घातांक की गणना के लिए सूत्र। इंजीनियरिंग कैलकुलेटर

घातांक को , या के रूप में दर्शाया जाता है।

ई नंबर

घातांक की घात का आधार है ई नंबर. यह एक अपरिमेय संख्या है। यह लगभग बराबर है
इ ≈ 2,718281828459045...

संख्या ई अनुक्रम की सीमा के माध्यम से निर्धारित की जाती है। यह तथाकथित दूसरा अद्भुत सीमा :
.

साथ ही, संख्या e को एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.

प्रदर्शक चार्ट

घातांक प्लॉट, y = e x ।

ग्राफ घातांक को दर्शाता है, इसीमा तक एक्स.
आप (एक्स) = ई एक्स
ग्राफ से पता चलता है कि घातांक नीरस रूप से बढ़ता है।

सूत्रों

मूल सूत्र for . के समान हैं घातांक प्रकार्यआधार ई के साथ

;
;
;

घातांक के माध्यम से डिग्री के एक मनमाना आधार के साथ एक घातीय कार्य की अभिव्यक्ति:
.

निजी मूल्य

चलो तुम (एक्स) = ई एक्स. फिर
.

घातांक गुण

एक्सपोनेंट में डिग्री के आधार के साथ एक घातीय कार्य के गुण होते हैं इ > 1 .

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समूह

घातांक y (एक्स) = ई एक्ससभी x के लिए परिभाषित।
इसका दायरा है:
- ∞ < x + ∞ .
इसका अर्थ सेट:
0 < y < + ∞ .

चरम, वृद्धि, कमी

घातांक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

घातांक का व्युत्क्रम प्राकृतिक लघुगणक है।
;
.

घातांक का व्युत्पन्न

यौगिक इसीमा तक एक्सके बराबर है इसीमा तक एक्स :
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

जटिल आंकड़े

के साथ क्रियाएँ जटिल आंकड़ेके माध्यम से किया गया यूलर सूत्र:
,
काल्पनिक इकाई कहाँ है:
.

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

; ;
.

त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

; ;
;
.

शक्ति श्रृंखला विस्तार

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

पास्कल (और कई अन्य प्रोग्रामिंग भाषाओं) में एक्सप फ़ंक्शन घातांक की गणना करता है। वाक्य - विन्यास:

समारोह Expक्स्प (एक्स: वैलरियल): वैलरियल;

Exp X फ़ंक्शन संख्या X के घातांक की गणना करता है और उसे लौटाता है।

घातांक की गणना संख्या e से X की घात की गणना है। अर्थात्,

विवरण के लिए वीडियो देखें और नीचे दिया गया लेख पढ़ें।

उलटा कार्य एलएन

अगर आपको याद है, तो आप यह भी याद रखें कि यह प्राकृतिक लघुगणक की गणना करता है।

अतः, Exp का प्रतिलोम फलन फलन Ln है। दूसरे शब्दों में, उलटा कार्य घातांक प्रकार्य(घातांक) प्राकृतिक लघुगणक है। वह है:

लोगे (वाई) = एलएन (वाई) = एक्स

ईएक्स = वाई = क्स्प (एक्स)

ई एक्स = एक्सप (एक्स) = एक्सप (एलएन (वाई)) = वाई

एक और उपयोगी सूत्र है:

एक्स वाई = ई वाई एलएन (एक्स) = एक्सप (वाई * एलएन (एक्स))

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि फंक्शन Ln और Exp का उपयोग करके, हम किसी भी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं। आप ऐसा कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह:

पी: = एक्सप (वाई * एलएन (एक्स))

यदि हम इसका वर्णन गणितीय भाषा में करें, तो उपरोक्त व्यंजक निम्नलिखित प्रविष्टि के समतुल्य होगा:

सच है, मुझे कहना होगा कि यहाँ बारीकियाँ हैं। ऐसे विशेष मामले हैं जहां उपरोक्त अभिव्यक्ति गलत परिणाम देगी। उदाहरण के लिए, जब Y या X ऋणात्मक संख्याएँ हों, या जब वे शून्य हों। ऐसी स्थितियों से और निपटने की जरूरत है। हालाँकि, यह लेख घातांक के बारे में नहीं है, इसलिए हम इन विशेष मामलों पर एक अन्य लेख में विचार करेंगे।

स्रोत कोड उदाहरण जहां क्स्प फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है:

कार्यक्रम funcexp; गणित का उपयोग करता है; वर एक्स, वाई: सिंगल; प्रारंभ y:=Exक्स्प(2); //y = Exp(2) = 7.39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); एक्स: = क्स्प (3 * एलएन (2)); //x = 2 की शक्ति के लिए 3 WriteLn("2 ^ 3 =", x:0:4); रीडएलएन; समाप्त।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। घातांक एक घातांकीय फलन है जिसका अवकलज स्वयं फलन के बराबर होता है। घातांक द्वारा निरूपित किया जाता है: \

एक्सपोनेंट में डिग्री ई> 1 के आधार के साथ एक घातीय फ़ंक्शन के गुण होते हैं। एक्सपोनेंट की डिग्री का आधार संख्या "ई" है। यह एक अपरिमेय संख्या है। यह लगभग बराबर है:

अनुक्रम की सीमा के माध्यम से संख्या "ई" की अभिव्यक्ति। संख्या "ई" को अनुक्रम की सीमा के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यह तथाकथित दूसरी उल्लेखनीय सीमा है:

संख्या ई की एक श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्ति

प्रदर्शक चार्ट

ग्राफ घातांक को दिखाता है, \ घात के लिए \

ग्राफ से पता चलता है कि घातांक नीरस रूप से बढ़ता है।

बुनियादी सूत्रों के लिए, वे डिग्री के आधार के साथ घातीय फ़ंक्शन के समान हैं \[e.\]

\[ (ई^पी)^पी=ई(पीक्यू)=(ई^पी)^पी\]

घातांक के रूप में घातांकीय फलन का व्यंजक:

मैं घातांक के साथ समीकरण को ऑनलाइन कहाँ हल कर सकता हूँ?

आप हमारी वेबसाइट https: // साइट पर समीकरण को हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को सेकंडों में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस इतना करना है कि सॉल्वर में अपना डेटा डालें। आप वीडियो निर्देश भी देख सकते हैं और हमारी वेबसाइट पर समीकरण को हल करना सीख सकते हैं। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे Vkontakte समूह http://vk.com/pocketteacher में पूछ सकते हैं। हमारे समूह में शामिल हों, हम आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश हैं।

एक्सेल में EXP फ़ंक्शन का उपयोग यूलर संख्या (स्थिर ई, जो लगभग 2.718 के बराबर है) को निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ाने और संबंधित संख्यात्मक मान वापस करने के लिए किया जाता है।

एक्सेल में EXक्स्प फ़ंक्शन उदाहरण

बैंक जमाकर्ता को दो जमा विकल्प दिए गए थे:

1. 16% की वार्षिक दर और मासिक पूंजीकरण के साथ जमा।
2. निरंतर पूंजीकरण के साथ एक जमा (जमा समझौते की अवधि के दौरान पूंजीकरण की अवधि की संख्या एक अनंत संख्या है) 16% की वार्षिक दर के साथ।

कौन सा ऑफर अधिक लाभदायक है? जमा राशि 50,000 रूबल है, अनुबंध की अवधि 5 वर्ष है।

मूल डेटा तालिका देखें:

जमा समझौते के पहले संस्करण के लिए जमा के भविष्य के मूल्य की गणना करने का सूत्र:

बीएस (बी3/बी4;बी4*बी5;0;-बी6)

दूसरे मामले में, पूंजीकरण लगातार होता है, इसलिए आप निम्न फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं:

तर्कों का विवरण:

• सी3 - वार्षिक दर;
• C5 - अनुबंध की अवधि;
• C6 प्रारंभिक जमा राशि है।

परिणाम:

पूंजीकरण की निरंतर वृद्धि वाला विकल्प अधिक लाभदायक है।

एक्सेल में ऊतक कोशिका विभाजन दर की गणना

समय के प्रारंभिक क्षण में जीवित पदार्थ की केवल एक कोशिका थी। हर 5 मिनट में ऐसी कोशिका 2 समान कोशिकाओं में विभाजित हो जाती है। निर्धारित करें कि 0.5 घंटे, 1.5 घंटे या एक दिन में कितने ऊतक कोशिकाएं बनती हैं?

मूल तालिका इस तरह दिखती है:

गणना करने के लिए, हम सरणी सूत्र का उपयोग करते हैं:

EXक्स्प (A3*C3:C5/B3)

तर्कों का विवरण:

• A3 - कोशिकाओं की संख्या में वृद्धि (100%, यानी एक कोशिका के विभाजन का परिणाम दो नई कोशिकाएँ हैं);
• C3:C5/B3 - स्थिति द्वारा इंगित अवधि, विभाजन प्रक्रिया के अंत तक कोशिका के जीवनकाल से विभाजित होती है।

परिणाम:

मान 1,E+125 10 25 के बराबर है।

समय के साथ रेडियोधर्मी पदार्थ के द्रव्यमान में कमी की दर

रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा छह महीने में आधी हो जाती है। 2 साल बाद पदार्थ का वजन कितना होगा यदि प्रारंभिक द्रव्यमान 18 किलो था।

मूल तालिका का दृश्य:

गणना के लिए सूत्र:

B5*EXP(B2*B4/B3)

तर्कों का विवरण:

• B5 पदार्थ का प्रारंभिक द्रव्यमान है;
• B2 - वृद्धि ( नकारात्मक अर्थ, चूंकि पदार्थ की मात्रा घट जाती है);
• बी 4 / बी 3 - उन अवधियों की संख्या जिनके लिए आधा जीवन होता है।

गणना परिणाम:

2 साल बाद 18 किलो से लगभग 330 ग्राम ही बचेगा।

एक्सेल में EXP फ़ंक्शन का उपयोग करने की विशेषताएं

EXP फ़ंक्शन में निम्नलिखित सिंटैक्स नोटेशन है:

EXक्स्प (संख्या)

एकमात्र और अनिवार्य तर्क संख्या है, जो घातांक के संख्यात्मक मान की विशेषता है, जिसके लिए निरंतर ई उठाया जाना चाहिए।

नोट 1:

1. LN और EXP फ़ंक्शन दिए गए परिणाम में एक दूसरे के विपरीत हैं। लघुगणक इंगित करता है कि x घातांक प्राप्त करने के लिए आधार को किस शक्ति से ऊपर उठाया जाना चाहिए (lnx के प्राकृतिक लघुगणक के मामले में, घातांक लगभग 2.718 है)। EXP फ़ंक्शन घातांक x को निर्धारित करता है।
2. संख्या तर्क को वास्तविक संख्याओं की सीमा से किसी भी संख्या पर सेट किया जा सकता है (पूर्णांक और भिन्नात्मक ऋणात्मक, सकारात्मक मूल्यऔर 0)। निष्पादित करने का परिणाम = EXP(0) 1 है।
3. बूलियन मान TRUE और FALSE को EXP के तर्क के रूप में पारित किया जा सकता है और स्वचालित रूप से क्रमशः 1 और 0 संख्यात्मक मान में परिवर्तित हो जाएगा।
4. यदि कोई नाम या टेक्स्ट स्ट्रिंग जो संख्यात्मक मान में परिवर्तनीय नहीं है, को संख्या तर्क के रूप में पारित किया गया था, तो EXP फ़ंक्शन #VALUE! त्रुटि कोड लौटाएगा।
5. फ़ंक्शन का उपयोग सरणी सूत्र के रूप में किया जा सकता है।

नोट्स 2:

