कॉम्बिनेटरिक्स के विषय तत्वों पर प्रस्तुति। कॉम्बिनेटरिक्स - बड़े विज्ञान में पहला कदम

तत्वों
कॉम्बिनेटरिक्स।
इलेक्ट्रॉनिक शैक्षणिक मैनुअल
कक्षा 9-11 के छात्रों के लिए।
लेखक-संकलक:
कटोरोवा ओ.जी.,
गणित शिक्षक
MBOU "जिमनैजियम नंबर 2"
सरोव

साहचर्य

कॉम्बिनेटरिक्स एक सेक्शन है
गणित, जो अध्ययन करता है
पसंद या स्थान के प्रश्न
सेट के तत्वों के अनुसार
दिए गए नियमों के साथ.
"कॉम्बिनेटरिक्स" लैटिन से आया है
शब्द "कॉम्बिना", जिसका रूसी में अनुवाद किया गया है
का अर्थ है "जोड़ना", "जुड़ना"।

ऐतिहासिक संदर्भ
शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स" था
गणितीय उपयोग में लाया गया
दुनिया भर
प्रसिद्ध
जर्मन
वैज्ञानिक जी.वी. लीबनिज़, जो में
1666 में प्रवचन प्रकाशित
संयोजक कला के बारे में।"
जी.डब्ल्यू. लीबनिज़
18वीं शताब्दी में, लोगों ने संयुक्त समस्याओं को सुलझाने की ओर रुख किया
और अन्य उत्कृष्ट गणितज्ञ। हाँ, लियोनहार्ड यूलर
संख्याओं के विभाजन, मिलान, से संबंधित समस्याओं पर विचार किया गया
चक्रीय व्यवस्था, जादुई और के निर्माण के बारे में
लैटिन वर्ग.

कॉम्बिनेटरिक्स सौदे
विभिन्न प्रकार के यौगिक
(पुनर्व्यवस्था, प्लेसमेंट,
संयोजन) जो हो सकते हैं
तत्वों से बनता है
कुछ परिमित समुच्चय.

संयुक्त संबंध

पुनर्व्यवस्था
1.
2.
पुनरावृत्ति के बिना क्रमपरिवर्तन
दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन
प्लेसमेंट
1.
2.
दोहराव के बिना प्लेसमेंट
दोहराव के साथ प्लेसमेंट
युग्म
1.
2.
दोहराव के बिना संयोजन
दोहराव के साथ संयोजन

क्रमपरिवर्तन - कनेक्शन,
जो n से बना हो सकता है
तत्व, सब बदल रहे हैं
उन्हें ऑर्डर करने के संभावित तरीके.
सूत्र:

ऐतिहासिक सन्दर्भ

1713 में इसका प्रकाशन हुआ
जे. बर्नौली द्वारा निबंध "कला
धारणाएँ" जिसमें
पर्याप्त विवरण प्रस्तुत किया गया
उस समय तक ज्ञात था
संयुक्त तथ्य.
"कला
धारणाएँ" पूरी नहीं हुईं
लेखक द्वारा और उनकी मृत्यु के बाद प्रकट हुआ।
निबंध में 4 भाग शामिल थे,
कॉम्बिनेटरिक्स समर्पित था
दूसरा भाग, जिसमें शामिल है
n में से क्रमपरिवर्तन की संख्या के लिए सूत्र
तत्व.

उदाहरण

8 व्यक्ति कितने प्रकार से खड़े हो सकते हैं?
बॉक्स ऑफिस पर कतार?
समस्या का समाधान:
8 सीटें हैं जिन पर 8 लोगों का कब्जा होना चाहिए।
8 लोगों में से कोई भी प्रथम स्थान ले सकता है, अर्थात। तौर तरीकों
प्रथम स्थान प्राप्त करें - 8.
एक व्यक्ति के पहले स्थान पर आने के बाद 7 बचे हैं
सीटें और 7 लोग जो उन पर बैठ सकते हैं, यानी।
दूसरा स्थान पाने के तरीके - 7. इसी प्रकार तीसरे स्थान के लिए,
चौथा, आदि स्थानों।
गुणन के सिद्धांत का उपयोग करके, हम उत्पाद प्राप्त करते हैं। यह
उत्पाद को 8 के रूप में नामित किया गया है! (8 फैक्टोरियल पढ़ें) और
P8 क्रमपरिवर्तन कहा जाता है.
उत्तर: P8 = 8!

खुद जांच करें # अपने आप को को

1) आप कितने तरीके से रख सकते हैं
एक दूसरे के बगल वाली शेल्फ पर चार अलग-अलग चीजें हैं
पुस्तकें?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

2) आप कितने तरीके से डाल सकते हैं
10 में 10 अलग-अलग कार्ड उपलब्ध हैं
लिफाफे (प्रति लिफाफा एक पोस्टकार्ड)?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

3) आप कितने प्रकार से पौधारोपण कर सकते हैं
भोजन कक्ष में आठ कुर्सियों पर आठ बच्चे
बाल विहार?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

4) आप कितने अलग-अलग शब्द बना सकते हैं?
किसी शब्द में अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करना
"त्रिकोण" (स्वयं शब्द सहित)?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

5) आप कितने तरीके से इंस्टॉल कर सकते हैं
प्रतिदिन सात में से एक व्यक्ति की ड्यूटी
7 दिनों के लिए विद्यार्थियों का समूह बनाएं (प्रत्येक)
एक बार ड्यूटी पर होना चाहिए)?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

के साथ क्रमपरिवर्तन
repetitions
दोहराव के साथ कोई भी प्लेसमेंट, में
जिसमें तत्व a1 को k1 बार दोहराया जाता है, तत्व
a2 को k2 बार दोहराया जाता है, आदि। तत्व
बार-बार kn बार, जहाँ k1, k2, ..., kn डेटा हैं
संख्या को क्रमपरिवर्तन कहा जाता है
आदेश की पुनरावृत्ति
m = k1 + k2 + … + kn, जिसमें डेटा
तत्व a1, a2, …, an दोहराए जाते हैं
क्रमशः k1, k2, .., kn बार।

खुद जांच करें # अपने आप को को

के साथ क्रमपरिवर्तन
repetitions
प्रमेय. विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या
तत्वों की पुनरावृत्ति (a1, ..., a), में
जिनके तत्व a1,…, an दोहराए जाते हैं
क्रमशः k1, ..., k गुना, बराबर होता है
(k1+k2+…+kn)!
एम!
पी
क1! के2! ...नहीं!
क1! के2! ...नहीं!

खुद जांच करें # अपने आप को को

उदाहरण
अक्षरों वाले शब्दों और वाक्यांशों को पुनर्व्यवस्थित किया गया
अनाग्राम कहलाते हैं. आप कितने विपर्यय लिख सकते हैं
"मकाक" शब्द से बना है?
समाधान।
शब्द "MACACA" (m=6) में कुल मिलाकर 6 अक्षर हैं।
आइए निर्धारित करें कि किसी शब्द में प्रत्येक अक्षर का कितनी बार उपयोग किया गया है:
"एम" - 1 बार (k1=1)
"ए" - 3 बार (k2=3)
"K" - 2 बार (k3=2)
एम!
पी=
क1! के2! …जान!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

खुद जांच करें # अपने आप को को

1) आपको कितने अलग-अलग शब्द मिल सकते हैं,
"गणित" शब्द के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करें?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

2) आप इसे कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं
पहला क्षैतिज शतरंज बिसात सेट
सफेद टुकड़े (राजा, रानी, दो हाथी, दो
हाथी और दो शूरवीर)?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को
3) माँ के पास 2 सेब, 3 नाशपाती और 4 संतरे हैं।
वह लगातार नौ दिनों तक हर दिन
बचे हुए फलों में से एक फल अपने बेटे को देता है।
यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
समाधान

ऐतिहासिक सन्दर्भ
मिश्रित उद्देश्य हो सकते हैं
चीनी "पुस्तक" के प्रतीकवाद पर भी ध्यान दें
परिवर्तन" (वी शताब्दी ईसा पूर्व)।
12वीं सदी में. भारतीय गणितज्ञ भास्कर
उनकी मुख्य कृति "लीलावती" के बारे में विस्तार से बताया गया है
क्रमपरिवर्तन के साथ समस्याओं का अध्ययन किया और
संयोजन, जिसमें क्रमपरिवर्तन भी शामिल है
पुनरावृत्ति.

उदाहरण

प्लेसमेंट
n तत्वों को k क्रम में रखकर
(k n) कोई समुच्चय है
इसमें लिए गए किसी भी k तत्व शामिल हैं
n तत्वों का एक निश्चित क्रम।
n तत्वों की दो व्यवस्थाओं पर विचार किया गया है
भिन्न यदि वे स्वयं भिन्न हैं
तत्व या वह क्रम जिसमें वे व्यवस्थित हैं।
ए एन(एन 1)(एन 2) ... (एन (के 1))
क
एन

खुद जांच करें # अपने आप को को

उदाहरण
एक कक्षा में 40 विद्यार्थियों में से कितने प्रकार से?
संपत्ति की पहचान इस प्रकार की जा सकती है:
मुखिया, भौतिक विज्ञानी और दीवार अखबार के संपादक?
समाधान:
आदेशित तीन-तत्व का चयन करना आवश्यक है
40 वाले समुच्चय के उपसमुच्चय
तत्व, अर्थात् बिना प्लेसमेंट की संख्या ज्ञात करें
3 के 40 तत्वों की पुनरावृत्ति।
40!
ए=
=38*39*40=59280
37!
3
40

खुद जांच करें # अपने आप को को

1. सात अलग-अलग पुस्तकों में से चुनें
चार। यह कितने तरीकों से संभव है?
करना?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

2. वे फुटबॉल चैम्पियनशिप में भाग लेते हैं
दस टीमें. कितने मौजूद हैं
लेने के लिए विभिन्न अवसर
टीमें पहले तीन स्थान पर?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

3. कक्षा में 7 विषयों की पढ़ाई होती है। बुधवार 4
पाठ, और हर एक अलग है। कितने
जिन तरीकों से आप शेड्यूल बना सकते हैं
बुधवार?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

के साथ प्लेसमेंट
repetitions
दोहराव के साथ प्लेसमेंट -
n तत्वों वाले यौगिक,
एम विभिन्न तत्वों से चयनित
प्रजातियाँ (एनएम) और एक से भिन्न
दूसरा या तो रचना या क्रम से
तत्व.
उनकी संख्या अनुमानित है
तत्वों की असीमित संख्या
प्रत्येक प्रकार समान है

खुद जांच करें # अपने आप को को

उपयोग उदाहरण
पुस्तकालय के लिए, जिसमें बहुत कुछ है
दस समान पाठ्यपुस्तकें
विषय, 5 स्कूली बच्चे आये,
जिनमें से प्रत्येक एक पाठ्यपुस्तक लेना चाहता है।
लाइब्रेरियन एक पत्रिका में लिखता है
नामों का क्रम (बिना संख्या के) लिया गया
पाठ्यपुस्तकों में उन छात्रों के नाम नहीं हैं जिन्होंने उन्हें दिया था
ले लिया है। पत्रिका में कितनी अलग-अलग सूचियाँ हैं?
क्या यह प्रकट हो सकता है?

ऐतिहासिक सन्दर्भ

समस्या का समाधान
चूंकि प्रत्येक के लिए पाठ्यपुस्तकें
विषय वही हैं, और लाइब्रेरियन भी
केवल नाम रिकॉर्ड करता है (बिना
नंबर), तो सूची के साथ प्लेसमेंट है
पुनरावृत्ति, तत्वों की संख्या
मूल सेट 10 है, और
पदों की संख्या - 5.
तब विभिन्न सूचियों की संख्या बराबर होती है
= 100000.
उत्तर: 100000

प्लेसमेंट

खुद जांच करें # अपने आप को को!
1. टेलीफोन नंबर 7 अंकों का होता है।
कॉल की सबसे बड़ी संख्या क्या है?
हारने वाला-पेट्या प्रतिबद्ध हो सकता है
सही संख्या का अनुमान लगाने से पहले.
समाधान
समाधान

उदाहरण

खुद जांच करें # अपने आप को को!
2. आप कितने तरीकों से कर सकते हैं
से बना एक शब्द लिखें
अंग्रेजी वर्णमाला के चार अक्षर?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

खुद जांच करें # अपने आप को को!
3. एक दुकान में जहां 4 प्रकार की गेंदें हैं,
हमने लगातार 8 गेंदें डालने का फैसला किया। कितने
यदि वे तरीके से आप ऐसा कर सकते हैं
क्या स्थान मायने रखता है?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

खुद जांच करें # अपने आप को को!
4. आप कितने तरीकों से सिलाई कर सकते हैं
छह बटन वाली जोकर पोशाक
पाने के लिए चार रंगों में से एक
नमूना?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को

युग्म
संयोजन - प्रत्येक युक्त यौगिक
n में से m आइटम, एक दूसरे से भिन्न
कम से कम एक वस्तु से मित्रता करें।
संयोजन परिमित समुच्चय हैं
जिसका क्रम कोई मायने नहीं रखता.

