Smo с ограничено време за чакане на опашка. Очаквано време за чакане на опашка

Освен това ще използваме следната нотация за средното време на изчакване в опашката от заявки от приоритетния клас стр - Wp, а средното време, прекарано в системата за изискванията от този клас - Tp:

Ще се съсредоточим върху системи с относителен приоритет. Нека разгледаме процеса от момента, в който пристигне определена заявка от приоритетния клас стр. По-нататък ще наричаме това изискване етикетирано. Първият компонент на закъснението за маркирана заявка е свързан със заявката, която пристига на сървъра. Този компонент е равен на оставащото време за обслужване на друга заявка. Нека сега обозначим и използваме тази нотация по-нататък, средното забавяне на етикетирано изискване, свързано с наличието на друго изискване в услугата W 0. Познавайки разпределението на времето между съседни пристигания на входни изисквания за всеки приоритетен клас, човек винаги може да изчисли тази стойност. При нашето допускане за закон на Поасон за потока от приложения от всеки клас можем да напишем

.

Вторият компонент на времето за изчакване за маркирано изискване се определя от факта, че преди маркираното изискване се обслужват други заявки, че маркираното изискване е в опашката. Нека допълнително обозначим броя на изискванията от класа аз, който улови маркираното изискване в опашката (от клас стр) и които се сервират преди него щипка. Средната стойност на това число ще определи стойността на средната стойност на този компонент на забавяне

Третият компонент на забавянето е свързан със заявки, които са пристигнали след пристигането на маркираната заявка, но са получили услуга преди нея. Нека да посочим броя на тези изисквания M ip. Средната стойност на този компонент на забавяне се намира по подобен начин и е

Като добавим и трите компонента, откриваме, че средното време на изчакване в опашка за маркирана заявка се определя от формулата

Очевидно е, че независимо от служебната дисциплина броят на изискванията щипкаИ M ipв системата не може да бъде произволен, така че има определен набор от връзки, които свързват закъсненията за всеки приоритетен клас. Значението на тези взаимоотношения за QS ни позволява да ги наречем ЗАКОНИ ЗА ЗАПАЗВАНЕ. Основата на законите за запазване на закъсненията е фактът, че незавършената работа във всеки QS по време на който и да е натоварен интервал от време не зависи от реда на обслужване, ако системата е консервативна (изискванията не изчезват в рамките на системата и сървърът не е неактивен, когато опашката не е празна).

Разпределението на времето за изчакване зависи значително от реда на обслужване, но ако дисциплината на обслужване избира изисквания независимо от тяхното време за обслужване (или всяка мярка, която зависи от времето за обслужване), тогава разпределението на броя на исканията и времето за изчакване в системата е инвариантна по отношение на реда на обслужване.

За QS от тип M/G/1 може да се покаже, че за всяка дисциплина на обслужване трябва да бъде изпълнено следното важно равенство:

Това равенство означава, че претеглената сума на времето за изчакване никога не се променя, независимо колко сложна или умна е дисциплината на обслужване. Ако латентността може да бъде намалена за някои изисквания, тя веднага ще се увеличи за други.

За по-обща система с произволно разпределение на времето на пристигане на изискванията G/G/1, законът за запазване може да бъде написан във формата

.

Общото значение на тази връзка е, че претеглената сума от времената на забавяне остава постоянна. Просто от дясната страна има разлика между средната текуща работа и оставащото време за обслужване. Ако приемем Поасоновата природа на входния поток, тогава изразът за текущата работа може да бъде записан като

Замествайки го в предишния израз, веднага получаваме дадения по-рано закон за запазване за QS тип M/G/1.

Нека сега разгледаме изчисляването на средното време на изчакване за QS с услуга в реда на приоритет, определен от функцията за приоритет

Фигура 1 показва диаграма на функционирането на QS с такава дисциплина на обслужване: входяща заявка се поставя в опашка отляво на заявка с равен или по-висок приоритет.

Ориз. 1 CMO с приоритетно обслужване.

Нека използваме формулата за Wp. Въз основа на функциониращия механизъм можем веднага да пишем

Всички заявки с по-висок от маркирания приоритет ще бъдат обслужени по-рано. От формулата на Литъл броят на изискванията на класа азв опашката ще бъде равно на:

Заявките от класове с по-висок приоритет, които влизат в системата след маркирана заявка, докато е в опашката, също ще бъдат обслужени преди нея. Тъй като маркираното изискване ще бъде средно на опашката Wpсекунди, тогава броят на тези заявки ще бъде равен на

Директно от формула (*) получаваме:

Тази система от уравнения може да се реши рекурсивно, като се започне от W 1, W 2и т.н.