1. जैसा कि आप जानते हैं, संख्या ई प्राकृतिक लघुगणक की डिग्री का एक संकेतक है, जो लिखा गया है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: ln10, यानी, 10 में से 2.718 के आधार के साथ लघुगणक। संख्या ई स्वयं एक है किसी भी प्रक्रिया के लिए वृद्धि का संकेतक जिसकी निर्भर मात्रा स्वतंत्र में परिवर्तन के साथ लगातार बदलती रहती है। उदाहरणों में शरीर की जीवित कोशिकाओं का विभाजन (एक निश्चित अवधि के बाद, एक कोशिका दो में विभाजित होती है, फिर इन दोनों में से प्रत्येक दो और में विभाजित होती है, और इसी तरह) या रेडियोधर्मी पदार्थों का क्षय (जानना) जैसी प्रक्रियाएं शामिल हैं। क्षय गुणांक, आप पता लगा सकते हैं कि कितना रेडियोधर्मी पदार्थ सरल तत्वों में टूट गया है।
2. संख्या ई का उपयोग अनुमानित (सरलीकृत मॉडल बनाने) सिस्टम के लिए किया जाता है जिसका मान असमान रूप से बदलता है।
3. संख्या ई के भौतिक अर्थ को समझने के लिए, बैंक में पूंजी निवेश की वृद्धि की प्रक्रिया पर विचार करें। उदाहरण के लिए, एक बैंक ने एक निश्चित अवधि, जैसे कि 12 महीने के बाद 100% पूंजी वृद्धि की पेशकश की। यानी निवेशक का मुनाफा दोगुना हो जाएगा। मान लीजिए कि पूंजी वृद्धि की प्रक्रिया पूरे वर्ष निरंतर चलती रहती है। फिर, 6 महीने के बाद पूंजी की मात्रा की गणना करने के लिए, आप सूत्र R=(1+100%/2) 2 का उपयोग कर सकते हैं, जहां R पूंजी वृद्धि है, 2 अर्ध-अवधि की वृद्धि की संख्या है। यदि हम 4 महीने के लिए वृद्धि निर्धारित करने का निर्णय लेते हैं, तो सूत्र R=(1+100%/3) 3 , 3 महीने के लिए - R=(1+100%/4) 4, आदि का रूप लेगा। सामान्य मामलाहमारे पास सूत्र R=(1+100%/x) x है। यदि x→∞ (अनंत में जाता है) R (वृद्धि) 2.718 होगा। इससे यह पता चलता है कि सबसे छोटी अवधि में अधिकतम संभव 100% वृद्धि 2.718 के मान से अधिक नहीं हो सकती है, जो कि संख्या ई (यूलर संख्या) है। सामान्य स्थिति में, किसी भी वृद्धि को सूत्र R \u003d e p * t द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p मान में वृद्धि है (उदाहरण के लिए, 100% नहीं, जैसा कि ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में है, लेकिन 30%, अर्थात 0.3 ), और t समय है (उदाहरण के लिए, यदि जमा समझौता 5 वर्षों के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो t=5)। फिर, एक्सेल में गणना करने के लिए, सूत्र = EXP (0.3 * 5) दर्ज करना पर्याप्त है।

उसी लेख में, हम चर्चा करेंगे कि एक्सेल में एक एक्सपोनेंट क्या है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह रोजमर्रा की जिंदगी या व्यवसाय में क्या उपयोगी हो सकता है।

पर छात्र वर्षमैंने अक्सर वाक्यांशों को सुना है: "हम 'यह' क्यों सीखते हैं, जीवन में हमें कभी भी 'इस' की आवश्यकता नहीं होगी।" ऐसा ही एक 'यह' अक्सर एक प्रतिपादक या, उदाहरण के लिए, . मेरी पहली शिक्षा में मेरा उच्च गणित कमजोर था, जिसका मुझे खेद है। और अब मुझे उन विषयों को पकड़ना है जो मैंने पहले याद किए थे। मैं अपना ज्ञान साझा करता हूं।

