Изчислителните граници 1 и 2 са прекрасни граници. Първа забележителна граница: теория и примери

Намерете прекрасни границитрудно е не само за много студенти от първа, втора година на обучение, които изучават теорията на границите, но и за някои учители.

Формула на първата забележителна граница

Последици от първото забележително ограничение напишете формулите
1. 2. 3. 4. Но сами по себе си общите формули на забележителни граници не помагат на никого на изпит или тест. Изводът е, че реалните задачи са построени така, че формулите, написани по-горе, все още трябва да бъдат достигнати. И повечето от студентите, които пропускат часовете, изучават този курс задочно или имат учители, които сами не винаги разбират какво обясняват, не могат да изчислят най-елементарните примери до забележителни граници. От формулите на първата забележителна граница виждаме, че те могат да се използват за изследване на несигурности като нула, разделена на нула за изрази с тригонометрични функции. Разгледайте първо няколко примера за първия прекрасен лимит y и след това ще проучим втората забележителна граница.

Пример 1. Намерете границата на функцията sin(7*x)/(5*x)
Решение: Както можете да видите, функцията под границата е близо до първата забележителна граница, но границата на самата функция определено не е равна на единица. При такива присвоявания на границите трябва да се отдели в знаменателя променлива със същия коефициент, който се съдържа в променливата под синуса. В този случай разделете и умножете по 7

За някои подобно уточняване ще изглежда излишно, но за повечето ученици, на които им е трудно да дадат ограничения, това ще помогне да разберат по-добре правилата и да научат теоретичния материал.
Освен това, ако има обратен изгледфункции е и първото забележително ограничение. И всичко това, защото чудесната граница е равна на едно

Същото правило важи и за последствията от 1 забележителен лимит. Ето защо, ако ви попитат "Коя е първата прекрасна граница?" Трябва да отговорите без колебание, че е единица.

Пример 2. Намерете границата на функцията sin(6x)/tan(11x)
Решение: За да разберем крайния резултат, записваме функцията във формата

За да приложите правилата на забележителната граница, умножете и разделете на множители

След това записваме границата на произведението на функциите по отношение на произведението на границите

Без сложни формули намерихме границата на няколко тригонометрични функции. За асимилация прости формулиопитайте се да измислите и намерите границата на 2 и 4, формулата на следствие 1 от чудесната граница. Ще разгледаме по-сложни задачи.

Пример 3. Изчислете лимит (1-cos(x))/x^2
Решение: При проверка чрез заместване получаваме неопределеността 0/0 . Мнозина не знаят как да сведат такъв пример до 1 прекрасна граница. Тук трябва да използвате тригонометрична формула

В този случай лимитът ще бъде преобразуван в ясна форма

Успяхме да сведем функцията до квадрат на забележителна граница.

Пример 4. Намерете границата
Решение: При заместване получаваме познатата характеристика 0/0. Въпреки това, променливата се доближава до Pi, а не до нула. Следователно, за да приложим първото забележително ограничение, ще извършим такава промяна в променливата x, така че новата променлива да отиде на нула. За да направим това, означаваме знаменателя като новата променлива Pi-x=y

Така с помощта на тригонометричната формула, която е дадена в предходната задача, примерът се свежда до 1 прекрасна граница.

Пример 5 Изчисляване на лимит
Решение: Първоначално не е ясно как да се опростят ограниченията. Но щом има пример, значи трябва да има и отговор. Фактът, че променливата отива към единица, при заместване дава сингулярност на формата нула, умножена по безкрайност, така че допирателната трябва да бъде заменена с формулата

След това получаваме желаната несигурност 0/0. След това извършваме промяна на променливите в границата и използваме периодичността на котангенса

Последните замествания ни позволяват да използваме следствие 1 от забележителната граница.

Втората забележителна граница е равна на показателя

Това е класика, на която при реални проблеми не винаги е лесно да се достигнат границите.
За изчисления ще ви трябва ограниченията са следствие от второто забележително ограничение:
1. 2. 3. 4.
Благодарение на второто забележително ограничение и неговите последствия, човек може да изследва несигурности като нула, разделена на нула, единица на степен безкрайност и безкрайност, разделена на безкрайност, и дори до същата степен.

Нека започнем да се запознаваме с прости примери.

Пример 6 Намерете границата на функция
Решение: Директното прилагане на 2 чудесни лимита няма да работи. Първо трябва да завъртите индикатора така, че да има формата, обратна на члена в скоби

Това е техниката на редукция до забележителната граница 2 и всъщност извеждането на формулата 2 на следствието от границата.

Пример 7 Намерете границата на функция
Решение: Имаме задачи за формулата 3 на следствие 2 от забележителната граница. Нулевото заместване дава сингулярност под формата 0/0. За да увеличим границата по правилото, обръщаме знаменателя така, че променливата да има същия коефициент като в логаритъма

Освен това е лесно за разбиране и изпълнение на изпита. Трудностите на учениците при изчисляване на границите започват със следните задачи.

Пример 8 Изчислете границата на функцията[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Решение: Имаме сингулярност от тип 1 на степен безкрайност. Ако не ми вярвате, можете да замените безкрайността вместо „x“ навсякъде и да се убедите сами. За да повдигнем по правилото, разделяме числителя на знаменателя в скоби, за това първо извършваме манипулациите

Заместете израза в лимита и го завъртете до забележителния лимит 2

Границата е степента на степен 10. Константите, които са термини с променлива както в скоби, така и в степен, не допринасят за никакво "време" - това трябва да се помни. И ако учителите ви попитат - "Защо не завъртите индикатора?" (За този пример в x-3), тогава кажете, че „Когато променливата клони към безкрайност, тогава добавете 100 към нея или извадете 1000 и границата ще остане същата!“.
Има втори начин за изчисляване на лимити от този тип. Ще говорим за това в следващата задача.

Пример 9 Намерете границата
Решение: Сега изваждаме променливата в числителя и знаменателя и превръщаме една характеристика в друга. За да получим крайната стойност, използваме формулата от следствие 2 на забележителната граница

Пример 10 Намерете границата на функция
Решение: Задайте лимитне се намира от всеки. За да увеличите границата до 2, представете си, че sin (3x) е променлива и трябва да обърнете експонентата

След това записваме индикатора като степен в степен


Междинните аргументи са описани в скоби. В резултат на използването на първата и втората чудесна граница, получихме степента в куб.

Пример 11. Изчислете границата на функцията sin(2*x)/log(3*x+1)
Решение: Имаме несигурност от формата 0/0. Освен това виждаме, че функцията трябва да се преобразува в използването на двете прекрасни граници. Нека извършим предишните математически трансформации

Освен това, без затруднения, границата приема стойността

Ето как ще се чувствате спокойни на тестове, тестове, модули, ако се научите как бързо да рисувате функции и да ги свеждате до първата или втората прекрасна граница. Ако ви е трудно да запомните горните методи за намиране на граници, винаги можете да поръчате тестдо нашите граници.
За да направите това, попълнете формуляра, посочете данните и прикачете файл с примери. Помогнахме на много студенти - можем да помогнем и на вас!

Тази статия: „Втората забележителна граница“ е посветена на разкриването в рамките на несигурността на вида:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.

Също така, такива несигурности могат да бъдат разкрити с помощта на логаритъм на експоненциала степенна функция, но това е друг метод за решение, който ще бъде разгледан в друга статия.

Формула и последствия

Формулавтората забележителна граница е написана както следва: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( където ) e \приблизително 2,718 $ $

От формулата следват последствия, които са много удобни за решаване на примери с граници: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( където ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Трябва да се отбележи, че втората забележителна граница не винаги може да се приложи към експоненциална степенна функция, а само в случаите, когато основата клони към единица. За да направите това, първо изчислете границата на основата в ума и след това направете изводи. Всичко това ще бъде обсъдено в примерните решения.