Получената формула ви позволява да изчислите характеристиките на качеството на услугата за всички приоритетни класове. На фигура 7.2. показва как се променя нормализираната стойност на времето за изчакване в опашката за QS с пет приоритетни класа с еднаква интензивност на потока от заявки за всеки приоритетен клас и еднакво средно време за обслужване за заявки от всеки клас (долната фигура детайлизира кривите за нисък стойности на натоварване).

Фигура 2. Услуга в приоритетен ред в случай на относителни приоритети (P=5, l P = l/5, ).

Специална задача е да се определят законите на разпределение на времето за изчакване.

Нека сега разгледаме система с абсолютни приоритети и услуга по ред на приоритет с допълнителна услуга. Нека използваме подход, напълно подобен на този, обсъден по-рано. Средното забавяне в системата на маркирано изискване също се състои от три компонента: първият компонент е средното време за обслужване, вторият е забавянето, дължащо се на обслужването на тези заявки с равен или по-висок приоритет от маркираното изискване, намерено в системата. Третият компонент на средната латентност на маркирано изискване е забавянето, дължащо се на всички заявки, които влизат в системата, преди маркираното изискване да напусне и имат строго по-висок приоритет. Описвайки всички тези три компонента на общото време, прекарано в системата, получаваме

.

Много интересна задачае изборът на приоритети за приложения от различни класове. Тъй като законът за запазване е в сила, оптимизацията има смисъл само когато се вземат предвид някои допълнителни атрибути на всеки клас изисквания. Нека приемем, че всяка секунда забавяне на приложение от клас на приоритет p може да бъде оценена на някаква цена C p. Тогава средна ценасекунди закъснение за система могат да бъдат изразени като среден брой заявки от всеки клас, присъстващ в системата

Нека решим проблема с намирането на дисциплина на обслужване с относителни приоритети за системата M/G/1, която минимизира средните разходи за забавяне ° С. Нека има Пприоритетни класове заявки с даден процент на пристигане и средно време за обслужване. Нека прехвърлим постоянната сума в лявата страна и изразим правилната страначрез известни параметри

Задачата е да се минимизира сумата от дясната страна на това равенство, като се избере подходящата дисциплина на обслужване, т.е. избор на индексна последователност стр.

Нека обозначим

В тази нотация проблемът изглежда така: трябва да минимизираме сумата от продуктите, подлежащи на

Условие за независимост на сумата от функции личен лекаризборът на служебна дисциплина се определя от закона за запазване. С други думи, проблемът е да се минимизира площта под кривата на произведението на две функции, при условие че площта под кривата на една от тях е постоянна.

Решението е първо да подредите последователността от стойности f p: .

И след това избираме за всеки f pнеговото значение личен лекар, така че да се минимизира сумата от техните продукти. Интуитивно е ясно, че оптимална стратегияизборът се състои в избор най-ниска стойност личен лекарза най-великите f p, тогава за останалите стойности трябва да продължите по същия начин. Тъй като личен лекар=W p r p, тогава минимизирането се свежда до минимизиране на средните стойности на забавяне. По този начин решението на разглеждания оптимизационен проблем е, че от всички възможни дисциплини на обслужване с относителен приоритет, минималната средна цена се осигурява от дисциплина с подредени приоритети в съответствие с неравенствата

.

Преди да влезе в предаване, всеки блок, произтичащ от компютърния процесор, трябва да изчака известно време в опашката. IN общ случайПри използване на относителни приоритети обработката на съобщенията се организира съгласно схемата на фиг. единадесет

На съобщения от тип Z 1 ,…,Z n се присвояват съответно относителни приоритети 1,…,n. Съобщение Z p, което е пристигнало в системата и чака предаване, се въвежда в опашката O p, която съхранява приоритетните съобщения P. В опашката O p съобщенията се подреждат по времето на пристигането им. Когато процесорът Pr приключи предаването на предварително обслужвано съобщение, управлението се прехвърля на програмата "DISPATCHER".Програмата избира за следващо предаване съобщението с най-висок приоритет - съобщение Z i, ако опашките с по-високи приоритети O 1,.. , O i-1 не съдържат съобщения (т.е. те се оказват празни). Съобщението, избрано за предаване, улавя изходящия канал за цялото време на предаване. Ако системата получи n най-прости потоци съобщения с интензитети , и продължителността на предаване на съобщения от всеки тип имат средни стойности и съответно втори начални моменти, тогава средното време на изчакване за съобщения с приоритет k ще се определя от връзката

Използване на понятието коефициент на вариация

където е стандартното отклонение на времето за предаване на съобщения от i-ти тип, получаваме връзката:

В конкретния случай на мрежов анализ, който разглеждаме, има само два типа блокове на предавани съобщения: изходящи интерактивни блокове, които имат по-висок приоритет, и блокове на изходяща поща, които имат по-нисък относителен приоритет.

следователно

За съобщения с първи приоритет

За съобщения с втори приоритет

Следователно за интерактивни блокове:

За пощенски блокове:

За да се изчислят коефициентите на вариация на дължините на блоковете, трябва да се вземе предвид следното:

При всяка успешна анкета централният контролен център предава на абоната произволно число N изходящи блока. Ще приемем, че случайната величина N е разпределена по експоненциален закон.

Това означава, че коефициентът на вариация (34)

Тъй като имейл съобщенията имат постоянна дължина, (35)

Изчислението показва, че когато натоварването е малко, времето за изчакване в опашката за блокове от пощенски съобщения леко надвишава времето за изчакване за блокове от интерактивни съобщения (има малко съобщения и те не си пречат по време на предаване). С увеличаване на натоварванията ранните се увеличават поради факта, че интерактивните съобщения блокират „откриването“ на пощенските съобщения.

Време за изчакване на опашки в комутационни възли

Блокове от съобщения, влизащи в комутационните центрове, се анализират и изпращат в съответствие с адреса на получателя, посочен в тях, чрез други комутационни центрове към абоната или към компютъра. Преди комутационният център (CC) да прочете адреса за препращане на блока, е необходимо цялата контролна част на блока (в y = 19 байта), съдържаща адресна информация, да бъде напълно приета от CC. Време, прекарано в това

След това, след известно време от реакцията на CM (RCC = 1 ms), ако няма опашка от съобщения в CM, въпросният блок ще премине към следващия превключващ център.

Едновременно с приемането на блокове, управляващото дружество предава блоковете, излизащи от него.

(37)

е пълен работен ден, необходими в деня на обслужване на предаването на блок от съобщения до управляващото дружество.

Интерактивните и пощенските блокове от съобщения се получават смесени от управляващата компания. В същото време той включва както центъра за обработка на данни, произтичащ от компютъра, така и предназначените за него блокове. Следователно, когато се разглежда времето за изчакване на опашката за предаване на CM съобщение - необходимо е да се вземе предвид пълното натоварване на мрежата

Като се има предвид, че това е постоянна стойност (= 0), за да се определи стойността на времето tcc, трябва да се използва връзката

Поради ниското натоварване тази стойност се оказа много незначителна, но когато общото натоварване се увеличи 2 пъти, стойността се увеличава и при по-нататъшно увеличаване на натоварването комутационните центрове могат да се окажат „тясно място“ на мрежата.

Стойността на еквивалентното време на изчакване в опашките в комутационния център се определя от съотношението

подобно на начина, по който това беше направено при определяне на еквивалентното забавяне в комутационния център. Ако приемем, например, че за разглежданата мрежа всеки блок преминава веднъж през 3,5 комутационни възела, тогава

Това забавяне трябва да се вземе предвид при определяне на времето за отговор за интерактивни и пощенски съобщения.

Помислете за n - канална система опашкас очакване.

Интензитетът на обслужвания поток е μ. Продължителността на услугата е случайна променлива, предмет на експоненциалния закон за разпределение. Сервизният поток е най-простият Поасонов поток от събития.

Размерът на опашката позволява хората да бъдат в нея m приложения.

За да намерите пределните вероятности, можете да използвате следните изрази.

(0‑1)

Където.

Вероятност за отказ за обслужване на приложение(ще възникне повреда, ако всички канали са заети и има m заявки):

(0‑2)

Относителна честотна лента.

(0‑3)

Абсолютна производителност.

(0‑4)

Среден брой заети канали.

За QS с опашка средният брой на заетите канали не съвпада (за разлика от QS с неуспехи) със средния брой заявки в системата. Разликата е равна на броя заявки, чакащи на опашката.

Нека обозначим средния брой заети канали. Всеки зает канал обслужва средно μ заявки за единица време, а QS като цяло обслужва A заявки за единица време. Разделяйки А на μ, получаваме

(0‑5)

Средният брой приложения в опашката.

За да намерите средния брой приложения, чакащи в опашката, ако χ≠1, можете да използвате израза:

(0‑6)

(0‑7)

където = .

Средният брой приложения в системата.

(0‑8)

Средно време на изчакване за приложение на опашка.

Средното време на изчакване на приложение в опашката може да се намери от израза (χ≠1).