हम जानते हैं कि हमारी दुनिया का वर्णन सटीक विज्ञानों द्वारा किया गया है—अर्थात। जो हो रहा है उसका कमोबेश सटीक वर्णन करने वाले नियमों और कानूनों का एक समूह। इसके लिए ज्यादातर मामलों में फंक्शन/फॉर्मूले मदद करते हैं। प्रकृति में, घातांकीय घटनाएँ एक संख्या . के सूत्र द्वारा काफी सामान्य (घातांक द्वारा वर्णित) होती हैं इ,और y \u003d e x की शक्ति के लिए पहले से ही एक घातीय कार्य होगा:

संख्या इ- यह तथाकथित है। यूलर संख्या लगभग 2.72 के बराबर। उल्लेखनीय है कि इस फलन का अवकलज स्वयं फलन exp(x) = exp(x) के बराबर होता है।

यह क्या है और हमारे लिए इसका क्या अर्थ है?

सबसे अच्छी बात यह है कि घातांक की क्रिया को नीचे दिए गए ग्राफ़ द्वारा दिखाया गया है:

दो कार्य: y=2 x और y= . में इएक्स की शक्ति के लिए, जहां एक्स = समय, उदाहरण के लिए। हम देख सकते हैं कि घातीय भूखंड की वृद्धि दर तेजी से बढ़ती है। और सब क्यों? क्योंकि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न (वृद्धि या कमी की दर) फ़ंक्शन के बराबर होता है, अर्थात। फ़ंक्शन की वृद्धि की दर फ़ंक्शन के मान के बराबर होती है।

मोटे तौर पर, प्रकृति में, यह वास्तव में सामान्य है - जितनी अधिक कोशिकाएं विभाजित होती हैं, उतनी ही तेजी से वे अधिक होती जाती हैं। आपके पास बैंक में जितना अधिक पैसा है, वे उतना ही अधिक लाभ लाते हैं। उदाहरण के लिए:

आपने 1,000 रूबल का निवेश किया है। बैंक में, एक साल बाद वे अपने 100 रूबल लाए। ब्याज, एक साल बाद 2 कर्मचारी पहले से ही आपके लिए 1,000 रूबल काम कर रहे हैं। और 100 रूबल। और इसी तरह जब तक आप पैसे नहीं लेते या कोई बैंकिंग संकट नहीं है।

वैसे, पृथ्वी ग्रह पर जनसंख्या भी तेजी से बढ़ रही है;)

परेतो सिद्धांत और प्रतिपादक

क्या आपने इस सिद्धांत के बारे में सुना है? हाँ मुझे लगता है। "20% प्रयास 80% परिणाम लाते हैं।" यह वही है। याद रखने की सबसे अच्छी परिभाषा, मुझे लगता है:

20% बीयर पीने वाले सभी बीयर का 80% उपभोग करते हैं

परेतो सिद्धांत पर निर्मित एबीसी विश्लेषणस्टॉक, उदाहरण के लिए।

यह पारेतो सिद्धांत एक घातांक का एक और उदाहरण है।

वैसे, में एक बहुत ही निष्पक्ष कानून वास्तविक जीवन, मैं अपने अनुभव से पुष्टि करता हूं। एक बार अपने पहले प्रोजेक्ट पर, मैंने देखा कि लगभग 20% समय में आप 80% उत्पाद (मात्रात्मक शब्दों में) बनाते हैं, तो आप गुणवत्ता पर काम करते हैं। वे। एक और 80% समय आप समाप्त कर लें, त्रुटियों की तलाश करें, समायोजित करें। मैंने लोगों को "प्रदर्शक स्तर पर विकास" कहते हुए भी सुना है - अर्थात। आदर्श के करीब पहुंचने की प्रक्रिया में।

परियोजना के ऐसे "परिष्करण" के साथ, समय पर रुकना महत्वपूर्ण है, क्योंकि उत्पाद कभी भी परिपूर्ण नहीं होगा। इसलिए, पहले से तय कर लें कि आप आखिर में कौन सा गुण प्राप्त करना चाहेंगे। यदि आप इसे स्वयं नहीं करते हैं, तो ग्राहक से आवश्यकताओं को एकत्र करना सुनिश्चित करें। सिद्धांत कुछ इस तरह दिखता है: