दूसरे क्रम के वक्रों के गुण

दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय

यदि समीकरण में F( एक्स, आप) = 0 समतल फलन F पर रेखाएँ ( एक्स, आप) दो चरों में कुछ अंश का बहुपद है, तो ऐसी रेखा कहलाती है बीजगणितीय, बहुपद की घात कहलाती है क्रम मेंकुटिल। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा पहले क्रम की बीजगणितीय रेखा है। दूसरे क्रम की पंक्तियों पर विचार करें।

दूसरे क्रम के वक्रों में दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शामिल हैं। ये वक्र अनुप्रयुक्त प्रश्नों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

परिभाषा 1.

अंडाकारएक विमान में बिंदुओं का स्थान कहा जाता है, जिसकी दूरी का योग एक ही विमान से संबंधित दो निश्चित बिंदुओं के लिए होता है और जिसे फॉसी कहा जाता है, फॉसी के बीच की दूरी से अधिक स्थिर मूल्य होता है।

आइए समीकरण खोजेंअंडाकार ऐसा करने के लिए, हम समन्वय प्रणाली लेते हैं ताकि ओएक्स अक्ष फॉसी से होकर गुजरे, और ओए अक्ष फॉसी के बीच की दूरी को आधे में विभाजित करता है। माना F1 और F 2 के बीच की दूरी 2 . है साथ, और वर्तमान बिंदु M से दूरियों का योग ( एक्स, पर) अंडाकार से foci 2 . है एक: आर 1 + आर 2 = 2एक, 2एक> 2साथ.

तब foci के निर्देशांक F 1 ( साथ, 0) और एफ 2 (- साथ, 0), बिंदु M से दूरी ( एक्स, पर) foci के बराबर हैं, क्रमशः

आर 1 = , आर 2 = .

परिभाषा से हम दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं

+ = 2एक

इस समीकरण को सरल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

यहाँ डालना एक 2 – साथ 2 = बी 2 , हम समीकरण प्राप्त करते हैं

, (1)

जिसे कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.

आइए इस समीकरण का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त के आकार का पता लगाएं।

1) यह देखना आसान है कि यदि बिंदु ( एक्स, पर) दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो अंक ( -एक्स, पर), (एक्स, –पर) , (–एक्स, –पर), अर्थात। दीर्घवृत्त निर्देशांक अक्षों और मूल के बारे में सममित है।

2) हम समीकरण (1) को के रूप में लिखते हैं जहाँ से यह इस प्रकार है एक्सÎ[– एक; एक], आपÎ [– बी, बी].

3) सममिति के कारण, रेखा की प्रकृति का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है एक्सÎ.

कब एक्स 0 से तक बढ़ता है एक, से घटता है बी 0 करने के लिए, क्योंकि पर¢ = < 0 для всех एक्सн और इसे निर्देशांक अक्षों और मूल बिंदु के संबंध में सममित रूप से परावर्तित करते हैं।

निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन के बिंदु A, B, C, D कहलाते हैं दीर्घवृत्त के शीर्ष, बिंदु O कहा जाता है केंद्रदीर्घवृत्त, खंड AO = OS = एकबुलाया बड़ासेमियाक्सिस, और ओबी \u003d ओडी \u003d बी – छोटादीर्घवृत्त का अर्ध-अक्ष, दूरी आर 1 और आर 2 दीर्घवृत्त के बिंदु से नाभि तक कहलाते हैं फोकल त्रिज्या.

यदि हम दीर्घवृत्त के फोकस को y-अक्ष पर रखते हैं, तो दीर्घवृत्त समीकरण का रूप बिल्कुल समीकरण (1) के समान होगा, केवल अर्ध-प्रमुख अक्ष होगा बी. भविष्य में, हम इस बात से सहमत होंगे कि प्रमुख अर्ध-अक्ष उस अक्ष से मेल खाती है जिस पर दीर्घवृत्त का केंद्र स्थित है और, इसके विपरीत, बड़े पैरामीटर के संबंध में दीर्घवृत्त के समीकरण से। एकया बीयह निर्धारित करना संभव है कि दीर्घवृत्त का केंद्र किस समन्वय अक्ष पर स्थित है।

व्यवहार में, दिए गए विहित समीकरण के अनुसार आप इस तरह से एक अंडाकार बना सकते हैं: मूल से बाएं और दाएं ओएक्स अक्ष के साथ, लंबाई के साथ अलग सेगमेंट सेट करें एक, और ओएस अक्ष के साथ ऊपर और नीचे - लंबाई खंड बी. प्राप्त शीर्ष बिंदुओं के माध्यम से एक चिकनी बंद अंडाकार रेखा खींचें।

यदि एक एक= बी= , तब साथ= 0, दीर्घवृत्त का फोकस एक बिंदु में विलीन हो जाता है - निर्देशांक की उत्पत्ति - और दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है

एक्स 2 +पर 2 = एक 2

मूल और त्रिज्या पर केंद्रित एक.

परिभाषा 2.

अतिशयोक्तिएक विमान में बिंदुओं का स्थान कहा जाता है, एक ही विमान के दो दिए गए बिंदुओं की दूरी के बीच के अंतर का मापांक, जिसे फॉसी कहा जाता है, एक स्थिर मान है, जो फॉसी के बीच की दूरी से कम है।

यदि आप अतिपरवलय की नाभियों को OX अक्ष पर इस प्रकार रखते हैं कि मूल उनके बीच में हो, तो नाभियों के बीच की दूरी को निरूपित करें। साथ, दूरी अंतर मापांक - 2 एक, 2एक> 2साथ, तो अतिपरवलय के प्रतीकात्मक समीकरण का रूप होगा | आर 1 – आर 2 | = 2एक, और समन्वय रूप में इसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

½ – ½=2 एक.

इस समीकरण को उसी तरह बदलना जैसे दीर्घवृत्त समीकरण के मामले में, और निरूपित करना बी 2 = साथ 2 –एक 2, हमें मिलता है विहित समीकरणअतिशयोक्ति

, (2).

अतिपरवलय के रूप की जांच करने पर, हम पाते हैं कि

1) वक्र कुल्हाड़ियों और मूल के बारे में सममित है, इसलिए यह पहली तिमाही में स्थित वक्र के हिस्से के आकार का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है और जो फ़ंक्शन का ग्राफ है , एक्सÎ [ एक, +¥), ;

2) OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (- एक, 0) और ( एक, 0) – इन बिन्दुओं को कहा जाता है अतिपरवलय के शीर्ष; वक्र y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है;

3) सीधा पर= हैं स्पर्शोन्मुखअतिशयोक्ति। जब यह बदलता है एक्ससे एकअनंत समारोह के लिए 0 से अनंत तक बढ़ता है, क्योंकि पर¢ = > 0 सभी के लिए एक्सÎ[ एक, +¥). साथ ही, वक्र का यह भाग उत्तल है: पर¢¢= >0 बजे एक्सÎ[ एक, +¥). इन अध्ययनों के अनुसार पहली तिमाही में हाइपरबोला के एक हिस्से को चित्रित करने के बाद, हम इस रेखा को अक्षों के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं और शेष तिमाहियों पर निर्देशांक की उत्पत्ति, हम आवश्यक हाइपरबोला प्राप्त करते हैं।

व्यवहार में, दिए गए विहित समीकरण के अनुसार, एक अतिपरवलय इस तरह बनाया जाता है।

1. सबसे पहले, एक अक्षीय आयत बनाया गया है: बाईं ओर और मूल के दाईं ओर कुछ दूरी पर एक OS अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचना, और ऊपर और नीचे से कुछ दूरी पर बीनिर्देशांक की उत्पत्ति से OX अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ होती हैं।

2. वे रेखाएँ जिन पर प्राप्त आयत के विकर्ण स्थित हैं, अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी हैं।

3. OX अक्ष के साथ आयत की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु अतिपरवलय के शीर्ष हैं। बाएं और दाएं आधे तल में कोने से लेकर स्पर्शोन्मुख तक, हाइपरबोला की शाखाएं खींची जाती हैं।

अंक ए(- एक, 0) और ( एक, 0) कहलाते हैं चोटियोंअतिपरवलय, बिंदु O (मूल) - केंद्रअतिशयोक्ति। खंड OA = OS = एकबुलाया वास्तविक अर्ध-अक्षअतिपरवलय, खंड OB = OD = बी – काल्पनिक धुरी. इस स्थिति में, निर्देशांक अक्षों को क्रमशः वास्तविक अक्ष (इसका अतिपरवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है) और काल्पनिक अक्ष (इसका अतिपरवलय प्रतिच्छेद नहीं करता) भी कहा जाता है। दूरी आर 1 और आर 2 अतिपरवलय के बिंदु से foci तक कहलाते हैं फोकल त्रिज्या.

