QS تک کاناله با خرابی. توان نسبی توان نسبی - میانگین نسبی تعداد برنامه ها
داده شده: سیستم دارای یک کانال سرویس است که ساده ترین جریان درخواست ها را با شدت دریافت می کند. جریان خدمات دارای شدت . درخواستی که سیستم را مشغول می‌یابد، بلافاصله آن را ترک می‌کند.
پیدا کردن: توان عملیاتی مطلق و نسبی QS و احتمال رد ادعای رسیدن به زمان t.
سیستم برای هر تی> 0 می تواند در دو حالت باشد: اس 0 – کانال رایگان است. اس 1- کانال شلوغ است انتقال از اس 0 اینچ اس 1 با ظهور یک درخواست و شروع فوری سرویس آن همراه است. انتقال از اس 1 اینچ اس 0 به محض اتمام سرویس بعدی انجام می شود (شکل 9).
شکل 9. نمودار حالات یک QS تک کاناله با خرابی
ویژگی های خروجی (ویژگی های کارایی) این QS و سایر QS بدون نتیجه گیری و شواهد ارائه خواهد شد.
(میانگین تعداد برنامه های ارائه شده در واحد زمان):
شدت جریان برنامه ها کجاست (مقابل میانگین فاصله زمانی بین برنامه های ورودی - )؛ - شدت جریان خدمات (مقابل میانگین زمان خدمات).
پهنای باند نسبی(متوسط سهم برنامه های ارائه شده توسط سیستم):
احتمال شکست(احتمال اینکه این ادعا CMO را بدون ارائه باقی بگذارد):
روابط زیر واضح است: و .
N – کانال QS با خرابی (مشکل Erlang). این یکی از اولین وظایف این نظریه است در صف. این از نیازهای عملی تلفن ناشی شد و در اوایل قرن بیستم توسط ریاضیدان دانمارکی ارلنگ حل شد.
داده شده: سیستم دارد n- کانال هایی که جریانی از برنامه ها را با شدت دریافت می کنند. جریان خدمات دارای شدت . درخواستی که سیستم را مشغول می‌یابد، بلافاصله آن را ترک می‌کند.
پیدا کردن: ظرفیت مطلق و نسبی QS; احتمال اینکه یک سفارش در یک زمان برسد تی، رد خواهد شد؛ میانگین تعداد درخواست های ارائه شده به طور همزمان (یا به عبارت دیگر، میانگین تعداد کانال های شلوغ).
راه حل. وضعیت سیستم اس(QS) با توجه به حداکثر تعداد درخواست ها در سیستم شماره گذاری می شود (مطابق با تعداد کانال های اشغال است):
· اس 0 - هیچ برنامه کاربردی در CMO وجود ندارد.
· اس 1 - یک درخواست در QS وجود دارد (یک کانال مشغول است، بقیه رایگان هستند).
· اس 2 - دو برنامه در QS وجود دارد (دو کانال مشغول و بقیه رایگان هستند).
· اس n - در QS است n- برنامه های کاربردی (همه n- کانال ها مشغول هستند).
نمودار وضعیت QS در شکل نشان داده شده است. 10.
شکل 10. نمودار حالت برای QS کانال n با خرابی
چرا نمودار حالت به این شکل مشخص شده است؟ خارج از ایالت اس 0 به حالت اس 1 سیستم توسط جریانی از برنامه ها با شدت منتقل می شود (به محض ورود برنامه، سیستم از اس 0 اینچ اس 1). اگر سیستم در حالت بود اس 1 و درخواست دیگری رسیده است، به حالت می رود اس 2 و غیره
چرا چنین شدت هایی برای فلش های پایین (قوس های نمودار) وجود دارد؟ بگذارید سیستم در حالت باشد اس 1 (یک کانال کار می کند). در واحد زمان خدمات تولید می کند. بنابراین، قوس گذار از حالت اس 1 در هر ایالت اس 0 با شدت بارگذاری می شود. حالا بگذارید سیستم در حالت باشد اس 2 (دو کانال کار می کند). برای رفتنش به اس 1 ، باید سرویس کانال اول یا دوم را تکمیل کنید. شدت کل جریان های آنها برابر است و غیره.
مشخصه های خروجی (ویژگی های کارایی) یک QS معین به صورت زیر تعریف می شوند.
پهنای باند مطلق:
جایی که n- تعداد کانال های QS؛ احتمال قرار گرفتن QS در حالت اولیه زمانی است که همه کانال ها آزاد هستند (احتمال نهایی QS در حالت اس 0);
به منظور نوشتن فرمولی برای تعیین، شکل 11 را در نظر بگیرید.
شکل 11. نمودار وضعیت برای طرح مرگ و پرورش
نمودار نشان داده شده در این شکل، گراف حالت برای طرح "مرگ و تولید مثل" نیز نامیده می شود. اجازه دهید ابتدا فرمول کلی برای (بدون اثبات) را بنویسیم:
ضمناً احتمالات نهایی باقی مانده از حالت های QS به صورت زیر نوشته می شود.
احتمال اینکه QS در حالت است اس 1 هنگامی که یک کانال مشغول است.
1) QS تک کاناله
در حالت محدود کننده (ایستا)، سیستم معادلات کولموگروف:
با در نظر گرفتن شرایط عادی سازی p 0 + p 1 = 1، متوجه می شویم:
که میانگین زمان نسبی صرف شده توسط سیستم را در حالت S 0 (زمانی که کانال آزاد است) و S 1 (زمانی که کانال مشغول است) بیان می کند. به ترتیب، توان عملیاتی نسبی سیستم q و احتمال خرابی P otk را تعیین کنید:
پهنای باند مطلق: .
وظیفه 1.مشخص است که برنامه ها در استودیو با شدت ?=90 (برنامه در ساعت) دریافت می شوند و میانگین مدت مکالمه تلفنی t حدود 2 دقیقه است. شاخص های عملکرد QS (ارتباط تلفنی) را در حضور یک شماره تلفن تعیین کنید.
راه حل.
شدت جریان سرویس؟ = 1/t در حدود = 1/2 = 0.5 (1 / دقیقه) = 30 (1 / ساعت).
ظرفیت QS نسبی q = 30/(30+90) = 0.25، یعنی. به طور متوسط، تنها 25 درصد از برنامه های دریافتی از طریق تلفن مذاکره می کنند. بر این اساس، احتمال انکار سرویس 0.75 = P otk خواهد بود. خروجی مطلق QS: Q = 90 * 0.25 = 22.5، یعنی. به طور متوسط در هر ساعت 22.5 درخواست ارائه خواهد شد.
بدیهی است که تنها با یک شماره تلفن، CMO نمی تواند به خوبی با جریان برنامه ها کنار بیاید.
2) QS چند کاناله
سیستم معادلات کولموگروف به شکل زیر است:
در حالت ثابت:
اجازه دهید سیستم (1) را با توجه به مجهولات p 0 , p 1 ,..., p m حل کنیم. از معادله اول:
از دوم با در نظر گرفتن (2):
به طور مشابه، از سوم، با در نظر گرفتن (2) و (3):
و به طور کلی، برای هر k ? m:
بیایید نماد را معرفی کنیم:
میانگین تعداد درخواست‌های وارد شده به QS را برای میانگین زمان سرویس یک درخواست (کاهش تراکم جریان درخواست) تعیین می‌کند.
فرمول (6) همه احتمالات p k را بر حسب p 0 بیان می کند. بیایید از شرط استفاده کنیم:
با جایگزینی (7) به (6)، 0 می گیریم؟ ک؟ متر (8)
فرمول های (7) و (8) فرمول ارلنگ نامیده می شوند. با فرض فرمول (8) k = m، احتمال شکست را بدست می آوریم
توان عملیاتی نسبی (احتمال اینکه برنامه ارائه شود):
فرمول های Erlang و پیامدهای آنها (9)، (10) برای مورد قانون نمایی توزیع زمان خدمات مشتق شده است. اما تحقیق کنید سالهای اخیرنشان داد که این فرمول ها برای هر قانون توزیع زمان سرویس معتبر باقی می مانند، تا زمانی که جریان ورودی ساده ترین باشد. همچنین، در مواردی که جریان درخواست‌ها با ساده‌ترین آنها متفاوت است (مثلاً یک جریان ثابت با تأثیر محدود است) از فرمول‌های Erlang می‌توان استفاده کرد (با یک تقریب مشخص). در نهایت، فرمول‌های Erlang را می‌توان تقریباً در مواردی استفاده کرد که QS اجازه می‌دهد مشتری در صف منتظر بماند، اما زمانی که زمان انتظار در مقایسه با میانگین زمان خدمات برای یک مشتری کوتاه است.
پهنای باند مطلق:
میانگین تعداد کانال های شلوغ است ارزش مورد انتظارتعداد کانال های شلوغ:
یا یا، با توجه به (11) و (5)
در اعداد بزرگکانال های خدماتیاز فرمول های زیر که فرمول ارلنگ نیز نامیده می شود استفاده کنید:
برای مقادیر بزرگ i:
تابع لاپلاس.
احتمال شکست: (9 اینچ)
پهنای باند نسبی
میانگین تعداد کانال های شلوغ:
وظیفه 2.در شرایط مسئله قبلی، عدد بهینه را تعیین کنید شماره تلفن هادر استودیو، در صورتی که شرط بهینه بودن، رضایت حداقل 90 درخواست مذاکره از هر 100 درخواست باشد.
راه حل.شدت بار کانال طبق فرمول (5) ? = 90/30 = 3، یعنی. برای میانگین زمان (بر اساس مدت زمان) مکالمه تلفنی t حدود = 2 دقیقه به طور متوسط 3 درخواست برای مذاکره دریافت می کند.
ما به تدریج تعداد کانال ها (شماره تلفن) n = 2، 3، 4،... را افزایش می دهیم و با فرمول های (7)، (10)، (11) مشخصه های سرویس QS کانال n حاصل را تعیین می کنیم. به عنوان مثال، برای n = 2
مقادیر ویژگی های QS در جدول ارائه شده است:
با توجه به شرط بهینه q ? 0.9، بنابراین، در استودیو لازم است 5 شماره تلفن (در این مورد q = 0.9) تنظیم شود. در همان زمان، به طور متوسط 80 برنامه در ساعت (Q = 80.1) و میانگین تعداد شماره تلفن های اشغال شده (کانال) ارائه می شود.
وظیفه 3.مرکز تلفن خودکار بیش از 120 مکالمه را همزمان ارائه نمی دهد. میانگین مدت زمان مکالمه 60 ثانیه است و تماس ها پس از میانگین 0.5 ثانیه می رسند. با در نظر گرفتن چنین ایستگاهی به عنوان یک سیستم صف چند کاناله با خرابی و ساده ترین جریان ورودی، تعیین کنید: الف) میانگین تعداد کانال های اشغال شده، ب) توان نسبی، ج) میانگین زمان ماندن تماس در ایستگاه، با در نظر گرفتن این واقعیت را در نظر بگیرید که ممکن است گفتگو انجام نشود.
راه حل.ما داریم: m = 120; ? = 1/0.5 = 2; ? = 1/60; ? =؟/؟ = 120.
با استفاده از جداول تابع لاپلاس، به دست می آوریم:
زیرا؟ شدت جریان ورودی (تعداد درخواست ها در واحد زمان) است، پس t av = u.
2 . CMO با انتظار و زمان انتظار محدود.
m کانال های سرویس وجود دارد، جریان ورودی ساده ترین کانال با شدت است؟، زمان سرویس و زمان انتظار SV بر اساس یک قانون نمایی با توزیع شده است. و به ترتیب.
اگر کانال های i اشغال شده باشد و من ? m، سپس به دلیل استقلال عملکرد آنها، شدت سرویس i برابر افزایش می یابد: ? i,i-1 = i?. هنگامی که یک صف رخ می دهد، هر حالت QS در نظر گرفته شده با شلوغی کانال های سرویس مشخص می شود. بنابراین، شدت انتشار کانال ثابت می شود u = m?.
آیا قانون توزیع زمان انتظار با شدت تعیین می شود؟ اگر یک برنامه در آن وجود داشته باشد صف را ترک کنید. به دلیل استقلال دریافت مطالبات (به تعریف ساده‌ترین جریان مراجعه کنید)، نرخی که ادعاها از خدمات خودداری می‌کنند و از صف خارج می‌شوند برابر با r است؟ (برای یک صف به طول r ? 1). بنابراین، چگالی احتمال انتقال سیستم از حالت S m+r به حالت S m+r-1 برابر است با مجموع شدت‌های آزاد شدن کانال‌های سرویس و انکار سرویس: ? m+r,m+r-1 = m؟ +r؟.
معادلات کولموگروف را می سازیم:
i=1،...، m-1، r؟ 0.
اگر هیچ محدودیتی در طول صف وجود ندارد، پس سیستم معمولی معادلات دیفرانسیل(1) بی نهایت است.
اگر در زمان اولیه t = 0 سیستم مورد بررسی در یکی از حالت های ممکن S j قرار داشت، شرایط اولیه برای آن به شرح زیر است.
پهنای باند مطلق- میانگین تعداد برنامه هایی که در واحد زمان قابل ارائه هستند. p 0 - احتمال آزاد بودن کانال، Q - توان نسبیشدت بار ρ=3 درجه سازگاری بین جریان های ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.
2. زمان سرویس.
دقیقه 
بنابراین، 3٪ در ساعت کانال مشغول نخواهد بود، زمان بیکاری برابر است با t pr = 1.7 دقیقه.
کانال 1 مشغول است:
p 1 = ρ 1 / 1! p 0 = 3 1/1! 0.0282 = 0.0845
2 کانال اشغال شده است:
p 2 = ρ 2 / 2! p 0 = 3 2 / 2! 0.0282 = 0.13
3 کانال اشغال شده است:
p 3 = ρ 3 / 3! p 0 = 3 3 / 3! 0.0282 = 0.13
.
این بدان معناست که 13 درصد از درخواست های دریافتی برای خدمات پذیرفته نمی شوند.
.
p open + p obs = 1
p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0.13 \u003d 0.87
در نتیجه به 87 درصد درخواست‌های دریافتی رسیدگی می‌شود. سطح قابل قبول خدمات باید بالای 90 درصد باشد.
.
n c = ρ p obs = 3 0.87 = 2.6 کانال
.
n pr \u003d n - n z \u003d 3 - 2.6 \u003d 0.4 کانال
.
بنابراین سیستم 90 درصد مشغول تعمیر و نگهداری است.
8. توان عملیاتی مطلق برای QS چند کاناله.
A = p obs λ = 0.87 6 = 5.2 برنامه در دقیقه.
9. میانگین توقف QS.
t pr \u003d p otk ∙ t obs \u003d 0.13 ∙ 0.5 \u003d 0.06 دقیقه.
.
واحدها 
دقیقه
.
L obs = ρ Q = 3 0.87 = 2.62 واحد
.
L CMO = L och + L obs = 1.9 + 2.62 = 4.52 واحد
.
دقیقه
تعداد درخواست هایی که ظرف یک ساعت رد شدند: λ p 1 = 0.78 برنامه در دقیقه.
عملکرد اسمی QS: 3 / 0.5 = 6 برنامه در دقیقه.
عملکرد واقعی CMO: 5.2 / 6 = 87٪ از عملکرد اسمی.
مثال شماره 2. سوپرمارکت سبزیجات و سبزیجات اولیه را از گلخانه های یک مزرعه دولتی حومه شهر دریافت می کند. خودروهای دارای کالا در زمان نامشخصی به سوپرمارکت می‌رسند. به طور متوسط، λ خودرو در روز وارد می شود. اتاق های ابزار و تجهیزات برای تهیه سبزیجات برای فروش امکان پردازش و ذخیره کالاهایی با حجم بیش از m خودرو را به طور همزمان فراهم می کند. این سوپرمارکت از n بسته بندی استفاده می کند که هر کدام به طور متوسط می توانند کالاها را از یک دستگاه در طول روزهای خدمات پردازش کنند. احتمال سرویس P obs خودروی ورودی را تعیین کنید. ظرفیت اتاق های تاسیسات متر مربع چقدر باید باشد تا احتمال سرویس دهی بیشتر یا مساوی باشد. ارزش داده شده، یعنی Pobs.> P*obs.
λ = 3; t obs = 0.5; n = 2; m = 2، P* obs = 0.92.
راه حل.
ما شاخص های خدمات یک QS چند کاناله را محاسبه می کنیم:
ما شدت جریان برنامه ها را به ساعت ترجمه می کنیم: λ = 3/24 = 0.13
شدت جریان سرویس:
μ = 1/12 = 0.0833
1. شدت بار.
ρ = λ t obs = 0.13 12 = 1.56
شدت بار ρ=1.56 درجه سازگاری بین جریان های ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.
از 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. احتمال رایگان بودن کانال(سهم کانال های خرابی).
بنابراین، 18٪ ظرف یک ساعت، کانال مشغول نخواهد بود، زمان بیکاری برابر است با t pr = 11 دقیقه.
احتمال اینکه سرویس:
کانال 1 مشغول است:
p 1 = ρ 1 / 1! p 0 = 1.56 1/1! 0.18 = 0.29
2 کانال اشغال شده است:
p 2 = ρ 2 / 2! p0 = 1.562/2! 0.18 = 0.22
4. نسبت درخواست های رد شده.
این بدان معناست که 14 درصد از درخواست های دریافتی برای خدمات پذیرفته نمی شوند.
5. احتمال سرویس دهی به درخواست های دریافتی.
در سیستم های دارای خرابی، خرابی و رویدادهای تعمیر و نگهداری یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین:
p open + p obs = 1
توان عملیاتی نسبی: Q = p obs.
p obs \u003d 1 - p otk \u003d 1 - 0.14 \u003d 0.86
در نتیجه به 86 درصد درخواست‌های دریافتی رسیدگی می‌شود. سطح قابل قبول خدمات باید بالای 90 درصد باشد.
6. میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس.
n c = ρ p obs = 1.56 0.86 = 1.35 کانال.
میانگین کانال های بیکار.
n pr \u003d n - n z \u003d 2 - 1.35 \u003d 0.7 کانال.
7. نرخ اشغال کانال سرویس.
K 3 \u003d n 3 / n \u003d 1.35 / 2 \u003d 0.7
بنابراین سیستم 70 درصد مشغول تعمیر و نگهداری است.
8. پیدا کنید توان عملیاتی مطلق.
A = p obs λ = 0.86 0.13 = 0.11 درخواست در ساعت.
9. میانگین توقف QS.
t pr \u003d p otk t obs \u003d 0.14 12 \u003d 1.62 ساعت.
احتمال تشکیل صف.
10. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف.
واحدها
11. میانگین توقف QS(میانگین زمان انتظار برای سرویس یک برنامه در صف).
T pt = L pt / A = 0.44/0.11 = 3.96 ساعت
12. میانگین تعداد درخواست های ارائه شده.
L obs = ρ Q = 1.56 0.86 = 1.35 واحد
13. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم.
L CMO = L pt + L obs = 0.44 + 1.35 = 1.79 واحد
13. میانگین زمان اقامت یک درخواست در CMO.
T CMO = L CMO / A = 1.79/0.11 = 16.01 ساعت
حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: ظرفیت اتاق های ابزار m 1 چقدر باید باشد تا احتمال سرویس بزرگتر یا مساوی یک مقدار معین باشد، یعنی. P obs. > 0.92. ما محاسبه را بر اساس شرط انجام می دهیم: 
جایی که 
برای داده های ما: 
بعد، شما باید چنین k را انتخاب کنید (به مورد 3 "سهم زمان بیکاری کانال ها" مراجعه کنید)، که در آن p otk 0.92 است.
برای مثال، در k = m 1 = 4، p out = 0.07 یا p obs = 0.93.
ساده ترین مدل تک کاناله.چنین مدلی با یک جریان ورودی احتمالی و یک روش خدمات، مدلی است که با توزیع نمایی هر دو مدت زمان فواصل بین ورود ادعاها و مدت زمان خدمات مشخص می شود. در این حالت، چگالی توزیع مدت زمان فواصل بین ورود مطالبات شکل می گیرد
(1)
شدت درخواست های وارد شده به سیستم کجاست.
چگالی توزیع طول مدت خدمات:
, (2)
شدت خدمات کجاست
جریان درخواست ها و خدمات ساده ترین هستند.
اجازه دهید سیستم با آن کار کند شکست هاتعیین توان عملیاتی مطلق و نسبی سیستم ضروری است.
بیایید این سیستم صف را در قالب یک نمودار (شکل 1) نشان دهیم که دو حالت دارد:
S 0 -کانال رایگان است (در انتظار)؛
S1- کانال مشغول است (درخواست در حال پردازش است).
برنج. 1.نمودار حالات یک QS تک کاناله با خرابی
احتمال حالت ها را مشخص کنید:
P 0 (t) -احتمال حالت "کانال رایگان است"؛
P 1 (t)- احتمال حالت "کانال مشغول است".
بر اساس نمودار حالت برچسب دار (شکل 1)، ما سیستمی از معادلات دیفرانسیل کولموگروف را برای احتمالات حالت می سازیم:
(3)
سیستم معادلات دیفرانسیل خطی (3) با در نظر گرفتن شرایط نرمال سازی = 1 راه حلی دارد. راه حل این سیستم ناپایدار نامیده می شود، زیرا مستقیماً به t بستگی دارد و به نظر می رسد:
(4)
(5)
به راحتی می توان تأیید کرد که برای یک QS تک کاناله با خرابی، احتمال وجود دارد Р 0 (t)چیزی جز توان عملیاتی نسبی سیستم نیست q
واقعا، P 0- احتمال اینکه در زمان t کانال آزاد باشد و درخواستی که در زمان t رسیده باشد , ارائه خواهد شد، و بنابراین، برای یک زمان معین t، میانگین نسبت تعداد درخواست های ارائه شده به تعداد درخواست های دریافتی نیز برابر است با , یعنی
q = . (6)
پس از یک بازه زمانی طولانی ()، یک حالت ثابت (حالت پایدار) به دست می آید:
با دانستن توان عملیاتی نسبی، به راحتی می توان عدد مطلق را پیدا کرد. پهنای باند مطلق (آ)- تعداد متوسطی که سیستم صف می تواند در واحد زمان ارائه دهد:
احتمال رد سرویس درخواست برابر با احتمال حالت "کانال مشغول است" خواهد بود:
این مقدار را می توان به عنوان میانگین سهم برنامه های ارائه نشده در بین برنامه های ارسال شده تفسیر کرد.
مثال 1اجازه دهید یک QS تک کاناله با خرابی نشان دهنده یک ایستگاه خدمات روزانه (OD) برای شستشوی خودرو باشد. این برنامه - ماشینی که در زمانی که پست مشغول است وارد شده است - از سرویس دهی رد می شود. سرعت جریان خودرو = 1.0 (خودرو در ساعت). میانگین زمان سرویس 1.8 ساعت است. جریان ماشین و جریان سرویس ساده ترین هستند.
برای تعیین مقادیر حدی در حالت ثابت لازم است:
توان نسبی q;
پهنای باند مطلق آ؛
احتمال شکست
توان عملیاتی واقعی QS را با اسمی مقایسه کنید، که اگر هر خودرو دقیقاً 1.8 ساعت سرویس شود و خودروها یکی پس از دیگری بدون وقفه دنبال شوند، خواهد بود.
راه حل
1. بیایید شدت جریان خدمات را تعیین کنیم:
2. بیایید توان نسبی را محاسبه کنیم:
ارزش qبه این معنی که در حالت ثابت، سیستم تقریباً به 35٪ از وسایل نقلیه وارد شده به پست SW خدمات می دهد.
3. خروجی مطلق با فرمول تعیین می شود:
1 0,356 = 0,356.
به این معنی که سیستم (پست SW) قادر است به طور متوسط 0.356 سرویس خودرو در ساعت انجام دهد.
3. احتمال شکست:
این بدان معنی است که حدود 65٪ از خودروهایی که به پست SW می رسند از سرویس دهی خودداری می کنند.
4. اجازه دهید ظرفیت اسمی سیستم را تعیین کنیم:
(خودرو در ساعت).
به نظر می رسد که 1.5 برابر بیشتر از توان عملیاتی واقعی است که با در نظر گرفتن ماهیت تصادفی جریان برنامه ها و زمان خدمات محاسبه می شود.
QS تک کاناله با انتظار.سیستم نوبت دهی یک کانال دارد. جریان ورودی درخواست های سرویس ساده ترین جریان با شدت است. شدت جریان خدمات (یعنی به طور متوسط به طور مداوم است کانال شلوغبرنامه های سرویس شده را صادر خواهد کرد). مدت زمان سرویس یک متغیر تصادفی است که تابع قانون توزیع نمایی است. جریان سرویس ساده ترین جریان پواسون رویدادها است. درخواستی که در زمانی می رسد که کانال مشغول است، در صف است و در انتظار سرویس است.
فرض کنید هر چقدر هم که درخواست وارد ورودی سیستم سرویس دهی شود، این سیستم (صف + سرویس گیرندگان در حال سرویس دهی) نمی تواند بیش از N-نیازها (درخواست ها) را در خود جای دهد، یعنی کلاینت هایی که منتظر نیستند مجبور به ارائه خدمات در جای دیگری می شوند. در نهایت، منبعی که درخواست های سرویس را ایجاد می کند ظرفیت نامحدود (بی نهایت بزرگ) دارد.
نمودار حالت QS در این مورد به شکلی است که در شکل نشان داده شده است. 2.
برنج. 2.نمودار حالات یک QS تک کاناله با انتظار
(طرح مرگ و تولید مثل)
حالت های QS تفسیر زیر را دارند:
S 0 - کانال رایگان است.
S 1 - کانال مشغول است (صف وجود ندارد)؛
S 2 - کانال مشغول است (یک درخواست در صف است).
……………………
S n -کانال مشغول است (n - 1 درخواست در صف قرار دارد).
…………………...
S N -کانال مشغول است (ن- 1 برنامه در صف هستند).
فرآیند ثابت در این سیستم توسط سیستم زیر تشریح خواهد شد معادلات جبری:
پ- شماره ایالت
حل معادلات سیستم فوق (10) برای مدل QS ما شکل دارد
(11)
لازم به ذکر است که انجام شرط ثابت بودن برای این QS ضروری نیست، زیرا تعداد درخواست های پذیرفته شده در سیستم سرویس دهی با اعمال محدودیت در طول صف (که نمی تواند بیشتر از آن باشد) کنترل می شود. ن- 1)، و نه نسبت بین شدت جریان ورودی، یعنی نه نسبت
بیایید تعریف کنیم ویژگی های یک QS تک کانالهبا انتظار و طول صف محدود برابر با (N- 1):
احتمال امتناع از سرویس برنامه:
(13)
توان نسبی سیستم:
(14)
پهنای باند مطلق:
A = q 𝝀; (15)
میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم:
(16)
میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در سیستم:
میانگین مدت اقامت مشتری (برنامه) در صف:
میانگین تعداد برنامه ها (کلاینت ها) در صف (طول صف):
L q= (1 - P N)W q .(19)
نمونه ای از QS تک کاناله با انتظار را در نظر بگیرید.
مثال 2یک پست تشخیصی تخصصی QS تک کاناله است. تعداد پارکینگ خودروهای منتظر عیب یابی محدود و برابر با 3 [ (ن- 1) = 3]. اگر همه پارکینگ ها اشغال شده باشند، یعنی از قبل سه ماشین در صف وجود داشته باشد، ماشین بعدی که برای عیب یابی وارد شده است وارد صف خدمات نمی شود. جریان خودروهایی که برای عیب یابی وارد می شوند طبق قانون پواسون توزیع شده و دارای شدت ❝ = 0.85 (ماشین در ساعت) است. زمان عیب یابی خودرو بر اساس قانون نمایی توزیع شده و به طور متوسط برابر با 1.05 ساعت است.
برای تعریف لازم استویژگی های احتمالی پست تشخیصی که در حالت ثابت کار می کند.
راه حل
1. پارامتر جریان تعمیر و نگهداری خودرو:
.
2. شدت کاهش یافته جریان اتومبیل ها به عنوان نسبت شدت های 𝝀 و μ تعریف می شود، یعنی.
3. بیایید احتمالات نهایی سیستم را محاسبه کنیم:
4. احتمال امتناع از سرویس خودرو:
5. توان عملیاتی نسبی پست تشخیصی:
6. توان عملیاتی مطلق پست تشخیصی
آ= 𝝀 q= 0.85 0.842 = 0.716 (وسایل نقلیه در ساعت).
7. میانگین تعداد خودروهای در حال سرویس و در صف (یعنی در سیستم نوبت دهی):
8. میانگین زمان ماندن یک وسیله نقلیه در سیستم:
9. میانگین مدت زمانی که یک برنامه کاربردی در صف سرویس می ماند:
10. میانگین تعداد برنامه ها در صف (طول صف):
L q= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.
کار پست تشخیصی در نظر گرفته شده را می توان رضایت بخش دانست، زیرا پست تشخیصی به طور متوسط در 15.8 درصد موارد به خودروها سرویس نمی دهد. (ر otk = 0.158).
QS تک کاناله با انتظار بدون محدودیت در ظرفیت بلوک انتظار(یعنی). شرایط باقی مانده برای عملکرد QS بدون تغییر باقی می ماند.
حالت ثابت عملکرد این QS برای هر n = 0، 1، 2،... و زمانی وجود دارد که 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого پ=0،1،2،…، دارای فرم است
حل این سیستم معادلات شکل دارد
ویژگی های یک QS تاخیری تک کانالی، بدون محدودیت در طول صف، به شرح زیر است:
میانگین تعداد مشتریان (درخواست) در سیستم برای خدمات:
(22)
میانگین مدت اقامت مشتری در سیستم:
(23)
میانگین تعداد مشتریان در صف خدمات:
میانگین مدت زمانی که مشتری در صف می گذراند:
مثال 3بیایید وضعیت در نظر گرفته شده در مثال 2 را به یاد بیاوریم، جایی که ما در مورد عملکرد پست تشخیصی صحبت می کنیم. اجازه دهید پست تشخیصی مورد بررسی دارای تعداد نامحدودی پارکینگ برای خودروهایی باشد که برای سرویس می‌رسند، یعنی طول صف محدود نیست.
برای تعیین مقادیر نهایی ویژگی های احتمالی زیر لازم است:
احتمالات حالت های سیستم (پست تشخیصی)؛
میانگین تعداد خودروهای موجود در سیستم (در سرویس و در صف)؛
میانگین مدت اقامت خودرو در سیستم (در سرویس و در صف)؛
میانگین تعداد خودروهای موجود در صف خدمات؛
4. میانگین مدت اقامت مشتری در سیستم:
5. میانگین تعداد خودروهای موجود در صف خدمات:
6. میانگین زمانی که یک ماشین در صف می گذراند:
7. توان عملیاتی نسبی سیستم:
یعنی به هر درخواستی که وارد سیستم می شود سرویس داده می شود.
8 . پهنای باند مطلق:
A= q = 0,85 1 = 0,85.
لازم به ذکر است که شرکتی که عیب یابی خودرو را انجام می دهد در درجه اول به تعداد مشتریانی که پست عیب یابی با رفع محدودیت در طول صف مراجعه می کند علاقه مند است.
بیایید بگوییم در نسخه اصلیتعداد جای پارک برای خودروهای ورودی سه بود (به مثال 2 مراجعه کنید). فرکانس تیشرایطی که ماشینی که به پست تشخیصی می رسد نمی تواند به صف بپیوندد:
تی= λP N.
در مثال ما، با N=3 + 1 = 4 و ρ = 0.893،
t \u003d λ P 0ρ 4 \u003d 0.85 0.248 0.8934 \u003d 0.134 اتومبیل در ساعت.
با یک حالت کارکرد 12 ساعته پست تشخیص، این معادل این واقعیت است که پست تشخیصی به طور متوسط در هر شیفت (روز) 12 0.134 = 1.6 وسیله نقلیه را از دست می دهد.
حذف محدودیت در طول صف این امکان را فراهم می کند که تعداد مشتریانی که در مثال ما ارائه می شوند به طور متوسط 1.6 وسیله نقلیه در هر شیفت (12 ساعت کار) در پست تشخیصی افزایش یابد. بدیهی است که تصمیم گیری در خصوص گسترش فضای پارک خودروهای ورودی به محل عیب یابی باید بر اساس ارزیابی خسارت اقتصادی ناشی از از دست دادن مشتریان تنها با سه جای پارک برای این خودروها باشد.
اطلاعات مشابه
نظریه مختصر
اجازه دهید سیستم صف‌بندی کانال n (QS) ساده‌ترین جریان نیازمندی‌ها را با شدت دریافت کند. مدت زمان سرویس به صورت نمایی با میانگین زمان سرویس توزیع می شود. اگر تمام کانال‌های سرویس اشغال شده باشند، تقاضای دریافت‌شده جدید برای درخواست‌های دریافت‌نشده قبلی در صف قرار می‌گیرد. کانال رایگان سرویس درخواست بعدی را از صف شروع می کند. اجازه دهید ویژگی های اصلی عملکرد چنین سیستمی را تعیین کنیم. از آنجایی که تعداد درخواست ها در صف می تواند بی نهایت زیاد باشد، تعداد حالت های سیستم نیز می تواند بی نهایت زیاد باشد.
احتمال حالت آزاد سیستم:
آخرین عبارت تحت شرط به دست آمد که شرط ثابت بودن برای QS است. در صورتی که سیستم نتواند با سرویس مقابله کند، صف به طور نامحدود افزایش می یابد. این رابطه با سطح بار سیستم نشان داده می شود:
اجازه دهید ویژگی های اصلی یک QS چند کاناله را با انتظار تعریف کنیم. احتمال رد شدن صفر است. توان نسبی مقداری است که احتمال شکست را تا یک تکمیل می کند: . توان عملیاتی مطلق اجازه دهید میانگین تعداد کانال‌های مشغول را تعیین کنیم: هر کانال مشغول به طور متوسط درخواست‌ها را در واحد زمان ارائه می‌کند و کل سیستم درخواست‌ها را ارائه می‌کند. سپس:
میزان اشغال کانال های خدماتی:
تشکیل یک صف زمانی امکان پذیر است که یک تقاضای تازه دریافت شده حداقل n تقاضا را در سیستم پیدا کند، یعنی زمانی که تقاضا در سیستم وجود داشته باشد. این رویدادها مستقل هستند، بنابراین احتمال اشغال همه کانال ها برابر است با مجموع احتمالات. بنابراین احتمال تشکیل یک صف:
میانگین تعداد مشتریان در صف را می توان به عنوان انتظارات ریاضی با جمع کردن محصولات تعداد مشتریان احتمالی و احتمال اینکه تعداد مشتریان در صف باشد محاسبه کرد:
میانگین تعداد بلیط های مرتبط با سیستم:
بیایید میانگین زمان انتظار برای یک برنامه را در صف تعیین کنیم. اگر همه کانال ها مشغول باشند صف تشکیل می شود. از آنجایی که نرخ سرویس است، جریان کانال های آزاد شده دارای نرخ . اگر درخواست در لحظه‌ای رسیده باشد که همه کانال‌ها مشغول هستند و هیچ صفی وجود ندارد، زمان انتظار به طور متوسط خواهد بود و اگر یک درخواست در صف پیدا کرد، پس و غیره. میانگین زمان انتظار برای برنامه های کاربردی در صف را با جمع کردن محصولات میانگین زمان انتظار و احتمال مربوطه پیدا می کنیم:
میانگین زمان اقامت درخواست ها در سیستم:
فرمول های کوچک:
میانگین تعداد کانال های سرویس بیکار:
نسبت بیکاری کانال:
مثال حل مسئله
وظیفه
چهار انباردار در انبار ساختمانی کار می کنند. جریان بازدیدکنندگان دارای شدت 2 برنامه در دقیقه است. زمان سرویس دارای توزیع نمایی با میانگین 1.5 دقیقه در هر بلیط است. تعیین عملکرد انبار
اگر در مطالعه حل مسائل به کمک پولی نیاز دارید، می توانید در این مورد به طور مفصل (نحوه گذاشتن برنامه، قیمت ها، شرایط، روش های پرداخت) را در صفحه نحوه سفارش حل مسئله با روش های حل بهینه ... مطالعه کنید.
راه حل مشکل
بنابراین احتمال بیکار بودن هر چهار انباردار 0.05 است. بیایید سایر شاخص های عملکرد سیستم را تعریف کنیم.
توان عملیاتی مطلق انبار، یعنی تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان، (برنامه در دقیقه). میانگین تعداد انبارداران شاغل. احتمال تشکیل صف، یعنی احتمال اینکه در زمان درخواست مشتری، هر چهار انباردار مشغول باشند:
میانگین تعداد برنامه های موجود در صف:
میانگین زمان صف:
میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم:
میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در سیستم:
میانگین تعداد انبارداران بیکار:
اگر مهلت های تحویل کنترل کاردر حال اتمام است، سپس با پول موجود در سایت می توانید کار آزمایشی خود را روی روش های راه حل های بهینه انجام دهید.
متوسطهزینه حل کار کنترل 700 - 1200 روبل است (اما نه کمتر از 300 روبل برای کل سفارش). قیمت به شدت تحت تاثیر فوریت تصمیم (از روز تا چند ساعت) است. هزینه کمک آنلاین در آزمون / آزمون - از 1000 روبل. برای راه حل بلیط
می توانید پس از رها کردن شرایط وظایف و اطلاع از مهلت های حل آن، تمام سوالات مربوط به هزینه را مستقیماً در چت بپرسید. زمان پاسخگویی چند دقیقه است.
نمونه کارهای مرتبط
QS چند کاناله با خرابی
اطلاعات نظری لازم، به ویژه فرمول های Erlang، و همچنین یک نمونه راه حل از مشکل در موضوع "سیستم صف چند کاناله با خرابی" ارائه شده است. شاخص های یک سیستم صف چند کاناله (QS) با خرابی با جزئیات در نظر گرفته می شود - احتمال خرابی و احتمال سرویس، توان عملیاتی مطلق سیستم و میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس برنامه.
برنامه ریزی شبکه - برنامه کاری
در مثال حل مسئله، مسائل ساختن گرافیک شبکهکار می کند، پیدا کردن مسیربحرانیو زمان بحرانی همچنین محاسبه پارامترها و ذخایر رویدادها و آثار - تاریخ های اولیه و متاخر، ذخایر عمومی (کامل) و خصوصی را نشان می دهد.
مدل لئونتیف بین بخشی
در مثال حل مسئله، مدل بین بخشی لئونتیف در نظر گرفته شده است. محاسبه ماتریس ضرایب هزینه های مستقیم مواد، ماتریس "ورودی- ستانده"، ماتریس ضرایب هزینه های غیرمستقیم، بردارهای مصرف نهایی و تولید ناخالص نشان داده شده است.
بارگذاری...