रैंक सहसंबंध सूत्र। स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक खोजने का एक उदाहरण

- ये है मात्रा का ठहरावगैर-पैरामीट्रिक विधियों में प्रयुक्त परिघटनाओं के बीच संबंध का सांख्यिकीय अध्ययन।

संकेतक दिखाता है कि रैंकों के बीच वर्ग अंतर का मनाया गया योग बिना कनेक्शन के मामले से कैसे भिन्न होता है।

सेवा असाइनमेंट. इस ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ, आप यह कर सकते हैं:

• गुणांक गणना रैंक सहसंबंधस्पीयरमैन;
• गणना विश्वास अंतरालइसके महत्व के गुणांक और मूल्यांकन के लिए;

स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांकसंचार की निकटता के आकलन के संकेतकों को संदर्भित करता है। चाडॉक पैमाने का उपयोग करके रैंक सहसंबंध गुणांक के साथ-साथ अन्य सहसंबंध गुणांक के संबंधों की जकड़न की गुणात्मक विशेषता का मूल्यांकन किया जा सकता है।

गुणांक गणनानिम्नलिखित चरणों से मिलकर बनता है:

स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक के गुण

आवेदन क्षेत्र. रैंक सहसंबंध गुणांकदो सेटों के बीच संचार की गुणवत्ता का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, उनका आंकड़ों की महत्ताविषमलैंगिकता के लिए डेटा विश्लेषण में उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। देखे गए चर X और Y के डेटा नमूने पर:

1. एक रैंकिंग तालिका बनाएं;
2. स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए और स्तर 2a पर इसके महत्व का परीक्षण कीजिए
3. व्यसन की प्रकृति का आकलन

समाधान। फ़ीचर Y और फ़ैक्टर X को रैंक असाइन करें।

एक्स	यू	रैंक एक्स, डीएक्स	रैंक वाई, डी वाई
28	21	1	1
30	25	2	2
36	29	4	3
40	31	5	4
30	32	3	5
46	34	6	6
56	35	8	7
54	38	7	8
60	39	10	9
56	41	9	10
60	42	11	11
68	44	12	12
70	46	13	13
76	50	14	14

रैंक मैट्रिक्स।

रैंक एक्स, डीएक्स	रैंक वाई, डी वाई	(डीएक्स - डाई) 2
1	1	0
2	2	0
4	3	1
5	4	1
3	5	4
6	6	0
8	7	1
7	8	1
10	9	1
9	10	1
11	11	0
12	12	0
13	13	0
14	14	0
105	105	10

चेकसम की गणना के आधार पर मैट्रिक्स के संकलन की शुद्धता की जाँच करना:

मैट्रिक्स के कॉलम पर योग एक दूसरे और चेकसम के बराबर है, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स सही ढंग से बना है।
सूत्र का उपयोग करके, हम स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं।


गुण Y और कारक X के बीच संबंध मजबूत और प्रत्यक्ष है
स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक का महत्व
महत्व स्तर α पर शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए कि सामान्य स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक प्रतिस्पर्धी परिकल्पना एच के तहत शून्य के बराबर है। पी ≠ 0, महत्वपूर्ण बिंदु की गणना करना आवश्यक है:

जहां n नमूना आकार है; ρ - स्पीयरमैन का नमूना रैंक सहसंबंध गुणांक: t(α, k) - दो तरफा महत्वपूर्ण क्षेत्र का महत्वपूर्ण बिंदु, जो तालिका से पाया जाता है महत्वपूर्ण बिंदुविद्यार्थी का वितरण, महत्व स्तर α और स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के अनुसार k = n-2।
अगर |पी|< Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| >T kp - शून्य परिकल्पना अस्वीकृत की जाती है। गुणात्मक विशेषताओं के बीच एक महत्वपूर्ण रैंक सहसंबंध है।
विद्यार्थी तालिका के अनुसार हम पाते हैं t(α/2, k) = (0.1/2;12) = 1.782

चूंकि टी केपी< ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.

रैंक सहसंबंध गुणांक का असाइनमेंट

स्पीयरमैन की रैंक सहसंबंध विधि आपको के बीच सहसंबंध की मजबूती (ताकत) और दिशा निर्धारित करने की अनुमति देती है दो संकेतया दो प्रोफाइल (पदानुक्रम)संकेत।

विधि का विवरण

रैंक सहसंबंध की गणना करने के लिए, मूल्यों की दो पंक्तियों का होना आवश्यक है जिन्हें रैंक किया जा सकता है। मूल्यों की ये श्रेणियां हो सकती हैं:

1) दो संकेतविषयों के एक ही समूह में मापा जाता है;

2) दो व्यक्तिगत विशेषता पदानुक्रम,विशेषताओं के एक ही सेट के अनुसार दो विषयों में पहचाना जाता है (उदाहरण के लिए, आर। बी। कैटेल के 16-कारक प्रश्नावली के अनुसार व्यक्तित्व प्रोफाइल, आर। रोकेच की विधि के अनुसार मूल्यों का पदानुक्रम, कई विकल्पों में से चुनने में वरीयताओं का क्रम , आदि।);

3) सुविधाओं के दो समूह पदानुक्रम;

4) व्यक्तिगत और समूहसुविधा पदानुक्रम।

सबसे पहले, संकेतकों को प्रत्येक विशेषता के लिए अलग से रैंक किया जाता है। एक नियम के रूप में, किसी विशेषता के निम्न मान को निम्न रैंक दिया जाता है।

केस 1 (दो विशेषताएं) पर विचार करें।यहां, विभिन्न विषयों द्वारा प्राप्त पहली विशेषता के लिए अलग-अलग मूल्यों को रैंक किया जाता है, और फिर दूसरी विशेषता के लिए व्यक्तिगत मान।

यदि दो विशेषताएँ सकारात्मक रूप से संबंधित हैं, तो उनमें से एक में निम्न रैंक वाले विषयों की दूसरे में निम्न रैंक होगी, और किसी एक विशेषता में उच्च रैंक वाले विषयों की दूसरी विशेषता में भी उच्च रैंक होगी। गिनती के लिए आर एस दोनों आधारों पर दिए गए विषय द्वारा प्राप्त रैंकों के बीच अंतर (डी) निर्धारित करना आवश्यक है। फिर इन संकेतकों को एक निश्चित तरीके से बदल दिया जाता है और 1 से घटा दिया जाता है। रैंकों के बीच का अंतर जितना छोटा होगा, r s जितना बड़ा होगा, यह +1 के उतना ही करीब होगा।

यदि कोई सहसंबंध नहीं है, तो सभी रैंक मिश्रित हो जाएंगे और उनके बीच कोई पत्राचार नहीं होगा। सूत्र इस प्रकार बनाया गया है कि इस मामले में आर एस, 0 के करीब होगा।

एक नकारात्मक सहसंबंध के मामले में, एक विशेषता पर विषयों की निम्न रैंक दूसरी विशेषता पर उच्च रैंक के अनुरूप होगी, और इसके विपरीत।

दो चरों पर विषयों की रैंकों के बीच जितनी अधिक विसंगति होगी, r s -1 के करीब होगा।

केस 2 (दो अलग-अलग प्रोफाइल) पर विचार करें।यहां, 2 विषयों में से प्रत्येक द्वारा प्राप्त व्यक्तिगत मूल्यों को एक निश्चित (दोनों के लिए समान) सुविधाओं के सेट के अनुसार रैंक किया गया है। पहली रैंक सबसे कम मूल्य के साथ विशेषता प्राप्त करेगी; दूसरी रैंक एक उच्च मूल्य वाली विशेषता है, और इसी तरह। जाहिर है, सभी सुविधाओं को एक ही इकाइयों में मापा जाना चाहिए, अन्यथा रैंकिंग असंभव है। उदाहरण के लिए, कैटेल व्यक्तित्व प्रश्नावली (16 .) के अनुसार संकेतकों को रैंक करना असंभव है पीएफ) यदि उन्हें "कच्चे" स्कोर में व्यक्त किया जाता है, क्योंकि विभिन्न कारकों के लिए मूल्यों की सीमा भिन्न होती है: 0 से 13 तक, 0 से 20 तक और 0 से 26 तक। हम यह नहीं कह सकते कि कौन सा कारक पहले लेगा गंभीरता के मामले में जगह, फिर भी हम सभी मूल्यों को एक पैमाने पर नहीं लाएंगे (अक्सर यह दीवारों का पैमाना होता है)।

