طول قطعه در صفحه مختصات. یافتن مختصات وسط یک بخش: مثال ها، راه حل ها

اگر یک ورق دفترچه یادداشت را با یک مداد خوب تراشیده لمس کنید، اثری باقی می ماند که ایده ای از نکته را می دهد. (شکل 3).

دو نقطه A و B را روی یک کاغذ مشخص می کنیم.این نقاط را می توان با خطوط مختلفی به هم متصل کرد (شکل 4). و چگونه می توان نقاط A و B را با کوتاه ترین خط به هم وصل کرد؟ این را می توان با استفاده از یک خط کش انجام داد (شکل 5). خط حاصل نامیده می شود بخش.

نقطه و خط - مثالها شکل های هندسی.

نقاط A و B نامیده می شوند انتهای بخش.

یک پاره منفرد وجود دارد که انتهای آن نقاط A و B است. بنابراین، یک قطعه با نوشتن نقاطی که انتهای آن هستند مشخص می شود. به عنوان مثال، بخش در شکل 5 به یکی از دو روش تعیین می شود: AB یا BA. بخوانید: "بخش AB" یا "بخش BA".

شکل 6 سه بخش را نشان می دهد. طول قطعه AB برابر با 1 سانتی متر است که دقیقاً سه بار در قطعه MN و دقیقاً 4 بار در قطعه EF قرار می گیرد. این را خواهیم گفت طول قطعه MN 3 سانتی متر است و طول قطعه EF 4 سانتی متر است.

همچنین مرسوم است که می گویند: "بخش MN 3 سانتی متر است"، "بخش EF 4 سانتی متر است". آنها می نویسند: MN = 3 سانتی متر، EF = 4 سانتی متر.

طول بخش‌های MN و EF را اندازه‌گیری کردیم تک بخشکه طول آن 1 سانتی متر است برای اندازه گیری سگمنت ها می توانید موارد دیگری را انتخاب کنید واحد طولبه عنوان مثال: 1 میلی متر، 1 dm، 1 کیلومتر. در شکل 7 طول قطعه 17 میلی متر است. با استفاده از یک خط کش با تقسیمات اندازه گیری می شود که طول آن 1 میلی متر است. همچنین، با استفاده از یک خط کش، می توانید قطعه ای به طول معین بسازید (کشیدن) (شکل 7 را ببینید).

اصلا، اندازه گیری یک قطعه به معنای شمارش تعداد واحدهای قطعه در آن است.

طول یک قطعه دارای ویژگی زیر است.

اگر نقطه C بر روی قطعه AB مشخص شده باشد، طول قطعه AB برابر است با مجموع طول قطعات AC و CB.(شکل 8).

آنها می نویسند: AB = AC + CB.

شکل 9 دو بخش AB و CD را نشان می دهد. این بخش‌ها هنگام روی هم قرار می‌گیرند.

دو پاره در صورت روی هم قرار گرفتن با هم مساوی خوانده می شوند.

بنابراین بخش های AB و CD برابر هستند. می نویسند: AB = CD.

قطعات مساوی دارای طول مساوی هستند.

از بین دو بخش نابرابر، قسمتی را که طول بیشتری دارد بزرگتر در نظر می گیریم. به عنوان مثال، در شکل 6، قطعه EF بزرگتر از قطعه MN است.

طول قطعه AB نامیده می شود فاصلهبین نقاط A و B

اگر چندین بخش مطابق شکل 10 مرتب شده باشند، آنگاه دریافت می کنیم شکل هندسی، که نامیده می شود خط شکسته. توجه داشته باشید که تمام قطعات در شکل 11 یک خط شکسته تشکیل نمی دهند. اعتقاد بر این است که اگر انتهای بخش اول با انتهای دوم و انتهای دیگر بخش دوم با انتهای سوم و غیره منطبق باشد، قطعات یک خط شکسته تشکیل می دهند.

نقاط A، B، C، D، E - رئوس چند خطی ABCDE، نقاط A و E - خط شکسته به پایان می رسد، و بخش های AB، BC، CD، DE آن هستند پیوندها(شکل 10 را ببینید).

طول خط شکستهمجموع طول تمام پیوندهای آن است.

شکل 12 دو خط شکسته را نشان می دهد که انتهای آنها بر هم منطبق است. چنین خطوط شکسته ای نامیده می شود بسته.

مثال 1 . قطعه BC 3 سانتی متر کمتر از قطعه AB است که طول آن 8 سانتی متر است (شکل 13). طول قطعه AC را پیدا کنید.

تصمیم. ما داریم: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (سانتی متر).

با استفاده از ویژگی طول یک قطعه، می توانیم AC = AB + BC بنویسیم. از این رو AC = 8 + 5 = 13 (سانتی متر).

جواب: 13 سانتی متر.

مثال 2 . مشخص است که MK = 24 سانتی متر، NP = 32 سانتی متر، MP = 50 سانتی متر (شکل 14). طول قطعه NK را پیدا کنید.

تصمیم. داریم: MN = MP − NP.

بنابراین MN = 50 - 32 = 18 (سانتی متر).

داریم: NK = MK − MN.

بنابراین NK = 24 − 18 = 6 (سانتی متر).

جواب: 6 سانتی متر

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه و داده شود، طول قطعه را می توان با فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، طول قطعه را می توان با فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه مرتب شوند، فرمول ها صحیح می مانند: و ، اما گزینه اول استانداردتر است

مثال 3

تصمیم:طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش - این یک بردار نیست، و البته نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر نقشه را به مقیاس کامل کنید: 1 واحد. \u003d 1 سانتی متر (دو سلول تتراد) ، سپس پاسخ را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول بخش بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند نکته مهم در آن وجود دارد که می خواهم توضیح دهم:

ابتدا، در پاسخ، بعد را تعیین می کنیم: "واحدها". این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، فرمول کلی یک راه حل ریاضی مناسب خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

در مرحله دوم، بیایید مطالب مدرسه را تکرار کنیم، که نه تنها برای مشکل در نظر گرفته شده مفید است:

توجه کن به ترفند فنی مهم – ضریب را از زیر ریشه خارج کنید. در نتیجه محاسبات، به نتیجه رسیدیم و سبک ریاضی خوب شامل خارج کردن ضریب از زیر ریشه (در صورت امکان) است. این روند با جزئیات بیشتر به این شکل است: . البته گذاشتن جواب در فرم اشتباه نخواهد بود - اما قطعاً عیب و استدلالی سنگین برای نیش زدن از طرف معلم است.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

اغلب در زیر ریشه به اندازه کافی معلوم می شود عدد بزرگ، به عنوان مثال . چگونه در چنین مواقعی باشیم؟ در ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم کنید، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم به وضوح امکان پذیر نیست. تلاش برای تقسیم بر نه: . در نتیجه:
آماده.

خروجی:اگر در زیر ریشه یک عدد کاملا غیر قابل استخراج به دست می آوریم، سپس سعی می کنیم فاکتور را از زیر ریشه خارج کنیم - در ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49، و غیره.

در مسیر حل مسائل مختلف غالباً ریشه‌یابی می‌شود، همیشه سعی کنید عواملی را از زیر ریشه استخراج کنید تا با توجه به تذکر استاد، راه‌حل‌های خود را نهایی کنید و از امتیاز کمتر و دردسرهای غیرضروری جلوگیری کنید.

بیایید مربع کردن ریشه ها و سایر قدرت ها را همزمان تکرار کنیم:

قوانین اعمال با درجه در نمای کلیرا می توان در یافت کتاب درسی مدرسهدر جبر، اما، من فکر می کنم، از مثال های داده شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل روشن است.

وظیفه یک راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز داده شده و . طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس.

مقاله زیر به مسائل مربوط به یافتن مختصات وسط قطعه در حضور مختصات آن به عنوان داده اولیه می پردازد. نقاط افراطی. اما قبل از پرداختن به بررسی موضوع، تعاریفی را معرفی می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

بخش- یک خط مستقیم که دو نقطه دلخواه را به هم متصل می کند که انتهای قطعه نامیده می شود. به عنوان مثال، بگذارید اینها نقاط A و B و به ترتیب قسمت A B باشند.

اگر پاره A B در هر دو جهت از نقاط A و B ادامه یابد، یک خط مستقیم A B خواهیم داشت. سپس پاره A B بخشی از خط مستقیم به دست آمده است که با نقاط A و B محدود شده است. قطعه A B نقاط A و B را که انتهای آن هستند و همچنین مجموعه نقاطی که بین آنها قرار دارد را با هم متحد می کند. برای مثال، اگر هر نقطه دلخواه K را بین نقاط A و B قرار دهیم، می توانیم بگوییم که نقطه K روی قطعه A B قرار دارد.

تعریف 2

طول برشفاصله بین انتهای قطعه در یک مقیاس معین (بخش واحد طول) است. طول قطعه A B را به صورت زیر نشان می دهیم: A B.

تعریف 3

نقطه میانینقطه ای در یک پاره خط که از انتهای آن به یک اندازه فاصله دارد. اگر وسط قطعه A B با نقطه C نشان داده شود، برابری درست خواهد بود: A C \u003d C B

داده های اولیه: خط مختصات O x و نقاط نامتناسب روی آن: A و B . این نقاط با اعداد واقعی مطابقت دارند x A و x B. نقطه C نقطه وسط قطعه A B است: شما باید مختصات را تعیین کنید x C .

از آنجایی که نقطه C نقطه وسط قطعه A B است، برابری درست خواهد بود: | A C | = | C B | . فاصله بین نقاط با مدول اختلاف بین مختصات آنها تعیین می شود، یعنی.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

سپس دو برابری ممکن است: x C - x A = x B - x C و x C - x A = - (x B - x C)

از تساوی اول، فرمولی برای مختصات نقطه C بدست می آوریم: x C \u003d x A + x B 2 (نصف مجموع مختصات انتهای بخش).

از تساوی دوم بدست می آوریم: x A = x B که غیر ممکن است، زیرا در داده های اصلی - نقاط عدم تطابق. بدین ترتیب، فرمول تعیین مختصات نقطه میانی قطعه A B با انتهای A (x A) و B(xB):

فرمول به دست آمده مبنایی برای تعیین مختصات نقطه میانی قطعه در یک صفحه یا در فضا خواهد بود.

داده های اولیه: سیستم مختصات مستطیلی در صفحه O x y، دو نقطه دلخواه غیر منطبق با مختصات داده شده A x A , y A و B x B , y B . نقطه C نقطه وسط قطعه A B است. تعیین مختصات x C و y C برای نقطه C ضروری است.

اجازه دهید برای تجزیه و تحلیل موردی را در نظر بگیریم که نقاط A و B بر هم منطبق نباشند و روی یک خط مختصات یا خطی عمود بر یکی از محورها قرار نگیرند. A x , A y ; B x، B y و C x، C y - پیش بینی نقاط A، B و C روی محورهای مختصات (خطوط مستقیم Ox و Oy).

با ساخت، خطوط A A x، B B x، C C x موازی هستند. خطوط نیز موازی با یکدیگر هستند. همراه با این، طبق قضیه تالس، از برابری A C \u003d C B، برابری ها به دست می آیند: A x C x \u003d C x B x و A y C y \u003d C y B y، و آنها نیز به نوبه خود، نشان می دهد که نقطه C x - وسط قطعه A x B x، و C y وسط قطعه A y B y است. و سپس، بر اساس فرمول به دست آمده قبلا، به دست می آوریم:

x C = x A + x B 2 و y C = y A + y B 2

در مواردی که نقاط A و B روی یک خط مختصات یا خطی عمود بر یکی از محورها قرار می گیرند، می توان از همین فرمول ها استفاده کرد. ما تجزیه و تحلیل دقیقی از این مورد انجام نمی دهیم، ما آن را فقط به صورت گرافیکی در نظر می گیریم:

با جمع بندی تمام موارد فوق، مختصات وسط قطعه A B روی صفحه با مختصات انتهای آن A (x A, y A) و B(x B، y B) که تعریف میشود:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

داده های اولیه: سیستم مختصات О x y z و دو نقطه دلخواه با مختصات داده شده A (x A , y A , z A) و B (x B , y B , z B) . لازم است مختصات نقطه C که وسط قطعه A B است مشخص شود.

A x , A y , A z ; B x، B y، B z و C x، C y، C z - پیش بینی تمام نقاط داده شده روی محورهای سیستم مختصات.

طبق قضیه تالس، برابری ها صادق هستند: A x C x = C x B x، A y C y = C y B y، A z C z = C z B z

بنابراین نقاط C x , C y , C z به ترتیب نقاط میانی پاره های A x B x , A y B y , A z B z هستند. سپس، برای تعیین مختصات وسط قطعه در فضا، فرمول های زیر درست است:

x C = x A + x B 2، y c = y A + y B 2، z c = z A + Z B 2

فرمول های حاصل در مواردی که نقاط A و B روی یکی از خطوط مختصات قرار دارند نیز قابل استفاده هستند. در یک خط مستقیم عمود بر یکی از محورها؛ یکی هواپیمای مختصاتیا صفحه ای عمود بر یکی از صفحات مختصات.

تعیین مختصات وسط یک قطعه از طریق مختصات بردارهای شعاع انتهای آن

فرمول یافتن مختصات وسط پاره را نیز می توان با توجه به تفسیر جبری بردارها به دست آورد.

داده های اولیه: سیستم مختصات دکارتی مستطیلی O x y، نقاط با مختصات داده شده A (x A، y A) و B (x B، x B). نقطه C نقطه وسط قطعه A B است.

با توجه به تعریف هندسی اعمال روی بردارها، برابری زیر صادق خواهد بود: O C → = 1 2 · O A → + O B → . نقطه C در این مورد، نقطه تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع است که بر اساس بردارهای O A → و O B → ساخته شده است، یعنی. نقطه وسط قطرها مختصات بردار شعاع نقطه برابر با مختصات نقطه است سپس تساوی ها درست است: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B) ، y ب) . بیایید چند عملیات را روی بردارها به صورت مختصات انجام دهیم و به دست آوریم:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

بنابراین نقطه C مختصاتی دارد:

x A + x B 2، y A + y B 2

بر اساس قیاس، فرمولی برای یافتن مختصات نقطه میانی یک قطعه در فضا تعریف می شود:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

نمونه هایی از حل مسائل برای یافتن مختصات وسط یک پاره

در میان کارهای مربوط به استفاده از فرمول های به دست آمده در بالا، هم مواردی وجود دارد که در آنها سؤال مستقیماً مختصات وسط بخش محاسبه می شود و هم مواردی که شامل آوردن شرایط داده شده به این سؤال است: اصطلاح "میانگین". اغلب استفاده می شود، هدف یافتن مختصات یک از انتهای بخش و همچنین مشکلات تقارن است که حل آنها به طور کلی پس از مطالعه نباید باعث ایجاد مشکل شود. موضوع حاضر. بیایید نمونه های معمولی را در نظر بگیریم.

مثال 1

اطلاعات اولیه:در صفحه - نقاط با مختصات داده شده A (- 7، 3) و B (2، 4). یافتن مختصات نقطه میانی قطعه A B ضروری است.

تصمیم گیری

اجازه دهید وسط قطعه A B را با نقطه C نشان دهیم. مختصات آن نصف مجموع مختصات انتهای قطعه تعیین می شود، یعنی. نقاط A و B

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

پاسخ: مختصات وسط قطعه A B - 5 2 , 7 2 .

مثال 2

اطلاعات اولیه:مختصات مثلث A B C مشخص است: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . باید طول میانه A M را پیدا کرد.

تصمیم گیری

با شرط مسئله، A M میانه است، به این معنی که M نقطه وسط قطعه B C است. اول از همه، مختصات وسط قطعه B C را پیدا می کنیم، یعنی. ام امتیاز:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

از آنجایی که اکنون مختصات هر دو انتهای میانه (نقاط A و M) را می دانیم، می توانیم از فرمول برای تعیین فاصله بین نقاط و محاسبه طول میانه A M استفاده کنیم:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

پاسخ: 58

مثال 3

اطلاعات اولیه:یک متوازی الاضلاع A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی داده شده است. مختصات نقطه C 1 (1 , 1 , 0) داده شده است و نقطه M نیز تعریف شده است که نقطه وسط قطر B D 1 است و دارای مختصات M (4 , 2 , - 4) است. محاسبه مختصات نقطه A ضروری است.

تصمیم گیری

قطرهای یک متوازی الاضلاع در یک نقطه تلاقی می کنند که نقطه وسط همه قطرها است. بر اساس این عبارت، می‌توان در نظر داشت که نقطه M که با شرایط مسئله شناخته می‌شود، وسط قطعه A С 1 است. بر اساس فرمول یافتن مختصات وسط قطعه در فضا، مختصات نقطه A را پیدا می کنیم: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

پاسخ:مختصات نقطه A (7, 3, - 8) .

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بخشبخشی از یک خط مستقیم را که شامل تمام نقاط این خط است که بین دو نقطه داده شده قرار دارد، نام ببرید - به آنها انتهای قطعه می گویند.

بیایید مثال اول را در نظر بگیریم. بگذارید یک قطعه معین در صفحه مختصات با دو نقطه داده شود. در این صورت می توانیم طول آن را با اعمال قضیه فیثاغورث پیدا کنیم.

بنابراین، در دستگاه مختصات، یک قطعه با مختصات داده شده انتهای آن رسم کنید(x1; y1) و (x2; y2) . روی محور ایکس و Y از انتهای قطعه عمود بریزید. قسمت هایی را که از قسمت اصلی بر روی محور مختصات پیش بینی می شود با قرمز علامت بزنید. پس از آن، بخش های طرح ریزی شده را به موازات انتهای قطعات منتقل می کنیم. یک مثلث (مستطیل) می گیریم. هیپوتنوز این مثلث خود قطعه AB خواهد بود و پاهای آن برآمدگی های منتقل شده است.

بیایید طول این پیش بینی ها را محاسبه کنیم. بنابراین در محور Y طول طرح ریزی است y2-y1 ، و در محور ایکس طول طرح ریزی است x2-x1 . بیایید قضیه فیثاغورث را اعمال کنیم: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . در این مورد |AB| طول قطعه است.

اگر از این طرح برای محاسبه طول یک بخش استفاده کنید، حتی نمی توانید یک قطعه بسازید. حالا طول قطعه را با مختصات محاسبه می کنیم (1;3) و (2;5) . با اعمال قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . و این بدان معنی است که طول قطعه ما برابر است با 5:1/2 .

روش زیر را برای یافتن طول یک قطعه در نظر بگیرید. برای این کار باید مختصات دو نقطه را در یک سیستم بدانیم. در نظر گرفتن این گزینهبا استفاده از یک سیستم مختصات دکارتی دو بعدی.

بنابراین، در یک سیستم مختصات دوبعدی، مختصات نقاط انتهایی قطعه آورده شده است. اگر از میان این نقاط خطوط مستقیم بکشیم، باید بر محور مختصات عمود باشند، سپس به دست می آید راست گوشه. قطعه اصلی هیپوتنوز مثلث حاصل خواهد بود. پاهای مثلث قطعاتی را تشکیل می دهند، طول آنها برابر است با پیش بینی هیپوتانوس روی محورهای مختصات. بر اساس قضیه فیثاغورث، نتیجه می گیریم: برای یافتن طول یک قطعه معین، باید طول برآمدگی ها را روی دو محور مختصات پیدا کنید.

طول های پروجکشن را پیدا کنید (X و Y) قطعه اصلی به محورهای مختصات. ما آنها را با یافتن تفاوت مختصات نقاط در امتداد یک محور جداگانه محاسبه می کنیم: X=X2-X1، Y=Y2-Y1 .

طول قطعه را محاسبه کنید و ، برای این ما جذر را پیدا می کنیم:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

اگر پاره ما بین نقاطی قرار گیرد که مختصات آنها 2;4 و 4;1 ، سپس طول آن به ترتیب برابر است با √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .