مساحت قاعده یک منشور مستقیم. تعریف و خواص منشور

تعریف 1. سطح منشوری
قضیه 1. درباره بخش های موازیسطح منشوری
تعریف 2. مقطع عمود بر سطح منشوری
تعریف 3. منشور
تعریف 4. ارتفاع منشور
تعریف 5. منشور راست
قضیه 2. مساحت سطح جانبی منشور

متوازیالسطوح:
تعریف 6. موازی شکل
قضیه 3. در مورد تقاطع قطرهای یک متوازی الاضلاع
تعریف 7. متوازی الاضلاع راست
تعریف 8. متوازی الاضلاع مستطیل شکل
تعریف 9. اندازه گیری های موازی
تعریف 10. مکعب
تعریف 11. لوزی
قضیه 4. روی قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی شکل
قضیه 5. حجم یک منشور
قضیه 6. حجم منشور مستقیم
قضیه 7. حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل

منشورچندوجهی است که دو وجه (پایه) آن در صفحات موازی قرار دارند و لبه هایی که در این وجوه قرار ندارند با یکدیگر موازی هستند.
صورت هایی غیر از پایه ها نامیده می شود جانبی.
اضلاع وجوه جانبی و پایه ها نامیده می شود دنده های منشوری، انتهای لبه ها نامیده می شود رئوس منشور دنده های جانبیلبه هایی که به پایه ها تعلق ندارند نامیده می شوند. اتحاد وجوه جانبی نامیده می شود سطح جانبی منشور، و اتحاد همه صورت ها نامیده می شود سطح کامل منشور ارتفاع منشوربه نام عمود بر افتاده از یک نقطه پایه بالاییبه هواپیما پایه پایینیا طول این عمود. منشور مستقیممنشوری نامیده می شود که دنده های کناری آن بر صفحات قاعده ها عمود هستند. درستمنشور مستقیم نامیده می شود (شکل 3)، که در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد.

نام گذاری ها:
ل - دنده جانبی؛
P - محیط پایه؛
S o - منطقه پایه؛
H - ارتفاع؛
P^ - محیط مقطع عمودی؛
S b - سطح جانبی.
V - حجم؛
S p مساحت کل سطح منشور است.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

تعریف 1 . یک سطح منشوری شکلی است که توسط بخش‌هایی از چندین صفحه موازی با یک خط مستقیم تشکیل شده است، که توسط خطوط مستقیمی که در امتداد آنها این صفحات متوالی یکدیگر را قطع می‌کنند محدود می‌شود. این خطوط موازی یکدیگر هستند و نامیده می شوند لبه های سطح منشوری.
*فرض بر این است که هر دو صفحه متوالی یکدیگر را قطع می کنند و آخرین صفحه اول را قطع می کند

قضیه 1 . مقاطع یک سطح منشوری توسط صفحات موازی با یکدیگر (اما نه موازی با لبه های آن) چند ضلعی های مساوی هستند.
فرض کنید ABCDE و A"B"C"D"E" مقاطعی از یک سطح منشوری توسط دو صفحه موازی باشند.برای اطمینان از برابری این دو چند ضلعی کافی است که مثلث های ABC و A"B"C" را نشان دهیم. مساوی و جهت چرخش یکسانی دارند و برای مثلثهای ABD و A"B"D، ABE و A"B"E همینطور است. اما اضلاع متناظر این مثلث ها موازی هستند (مثلاً AC موازی با AC است) مانند خط تقاطع یک صفحه معین با دو صفحه موازی. نتیجه می شود که این اضلاع برابر هستند (مثلاً AC برابر با A"C") مانند اضلاع مخالف متوازی الاضلاع، و زوایای تشکیل شده توسط این اضلاع مساوی و دارای جهت یکسان هستند.

تعریف 2 . برش عمود بر یک سطح منشوری بخشی از این سطح توسط صفحه ای عمود بر لبه های آن است. بر اساس قضیه قبلی، تمام مقاطع عمود بر یک سطح منشوری یکسان چندضلعی خواهند بود.

تعریف 3 . منشور چند وجهی است که توسط یک سطح منشوری و دو صفحه موازی با یکدیگر (اما نه موازی با لبه های سطح منشوری) محدود شده است.
چهره هایی که در این آخرین هواپیماها قرار دارند نامیده می شوند پایه های منشوری; چهره های متعلق به سطح منشوری - صورت های جانبی; لبه های سطح منشوری - دنده های جانبی منشور. بر اساس قضیه قبلی، پایه منشور است چند ضلعی های مساوی. تمام وجوه جانبی منشور - متوازی الاضلاع; همه دنده های کناری با یکدیگر برابر هستند.
بدیهی است که اگر پایه منشور ABCDE و یکی از یال های AA در اندازه و جهت داده شود، می توان با کشیدن لبه های BB، CC، ... مساوی و موازی با لبه AA، منشوری ساخت. .

تعریف 4 . ارتفاع یک منشور فاصله بین صفحات پایه های آن (HH") است.

تعریف 5 . منشوری را در صورتی مستقیم می نامند که پایه های آن عمود بر سطح منشوری باشد. در این مورد، ارتفاع منشور، البته، آن است دنده کناری; لبه های جانبی خواهد بود مستطیل ها.
منشورها را می توان بر اساس تعداد وجه های جانبی برابر با تعداد اضلاع چندضلعی که به عنوان پایه آن عمل می کند طبقه بندی کرد. بنابراین، منشورها می توانند مثلثی، چهار گوش، پنج ضلعی و غیره باشند.

قضیه 2 . مساحت سطح جانبی منشور برابر است با حاصلضرب لبه جانبی و محیط بخش عمود بر آن.
فرض کنید ABCDEA"B"C"D"E" یک منشور معین باشد و برش عمود بر آن را abcde کنید، به طوری که قطعات ab، bc، .. بر لبه های جانبی آن عمود باشند. وجه ABA"B" متوازی الاضلاع است؛ مساحت آن برابر است با حاصلضرب پایه AA به ارتفاعی که با ab منطبق است. مساحت صورت ВСВ "С" برابر با حاصلضرب پایه ВВ در ارتفاع bc و غیره است. در نتیجه سطح جانبی (یعنی مجموع مساحت وجه های جانبی) برابر با حاصلضرب است. از لبه کناری، به عبارت دیگر، طول کل قطعات AA"، ВВ"، ..، برای مقدار ab+bc+cd+de+ea.

"درس قضیه فیثاغورث" - قضیه فیثاغورث. نوع KMNP چهار ضلعی را تعیین کنید. دست گرمی بازی کردن. مقدمه ای بر قضیه. تعیین نوع مثلث: طرح درس: گشت تاریخی. حل مسائل ساده و نردبانی به طول 125 فوت پیدا خواهید کرد. ارتفاع CF ذوزنقه ABCD را محاسبه کنید. اثبات نمایش تصاویر اثبات قضیه.

"حجم منشور" - مفهوم یک منشور. منشور مستقیم. حجم منشور اصلی برابر با حاصلضرب S · h است. چگونه حجم یک منشور مستقیم را پیدا کنیم؟ منشور را می توان به منشورهای مثلثی مستقیم با ارتفاع h تقسیم کرد. رسم ارتفاع مثلث ABC. راه حل مشکل. اهداف درس مراحل اساسی در اثبات قضیه منشور مستقیم؟ بررسی قضیه حجم منشور.

"چند وجهی منشور" - تعریف چند وجهی را ارائه دهید. DABC - چهار وجهی، چند وجهی محدب. کاربرد منشورها منشورها در کجا استفاده می شوند؟ ABCDMP یک هشت ضلعی است که از هشت مثلث تشکیل شده است. ABCDA1B1C1D1 - چند وجهی متوازی الاضلاع و محدب. چند وجهی محدب. مفهوم چند وجهی. چند وجهی А1А2..АnB1B2..Bn - منشور.

"منشور کلاس دهم" - منشور چند وجهی است که چهره های آن در صفحات موازی قرار دارند. استفاده از منشور در زندگی روزمره ساید = پایه + h برای منشور مستقیم: Sp.p = Pbas. h + 2Sbas. شیب دار. درست. سر راست. منشور. فرمول هایی برای یافتن منطقه کاربرد منشور در معماری Sp.p = Sside + 2Sbase

"اثبات قضیه فیثاغورث" - اثبات هندسی. معنای قضیه فیثاغورث. قضیه فیثاغورس. برهان اقلیدس «در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتانوس برابر با مجموعمربع های پا." اثبات قضیه. اهمیت قضیه در این است که بیشتر قضایای هندسه را می توان از آن یا به کمک آن استنباط کرد.

سطح جانبی منشور. سلام! در این نشریه به تحلیل گروهی از مشکلات استریومتری خواهیم پرداخت. بیایید ترکیبی از اجسام - یک منشور و یک استوانه را در نظر بگیریم. در حال حاضر، این مقاله کامل کننده مجموعه مقالات مربوط به بررسی انواع وظایف در استریومتری است.

اگر موارد جدید در بانک کار ظاهر شود، مطمئناً در آینده به وبلاگ اضافه خواهد شد. اما آنچه در حال حاضر وجود دارد برای شما کافی است تا یاد بگیرید چگونه تمام مشکلات را با یک پاسخ کوتاه به عنوان بخشی از امتحان حل کنید. برای سالهای آینده مطالب کافی وجود خواهد داشت (برنامه ریاضیات ثابت است).

وظایف ارائه شده شامل محاسبه مساحت یک منشور است. توجه می کنم که در زیر یک منشور مستقیم (و بر این اساس، یک استوانه مستقیم) را در نظر می گیریم.

بدون دانستن هیچ فرمولی، متوجه می شویم که سطح جانبی یک منشور تمام وجوه جانبی آن است. منشور مستقیم دارای وجوه جانبی مستطیلی است.

مساحت سطح جانبی چنین منشوری برابر است با مجموع مساحت تمام وجوه جانبی آن (یعنی مستطیل ها). اگر در مورد یک منشور منظم صحبت می کنیم که یک استوانه در آن حک شده است، واضح است که تمام وجوه این منشور مستطیل های مساوی هستند.

به طور رسمی، سطح جانبی یک منشور منظم می تواند به صورت زیر منعکس شود:

27064. یک منشور چهار گوش منتظم حول استوانه ای است که شعاع و ارتفاع پایه آن برابر با 1 است. مساحت سطح جانبی منشور را بیابید.

سطح جانبیاین منشور از چهار مستطیل با مساحت مساوی تشکیل شده است. ارتفاع صورت 1، لبه پایه منشور 2 است (این دو شعاع استوانه هستند)، بنابراین مساحت وجه جانبی برابر است با:

سطح جانبی:

73023. مساحت سطح جانبی منظم را پیدا کنید منشور مثلثی، در اطراف استوانه ای توصیف شده است که شعاع پایه آن 0.12 √ و ارتفاع آن 3 است.

مساحت سطح جانبی این منشور برابر با جمع است سه مربعوجوه جانبی (مستطیل). برای پیدا کردن مساحت صورت جانبی، باید ارتفاع آن و طول لبه پایه را بدانید. ارتفاع سه است. بیایید طول لبه پایه را پیدا کنیم. طرح ریزی را در نظر بگیرید (نمای بالا):

ما داریم مثلث منظمکه دایره ای با شعاع √0.12 در آن حک شده است. از مثلث قائم الزاویه AOC می توانیم AC را پیدا کنیم. و سپس بعد از میلاد (AD=2AC). با تعریف مماس:

این یعنی AD = 2AC = 1.2. بنابراین، سطح جانبی برابر است با:

27066. مساحت سطح جانبی یک منشور شش ضلعی منتظم را که پیرامون استوانه ای است که شعاع پایه آن 75√ و ارتفاع آن 1 است را بیابید.

مساحت مورد نیاز برابر است با مجموع مساحت تمام وجوه جانبی. یک منشور شش ضلعی منظم دارای وجوه جانبی است که مستطیل های مساوی هستند.

برای پیدا کردن مساحت صورت، باید ارتفاع آن و طول لبه پایه را بدانید. ارتفاع مشخص است، برابر با 1 است.

بیایید طول لبه پایه را پیدا کنیم. طرح ریزی را در نظر بگیرید (نمای بالا):

ما یک شش ضلعی منتظم داریم که دایره ای به شعاع √75 در آن حک شده است.

در نظر بگیریم راست گوشه AVO. ما پایه OB را می شناسیم (این شعاع سیلندر است). ما همچنین می توانیم زاویه AOB را تعیین کنیم، آن برابر با 300 است (مثلث AOC متساوی الاضلاع است، OB یک نیمساز است).

بیایید از تعریف مماس در مثلث قائم الزاویه استفاده کنیم:

AC = 2AB، چون OB میانه است، یعنی AC را به نصف تقسیم می کند، یعنی AC = 10.

بنابراین مساحت وجه جانبی 10=10 و مساحت سطح جانبی برابر است با:

76485. مساحت سطح جانبی یک منشور مثلثی منتظم را که در استوانه ای محاط شده است که شعاع پایه آن 3√8 و ارتفاع آن 6 است را بیابید.

مساحت سطح جانبی منشور مشخص شده از سه وجه هم اندازه (مستطیل) است. برای پیدا کردن مساحت، باید طول لبه قاعده منشور را بدانید (ارتفاع را می‌دانیم). اگر برجستگی (نمای بالا) را در نظر بگیریم، یک مثلث منظم داریم که در یک دایره محاط شده است. ضلع این مثلث بر حسب شعاع به صورت زیر بیان می شود:

جزئیات این رابطه پس برابر خواهد بود

سپس مساحت صورت کناری برابر است: 24∙6=144. و منطقه مورد نیاز:

245354. یک منشور چهار گوش منتظم حول استوانه ای که شعاع قاعده آن 2 است محصور شده است. مساحت سطح جانبی منشور 48 است. ارتفاع استوانه را بیابید.

ساده است. ما چهار وجه جانبی با مساحت مساوی داریم، بنابراین مساحت یک وجه 48:4=12 است. از آنجایی که شعاع پایه استوانه 2 است، لبه پایه منشور اوایل 4 خواهد بود - برابر با قطر استوانه است (اینها دو شعاع هستند). مساحت صورت و یک لبه را می دانیم، دومی که ارتفاع آن برابر با 12:4=3 خواهد بود.

27065. مساحت سطح جانبی یک منشور مثلثی منظم را که اطراف استوانه ای است که شعاع پایه آن 3√ و ارتفاع آن 2 است را بیابید.

با احترام، اسکندر.

تعریف. منشورچند ضلعی است که همه رئوس آن در دو صفحه موازی قرار دارند و در همین دو صفحه دو وجه از منشور قرار دارند که چندضلعی های مساوی با اضلاع مشابه هستند و تمام یال هایی که در این صفحه ها قرار ندارند موازی هستند.

دو وجه مساوی نامیده می شود پایه های منشوری(ABCDE، A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

تمام وجوه دیگر منشور نامیده می شوند صورت های جانبی(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

تمام صورت های جانبی تشکیل می شود سطح جانبی منشور .

تمام وجوه جانبی منشور متوازی الاضلاع هستند .

لبه هایی که در پایه ها قرار ندارند، لبه های جانبی منشور نامیده می شوند. AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

منشور مورب قطعه ای است که انتهای آن دو رأس منشوری است که روی یک وجه قرار ندارند (میلادی 1).

طول پاره ای که پایه های منشور و عمود بر هر دو پایه را به طور همزمان وصل می کند نامیده می شود. ارتفاع منشور .

تعیین:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (ابتدا، به ترتیب پیمایش، رئوس یک پایه مشخص می شود، و سپس، به همان ترتیب، رئوس پایه دیگر، انتهای هر لبه کناری با حروف یکسان مشخص می شود، فقط رئوس هایی که در یک پایه قرار دارند مشخص می شوند. با حروف بدون نمایه و در دیگری - با نمایه)

نام منشور با تعداد زوایای شکل که در پایه آن قرار دارد مرتبط است، به عنوان مثال، در شکل 1 یک پنج ضلعی در پایه وجود دارد، بنابراین منشور نامیده می شود. منشور پنج ضلعی. اما چون چنین منشوری دارای 7 وجه است، سپس آن را هفت وجهی(2 وجه - پایه های منشور، 5 وجه - متوازی الاضلاع، - وجه های جانبی آن)

در میان منشورهای مستقیم، برجسته است نمای خصوصی: منشورهای صحیح

منشور مستقیم نامیده می شود درست،اگر پایه های آن چند ضلعی منتظم باشد.

یک منشور منظم دارای تمام وجوه جانبی مستطیل های مساوی است. یک مورد خاص از یک منشور، یک متوازی الاضلاع است.

متوازیالسطوح

متوازیالسطوحیک منشور چهار گوش است که در قاعده آن متوازی الاضلاع (متوازی الاضلاع مایل) قرار دارد. موازی پای راست- متوازی الاضلاع که لبه های جانبی آن عمود بر صفحات قاعده است.

متوازی الاضلاع مستطیلی- متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است.

خواص و قضایا:

برخی از خصوصیات متوازی الاضلاع شبیه به خصوصیات شناخته شده متوازی الاضلاع است، متوازی الاضلاع مستطیلی شکل با ابعاد مساوی نامیده می شود. مکعب تمام وجوه یک مکعب مربع مساوی است مربع قطر برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن

,

جایی که d مورب مربع است.
a ضلع مربع است.

یک ایده از یک منشور توسط:

• سازه های مختلف معماری؛
• اسباب بازی های کودکان؛
• جعبه های بسته بندی؛
• اقلام طراح و غیره

مساحت سطح کل و جانبی منشور

سطح کل منشورمجموع مساحت تمام وجوه آن است سطح جانبیمجموع مساحت وجوه جانبی آن نامیده می شود. پایه های منشور چند ضلعی های مساوی هستند، سپس مساحت آنها برابر است. از همین رو

S کامل = سمت S + 2S اصلی,

جایی که اس پر- مساحت کل، سمت S- سطح جانبی، پایه S- مساحت پایه

مساحت سطح جانبی منشور مستقیم برابر است با حاصل ضرب محیط قاعده و ارتفاع منشور..

سمت S= P پایه * h،

جایی که سمت S- مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم،

P اصلی - محیط پایه یک منشور مستقیم،

h ارتفاع منشور مستقیم برابر با لبه کناری است.

حجم منشور

حجم یک منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

چند وجهی

هدف اصلی مطالعه استریومتری اجسام فضایی است. بدننشان دهنده بخشی از فضا است که توسط یک سطح مشخص محدود شده است.

چند وجهیجسمی است که سطح آن از تعداد محدودی چند ضلعی مسطح تشکیل شده است. یک چندوجهی محدب نامیده می شود که در یک طرف صفحه هر چندضلعی صفحه روی سطح خود قرار گیرد. قسمت مشترک چنین صفحه ای و سطح یک چندوجهی نامیده می شود حاشیه، غیرمتمرکز. وجه های یک چند وجهی محدب چند ضلعی های محدب مسطح هستند. کناره های صورت ها نامیده می شود لبه های چند وجهی، و رئوس هستند رئوس چند وجهی.

به عنوان مثال، یک مکعب از شش مربع تشکیل شده است که وجه های آن هستند. این شامل 12 لبه (اضلاع مربع ها) و 8 راس (بالای مربع ها) است.

ساده ترین چندوجهی ها منشورها و اهرام هستند که در ادامه به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

منشور

تعریف و خواص منشور

منشوریک چندوجهی متشکل از دو چند ضلعی مسطح است که در صفحات موازی قرار گرفته اند که با ترجمه موازی ترکیب شده اند و تمام بخش هایی که نقاط متناظر این چند ضلعی ها را به هم متصل می کنند. چند ضلعی نامیده می شود پایه های منشوری، و پاره های متصل کننده رئوس مربوط به چند ضلعی ها هستند لبه های جانبی منشور.

ارتفاع منشورفاصله بین صفحات پایه های آن () نامیده می شود. قطعه ای که دو راس منشور را که به یک صورت تعلق ندارند را به هم متصل می کند منشور مورب(). منشور نامیده می شود n-کربن، اگر پایه آن حاوی یک n-gon باشد.

هر منشوری دارای ویژگی های زیر است که از ترکیب پایه های منشور با ترجمه موازی ناشی می شود:

1. پایه های منشور برابر است.

2. لبه های جانبی منشور موازی و مساوی هستند.

سطح منشور از پایه و سطح جانبی. سطح جانبی منشور از متوازی الاضلاع تشکیل شده است (این از ویژگی های منشور است). مساحت سطح جانبی یک منشور مجموع مساحت وجوه جانبی است.

منشور مستقیم

منشور نامیده می شود سر راست، اگر لبه های جانبی آن عمود بر پایه ها باشد. در غیر این صورت منشور نامیده می شود شیب دار.

وجوه یک منشور راست مستطیل هستند. ارتفاع یک منشور مستقیم برابر با وجوه جانبی آن است.

سطح منشور کاملمجموع سطح جانبی و مساحت پایه ها نامیده می شود.

با منشور مناسب به نام منشور مستقیم با چند ضلعی منظمدر ابتدا.

قضیه 13.1. مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم برابر است با حاصلضرب محیط و ارتفاع منشور (یا با لبه جانبی که یکسان است).

اثبات وجوه جانبی منشور راست مستطیل هایی هستند که پایه های آنها اضلاع چند ضلعی های پایه منشور و ارتفاعات لبه های جانبی منشور هستند. سپس طبق تعریف، مساحت سطح جانبی عبارت است از:

,

محیط قاعده منشور مستقیم کجاست.

متوازیالسطوح

اگر متوازی الاضلاع در پایه یک منشور قرار گیرند، آن را می نامند متوازیالسطوح. تمام وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند. در این حالت وجوه مخالف متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

قضیه 13.2. مورب های یک متوازی الاضلاع در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند و با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اثبات به عنوان مثال، دو قطر دلخواه را در نظر بگیرید و . زیرا وجه های متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند، سپس و، که به این معنی است که طبق To دو خط مستقیم موازی با خط سوم وجود دارد. علاوه بر این، این بدان معنی است که خطوط مستقیم و در همان صفحه (صفحه) قرار دارند. این صفحه صفحات موازی و در امتداد خطوط موازی را قطع می کند و . بنابراین، چهار ضلعی متوازی الاضلاع است و با خاصیت متوازی الاضلاع، قطرهای آن با هم قطع می شوند و با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند، که این چیزی بود که باید ثابت می شد.

متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است نامیده می شود متوازی الاضلاع مستطیلی. تمام وجوه یک متوازی الاضلاع مستطیلی مستطیل هستند. طول لبه های غیر موازی یک متوازی الاضلاع مستطیلی را ابعاد خطی (ابعاد) می گویند. سه اندازه از این قبیل (عرض، ارتفاع، طول) وجود دارد.

قضیه 13.3. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مربع هر قطری برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن. (با دو بار اعمال T Pythagorean ثابت شد).

یک متوازی الاضلاع مستطیلی با تمام لبه های آن برابر نامیده می شود مکعب.

وظایف

13.1 چند قطر دارد؟ n-منشور کربن

13.2 در یک منشور مثلثی مایل، فاصله بین لبه های جانبی 37، 13 و 40 است. فاصله بین لبه کناری بزرگتر و لبه طرف مقابل را بیابید.

13.3 صفحه ای از ضلع قاعده پایینی یک منشور مثلثی منظم کشیده می شود و وجوه جانبی را در امتداد بخش هایی با زاویه بین آنها قطع می کند. زاویه تمایل این صفحه به قاعده منشور را پیدا کنید.