समान्तर रेखाएँ, समानान्तर रेखाओं के चिन्ह एवं स्थितियाँ। दो रेखाओं की समानता के लक्षण

29. आइए हाथ से कुछ ज़िगज़ैग बनाएं, जैसे काले रंग में डेटा। 31. इनमें से प्रत्येक ज़िगज़ैग में हमें 2 कोने दिखाई देते हैं (चित्र 31 के प्रत्येक ज़िगज़ैग में उन्हें 1 और 2 क्रमांकित किया गया है)। प्रत्येक ज़िगज़ैग में दो किरणें और उन बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड होता है जहां से किरणें निकलती हैं। उदाहरण के लिए, अंतिम ज़िगज़ैग में हमारे पास है: 1) किरण एबी बिंदु ए से आ रही है, 2) किरण सीडी बिंदु सी से आ रही है और 3) खंड एसी। कोण 1 और 2 कहलाते हैं आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोने इस ज़िगज़ैग को बनाने वाली किरणों के संबंध में। व्यायाम से आंख को ऐसे कोणों के स्थान का आदी होना चाहिए।

आइए अब एक ज़िगज़ैग बनाएं ताकि उसके कोण एक दूसरे के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, हम एक मनमाने कोण BDC (चित्र 33, I) या ∠1 से निर्माण शुरू करते हैं; फिर, बिंदु C को निश्चित करते हुए, हम आइटम 28 के अनुसार, ∠3 (या ∠MCD) = ∠1 का निर्माण करते हैं।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम इस निर्माण को यहाँ चित्र में पुन: प्रस्तुत करते हैं। 32.
1) एक मनमाना त्रिज्या के साथ, बिंदु D को केंद्र मानकर ◡α का निर्माण करें;
2) बिंदु C को केंद्र मानकर समान त्रिज्या से ◡β की रचना करें;
3) हम एक कम्पास के साथ कोण 1 के अनुरूप चाप α की जीवा लेते हैं - इसके सिरे किरण DB और खंड DC के साथ चाप α के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं;
4) हम इस जीवा को खंड DC के साथ इस चाप के प्रतिच्छेदन बिंदु से ◡β पर रखते हैं, यह देखते हुए कि इस जीवा के अनुरूप बिंदु C पर कोण आंतरिक रूप से ∠1 के साथ क्रॉस-झूठित होता है;
5) इस जीवा के सिरे को बिंदु C से जोड़ने पर, हमें ∠3 = ∠1 प्राप्त होता है, और ये कोण आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले होते हैं।

तब हमें आवश्यक ज़िगज़ैग एमसीडीबी मिलती है। यदि किरणें एमसी और डीबी जारी हैं (सीएन किरण सीएम की निरंतरता है और डीए डीबी की निरंतरता है), तो हमें एक और एनसीडीए ज़िगज़ैग मिलेगा, जिसके आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोनों को संख्या 2 और 4 द्वारा दर्शाया गया है। सामान्य तौर पर, परिणामी आकृति में तीन सीधी रेखाएं एमएन, एबी और सीडी होती हैं, और बाद में यह निश्चित रूप से ज्ञात होता है कि यह एमएन को बिंदु सी पर और एबी को बिंदु डी पर काटती है, यही कारण है कि हम रेखा सीडी को छेदक कहेंगे।

आइए परिणामी आंकड़े का अध्ययन करें।

1. हम देखते हैं कि ∠1 और ∠2 आसन्न हैं, अर्थात हम देखते हैं

∠1 + ∠2 = आयताकार. कोना।

हम यह भी देखते हैं कि ∠3 और ∠4 आसन्न हैं, अर्थात्।

∠3 + ∠4 = आयताकार. कोना।

लेकिन हमने ∠3 = ∠1 बनाया। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ∠4 आवश्यक रूप से ∠2 के बराबर होना चाहिए। तो, यह पता चला कि आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोणों (∠2 और ∠4) की दूसरी जोड़ी में भी समान कोण होते हैं। यह परिस्थिति ध्यान देने योग्य है, और हम इसे इन शब्दों से समझ सकते हैं: यदि दो सीधी रेखाओं को एक छेदक द्वारा काट दिया जाता है, और यदि दो आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण एक दूसरे के बराबर हैं, तो अन्य दो आंतरिक हैं। ढका हुआ कोण भी बराबर हैं . (किसी आकृति का प्रत्येक गुण, जिसे शब्दों में व्यक्त किया जाता है और कुछ तर्क के बाद प्राप्त किया जाता है, प्रमेय कहलाता है। यहां हमारे पास आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोणों पर एक प्रमेय है।)

2. पूरा आंकड़ा चेर में दिया गया है। 33, मैं, हम 2 आंकड़ों में विभाजित करेंगे: एमसीडीए आंकड़ा और एनसीडीबी आंकड़ा - हम उन्हें "बाएं" और "दाएं" आंकड़े कहेंगे। स्पष्टता के लिए, हम इन आंकड़ों को अलग से प्रस्तुत करेंगे (अध्याय 33, II)। उनका एक समान खंड है: नकारात्मक। बाईं आकृति की सीडी दाईं ओर के खंड सीडी के बराबर है, क्योंकि ये खंड पहले संपाती थे। इस समानता का उपयोग करते हुए, हम दाईं आकृति को बाईं ओर आरोपित करते हैं (आपको दाईं आकृति को मोड़ना होगा, जैसा कि चित्र 33, III में है, और फिर इसे बाईं ओर आरोपित करें) ताकि दाईं आकृति का बिंदु D संरेखित हो जाए बाईं ओर के बिंदु C के साथ और ताकि दाईं ओर का खंड DC बाईं ओर के खंड CD के साथ चले; उनकी समानता के आधार पर और उनके अन्य छोर संयुक्त होंगे। तब से, निर्माण के अनुसार, ∠3 = ∠1, तो दाहिनी आकृति की किरण DB को बायीं आकृति की किरण CM के साथ जाना चाहिए, लेकिन ∠2 और ∠4 की स्थापित समानता के आधार पर, की किरण CN दाहिनी आकृति को बाईं ओर की किरण डीए के साथ जाना चाहिए। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी आकृतियाँ समान हैं (ज्यामिति में यह शब्द "बराबर" है और इसका अर्थ है कि एक आकृति दूसरे पर आरोपित होने पर संयुक्त हो जाती है)।

