डर्बिन-वाटसन परीक्षण (या डीडब्ल्यू सांख्यिकी)।

यह प्रथम-क्रम के स्वतःसहसंबंध का पता लगाने के लिए सबसे प्रसिद्ध मानदंड है। डर्बिन-वाटसन आँकड़े सभी विशेष कंप्यूटर प्रोग्रामों में सबसे महत्वपूर्ण गुणवत्ता विशेषताओं में से एक के रूप में दिए गए हैं। प्रतिगमन मॉडल.

सबसे पहले, निर्मित अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण के अनुसार

विचलन मान निर्धारित किए जाते हैं परिकलित

आंकड़े

0 सकारात्मक स्वसहसंबंध;

डी टी अनिश्चितता का क्षेत्र;

डी यू - डी यू -कोई ऑटोसहसंबंध नहीं;

• 4 - डी यू
• 4 - डी / नकारात्मक ऑटोसहसंबंध।

यह दिखाया जा सकता है कि आंकड़े (2.64) पहले क्रम के स्वत: सहसंबंध गुणांक से निकटता से संबंधित हैं:

संचार सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

इससे ऑटोसहसंबंध के सांख्यिकीय विश्लेषण का अर्थ इस प्रकार है। मूल्यों के बाद से जीसे बदलें -1 से + 1, डीडब्ल्यू 0 से 4 तक भिन्न होता है। जब कोई स्वत: सहसंबंध नहीं होता है, तो स्वत: सहसंबंध गुणांक शून्य होता है और आंकड़े डीडब्ल्यू 2 है। सांख्यिकी डीडब्ल्यू, 0 के बराबर सकारात्मक ऑटोसहसंबंध से मेल खाता है जब कोष्ठक में अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होती है (आर = +1). नकारात्मक ऑटोसहसंबंध के साथ (आर = - 1), डीडब्ल्यू = 4 और कोष्ठक में व्यंजक दो के बराबर है।

डर्बिन-वाटसन परीक्षण की सीमाएँ इस प्रकार हैं।

• 1. सांख्यिकी डीडब्ल्यूकेवल उन मॉडलों पर लागू होता है जिनमें एक निःशुल्क शब्द होता है।
• 2. यह माना जाता है कि यादृच्छिक विचलन पुनरावृत्त योजना द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

• 3. सांख्यिकीय डेटा में समान आवधिकता होनी चाहिए (अवलोकन में कोई अंतराल नहीं होना चाहिए)।
• 4. डर्बिन-वाटसन मानदंड फॉर्म के ऑटोरेग्रेसिव मॉडल पर लागू नहीं होता है

मॉडल (2.66) के लिए, डर्बिन आर-सांख्यिकी प्रस्तावित है:

जहां p पहले क्रम का अनुमान p है (2.65);

डी (सी)- अंतराल चर के साथ गुणांक का नमूना विचरण वाई, _ बी पी- अवलोकनों की संख्या।

एक बड़े . के साथ पीऔर शून्य परिकल्पना की वैधता एच 0:पी = 0 तथा-आँकड़ों का एक मानक वितरण होता है एच ~ एन ( 0, 1)। इसलिए, दिए गए महत्व के स्तर पर, महत्वपूर्ण बिंदु स्थिति से निर्धारित होता है:

और एल-सांख्यिकी की तुलना से की जाती है आईएआर..यदि एक और > मैं एक/2 , तो स्वत: सहसंबंध की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए। अन्यथा, इसे अस्वीकार नहीं किया जाता है।

आमतौर पर, p के मान की गणना सूत्र का उपयोग करके पहले सन्निकटन के रूप में की जाती है पी एंड 1-डिव / 2,एक डी (सी)मानक त्रुटि के वर्ग के बराबर टी एसगुणांक अनुमान साथ।यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि /r-सांख्यिकी की गणना असंभव है एनडी (सी) > 1.

स्वतःसहसंबंध अक्सर गलत मॉडल विनिर्देश के कारण होता है। इसलिए, किसी को स्वयं मॉडल को ठीक करने का प्रयास करना चाहिए, विशेष रूप से, कुछ बेहिसाब कारक का परिचय दें या मॉडल के रूप को बदलें, उदाहरण के लिए, रैखिक से अर्ध-लघुगणक या अतिशयोक्तिपूर्ण। यदि ये सभी विधियां मदद नहीं करती हैं और श्रृंखला के कुछ आंतरिक गुणों (ई,) के कारण स्वत: सहसंबंध होता है, तो आप परिवर्तन का उपयोग कर सकते हैं, जिसे प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव योजना एआर (1) कहा जाता है।

युग्मित प्रतिगमन के उदाहरण पर /W1) पर विचार करें:

फिर, (2.68) के अनुसार, पड़ोसी अवलोकन सूत्रों के अनुरूप हैं:

यदि यादृच्छिक विचलन अभिव्यक्ति (2.65) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां गुणांक p ज्ञात है, तो सूत्रों का परिवर्तन (2.69) और (2.70) देता है:

आइए हम (2.71) में चरों का परिवर्तन करें: हम अभिव्यक्ति (2.65) को ध्यान में रखते हुए प्राप्त करते हैं:

चूंकि यादृच्छिक विचलन y एलएसएम मान्यताओं को संतुष्ट करते हैं, अनुमान एकतथा बीसमीकरणों (2.73) में सर्वोत्तम रैखिक निष्पक्ष अनुमानों के गुण होंगे। सभी चर के रूपांतरित मूल्यों के आधार पर, सामान्य न्यूनतम वर्गों का उपयोग करके, मापदंडों के अनुमानों की गणना की जाती है एकतथा बी,जिसका उपयोग तब प्रतिगमन (2.68) में किया जा सकता है।

हालांकि, जिस तरह से रूपांतरित चर (2.72) की गणना की जाती है, यदि पिछले अवलोकनों के बारे में कोई जानकारी नहीं है तो पहले अवलोकन के नुकसान में परिणाम होता है। यह स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को एक से कम कर देता है, जो बड़े नमूनों के लिए बहुत महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन छोटे नमूनों के लिए दक्षता का नुकसान होता है। फिर प्राइस-विंस्टन सुधार का उपयोग करके पहला अवलोकन बहाल किया जाता है:

परिवर्तन के लिए /W1), साथ ही सुधार (2.74) की शुरुआत करते समय, ऑटोरेग्रेशन गुणांक पी का अनुमान लगाना महत्वपूर्ण है। यह कई तरह से किया जाता है। आँकड़ों के आधार पर p का अनुमान लगाना सबसे आसान है

कहाँ पे जी r के अनुमान के रूप में लिया जाता है।

फॉर्मूला (2.75) के लिए अच्छा काम करता है बड़ी संख्याअवलोकन।

पी का आकलन करने के लिए अन्य तरीके हैं: कोचरन-ऑर्कट विधि और हिल्ड्रेट-लो विधि। कोचरन-ऑर्कट विधि पर चरण दर चरण विचार करें:

• 1. सबसे पहले, सामान्य न्यूनतम वर्ग विधि अपरिवर्तित स्रोत डेटा पर लागू होती है, जिसके लिए अवशिष्ट की गणना की जाती है।
• 2. फिर, स्वप्रतिगमन गुणांक p के अनुमानित मान के रूप में, समाश्रयण में इसका न्यूनतम वर्ग अनुमान (2.65) लिया जाता है।
• 3. मूल चर को सूत्रों (2.72) के अनुसार रूपांतरित किया जाता है, और नए पैरामीटर अनुमानों को निर्धारित करने के लिए एलएसएम को रूपांतरित डेटा पर लागू किया जाता है एकतथा बी।
• 4. प्रक्रिया चरण 2 से शुरू करके दोहराई जाती है।

प्रक्रिया आमतौर पर तब समाप्त होती है जब अगला सन्निकटन p पिछले वाले से थोड़ा भिन्न होता है। कभी-कभी पुनरावृत्तियों की संख्या बस तय हो जाती है। यह प्रक्रिया अधिकांश अर्थमितीय कंप्यूटर प्रोग्रामों में लागू की जाती है।

जहां दू, = तुम तुम 1, डीएक्स, \u003d एक्स, - एक्स,_ 1 - तथाकथित पहला अंतर (पिछड़ा)।

समीकरण (2.76) से, एलएसएम गुणांक अनुमानित है बी।पैरामीटर एकयहाँ सीधे परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन LSM से यह ज्ञात होता है कि ए = वाई -बीएक्स।

p = -1 के मामले में (2.69) और (2.70) को ध्यान में रखते हुए (2.65), हम प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करते हैं।

डर्बिन-वाटसन परीक्षण (या डीडब्ल्यू परीक्षण) एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग अध्ययन के तहत अनुक्रम के तत्वों के प्रथम-क्रम स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग अक्सर समय श्रृंखला और प्रतिगमन मॉडल के अवशेषों के विश्लेषण में किया जाता है। मानदंड का नाम जेम्स डर्बिन और जेफ्री वाटसन के नाम पर रखा गया है। डर्बिन-वाटसन मानदंड की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहाँ ρ1 प्रथम कोटि का स्वतःसहसंबंध गुणांक है।

ऑटोसहसंबंध की अनुपस्थिति में, डी = 2, सकारात्मक ऑटोसहसंबंध के साथ, डी शून्य हो जाता है, और नकारात्मक ऑटोसहसंबंध के साथ, 4 पर जाता है:

व्यवहार में, डर्बिन-वाटसन मानदंड का अनुप्रयोग d के मान की तुलना dL और dU के सैद्धांतिक मूल्यों के साथ दी गई टिप्पणियों की संख्या n, स्वतंत्र मॉडल चर k की संख्या और महत्व स्तर α के लिए करने पर आधारित है।

अगर डी< dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);

यदि d > dU, तो परिकल्पना अस्वीकृत नहीं होती है;

अगर डीएल< d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.

जब d का परिकलित मान 2 से अधिक हो जाता है, तो यह स्वयं गुणांक d नहीं है जिसकी तुलना dL और dU से की जाती है, बल्कि व्यंजक (4 - d) से की जाती है।

साथ ही, इस मानदंड का उपयोग करते हुए, दो समय श्रृंखलाओं के बीच संयोग की उपस्थिति का पता चलता है। इस मामले में, परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है कि मानदंड का वास्तविक मूल्य शून्य है। मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करते हुए, दिए गए महत्व स्तरों के लिए महत्वपूर्ण मान प्राप्त किए गए थे। यदि डर्बिन-वाटसन मानदंड का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है, तो संयोग की अनुपस्थिति की शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

कमियां:

दूसरे और उच्च क्रम के ऑटोसहसंबंध का पता लगाने में सक्षम नहीं है।

केवल बड़े नमूनों के लिए विश्वसनीय परिणाम देता है।

13. कनेक्शन की निकटता के अनुरूप संकेतक

संचार की निकटता के तुलनीय संकेतकों में शामिल हैं:

1) आंशिक लोच गुणांक;

2) मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक;

3) निर्धारण का आंशिक गुणांक।

यदि कारक चरों में माप की असमान इकाइयाँ हैं, तो उनके बीच संबंध को संबंध की निकटता के तुलनीय संकेतकों का उपयोग करके मापा जाता है। कनेक्शन की निकटता के अनुरूप संकेतकों की सहायता से, मॉडल में कारक और परिणाम चर के बीच निर्भरता की डिग्री की विशेषता है एकाधिक प्रतिगमन.

आंशिक लोच के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

नमूना जनसंख्या में कारक चर xi का माध्य मान है,

- नमूना जनसंख्या में परिणामी चर y का औसत मान;

- कारक चर x के संबंध में परिणामी चर y का पहला अवकलज।

आंशिक लोच गुणांक को प्रतिशत के रूप में मापा जाता है और परिणामी चर y में परिवर्तन की मात्रा को कारक चर xi के औसत स्तर से 1% के परिवर्तन के साथ दर्शाता है, बशर्ते कि प्रतिगमन मॉडल में शामिल अन्य सभी कारक चर स्थिर हों।

एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल के लिए, आंशिक लोच गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां βi बहु प्रतीपगमन मॉडल का गुणांक है।

मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक की गणना करने के लिए, एक मानक (सामान्यीकृत) पैमाने पर एक से अधिक प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करना आवश्यक है। इसका मतलब है कि प्रतिगमन मॉडल में शामिल सभी चर विशेष सूत्रों का उपयोग करके मानकीकृत हैं। मानकीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से, प्रत्येक सामान्यीकृत चर के लिए संदर्भ बिंदु नमूना आबादी पर इसके औसत मूल्य पर सेट किया जाता है। इस मामले में, इसका मानक विचलन β मानकीकृत चर के मापन की इकाई के रूप में लिया जाता है।

कारक चर x को सूत्र द्वारा एक मानकीकृत पैमाने में परिवर्तित किया जाता है:

जहां xij i-वें प्रेक्षण में चर xj का मान है;

G(xj) कारक चर xi का मानक विचलन है;

परिणामी चर y को सूत्र का उपयोग करके एक मानकीकृत पैमाने में परिवर्तित किया जाता है:

जहाँ G(y) परिणामी चर y का मानक विचलन है।

मानकीकृत आंशिक प्रतीपगमन गुणांक इसके मानक विचलन G(y) के किस अनुपात द्वारा अभिलक्षित करते हैं, परिणामी चर y में परिवर्तन होता है जब कारक चर x अपने मानक विचलन G(x) के मान से बदलता है, बशर्ते कि प्रतिगमन में शामिल अन्य सभी कारक चर मॉडल स्थिर हैं।

मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक परिणाम और कारक चर के बीच प्रत्यक्ष या प्रत्यक्ष संबंध की डिग्री को दर्शाता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि कई प्रतिगमन मॉडल में शामिल कारक चर के बीच निर्भरता है, कारक चर का न केवल प्रत्यक्ष, बल्कि परिणामी चर पर अप्रत्यक्ष प्रभाव भी है।

निर्धारण के आंशिक गुणांक का उपयोग परिणामी चर y पर कारक चर x के अप्रत्यक्ष प्रभाव की डिग्री को चिह्नित करने के लिए किया जाता है:

जहां βi मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक है;

r(xixj) कारक चर xi और xj के बीच आंशिक सहसंबंध गुणांक है।

निर्धारण का आंशिक गुणांक यह दर्शाता है कि परिणामी चर की भिन्नता कितने प्रतिशत है, जो कई प्रतिगमन मॉडल में शामिल i-वें कारक चर की भिन्नता के कारण होता है, बशर्ते कि प्रतिगमन मॉडल में शामिल अन्य सभी कारक चर स्थिर हों।

मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक और आंशिक लोच गुणांक अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं। इस विसंगति को समझाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक कारक चर के मानक विचलन के बहुत बड़े होने के कारण, या परिणाम चर पर एक कारक चर के अस्पष्ट प्रभावों के प्रभाव से।

जहाँ 1 प्रथम कोटि का स्वतःसहसंबंध गुणांक है।

यदि त्रुटियों का कोई स्वतःसंबंध नहीं है डी= 2, सकारात्मक ऑटोसहसंबंध के साथ d शून्य की ओर जाता है, और नकारात्मक के साथ 4 की ओर जाता है:

व्यवहार में, डर्बिन-वाटसन मानदंड का अनुप्रयोग मूल्य की तुलना पर आधारित है डीसैद्धांतिक मूल्यों के साथ डी लीतथा डी यूप्रेक्षणों की दी गई संख्या के लिए एन, मॉडल के स्वतंत्र चर की संख्या कऔर महत्व स्तर α।

1. यदि एक डी < डेली, फिर स्वतंत्रता की परिकल्पना यादृच्छिक विचलनअस्वीकृत (इसलिए एक सकारात्मक ऑटोसहसंबंध है);
2. यदि एक डी > डी यू, तो परिकल्पना अस्वीकृत नहीं होती है;
3. यदि एक डेली < डी < डी यू, तो निर्णय लेने के लिए पर्याप्त आधार नहीं हैं।

जब परिकलित मान डी 2 से अधिक है, तो डी लीतथा डी यूयह गुणांक ही नहीं है जिसकी तुलना की जा रही है डी, और व्यंजक (4 − डी) .

साथ ही, इस मानदंड का उपयोग करते हुए, दो समय श्रृंखलाओं के बीच संयोग की उपस्थिति का पता चलता है। इस मामले में, परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है कि मानदंड का वास्तविक मूल्य शून्य है। मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करते हुए, दिए गए महत्व स्तरों के लिए महत्वपूर्ण मान प्राप्त किए गए थे। यदि डर्बिन-वाटसन मानदंड का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है, तो संयोग की अनुपस्थिति की शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

कमियां

एच-टेस्ट डर्बिन

मापदंड एचएक वितरित अंतराल मॉडल में अवशिष्टों के स्वत: सहसंबंध का पता लगाने के लिए डर्बिन का उपयोग किया जाता है:

• कहाँ पे एन- मॉडल में टिप्पणियों की संख्या;
• वीलैग्ड परिणामी चर की मानक त्रुटि है।

जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, वितरण एच-सांख्यिकी शून्य गणितीय अपेक्षा और 1 के बराबर विचरण के साथ सामान्य हो जाती है। इसलिए, अवशिष्टों के स्वत: सहसंबंध की अनुपस्थिति की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है यदि वास्तविक मूल्य एच-सांख्यिकी महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक हो जाती है सामान्य वितरण.