खुद जांच करें # अपने आप को को

युग्म
मात्रा ज्ञात करने का सूत्र
दोहराव के बिना संयोजन:

खुद जांच करें # अपने आप को को

ऐतिहासिक सन्दर्भ
1666 में लाइबनिज ने डिस्कोर्सेज़ प्रकाशित किया
संयोजक कला के बारे में।" अपने निबंध में
लीबनिज ने विशेष प्रतीकों, शर्तों का परिचय दिया
उपसमुच्चय और उन पर संचालन, n तत्वों के सभी k संयोजन ढूँढता है, गुण प्रदर्शित करता है
संयोजन:
,
,

खुद जांच करें # अपने आप को को

उपयोग उदाहरण:
आप कितने तरीकों से दो चुन सकते हैं?
25 छात्रों वाली कक्षा से ड्यूटी अधिकारी?
समाधान:
एम = 2 (ड्यूटी कर्मियों की आवश्यक संख्या)
n = 25 (कक्षा में कुल छात्र)

दोहराव के साथ प्लेसमेंट

खुद जांच करें # अपने आप को को!
1) आप कितने तरीकों से कर सकते हैं
तीन छात्रों को सौंपें
9 सदस्यों का अंतरविश्वविद्यालय सम्मेलन
वैज्ञानिक समाज?
समाधान

उपयोग उदाहरण

खुद जांच करें # अपने आप को को!
2) दस सम्मेलन प्रतिभागी
हाथ मिलाया हाथ मिलाया
प्रत्येक के लिए। कितने हाथ मिलाये गये?
बनाया?
समाधान

समस्या का समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को!
3) स्कूल गायन मंडली में 6 लड़कियाँ और 4 लड़के हैं।
आप कितने तरीकों में से चुन सकते हैं
स्कूल गायन मंडली: 2 लड़कियाँ और 1 लड़का
जिला गायन मंडली के प्रदर्शन में भाग लेने के लिए?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को!

4) आप कितने तरीकों से चुन सकते हैं 3
20 लोगों के समूह से एथलीटों के लिए
प्रतियोगिताओं में भागीदारी?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को!

5) कक्षा में 10 शैक्षणिक विषय और 5 अलग-अलग विषय हैं
प्रति दिन पाठ. कितने तरीकों से कर सकते हैं
क्या पाठ एक ही दिन वितरित किये जायेंगे?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को!

दोहराव के साथ संयोजन
परिभाषा
एम से दोहराव के साथ संयोजन
n, n से बने यौगिक हैं
एम तत्वों से चयनित तत्व
विभिन्न प्रकार के, और एक से भिन्न
कम से कम एक तत्व द्वारा दूसरा।
एम से एन तक संयोजनों की संख्या
निरूपित

खुद जांच करें # अपने आप को को!

दोहराव के साथ संयोजन
यदि n तत्वों वाले सेट से कोई चयन करता है
चयनित तत्व के साथ वैकल्पिक रूप से एम तत्व
हर बार वापस आता है, फिर कई तरीकों से
एक अव्यवस्थित नमूना बनाएं - संयोजनों की संख्या
दोहराव - बनता है

खुद जांच करें # अपने आप को को!

ऐतिहासिक सन्दर्भ
अग्रणी भारतीय गणितज्ञ
भास्कर अकरिया (1114-1185) भी
विभिन्न प्रकार के संयोजन का अध्ययन किया
सम्बन्ध। वह इस ग्रंथ का स्वामी है
"सिद्धांत-शिरोमणि" ("शिक्षण का मुकुट"),
13वीं शताब्दी में पुनः लिखा गया। पट्टियों पर
ताड़पत्र, ताड़ का पत्ता। इसमें लेखक ने दिया है
खोजने के मौखिक नियम
और
, उनके अनुप्रयोगों और प्लेसमेंट को इंगित करते हुए
असंख्य उदाहरण

खुद जांच करें # अपने आप को को!

उपयोग उदाहरण
कार्य क्रमांक 1
7 केक के कितने सेट
यदि उपलब्ध हो तो संकलित किया जा सकता है
क्या केक 4 प्रकार के होते हैं?
समाधान:

खुद जांच करें # अपने आप को को!

उपयोग उदाहरण
कार्य क्रमांक 2
सामान्यतः कितनी हड्डियाँ होती है?
डोमिनोज़ का खेल?
समाधान: डोमिनोज़ के बारे में सोचा जा सकता है
सात अंकों में से दो की पुनरावृत्ति के साथ संयोजन
सेट (0,1,2,3,4,5,6)।
ऐसे सभी की संख्या
संयोजन बराबर हैं

खुद जांच करें # अपने आप को को!

खुद जांच करें # अपने आप को को
कार्य 1।
जिम्नेजियम कैफेटेरिया 5 किस्में बेचता है
पाई: सेब के साथ, गोभी के साथ,
आलू, मांस और मशरूम. कितने
आप कितने तरीकों से खरीदारी कर सकते हैं
10 पाई?
समाधान

युग्म

खुद जांच करें # अपने आप को को
कार्य 2.
बॉक्स में तीन रंगों की गेंदें हैं -
लाल, नीला और हरा. कितने
आप दो तरीकों से एक सेट बना सकते हैं
गेंदें?
समाधान

युग्म

खुद जांच करें # अपने आप को को
कार्य 3.
आप कितने तरीकों से चुन सकते हैं 4
चार पाँच-कोपेक सिक्के और से सिक्के
चार दो-कोपेक सिक्के?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को
कार्य 4.
कितने डोमिनोज़ होंगे?
यदि उनमें
शिक्षा सभी नंबरों का उपयोग करती है?
समाधान

खुद जांच करें # अपने आप को को
कार्य 5.
युवा प्रभाववादी के पैलेट में 8 शामिल हैं
विभिन्न रंग। कलाकार ब्रश लेता है
बेतरतीब ढंग से कोई भी रंग और रंग डालता है
व्हाटमैन पेपर पर दाग. फिर अगला लेता है
ब्रश करें, इसे किसी भी पेंट में डुबोएं और बनाएं
अगले दरवाजे पर दूसरा स्थान. कितने
के लिए अलग-अलग संयोजन मौजूद हैं
छह स्थान?
समाधान

प्रयुक्त पुस्तकें
बीजगणित और गणित की शुरुआत
विश्लेषण। 11वीं कक्षा / यू.एम. कोल्यागिन, एम.वी. तकाचेवा,
एन.ई. फेडोरोवा, एम.आई.शबुनिन। –
एम.: शिक्षा, 2011.
विलेनकिन एन.वाई.ए. संयोजक। - एम., 1969
विलेनकिन एन.वाई.ए. संयोजक। - एमसीएमएनओ,
2010
ru.wikipedia.org›wiki/कॉम्बिनेटरिक्स का इतिहास

पेट्रोव व्लादिमीर, राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान एसओ एनपीओ "वोकेशनल स्कूल नंबर 22", सेराटोव के 12वें समूह के छात्र

प्रस्तुति क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट और संयोजन खोजने की समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर चर्चा करती है।

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कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व: क्रमपरिवर्तन, संयोजन और प्लेसमेंट प्रस्तुति राज्य बजटीय शैक्षिक संस्थान एसओ एनपीओ के समूह 12 के छात्र व्लादिमीर पेत्रोव द्वारा तैयार की गई थी।

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो प्रश्नों के उत्तर खोजने में व्यस्त है: किसी दिए गए मामले में कितने संयोजन हैं, इन सभी संयोजनों में से सर्वश्रेष्ठ को कैसे चुना जाए। शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स" लैटिन शब्द "कॉम्बिनारे" से आया है, जिसका रूसी में अनुवाद "गठबंधन", "जुड़ना" है। "कॉम्बिनेटरिक्स" शब्द की शुरुआत विश्व प्रसिद्ध जर्मन वैज्ञानिक, प्रसिद्ध गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज द्वारा की गई थी।

संयुक्त समस्याओं को कई समूहों में विभाजित किया गया है: क्रमपरिवर्तन समस्याएँ प्लेसमेंट समस्याएँ संयोजन समस्याएँ

पुनर्व्यवस्था की समस्याएँ एक बुकशेल्फ़ पर 3 अलग-अलग पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है? यह एक क्रमपरिवर्तन समस्या है

एन लिखें! इसे इस प्रकार पढ़ें: "एन फैक्टोरियल" फैक्टोरियल 1 से n तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है, उदाहरण के लिए, 4! = 1*2*3*4 = 24 एन! = 1 · 2 · 3 · ... · एन.

एन 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 एन! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 फैक्टरियल आश्चर्यजनक रूप से तेज़ी से बढ़ते हैं:

काम। अंतिम दौड़ में 8 प्रतिभागियों को आठ ट्रेडमिलों पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है? पी8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

n तत्वों का क्रमपरिवर्तन इन तत्वों की प्रत्येक व्यवस्था को एक निश्चित क्रम में करना है। पी एन = 1 · 2 · 3 · ... · एन. पीएन=एन!

काम। चौकड़ी शरारती बंदर गधा, बकरी, हाँ, क्लबफुटेड भालू उन्होंने चौकड़ी बजाना शुरू कर दिया... रुको, भाइयों, रुको! - बंदर चिल्लाता है, - रुको! संगीत कैसा होना चाहिए? आख़िरकार, आप ऐसे नहीं बैठे हैं... आपने सीटें इधर-उधर बदलीं - फिर से संगीत अच्छा नहीं चल रहा है। अब उनमें इस बात को लेकर पहले से कहीं अधिक चर्चाएं और विवाद होने लगे हैं कि किसे बैठना चाहिए और कैसे... चार संगीतकारों को कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है? पी = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

प्लेसमेंट कार्य

समस्या: हमारे पास 5 किताबें हैं, हमारे पास केवल एक शेल्फ है, और उसमें केवल 3 किताबें ही रखी जा सकती हैं। एक शेल्फ पर 3 पुस्तकों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है? हम 5 पुस्तकों में से एक को चुनते हैं और उसे शेल्फ पर पहले स्थान पर रखते हैं। हम इसे 5 तरीकों से कर सकते हैं. अब शेल्फ पर दो जगह बची हैं और हमारे पास 4 किताबें बची हैं। हम दूसरी किताब को 4 तरीकों से चुन सकते हैं और उसे 5 संभावित पहली किताबों में से किसी एक के बगल में रख सकते हैं। ऐसे 5·4 जोड़े हो सकते हैं. 3 किताबें और एक जगह बची है. 3 में से एक किताब को 3 तरीकों से चुना जा सकता है और संभावित 5·4 जोड़ियों में से एक के बगल में रखा जा सकता है। आपको 5·4·3 अलग-अलग त्रिक मिलते हैं। इसका मतलब है कि 5 में से 3 पुस्तकों को रखने के तरीकों की कुल संख्या 5·4·3 = 60 है। यह एक प्लेसमेंट समस्या है।

k (k≤n) द्वारा n तत्वों की व्यवस्था किसी दिए गए n तत्वों से एक निश्चित क्रम में लिए गए k तत्वों से युक्त कोई भी सेट है।

काम। दूसरी कक्षा के छात्र 9 विषयों का अध्ययन करते हैं। आप कितने तरीकों से एक दिन के लिए शेड्यूल बना सकते हैं ताकि उसमें 4 अलग-अलग विषय शामिल हों? ए 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

स्वयं निर्णय करें: कक्षा में 27 छात्र हैं। आपको एक छात्र को चॉक लाने के लिए, दूसरे को कैफेटेरिया में ड्यूटी पर भेजने के लिए, और तीसरे को ब्लैकबोर्ड पर बुलाने के लिए भेजना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

संयोजन समस्याएँ: समस्या। यदि आप उपलब्ध 5 बाहरी रूप से अप्रभेद्य पुस्तकों में से उन्हें चुनते हैं तो बुकशेल्फ़ पर 3 खंडों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है? पुस्तकें बाह्य रूप से अप्रभेद्य हैं। लेकिन वे भिन्न हैं, और महत्वपूर्ण रूप से! ये पुस्तकें सामग्री में भिन्न हैं। ऐसी स्थिति उत्पन्न होती है जब नमूना तत्वों की संरचना महत्वपूर्ण होती है, लेकिन उनकी व्यवस्था का क्रम महत्वहीन होता है। 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 उत्तर: 10 यह एक संयोजन समस्या है

k द्वारा n तत्वों का संयोजन दिए गए n तत्वों में से चुने गए k तत्वों से बना कोई भी सेट है।

काम। कक्षा में 7 लोग हैं जो सफलतापूर्वक गणित कर रहे हैं। गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने के लिए आप कितने तरीकों से उनमें से दो को चुन सकते हैं? सी 7 2 = = 21

स्वयं निर्णय करें: कक्षा 7 में छात्र गणित में अच्छा प्रदर्शन कर रहे हैं। गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने के लिए उनमें से दो को कितने तरीकों से भेजा जा सकता है?

संयुक्त समस्याओं की एक विशेष विशेषता एक प्रश्न है जिसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है कि यह "कितने तरीकों से..." या "कितने विकल्प..." शब्दों से शुरू होता है।

क्रमपरिवर्तन प्लेसमेंट n तत्वों का संयोजन n कोशिकाएँ n तत्व k कोशिकाएँ n तत्व k कोशिकाएँ क्रम मायने रखता है क्रम मायने रखता है क्रम मायने नहीं रखता आइए एक तालिका बनाएं:

समस्याओं को स्वयं हल करें: 1. बॉक्स में 10 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। किसी भी रंग की एक गेंद को एक डिब्बे से कितने तरीकों से निकाला जा सकता है? 2. ओल्गा को याद है कि उसकी दोस्त का फोन नंबर तीन नंबरों 5, 7, 8 पर खत्म होता है, लेकिन वह भूल गई कि ये नंबर किस क्रम में स्थित हैं। अपने मित्र तक पहुँचने के लिए उसे सबसे अधिक विकल्पों से होकर गुजरना होगा। 3. फिलैटली स्टोर खेल विषयों पर आधारित टिकटों के 8 अलग-अलग सेट बेचता है। आप कितने तरीकों से उनमें से 3 सेट चुन सकते हैं?

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हमें ब्लेड चलाने की ज़रूरत नहीं है, हम ऊंची महिमा की तलाश नहीं करते हैं। वही जीतता है जो सूक्ष्मता से सोचने की कला से परिचित है। अंग्रेजी कवि वर्ड्सवर्थ

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परिचय कार्य का उद्देश्य कार्य के उद्देश्य "कॉम्बिनेटरिक्स" क्या है? उत्पत्ति का इतिहास संयोजक समस्याओं को हल करने के लिए नियम योग नियम उत्पाद नियम दोहराव के साथ संयोजन बिना दोहराव के थिसॉरस प्रयुक्त साहित्य और वेब संसाधनों की सूची निष्कर्ष लेखक का पृष्ठ

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शैक्षणिक संस्थानों में बुनियादी स्तर पर अध्ययनरत कक्षा 10-11 के छात्रों के लिए एक संदर्भ मार्गदर्शिका बनाएं। एक बड़े प्रोजेक्ट का पहला भाग तैयार करें "हमारे जीवन में सबसे आम घटना के रूप में संभाव्यता का सिद्धांत।"

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1.1 "कॉम्बिनेटरिक्स" विषय पर साहित्य और वेब संसाधनों का चयन करें। 1.2 वास्तविक जीवन पर आधारित संयुक्त समस्याओं को हल करने के लिए सभी संभावित तरीकों का पता लगाएं। 1.3 गणित के एक स्वतंत्र क्षेत्र - कॉम्बिनेटरिक्स की पहचान के इतिहास का पता लगाएं। 2.1 शिक्षा की निरंतरता "स्कूल - विश्वविद्यालय" के सिद्धांत पर पाठ्यक्रम को लागू करते समय हाई स्कूल में कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रम के अध्ययन को एक वास्तविक आवश्यकता के रूप में उचित ठहराएं। 2.2 स्कूली शैक्षिक क्षेत्र में कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रम शुरू करने के लिए संभावित विकल्पों की रूपरेखा तैयार करें। 2.3 संदर्भ पुस्तक बनाने के लिए सामग्री का चयन करें।

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एक व्यक्ति को अक्सर ऐसी समस्याओं से जूझना पड़ता है जिसमें उसे कुछ वस्तुओं को रखने के सभी संभावित तरीकों की संख्या या किसी कार्य को करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या गिनने की आवश्यकता होती है। किसी व्यक्ति को जो अलग-अलग रास्ते या विकल्प चुनने होते हैं, वे विभिन्न प्रकार के संयोजनों को जोड़ते हैं। किसी शहर के भीतर सबसे लाभप्रद संचार का निर्धारण करते समय, स्वचालित नियंत्रण प्रणाली का आयोजन करते समय, और इसलिए संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में उनके सभी असंख्य अनुप्रयोगों के साथ ऐसी समस्याओं पर विचार किया जाना चाहिए। और गणित की एक पूरी शाखा, जिसे कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है, सवालों के जवाब खोजने में व्यस्त है: किसी दिए गए मामले में कितने संयोजन हैं?

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कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जिसमें प्रारंभिक सेट से तत्वों का चयन करने और उन्हें दिए गए नियमों के अनुसार एक निश्चित संयोजन में व्यवस्थित करने की समस्याओं का अध्ययन और समाधान किया जाता है।

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एक विज्ञान के रूप में कॉम्बिनेटरिक्स का विकास 13वीं शताब्दी में शुरू हुआ। संभाव्यता सिद्धांत के उद्भव के समानांतर। इस विषय पर पहला वैज्ञानिक शोध इतालवी वैज्ञानिकों जी. जर्मन वैज्ञानिक जी. लीबनिज 1666 में प्रकाशित अपने काम "ऑन द आर्ट ऑफ कॉम्बिनेटरिक्स" में कॉम्बिनेटरिक्स को गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में मानने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने पहली बार "कॉम्बिनेटरिक्स" शब्द भी गढ़ा।

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कार्य: मेज पर 3 काली और 5 लाल पेंसिलें हैं। आप कितने तरीकों से किसी भी रंग की पेंसिल चुन सकते हैं? समाधान: आप 5+3=8 तरीकों से किसी भी रंग की पेंसिल चुन सकते हैं। कॉम्बिनेटरिक्स में योग नियम: यदि तत्व ए को एम तरीकों से चुना जा सकता है, और तत्व बी को एन तरीकों से चुना जा सकता है, और तत्व ए की कोई भी पसंद बी में तत्वों की किसी भी पसंद से अलग है, तो विकल्प "ए या बी" बनाया जा सकता है एम + एन तरीके। नमूना समस्याएँ

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कार्य: एक कक्षा में, 10 छात्र खेल खेलते हैं, शेष 6 छात्र एक नृत्य क्लब में भाग लेते हैं। 1) छात्रों के कितने जोड़े चुने जा सकते हैं ताकि एक जोड़ा एथलीट हो, दूसरा नर्तक? 2) एक छात्र के पास कितने विकल्प हैं? समाधान: 1) 10 एथलीटों को चुनने की संभावना, और 10 एथलीटों में से प्रत्येक के लिए नर्तक के 6 विकल्प हैं। इसका मतलब है कि नर्तक और एथलीट के जोड़े को चुनने की संभावना 10·6=60 है। 2) 10+6=16 एक छात्र को चुनने की संभावना।

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समस्या: शहर A से शहर B तक जाने वाली 3 सड़कें हैं। और शहर B से शहर C तक 4 सड़कें हैं। B से होकर जाने वाले कितने रास्ते A से C तक जाते हैं? समाधान: आप इस तरह से तर्क कर सकते हैं: A से B तक के तीन रास्तों में से प्रत्येक के लिए, B से C तक सड़क चुनने के चार तरीके हैं। A से C तक विभिन्न रास्तों की कुल संख्या उत्पाद 3·4 के बराबर है , अर्थात। 12. उत्पाद नियम: आपको k तत्व चुनने दें। यदि पहले तत्व को n1 तरीकों से चुना जा सकता है, दूसरे को n2 तरीकों से, आदि, तो k तत्वों की संख्या उत्पाद n1 · n2 ·... nк के बराबर है। नमूना समस्याएँ

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समस्या: स्कूल कैंटीन में 2 प्रथम, 5 द्वितीय और 4 तृतीय पाठ्यक्रम हैं। एक छात्र कितने तरीकों से दोपहर का भोजन चुन सकता है जिसमें पहला, दूसरा और तीसरा कोर्स शामिल हो? समाधान: पहली डिश को 2 तरीकों से चुना जा सकता है। पहले कोर्स के प्रत्येक विकल्प के लिए, 5 दूसरे कोर्स हैं। पहले दो व्यंजन 2·5=10 तरीकों से चुने जा सकते हैं। और अंत में, इनमें से प्रत्येक 10 विकल्पों के लिए, तीसरे कोर्स को चुनने की चार संभावनाएं हैं, यानी तीन-कोर्स भोजन बनाने के 2·5·4 तरीके हैं। तो, दोपहर का भोजन 40 तरीकों से बनाया जा सकता है।

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k (k≤n) द्वारा n तत्वों की व्यवस्था कोई भी सेट है जिसमें दिए गए n तत्वों से एक निश्चित क्रम में लिए गए k तत्व शामिल होते हैं। n तत्वों की सभी नियुक्तियों की संख्या को m द्वारा निरूपित किया जाता है: समस्याओं के उदाहरण n! - संख्या n का भाज्य

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समस्या: कितने तरीकों से 4 लड़के छह में से चार लड़कियों को नृत्य के लिए आमंत्रित कर सकते हैं? समाधान: दो लड़के एक ही समय पर एक ही लड़की को आमंत्रित नहीं कर सकते। और जिन विकल्पों में एक ही लड़कियां अलग-अलग लड़कों के साथ नृत्य करती हैं उन्हें अलग-अलग माना जाता है, इसलिए: 360 विकल्प संभव हैं।

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n तत्वों का क्रमपरिवर्तन इन तत्वों की प्रत्येक व्यवस्था को एक निश्चित क्रम में करना है। n तत्वों के सभी क्रमपरिवर्तनों की संख्या को Pn Pn=n द्वारा दर्शाया जाता है! नमूना समस्याएँ

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चौकड़ी शरारती बंदर गधा, बकरी, हाँ, क्लबफुटेड भालू उन्होंने चौकड़ी बजाना शुरू कर दिया... रुको, भाइयों, रुको! - बंदर चिल्लाता है, - रुको! संगीत कैसा होना चाहिए? आख़िरकार, आप ऐसे नहीं बैठे हैं... आपने सीटें इधर-उधर बदलीं - फिर से संगीत अच्छा नहीं चल रहा है। अब उनमें किसे बैठना चाहिए और कैसे... निर्णय को लेकर पहले से कहीं अधिक चर्चा और विवाद होने लगे हैं

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दोहराव रहित संयोजन एक ऐसी व्यवस्था है जिसमें तत्वों का क्रम कोई मायने नहीं रखता। इस प्रकार, संयुक्त होने पर विकल्पों की संख्या प्लेसमेंट की संख्या से कम होगी। n तत्वों के संयोजनों की संख्या को m द्वारा निरूपित किया जाता है: समस्याओं के उदाहरण

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समस्या: संयोजन लॉक पर कितने तीन-बटन संयोजन हैं (सभी तीन बटन एक साथ दबाए जाते हैं) यदि उस पर केवल 10 अंक हैं। समाधान: चूंकि बटन एक साथ दबाए जाते हैं, इसलिए इन तीन बटनों का चयन एक संयोजन है। यहाँ से यह संभव है:

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अक्सर कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं में ऐसे सेट होते हैं जिनमें कुछ घटकों को दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए: संख्या समस्याओं में - संख्याएँ। ऐसी समस्याओं के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है: जहां n सभी तत्वों की संख्या है, n1,n2,…,nr समान तत्वों की संख्या है। कार्यों के उदाहरण कार्यों के उदाहरण कार्यों के उदाहरण

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समस्या: संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5 से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? समाधान: चूंकि किसी संख्या में संख्याओं का क्रम महत्वपूर्ण है, संख्याओं को दोहराया जा सकता है, तो ये तीन में पांच तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ प्लेसमेंट होंगे, और उनकी संख्या बराबर होगी:

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कार्य: एक पेस्ट्री की दुकान 4 प्रकार के केक बेचती है: एक्लेयर्स, शॉर्टब्रेड, नेपोलियन और पफ पेस्ट्री। आप कितने तरीकों से 7 केक खरीद सकते हैं? समाधान: खरीदारी उस क्रम पर निर्भर नहीं करती है जिसमें खरीदे गए केक को बॉक्स में रखा गया है। यदि कम से कम एक प्रकार के खरीदे गए केक की संख्या में अंतर हो तो खरीदारी भिन्न होगी। इसलिए, विभिन्न खरीद की संख्या चार प्रकार के केक के संयोजन की संख्या के बराबर है, प्रत्येक सात -

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हमारा मानना है कि कार्य ने अपने लक्ष्य प्राप्त कर लिये हैं। हमने एक संदर्भ पाठ्यपुस्तक संकलित की है जिसका उद्देश्य दिलचस्प समस्याओं को प्रस्तुत करके स्कूली गणित को जीवंत बनाना है जो छात्रों के लिए सैद्धांतिक प्रश्न खड़े करेगा। यह कार्य गणित में ज्ञान को गहरा करने के लिए बुनियादी स्तर, शैक्षणिक संस्थानों में अध्ययन करने वाले ग्रेड 10-11 के छात्रों के लिए है। इस मैनुअल की विशिष्ट विशेषताएं हैं: तीसरे चरण के छात्रों के लिए व्यवहार्य एक सैद्धांतिक भाग; जीवन सामग्री और परी कथा कथानकों के आधार पर कार्यों का चयन और संकलन। हमें उम्मीद है कि हमारा काम छात्रों की रुचि जगाएगा, उनके क्षितिज और सोच को विकसित करने में मदद करेगा और एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए बेहतर तैयारी में योगदान देगा।

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छात्र: दिमित्री ज़खारोव कक्षा: 10 प्रमुख: तोरोपोवा नीना अनातोल्येवना नगर शैक्षिक संस्थान "व्यक्तिगत विषयों नंबर 5 के गहन अध्ययन के साथ माध्यमिक शैक्षिक विद्यालय", क्रास्नोयार्स्क

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व 9 -11 ग्रेड,एमबीओयू कोचनेव्स्काया माध्यमिक विद्यालय के शिक्षक ग्राज़्नोवा ए.के.मुख्य प्रश्न:

कॉम्बिनेटरिक्स क्या है?

किन समस्याओं को संयोजक माना जाता है?

पुनर्व्यवस्था
प्लेसमेंट
युग्म

आइए बहस न करें - आइए गणना करें। जी लीबनिट्ज़

साहचर्य- गणित की एक शाखा जो कुछ नियमों के अनुसार बने संयोजनों की संख्या गिनने की समस्याओं से निपटती है।

द्वितीय. किन समस्याओं को संयोजक माना जाता है?संयोजनात्मक समस्याएँ तत्वों की एक सीमित संख्या से संयोजनों की संख्या गिनने की समस्याएँ

साहचर्य– लैटिन शब्द से संयोजक,जिसका अर्थ है "जोड़ना, जोड़ना।"
कॉम्बिनेटरिक्स विधियाँभौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
साहचर्यसेट सिद्धांत के भाग के रूप में माना जा सकता है - किसी भी संयोजन समस्या को परिमित सेट और उनके मानचित्रण के बारे में समस्या में कम किया जा सकता है।

I. संयुक्त समस्याओं को हल करने के स्तर 1. प्रथम स्तर. दिए गए गुणों के साथ वस्तुओं की कम से कम एक व्यवस्था, कम से कम एक समाधान खोजने का कार्य पांच खंडों पर दस बिंदुओं की ऐसी व्यवस्था ढूंढना है, जिसमें प्रत्येक खंड पर चार बिंदु हों; - शतरंज की बिसात पर आठ रानियों की ऐसी व्यवस्था जिसमें वे एक-दूसरे को हराती नहीं हैं। कभी-कभी यह साबित करना संभव है कि इस समस्या का कोई समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, 9 कलशों में 10 गेंदों को व्यवस्थित करना असंभव है ताकि प्रत्येक कलश में एक से अधिक गेंद न हो - कम से कम एक कलश में कम से कम दो गेंदें होंगी)। 2. दूसरा स्तर. 2. दूसरा स्तर. यदि किसी संयुक्त समस्या के कई समाधान हैं, तो ऐसे समाधानों की संख्या गिनने और इस समस्या के सभी समाधानों का वर्णन करने का प्रश्न उठता है।

3. तीसरे स्तर.

इष्टतम

उदाहरण के लिए:

एक यात्री शहर A को छोड़ना चाहता है, शहरों B, C और D का दौरा करना चाहता है, और फिर शहर A में वापस आना चाहता है।

चित्र में. इन शहरों को जोड़ने वाले मार्गों का एक आरेख दिखाता है। अलग-अलग यात्रा विकल्प एक-दूसरे से उस क्रम में भिन्न होते हैं जिसमें वे शहर बी, सी और डी का दौरा करते हैं। यात्रा के छह विकल्प हैं। तालिका प्रत्येक पथ के विकल्प और लंबाई दिखाती है:

संयुक्त अनुकूलन समस्याओं को किसी कार्य को सबसे तेजी से पूरा करने का प्रयास करने वाले फोरमैन, दिए गए क्षेत्रों में उच्चतम उपज के लिए प्रयास करने वाले कृषिविज्ञानी आदि द्वारा हल किया जाना चाहिए।

हम केवल संयोजनात्मक समस्या के समाधानों की संख्या गिनने की समस्याओं पर विचार करेंगे।

हम केवल संयोजनात्मक समस्या के समाधानों की संख्या गिनने की समस्याओं पर विचार करेंगे।

गणना सिद्धांत

योग और उत्पाद नियम

1. चार ड्रिंक्स को दो की बराबर मात्रा में मिलाकर कितने अलग-अलग कॉकटेल बनाए जा सकते हैं?
एबी, एसी, एडी, बीसी, बीडी, सीडी - कुल 6 कॉकटेल

2. अंक 0, 1, 2, 3 से दो अंकों की कितनी भिन्न संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

2. अंक 0, 1, 2, 3 से दो अंकों की कितनी भिन्न संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
पहला अंक दूसरा अंक

प्रॉडक्ट नियम:

यदि तत्वों के एक समूह से तत्व A को n तरीकों से चुना जा सकता है और ऐसे प्रत्येक विकल्प के लिए तत्व B को t तरीकों से चुना जा सकता है, तो दो तत्वों (जोड़ी) A और B को n तरीकों से चुना जा सकता है।

"संयुक्त समस्याओं को हल करने के उदाहरण: विकल्पों की गणना, योग नियम, गुणन नियम।"

अंतिम दौड़ में भाग लेने वाले चार प्रतिभागियों को चार ट्रेडमिलों पर कितने तरीकों से रखा जा सकता है?

आर एन = 4 3 2 1= 24 तरीके (4 तत्वों का क्रमपरिवर्तन)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 ट्रैक

द्वितीय. क्रमपरिवर्तन (1) के वी ए आर टी ई टीशरारती बंदर, गधा, बकरी और गदाधारी भालू उन्होंने चौकड़ी बजाना शुरू कर दिया। ……………………………………………. वे धनुष मारते हैं, वे लड़ते हैं, लेकिन कोई मतलब नहीं है। “रुको भाइयों, रुको! - बंदर चिल्लाया। - इंतज़ार! संगीत कैसा होना चाहिए? आख़िरकार, आप उस तरह नहीं बैठे हैं।"

4·3·2·1 = 4! तौर तरीकों

द्वितीय. क्रमपरिवर्तन (2)

से क्रमपरिवर्तन पी- तत्व ऐसे संयोजन होते हैं जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं
पीएन - क्रमपरिवर्तन की संख्या (पी फ्रेंच शब्द क्रमपरिवर्तन का पहला अक्षर है - क्रमपरिवर्तन)

आरपी= एन

एन-

एन!

आर.पी

एन!

आवास (1)

चार सहयात्रियों ने बिजनेस कार्ड का आदान-प्रदान करने का निर्णय लिया। कुल कितने कार्ड उपयोग किये गये?

से बने संयोजन कतत्वों से लिया गया एनतत्व, और संरचना में या तत्वों की व्यवस्था के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, कहलाते हैं से प्लेसमेंट एनतत्वों द्वारा क(0< k ≤n ).

से आवास एनतत्वों द्वारा कतत्व. और पहला अक्षर

फ़्रेंच शब्द व्यवस्था: "प्लेसमेंट",

"चीजों को क्रम में रखना"

आवास (2)

4 खाली गेंदें और 3 खाली सेल हैं। आइए गेंदों को अक्षरों से नामित करें ए बी सी डी।इस सेट से तीन गेंदों को अलग-अलग तरीकों से खाली कोशिकाओं में रखा जा सकता है।
पहली, दूसरी और तीसरी गेंद अलग-अलग चुनने से हमें अलग-अलग गेंदें मिलेंगी आदेश दियातीन गेंदें
प्रत्येक आदेश दियात्रिक जो चार तत्वों से बना हो, कहलाता है प्लेसमेंट चार तत्वों में से प्रत्येक में तीन

आवास (3)

4 तत्वों से कितने स्थान बनाए जा सकते हैं ( ए बी सी डी) तीन?
एबीसी एबीडी एसीबी एसीडी एडीबी एडीसी
बीएसी खराब बीसीए बीसीडी बीडीए बीडीसी
कैब सीएडी सीबीए सीबीडी सीडीए सीडीबी
डीएबी डीएसी डीबीए डीबीसी डीसीए डीसीबी

विकल्पों की समीक्षा करने का निर्णय लिया गया

आवास (4)

आप स्वयं प्लेसमेंट लिखे बिना इसे हल कर सकते हैं:
पहला एक तत्व को चार तरीकों से चुना जा सकता है, इसलिए यह चार में से कोई भी तत्व हो सकता है;
प्रत्येक प्रथम के लिए दूसरा तीन तरीकों से चुना जा सकता है;
प्रत्येक पहले दो के लिए चुनने के दो तरीके हैं तीसरा शेष दो से तत्व.

हम पाते हैं

गुणन नियम का उपयोग करके हल किया गया

युग्म

का संयोजन पीतत्वों द्वारा कक्या कोई सेट बना है कसे चुने गए तत्व पीतत्वों

संयोजनों में प्लेसमेंट के विपरीत तत्वों का क्रम कोई मायने नहीं रखता. दो संयोजन कम से कम एक तत्व में एक दूसरे से भिन्न होते हैं

समस्याओं को सुलझा रहा: 1. समतल पर 5 बिंदु अंकित हैं। यदि आप बिंदुओं को जोड़े में जोड़ दें तो कितने खंड होंगे?

2. वृत्त पर अंकित पीअंक. इन बिंदुओं पर शीर्षों वाले कितने त्रिभुज हैं?

सूत्रों की जानकारी

वी.एफ. बुटुज़ोव, यू.एम. कोल्यागिन, जी.एल. लुकांकिन, ई.जी. पॉज़्न्याक और अन्य। 11वीं कक्षा के शैक्षणिक संस्थानों के लिए "गणित" पाठ्यपुस्तक / रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय द्वारा अनुशंसित / एम., प्रोस्वेशचेनी, 1996।
ई.ए. बनीमोविच, वी.ए. ब्यूलचेव: "संभावना और सांख्यिकी", ग्रेड 5 - 9 के सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए एक मैनुअल / रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय द्वारा अनुमोदित // बस्टर्ड मॉस्को 2002
यु.एन. माकार्यचेव, एन.जी. मिंड्युक "बीजगणित: सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व, ग्रेड 7 - 9" एस.ए. टेल्याकोवस्की द्वारा संपादित एम: प्रोस्वेशेनी, 2006
त्रिभुज http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

बाकी चित्र ए.के.ग्रियाज़्नोवा द्वारा बनाए गए थे।