3. पुनः काला हो जाना। 33, मैं, हम पूछ सकते हैं: क्या रेखाएँ एमएन और एबी प्रतिच्छेद करती हैं? यदि हम मानते हैं कि वे प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु छेदक सीडी के दाईं ओर स्थित है, तो, दाएं और बाएं आंकड़े की समानता के कारण, हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचना होगा कि छेदक सीडी का बायां हिस्सा समान होना चाहिए दाईं ओर, यानी बाईं ओर एक बिंदु होना चाहिए जिसके माध्यम से एमएन और एबी दोनों रेखाएं गुजरती हैं। तब यह पता चलेगा कि दो रेखाएँ MN और AB 2 बिंदुओं से होकर गुजरती हैं, जो असंभव है। इसलिए, यह धारणा कि AB और MN छेदक के दाईं ओर प्रतिच्छेद करते हैं, मान्य नहीं है। यह स्पष्ट है कि यह मानना ​​भी असंभव है कि वे छेदक के बाईं ओर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचे हैं कि हम दो रेखाएँ AB और MN बनाने में सफल रहे हैं, जो एक दूसरे को बिल्कुल भी नहीं काटती हैं।

दो रेखाएँ जो एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करती हों, समानांतर रेखाएँ कहलाती हैं।

दो रेखाओं की समानता को इंगित करने के लिए चिन्ह का उपयोग करें ||; इस प्रकार हमारे पास एमएन || है एबी (एमएन एबी के समानांतर है)। यह पिछले निर्माण से निम्नानुसार है:

आप समानांतर रेखाएँ खींच सकते हैं

समानांतर रेखाएं मौजूद हैं.

हम चेर में दिए गए आंकड़े को समझ सकते हैं। 33 (I), एक अलग क्रम में निर्माण करें: 1) एक मनमानी रेखा AB का निर्माण करें (हम इसे दिया हुआ कहेंगे); 2) इसके बाहर एक मनमाना बिंदु C बनाएं (हम इसे एक दिया हुआ बिंदु भी कहेंगे); 3) बिंदु C से होकर हम एक छेदक CD बनाते हैं जो दी गई रेखा के साथ AB ∠1 और ∠2 बनाती है; 4) बिंदु C पर हम ∠3 = ∠1 बनाते हैं ताकि ये कोण आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले बन जाएं - हमें किरण सीएम मिलती है; 5) हम किरण सीएम को सीएन दिशा में जारी रखते हैं - फिर हमें एबी के समानांतर रेखा एमएन मिलती है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है:

किसी दी गई रेखा के बाहर दिए गए एक बिंदु के माध्यम से, दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा बनाना हमेशा संभव होता है।

चूँकि समानांतर रेखाओं के निर्माण के लिए समान पूर्णांक का निर्माण करना आवश्यक था। क्रॉस-झूठ वाले कोण (∠3 = ∠1), हम यह भी निष्कर्ष निकालते हैं

यदि दो रेखाएँ एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं और यदि परिणामी आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर होते हैं, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

30. पिछले पैराग्राफ में, हमने सीखा कि किसी दिए गए बिंदु के समानांतर एक रेखा कैसे बनाई जाती है। अब प्रश्न उठता है: किसी दिए गए बिंदु के समानांतर कितनी रेखाएँ बनाई जा सकती हैं? इस प्रश्न का उत्तर समानांतर रेखाओं की व्यवस्था के हमारे विचार के आधार पर ही संभव है: यदि हम कल्पना करें कि रेखा एमएन (अध्याय 33, आई), जो || एबी एक दिशा या किसी अन्य में बिंदु सी के चारों ओर घूमता है, तो यह हमारे लिए स्पष्ट है कि समानता का उल्लंघन किया जाएगा और तब एमएन छेदक सीडी के एक तरफ कहीं एबी के साथ प्रतिच्छेद करेगा; शायद यह प्रतिच्छेदन बिंदु इतना दूर होगा कि हम इसे चित्र पर चित्रित नहीं कर पाएंगे, लेकिन इससे हमारा विश्वास कम नहीं होता है कि रेखा AB और घूमी हुई रेखा MN प्रतिच्छेद करती हैं। यह पता चला है कि पिछले विश्वास के आधार पर तर्क द्वारा इस विश्वास का समर्थन करना असंभव है। अत: हमारे विचार के आधार पर ही इसे स्वीकार किया जाता है

एक रेखा के बाहर दिए गए एक बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर केवल एक रेखा बनाना संभव है।

पहली बार इस स्थिति को विज्ञान में प्रसिद्ध ग्रीक जियोमीटर यूक्लिड द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने ज्यामिति में एक पूर्ण व्यवस्थित पाठ्यक्रम दिया था (ईसा से 300 वर्ष पहले)। इस संपत्ति का शीर्षक उन्होंने "एक्सिओम XI" नाम से रखा है, जिसे यहां से कुछ अलग तरीके से व्यक्त किया गया है, लेकिन इसका मुख्य विचार एक ही है। कभी-कभी उसी गुण को "यूक्लिड का V अभिधारणा" कहा जाता है। इन दो नामों के बीच अंतर इस प्रकार है: गुणों को स्वयंसिद्ध कहा जाता है जो तुरंत स्पष्ट होते हैं, और यह विचार कि उन्हें पहले से स्थापित अन्य गुणों से तर्क द्वारा नहीं निकाला जा सकता है, तब प्रकट होता है जब ज्यामिति की एक प्रणाली पर सावधानीपूर्वक विचार किया जाता है; अभिधारणाएँ वे धारणाएँ हैं जिन्हें आगे बढ़ने के लिए अवश्य बनाया जाना चाहिए, लेकिन जिनकी वैधता इतनी स्पष्ट नहीं है। हालाँकि, इन दोनों अवधारणाओं के बीच अंतर इतना महत्वहीन है कि वे अक्सर भ्रमित होते हैं।

जिन शब्दों के साथ हमने यहां यूक्लिड के समानताओं के अभिधारणा को व्यक्त किया है, उनमें 2 विचार हैं: 1) एक बिंदु के माध्यम से दिए गए एक के समानांतर एक सीधी रेखा बनाना संभव है - यह विचार अभिधारणा की सामग्री से बिल्कुल भी संबंधित नहीं है : पैराग्राफ 29 में हमें ऐसे निर्माण की संभावना का पता चला; 2) केवल एक समानांतर - "केवल एक" शब्दों द्वारा व्यक्त यह विचार, अभिधारणा की सामग्री है।

31. समांतरों की अभिधारणा से तुरंत कई नए गुण निकलते हैं, जिन्हें इसलिए समांतरों की अभिधारणा के परिणाम कहा जा सकता है।

I. निम्नलिखित की रचना करें: 1) AB || सीडी (अध्याय 34); 2) रेखा MN, AB को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती है। प्रश्न उठता है: क्या MN और CD प्रतिच्छेद करते हैं?
उत्तर स्पष्ट है: हम यह नहीं मान सकते कि एमएन सीडी को प्रतिच्छेद नहीं करता है, अन्यथा सीडी के समानांतर बिंदु ई के माध्यम से दो रेखाएं एबी और एमएन का निर्माण किया जाएगा, जो समानांतर अभिधारणा का खंडन करती है।

द्वितीय. आइए निर्मित करें: 1) ईएफ || एबी और 2) सीडी || एबी (अध्याय 35) (इस निर्माण के लिए केवल एक सेकेंट सीईके का उपयोग करना और ∠2 = ∠1 और ∠3 = ∠1 का निर्माण करना सुविधाजनक है)। प्रश्न उठता है: रेखाएँ CD और EF प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं?

आइए मान लें कि CD और EF एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं; तो यह पता चलेगा कि एम के माध्यम से दो लाइनें एमडीसी और एमएफई का निर्माण किया गया है, जो लाइन एबी के समानांतर अलग-अलग हैं, जो समानांतर अभिधारणा का खंडन करती है। इसलिए हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि सीडी || ईएफ. निःसंदेह, यह संभव है कि दिए गए बिंदु C और E इस प्रकार स्थित हों कि उनसे होकर AB के समानांतर बनी रेखाएँ एक में विलीन हो जाएँ। तो हमारे पास:

यदि दिए गए दो बिंदुओं में से प्रत्येक के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा बनाई जाती है, तो निर्मित रेखाएं या तो एक दूसरे के समानांतर होती हैं या एक रेखा में विलीन हो जाती हैं।

इसके आधार पर, दो रेखाओं के संयोग के मामले को अक्सर समानता का एक विशेष मामला माना जाता है।

तृतीय. आइए निम्नलिखित का निर्माण करें: 1) एबी || छेदक एमएन (चित्र 36) और 2) छेदक ईएफ की सहायता से सीडी, इसके अलावा, वे ई और एफ पूर्णांक के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर बने थे। अतिव्यापी कोण, जैसे ∠1 और ∠4। प्रश्न उठता है: क्या ये कोण एक दूसरे के बराबर हैं?

एक बिंदु E पर विचार करें। हम जानते हैं (धारा 29) कि इस बिंदु से होकर हम CD के समानांतर एक रेखा बना सकते हैं, जिसके लिए हम छेदक EF का उपयोग कर सकते हैं और बिंदु E पर ∠1 के बराबर एक कोण बना सकते हैं ताकि यह आंतरिक हो ∠ 1 के साथ क्रॉस-झूठ; दूसरी ओर, अभिधारणा (आइटम 30) के आधार पर, हम जानते हैं कि केवल एक समानांतर बनाना संभव है, और यह पहले ही बनाया जा चुका है - एबी || सीडी, और किरण ईबी छेदक ईएफ ∠4 के साथ बनती है, आंतरिक रूप से ∠1 के साथ क्रॉस-झूठ बोलती है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यह ∠4 आवश्यक रूप से ∠1 के बराबर होना चाहिए। इसलिए,

यदि दो समानांतर रेखाओं को एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर होते हैं।

32. कल्पना कीजिए कि छेदक EF (अध्याय 36) दोनों दिशाओं में जारी है; तो हमें चित्र में दी गई आकृति प्राप्त होती है। 37, और बिंदु ई और एफ पर हमारे पास 8 कोण हैं (चित्र 35 की तुलना में उन्हें एक अलग क्रम में 1-8 क्रमांकित किया गया है)। अब हम देखते हैं कि 1) ∠1 = ∠4 (ऊर्ध्वाधर के रूप में) = ∠5 (आंतरिक क्रॉस-झूठ के रूप में) = ∠8 (ऊर्ध्वाधर के रूप में); 2) ∠2 = ∠3 (ऊर्ध्वाधर के रूप में) = ∠6 (आंतरिक क्रॉस-झूठ के रूप में) = ∠7 (ऊर्ध्वाधर के रूप में)।

इस प्रकार, सभी 8 कोणों को 2 समूहों में विभाजित किया गया है: 1) ∠1, ∠4, ∠5 और ∠8 और 2) ∠2, ∠3, ∠6 और ∠7। एक समूह के सभी कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं, लेकिन एक समूह का कोई भी कोण दूसरे समूह के कोण के बराबर नहीं होता है। लेकिन हम देखते हैं कि, उदाहरण के लिए,

∠5 + ∠6 = आयताकार. कोना।

चूँकि पहले समूह का प्रत्येक अन्य कोण ∠5वें के बराबर है और दूसरे समूह का प्रत्येक अन्य कोण ∠6वें के बराबर है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि पहले समूह के किसी भी कोण का योग दूसरे समूह के किसी भी कोण के साथ है संशोधित कोण के बराबर है. इसलिए:

यदि दो समानांतर कोणों को एक छेदक द्वारा काट दिया जाता है, तो परिणामी 8 कोणों को 4 कोणों के दो समूहों में विभाजित किया जाता है: प्रत्येक समूह के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं और दो कोणों का योग होता है, जिनमें से एक कोण एक समूह का होता है , और दूसरे समूह का दूसरा कोण सीधे कोण के बराबर होता है।

आइए कोनों के अलग-अलग जोड़े पर ध्यान दें, और हम कोनों को जोड़े में जोड़ देंगे, जिनमें से एक शीर्ष E पर है, और दूसरा शीर्ष F पर है।

हम पहले से ही जानते हैं कि ∠4 = ∠5 और ∠3 = ∠6, अर्थात्, आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर होते हैं.

पहले समूह से, हमारे पास ∠1 = ∠8 भी है। ये कोण (∠1 और ∠8) छेदक के विभिन्न किनारों पर स्थित हैं, और उनके आंतरिक क्षेत्र रेखाओं AB और CD द्वारा चिह्नित पट्टी के बाहर स्थित हैं। इसलिए इन्हें बुलाया जाता है बाहरी क्रॉस-झूठ वाले कोने. दूसरे समूह में भी ऐसे कोणों की एक जोड़ी है: ∠2 और ∠7, ∠2 = ∠7 के साथ। इसलिए, समानांतर रेखाओं के लिए, बाहरी अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं.

पहले समूह से हमारे पास ∠1 = ∠5 है। ये 2 कोण छेदक के एक ही तरफ स्थित हैं और उनमें से एक बाहरी (∠1) है और दूसरा आंतरिक (∠5) है। ये दो कोने कहलाते हैं उपयुक्त. हमारे पास संगत कोणों के जोड़े भी हैं: ∠4 = ∠8 (दोनों समूह I में), ∠2 = ∠6 (दोनों समूह II में), ∠3 = ∠7 (दोनों समूह II में)। इसलिए, समांतर पर संगत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं.

∠3 समूह II से संबंधित है, और ∠5 समूह I से संबंधित है; अतः ∠3 + ∠5 = आयताकार। कोना। ये दोनों कोण छेदक के एक ही तरफ स्थित होते हैं और ये दोनों आंतरिक होते हैं। इसलिए इन्हें बुलाया जाता है आंतरिक एक तरफा कोने. समान कोणों के कुछ और कोण हैं: ∠4 और ∠6; उनके लिए (क्योंकि वे अलग-अलग समूहों से संबंधित हैं) हमारे पास ∠4 + ∠6 = rect भी है। कोना। इसलिए, समानांतर के साथ आंतरिक एकतरफ़ा कोण एक सीधे कोण में जुड़ते हैं.

जोड़े: 1) ∠1 और ∠7 और 2) ∠2 और ∠8 कहलाते हैं बाहरी एकतरफ़ा कोनेऔर उनके लिए हमारे पास है (क्योंकि प्रत्येक जोड़ी के कोण अलग-अलग समूहों से संबंधित हैं):

∠1 + ∠7 = आयताकार. कोना; ∠2 + ∠8 = आयताकार. कोना,

अर्थात। समानान्तर पर बाह्य एकपक्षीय कोणों के योग से सीधी रेखाएँ बनती हैं। कोना.

अंत में, जोड़े: 1) ∠1 और ∠6, 2) ∠2 और ∠5, 3) ∠3 और ∠8 और 4) ∠4 और ∠7 का कोई विशेष नाम नहीं है, लेकिन प्रत्येक जोड़े में दो कोने होते हैं , जिनमें से एक बाहरी और दूसरा आंतरिक है, और वे छेदक के विपरीत किनारों पर स्थित हैं। चूँकि प्रत्येक जोड़ी के कोण अलग-अलग समूहों से संबंधित हैं, हमारे पास है:

∠1 + ∠6 = आयताकार. कोना; ∠2 + ∠5 = आयताकार. कोना; ∠3 + ∠8 = आयताकार. कोना; ∠4 + ∠7 = आयताकार. कोना,

अर्थात। स्केलीन कोणों के समानांतर जोड़े के साथ, जिनमें से एक आंतरिक है और दूसरा बाहरी है, योग एक सीधा कोण है.

33. अब यह देखना मुश्किल नहीं है कि समानांतर रेखाओं का निर्माण कोणों के अन्य युग्मों का उपयोग करके किया जा सकता है जो आंतरिक रूप से क्रॉस-झूठ नहीं हैं, जैसा कि आइटम 29 में है। वास्तव में, हम बिंदु E पर निर्माण करते हैं (चित्र 37) ∠1 = ∠ 5 ताकि ये कोण सुसंगत हों। तब हम पाते हैं कि ∠1 = ∠4 और, परिणामस्वरूप, ∠4 = ∠5, अर्थात, AB || सीडी. इसका उपयोग करना और बाहरी नक्र.-झूठ बोलना भी संभव है। कोने (यदि ∠1 = ∠8, तो ∠4 = ∠5, यानी, एबी || सीडी। आप बाहरी सुपरपोजिशन कोण (∠1 = ∠8, तो ∠4 = ∠5) का भी उपयोग कर सकते हैं और रेखाएं समानांतर हैं। ) आप आंतरिक एक-तरफा कोण भी बना सकते हैं ताकि उनका योग संशोधित कोण के बराबर हो (यदि ∠3 + ∠5 = सुधारा गया है, तो ∠4 = ∠5, क्योंकि ∠3 + ∠4 = सुधारा गया है। , - अगला, एबी | | सीडी); कोई बाहरी एकतरफ़ा कोनों का भी उपयोग कर सकता है। तो:

यदि दो रेखाएं एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं और यदि आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर हैं, या यदि बाहरी क्रॉस-झूठ वाले कोण बराबर हैं, या यदि संबंधित कोण बराबर हैं, या यदि आंतरिक एक तरफा कोणों का योग है सुधारे गए एक के बराबर, या यदि बाहरी एक तरफा कोणों का योग सीधे एक के बराबर है, या यदि दो स्केलीन कोणों का योग, जिनमें से एक आंतरिक और दूसरा बाहरी है, सीधे के बराबर है, तो रेखाएं समानांतर हैं.

दो समानांतर रेखाएँ बनाने के लिए, आमतौर पर (और यह सबसे सुविधाजनक है) या तो आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोणों या संगत कोणों का उपयोग किया जाता है।

परिशिष्ट. समानांतर रेखाओं का अभिधारणा (आइटम 30) निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

यदि आंतरिक एकपक्षीय कोणों के एक जोड़े का योग संशोधित कोण से कम है, और इसलिए दूसरे जोड़े का योग संशोधित कोण से अधिक है, तो ये रेखाएँ छेदक के किनारे पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ योग कम होता है सुधारा हुआ.

यदि, उदाहरण के लिए, ∠1 + ∠2< выпр. угла (чер. 38), то, следовательно, ∠3 + ∠4 >सुधारा गया कोना, चूँकि ∠1 + ∠3 = सुधारा गया। कोने और ∠2 + ∠4 = आयताकार. कोना। हमारी रेखाएँ छेदक के किनारे पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ ∠1 और ∠2 स्थित हैं। इसी रूप में यूक्लिड द्वारा समांतरता का अभिधारणा दिया गया था।

34. अभ्यास. 1. किसी दिए गए बिंदु से होकर (चित्र 39 में दी गई विभिन्न स्थितियां देखें) दिए गए बिंदु के समानांतर एक सीधी रेखा बनाएं।

पहली ड्राइंग पर, निर्माण पूरा हो गया है: ए से हम एक छेदक एबी का निर्माण करते हैं; बिंदु B को केंद्र मानकर, हम एक चाप बनाते हैं और उसी त्रिज्या के साथ (इस त्रिज्या को छोटा लेना अधिक सुविधाजनक है) हम A को केंद्र मानकर चाप का वर्णन करते हैं। फिर, A पर, हम ∠B के बराबर एक कोण बनाते हैं, ताकि हमें 2 int प्राप्त हो। ढका हुआ कोने, आदि

2. किसी भी स्थिति में समान्तर रेखाओं का एक युग्म बनाइये।

3. दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ दी गई हैं; दिए गए बिंदु से होकर क्रमशः दो नई रेखाएं, दिए गए दो के समानांतर बनाएं।

4. किसी भी स्थिति में समानांतर रेखाओं के दो जोड़े बनाएं, लेकिन इस तरह कि सभी 4 रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर न हों।

