроблених ним деталей та продуктивність (тобто кількість деталей, що виготовляються токарем за 1 год), причому остання величина постійна, а дві інші приймають різні значення. Крім того кількість зроблених деталей і час роботи-величини прямо пропорційні, так як їх відношення дорівнює деякому числу, не рівному нулю, а саме - числу деталей, що виготовляються токарем за 1 год. Якщо кількість зроблених деталей позначити буквою у, час роботи х, а продуктивність - k, то отримаємо, що = k чи у = kх, тобто. математичною моделлю ситуації, поданої у задачі, є пряма пропорційність.

Розв'язати задачу можна двома арифметичними способами:

1 спосіб: 2 спосіб:

1) 16: 8 = 2 (дет.) 1) 48: 16 = 3 (рази)

2) 48:2 = 24(год) 2) 8-3 = 24(год)

Вирішуючи завдання першим способом, ми спочатку знайшли коефіцієнт пропорційності до, він дорівнює 2, а потім, знаючи, що у = 2х знайшли значення х за умови, що у = 48.

При розв'язанні задачі другим способом ми скористалися властивістю прямої пропорційності: у скільки разів збільшується кількість деталей, зроблених токарем, у стільки ж разів збільшується кількість часу на їх виготовлення.

Перейдемо тепер до розгляду функції, яка називається зворотною пропорційністю.

Якщо t - час руху пішохода (у годиннику), v - його швидкість (в км/год) і він пройшов 12 км, то залежність між цими величинами можна виразити формулою v t = 20 або v = .

Оскільки кожному значенню t (t ≠ 0) відповідає єдине значення швидкості v, можна говорити, що з допомогою формули v = задана функція. Її називають зворотною пропорційністю та визначають наступним чином.

Визначення. Зворотною пропорційністю називається функція, яка може бути задана за допомогою формули у = де k - нерівне нулю дійсне число.

Назва цієї функції пов'язана з тим, що в у = є змінні х та у, які можуть бути значеннями величин. А якщо добуток двох величин дорівнює деякому числу, відмінному від нуля, то їх називають обернено пропорційними. У разі ху = k(к ≠0). Це число k називають коефіцієнтом пропорційності.

Функція у = є математичною моделлю багатьох реальних ситуацій, що розглядаються вже у початковому курсі математики. Одна їх описана перед визначенням зворотної пропорційності. Інший приклад: якщо купили 12 кг борошна і розклали її в л: банок по кг у кожну, то залежність між даними величинами можна представити в вигляді х-у= 12, тобто. вона є зворотною пропорційністю з коефіцієнтом k=12.

Нагадаємо деякі властивості зворотної пропорційності, відомі зі шкільного курсу математики.

1.Область визначення функції у = і областю її значень х є безліч дійсних чисел, відмінних від нуля.

2. Графіком зворотної пропорційності є гіпербола.

3. При k > 0 гілки гіперболи розташовані в 1-й та 3-й чвертях та функція у = є спадною по всій області визначення х (рис. 8).

Мал. 8 Мал.9

При до< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = є зростаючою по всій області визначення х (рис. 9).

4. Якщо функція f - обернена пропорційність і (х 1, у 1), (х 2, у 2) - пари відповідних значень змінних х і у, то .

Справді, якщо функція f - обернена пропорційність, то вона може бути задана формулою у = ,і тоді . Оскільки х 1 ≠0, х 2 ≠0, х 3 ≠0, то

Якщо значеннями змінних х і у служать позитивні дійсні числа, це властивість зворотної пропорційності можна сформулювати так: зі збільшенням (зменшенням) значення змінної х у кілька разів відповідне значення змінної у зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Ця властивість притаманна тільки зворотній пропорційності, і ним можна користуватися при вирішенні текстових завдань, в яких обернено пропорційні величини.

Завдання 2. Велосипедист, рухаючись зі швидкістю 10 км/год, проїхав відстань від А до В за 6 год. Скільки часу витратить велосипедист на дорогу назад, якщо їхати зі швидкістю 20 км/год?

Рішення. У задачі розглядаються величини: швидкість руху велосипедиста, час руху та відстань від А до В, причому остання величина постійна, а дві інші набувають різних значень. Крім того, швидкість і час руху - величини обернено пропорційні, тому що їх добуток дорівнює деякому числу, а саме пройденій відстані. Якщо час руху велосипедиста позначити буквою у, швидкість - х, а відстань АВ - k, отримаємо, що ху = k чи у = , тобто. математичною моделлю ситуації, поданої у завданні, є зворотна пропорційність.

Розв'язати задачу можна двома способами:

1 спосіб: 2 спосіб:

1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (рази)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(год)

Вирішуючи завдання першим способом, ми спочатку знайшли коефіцієнт пропорційності до, він дорівнює 60, а потім, знаючи, що у = знайшли значення у за умови, що х = 20.

При розв'язанні задачі другим способом ми скористалися властивістю зворотної пропорційності: у скільки разів збільшується швидкість руху, у стільки ж разів зменшується час на проходження однієї й тієї ж відстані.

Зауважимо, що при вирішенні конкретних завдань із зворотно пропорційними або прямо пропорційними величинами накладаються деякі обмеження на х і у, зокрема, вони можуть розглядатися не на всій множині дійсних чисел, а на його підмножинах.

Завдання 3. Олена купила їх олівців, а Катя в 2 рази більше. Позначте число олівців, куплених Катею через у, виразіть у через х та побудуйте графік встановленої відповідності за умови, що х≤5. Чи ця відповідність функцією? Яка її область визначення та область значень?

Рішення. Катя купила у = 2х олівців. При побудові графіка функції у=2х необхідно врахувати, що змінна х позначає кількість олівців і х≤5, отже, вона може набувати лише значення 0, 1, 2, 3, 4, 5. Це буде область визначення даної функції. Щоб одержати область значень цієї функції, треба кожне значення х області визначення помножити на 2, тобто. це буде безліч (0, 2, 4, 6, 8, 10). Отже, графіком функції у = 2х з областю визначення (0, 1, 2, 3, 4, 5) буде безліч точок, що зображені на малюнку 10. Всі ці точки належать прямий у = 2х.

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік зворотної пропорційності і як усе це може вам знадобитися не тільки на уроках математики, але й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

Пропорційністюназивають дві величини, які взаємно залежні одна від одної.

Залежність може бути прямою та зворотною. Отже, відносини між величинами описують пряма та зворотна пропорційність.

Пряма пропорційність– це залежність двох величин, коли він збільшення чи зменшення однієї з них веде до збільшення чи зменшення інший. Тобто. їхнє відношення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете із собою у похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто. кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно до отриманих оцінок. І кількість запакованих у рюкзак речей прямо пропорційно до його ваги.

Зворотня пропорційність– це функціональна залежність, коли він зменшення чи збільшення у кілька разів незалежної величини (її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто. в стільки ж раз) збільшення чи зменшення залежної величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку та кількість грошей у вашому гаманці знаходяться у зворотній пропорційності. Тобто. що більше ви купите яблук, то менше грошей у вас залишиться.

Функція та її графік

Функцію зворотної пропорційності можна описати як y = k/x. В котрому x≠ 0 та k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областью її визначення є безліч усіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значень є всі дійсні числа, крім y= 0. Е:: (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших та найменших значень.
4. Є непарною та її графік симетричний щодо початку координат.
5. Неперіодична.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. Якщо k> 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується кожному зі своїх проміжків. Якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k> 0) від'ємні значенняфункції перебувають у проміжку (-∞; 0), а позитивні – (0; +∞). При зменшенні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується так:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, розберемо кілька завдань. Вони не надто складні, а їхнє рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати у нагоді у вашому звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Щоб дістатися місця призначення, йому знадобилося 6 годин. Скільки часу йому знадобиться, щоб подолати таку ж відстань, якщо він рухатиметься зі швидкістю в 2 рази вищою?

Можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані та швидкості: t = S/V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить у дорозі, та швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, знайдемо V 2 , яка за умовою вище в 2 рази: V 2 = 60 * 2 = 120 км/год. Потім розрахуємо відстань за формулою S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2 , який вимагається за умовою задачі: t 2 = 360/120 = 3 год.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище початкової автомобіль витратить у 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км/год – 6 год

↓120 км/год – х год

Стрілки позначають обернено пропорційну залежність. А також підказують, що при складанні пропорції праву частинузаписи треба перевернути: 60/120 = х/6. Звідки одержуємо х = 60 * 6/120 = 3 год.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робітників, які із заданим обсягом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робітників скоротити в 2 рази, скільки часу потрібно залишитися, щоб виконати той самий обсяг роботи?

Запишемо умови завдання у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робітників – 4 год

↓ 3 робітників – х год

Запишемо це як пропорції: 6/3 = х/4. І отримаємо х = 6 * 4/3 = 8 год. Якщо робітників стане в 2 рази менше, решта витратить на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л/с та наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить у басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиниць виміру. Для цього виразимо швидкість заповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить і швидкість надходження води нижча. В наявності зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л/хв – 45 хв

↓ х л/хв – 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120/х = 75/45, звідки х = 120*45/75 = 72 л/хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах за секунду, наведемо отриману нами відповідь до такого ж виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину та працює повний робочий день – 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він міг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо за умовою завдання схему, позначивши потрібну величину як х:

↓ 42 візитки/год – 8 год

↓ 48 візитки/год – х год

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу знадобиться на виконання тієї самої роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким чином, впоравшись із роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу піти додому на годину раніше.

Висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотну пропорційністьсправді нескладні. Сподіваємося, що тепер ви також вважаєте їх такими. А головне, що знання про зворотно пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але й тоді, коли ви зберетеся вирушити у подорож, підете за покупками, вирішите трохи підробити у канікули тощо.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотної та прямої пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це цікаво. Не забудьте «розшарити» цю статтю в соціальних мережахщоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

I. Прямо пропорційні величини.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

приклади.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення завданняможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.

Завдання 3.З труби надходить вода у басейн. За 2 годинивона заповнює 1/5 басейну. Яка частина басейну заповнюється водою за 5:00?

Рішення.

Відповідаємо на запитання завдання: 5:00наповниться 1/хчастина басейну. (Весь басейн приймається за одну цілу).

Виконав: Чепкасів Родіон

учень 6 «Б» класу

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Керівник: Буликіна О.Г.

вчитель математики

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Вступ. 1

Відносини та пропорції. 3

Пряма та зворотна пропорційні залежності. 4

Застосування прямої та зворотної пропорційної 6

залежності під час вирішення різних завдань.

Висновок. 11

Література 12

Вступ .

Слово пропорція походить від латинського слова proportion, що означає взагалі пропорційність, вирівняність частин (певне співвідношення частин між собою). У давнину вчення про пропорції було у великій пошані у піфагорійців. З пропорціями вони пов'язували думки про порядок і красу в природі, про співзвучні акорди в музиці та гармонію у всесвіті. Деякі види пропорцій вони називали музичними чи гармонійними.

Ще в давнину людиною було виявлено, що всі явища в природі пов'язані один з одним, що все перебуває в безперервному русі, зміні, і, будучи вираженим числом, виявляє дивовижні закономірності.

Піфагорійці та його послідовники всьому сущому у світі шукали числове вираз. Ними було виявлено; що математичні пропорції лежать основу музики (ставлення довжини струни до висоті тону, відносини між інтервалами, співвідношення звуків в акордах, дають гармонійне звучання). Піфагорійці намагалися математично обґрунтувати ідею єдності світу, стверджували, що в основі світобудови лежать симетричні геометричні форми. Піфагорійці шукали математичне обґрунтування краси.

Слідом за піфагорійцями середньовічний вчений Августин назвав красу "числовою рівністю". Філософ-схоласт Бонавентура писав: "Краси і насолоди немає без пропорційності, пропорційність ж перш за все існує в числах. Необхідно, щоб все піддавалося числення". Про використання пропорції в мистецтві Леонардо да Вінчі писав у своєму трактаті про живопис: "Живописець втілює у формі пропорції ті самі закономірності, що таяться в природі, які у формі числового закону за вченим".

Пропорціями користувалися при вирішенні різних завдань і в давнину та в середні віки. Певні типи завдань тепер легко і швидко вирішуються з допомогою пропорцій. Пропорції і пропорційність застосовувалися і застосовуються у математиці, а й у архітектурі, мистецтві. Пропорційність в архітектурі та мистецтві означає дотримання певних співвідношень між розмірами різних частинбудівлі, фігури, скульптури чи іншого витвору мистецтв. Пропорційність у таких випадках є умовою правильної та красивої побудови та зображення

У своїй роботі я намагався розглянути застосування прямої та зворотної пропорційної залежностей у різних галузях навколишнього життя, простежити зв'язок із навчальними предметами через завдання.

Відносини та пропорції.

Частка двох чисел називається ставленнямцих чисел.

Ставлення показує, у скільки разів перше число більше за другечи якусь частину перше число становить від другого.

Завдання.

До магазину привезли 2,4 т груш та 3,6 т яблук. Яку частину фруктів складають груші?

Рішення . Знайдемо, скільки всього привезли фруктів: 2,4+3,6=6(т). Щоб знайти якусь частину привезених фруктів складають груші, складемо відношення 2,4:6 =. Відповідь можна також записати у вигляді десяткового дробуабо у відсотках: = 0,4 = 40%.

Взаємно зворотніназивають числа, твори яких одно 1. Тому відносини називають зворотним відношенню.

Розглянемо два рівні відносини: 4,5:3 і 6:4. Поставимо між ними знак рівності та отримаємо пропорцію: 4,5:3=6:4.

Пропорція- Це рівність двох відносин: a: b = c: d або = , де a і d – крайні члени пропорції, c та b – середні члени(Усі члени пропорції відмінні від нуля).

Основна властивість пропорції:

у правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Застосувавши переміщувальну властивість множення, отримаємо, що у правильній пропорції можна міняти місцями крайні члени чи середні члени. Пропорції також будуть вірними.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна шукати її невідомий член, якщо інші члени відомі.

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, треба перемножити середні члени і поділити відомий крайній член. x : b = c : d , x =

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, треба перемножити крайні члени і поділити відомий середній член. a : b = x : d , x = .

Пряма та зворотні пропорційні залежності.

Значення двох різних величин можуть взаємно залежати друг від друга. Так, площа квадрата залежить від довжини його сторони, і назад - довжина сторони квадрата залежить від його площі.

Дві величини називають пропорційними, якщо зі збільшенням

(зменшення) однієї з них у кілька разів, інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Якщо дві величини прямо пропорційні, відносини відповідних значень цих величин рівні.

приклад прямої пропорційної залежності .

На заправній станції 2 л бензину важать 1,6 кг. Скільки будуть важити 5 л бензину?

Рішення:

Вага гасу пропорційна його обсягу.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2: 5 = 1,6: х,

х = 5 * 1,6 х = 4

Відповідь: 4 кг.

Тут ставлення ваги обсягу залишається незмінним.

Дві величини називаються обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів, інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

П рімерзворотної пропорційної залежності.

Два прямокутники мають однакову площу. Довжина першого прямокутника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Довжина другого прямокутника 4,8 м. Знайдемо ширину другого прямокутника.

Рішення:

1 прямокутник 3,6 м 2,4 м

2 прямокутник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6 * 2,4 = 1,8 м

Відповідь: 1,8 м.

Як бачимо, завдання на пропорційні величини можна розв'язувати за допомогою пропорцій.

Не всякі дві величини є прямо пропорційними або обернено пропорційними. Наприклад, зростання дитини збільшується зі збільшенням її віку, але ці величини є пропорційними, оскільки за подвоєння віку зростання дитини не подвоюється.

Практичне застосуванняпрямої та зворотної пропорційної залежності.

Завдання №1

У шкільній бібліотеці 210 підручників математики, що становить 15% всього бібліотечного фонду. Скільки всього книг у бібліотечному фонді?

Рішення:

Усього підручників - ? - 100%

Математики – 210 -15%

15% 210 уч.

Х = 100 * 210 = 1400 підручників

100% х уч. 15

Відповідь: 1400 підручників.

Завдання № 2

Велосипедист за 3 години проїжджає 75 км. За який час велосипедист проїде 125 км із тією самою швидкістю?

Рішення:

3 год – 75 км

Ч – 125 км

Час та відстань є прямо пропорційними величинами, тому

3: х = 75: 125,

х=
,

х = 5.

Відповідь: за 5 год.

Завдання №3

8 однакових труб заповнюють басейн за 25 хвилин. За скільки хвилин заповнять басейн 10 труб?

Рішення:

8 труб – 25 хвилин

10 труб -? хвилин

Кількість труб обернено пропорційно часу, тому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Відповідь: за 20 хвилин.

Завдання № 4

Бригада із 8 робочих виконує завдання за 15 днів. Скільки робітників зможе виконати завдання за 10 днів, працюючи з тією самою продуктивністю?

Рішення:

8 робітників – 15 днів

Робітників - 10 днів

Кількість робочих назад пропорційна кількості днів, тому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х = 12.

Відповідь: 12 робітників.

Завдання № 5

З 5,6 кг помідорів одержують 2 л соусу. Скільки літрів соусу можна отримати із 54 кг помідорів?

Рішення:

5,6 кг – 2 л

54 кг -? л

Кількість кілограмів помідорів прямо пропорційна кількості соусу, що отримується, тому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19.

Відповідь: 19 л.

Завдання №6

Для опалення будівлі школи заготовлено вугілля на 180 днів за норми витрати

0,6 т вугілля щодня. На скільки днів вистачить цього запасу, якщо його витрачати щодня по 0,5 т?

Рішення:

Кількість днів

Норма витрат

Кількість днів тому пропорційна нормі витрати вугілля, тому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180 * 0,6: 0,5,

х = 216.

Відповідь: на 216 днів.

Завдання № 7

У залізняку на 7 частин заліза припадає 3 частини домішок. Скільки тонн домішок у руді, що містить 73,5 т заліза?

Рішення:

Кількість частин

Маса

Залізо

73,5

Домішки

Кількість частин прямо пропорційно масі, тому

7: 73,5 = 3: x.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Відповідь: 31,5 т

Завдання № 8

Автомобіль проїхав 500 км, витративши 35 л бензину. Скільки літрів бензину потрібно проїхати 420 км?

Рішення:

Відстань, км

Бензин, л

Відстань прямо пропорційна витрачанню бензину, тому

500: 35 = 420: х,

х = 35 * 420: 500,

х = 29,4.

Відповідь: 29,4 л

Завдання № 9

За 2 години зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00?

Рішення:

Кількість карасів залежить від часу. Ці величини не є ні прямо пропорційними, ні обернено пропорційними.

Відповідь: відповіді немає.

Завдання №10

Гірничорудному підприємству потрібно закупити на певну суму грошей 5 нових машин за ціною 12 тис. рублів за одну. Скільки таких машин зможе купити підприємство, якщо ціна за одну машину стане 15 тис. рублів?

Рішення:

Кількість машин, шт.

Ціна, тис. руб.

Кількість машин назад пропорційна вартості, тому

5: х = 15: 12,

х = 5 * 12:15,

х = 4.

Відповідь: 4 машини.

Завдання № 11

В місті N на площі P знаходиться магазин, господар якого настільки суворий, що за запізнення віднімає із заробітної плати 70 рублів за 1 запізнення на день. В одному відділі працюють дві дівчини Юля та Наташа. Їх заробітня платазалежить від кількості робочих днів. Юля за 20 днів отримала 4100 рублів, а Наташа за 21 день отримати мала б більше, але вона запізнювалася 3 дні поспіль. Скільки карбованців отримає Наталя?

Рішення:

Робочі дні

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наталка

Зарплата прямо пропорційна кількості робочих днів, тому

20: 21 = 4100: х,

х = 4305.

4305 руб. мала отримати Наташа.

4305 - 3 * 70 = 4095 (руб.)

Відповідь: Наталя отримає 4095 руб.

Завдання № 12

Відстань між двома містами на карті дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти 1:250000.

Рішення:

Позначимо відстань між містами на місцевості через х (у сантиметрах) і знайдемо відношення довжини відрізка на карті до відстані на місцевості, яка дорівнює масштабу карти: 6: х = 1: 250000,

х = 6 * 250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Відповідь: 15 км.

Завдання № 13

4000 г розчину міститься 80 г солі. Яка концентрація солі у даному розчині?

Рішення:

Маса, г

Концентрація, %

Розчин

4000

Сіль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Відповідь: концентрація солі становить 2%.

Завдання № 14

Банк надає кредит під 10% річних. Ви отримали кредит 50 000 рублів. Яку суму Ви маєте повернути банку за рік?

Рішення:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х = 50000 * 10:100,

х = 5000.

5000 руб. складає 10%.

50000 + 5000 = 55000 (руб.)

Відповідь: за рік банку повернуть 55 000 руб.

Висновок.

Як бачимо з наведених прикладів, пряма та зворотна пропорційні залежності застосовні в різних сферах життя:

економіці,

Торгівля,

На виробництві та промисловості,

Шкільного життя,

Кулінарії,

Будівництво та архітектура.

Спорт,

Тваринництво,

Топографії,

Фізики,

Хімії та ін.

У російській мові також зустрічаються прислів'я та приказки, що встановлюють пряму та зворотну залежності:

Як гукнеться, так і відгукнеться.

Чим вищий пень, тим вища тінь.

Що більше народу, то менше кисню.

І готово, та безглуздо.

Математика – одна з найдавніших наук, виникла вона на основі потреб та потреб людства. Пройшовши історію становлення ще з Стародавню Грецію, вона досі залишається актуальною та необхідною в повсякденному життібудь-якої людини. Поняття про пряму і зворотну пропорційну залежність відомі ще з давніх часів, оскільки саме закони пропорції рухали архітекторами при будь-якій споруді або створенні будь-якої скульптури.

Знання про пропорції широко використовуються у всіх сферах життя і діяльності людини – без них не обійтися при написанні картин (пейзажів, натюрмортів, портретів та інше), також мають широке поширення серед архітекторів та інженерів, – загалом важко собі уявити створення хоч чого -небудь без використання знань про пропорції та їх співвідношення.

Література

Математика-6, Н.Я. Віленкін та ін.

Алгебра-7, Г.В. Дорофєєв та ін.

Математика-9, ДІА-9, за редакцією Ф.Ф. Лисенка, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактичні матеріали, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Завдання з математики для 4-5 класів, І.В.Баранова та ін, М. «Освіта»1988

Збірник завдань та прикладів з математики 5-6 клас, Н.А. Терешин,

Т.М. Терешіна, М. «Акваріум» 1997

Про плюси навчання за допомогою відеоуроків можна говорити нескінченно. По-перше, вони викладають думки чітко та зрозуміло, послідовно та структуровано. По-друге, вони займають певний фіксований час, не є, найчастіше розтягнутими та стомлюючими. По-третє, вони більш захоплюючі для школярів, ніж звичайні уроки, до яких вони звикли. Переглянути їх можна жому у спокійній обстановці.

У багатьох завданнях з курсу математики учні 6 класу стикатимуться з прямою та зворотною пропорційною залежністю. Перш, ніж почати вивчення цієї теми, варто згадати, що ж таке пропорції, і якою основною властивістю вони мають.

Темі "Пропорції" присвячений попередній відеоурок. Цей же є логічним продовженням. Варто зазначити, що тема досить важлива і найпоширеніша. Її варто як слід зрозуміти раз і назавжди.

Щоб показати важливість теми, відеоурок починається із завдання. Умова з'являється на екрані та озвучується диктором. Запис даних наводиться у вигляді деякої схеми, щоб школяр, який переглядає відеозапис, міг якнайкраще зрозуміти. Буде краще, якщо спочатку він буде дотримуватися такої форми запису.

Невідоме, як це прийнято здебільшого, дізнається латинською літерою x. Для його знаходження необхідно в першу чергу перемножити значення навхрест. Таким чином, вийде рівність двох співвідношень. Це говорить про те, що справа має з пропорціями і варто згадати основну їхню властивість. Звертаємо увагу, що всі величини вказані в однаковій одиниці виміру. В іншому випадку необхідно було привести їх до одного виміру.

Переглянувши метод вирішення відеозапису, не повинно виникнути жодних труднощів при подібних завданнях. Диктор коментує кожен хід, пояснює всі дії, нагадує вивчений матеріал, що використовується.

Відразу після перегляду першої частини відеоуроку «Пряма та зворотна пропорційні залежності» можна запропонувати школяреві вирішити це завдання без допомоги підказок. Після цього можна запропонувати альтернативну іншу задачу.

Залежно від розумових здібностей учня, можна поступово збільшувати складності наступних завдань.

Після першої розглянутої задачі наводиться визначення прямо пропорційних величин. Визначення зачитується диктором. Основне поняття виділено червоним.

Далі демонструється ще одне завдання, на основі якого пояснюється зворотна пропорційна залежність. Ці поняття школяру найкраще записати у зошиті. У разі потреби перед контрольними роботами, учень може легко знайти всі правила і визначення і перечитати.

Переглянувши цей відеозапис, 6-класник зрозуміє, яким чином потрібно використовувати пропорції в тих чи інших завданнях. Це досить важлива тема, яку не можна пропустити в жодному разі. Якщо школяр не пристосований сприймати матеріал, який вчитель підносить під час уроку серед інших учнів, то подібні навчальні ресурси стануть відмінним порятунком!