यदि दो विषयों के अलग-अलग पदानुक्रम सकारात्मक रूप से संबंधित हैं, तो उनमें से एक के लिए निम्न रैंक वाली सुविधाओं में दूसरे के लिए निम्न रैंक होगी, और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, यदि एक विषय के लिए कारक ई (प्रभुत्व) की रैंक सबसे कम है, तो दूसरे विषय के लिए उसकी रैंक कम होनी चाहिए, यदि एक विषय के लिए कारक सी (भावनात्मक स्थिरता) की रैंक सबसे अधिक है, तो दूसरे विषय के पास होना चाहिए इस कारक के लिए एक उच्च रैंक। रैंक, आदि।

केस 3 (दो समूह प्रोफाइल) पर विचार करें।यहां, विषयों के 2 समूहों में प्राप्त औसत समूह मूल्यों को एक निश्चित विशेषताओं के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है, जो दो समूहों के लिए समान है। इस प्रकार, तर्क की रेखा पिछले दो मामलों की तरह ही है।

केस 4 (व्यक्तिगत और समूह प्रोफाइल) पर विचार करें।यहां, विषय के व्यक्तिगत मूल्यों और औसत समूह मूल्यों को अलग-अलग सुविधाओं के एक ही सेट के लिए अलग-अलग रैंक किया जाता है, जो एक नियम के रूप में, इस व्यक्तिगत विषय को छोड़कर - वह औसत समूह प्रोफ़ाइल में भाग नहीं लेता है, जिससे उनकी व्यक्तिगत प्रोफाइल की तुलना की जाएगी। रैंक सहसंबंध आपको यह जांचने की अनुमति देगा कि व्यक्ति और समूह प्रोफाइल कितने सुसंगत हैं।

सभी चार मामलों में, प्राप्त सहसंबंध गुणांक का महत्व रैंक किए गए मानों की संख्या से निर्धारित होता है एन।पहले मामले में, यह संख्या नमूना आकार n के साथ मेल खाएगी। दूसरे मामले में, अवलोकनों की संख्या पदानुक्रम बनाने वाली सुविधाओं की संख्या होगी। तीसरे और चौथे मामले में एन-यह तुलना की गई सुविधाओं की संख्या भी है, न कि समूहों में विषयों की संख्या। उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिया गया है।

यदि r s का निरपेक्ष मान एक महत्वपूर्ण मान तक पहुँच जाता है या उससे अधिक हो जाता है, तो सहसंबंध महत्वपूर्ण होता है।

परिकल्पना

दो संभावित परिकल्पनाएँ हैं। पहला केस 1 को संदर्भित करता है, दूसरा अन्य तीन मामलों को।

परिकल्पना का पहला संस्करण

एच 0: चर ए और बी के बीच संबंध शून्य नहीं है।

एच 1: चर ए और बी के बीच का संबंध शून्य से काफी अलग है।

परिकल्पना का दूसरा संस्करण

एच 0: पदानुक्रम ए और बी के बीच संबंध शून्य नहीं है।

एच1: पदानुक्रम ए और बी के बीच संबंध शून्य से काफी अलग है।

रैंक सहसंबंध विधि का चित्रमय प्रतिनिधित्व

सबसे अधिक बार, सहसंबंध को बिंदुओं के बादल के रूप में या दो अक्षों के स्थान में बिंदुओं के स्थान में सामान्य प्रवृत्ति को दर्शाने वाली रेखाओं के रूप में रेखांकन के रूप में दर्शाया जाता है: फीचर ए और फीचर बी की कुल्हाड़ियों (चित्र देखें। 6.2)।

आइए रैंक सहसंबंध को रैंक किए गए मानों की दो श्रृंखलाओं के रूप में चित्रित करने का प्रयास करें, जो कि रेखाओं द्वारा जोड़ीदार रूप से जुड़े हुए हैं (चित्र 6.3)। यदि विशेषता A और विशेषता B पर रैंक मेल खाते हैं, तो उनके बीच एक क्षैतिज रेखा होती है, यदि रैंक मेल नहीं खाती है, तो रेखा तिरछी हो जाती है। रैंक बेमेल जितना अधिक होगा, रेखा उतनी ही अधिक ढलान वाली हो जाएगी। चित्र में बाईं ओर। 6.3 उच्चतम संभव सकारात्मक सहसंबंध दिखाता है (r in = +1.0) - व्यावहारिक रूप से यह एक "सीढ़ी" है। केंद्र में, शून्य सहसंबंध प्रदर्शित होता है - अनियमित बुनाई के साथ एक चोटी। यहां सभी रैंक मिश्रित हैं। उच्चतम नकारात्मक सहसंबंध (r s =-1.0) दाईं ओर प्रदर्शित होता है - एक वेब जिसमें लाइनों की सही इंटरविविंग होती है।

चावल। 6.3. रैंक सहसंबंध का चित्रमय प्रतिनिधित्व:

ए) उच्च सकारात्मक सहसंबंध;

बी) शून्य सहसंबंध;

सी) उच्च नकारात्मक सहसंबंध

प्रतिबंधरैंक गुणांकसहसंबंध

1. प्रत्येक चर के लिए कम से कम 5 अवलोकन प्रस्तुत किए जाने चाहिए। नमूने की ऊपरी सीमा महत्वपूर्ण मूल्यों की उपलब्ध तालिकाओं (परिशिष्ट 1 की तालिका XVI) द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात् एन≤40.

2. एक या दोनों तुलनात्मक चरों के लिए बड़ी संख्या में समान रैंकों के साथ स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक r s, मोटे मान देता है। आदर्श रूप से, दोनों सहसंबद्ध श्रृंखला बेमेल मूल्यों के दो अनुक्रम होने चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो समान रैंक के लिए समायोजन करना आवश्यक है। संबंधित सूत्र उदाहरण 4 में दिया गया है।

उदाहरण 1 - सहसंबंधदो के बीच मेंलक्षण

एक हवाई यातायात नियंत्रक (बी.एस. ओडेरशेव, ई.पी. शामोवा, ई.वी. सिदोरेंको, एन.एन. लार्चेंको, 1978) की गतिविधियों का अनुकरण करने वाले एक अध्ययन में, विषयों के एक समूह, लेनिनग्राद स्टेट यूनिवर्सिटी के भौतिकी संकाय के छात्रों को काम शुरू करने से पहले प्रशिक्षित किया गया था। सिम्युलेटर। विषयों को किसी दिए गए प्रकार के विमान के लिए इष्टतम प्रकार के रनवे को चुनने की समस्या को हल करना था। क्या प्रशिक्षण सत्र में विषयों द्वारा की गई गलतियों की संख्या मौखिक और गैर-मौखिक बुद्धि के संकेतकों से संबंधित है, जिसे डी. वेक्स्लर की विधि द्वारा मापा जाता है?

तालिका 6.1

प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या के संकेतक और भौतिकी के छात्रों के बीच मौखिक और गैर-मौखिक बुद्धि के स्तर के संकेतक (एन = 10)

परीक्षण विषय		गलतियों की संख्या	मौखिक बुद्धि स्कोर	गैर-मौखिक बुद्धि स्कोर

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि क्या त्रुटियों की संख्या और मौखिक बुद्धि के संकेतक संबंधित हैं।

आइए परिकल्पना तैयार करें।

एच 0: प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या और मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच संबंध शून्य से भिन्न नहीं होता है।

एच 1 : प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या के संकेतक और मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच सहसंबंध सांख्यिकीय रूप से शून्य से काफी अलग है।

इसके बाद, हमें दोनों संकेतकों को रैंक करने की आवश्यकता है, कम रैंक को छोटे मान से जोड़ते हुए, फिर रैंकों के बीच अंतर की गणना करें जो प्रत्येक विषय को दो चर (सुविधाओं) के लिए प्राप्त होता है, और इन अंतरों को वर्गबद्ध करता है। हम तालिका में सभी आवश्यक गणना करेंगे।

तालिका में। 6.2 बाईं ओर के पहले कॉलम में त्रुटियों की संख्या के संदर्भ में मान हैं; अगले कॉलम में, उनकी रैंक। बाईं ओर से तीसरा स्तंभ मौखिक बुद्धि के लिए मान प्रस्तुत करता है; अगला कॉलम उनकी रैंक है। बाएं से पांचवां अंतर दर्शाता है डी चर A (त्रुटियों की संख्या) और चर B (मौखिक बुद्धि) में रैंक के बीच। अंतिम कॉलम मतभेदों के वर्ग दिखाता है - डी 2 .

तालिका 6.2

गणना डी 2 भौतिकी के छात्रों के बीच त्रुटियों और मौखिक बुद्धि की संख्या के संकेतकों की तुलना करते समय स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक आर एस के लिए (एन = 10)

परीक्षण विषय		चर ए गलतियों की संख्या			चर बी मौखिक बुद्धि।				डी (रैंक ए -	जे 2
		व्यक्तिगत मूल्यों				व्यक्तिगत मूल्यों

स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ पे डी - प्रत्येक विषय के लिए दो चर के रैंक के बीच का अंतर;

एन-रैंक किए गए मानों की संख्या, c. इस मामले में, विषयों की संख्या।

आइए r s के अनुभवजन्य मान की गणना करें:

r s का प्राप्त अनुभवजन्य मान 0 के करीब है। और फिर भी हम तालिका के अनुसार r s के महत्वपूर्ण मान N=10 पर निर्धारित करते हैं। XVI परिशिष्ट 1:

उत्तर:एच0 प्राप्त होता है। प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या के संकेतक और मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच सहसंबंध शून्य से भिन्न नहीं होता है।

अब आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें कि क्या त्रुटियों की संख्या और गैर-मौखिक बुद्धि के संकेतक संबंधित हैं।

आइए परिकल्पना तैयार करें।

एच 0: प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या और गैर-मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच संबंध 0 से भिन्न नहीं होता है।

एच 1: प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या और गैर-मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच संबंध सांख्यिकीय रूप से 0 से काफी अलग है।

रैंकिंग और रैंकों की तुलना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 6.3.

तालिका 6.3

गणना डी 2 भौतिकी के छात्रों के बीच त्रुटियों और गैर-मौखिक बुद्धि की संख्या के संकेतकों की तुलना करते समय स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक आर एस के लिए (एन = 10)

परीक्षण विषय		चर ए गलतियों की संख्या		चर ई अशाब्दिक बुद्धि		डी (रैंक ए -	डी 2
		व्यक्तिगत		व्यक्तिगत
		मूल्यों		मूल्यों

हमें याद है कि r s के महत्व को निर्धारित करने के लिए यह मायने नहीं रखता कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक, केवल उसका निरपेक्ष मान महत्वपूर्ण है। इस मामले में:

आर एस एम्पी

उत्तर:एच0 प्राप्त होता है। प्रशिक्षण सत्र में त्रुटियों की संख्या के संकेतक और गैर-मौखिक बुद्धि के स्तर के बीच सहसंबंध यादृच्छिक है, r s 0 से भिन्न नहीं है।

हालाँकि, हम एक निश्चित प्रवृत्ति की ओर ध्यान आकर्षित कर सकते हैं नकारात्मकइन दो चर के बीच संबंध। यदि हम नमूना आकार बढ़ाते हैं तो शायद हम सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण स्तर पर इसकी पुष्टि कर सकते हैं।

उदाहरण 2 - व्यक्तिगत प्रोफाइल के बीच संबंध

मूल्य पुनर्संयोजन की समस्याओं के लिए समर्पित एक अध्ययन में, माता-पिता और उनके वयस्क बच्चों (सिडोरेंको ई.वी., 1996) में एम। रोकीच की विधि के अनुसार टर्मिनल मूल्यों के पदानुक्रम की पहचान की गई थी। एक माँ-बेटी की जोड़ी (माँ - 66 वर्ष, पुत्रियाँ - 42 वर्ष) की परीक्षा के दौरान प्राप्त टर्मिनल मूल्यों के रैंक तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 6.4. आइए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि ये मूल्य पदानुक्रम एक दूसरे के साथ कैसे संबंध रखते हैं।

तालिका 6.4

माँ और बेटी के व्यक्तिगत पदानुक्रमों में एम। रोकीच की सूची के अनुसार टर्मिनल मूल्यों की रैंक

टर्मिनल मान	मूल्यों की रैंक	मूल्यों की रैंक		डी 2
	माँ का पदानुक्रम	बेटी पदानुक्रम
1 सक्रिय सक्रिय जीवन
2 जीवन ज्ञान
3 स्वास्थ्य
4 दिलचस्प काम
5 प्रकृति और कला की सुंदरता
7 आर्थिक रूप से सुरक्षित जीवन
8 अच्छे और वफादार दोस्त होना
9 सार्वजनिक मान्यता
10 संज्ञान
11 उत्पादक जीवन
12 विकास
13 मनोरंजन
14 स्वतंत्रता
15 सुखी पारिवारिक जीवन
16 दूसरों की खुशी
17 रचनात्मकता
18 आत्मविश्वास

आइए परिकल्पना तैयार करें।

एच 0: मां और बेटी टर्मिनल वैल्यू पदानुक्रम के बीच सहसंबंध शून्य से भिन्न नहीं होता है।

एच 1: मां और बेटी के टर्मिनल वैल्यू पदानुक्रम के बीच सहसंबंध सांख्यिकीय रूप से शून्य से काफी अलग है।

चूंकि मूल्यों की रैंकिंग अनुसंधान प्रक्रिया द्वारा ही मानी जाती है, हमें केवल दो पदानुक्रमों में 18 मूल्यों के रैंकों के बीच अंतर की गणना करनी है। Tab के तीसरे और चौथे कॉलम में। 6.4 मतभेद प्रस्तुत करता है डी और इन अंतरों के वर्ग डी 2 .

हम सूत्र द्वारा अनुभवजन्य मान r s निर्धारित करते हैं:

कहाँ पे डी - प्रत्येक चर के लिए रैंक के बीच अंतर, इस मामले में प्रत्येक टर्मिनल मान के लिए;

एन- पदानुक्रम बनाने वाले चरों की संख्या, इस मामले में, मानों की संख्या।

इस उदाहरण के लिए:

तालिका के अनुसार। XVI परिशिष्ट 1 महत्वपूर्ण मूल्यों को परिभाषित करता है:

उत्तर:एच 0 खारिज कर दिया है। एच 1 स्वीकार किया जाता है। मां और बेटी के टर्मिनल मूल्यों के पदानुक्रमों के बीच संबंध सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है (पी<0,01) и является положительной.

तालिका के अनुसार। 6.4 हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि मुख्य अंतर "सुखी पारिवारिक जीवन", "सार्वजनिक मान्यता" और "स्वास्थ्य" के मूल्यों में हैं, अन्य मूल्यों के रैंक काफी करीब हैं।

उदाहरण 3 - दो समूह पदानुक्रमों के बीच संबंध

जोसेफ वोल्पे ने अपने बेटे (वोल्पे जे।, वोल्पे डी।, 1981) के साथ संयुक्त रूप से लिखी गई एक किताब में अपने पदनाम के अनुसार आधुनिक मनुष्य में सबसे आम "बेकार" भय की एक क्रमबद्ध सूची दी है, जो एक संकेत मूल्य नहीं रखता है और केवल एक पूर्ण जीवन और कार्य में हस्तक्षेप करते हैं। एमई द्वारा किए गए एक घरेलू अध्ययन में। राखोवा (1994) 32 विषयों को 10-बिंदु पैमाने पर आकलन करना था कि वोल्पे सूची से यह या उस प्रकार का डर उनके लिए कितना प्रासंगिक है 3। सर्वेक्षण किए गए नमूने में सेंट पीटर्सबर्ग के हाइड्रोमेटोरोलॉजिकल और शैक्षणिक संस्थानों के छात्र शामिल थे: 17 से 28 वर्ष की आयु के 15 लड़के और 17 लड़कियां, औसत आयु 23 वर्ष।

10-बिंदु पैमाने पर प्राप्त आंकड़ों का औसत 32 विषयों से अधिक था, और औसत को स्थान दिया गया था। तालिका में। 6.5 जे. वोल्पे और एम. ई. राखोवा द्वारा प्राप्त रैंकिंग संकेतक प्रस्तुत करता है। क्या 20 प्रकार के डर के रैंकिंग क्रम मेल खाते हैं?

आइए परिकल्पना तैयार करें।

एच 0: अमेरिकी और घरेलू नमूनों में डर के प्रकारों की क्रमबद्ध सूचियों के बीच संबंध शून्य से भिन्न नहीं है।

एच 1: अमेरिकी और रूसी नमूनों में डर के प्रकारों की क्रमबद्ध सूचियों के बीच संबंध सांख्यिकीय रूप से शून्य से काफी अलग है।

दो नमूनों में विभिन्न प्रकार के भय के रैंकों के बीच अंतर की गणना और वर्ग से संबंधित सभी गणनाएं तालिका में प्रस्तुत की गई हैं। 6.5.

तालिका 6.5

गणना डी अमेरिकी और रूसी नमूनों में भय प्रकारों की क्रमबद्ध सूचियों की तुलना करते समय स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक के लिए

डर के प्रकार		अमेरिकी नमूने में रैंक	रूसी में रैंक
	सार्वजनिक बोलने का डर
	उड़ान का डर
	गलती करने का डर
	विफलता का भय
	अस्वीकृति का डर
	अस्वीकृति का डर
	बुरे लोगों का डर
	अकेले रहने का डर
	खून का डर
	खुले घावों का डर
	दंत चिकित्सक डर
	इंजेक्शन का डर
	टेस्ट लेने का डर
	पुलिस का डर ^ मिलिशिया)
	बेहद ऊंचाई से डर लगना
	कुत्तों का डर
	मकड़ियों का डर
	अपंग लोगों का डर
	अस्पतालों का डर
	अंधेरे का डर

हम अनुभवजन्य मूल्य r s निर्धारित करते हैं:

तालिका के अनुसार। XVI परिशिष्ट 1 N=20 पर g s के महत्वपूर्ण मान निर्धारित करता है:

उत्तर:एच0 प्राप्त होता है। अमेरिकी और रूसी नमूनों में डर के प्रकारों की क्रमबद्ध सूचियों के बीच संबंध सांख्यिकीय महत्व के स्तर तक नहीं पहुंचता है, अर्थात, शून्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं होता है।

उदाहरण 4 - व्यक्ति और समूह माध्य प्रोफाइल के बीच संबंध

20 से 78 वर्ष की आयु के सेंट पीटर्सबर्ग निवासियों का एक नमूना (31 पुरुष, 46 महिलाएं), उम्र से संतुलित इस तरह से कि 55 वर्ष से अधिक उम्र के लोगों को 50% 4 के लिए जिम्मेदार ठहराया गया, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कहा गया: "क्या है सेंट पीटर्सबर्ग के सिटी असेंबली के डिप्टी के लिए आवश्यक निम्नलिखित गुणों में से प्रत्येक के विकास का स्तर?" (सिदोरेंको ई.वी., डर्मानोवा आई.बी., अनिसिमोवा ओ.एम., विटेनबर्ग ई.वी., शुल्गा ए.पी., 1994)। मूल्यांकन 10-बिंदु पैमाने पर किया गया था। इसके समानांतर, सेंट पीटर्सबर्ग (एन = 14) की सिटी असेंबली में प्रतिनियुक्ति के लिए प्रतिनियुक्ति और उम्मीदवारों का एक नमूना सर्वेक्षण किया गया था। राजनेताओं और उम्मीदवारों के व्यक्तिगत निदान को व्यक्तिगत गुणों के समान सेट के अनुसार एक्सप्रेस वीडियो डायग्नोस्टिक्स की ऑक्सफोर्ड प्रणाली का उपयोग करके किया गया था जो मतदाताओं के नमूने के लिए प्रस्तुत किया गया था।

तालिका में। 6.6 प्रत्येक गुण के लिए प्राप्त औसत मूल्यों को दर्शाता है मेंमतदाताओं का नमूना ("संदर्भ पंक्ति") और सिटी असेंबली के एक प्रतिनिधि के व्यक्तिगत मूल्य।

आइए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि के-वीए के डिप्टी की व्यक्तिगत प्रोफ़ाइल संदर्भ प्रोफ़ाइल से कैसे संबंधित है।

तालिका 6.6

एक्सप्रेस वीडियो डायग्नोस्टिक्स के 18 व्यक्तिगत गुणों पर औसत संदर्भ मतदाता रेटिंग (एन = 77) और के-वीए डिप्टी के व्यक्तिगत संकेतक

गुणवत्ता का नाम	औसत मतदाता बेंचमार्क	डिप्टी K-va . के व्यक्तिगत संकेतक
1. संस्कृति का सामान्य स्तर
2. सीखने की क्षमता
4. कुछ नया बनाने की क्षमता
5. आत्म-आलोचना
6. जिम्मेदारी
7. आत्मनिर्भरता
8. ऊर्जा, गतिविधि
9. उद्देश्यपूर्णता
10. धीरज, आत्म-नियंत्रण
मैं दृढ़ता
12. व्यक्तिगत परिपक्वता
13. शालीनता
14. मानवतावाद
15. लोगों के साथ संवाद करने की क्षमता
16. अन्य लोगों की राय के लिए सहिष्णुता
17. व्यवहार का लचीलापन
18. अनुकूल प्रभाव डालने की क्षमता

तालिका 6.7

गणना डी 2 स्पीयरमैन के रैंक के लिए एक डिप्टी के व्यक्तिगत गुणों के संदर्भ और व्यक्तिगत प्रोफाइल के बीच सहसंबंध गुणांक

गुणवत्ता का नाम	संदर्भ प्रोफ़ाइल में गुणवत्ता रैंक		पंक्ति 2: व्यक्तिगत प्रोफ़ाइल में गुणवत्ता रैंक				डी 2
1 जिम्मेदारी
2 वफ़ादारी
3 लोगों के साथ संवाद करने की क्षमता
4 धीरज, आत्म-संयम
5 संस्कृति का सामान्य स्तर
6 ऊर्जा, गतिविधि
8 आत्म-आलोचना
9 स्वायत्तता
10 व्यक्तिगत परिपक्वता
और उद्देश्यपूर्णता
12 सीखने योग्यता
13 मानवतावाद
14 अन्य लोगों की राय के लिए सहिष्णुता
15 दृढ़ता
16 व्यवहार का लचीलापन
17 एक अनुकूल प्रभाव बनाने की क्षमता
18 नया बनाने की क्षमता

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है। 6.6, मतदाताओं के अनुमान और डिप्टी के अलग-अलग संकेतक अलग-अलग श्रेणियों में भिन्न होते हैं। दरअसल, मतदाताओं का आकलन 10-बिंदु पैमाने पर प्राप्त किया गया था, और एक्सप्रेस वीडियो निदान के लिए व्यक्तिगत संकेतकों को 20-बिंदु पैमाने पर मापा जाता है। रैंकिंग हमें दोनों माप पैमानों का एक ही पैमाने में अनुवाद करने की अनुमति देती है, जहां माप की इकाई 1 रैंक होगी, और अधिकतम मान 18 रैंक होगा।

रैंकिंग, जैसा कि हमें याद है, मूल्यों की प्रत्येक श्रृंखला के लिए अलग से किया जाना चाहिए। इस मामले में, निम्न रैंक को उच्च मान पर असाइन करने की सलाह दी जाती है, ताकि आप तुरंत देख सकें कि महत्व के संदर्भ में (मतदाताओं के लिए) या गंभीरता के संदर्भ में (एक डिप्टी के लिए) यह या वह गुणवत्ता स्थित है। .

रैंकिंग परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 6.7. गुणों को एक क्रम में सूचीबद्ध किया गया है जो संदर्भ प्रोफ़ाइल को दर्शाता है।

आइए परिकल्पना तैयार करें।

एच 0: क्यू-वीए के डिप्टी के व्यक्तिगत प्रोफाइल और मतदाताओं के आकलन के आधार पर बनाए गए संदर्भ प्रोफाइल के बीच संबंध शून्य से भिन्न नहीं होता है।

एच 1: क्यू-वीए के डिप्टी की व्यक्तिगत प्रोफ़ाइल और मतदाताओं के आकलन के आधार पर निर्मित संदर्भ प्रोफ़ाइल के बीच संबंध, सांख्यिकीय रूप से शून्य से काफी अलग है। चूंकि दोनों तुलना रैंकिंग श्रृंखला में शामिल हैं

समान रैंक के समूह, रैंक गुणांक की गणना करने से पहले

सहसंबंध, समान रैंक T a और . के लिए सही करना आवश्यक है टी बी :

कहाँ पे एक -रैंक पंक्ति A में समान रैंक के प्रत्येक समूह का आयतन,

बी - रैंक श्रृंखला बी में समान रैंक के प्रत्येक समूह की मात्रा।

इस मामले में, पंक्ति ए (संदर्भ प्रोफ़ाइल) में समान रैंकों का एक समूह है - गुण "सीखने की क्षमता" और "मानवतावाद" में समान रैंक 12.5 है; फलस्वरूप, एक=2.

टी ए \u003d (2 3 -2) / 12 \u003d 0.50।

पंक्ति B (व्यक्तिगत प्रोफ़ाइल) में समान रैंक के दो समूह हैं, जबकि बी 1 =2 तथा बी 2 =2.

टी ए =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1.00

आर एस के अनुभवजन्य मूल्य की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं

इस मामले में:

ध्यान दें कि यदि हमने समान रैंक के लिए सुधार नहीं किया है, तो r s का मान केवल (0.0002 से) अधिक होगा:

बड़ी संख्या में समान रैंकों के लिए, r 5 में परिवर्तन अधिक महत्वपूर्ण हो सकते हैं। समान रैंकों की उपस्थिति का अर्थ है विभेदित ™ क्रमित चर की एक कम डिग्री और, परिणामस्वरूप, उनके बीच संबंध की डिग्री का आकलन करने की कम क्षमता (सुखोडोल्स्की जी.वी., 1972, पृष्ठ 76)।

तालिका के अनुसार। XVI परिशिष्ट 1 N=18 पर r के महत्वपूर्ण मान निर्धारित करता है:

उत्तर:मुख्यालय खारिज कर दिया गया है। क्यू-वीए के डिप्टी की व्यक्तिगत प्रोफ़ाइल और मतदाताओं की आवश्यकताओं को पूरा करने वाले संदर्भ प्रोफ़ाइल के बीच संबंध सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है (पी<0,05) и является положи­тельной.

टैब से। 6.7 यह देखा जा सकता है कि डिप्टी केवी के पास लोगों के साथ संवाद करने की क्षमता के पैमाने पर निचली रैंक है और चुनावी मानक द्वारा निर्धारित की तुलना में उद्देश्यपूर्णता और दृढ़ता के पैमाने पर उच्च रैंक है। ये विसंगतियां मुख्य रूप से प्राप्त r s में कुछ कमी की व्याख्या करती हैं।

आइए हम r s की गणना के लिए एक सामान्य एल्गोरिथ्म तैयार करें।

के. स्पीयरमैन द्वारा प्रस्तावित रैंक सहसंबंध गुणांक, रैंक पैमाने पर मापे गए चर के बीच संबंध के गैर-पैरामीट्रिक संकेतकों को संदर्भित करता है। इस गुणांक की गणना करते समय, सामान्य जनसंख्या में सुविधाओं के वितरण की प्रकृति के बारे में किसी धारणा की आवश्यकता नहीं होती है। यह गुणांक क्रमिक सुविधाओं के कनेक्शन की जकड़न की डिग्री निर्धारित करता है, जो इस मामले में तुलनात्मक मूल्यों के रैंक का प्रतिनिधित्व करता है।

स्पीयरमैन के सहसंबंध गुणांक का मान भी +1 और -1 की सीमा में होता है। यह, पियर्सन गुणांक की तरह, सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है, जो रैंक स्केल में मापी गई दो विशेषताओं के बीच संबंध की दिशा को दर्शाता है।

सिद्धांत रूप में, रैंक की गई सुविधाओं (गुण, लक्षण, आदि) की संख्या कोई भी हो सकती है, लेकिन 20 से अधिक सुविधाओं की रैंकिंग की प्रक्रिया कठिन है। यह संभव है कि यही कारण है कि रैंक सहसंबंध गुणांक के महत्वपूर्ण मूल्यों की तालिका की गणना केवल चालीस रैंक सुविधाओं के लिए की जाती है (एन< 40, табл. 20 приложения 6).

स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां n रैंक की गई सुविधाओं (संकेतक, विषय) की संख्या है;

डी प्रत्येक विषय के लिए दो चर में रैंक के बीच का अंतर है;

वर्ग रैंक अंतर का योग।

रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण: मनोवैज्ञानिक यह पता लगाता है कि स्कूल के लिए तैयारी के व्यक्तिगत संकेतक, 11 प्रथम-ग्रेडर के लिए स्कूल शुरू होने से पहले प्राप्त किए गए और स्कूल वर्ष के अंत में उनके औसत प्रदर्शन, आपस में जुड़े हुए हैं।

इस समस्या को हल करने के लिए, हमने सबसे पहले, स्कूल में प्रवेश करते समय प्राप्त स्कूल की तत्परता के संकेतकों के मूल्यों को स्थान दिया, और दूसरी बात, इन समान छात्रों के लिए वर्ष के अंत में अंतिम प्रदर्शन संकेतक औसतन। परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 13.

तालिका 13

छात्रों की संख्या
स्कूल की तैयारी के संकेतकों की रैंक
औसत वार्षिक प्रदर्शन की रैंक

हम प्राप्त डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं। हम पाते हैं:

महत्व के स्तर का पता लगाने के लिए, हम तालिका की ओर मुड़ते हैं। परिशिष्ट 6 का 20, जो रैंक सहसंबंध गुणांक के लिए महत्वपूर्ण मान देता है।

हम तालिका में इस पर जोर देते हैं। 20 परिशिष्ट 6, साथ ही पियर्सन के रैखिक सहसंबंध के लिए तालिका में, सहसंबंध गुणांक के सभी मान निरपेक्ष मान में दिए गए हैं। इसलिए, सहसंबंध गुणांक के संकेत को इसकी व्याख्या करते समय ही ध्यान में रखा जाता है।

इस तालिका में महत्व के स्तर को संख्या n के अनुसार, अर्थात विषयों की संख्या के अनुसार किया जाता है। हमारे मामले में, n = 11. इस संख्या के लिए, हम पाते हैं:

पी 0.05 . के लिए 0.61

पी 0.01 . के लिए 0.76

हम संबंधित ``महत्व अक्ष"" का निर्माण करते हैं:

परिणामी सहसंबंध गुणांक 1% के महत्व स्तर के लिए महत्वपूर्ण मान के साथ मेल खाता है। इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि स्कूल की तैयारी के संकेतक और पहले ग्रेडर के अंतिम ग्रेड सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं - दूसरे शब्दों में, स्कूल की तत्परता का संकेतक जितना अधिक होगा, पहला ग्रेडर उतना ही बेहतर सीखेगा। सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के संदर्भ में, मनोवैज्ञानिक को समानता की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना चाहिए और वैकल्पिक (लेकिन अंतर) परिकल्पना को स्वीकार करना चाहिए, जो कहती है कि स्कूल की तैयारी और औसत प्रदर्शन के बीच का संबंध गैर-शून्य है।

समान (समान) रैंक का मामला

समान रैंकों की उपस्थिति में, स्पीयरमैन रैखिक सहसंबंध गुणांक की गणना का सूत्र कुछ अलग होगा। इस मामले में, समान रैंक को ध्यान में रखते हुए, सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए सूत्र में दो नए शब्द जोड़े जाते हैं। उन्हें समान रैंक के लिए सुधार कहा जाता है और गणना सूत्र के अंश में जोड़ा जाता है।

जहां n पहले कॉलम में समान रैंकों की संख्या है,

k दूसरे कॉलम में समान रैंकों की संख्या है।

यदि किसी कॉलम में समान रैंक के दो समूह हैं, तो सुधार सूत्र कुछ अधिक जटिल हो जाता है:

जहां n रैंक किए गए कॉलम के पहले समूह में समान रैंकों की संख्या है,

k रैंक किए गए कॉलम के दूसरे समूह में समान रैंक की संख्या है। सामान्य स्थिति में सूत्र का संशोधन इस प्रकार है:

उदाहरण: एक मनोवैज्ञानिक, मानसिक विकास परीक्षण (आईएसटीयू) का उपयोग करते हुए कक्षा 9 के 12 छात्रों में बुद्धि का अध्ययन करता है। साथ ही, वह साहित्य और गणित के शिक्षकों को मानसिक विकास के संकेतकों के अनुसार इन समान छात्रों को रैंक करने के लिए कहते हैं। कार्य यह निर्धारित करना है कि मानसिक विकास के उद्देश्य संकेतक (एसटीआई डेटा) और शिक्षकों के विशेषज्ञ मूल्यांकन कैसे संबंधित हैं।

इस समस्या का प्रायोगिक डेटा और स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए आवश्यक अतिरिक्त कॉलम तालिका के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। चौदह।

तालिका 14

छात्रों की संख्या	SHTUR . की मदद से परीक्षण की रैंक	गणित में शिक्षकों का विशेषज्ञ आकलन	साहित्य में शिक्षकों का विशेषज्ञ आकलन	डी (दूसरा और तीसरा कॉलम)	डी (दूसरा और चौथा कॉलम)	(दूसरा और तीसरा कॉलम)	(दूसरा और चौथा कॉलम)

चूंकि रैंकिंग में समान रैंक का उपयोग किया जाता है, इसलिए तालिका के दूसरे, तीसरे और चौथे कॉलम में रैंकिंग की शुद्धता की जांच करना आवश्यक है। इनमें से प्रत्येक कॉलम में योग समान योग देता है - 78।

हम गणना सूत्र के अनुसार जांच करते हैं। चेक देता है:

तालिका के पांचवें और छठे कॉलम प्रत्येक छात्र के लिए एसटीयूडी परीक्षण पर मनोवैज्ञानिक के विशेषज्ञ आकलन और शिक्षकों के विशेषज्ञ आकलन के मूल्यों के बीच क्रमशः गणित और साहित्य में रैंक में अंतर के मूल्यों को दर्शाते हैं। . रैंक अंतर का योग शून्य के बराबर होना चाहिए। पांचवें और छठे कॉलम में डी मानों के योग ने वांछित परिणाम दिया। इसलिए, रैंकों का घटाव सही ढंग से किया गया था। इसी तरह की जांच हर बार जटिल प्रकार की रैंकिंग करते समय की जानी चाहिए।

सूत्र द्वारा गणना शुरू करने से पहले, तालिका के दूसरे, तीसरे और चौथे कॉलम के लिए समान रैंक के लिए सुधारों की गणना करना आवश्यक है।

हमारे मामले में, तालिका के दूसरे कॉलम में दो समान रैंक हैं, इसलिए, सूत्र के अनुसार, D1 सुधार मान होगा:

तीसरे कॉलम में तीन समान रैंक हैं, इसलिए, सूत्र के अनुसार, सुधार मान D2 होगा:

तालिका के चौथे कॉलम में, तीन समान रैंकों के दो समूह हैं, इसलिए, सूत्र के अनुसार, D3 सुधार मान होगा:

समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम याद करते हैं कि मनोवैज्ञानिक दो प्रश्नों का पता लगाता है - गणित और साहित्य में विशेषज्ञ आकलन से संबंधित एसटीयूआर परीक्षण के अनुसार रैंक के मूल्य कैसे हैं। इसलिए गणना दो बार की जाती है।

हम सूत्र के अनुसार एडिटिव्स को ध्यान में रखते हुए पहले रैंक गुणांक पर विचार करते हैं। हम पाते हैं:

आइए योजक को ध्यान में रखे बिना गणना करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सहसंबंध गुणांक के मूल्यों में अंतर बहुत महत्वहीन निकला।

हम सूत्र के अनुसार एडिटिव्स को ध्यान में रखते हुए दूसरे रैंक के गुणांक पर विचार करते हैं। हम पाते हैं:

आइए योजक को ध्यान में रखे बिना गणना करें:

फिर, मतभेद बहुत छोटे थे। चूंकि दोनों मामलों में छात्रों की संख्या समान है, तालिका के अनुसार। 20 परिशिष्ट 6 हम दोनों सहसंबंध गुणांकों के लिए n = 12 पर महत्वपूर्ण मान एक साथ पाते हैं।

पी 0.05 . के लिए 0.58

पी 0.01 . के लिए 0.73

``महत्व अक्ष"" पर पहला मान प्लॉट करें:

पहले मामले में, प्राप्त रैंक सहसंबंध गुणांक महत्व के क्षेत्र में है। इसलिए, मनोवैज्ञानिक को शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना चाहिए कि सहसंबंध गुणांक शून्य के समान है और वैकल्पिक परिकल्पना को स्वीकार करना चाहिए कि सहसंबंध गुणांक शून्य से काफी अलग है। दूसरे शब्दों में, प्राप्त परिणाम से पता चलता है कि एसटीयूडी परीक्षण पर छात्रों के विशेषज्ञ स्कोर जितना अधिक होगा, गणित में उनके विशेषज्ञ स्कोर उतने ही अधिक होंगे।

``महत्व अक्ष"" पर दूसरा मान प्लॉट करें:

दूसरे मामले में, रैंक सहसंबंध गुणांक अनिश्चितता के क्षेत्र में है। इसलिए, एक मनोवैज्ञानिक शून्य परिकल्पना को स्वीकार कर सकता है कि सहसंबंध गुणांक शून्य के समान है और वैकल्पिक परिकल्पना को अस्वीकार करता है कि सहसंबंध गुणांक शून्य से काफी अलग है। इस मामले में, प्राप्त परिणाम इंगित करता है कि एसटीयूडी परीक्षण पर छात्रों के विशेषज्ञ आकलन साहित्य में विशेषज्ञ आकलन से संबंधित नहीं हैं।

स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक लागू करने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

1. तुलना किए जा रहे चरों को एक क्रमिक (रैंक) पैमाने पर प्राप्त किया जाना चाहिए, लेकिन अंतराल और अनुपात के पैमाने पर भी मापा जा सकता है।

2. सहसंबद्ध मूल्यों के वितरण की प्रकृति कोई मायने नहीं रखती।

3. तुलना किए गए चर X और Y में भिन्न-भिन्न विशेषताओं की संख्या समान होनी चाहिए।

स्पीयरमैन सहसंबंध गुणांक (तालिका 20, परिशिष्ट 6) के महत्वपूर्ण मूल्यों को निर्धारित करने के लिए तालिकाओं की गणना n = 5 से n = 40 के बराबर संकेतों की संख्या से की जाती है, और तुलनात्मक चर की एक बड़ी संख्या के साथ, तालिका के लिए पियर्सन सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जाना चाहिए (तालिका 19, परिशिष्ट 6)। महत्वपूर्ण मान ज्ञात करना k = n पर किया जाता है।

पियर्सन सहसंबंध गुणांक

गुणक आर-पियर्सन का उपयोग एक ही नमूने पर मापे गए दो मीट्रिक चर के संबंध का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। ऐसी कई स्थितियां हैं जिनमें इसका उपयोग करना उचित है। क्या बुद्धि स्नातक प्रदर्शन को प्रभावित करती है? क्या किसी कर्मचारी का वेतन सहकर्मियों के प्रति उसकी सद्भावना से संबंधित है? क्या किसी छात्र की मनोदशा एक जटिल अंकगणितीय समस्या को हल करने की सफलता को प्रभावित करती है? ऐसे प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, शोधकर्ता को नमूने के प्रत्येक सदस्य के लिए रुचि के दो संकेतकों को मापना चाहिए।

सहसंबंध गुणांक का मान उन इकाइयों से प्रभावित नहीं होता है जिनमें विशेषताएं प्रस्तुत की जाती हैं। इसलिए, सुविधाओं के किसी भी रैखिक परिवर्तन (एक स्थिरांक से गुणा, एक स्थिरांक के अलावा) सहसंबंध गुणांक के मूल्य को नहीं बदलते हैं। एक अपवाद एक संकेत का एक नकारात्मक स्थिरांक से गुणा करना है: सहसंबंध गुणांक इसके संकेत को विपरीत में बदल देता है।

स्पीयरमैन और पियर्सन सहसंबंध का अनुप्रयोग।

पियर्सन सहसंबंध दो चर के बीच रैखिक संबंध का एक उपाय है। यह आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दो चर की परिवर्तनशीलता कितनी आनुपातिक है। यदि चर एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं, तो उनके बीच के संबंध को एक सकारात्मक (प्रत्यक्ष अनुपात) या नकारात्मक (उलटा अनुपात) ढलान के साथ एक सीधी रेखा के रूप में रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

व्यवहार में, दो चरों के बीच संबंध, यदि कोई हो, संभाव्य है और ग्राफिक रूप से एक दीर्घवृत्तीय स्कैटर क्लाउड जैसा दिखता है। हालाँकि, इस दीर्घवृत्त को एक सीधी रेखा, या एक प्रतिगमन रेखा के रूप में (अनुमानित) दर्शाया जा सकता है। प्रतिगमन रेखा कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके बनाई गई एक सीधी रेखा है: स्कैटरप्लॉट के प्रत्येक बिंदु से रेखा तक वर्ग दूरी (y-अक्ष के साथ गणना) का योग न्यूनतम है।

भविष्यवाणी की सटीकता का आकलन करने के लिए विशेष महत्व निर्भर चर के अनुमानों का विचलन है। संक्षेप में, आश्रित चर Y के अनुमानों का विचरण इसके कुल विचरण का वह भाग है जो स्वतंत्र चर X के प्रभाव के कारण होता है। दूसरे शब्दों में, आश्रित चर के अनुमानों के विचरण का अनुपात इसके वास्तविक विचरण से होता है। सहसंबंध गुणांक के वर्ग के बराबर है।

आश्रित और स्वतंत्र चर के सहसंबंध गुणांक का वर्ग स्वतंत्र चर के प्रभाव के कारण निर्भर चर के विचरण के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है, और इसे निर्धारण का गुणांक कहा जाता है। निर्धारण का गुणांक, इसलिए, यह दर्शाता है कि एक चर की परिवर्तनशीलता दूसरे चर के प्रभाव से किस सीमा तक (निर्धारित) है।

निर्धारण गुणांक का सहसंबंध गुणांक पर एक महत्वपूर्ण लाभ है। सहसंबंध दो चरों के बीच संबंध का एक रैखिक कार्य नहीं है। इसलिए, कई नमूनों के लिए सहसंबंध गुणांक का अंकगणितीय माध्य इन नमूनों से सभी विषयों के लिए तुरंत गणना किए गए सहसंबंध से मेल नहीं खाता है (यानी, सहसंबंध गुणांक योगात्मक नहीं है)। इसके विपरीत, निर्धारण का गुणांक रैखिक रूप से संबंध को दर्शाता है और इसलिए, योगात्मक है: इसे कई नमूनों पर औसत किया जा सकता है।

कनेक्शन की ताकत के बारे में अतिरिक्त जानकारी सहसंबंध गुणांक वर्ग के मूल्य द्वारा दी गई है - निर्धारण का गुणांक: यह एक चर के विचरण का हिस्सा है जिसे दूसरे चर के प्रभाव से समझाया जा सकता है। सहसंबंध गुणांक के विपरीत, कनेक्शन की ताकत में वृद्धि के साथ निर्धारण का गुणांक रैखिक रूप से बढ़ता है।

स्पीयरमैन के सहसंबंध गुणांक और - केंडल (रैंक सहसंबंध )

यदि दोनों चर जिनके बीच संबंध का अध्ययन किया जा रहा है, को एक क्रमिक पैमाने पर प्रस्तुत किया जाता है, या उनमें से एक क्रमिक पैमाने पर है और दूसरा मीट्रिक पैमाने पर है, तो रैंक सहसंबंध गुणांक लागू होते हैं: स्पीयरमैन या - केंडल। दोनों गुणांकों को उनके अनुप्रयोग के लिए दोनों चरों की पूर्व रैंकिंग की आवश्यकता होती है।

स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक एक गैर-पैरामीट्रिक विधि है जिसका उपयोग सांख्यिकीय रूप से घटना के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इस मामले में, अध्ययन की गई विशेषताओं की दो मात्रात्मक श्रृंखलाओं के बीच समानता की वास्तविक डिग्री निर्धारित की जाती है और मात्रात्मक रूप से व्यक्त गुणांक का उपयोग करके स्थापित संबंध की मजबूती का अनुमान लगाया जाता है।

यदि समूह के सदस्यों को पहले x चर द्वारा और फिर y चर द्वारा रैंक किया गया था, तो x और y चर के बीच सहसंबंध केवल दो रैंक श्रृंखला के लिए पियर्सन गुणांक की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है। बशर्ते कि किसी भी चर के लिए रैंकों में कोई लिंक न हो (अर्थात, कोई दोहराई गई रैंक नहीं), पियरसन के सूत्र को कम्प्यूटेशनल रूप से काफी सरल बनाया जा सकता है और स्पीयरमैन के रूप में ज्ञात सूत्र में परिवर्तित किया जा सकता है।

स्पीयरमैन रैंक सहसंबंध गुणांक की शक्ति कुछ हद तक पैरामीट्रिक सहसंबंध गुणांक की शक्ति से कम है।

कम संख्या में टिप्पणियों की उपस्थिति में रैंक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करना उचित है। इस पद्धति का उपयोग न केवल मात्रात्मक डेटा के लिए किया जा सकता है, बल्कि उन मामलों में भी किया जा सकता है जहां दर्ज किए गए मान अलग-अलग तीव्रता की वर्णनात्मक विशेषताओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

एक या दोनों तुलनात्मक चरों के लिए बड़ी संख्या में समान रैंकों के साथ स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक मोटे मान देता है। आदर्श रूप से, दोनों सहसंबद्ध श्रृंखला बेमेल मानों के दो क्रम होने चाहिए

रैंकों के लिए स्पीयरमैन सहसंबंध का एक विकल्प सहसंबंध है - केंडल। एम। केंडल द्वारा प्रस्तावित सहसंबंध इस विचार पर आधारित है कि कनेक्शन की दिशा को जोड़े में विषयों की तुलना करके आंका जा सकता है: यदि विषयों की एक जोड़ी में x में परिवर्तन होता है जो y में परिवर्तन के साथ दिशा में मेल खाता है, तो यह एक सकारात्मक संबंध को इंगित करता है, अगर मेल नहीं खाता - एक नकारात्मक संबंध के बारे में कुछ।

सहसंबंध गुणांक विशेष रूप से संख्यात्मक पैमाने (मीट्रिक या रैंक) पर मापे गए दो गुणों के बीच संबंध की ताकत और दिशा को संख्यात्मक रूप से निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सहसंबंध मान +1 (सख्त प्रत्यक्ष या सीधे आनुपातिक संबंध) और -1 (सख्त व्युत्क्रम या व्युत्क्रमानुपाती संबंध) संबंध की अधिकतम ताकत के अनुरूप हैं, शून्य के बराबर सहसंबंध की अनुपस्थिति से मेल खाती है रिश्ता। कनेक्शन की ताकत के बारे में अतिरिक्त जानकारी निर्धारण के गुणांक के मूल्य द्वारा प्रदान की जाती है: यह एक चर के विचरण का हिस्सा है जिसे दूसरे चर के प्रभाव से समझाया जा सकता है।

9. डेटा तुलना के लिए पैरामीट्रिक तरीके

यदि आपके चरों को मीट्रिक पैमाने पर मापा जाता है तो पैरामीट्रिक तुलना विधियां लागू होती हैं।

भिन्नताओं की तुलना 2- फिशर के परीक्षण द्वारा x नमूने .


यह विधि आपको इस परिकल्पना का परीक्षण करने की अनुमति देती है कि 2 सामान्य आबादी के प्रसरण जिनसे तुलना किए गए नमूने निकाले जाते हैं, एक दूसरे से भिन्न होते हैं। विधि की सीमाएँ - दोनों नमूनों में विशेषता का वितरण सामान्य से भिन्न नहीं होना चाहिए।

भिन्नताओं की तुलना करने का एक विकल्प लीवन परीक्षण है, जिसके लिए सामान्य वितरण के परीक्षण की कोई आवश्यकता नहीं है। इस पद्धति का उपयोग विभिन्न आकारों के स्वतंत्र नमूनों के लिए छात्र के टी-टेस्ट द्वारा साधनों में अंतर की विश्वसनीयता की जांच करने से पहले भिन्नता की समानता (एकरूपता) की धारणा का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है।

व्यवहार में, स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक (P) का उपयोग अक्सर दो विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक विशेषता के मूल्यों को आरोही क्रम (1 से n तक) में क्रमबद्ध किया जाता है, फिर एक अवलोकन के अनुरूप रैंकों के बीच का अंतर (डी) निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण 1। 2003 में रूसी संघ के संघीय जिलों में से एक के 10 क्षेत्रों में औद्योगिक उत्पादन की मात्रा और अचल पूंजी में निवेश के बीच संबंध निम्नलिखित आंकड़ों की विशेषता है।
गणना स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांकऔर केंडल। α=0.05 पर उनके महत्व की जाँच करें। विचाराधीन रूसी संघ के क्षेत्रों में औद्योगिक उत्पादन की मात्रा और अचल संपत्तियों में निवेश के बीच संबंधों के बारे में निष्कर्ष तैयार करें।

फ़ीचर Y और फ़ैक्टर X को रैंक असाइन करें। वर्गों d 2 के अंतर का योग ज्ञात कीजिए।
कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक की गणना करते हैं:

एक्स	यू	रैंक एक्स, डीएक्स	रैंक वाई, डी वाई	(डीएक्स - डाई) 2
1.3	300	1	2	1
1.8	1335	2	12	100
2.4	250	3	1	4
3.4	946	4	8	16
4.8	670	5	7	4
5.1	400	6	4	4
6.3	380	7	3	16
7.5	450	8	5	9
7.8	500	9	6	9
17.5	1582	10	16	36
18.3	1216	11	9	4
22.5	1435	12	14	4
24.9	1445	13	15	4
25.8	1820	14	19	25
28.5	1246	15	10	25
33.4	1435	16	14	4
42.4	1800	17	18	1
45	1360	18	13	25
50.4	1256	19	11	64
54.8	1700	20	17	9
				364

फ़ीचर Y फ़ैक्टर X के बीच का संबंध मज़बूत और सीधा है।

स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक का अनुमान

विद्यार्थी तालिका के अनुसार, हम Ttable पाते हैं।
टी टेबल \u003d (18; 0.05) \u003d 1.734
Tobs > Ttabl के बाद से, हम इस परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं कि रैंक सहसंबंध गुणांक शून्य के बराबर है। दूसरे शब्दों में, स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध गुणांक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है।

रैंक सहसंबंध गुणांक के लिए अंतराल अनुमान (विश्वास अंतराल)
विश्वास अंतरालस्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक के लिए: p(0.5431;0.9095)।

उदाहरण # 2। प्रारंभिक आंकड़े।

5	4
3	4
1	3
3	1
6	6
2	2

चूंकि मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के संबंधित रैंक (समान रैंक संख्या) हैं, हम उन्हें फिर से आकार देंगे। रैंक के महत्व को बदले बिना रैंकों का पुन: गठन किया जाता है, यानी रैंक संख्याओं के बीच संबंधित अनुपात (इससे अधिक, कम या बराबर) को संरक्षित किया जाना चाहिए। मापदंडों की संख्या (इस मामले में n = 6) के बराबर मान 1 से ऊपर और नीचे रैंक सेट करने की भी अनुशंसा नहीं की जाती है। रैंकों का सुधार तालिका में किया गया है।

		नई रैंक
1	1	1
2	2	2
3	3	3.5
4	3	3.5
5	5	5
6	6	6

चूंकि मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति के बाउंड रैंक हैं, हम उन्हें फिर से आकार देंगे। रैंकों का सुधार तालिका में किया गया है।

क्रमित पंक्ति में सीट संख्या	विशेषज्ञ के आकलन के अनुसार कारकों का स्थान	नई रैंक
1	1	1
2	2	2
3	3	3
4	4	4.5
5	4	4.5
6	6	6

रैंक मैट्रिक्स।

रैंक एक्स, डीएक्स	रैंक वाई, डी वाई	(डीएक्स - डाई) 2
5	4.5	0.25
3.5	4.5	1
1	3	4
3.5	1	6.25
6	6	0
2	2	0
21	21	11.5

चूंकि x और y सुविधाओं के मूल्यों में कई समान हैं, अर्थात्। बाउंड रैंक बनते हैं, तो इस मामले में स्पीयरमैन गुणांक की गणना इस प्रकार की जाती है:

कहाँ पे


j - फीचर x के लिए लिंक्स की संख्या;
और j x में j-वें बंडल में समान रैंकों की संख्या है;
k - सुविधा y के क्रम में शीशों की संख्या;
k में - y में k-वें बंडल में समान रैंकों की संख्या।
ए = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
बी = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
डी = ए + बी = 0.5 + 0.5 = 1

फीचर Y और फ़ैक्टर X के बीच संबंध मध्यम और प्रत्यक्ष है।