पैनल डेटा के लिए डर्बिन-वाटसन परीक्षण

पैनल डेटा के लिए, थोड़ा संशोधित डर्बिन-वाटसन परीक्षण का उपयोग किया जाता है:

समय श्रृंखला के लिए डर्बिन-वाटसन परीक्षण के विपरीत, इस मामले में अनिश्चितता का क्षेत्र बहुत संकीर्ण है, खासकर पैनलों के लिए बड़ी मात्राव्यक्तियों।

यह सभी देखें

• श्रृंखला विधि
• लजंग-बॉक्स क्यू-टेस्ट
• कोचरन-ऑर्कट विधि

टिप्पणियाँ

साहित्य

• अनायोलेव एस.डर्बिन-वाटसन सांख्यिकीय और यादृच्छिक व्यक्तिगत प्रभाव // अर्थमितीय सिद्धांत (समस्याएं और समाधान). - 2002-2003.

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "डर्बिन-वाटसन मानदंड" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

डर्बिन वाटसन परीक्षण (या डीडब्ल्यू परीक्षण) एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग अध्ययन के तहत अनुक्रम के तत्वों के पहले क्रम के स्वत: सहसंबंध का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। सबसे अधिक बार समय श्रृंखला विश्लेषण में उपयोग किया जाता है और ... ... विकिपीडिया

डर्बिन - वाटसन मानदंड- एक सशर्त संकेतक जिसका उपयोग समय श्रृंखला (डी द्वारा चिह्नित) में स्वत: सहसंबंध का पता लगाने के लिए किया जाता है। संकेतक d की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जहां yt+1 और yt श्रृंखला के संगत स्तर हैं। अनुपस्थिति के साथ…… आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

डर्बिन-वाटसन मानदंड- एक सशर्त संकेतक जिसका उपयोग समय श्रृंखला (डी द्वारा चिह्नित) में स्वत: सहसंबंध का पता लगाने के लिए किया जाता है। संकेतक d की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: जहां yt+1 और yt श्रृंखला के संगत स्तर हैं। अध्ययन की गई श्रृंखला में स्वसहसंबंध के अभाव में, सूचक ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

ऑटोसहसंबंध के बीच सांख्यिकीय संबंध है यादृच्छिक चरएक ही श्रृंखला से, लेकिन एक बदलाव के साथ लिया गया, उदाहरण के लिए, एक समय बदलाव के साथ एक यादृच्छिक प्रक्रिया के लिए। अर्थमिति में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उपलब्धता ... ... विकिपीडिया

Breusch Godfrey सीरियल सहसंबंध LM परीक्षण, जिसे Breusch Godfrey सीरियल सहसंबंध LM परीक्षण भी कहा जाता है, एक प्रक्रिया है जिसका उपयोग अर्थमिति में यादृच्छिक क्रम स्वतः सहसंबंध को यादृच्छिक ... ... विकिपीडिया में जाँचने के लिए किया जाता है।

समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया एक सांख्यिकीय परीक्षण। प्रत्येक व्यक्तिगत गुणांक की यादृच्छिकता के परीक्षण के बजाय, यह एक ही बार में शून्य से कई ऑटोसहसंबंध गुणांकों के अंतर की जांच करता है: जहां n ... ... विकिपीडिया

समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया एक सांख्यिकीय परीक्षण। प्रत्येक व्यक्तिगत गुणांक की यादृच्छिकता के परीक्षण के बजाय, यह एक ही बार में शून्य से कई ऑटोसहसंबंध गुणांक के अंतर की जांच करता है। ... ... विकिपीडिया

बॉक्स पियर्स आँकड़ा एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसे समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रत्येक व्यक्तिगत गुणांक की यादृच्छिकता के परीक्षण के बजाय, यह शून्य से अंतर के लिए एक साथ कई गुणांक का परीक्षण करता है ... विकिपीडिया

Ljung Box परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसे समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रत्येक व्यक्तिगत गुणांक की यादृच्छिकता के परीक्षण के बजाय, यह एक बार में शून्य से कई गुणांक के अंतर की जांच करता है ... ... विकिपीडिया