Примери за решения

Разгледайте примери за решения, използващи директната формула и нейните последствия. Ще анализираме и случаите, в които формулата не е необходима. Достатъчно е да запишете само готовия отговор.

Нека анализираме случаите, когато проблемът е подобен на второто забележително ограничение, но се решава без него.

В статията: „Втората забележителна граница: примери за решения“ беше анализирана формулата, дадени са нейните последствия и често срещани видове проблеми по тази тема.

Формулата за втората забележителна граница е lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Друга форма на писане изглежда така: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Когато говорим за втората забележителна граница, трябва да имаме работа с несигурност от формата 1 ∞ , т.е. единица в безкрайна степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Помислете за проблеми, при които се нуждаем от способността да изчислим втората забележителна граница.

Пример 1

Намерете границата lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Решение

Заменете желаната формула и направете изчисленията.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

В нашия отговор получихме единица на степен безкрайност. За да определим метода на решение, използваме таблицата на несигурностите. Избираме втората забележителна граница и правим промяна на променливите.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Ако x → ∞, тогава t → - ∞.

Да видим какво получихме след замяната:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Отговор: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Пример 2

Изчислете границата lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Решение

Заменете безкрайността и получете следното.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

В отговора отново получихме същото като в предишния проблем, следователно можем отново да използваме втората чудесна граница. След това трябва да изберем целочислената част в основата на степенната функция:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

След това лимитът приема следната форма:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Заменяме променливите. Да кажем, че t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ако x → ∞, тогава t → ∞.

След това записваме какво сме получили в първоначалния лимит:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

За да извършим тази трансформация, използвахме основните свойства на границите и мощностите.

Отговор: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Пример 3

Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

След това трябва да извършим трансформация на функция, за да приложим второто чудесно ограничение. Получихме следното:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Тъй като сега имаме едни и същи показатели в числителя и знаменателя на дробта (равна на шест), границата на дробта в безкрайност ще бъде равна на отношението на тези коефициенти при по-високи степени.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Заменяйки t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, получаваме втората забележителна граница. Означава какво:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Отговор: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

заключения

Несигурност 1 ∞ , т.е. единица до безкрайна степен, е степенна несигурност, следователно може да бъде разкрита с помощта на правилата за намиране на границите на експоненциалните степенни функции.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има няколко прекрасни граници, но най-известните са първата и втората чудесни граници. Забележителното при тези лимити е, че те се използват широко и могат да се използват за намиране на други лимити, срещани при множество проблеми. Това е, което ще правим в практическата част на този урок. За да се решат проблемите чрез намаляване до първата или втората забележителна граница, не е необходимо да се разкриват съдържащите се в тях несигурности, тъй като стойностите на тези граници отдавна са изведени от велики математици.

Първата забележителна границанаречена граница на съотношението на синуса на безкрайно малка дъга към същата дъга, изразено в радианова мярка:

Нека да преминем към решаването на задачи на първата забележителна граница. Забележка: ако една тригонометрична функция е под знака за граница, това е почти сигурен знак, че този израз може да бъде намален до първата забележителна граница.

Пример 1Намерете границата.

Решение. Вместо това заместване хнула води до несигурност:

.

Знаменателят е синус, следователно изразът може да бъде намален до първата забележителна граница. Да започнем трансформацията:

.

В знаменателя - синус от три x, а в числителя има само едно x, което означава, че трябва да получите три x в числителя. За какво? Да представя 3 х = аи вземете израза.

И стигаме до вариант на първата забележителна граница:

защото няма значение коя буква (променлива) в тази формула е вместо x.

Умножаваме x по три и веднага разделяме:

.

В съответствие с отбелязаното първо забележително ограничение, заместваме дробния израз:

Сега най-накрая можем да решим тази граница:

.