यदि अतिपरवलय का नाभि y-अक्ष पर रखा जाए, तो इसका समीकरण इस प्रकार दिखाई देगा

, या , (3).

कहाँ पे एक- काल्पनिक अर्ध-अक्ष, बी- वैध। अतिपरवलय (2) और (3) कहलाते हैं संयुग्मित. उनके पास समान asymptotes हैं।

इस प्रकार, हाइपरबोला के विहित समीकरण के अनुसार, यह निर्धारित करना आसान है कि कौन सा अक्ष वास्तविक है (अक्ष, चर का वर्ग जिसमें से एक प्लस चिह्न के साथ समीकरण में प्रवेश करता है), और कौन सा काल्पनिक है (वर्ग संबंधित चर का ऋण चिह्न के साथ प्रवेश करता है)।

यदि एक एक = बी, अतिशयोक्ति कहलाती है समभुज(समबाहु), इसके स्पर्शोन्मुख एक दूसरे के लंबवत हैं।

परिभाषा 3.

परवलयकिसी दिए गए बिंदु (फोकस) से समान दूरी पर और एक ही तल में स्थित एक सीधी रेखा (दिशा) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का स्थानपथ कहलाता है।

आइए इस परिभाषा का उपयोग करके परवलय समीकरण खोजें।

होने देना आरफोकस F और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी है डी. आइए हम समन्वय प्रणाली की व्यवस्था करें ताकि डायरेक्ट्री ओए अक्ष के समानांतर हो, फोकस ओएक्स अक्ष पर हो, निर्देशांक की उत्पत्ति फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित हो। मुझे यह करने दो( एक्स, पर) - परवलय का वर्तमान बिंदु, फोकस F(,0), डायरेक्ट्रिक्स समीकरण एक्स=– , बिंदु M का दिशा पर प्रक्षेपण बिंदु K(– , एक्स) फिर परवलय का प्रतीकात्मक समीकरण |FM| = |एमके| समन्वय रूप में रूप लेता है

परिवर्तन के बाद, हम प्राप्त करते हैं पर 2 = 2पिक्सल.

यदि परवलय का फोकस बिंदु F(– , 0) पर रखा जाता है, और परवलय को एक सीधी रेखा के रूप में लिया जाता है एक्स= , तो समीकरण का रूप ले लेगा पर 2 = –2पिक्सल. इसीलिए परवलय का विहित समीकरणरूप का समीकरण कहलाता है

पर 2 = 2पिक्सल, (4)

कहाँ पे आरएक मनमाना संकेत पैरामीटर है।

हम परवलय के स्थान की उसके विहित समीकरण (4) के अनुसार जाँच करते हैं।

1) मूल बिन्दु (0, 0) से होकर गुजरती है।

2) वक्र OX अक्ष के बारे में सममित है: अंक ( एक्स, पर) तथा ( एक्स, –पर) परवलय से संबंधित हैं। OX अक्ष कहा जाता है परवलय अक्ष.

3) समरूपता के कारण, यह अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है पर> 0. फ़ंक्शन पर विचार करें, के लिए आर> 0 इस समारोह का दायरा एक्सओ इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं पर¢ = , पर= .For आर>0 यह फ़ंक्शन बढ़ जाता है एक्सО(0, +¥), घटते-बढ़ते एक्सн(-¥, 0), और बिंदु (0, 0) पर न्यूनतम है। के लिये आर < 0, наоборот, при एक्सн(0, +¥) घटते-बढ़ते एक्सО(–¥, 0) बढ़ता है, बिंदु (0, 0) पर यह अपने अधिकतम पर पहुँच जाता है। बिंदु (0, 0) कहा जाता है परवलय के ऊपर. पर आर>0 और पर पर¢¢ < 0, значит, кривая выпуклая.

4) इन अध्ययनों के आधार पर निम्नलिखित वक्र उभरता है:

यदि परवलय का फोकस ओए अक्ष पर रखा जाता है, तो डायरेक्ट्रीक्स को ओएक्स अक्ष के समानांतर खींचा जाता है, मूल अभी भी फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित है, तो हम फॉर्म में परवलय समीकरण प्राप्त करते हैं

एक्स 2 = 2आरयू, (5)

जिसे परवलय का विहित समीकरण भी कहा जाता है। इस परवलय में निर्देशांक की उत्पत्ति इसके शीर्ष के रूप में होती है, ओए अक्ष इसकी समरूपता की धुरी के रूप में; पर आर>0 परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, पर आर< 0 – вниз.

दूसरे क्रम के वक्रों के गुण

सभी माने गए वक्रों के लिए, सामान्य विशेषताएँ: केंद्र।

लैटिन में फोकस का मतलब होता है भट्ठी. द्वितीय कोटि के वक्रों की नाभियाँ उनसे संबंधित हैं ऑप्टिकल गुण

कल्पना कीजिए कि एक दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय फॉसी वाली धुरी के चारों ओर घूमता है। इस मामले में, एक सतह बनती है, जिसे क्रमशः एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलयिक कहा जाता है। यदि इस प्रकार की एक वास्तविक सतह को एक अमलगम के साथ (फोसी की तरफ से) कवर किया जाता है, तो क्रमशः एक अण्डाकार, अतिपरवलयिक, परवलयिक दर्पण प्राप्त होगा। भौतिकी से ज्ञात प्रकाश परावर्तन के नियम हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं:

1) यदि प्रकाश स्रोत अण्डाकार दर्पण के किसी एक फोकस पर रखा जाता है, तो दर्पण से परावर्तित होने वाली उसकी किरणें दूसरे फोकस पर एकत्रित होंगी।

जादूगरों ने इस संपत्ति का इस्तेमाल किया: उन्होंने एक अण्डाकार दर्पण के एक फोकस में एक प्रकाश स्रोत रखा, दूसरे में - एक ज्वलनशील पदार्थ जो बिना प्रज्वलित हुआ दृश्य कारणजिसने दर्शकों को चकित कर दिया। इसलिए, "फोकस" शब्द को वह अर्थ प्राप्त हुआ है जिसमें हम इसका उपयोग करने के आदी हैं।

2) यदि किसी प्रकाश स्रोत को परवलयिक दर्पण के फोकस पर रखा जाता है, तो उसकी किरणें परवलय की धुरी के समानांतर जाती हैं। यह सर्चलाइट डिवाइस का आधार है।

3) यदि प्रकाश स्रोत अतिपरवलयिक दर्पण के किसी एक फोकस पर रखा जाता है, तो उसकी किरणें इस प्रकार जाएँगी जैसे वे दूसरे फोकस से आ रही हों।

फॉसी के साथ, दूसरे क्रम के वक्रों के विशिष्ट घटक डायरेक्ट्रिक्स और सनकी हैं।

परिभाषा 4.

सीधा डीबुलाया स्कूल की संचालिकावक्र यदि दूरी अनुपात डीवक्र पर किसी भी बिंदु से लीदूरी बनाने के लिए आरइस बिंदु से वक्र के फोकस F तक एक स्थिर मान होता है। मान कहा जाता है सनककुटिल।

दीर्घवृत्त के दो निर्देश हैं डी 1 और डी 2 दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है और दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष (मामूली एक के समानांतर) के लंबवत है।

हाइपरबोला में भी दो डायरेक्ट्रीक्स होते हैं, वे हाइपरबोला की शाखाओं के बीच वास्तविक अक्ष (काल्पनिक अक्ष के समानांतर) के लंबवत स्थित होते हैं।

दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के प्रत्यक्ष समीकरणों का रूप होता है, जहाँ एक -प्रमुख या वास्तविक अर्ध-अक्ष; वक्र के केंद्र के एक ही तरफ स्थित दिशा और फोकस को एक दूसरे के अनुरूप कहा जाता है। स्थिरांक वक्र के बिंदु से संबंधित फॉसी और डायरेक्ट्रिक्स की दूरी का अनुपात है।

एक परवलय का एक फोकस और एक परवलय की धुरी के लंबवत होता है। फोकस के स्थान के आधार पर डायरेक्ट्रिक्स समीकरणों का रूप होता है।

दूसरे क्रम के वक्र की विलक्षणता इस वक्र के आकार की विशेषता है। एक दीर्घवृत्त के लिए, विलक्षणता e< 1, для гиперболы e >1, परवलय में e = 1 है, वृत्त में e = 0 है। यदि एक- प्रमुख या वास्तविक अर्ध-अक्ष, साथफोकल लंबाई का आधा है, तो विलक्षणता है। एक ही फोकस के साथ दूसरे क्रम के वक्र के आकार की निर्भरता और विलक्षणता पर निर्देश चित्र में दिखाया गया है।

व्याख्यान 8. दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।

व्याख्यान योजना

8.1. वृत्त, वृत्त समीकरण का अध्ययन।

8.2. दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की व्युत्पत्ति।

8.3. अतिपरवलय और परवलय, उनके विहित समीकरण।

8.4. दूसरे क्रम की पंक्तियाँ। दूसरे क्रम के वक्रों को विहित रूप में घटाना।

8.5. दूसरे क्रम के वक्र का ध्रुवीय समीकरण।

परिधिसमतल में सभी बिंदुओं का समूह है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर दूरी पर दिए गए बिंदु (वृत्त का केंद्र) से समान दूरी पर हैं।

चित्र 8.1. वृत्त।

होने देना से(एसी) वृत्त का केंद्र है, आरवृत्त की त्रिज्या है, एम(एक्स, वाई) वृत्त का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 8.1)। एक सर्कल की परिभाषा के अनुसार। आइए इस समानता को निर्देशांक में व्यक्त करें: . आइए दोनों पक्षों को चौकोर करें:

. (8.1)

इस प्रकार, वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (8.1) को संतुष्ट करते हैं। आइए हम दिखाते हैं कि वृत्त पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक समीकरण (8.1) को संतुष्ट नहीं करते हैं।

दरअसल, अगर बिंदु एम- सर्कल के अंदर, फिर दूरी, यानी। , और यदि बिंदु एम- सर्कल के बाहर, फिर, यानी। . नतीजतन, समीकरण (8.1) सर्कल पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, न कि सर्कल पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक से नहीं। इसलिए, समीकरण (81) वृत्त समीकरण है।

यदि हम कोष्ठकों को समीकरण (8.1) में खोलते हैं, तो हमें समीकरण प्राप्त होता है

कहाँ पे , , .

यदि एक , तो समीकरण (8.2) एक वृत्त को परिभाषित करता है।

यदि एक , तो समीकरण (8.2) बिंदु निर्धारित करता है।

यदि एक , तो समीकरण (8.2) का कोई ज्यामितीय अर्थ नहीं है। इस मामले में, कोई एक काल्पनिक वृत्त की बात करता है।

चित्र 8.2. एक वृत्त जिसमें

विहित समीकरण

समीकरण (8.1) को वृत्त के केंद्र में नई समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति रखकर सरल बनाया जा सकता है (चित्र 8.2)। तब इसका समीकरण इस तरह दिखेगा:

इस समीकरण को कहा जाता है वृत्त का विहित समीकरण , अर्थात। सरलतम रूप का समीकरण।

अंडाकार समतल के सभी बिंदुओं के समुच्चय को कहा जाता है, दो दिए गए बिंदुओं F1 और F 2 की दूरी का योग, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है (इसे निरूपित किया जाता है) 2ए) और foci के बीच की दूरी से बड़ा।

दीर्घवृत्त का केंद्र , इसलिये दीर्घवृत्त इस बिंदु के बारे में सममित है।

लंबाई |एफ 1 एफ 2 | बुलाया फोकल लम्बाई , आइए इसे निरूपित करें 2s, और इस दूरी के आधे हिस्से को कहा जाता है आधा फोकल लंबाई , यह के बराबर है साथ.

आइए दीर्घवृत्त के केंद्र को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लें, भुज अक्ष के लिए हम नाभियों से गुजरने वाली सीधी रेखा लेंगे (चित्र 8.3)।

चित्र 8.3। अंडाकार

तब foci के निर्देशांक F 1 (-c; 0) होंगे, F 2 (c; 0) होंगे। एक दीर्घवृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला कोई भी रेखाखंड, यदि वह केंद्र से होकर गुजरता है, कहलाता है अंडाकार व्यास . सबसे बड़ा व्यास नाभियों से होकर गुजरता है, इस व्यास A 1 A 2 को कहा जाता है दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी . दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई | ए 1 ए 2 |=2ए. दरअसल, एक दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार |एफ 1 ए 2 |+|एफ 2 ए 2 |=2ए, लेकिन |एफ 1 ए 2 ||=|ओए 2 |+सी, |एफ 2 ए 2 |||=|ओए 2 |-सी. तब हमें मिलता है 2|ओए 2 |=2ए,या |OA 2 |=a. उसी प्रकार |ए 1 ओ|=ए, फलस्वरूप, |ए 1 ए 2 |=2ए. संख्या एकबुलाया सेमीमेजर एक्सिस . दीर्घवृत्त का सबसे छोटा व्यास सबसे बड़े के लंबवत होता है, इसे कहते हैं अंडाकार की छोटी धुरी और द्वारा निरूपित 2 बी, इसलिए |बी 1 बी 2 |=2बी. संख्या बीबुलाया अर्ध-मामूली धुरी . धुरी के सिरे, यानी। अंक ए 1, ए 2, बी 1, बी 2दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। दीर्घवृत्त का मुख्य गुण शीर्ष B 1 और B 2 पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, शीर्ष B 2 के लिए हम प्राप्त करते हैं |एफ 1 बी 2 |+|एफ 2 बी 2 |=2a, और तबसे | एफ 1 बी 2 |=|एफ 2 बी 2 |, फिर 2|एफ 2 बी 2 |=2ए, या |एफ 2 बी 2 |=a. तब आयताकार OF 2 B 2 से हमें एक महत्वपूर्ण संबंध प्राप्त होता है:

(8.4)

किसी दिए गए पर दीर्घवृत्त का आकार एककेवल foci के बीच की दूरी पर निर्भर करता है, अर्थात। से साथ. जब फॉसी मूल के साथ आता है और मेल खाता है, तो अंडाकार धीरे-धीरे एक सर्कल में बदल जाएगा। इसके विपरीत, यदि नाभियों को मूल से दूर ले जाया जाता है, तो दीर्घवृत्त धीरे-धीरे चपटा हो जाता है और एक सीधी रेखा खंड A 1 A 2 में बदल जाता है। एक दीर्घवृत्त के संपीड़न की डिग्री इसके द्वारा निर्धारित की जाती है सनक , जिसे भिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

एक दीर्घवृत्त के लिए, उत्केंद्रता 0 से 1 तक भिन्न हो सकती है, और एक वृत्त के लिए, एक दीर्घवृत्त के लिए जो एक सीधी रेखा में परिवर्तित हो जाता है, .

दीर्घवृत्त का विहित समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम दीर्घवृत्त M(x, y) का एक मनमाना बिंदु लेते हैं। फिर परिभाषा के अनुसार |एमएफ 1 |+|एमएफ 2 |=2a. आइए इस समानता को निर्देशांक में व्यक्त करें:

समीकरण (8.6) को सरल बनाने के लिए, हमें इसका दो बार वर्ग करना होगा और समान पदों को लाना होगा। परिणाम एक समीकरण होगा

या द्वारा विभाजित करने के बाद -

एक अंडाकार का निर्माण, इसकी परिभाषा के अनुसार, लंबाई के धागे का उपयोग करके किया जा सकता है 2ए, फॉसी पर सिरों के साथ तय किया गया। धागे को पेंसिल की नोक से जोड़कर, और इसे इस तरह घुमाते हुए कि धागा हर समय तना हुआ रहे, हम टिप को एक दीर्घवृत्त बना देंगे।

अतिशयोक्तिसमतल के सभी बिंदुओं के समुच्चय को कहा जाता है, जिसकी दूरी में दो दिए गए बिंदुओं के अंतर का निरपेक्ष मान और, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है (इसे निरूपित किया जाता है) 2ए) और foci के बीच छोटी दूरी ( 2s).

फॉसी के बीच की दूरी के मध्य को कहा जाता है अतिपरवलय का केंद्र , क्योंकि अतिपरवलय इस बिंदु के संबंध में सममित है। लंबाई - कहा जाता है फोकल लम्बाई , और इस दूरी का आधा आधा फोकल लंबाई . हाइपरबोला के केंद्र को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लेना सुविधाजनक है, और फॉसी से गुजरने वाली सीधी रेखा को भुज अक्ष के रूप में लें (चित्र 8.4)।

अतिपरवलय के दो बिंदुओं को जोड़ने और केंद्र से गुजरने वाले किसी भी खंड को कहा जाता है अतिपरवलय व्यास . सबसे छोटा व्यास x-अक्ष पर स्थित है; इस व्यास को कहा जाता है वास्तविक धुरी अतिशयोक्ति, और। अतिशयोक्ति की परिभाषा के अनुसार वास्तविक , लेकिन , , तो , या . इसी तरह, इसलिए।

नंबर कहा जाता है वास्तविक अर्ध-अक्ष , अंक और कहा जाता है अतिपरवलय के शीर्ष . रिश्ता कहलाता है अतिशयोक्तिपूर्ण विलक्षणता , और अतिपरवलय के लिए।

चित्र 8.4. अतिशयोक्ति

आज्ञा देना अतिपरवलय का एक मनमाना बिंदु हो। फिर परिभाषा के अनुसार , या समन्वय रूप में

समीकरण (8.8), दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते समय किए गए परिवर्तनों के समान, रूप में कम किया जा सकता है:

.

निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं अतिपरवलय का विहित समीकरण :

प्रत्यक्ष हैं अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शोन्मुख . ये वे रेखाएँ हैं जो हाइपरबोला अनंत पर पहुँचती हैं लेकिन प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। . से ज्यामितीय बिंदुदेखने का - अतिपरवलय के शीर्ष से प्राप्त स्पर्शोन्मुख की कोटि। एक अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख का निर्माण करने के लिए, यह सलाह दी जाती है कि पहले भुजाओं के साथ एक आयत का निर्माण करें और समन्वय अक्षों के समानांतर और मूल पर केंद्रित हो (ऐसे आयत को अतिपरवलय का मुख्य आयत कहा जाता है)। अंक और निर्धारित करें काल्पनिक धुरी अतिशयोक्ति।

यदि समीकरण (8.9) में, तो अतिपरवलय कहलाता है समद्विबाहु . इसके स्पर्शोन्मुख एक समकोण बनाते हैं। यदि हम अक्षों के लिए स्पर्शोन्मुख लेते हैं, तो समीकरण रूप लेगा। इस प्रकार, एक समद्विबाहु अतिपरवलय एक प्रतिलोम आनुपातिकता ग्राफ है।

ध्यान दें कि समीकरण

(8.10)

एक अतिपरवलय को भी परिभाषित करता है जिसका वास्तविक अक्ष अक्ष पर होता है और काल्पनिक अक्ष अक्ष पर होता है।

परवलयकिसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल में सभी बिंदुओं का समुच्चय है (जिन्हें कहा जाता है) केंद्र परवलय) और दी गई सीधी रेखा से (जिसे . कहा जाता है) स्कूल की संचालिका परवलय)।

एक परवलय के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली की धुरी को नाभि के माध्यम से डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत खींचते हैं, और निर्देशांक की उत्पत्ति को फोकस और डायरेक्ट्रिक्स से समान दूरी पर रखते हैं (चित्र 8.5)। फोकस से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को निरूपित किया जाता है (इसे परवलय पैरामीटर कहा जाता है)। फिर, और निर्देश समीकरण द्वारा दिया गया है। आज्ञा देना परवलय का एक मनमाना बिंदु हो। आइए हम लंब को डायरेक्ट्रिक्स पर छोड़ते हैं। फिर परिभाषा के अनुसार। हम इस स्थिति को निर्देशांक में व्यक्त करते हैं:

.

चित्र 8.5. परवलय।

समानों का वर्ग और वर्ग करना, हम प्राप्त करते हैं विहित परवलय समीकरण :

शिखरपरवलय समरूपता की अपनी धुरी के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है। परवलय की सममिति के अक्ष को परवलय का अक्ष कहा जाता है। समीकरण (8.11) द्वारा परिभाषित परवलय में अक्ष के साथ मेल खाने वाला एक अक्ष होता है।

ध्यान दें कि समीकरण एक परवलय को परिभाषित करता है जो अक्ष के बारे में सममित है।

दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के बीच घनिष्ठ संबंध है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि वे सभी दूसरे क्रम की रेखाएं हैं। इन सभी रेखाओं को एक लम्ब वृत्तीय शंकु को एक चुने हुए अक्ष के परितः घूर्णन करते हुए एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित करके प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, शंकु के अक्ष के लंबवत् (चित्र 8.6)। जब तक ढलान छोटा है, खंड में एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है। जैसे-जैसे झुकाव बढ़ता है, दीर्घवृत्त लंबा होता जाता है, और इसकी विलक्षणता बढ़ती जाती है। जब विमान शंकु की धुरी पर उसी तरह झुकता है जैसे जनरेटर, खंड में एक परवलय प्राप्त होता है। अंत में, जब समतल शंकु के दोनों हिस्सों को काटता है, तो खंड में एक अतिपरवलय होगा। इस कारण से, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय को कभी-कभी शंकु वर्ग कहा जाता है।

चित्र 8.6। दूसरे क्रम के वक्रों का संबंध।

इन रेखाओं के बीच का संबंध इस तथ्य के कारण है कि वे सभी द्वितीय-डिग्री समीकरण द्वारा दिए गए हैं, और इसलिए उनका एक सामान्य नाम है पंक्तियां (या घटता ) द्वितीय आदेश .

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की पंक्तियाँरूप का समीकरण कहलाता है

. (8.12)

निर्देशांकों को परिवर्तित करके, इस समीकरण को एक विहित रूप में घटाया जा सकता है। आइए सूत्रों के अनुसार निर्देशांक अक्षों को एक कोण से घुमाएं:

(8.13)

हम कोण चुनते हैं ताकि हमें एक ऐसा समीकरण मिले जिसमें निर्देशांक का गुणनफल न हो। ऐसा करने के लिए, हम (8.13) को (8.12) में प्रतिस्थापित करते हैं और k के गुणांक की बराबरी करते हैं। नतीजतन, हम रोटेशन के कोण को निर्धारित करने के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं:

. (8.15)

फॉर्मूला (8.15) इनमें से किसी के लिए 4 संभावित मानों को परिभाषित करता है, जो हमें समीकरण (8.12) को फॉर्म में लाने की अनुमति देता है:

(8.16)

यदि , तो समीकरण (8.16) को रूप में घटाया जा सकता है:

जो, मूल के समानांतर अनुवाद की मदद से,

विहित रूप में कम।

अगर वो। या , तो समीकरण (8.16) को रूप में घटाया जा सकता है।

द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को सरलतम (विहित) रूप में कम करने की समस्या पर विचार करें।

याद रखें कि दूसरे क्रम की बीजगणितीय रेखा विमान के बिंदुओं का स्थान है, जो किसी भी एफ़िन समन्वय प्रणाली में ऑक्स_1x_2 फॉर्म के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है p(x_1,x_2)=0, कहा पे p(x_1,x_2) दो चरों की दूसरी डिग्री का बहुपद है Ox_1x_2 । एक आयताकार समन्वय प्रणाली को खोजना आवश्यक है जिसमें रेखा समीकरण सबसे सरल रूप लेगा।

सूत्रबद्ध समस्या को हल करने का परिणाम निम्नलिखित मुख्य प्रमेय है (3.3)

दूसरे क्रम की बीजीय रेखाओं का वर्गीकरण (प्रमेय 3.3)

किसी भी दूसरे क्रम की बीजीय रेखा के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी होती है, जिसमें इस रेखा का समीकरण निम्नलिखित नौ विहित रूपों में से एक लेता है:

प्रमेय 3.3 द्वितीय कोटि की रेखाओं की विश्लेषणात्मक परिभाषा देता है। टिप्पणी 3.1 के पैराग्राफ 2 के अनुसार, रेखाएं (1), (4), (5), (6), (7), (9) वास्तविक (वास्तविक) कहलाती हैं, और रेखा (2), (3), ( 8) काल्पनिक कहलाते हैं।

आइए हम प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं, क्योंकि इसमें वास्तव में बताई गई समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि दूसरी क्रम रेखा का समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में दिया गया है। अन्यथा, कोई गैर-आयताकार समन्वय प्रणाली Ox_1x_2 से आयताकार एक ऑक्सी में जा सकता है, जबकि रेखा समीकरण का एक ही रूप और समान डिग्री होगा जो कि प्रमेय 3.1 के अनुसार बीजीय रेखा के क्रम के व्युत्क्रम पर होगा।

बता दें कि आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सी में दूसरे क्रम की बीजगणितीय रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

जिसमें कम से कम एक प्रमुख गुणांक a_(11),a_(12),a_(22)शून्य से भिन्न है, अर्थात्। (3.34) का बायां भाग दो चरों x, y के द्वितीय अंश का बहुपद है। चर x और y की प्रथम घातों के गुणांकों के साथ-साथ उनके उत्पाद x\cdot y को आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए दोगुना लिया जाता है।

समीकरण (3.34) को विहित रूप में लाने के लिए, आयताकार निर्देशांक के निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है:

- कोण से मुड़ें \varphi

\begin(मामलों)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( मामले)

- समानांतर स्थानांतरण

\begin(cases)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(cases)

- समन्वय अक्षों की दिशा बदलना (समन्वय अक्षों में प्रतिबिंब):

शाफ़्ट \शुरू (मामलों)x=x",\\y=-y",\end(मामलों)सूच्याकार आकृति का भुज \शुरू (मामलों)x=-x",\\y=y",\end(मामलों)दोनों कुल्हाड़ियों \प्रारंभ(मामलों)x=-x",\\y=-y";\end(मामलों)

- निर्देशांक अक्षों का नाम बदलना (एक सीधी रेखा में परावर्तन y=x )

\शुरू (मामलों)x=y",\\y=x",\end(मामलों)

जहां x,y और x",y" क्रमशः पुराने (ऑक्सी) और नए O"x"y" समन्वय प्रणालियों में एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक हैं।

समन्वय परिवर्तन के अलावा, समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जा सकता है।

आइए पहले विशेष मामलों पर विचार करें जब समीकरण (3.34) का रूप होता है:

\begin(aligned) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \ अंत (गठबंधन)

इन समीकरणों (बाईं ओर भी बहुपद) को कम किया जाता है। आइए हम दिखाते हैं कि उपरोक्त समीकरण (I), (II), (III) को विहित समीकरणों (1)-(9) में बदल दिया गया है।

समीकरण (आई)।यदि समीकरण (I) में मुक्त पद शून्य (a_0=0) के बराबर है, तो समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके \lambda_2y^2=0 प्रमुख कारक (\lambda_0\ne0) से, हमें y^2= मिलता है 0 - दो संपाती रेखाओं का समीकरण(9) x-अक्ष y=0 युक्त। यदि मुक्त पद गैर-शून्य है a_0\ne0 , तो हम समीकरण (I) के दोनों पक्षों को प्रमुख गुणांक (\lambda_2\ne0) से विभाजित करते हैं: y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0. यदि मान ऋणात्मक है, तो इसे -b^2 द्वारा निरूपित करते हुए, जहाँ b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), हमें y^2-b^2=0 प्राप्त होता है - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी का समीकरण(7): y=b या y=-b । यदि मान \frac(a_0)(\lambda_2)सकारात्मक है, तो, इसे b^2 से निरूपित करते हुए, जहां b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2)), हम पाते हैं y^2+b^2=0 - काल्पनिक समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी का समीकरण(आठ)। इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है, इसलिए कार्तिकये निर्देशांकइस समीकरण के अनुरूप कोई बिंदु नहीं हैं। हालांकि, क्षेत्र में जटिल आंकड़ेसमीकरण y^2+b^2=0 के दो संयुग्मी समाधान हैं y=\pm ib , जो धराशायी रेखाओं द्वारा सचित्र हैं (प्रमेय 3.3 का आइटम 8 देखें)।

समीकरण (द्वितीय)।समीकरण को प्रमुख गुणांक (\lambda_2\ne0) से विभाजित करें और रैखिक पद को में स्थानांतरित करें दाईं ओर: y^2=-\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x. यदि मान ऋणात्मक है, तो निरूपित करना p=-\frac(a_1)(\lambda_2)>0, हमें y^2=2px मिलता है - परवलय समीकरण(6)। यदि मान \frac(a_1)(\lambda_2)धनात्मक, तो, x-अक्ष की दिशा बदलकर, अर्थात्। (3.37) में दूसरा परिवर्तन करते हुए, हम समीकरण प्राप्त करते हैं (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x"या (y")^2=2px" , जहां p=\frac(a_1)(\lambda_2)>0. यह नई समन्वय प्रणाली ऑक्स"वाई" में एक परवलय का समीकरण है।

समीकरण (III)।दो मामले संभव हैं: या तो एक ही चिन्ह (अण्डाकार मामला) के प्रमुख गुणांक या विपरीत संकेत (हाइपरबोलिक केस)।

अण्डाकार मामले में (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf((III))\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

संकेत के विपरीत a_0 , फिर, सकारात्मक मूल्यों को दर्शाता है और \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - दीर्घवृत्त समीकरण (1).

यदि प्रमुख गुणांकों का चिन्ह \lambda_1,\lambda_2 a_0 के संकेत के साथ मेल खाता है, फिर, सकारात्मक मात्रा को दर्शाता है \frac(a_0)(\lambda_1)तथा \frac(a_0)(\lambda_2) a^2 और b^2 से, हम प्राप्त करते हैं -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\Leftrightarrow~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(बी^2)=-1 - काल्पनिक दीर्घवृत्त समीकरण(2). इस समीकरण का कोई वास्तविक समाधान नहीं है। हालांकि, इसके पास सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में समाधान हैं, जिन्हें एक धराशायी रेखा द्वारा दर्शाया गया है (प्रमेय 3.3 का आइटम 2 देखें)।

हम मान सकते हैं कि एक दीर्घवृत्त (वास्तविक या काल्पनिक) के समीकरणों में गुणांक असमानता a\geqslant b को संतुष्ट करते हैं, अन्यथा इसे निर्देशांक अक्षों का नाम बदलकर प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात। समन्वय प्रणाली का परिवर्तन (3.38) करना।

यदि समीकरण का मुक्त पद (III) शून्य के बराबर है (a_0=0), तो, सकारात्मक मात्रा को दर्शाता है \frac(1)(|\lambda_1|)तथा \frac(1)(|\lambda_2|) a^2 और b^2 से, हम प्राप्त करते हैं \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - काल्पनिक प्रतिच्छेदी रेखाओं के एक युग्म का समीकरण(3). केवल निर्देशांक x=0 और y=0 इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। बिंदु O निर्देशांकों का मूल है। हालाँकि, सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में, समीकरण के बाएँ पक्ष को गुणनखंडित किया जा सकता है \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ दाएं)\!\!\बाएं(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\right), इसलिए समीकरण में संयुग्मी समाधान हैं y=\pm i\,\frac(b)(a)\,x, जो मूल बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली धराशायी रेखाओं द्वारा सचित्र हैं (प्रमेय 3.3 का आइटम 3 देखें)।

अतिशयोक्तिपूर्ण मामले में (\lambda_1,\lambda_2<0) a_0\ne0 के लिए हम फ्री टर्म को दाईं ओर ले जाते हैं और दोनों पक्षों को -a_0\ne0 से विभाजित करते हैं:

\mathsf((III))\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1.

मात्रा \frac(-a_0)(\lambda_1)तथा \frac(-a_0)(\lambda_2)विपरीत संकेत हैं। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मानते हैं कि \lambda_2 का चिन्ह मुक्त पद a_0 के चिह्न के साथ मेल खाता है, अर्थात। \frac(a_0)(\lambda_2)>0. अन्यथा, आपको निर्देशांक अक्षों का नाम बदलने की आवश्यकता है, अर्थात। समन्वय प्रणाली का परिवर्तन (3.38) करें। सकारात्मक मात्रा को नकारना \frac(-a_0)(\lambda_1)तथा \frac(a_0)(\lambda_2) a^2 और b^2 से, हम प्राप्त करते हैं \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - अतिपरवलय समीकरण (4).

मान लें कि समीकरण (III) में मुक्त पद शून्य के बराबर है (a_0=0)। तब हम मान सकते हैं कि \lambda_1>0 , और \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\lambda_1)तथा -\frac(1)(\lambda_2) a^2 और b^2 से, हम प्राप्त करते हैं \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - प्रतिच्छेदी रेखाओं के एक युग्म का समीकरण(5). रेखाओं के समीकरण समीकरण के बाईं ओर के गुणनखंड के परिणामस्वरूप पाए जाते हैं

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\right)\ !\!\बाएं(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0, वह है y=\pm\frac(b)(a)\cdot x

इस प्रकार, दूसरे क्रम की बीजगणितीय रेखा के कम किए गए समीकरण (I),(II),(III) को प्रमेय 3.3 में सूचीबद्ध विहित रूपों (1)-(9) में से एक में घटा दिया जाता है।

यह दिखाना बाकी है कि आयताकार समन्वय प्रणाली के परिवर्तनों के माध्यम से सामान्य समीकरण (3.34) को घटाकर घटाया जा सकता है।

सामान्य समीकरण (3.34) का सरलीकरण दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, समन्वय प्रणाली को घुमाकर, अज्ञात के उत्पाद के साथ शब्द "नष्ट" होता है। यदि अज्ञात का कोई उत्पाद नहीं है (a_(12)=0) , तो रोटेशन करने की कोई आवश्यकता नहीं है (इस मामले में, हम सीधे दूसरे चरण में जाते हैं)। दूसरे चरण में, समानांतर स्थानांतरण की सहायता से, पहली डिग्री की एक या दोनों शर्तों को "नष्ट" किया जाता है। परिणामस्वरूप, घटे हुए समीकरण (I), (II), (III) प्राप्त होते हैं।

प्रथम चरण:एक आयताकार समन्वय प्रणाली को घुमाते समय दूसरे क्रम की रेखा के समीकरण का परिवर्तन।

यदि गुणांक a_(12)\ne0 है, तो निर्देशांक प्रणाली को \varphi कोण से घुमाएं। व्यंजकों (3.35) को समीकरण (3.34) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\begin(इकट्ठा) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \end(इकट्ठे)

समान पदों को लाते हुए, हम फॉर्म (3.34) के समीकरण पर पहुंचते हैं:

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 = 0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\\ a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \ अंत (गठबंधन)

आइए कोण \varphi को परिभाषित करें ताकि a"_(12)=0 । आइए a"_(12) के लिए व्यंजक को एक दोहरे कोण से गुजरते हुए रूपांतरित करें:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

कोण \varphi को समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0, जो समीकरण के बराबर है

\operatorname(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12)),

क्योंकि a_(12)\ne 0 । इस समीकरण की अनंत संख्या में जड़ें हैं

\varphi=\frac(1)(2)\operatorname(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ क्वाड n\in\mathbb(Z)।

आइए उनमें से किसी एक को चुनें, उदाहरण के लिए, अंतराल से कोण \varphi 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . तब पद 2a"_(12)x"y" समीकरण (3.39) में गायब हो जाएगा, क्योंकि a"_(12)=0 ।

शेष अग्रणी गुणांकों को \lambda_1= a" और \lambda_2=a"_(22) से निरूपित करने पर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

प्रमेय 3.1 के अनुसार, समीकरण (3.41) दूसरी डिग्री का एक समीकरण है (रूपांतरण (3.35) रेखा के क्रम को बनाए रखता है), अर्थात। कम से कम एक प्रमुख गुणांक \lambda_1 या \lambda_2 गैर-शून्य है। इसके अलावा, हम मान लेंगे कि यह (y")^2 पर गुणांक है जो शून्य (\lambda_2\ne0) के बराबर नहीं है। अन्यथा (\lambda_2=0 और \lambda_1\ne0 के लिए), समन्वय प्रणाली को घुमाया जाना चाहिए एक कोण से \varphi+\frac(\pi)(2), जो स्थिति (3.40) को भी संतुष्ट करता है। तब (3.41) में निर्देशांक x",y" के स्थान पर हमें क्रमशः y",-x" प्राप्त होता है, अर्थात्। गैर-शून्य गुणांक \lambda_1 (y")^2 पर होगा।

दूसरा चरण:एक आयताकार समन्वय प्रणाली के समानांतर अनुवाद के साथ दूसरे क्रम के रेखा समीकरण का परिवर्तन।

पूर्ण वर्गों का चयन करके समीकरण (3.41) को सरल बनाया जा सकता है। दो मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है: \lambda_1\ne0 या \lambda_1=0 (धारणा के अनुसार \lambda_2\ne0 ), जिन्हें क्रमशः केंद्रीय (अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों सहित) या परवलयिक कहा जाता है। इन नामों का ज्यामितीय अर्थ बाद में पता चलता है।

केंद्रीय मामला: \lambda_1\ne0 और \lambda_2\ne0 । x",y" चरों में पूर्ण वर्गों का चयन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\begin(एकत्रित)\lambda_1\बाएं [(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1 )\सही)\^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

चरों के परिवर्तन के बाद

\बाएं\(\शुरू (गठबंधन) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\ y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) , \ अंत (गठबंधन) \ सही।

हमें समीकरण मिलता है

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

कहाँ पे a""_0=-\lambda_1(\बाएं(\frac(a"_1)(\lambda_1)\right)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

परवलयिक मामला: \lambda_1=0 और \lambda_2\ne0 । चर y" में पूर्ण वर्ग का चयन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\begin(इकट्ठा) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2 )\सही)\^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

अगर a"_1\ne0 , तो अंतिम समीकरण फॉर्म में कम हो जाता है

\lambda_2(\बाएं(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

चरों में परिवर्तन करके

\बाएं\(\शुरू (गठबंधन) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a") _2)(\lambda_2)\दाएं)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

प्राप्त करें जहाँ a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

यदि a "_1=0, तो समीकरण (3.44) को उस रूप में घटाया जाता है जहां a""_0=-\lambda_2(\बाएं(\frac(a"_2)(\lambda_2) \right)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\बाएं\(\शुरू(गठबंधन)x""&=x",\\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(aligned)\right.

चर के परिवर्तन (3.42), (3.45), (3.48) समन्वय प्रणाली ऑक्स"वाई" के समानांतर अनुवाद के अनुरूप हैं (टिप्पणी 2.3 का आइटम 1"ए" देखें)।

इस प्रकार, समन्वय प्रणाली ऑक्स"y" के समानांतर अनुवाद की मदद से हमें एक नई समन्वय प्रणाली O""x""y"" प्राप्त होती है, जिसमें दूसरे क्रम की रेखा का समीकरण रूप लेता है (3.43), या (3.46), या (3.47)। ये समीकरण कम हो जाते हैं (क्रमशः (III), (II) या (I) के रूप में)।

दूसरे क्रम के बीजीय रेखा समीकरण को विहित रूप में कम करने पर मुख्य प्रमेय 3.3 सिद्ध होता है।

टिप्पणी 3.8

1. समन्वय प्रणाली जिसमें दूसरे क्रम के बीजीय रेखा समीकरण का एक विहित रूप होता है, विहित कहलाता है। विहित समन्वय प्रणाली को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, कोटि अक्ष की दिशा को विपरीत दिशा में बदलकर, हम फिर से विहित समन्वय प्रणाली प्राप्त करते हैं, क्योंकि चर y को (-y) से बदलने से समीकरण (1)–(9) नहीं बदलता है। इसलिए, विहित समन्वय प्रणाली का अभिविन्यास मौलिक महत्व का नहीं है; यदि आवश्यक हो तो इसे हमेशा y-अक्ष की दिशा बदलकर दाहिनी ओर बनाया जा सकता है।

2. यह पहले दिखाया गया था कि समतल पर आयताकार समन्वय प्रणालियों के परिवर्तन एक रूपांतरण (2.9) या (2.10) में कम हो जाते हैं:

\begin(मामलों) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi , \end(मामलों)\quad \begin(मामलों) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(मामलों)

इसलिए, द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में लाने का कार्य विहित समन्वय प्रणाली O" x "y" के मूल O "(x_0, y_0) और इसके भुज के झुकाव के कोण \varphi को खोजने के लिए कम हो गया है। अक्ष ओ "एक्स" मूल समन्वय प्रणाली ऑक्सी के एब्सिस्सा अक्ष ऑक्स के लिए।

3. स्थितियों (3), (5), (7), (8), (9) में रेखाओं को डीकंपोज़िंग कहा जाता है, क्योंकि संबंधित दूसरी डिग्री बहुपद पहली डिग्री बहुपद के उत्पाद में विघटित होते हैं।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा

गहन अध्ययन के बाद विमान पर सीधी रेखाएंहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव को दोगुना कर दिया गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलयों की सुरम्य गैलरी में जाने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो कि विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरे क्रम की पंक्तियाँ. दौरा पहले ही शुरू हो चुका है, और सबसे पहले, संग्रहालय की विभिन्न मंजिलों पर पूरी प्रदर्शनी के बारे में एक संक्षिप्त जानकारी:

बीजीय रेखा की अवधारणा और उसका क्रम

समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है , जहां एक बहुपद है जिसमें रूप की शर्तें शामिल हैं (एक वास्तविक संख्या है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बीजीय रेखा के समीकरण में साइन, कोसाइन, लॉगरिदम और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे शामिल नहीं हैं। केवल "x" और "y" in पूर्णांक गैर-ऋणात्मकडिग्री।

लाइन ऑर्डरइसमें शामिल शर्तों के अधिकतम मूल्य के बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, बीजीय रेखा की अवधारणा, साथ ही उसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणाली, इसलिए, होने में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की रेखा का रूप है, जहाँ मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं (यह एक गुणक के साथ लिखने के लिए प्रथागत है - "दो"), और गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

यदि , तो समीकरण सरल हो जाता है , और यदि गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह ठीक है एक "सपाट" सीधी रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है पहली ऑर्डर लाइन.

कई लोगों ने नई शर्तों का अर्थ समझा, लेकिन, फिर भी, सामग्री को 100% आत्मसात करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, पुनरावृति करें सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें शक्तियों का योगआने वाले चर।

उदाहरण के लिए:

शब्द में "x" से पहली डिग्री शामिल है;
शब्द में पहली शक्ति में "Y" शामिल है;
पद में कोई चर नहीं हैं, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।

अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों सेट करता है दूसरागण:

शब्द में दूसरी डिग्री में "x" शामिल है;
शब्द में चरों की डिग्री का योग है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी डिग्री में "y" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमतरडिग्री।

अधिकतम मूल्य: 2

यदि हम इसके अतिरिक्त अपने समीकरण में जोड़ते हैं, कहते हैं, तो यह पहले से ही निर्धारित करेगा तीसरी क्रम पंक्ति. यह स्पष्ट है कि तीसरे क्रम रेखा समीकरण के सामान्य रूप में शब्दों का "पूर्ण सेट" होता है, चर की डिग्री का योग जिसमें तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

इस घटना में कि एक या अधिक उपयुक्त शब्द जोड़े जाते हैं जिनमें शामिल हैं , तो हम बात करेंगे चौथी क्रम पंक्तियाँ, आदि।

हमें तीसरी, चौथी और उच्च कोटि की बीजगणितीय रेखाओं को एक से अधिक बार देखना होगा, विशेष रूप से, जब हम उनसे परिचित हों ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

हालांकि, आइए हम सामान्य समीकरण पर लौटते हैं और इसकी सरलतम स्कूल विविधताओं को याद करते हैं। उदाहरण परवलय हैं, जिनके समीकरण को एक सामान्य रूप में आसानी से कम किया जा सकता है, और एक समान समीकरण के साथ अतिपरवलय। हालाँकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है ....

सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। सरलतम मामले में भी, आपको तुरंत पता नहीं चलेगा कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल एक बहाना पर अच्छे होते हैं, इसलिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

समीकरण का विहित रूप क्या है?

यह समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "फ्लैट" सीधे, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर बस दिखाई दे रहे हैं।

जाहिर है, कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी मंजिल पर, अब कोई चौकीदार नहीं हमारी प्रतीक्षा कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक और अधिक विविध कंपनी है:

दूसरे क्रम की पंक्तियों का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट की मदद से, किसी भी द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाता है:

(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)

1) दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है;

2) अतिपरवलय का विहित समीकरण है;

3) परवलय का विहित समीकरण है;

4) – काल्पनिकअंडाकार;

5) - प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी;

6) - युगल काल्पनिकप्रतिच्छेदन रेखाएं (मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन का एकमात्र वास्तविक बिंदु);

7) - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8) - युगल काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9) मेल खाने वाली रेखाओं का एक युग्म है।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, पैराग्राफ संख्या 7 में, समीकरण युग्म सेट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और प्रश्न उठता है: समीकरण कहाँ है जो y-अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो कैनन नहीं माना जाता है. सीधी रेखाएं 90 डिग्री घुमाए गए समान मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वर्गीकरण में एक अतिरिक्त प्रविष्टि बेमानी है, क्योंकि इसमें कुछ भी मौलिक रूप से नया नहीं है।

इस प्रकार, नौ और केवल नौ विभिन्न प्रकार की दूसरी क्रम रेखाएं हैं, लेकिन व्यवहार में सबसे आम हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया देखें, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव / अतानासियन या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक।

दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण

वर्तनी ... कृपया कुछ यैंडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं, जो "एक दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें", "एक दीर्घवृत्त और एक अंडाकार के बीच का अंतर" और "एलीब्स सनकीपन" में रुचि रखते हैं।

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है , जहाँ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तथा । मैं बाद में एक दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी के लिए बात करने से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय है:

कैसे एक अंडाकार बनाने के लिए?

हाँ, इसे ले लो और बस इसे खींचो। असाइनमेंट सामान्य है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग के साथ पूरी तरह से सामना नहीं करता है:

उदाहरण 1

समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए

समाधान: पहले हम समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

क्यों लाए? विहित समीकरण के फायदों में से एक यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देता है अंडाकार शिखर, जो बिंदुओं पर हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीअंडाकार;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या बुलाया सेमीमेजर एक्सिसअंडाकार;
संख्या – अर्ध-मामूली धुरी.
हमारे उदाहरण में:।

जल्दी से कल्पना करने के लिए कि यह या वह दीर्घवृत्त कैसा दिखता है, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, साफ और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग को पूरा किया। और आप किसी भी आवेदन के साथ आकर्षित कर सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, कागज का एक चेकर का टुकड़ा मेज पर पड़ा होता है, और चूहे हमारे हाथों के चारों ओर नृत्य करते हैं। कलात्मक प्रतिभा वाले लोग, निश्चित रूप से बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (यद्यपि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानव जाति ने एक शासक, एक कंपास, एक चांदा और ड्राइंग के लिए अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, हम केवल शीर्षों को जानकर, एक दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। फिर भी ठीक है, अगर दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य मामले में अतिरिक्त अंक खोजना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजीय। छोटे एल्गोरिदम और ड्राइंग के महत्वपूर्ण अव्यवस्था के कारण मुझे कंपास और शासक के साथ निर्माण करना पसंद नहीं है। आपात स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। मसौदे पर दीर्घवृत्त समीकरण से, हम जल्दी से व्यक्त करते हैं:

तब समीकरण को दो कार्यों में विभाजित किया जाता है:
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के साथ-साथ मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा एक फ्रीबी का अग्रदूत होता है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त अंक खोजने का सुझाव देता है . हमने कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस किए:

बेशक, यह भी सुखद है कि यदि गणना में कोई गंभीर त्रुटि होती है, तो निर्माण के दौरान यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

ड्राइंग (लाल रंग) पर अंक चिह्नित करें, अन्य चाप (नीला रंग) पर सममित बिंदु और ध्यान से पूरी कंपनी को एक लाइन से कनेक्ट करें:


प्रारंभिक स्केच को पतला और पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल पर दबाव डालें। परिणाम काफी सभ्य अंडाकार होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। दीर्घवृत्त foci और दीर्घवृत्त विलक्षणता

एक अंडाकार अंडाकार का एक विशेष मामला है। शब्द "अंडाकार" को परोपकारी अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार खींचा", आदि)। यह एक विस्तृत सूत्रीकरण वाला गणितीय शब्द है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकारों के सिद्धांत और उनके विभिन्न प्रकारों पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान जरूरतों के अनुसार, हम तुरंत एक दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा पर जाते हैं:

अंडाकार- यह समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दिए गए दो बिंदुओं से दूरियों का योग कहलाता है चालदीर्घवृत्त, एक स्थिर मान है, संख्यात्मक रूप से इस दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर: .
इस मामले में, foci के बीच की दूरी इस मान से कम है: .

अब यह स्पष्ट हो जाएगा:

कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु एक दीर्घवृत्त पर "सवारी" करता है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम दीर्घवृत्त का कौन सा बिंदु लेते हैं, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मूल्य वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "em" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर: , जिसे जाँचना आवश्यक था।

दीर्घवृत्त खींचने का दूसरा तरीका दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणित, कभी-कभी, तनाव और तनाव का कारण होता है, इसलिए यह एक और सत्र उतारने का समय है। कृपया कागज का एक टुकड़ा या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे टेबल पर दो कीलों से पिन करें। ये तरकीबें होंगी। उभरे हुए नाखून के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और एक पेंसिल से इसे पूरी तरह से खींचे। पेंसिल की गर्दन किसी बिंदु पर होगी, जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब हरे धागे को बहुत तना हुआ रखते हुए, पेंसिल को कागज़ की शीट पर चलाना शुरू करें। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाते ... उत्कृष्ट ... ड्राइंग को डॉक्टर द्वारा सत्यापन के लिए शिक्षक को प्रस्तुत किया जा सकता है =)

दीर्घवृत्त का फोकस कैसे ज्ञात करें?

उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "तैयार" फोकस बिंदुओं को चित्रित किया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।

यदि दीर्घवृत्त को विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो इसके नाभियों में निर्देशांक होते हैं , वह कहां है दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र में प्रत्येक foci से दूरी.

उबले हुए शलजम की तुलना में गणना आसान है:

! अर्थ "सीई" के साथ चाल के विशिष्ट निर्देशांक की पहचान करना असंभव है!मैं दोहराता हूं, यह है प्रत्येक फोकस से केंद्र की दूरी(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल स्थान पर स्थित होना आवश्यक नहीं है)।
और, इसलिए, foci के बीच की दूरी को दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से भी नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को किसी अन्य स्थान पर ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि फ़ॉसी स्वाभाविक रूप से अपने निर्देशांक बदल देगा। कृपया इसे ध्यान में रखें क्योंकि आप इस विषय को और अधिक एक्सप्लोर करते हैं।

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता और उसका ज्यामितीय अर्थ

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक ऐसा अनुपात है जो मूल्यों को भीतर ले जा सकता है।

हमारे मामले में:

आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी उत्केन्द्रता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात् अर्ध-प्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब विलक्षणता सूत्र रूप लेगा:।

आइए एकता के लिए विलक्षणता के मूल्य का अनुमान लगाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब . इसका क्या मतलब है? ...याद करने की तरकीबें . इसका मतलब यह है कि अंडाकार का फॉसी एब्सिस्सा अक्ष के साथ साइड शिखर तक "फैलाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, एक धुरी पर पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।

इस तरह, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक के जितनी करीब होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक तिरछा होता है.

अब विपरीत प्रक्रिया का अनुकरण करते हैं: दीर्घवृत्त का फोकस केंद्र की ओर बढ़ते हुए एक दूसरे की ओर गए। इसका मतलब है कि "सीई" का मान छोटा होता जा रहा है और, तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, "ग्रीन सेगमेंट", इसके विपरीत, "भीड़ हो जाएगा" और वे दीर्घवृत्त की रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।

इस तरह, विलक्षणता मान शून्य के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक दिखाई देगा... सीमित मामले को देखें, जब मूल रूप से फ़ॉसी सफलतापूर्वक फिर से जुड़ जाते हैं:

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है

वास्तव में, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो रिफ्लेक्सिव रूप से "ए" त्रिज्या के मूल में केंद्र के साथ स्कूल से जाने-माने सर्कल समीकरण में बदल जाता है।

व्यवहार में, "बोलने वाले" अक्षर "एर" के साथ अंकन का अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या को खंड की लंबाई कहा जाता है, जबकि वृत्त के प्रत्येक बिंदु को त्रिज्या की दूरी से केंद्र से हटा दिया जाता है।

ध्यान दें कि एक दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: फ़ॉसी का मिलान होता है, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए मिलान किए गए खंडों की लंबाई का योग एक स्थिर मान होता है। चूँकि foci के बीच की दूरी है किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.

एक सर्कल आसानी से और जल्दी से बनाया जाता है, यह अपने आप को एक कंपास के साथ बांटने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को एक हंसमुख मतन के रूप में लाते हैं:

ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य है;
निचले अर्धवृत्त का कार्य है।

तब हम वांछित मान पाते हैं, विभेदक, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करें।

बेशक, लेख केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन दुनिया में कोई प्यार के बिना कैसे रह सकता है? स्वतंत्र समाधान के लिए रचनात्मक कार्य

उदाहरण 2

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करें यदि उसका एक नाभ और अर्ध-लघु अक्ष ज्ञात हो (केंद्र मूल में है)। शीर्ष, अतिरिक्त बिंदु ज्ञात कीजिए और रेखाचित्र पर एक रेखा खींचिए। विलक्षणता की गणना करें।

पाठ के अंत में समाधान और ड्राइंग

आइए एक क्रिया जोड़ें:

किसी दीर्घवृत्त को घुमाएँ और अनुवाद करें

आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात्, उस स्थिति पर, जिसकी पहेली इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु मन को पीड़ा दे रही है। यहाँ हमने एक दीर्घवृत्त पर विचार किया है , लेकिन व्यवहार में समीकरण नहीं हो सकता ? आखिरकार, यहाँ, हालांकि, यह एक दीर्घवृत्त की तरह भी लगता है!

ऐसा समीकरण दुर्लभ है, लेकिन यह सामने आता है। और यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्यवादी को दूर भगाएं:

निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल अंडाकार प्राप्त होता है, जिसे 90 डिग्री घुमाया जाता है। वह है, - ये है गैर-विहित प्रविष्टिअंडाकार . अभिलेख!- समीकरण किसी अन्य अंडाकार को निर्दिष्ट नहीं करता है, क्योंकि धुरी पर कोई बिंदु (फोसी) नहीं है जो अंडाकार की परिभाषा को पूरा करेगा।

छोटा विवेचक 5 (§ 66) एक दीर्घवृत्त के लिए धनात्मक है (§ 66 का उदाहरण 1 देखें), अतिपरवलय के लिए ऋणात्मक और परवलय के लिए शून्य है।

सबूत। दीर्घवृत्त को एक समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है। इस समीकरण में एक छोटा विवेचक होता है। निर्देशांक बदलते समय, यह अपना मान बनाए रखता है, और जब समीकरण के दोनों भागों को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो विवेचक को (§ 66, टिप्पणी) से गुणा किया जाता है। इसलिए, किसी भी समन्वय प्रणाली में एक दीर्घवृत्त का विवेचक सकारात्मक होता है। अतिपरवलय के मामले में और परवलय के मामले में, प्रमाण समान होता है।

तदनुसार, तीन प्रकार की दूसरी-क्रम रेखाएँ (और दूसरी डिग्री के समीकरण) हैं:

1. अण्डाकार प्रकार, स्थिति की विशेषता

वास्तविक दीर्घवृत्त के अलावा, इसमें एक काल्पनिक दीर्घवृत्त (§ 58, उदाहरण 5) और एक वास्तविक बिंदु (§ 58, उदाहरण 4) पर प्रतिच्छेद करने वाली काल्पनिक रेखाओं का एक जोड़ा भी शामिल है।

2. हाइपरबोलिक प्रकार की स्थिति की विशेषता

इसमें अतिपरवलय के अलावा, वास्तविक प्रतिच्छेदन रेखाओं का एक जोड़ा (§ 58, उदाहरण 1) शामिल है।

3. परवलयिक प्रकार, स्थिति की विशेषता

इसमें परवलय के अलावा, समानांतर (वास्तविक या काल्पनिक) सीधी रेखाओं का एक जोड़ा (वे संयोग कर सकते हैं) शामिल हैं।

उदाहरण 1. समीकरण

परवलयिक प्रकार से संबंधित है, क्योंकि

क्योंकि बड़ा भेदभाव करने वाला

शून्य के बराबर नहीं है, तो समीकरण (1) एक गैर-अपघटन रेखा का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, एक परवलय (cf. 61-62, उदाहरण 2)।

उदाहरण 2. समीकरण

हाइपरबोलिक प्रकार से संबंधित है, क्योंकि

क्यों कि

तब समीकरण (2) प्रतिच्छेदी रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करता है। उनके समीकरण 65 की विधि से ज्ञात किए जा सकते हैं।

उदाहरण 3. समीकरण

अण्डाकार प्रकार से संबंधित है, क्योंकि

क्यों कि

तो रेखा टूटती नहीं है और इसलिए, एक दीर्घवृत्त है।

टिप्पणी। एक ही प्रकार की रेखाएँ ज्यामितीय रूप से इस प्रकार संबंधित हैं: प्रतिच्छेद करने वाली काल्पनिक रेखाओं का एक जोड़ा (अर्थात, एक वास्तविक बिंदु) एक दीर्घवृत्त का सीमित मामला है "एक बिंदु से अनुबंध" (चित्र। 88); वास्तविक रेखाओं को प्रतिच्छेद करने की एक जोड़ी - एक अतिपरवलय का सीमित मामला जो उसके स्पर्शोन्मुख (चित्र। 89) के पास पहुंचता है; समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी एक परवलय का सीमित मामला है, जिसमें अक्ष और अक्ष के बारे में सममित बिंदुओं का एक जोड़ा (चित्र। 90) स्थिर होता है, और शीर्ष अनंत तक पीछे हट जाता है।