35. समांतर रेखाओं के दो जोड़े बनाए गए हैं: 1) c || बी और 2) डी || ए (अध्याय 40) (प्रत्येक पंक्ति का नाम एक छोटे अक्षर से दिया गया है)। रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, हमें कोण मिलते हैं, उनमें से एक, अर्थात् ∠1 पर विचार करें और इसकी तुलना रेखाओं c और d के प्रतिच्छेदन पर प्राप्त कोणों 2, 3, 4 और 5 से करें।

हम रेखा c को रेखा a के साथ प्रतिच्छेदन तक जारी रखते हैं, - प्रतिच्छेदन बिंदु पर हमें अधिक कोण मिलते हैं, जिनमें से एक को संख्या 6 द्वारा दर्शाया जाता है। तब हमारे पास है: 1) ∠2 = ∠6, जैसा कि समानांतर a के अनुरूप है। और डी और सेकेंट सी; 2) ∠6 = ∠1, जैसा कि समानांतर c और b और छेदक a के लिए संगत है। इसलिए, ∠2 = ∠1. चूँकि ∠4 = ∠2, तो ∠4 = ∠1 भी। चूँकि ∠3 + ∠2 = rec. कोना। यह ध्यान में रखते हुए कि ∠1 की भुजाएँ किसी भी कोण 2, 3, 4 और 5 की भुजाओं के समानांतर हैं, हम पाते हैं:

यदि दो कोणों की भुजाएँ जोड़ीवार समानांतर हों, तो ये कोण या तो एक-दूसरे के बराबर होते हैं या कुल मिलाकर एक सीधा कोण बनाते हैं।

सवाल उठता है: क्या कोई संकेत स्थापित करना संभव है, जिसके उपयोग से इन 2 मामलों को अलग करना संभव होगा। इस प्रयोजन के लिए, हम कोण को किरण के घूर्णन के परिणाम के रूप में देखेंगे और प्रारंभिक स्थिति को किरणों की ऐसी व्यवस्था माना जाएगा जब वे ∠1 में समानांतर हों और कोण 2, 3, 4 में से किसी एक में हों। या 5, उदाहरण के लिए, रेखाओं बी और सी के साथ। फिर ड्राइंग में दिए गए तीर उस दिशा को इंगित करेंगे जिसमें वांछित कोण प्राप्त करने के लिए बीम को घुमाया जाना चाहिए। इस दिशा की तुलना घंटे की सुई की गति से करना सुविधाजनक है। हम देखते हैं कि ∠1 प्राप्त करने के लिए बीम AX (चित्र 41) को वामावर्त घुमाना आवश्यक है, ∠2 प्राप्त करने के लिए बीम को BY (BY || AX) वामावर्त घुमाना आवश्यक है, ∠3 प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक है बीम BZ को दक्षिणावर्त घुमाएँ और ∠5 - बीम को दक्षिणावर्त घुमाएँ। इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि समानांतर भुजाओं वाले कोण बराबर होते हैं यदि उनके घूमने की दिशाएँ समान हों, और यदि उनके घूमने की दिशाएँ विपरीत हों तो ऐसे कोण एक दूसरे के समकोण के पूरक होते हैं।

यह लेख समान्तर रेखाओं के बारे में और समांतर रेखाओं के बारे में है। सबसे पहले, समतल और अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा दी गई है, अंकन पेश किया गया है, समानांतर रेखाओं के उदाहरण और ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। इसके अलावा, सीधी रेखाओं की समानता के संकेतों और स्थितियों का विश्लेषण किया जाता है। निष्कर्ष में, सीधी रेखाओं की समानता को सिद्ध करने की विशिष्ट समस्याओं के समाधान दिखाए गए हैं, जो एक समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन.

समानांतर रेखाएँ - बुनियादी जानकारी।

परिभाषा।

एक समतल में दो रेखाएं कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में हों और उनमें कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो।

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा में "यदि वे एक ही विमान में स्थित हैं" खंड बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं हैं और एक ही विमान में नहीं हैं, समानांतर नहीं हैं, बल्कि तिरछी हैं।

यहां समांतर रेखाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। नोटबुक शीट के विपरीत किनारे समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं। वे सीधी रेखाएँ जिनके साथ घर की दीवार का तल छत और फर्श के तलों को काटता है, समानांतर हैं। समतल ज़मीन पर रेल की पटरियों को समानांतर रेखाओं के रूप में भी सोचा जा सकता है।

प्रतीक "" का प्रयोग समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए किया जाता है। अर्थात्, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो आप संक्षेप में a b लिख सकते हैं।

ध्यान दें कि यदि रेखाएं a और b समानांतर हैं, तो हम कह सकते हैं कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, और यह भी कि रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान दें जो विमान में समानांतर रेखाओं के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दिए गए रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दिए गए के समानांतर एकमात्र रेखा गुजरती है। इस कथन को एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इसे प्लैनिमेट्री के ज्ञात सिद्धांतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है), और इसे समानांतर रेखाओं का सिद्धांत कहा जाता है।

अंतरिक्ष के मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है। इस प्रमेय को ऊपर दिए गए समानांतर रेखाओं के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है (आप इसका प्रमाण ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तक में पा सकते हैं, जो ग्रंथ सूची में लेख के अंत में सूचीबद्ध है)।

अंतरिक्ष के मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है। इस प्रमेय को ऊपर दिए गए समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

रेखाओं की समांतरता - समांतरता के लक्षण एवं स्थितियाँ।

समांतर रेखाओं का संकेतसमानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त है, यानी ऐसी शर्त, जिसके पूरा होने पर समानांतर रेखाओं की गारंटी होती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य को बताने के लिए पर्याप्त है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ हैं।

आइए हम "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति" वाक्यांश का अर्थ समझाएं।

हम पहले ही समानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्तों से निपट चुके हैं। और "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त" क्या है? "आवश्यक" नाम से स्पष्ट है कि रेखाओं के समानांतर होने के लिए इस शर्त का पूरा होना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, यदि समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं। इस प्रकार, रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तएक शर्त है, जिसका पूरा होना समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक भी है और पर्याप्त भी। यानी एक ओर तो यह समानांतर रेखाओं का संकेत है और दूसरी ओर यह समानांतर रेखाओं का गुण है।

रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त बताने से पहले, कुछ सहायक परिभाषाओं को याद करना उपयोगी होगा।

छेदक रेखाएक रेखा है जो दी गई दो गैर-संपाती रेखाओं में से प्रत्येक को काटती है।

एक सेकेंट की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर आठ गैर-तैनाती रेखाएँ बनती हैं। कहा गया आड़े-तिरछे लेटना, संगतऔर एक तरफा कोने. आइए उन्हें ड्राइंग पर दिखाएं।

प्रमेय.

यदि किसी समतल पर दो सीधी रेखाएँ एक छेदक द्वारा काट दी जाती हैं, तो उनकी समानता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर हों, या संगत कोण बराबर हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो .

आइए हम समतल में समानांतर रेखाओं के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का एक चित्रमय चित्रण दिखाएं।

आप कक्षा 7-9 की ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में समानांतर रेखाओं के लिए इन स्थितियों के प्रमाण पा सकते हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियों का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में भी किया जा सकता है - मुख्य बात यह है कि दो रेखाएं और छेदक एक ही विमान में स्थित हैं।

यहां कुछ और प्रमेय दिए गए हैं जिनका उपयोग अक्सर रेखाओं की समानता को सिद्ध करने में किया जाता है।

प्रमेय.

यदि एक समतल में दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत से मिलता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी ऐसी ही स्थिति है।

प्रमेय.

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं। इस विशेषता का प्रमाण कक्षा 10 में ज्यामिति पाठों में माना जाता है।

आइए हम आवाज वाले प्रमेयों का वर्णन करें।

आइए हम एक और प्रमेय दें जो हमें समतल में रेखाओं की समानता सिद्ध करने की अनुमति देता है।

प्रमेय.

यदि किसी समतल में दो रेखाएँ किसी तीसरी रेखा पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए एक समान प्रमेय है।

प्रमेय.

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।

आइए हम इन प्रमेयों के अनुरूप चित्र बनाएं।

उपरोक्त वर्णित सभी प्रमेय, चिह्न तथा आवश्यक एवं पर्याप्त स्थितियाँ ज्यामिति की विधियों द्वारा सीधी रेखाओं की समानता सिद्ध करने के लिए सर्वथा उपयुक्त हैं। अर्थात् दो दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना आवश्यक है कि वे तीसरी रेखा के समानांतर हैं, या आड़े-तिरछे कोणों की समानता आदि दर्शाना आवश्यक है। इनमें से कई समस्याओं का समाधान हाई स्कूल में ज्यामिति पाठों में किया जाता है। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई मामलों में किसी समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए निर्देशांक की विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दी गई रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता।

लेख के इस भाग में, हम तैयार करेंगे समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्तेंएक आयताकार समन्वय प्रणाली में, इन रेखाओं को निर्धारित करने वाले समीकरणों के प्रकार के आधार पर, और हम विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान भी देंगे।

आइए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में समतल पर दो रेखाओं की समानता की स्थिति से शुरुआत करें। उनका प्रमाण रेखा के निर्देशन सदिश की परिभाषा और समतल पर रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय.

दो गैर-संपाती रेखाओं के एक समतल में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों, या इन रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा के दिशा सदिश अभिलंब के लंबवत हों। दूसरी पंक्ति का सदिश.

जाहिर है, समतल में दो रेखाओं की समानता की स्थिति (रेखाओं के दिशा सदिश या रेखाओं के सामान्य सदिश) या (एक रेखा के दिशा सदिश और दूसरी रेखा के सामान्य सदिश) तक कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि और रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, और और क्रमशः रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो समानांतर रेखाओं a और b के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है , या , या , जहां t कोई वास्तविक संख्या है। बदले में, सीधी रेखाओं ए और बी के निर्देशन और (या) सामान्य वैक्टर के निर्देशांक सीधी रेखाओं के ज्ञात समीकरणों से पाए जाते हैं।

विशेष रूप से, यदि विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में रेखा ए फॉर्म की रेखा के सामान्य समीकरण को परिभाषित करती है , और सीधी रेखा बी - , तो इन रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक और होते हैं, और रेखाओं a और b की समानता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाएगा।

यदि सीधी रेखा फॉर्म के ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है . इसलिए, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखाएं समानांतर हैं और ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखाओं के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और इसके विपरीत: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती सीधी रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा ए और रेखा बी फॉर्म के विमान पर रेखा के विहित समीकरणों को परिभाषित करती हैं और , या प्रपत्र के समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण और क्रमशः, तो इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक और होते हैं, और रेखाओं a और b के लिए समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण।

क्या रेखाएँ समानांतर हैं? और ?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण को फिर से लिखते हैं: . अब हम देख सकते हैं कि यह सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर है , और सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर है। ये सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या t नहीं है जिसके लिए समानता ( ). परिणामस्वरूप, समतल पर रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त पूरी नहीं होती है, अत: दी गई रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

उत्तर:

नहीं, रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ और समांतर रेखाएँ हैं?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में लाते हैं:। जाहिर है, रेखाओं के समीकरण समान नहीं हैं (इस मामले में, दी गई रेखाएं समान होंगी) और रेखाओं का ढलान बराबर है, इसलिए, मूल रेखाएं समानांतर हैं।

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प्रश्न 21.किसी दिए गए शीर्ष पर त्रिभुज का कोण क्या है?
उत्तर।शीर्ष A पर त्रिभुज ABC का कोण अर्ध-रेखाओं AB और AC से बना कोण है। शीर्ष B और C पर त्रिभुज के कोण भी निर्धारित किए जाते हैं।

प्रश्न 22.कौन से खंड समान कहलाते हैं?
उत्तर।यदि खंडों की लंबाई समान है तो उन्हें समान कहा जाता है।
सवाल 23. कौन से कोण बराबर कहलाते हैं?
उत्तर।कोणों को समान कहा जाता है यदि उनके माप समान हों।
प्रश्न 24.कौन से त्रिभुज समान कहलाते हैं?
उत्तर।त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ बराबर हों और संगत कोण भी बराबर हों। इस स्थिति में, संगत कोण संगत भुजाओं के विपरीत स्थित होने चाहिए।
प्रश्न 25.आकृति में समान त्रिभुजों के लिए संगत भुजाओं और कोणों को किस प्रकार चिह्नित किया गया है?
उत्तर।ड्राइंग में, समान खंडों को आमतौर पर एक, दो या तीन रेखाओं से और समान कोणों को एक, दो या तीन मेहराबों से चिह्नित किया जाता है।

प्रश्न 26.चित्र 23 का उपयोग करते हुए, दिए गए त्रिभुज के बराबर एक त्रिभुज के अस्तित्व की व्याख्या करें।
उत्तर।

मान लीजिए हमारे पास एक त्रिभुज ABC और एक किरण a है (चित्र 23, a)। आइए हम त्रिभुज ABC को इस प्रकार घुमाएँ कि इसका शीर्ष A किरण a की शुरुआत के साथ संपाती हो, शीर्ष B किरण a पर पड़ता है, और शीर्ष C किरण a और उसके विस्तार के संबंध में दिए गए आधे तल में हो। इस नई स्थिति में हमारे त्रिभुज के शीर्षों को A 1, B 1, C 1 (चित्र 23, b) द्वारा दर्शाया जाएगा।
त्रिभुज A 1 B 1 C 1 त्रिभुज ABC के बराबर है।
प्रश्न 27.कौन सी रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं? समांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए किस प्रतीक का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो रेखाएँ समानान्तर कहलाती हैं यदि वे प्रतिच्छेद न करें। रेखाओं की समानता दर्शाने के लिए चिन्ह का प्रयोग किया जाता है

प्रश्न 28.समांतर रेखाओं का मुख्य गुणधर्म बताइये।
उत्तर।किसी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर समतल में अधिकतम एक रेखा खींची जा सकती है।
प्रश्न 29.एक प्रमेय का उदाहरण दीजिए।
उत्तर।यदि कोई रेखा जो त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से नहीं गुजरती है, उसकी एक भुजा को काटती है, तो वह अन्य दो भुजाओं में से केवल एक को काटती है।

दो रेखाओं की समानता के लक्षण

प्रमेय 1. यदि एक छेदक रेखा की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर:

विकर्ण पर स्थित कोण बराबर होते हैं, या

संगत कोण बराबर होते हैं, या

तो, एक तरफा कोणों का योग 180° होता है

रेखाएं समानांतर हैं(चित्र .1)।

सबूत। हम खुद को केस 1 के सबूत तक ही सीमित रखते हैं।

मान लीजिए कि एक छेदक AB द्वारा रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन पर लेटे हुए कोण बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, ∠ 4 = ∠ 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।

मान लें कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और परिणामस्वरूप, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोण होगा। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, ∠ 4 त्रिभुज ABM का बाहरी कोना है, और ∠ 6 आंतरिक कोना है। त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ 4, ∠ 6 से बड़ा है, और यह स्थिति का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

परिणाम 1. एक ही रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं(अंक 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के केस 1 को सिद्ध किया है उसे विरोधाभास या बेतुकेपन को कम करके साबित करने की विधि कहा जाता है। इस विधि को इसका पहला नाम इसलिए मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में, एक धारणा बनाई जाती है जो साबित करने के लिए आवश्यक के विपरीत (विपरीत) होती है। इसे बेतुकेपन में कमी इसलिए कहा जाता है क्योंकि बनाई गई धारणा के आधार पर बहस करते हुए हम एक बेतुके निष्कर्ष (बेतुकेपन) पर पहुंचते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने और उसे स्वीकार करने के लिए मजबूर करता है जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

कार्य 1।किसी दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली और दी गई रेखा a के समानांतर एक रेखा बनाएं, जो बिंदु M से नहीं गुजरती है।

समाधान। हम रेखा a के लंबवत बिंदु M से होकर एक रेखा p खींचते हैं (चित्र 3)।

फिर हम बिंदु M से होकर रेखा p के लंबवत एक रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के परिणाम के अनुसार रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
किसी ऐसे बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, कोई हमेशा दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींच सकता है।.

समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत. किसी दिए गए बिंदु से होकर, किसी दी गई रेखा पर नहीं, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होती है।

इस अभिगृहीत से अनुसरण करने वाली समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें।

1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है (चित्र 4)।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएँ एक छेदक द्वारा काट दी जाती हैं, तो:

क्रॉसवाइज कोण बराबर हैं;

संगत कोण बराबर हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

परिणाम 2. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है।(चित्र 2 देखें)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का व्युत्क्रम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की स्थिति है। और प्रमेय 1 की स्थिति प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का व्युत्क्रम नहीं होता है, अर्थात यदि दिया गया प्रमेय सत्य है, तो व्युत्क्रम प्रमेय गलत हो सकता है।

आइए इसे ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण से समझाएं। इस प्रमेय को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं। व्युत्क्रम प्रमेय यह होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे ऊर्ध्वाधर हैं। और निःसंदेह, यह सच नहीं है। दो समान कोणों का ऊर्ध्वाधर होना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1दो समानान्तर रेखाओं को एक तिहाई द्वारा काट दिया जाता है। ज्ञातव्य है कि दो आंतरिक एकपक्षीय कोणों के बीच का अंतर 30° होता है। उन कोणों को खोजें.

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 शर्त को पूरा करता है।

इस लेख में, हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषाएँ देंगे, समानता के संकेत और स्थितियाँ निर्दिष्ट करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री की स्पष्टता के लिए, हम चित्रण और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का उपयोग करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

समतल में समांतर रेखाएँसमतल में दो सीधी रेखाएँ हैं जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा 2

3डी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएँ- त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं और जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए, "एक ही विमान में झूठ बोलना" स्पष्टीकरण बेहद महत्वपूर्ण है: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं हैं समानांतर, लेकिन प्रतिच्छेदी।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए प्रतीक ∥ का उपयोग करना आम बात है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो इस स्थिति को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a ‖ b . मौखिक रूप से, रेखाओं की समानता को इस प्रकार दर्शाया गया है: रेखाएँ a और b समानांतर हैं, या रेखा a, रेखा b के समानांतर है, या रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक कथन तैयार करें जो अध्ययनाधीन विषय में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

किसी ऐसे बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होती है। इस कथन को प्लानिमेट्री के ज्ञात सिद्धांतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

जब अंतरिक्ष की बात आती है, तो प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 1

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होगी।

इस प्रमेय को उपरोक्त अभिगृहीत (ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर सिद्ध करना आसान है।

समांतरता का संकेत एक पर्याप्त स्थिति है जिसके अंतर्गत समांतर रेखाओं की गारंटी होती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, समतल और अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ हैं। आइए समझाएं: आवश्यक का अर्थ है वह शर्त, जिसका पूरा होना समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक है; यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

संक्षेप में, रेखाओं की समानता के लिए एक आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त एक ऐसी स्थिति है जिसका पालन रेखाओं के एक दूसरे के समानांतर होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है। एक ओर, यह समानता का संकेत है, दूसरी ओर, समानांतर रेखाओं में निहित गुण है।

आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का सटीक सूत्रीकरण देने से पहले, हम कुछ और अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा 3

छेदक रेखाएक रेखा है जो दी गई दो गैर-संपाती रेखाओं में से प्रत्येक को काटती है।

दो सीधी रेखाओं को काटते हुए, छेदक रेखा आठ गैर-विस्तारित कोण बनाती है। आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम क्रॉस-झूठ, संगत और एक तरफा जैसे प्रकार के कोणों का उपयोग करेंगे। आइए उन्हें चित्रण में प्रदर्शित करें:

प्रमेय 2

यदि किसी समतल पर दो रेखाएँ एक छेदक रेखा को काटती हैं, तो दी गई रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर हों, या संगत कोण बराबर हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 के बराबर हो डिग्री.

आइए हम समतल पर समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को ग्राफिक रूप से चित्रित करें:

इन स्थितियों का प्रमाण ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये स्थितियाँ त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए भी लागू होती हैं, बशर्ते कि दो रेखाएँ और छेदक एक ही तल के हों।

आइए हम कुछ और प्रमेय बताएं जिनका उपयोग अक्सर इस तथ्य को साबित करने में किया जाता है कि रेखाएं समानांतर हैं।

प्रमेय 3

एक समतल में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यह विशेषता ऊपर उल्लिखित समांतरता के सिद्धांत के आधार पर सिद्ध होती है।

प्रमेय 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

विशेषता के प्रमाण का अध्ययन 10वीं कक्षा के ज्यामिति कार्यक्रम में किया जाता है।

हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण देते हैं:

आइए हम प्रमेयों की एक और जोड़ी को इंगित करें जो रेखाओं की समानता को सिद्ध करती है।

प्रमेय 5

एक तल में, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समान सूत्र तैयार करें।

प्रमेय 6

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए स्पष्ट करें:

उपरोक्त सभी प्रमेय, संकेत और स्थितियाँ ज्यामिति की विधियों द्वारा रेखाओं की समानता को आसानी से सिद्ध करना संभव बनाती हैं। अर्थात्, रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संगत कोण बराबर हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित कर सकता है कि दो दी गई रेखाएँ तीसरे पर लंबवत हैं, इत्यादि। लेकिन हम ध्यान दें कि किसी समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता

किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा संभावित प्रकारों में से एक विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। इसी प्रकार, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दी गई एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए, दी गई रेखाओं का वर्णन करने वाले समीकरण के प्रकार के आधार पर, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें लिखें।

आइए समतल में समानांतर रेखाओं की स्थिति से शुरुआत करें। यह रेखा के दिशा सदिश और समतल में रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषाओं पर आधारित है।

प्रमेय 7

दो गैर-संपाती रेखाओं के एक समतल पर समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दी गई रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों, या दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा के दिशा सदिश लंबवत हों दूसरी पंक्ति का सामान्य वेक्टर.

यह स्पष्ट हो जाता है कि समतल पर समांतर रेखाओं की स्थिति संरेख सदिशों की स्थिति या दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति पर आधारित होती है। अर्थात्, यदि a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं;

और n b → = (n b x , n b y) रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो हम उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y या n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y या a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, जहां t कोई वास्तविक संख्या है। दिशात्मक या प्रत्यक्ष सदिशों के निर्देशांक रेखाओं के दिए गए समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए मुख्य उदाहरणों पर विचार करें।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; रेखा बी - ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0। तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (A 1 , B 1) और (A 2 , B 2) होंगे। हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 = टी ए 2 बी 1 = टी बी 2

1. सीधी रेखा a का वर्णन y = k 1 x + b 1 के ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण द्वारा किया जाता है। सीधी रेखा b - y = k 2 x + b 2। तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (k 1 , - 1) और (k 2 , - 1) होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

के 1 = टी के 2 - 1 = टी (- 1) ⇔ के 1 = टी के 2 टी = 1 ⇔ के 1 = के 2

इस प्रकार, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर समानांतर रेखाएं ढलान गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं, तो दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और विपरीत कथन सत्य है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएं a और b समतल पर रेखा के विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं: x - x 1 a x = y - y 1 a y और x - x 2 b x = y - y 2 b y या पैरामीट्रिक समीकरण समतल पर रेखा का: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y और x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y।

तब दी गई रेखाओं के दिशा सदिश क्रमशः होंगे: a x , a y और b x , b y , और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

दो पंक्तियाँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 = 0 और x 1 2 + y 5 = 1। आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या वे समानांतर हैं।

समाधान

हम एक सीधी रेखा के समीकरण को सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में लिखते हैं:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

हम देखते हैं कि n a → = (2 , - 3) रेखा 2 x - 3 y + 1 = 0 का सामान्य सदिश है, और n b → = 2 , 1 5 रेखा x 1 2 + y 5 का सामान्य सदिश है = 1 .

परिणामी सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि t का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए समानता सत्य होगी:

2 = टी 2 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = 1 5

इस प्रकार, समतल पर रेखाओं की समांतरता की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त पूरी नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समांतर नहीं हैं।

उत्तर:दी गई रेखाएं समानांतर नहीं हैं.

उदाहरण 2

दी गई पंक्तियाँ y = 2 x + 1 और x 1 = y - 4 2। क्या वे समानांतर हैं?

समाधान

आइए सीधी रेखा x 1 = y - 4 2 के विहित समीकरण को ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में बदलें:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

हम देखते हैं कि रेखाओं y = 2 x + 1 और y = 2 x + 4 के समीकरण समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा होता, तो रेखाएँ समान होती) और रेखाओं की ढलानें समान हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

आइए समस्या को अलग ढंग से हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या दी गई रेखाएँ मेल खाती हैं। हम रेखा y \u003d 2 x + 1 के किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1) , इस बिंदु के निर्देशांक रेखा x 1 \u003d y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं मेल नहीं खातीं.

अगला कदम दी गई रेखाओं के लिए समानता की स्थिति की पूर्ति को निर्धारित करना है।

रेखा y = 2 x + 1 का सामान्य सदिश सदिश n a → = (2 , - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा का दिशा सदिश b → = (1 , 2) है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है:

एन ए → , बी → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

इस प्रकार, सदिश लंबवत हैं: यह हमें मूल रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त की पूर्ति को दर्शाता है। वे। दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

उत्तर:ये रेखाएं समानांतर हैं.

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त शर्त का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संपाती रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों।

वे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के दिए गए समीकरणों के लिए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दी गई रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक निर्धारित करने के साथ-साथ उनकी संरेखता की स्थिति की जाँच करके पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) क्रमशः रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तो उनके समानांतर होने के लिए, अस्तित्व ऐसी वास्तविक संख्या का t आवश्यक है, ताकि समानता बनी रहे:

ए → = टी बी → ⇔ ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई ए जेड = टी बी जेड

उदाहरण 3

दी गई पंक्तियाँ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 और x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ। इन रेखाओं की समानता सिद्ध करना आवश्यक है।

समाधान

समस्या की स्थितियाँ अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण और अंतरिक्ष में दूसरी सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। दिशा सदिश ए → और b → दी गई रेखाओं के निर्देशांक हैं: (1 , 0 , - 3) और (2 , 0 , - 6) .

1 = टी 2 0 = टी 0 - 3 = टी - 6 ⇔ टी = 1 2, फिर ए → = 1 2 बी →।

अत: अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त पूरी हो जाती है।

उत्तर:दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

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