Пример 2Намерете границата.

Решение. Директното заместване отново води до несигурността „нула, делене на нула“:

.

За да получим първата забележителна граница, е необходимо х под знака синус в числителя и само х в знаменателя да са с еднакъв коефициент. Нека този коефициент е равен на 2. За да направите това, представете си текущия коефициент при x, както е показано по-долу, извършвайки действия с дроби, получаваме:

.

Пример 3Намерете границата.

Решение. При заместване отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Вероятно вече разбирате, че от оригиналния израз можете да получите първата прекрасна граница, умножена по първата прекрасна граница. За да направим това, разлагаме квадратите на х в числителя и синуса в знаменателя на едни и същи множители и за да получим еднакви коефициенти за х и синуса, разделяме х в числителя на 3 и веднага умножете по 3. Получаваме:

.

Пример 4Намерете границата.

Решение. Отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Можем да получим съотношението на първите две забележителни граници. Разделяме и числителя, и знаменателя на x. След това, за да съвпаднат коефициентите при синуси и при x, умножаваме горното x по 2 и веднага делим на 2, а долното x умножаваме по 3 и веднага делим на 3. Получаваме:

Пример 5Намерете границата.

Решение. И отново, несигурността на "нула, разделена на нула":

Спомняме си от тригонометрията, че тангенсът е съотношението на синуса към косинуса, а косинусът на нулата е равен на едно. Правим трансформации и получаваме:

.

Пример 6Намерете границата.

Решение. Тригонометричната функция под знака за граница отново подсказва идеята за прилагане на първата забележителна граница. Представяме го като отношение на синус към косинус.

Сега, със спокойствие, преминаваме към разглеждането прекрасни граници.
изглежда като .

Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те клонят към 0.

Трябва да изчислим лимита

Както можете да видите, това ограничение е много подобно на първото забележително, но това не е съвсем вярно. Като цяло, ако забележите грях в лимита, тогава трябва незабавно да помислите дали е възможно да използвате първия забележителен лимит.

Съгласно нашето правило № 1 заместваме x с нула:

Получаваме несигурност.

Сега нека се опитаме самостоятелно да организираме първата забележителна граница. За да направим това, ще извършим проста комбинация:

Така че подреждаме числителя и знаменателя така, че да изпъкне 7х. Познатият забележителен лимит вече се появи. Препоръчително е да го подчертаете, когато решавате:

Заместете разтвора на първия страхотен примери получаваме:

Опростете дробта:

Отговор: 7/3.

Както можете да видите, всичко е много просто.

Има формата , където e = 2,718281828… е ирационално число.

Вместо променливата x могат да присъстват различни функции, основното е, че те са склонни към .

Трябва да изчислим лимита

Тук виждаме наличието на степен под знака за граница, което означава, че може да се приложи втората забележителна граница.

Както винаги, ще използваме правило номер 1 - заместване вместо x:

Вижда се, че за x основата на степента е , а показателят е 4x > , т.е. получаваме несигурност на формата:

Нека използваме втората прекрасна граница, за да разкрием нашата несигурност, но първо трябва да я организираме. Както можете да видите, необходимо е да се постигне присъствие в индикатора, за което повдигаме основата на степен 3x и в същото време на степен 1/3x, така че изразът да не се променя:

Не забравяйте да подчертаете нашия чудесен лимит:

Това са наистина прекрасни граници!
Ако имате въпроси относно първа и втора чудесни границине се колебайте да ги попитате в коментарите.
Ще отговорим на всички възможно най-скоро.

Можете също да работите с учител по тази тема.
Имаме удоволствието да ви предложим услугите за избор на квалифициран учител във вашия град. Нашите партньори своевременно ще изберат за вас добър учител при изгодни за вас условия.

Няма достатъчно информация? - Можеш !

Можете да записвате математически изчисления в бележници. Много по-приятно е да пишете в индивидуални тетрадки с лого (http://www.blocnot.ru).