छिपे हुए साइनसॉइड के साथ 100 यादृच्छिक चर का प्लॉट। स्वत: सहसंबंध समारोहआपको डेटा की एक श्रृंखला में आवधिकता देखने की अनुमति देता है। स्वतःसहसंबंध एक ही श्रृंखला से यादृच्छिक चर के बीच एक सांख्यिकीय संबंध है, लेकिन एक बदलाव के साथ लिया जाता है, ... ... विकिपीडिया

वास्तविक प्रक्रिया के लिए प्रवृत्ति मॉडल की पर्याप्तता की जाँच एक यादृच्छिक घटक के विश्लेषण पर आधारित है। गणना में, यादृच्छिक घटक को अवशिष्ट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो वास्तविक और परिकलित मानों के बीच का अंतर है

पर सही पसंदइससे प्रवृत्ति विचलन यादृच्छिक होगा। यदि फ़ंक्शन का प्रकार असफल रूप से चुना जाता है, तो अवशिष्ट के क्रमिक मूल्यों में स्वतंत्रता की संपत्ति नहीं हो सकती है, अर्थात। वे एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध हो सकते हैं। इस मामले में, त्रुटियों को स्वत: सहसंबद्ध कहा जाता है।

ऑटोसहसंबंध का पता लगाने के लिए कई तकनीकें हैं। सबसे आम डर्बिन-वाटसन परीक्षण है। यह मानदंड प्रथम कोटि के स्वसहसंबंध के अस्तित्व की परिकल्पना से संबंधित है। इसका मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

. (2.29)

इस सूत्र के अर्थ को समझने के लिए, आइए हम एक प्रारंभिक धारणा बनाकर इसे रूपांतरित करें . सूत्र का प्रत्यक्ष परिवर्तन निम्नानुसार किया जाता है:

.

पर्याप्त रूप से बड़ी राशि के लिए दो शब्दों के योग से काफी अधिक है, और इसलिए इन मात्राओं के अनुपात की उपेक्षा की जा सकती है। इसके अलावा, वर्ग कोष्ठक में अनुपात इस तथ्य के कारण है कि , और के बीच एक सहसंबंध गुणांक माना जा सकता है। इस प्रकार, डर्बिन-वाटसन मानदंड को इस प्रकार लिखा जाता है:

. (2.30)

मानदंड का परिणामी प्रतिनिधित्व हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि डर्बिन-वाटसन आँकड़ा नमूना सहसंबंध गुणांक से संबंधित है। इस प्रकार, मानदंड का मूल्य अवशेषों में स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति का संकेत दे सकता है। इसके अलावा, अगर, तो। अगर (सकारात्मक ऑटोसहसंबंध), तो; अगर (नकारात्मक ऑटोसहसंबंध), तो .

स्वत: सहसंबंध की उपस्थिति या अनुपस्थिति में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण विश्वास तालिका का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है महत्वपूर्ण बिंदुडर्बिन-वाटसन वितरण। तालिका आपको दिए गए महत्व स्तर के लिए दो मान निर्धारित करने की अनुमति देती है, अवलोकनों की संख्या और मॉडल में चर की संख्या: - निचली सीमा और - ऊपरी सीमा।

इस प्रकार, डर्बिन-वाटसन मानदंड का उपयोग करके अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की जांच के लिए एल्गोरिदम निम्नानुसार है:

1) पारंपरिक कम से कम वर्गों का उपयोग करके एक प्रवृत्ति निर्भरता का निर्माण

2) अवशेषों की गणना

प्रत्येक अवलोकन के लिए ( );

अंजीर में चित्रमय आरेख द्वारा अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। 3.1.

चावल। 2.1. ग्राफिक योजनाअवशेषों के स्वत: सहसंबंध के लिए जाँच करता है

डर्बिन-वाटसन परीक्षण (या डीडब्ल्यू परीक्षण) एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग प्रतिगमन मॉडल के प्रथम-क्रम के अवशेषों के स्वत: सहसंबंध को खोजने के लिए किया जाता है। मानदंड का नाम जेम्स डर्बिन और जेफ्री वाटसन के नाम पर रखा गया है। डर्बिन-वाटसन परीक्षण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहाँ 1 प्रथम कोटि का स्वतःसहसंबंध गुणांक है।

यदि त्रुटियों का कोई स्वतःसंबंध नहीं है डी= 2, सकारात्मक ऑटोसहसंबंध के साथ d शून्य की ओर जाता है, और नकारात्मक के साथ 4 की ओर जाता है:

व्यवहार में, डर्बिन-वाटसन मानदंड का अनुप्रयोग मूल्य की तुलना पर आधारित है डीसैद्धांतिक मूल्यों के साथ डेलीतथा डी यूप्रेक्षणों की दी गई संख्या के लिए एन, मॉडल के स्वतंत्र चर की संख्या कऔर महत्व स्तर α।

यदि एक डी < डेली, तो यादृच्छिक विचलन की स्वतंत्रता की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है (इसलिए, एक सकारात्मक ऑटोसहसंबंध है);

यदि एक डी > डी यू, तो परिकल्पना अस्वीकृत नहीं होती है;

यदि एक डेली < डी < डी यू, तो निर्णय लेने के लिए पर्याप्त आधार नहीं हैं।

जब परिकलित मान डी 2 से अधिक है, तो डेलीतथा डी यूयह गुणांक ही नहीं है जिसकी तुलना की जा रही है डी, और व्यंजक (4 − डी).

साथ ही, इस मानदंड का उपयोग करते हुए, दो समय श्रृंखलाओं के बीच संयोग की उपस्थिति का पता चलता है। इस मामले में, परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है कि मानदंड का वास्तविक मूल्य शून्य है। मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करते हुए, दिए गए महत्व स्तरों के लिए महत्वपूर्ण मान प्राप्त किए गए थे। यदि डर्बिन-वाटसन मानदंड का वास्तविक मूल्य महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है, तो संयोग की अनुपस्थिति की शून्य परिकल्पना खारिज कर दी जाती है।

दूसरे और उच्च क्रम के ऑटोसहसंबंध का पता लगाने में सक्षम नहीं है।

केवल बड़े नमूनों के लिए विश्वसनीय परिणाम देता है]।

मापदंड एचएक वितरित अंतराल मॉडल में अवशिष्टों के स्वत: सहसंबंध का पता लगाने के लिए डर्बिन का उपयोग किया जाता है:

कहाँ पे एन- मॉडल में टिप्पणियों की संख्या;

वीलैग्ड परिणामी चर की मानक त्रुटि है।

जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, वितरण एच-सांख्यिकी शून्य के साथ सामान्य हो जाती है गणितीय अपेक्षाऔर 1 के बराबर एक भिन्नता। इसलिए, अवशिष्टों के स्वत: सहसंबंध की अनुपस्थिति की परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है यदि वास्तविक मूल्य एच-सांख्यिकी सामान्य वितरण के महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक हो जाती है।

पैनल डेटा के लिए डर्बिन-वाटसन परीक्षण

पैनल डेटा के लिए, थोड़ा संशोधित डर्बिन-वाटसन परीक्षण का उपयोग किया जाता है:

समय श्रृंखला के लिए डर्बिन-वाटसन परीक्षण के विपरीत, इस मामले में अनिश्चितता का क्षेत्र बहुत संकीर्ण है, खासकर बड़ी संख्या में व्यक्तियों वाले पैनलों के लिए।

1. स्वसहसंबंध को समाप्त करने के तरीके (प्रवृत्ति से विचलन, क्रमिक अंतर, समय कारक का समावेश)।

सभी प्रवृत्ति उन्मूलन विधियों का सार समय श्रृंखला समीकरणों के गठन पर समय कारक के प्रभाव को समाप्त करना है। मुख्य विधियों को 2 समूहों में विभाजित किया गया है:

श्रृंखला के स्तरों को बिना किसी प्रवृत्ति के नए चर में परिवर्तित करने के आधार पर। परिणामी चरों का आगे अध्ययन की गई समय श्रृंखला के बीच संबंधों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है। इन विधियों में प्रवृत्ति घटक का उन्मूलन शामिल है टीसमय श्रृंखला के प्रत्येक स्तर से। 1. क्रमिक अंतरों की विधि। 2. प्रवृत्तियों से विचलन की विधि।

मॉडल के आश्रित और स्वतंत्र चर पर समय कारक के प्रभाव को छोड़कर, समय श्रृंखला के प्रारंभिक स्तरों के बीच संबंधों के अध्ययन के आधार पर: प्रतिगमन मॉडल में समय कारक का समावेश।