(0‑9)

Средно време, през което едно приложение остава в системата.

Точно както в случая на едноканален QS, имаме:

(0‑10)

Съдържанието на произведението.

Подготовка на експериментални инструменти .

Извършва се в съответствие с общите правила.

Изчисляване чрез аналитичен модел .

1. Към приложението Microsoft Excelподгответе следната таблица.

Настроики SMO

Аналитичен модел

Имитация модел

н

м

Tа

Ц

ρ

χ

P0

P1

p2

Rotk

У

нож

р

А

Rotk

У

р

А

2. В колоните за QS параметрите на таблицата запишете Вашите първоначални данни, които се определят по правилото:

n =1,2,3

m=1,3,5

За всяка комбинация ( n,m) е необходимо да се намерят теоретични и експериментални стойности на QS показатели за следните двойки стойности:

= <порядковый номер в списке группы>

3. Въведете съответните формули в колоните с показателите на аналитичния модел.

Експериментирайте върху симулационен модел.

1. Задайте режим на стартиране с експоненциално разпределено време за обслужване, като зададете стойността на съответния параметър на 1.

2. За всяка комбинация от n, m и стартирайте модела.

Въведете резултатите от пробите в таблицата.

3. Въведете формули за изчисляване на средната стойност на показателя Ptk, q и A в съответните колони на таблицата.

Анализ на резултатите .

1. Анализирайте резултатите, получени чрез теоретични и експериментални методи, като сравнявате резултатите помежду си.

2. За една от комбинациите (n,m) на една диаграма се нанася зависимостта на Ptk от теоретично и експериментално получените данни.

Оптимизиране на QS параметрите .

Решете проблема с оптимизирането на размера на броя на местата в опашкам за две устройства със средно време на обслужване = от гледна точка на получаване на максимална печалба. Като условия на проблема вземете:

- доход от обслужване на едно приложение, равен на 80 USD/час,

- разходите за поддръжка на едно устройство са 1$/час,

- цената за поддържане на едно място в опашката е 0,2 USD/час.

1. За изчисления е препоръчително да създадете таблица:

Първата колона се попълва с броя на устройствата n =1.

Втората колона се попълва със стойностите на числата от естествения ред (1,2,3...).

Всички клетки в третата и четвъртата колона са попълнени със стойности.

Формулите за колоните на таблицата в раздел 0 се прехвърлят в клетките на колоните от пет до четиринадесет.

В колоните с първоначалните данни на секциите Приходи, Разходи, Печалба въведете стойностите (вижте по-горе).

В колоните с изчислени стойности на разделите Приходи, Разходи, Печалба запишете формулите за изчисление:

- брой приложения за единица време

N r =A

- общ доход за единица време

I S = I r *N r

- обща консумация за единица време

E S =E s *n + E q *m

- печалба за единица време

P = I S - E S

Където

аз р - доход от едно приложение,

E s - консумация на устройство,

Ек - цена на място в ред

2. Попълнете редовете на таблицата за n=2 и n=3.

Намерете m opt за n =1,2,3.

3. Начертайте графики на зависимостта C(m) за n=1,2,3 върху една диаграма.

Доклад за работа:

Докладът за работата трябва да включва:

- първоначални данни,

- резултати от изчисления и експерименти със софтуерния модел,

Графики за P отворени,

- таблица с данни, за да намерите най-доброто m и стойността на m opt,

- графики на печалба за единица време в зависимост от m за n=1,2,3.

Контролни въпроси :

1) дайте Кратко описаниемногоканален QS модел с ограничена опашка.

2) Какви показатели характеризират функционирането на многоканален QS с ограничена опашка?

3) Как се изчисляват пределните вероятности на многоканален QS с ограничена опашка?

4) Как да намерим вероятността за неуспешно обслужване на приложение?

5) Как да намеря относителна честотна лента?

6) Каква е абсолютната производителност?

7) Как се изчислява средният брой приложения в системата?

8) Дайте примери за многоканален QS с ограничена опашка.

Задачи.

1) Бензиностанцията разполага с 3 помпи и платформа за 3 коли за изчакване за зареждане. Средно на всеки 4 минути на гарата пристига по една кола. Средното време за обслужване на една машина е 2,8 минути. Определете работните характеристики на бензиностанция.

2) Пунктът за технически преглед на МПС, който разполага с 3 пункта за преглед, приема средно по 1 МПС на всеки 0,4 часа. Паркингът в двора е за 3 коли. Средното време за работа на един пост е 0,5 часа. Определете характеристиките на сервиза.

3) Стоките се доставят до магазина с автомобили. През деня пристигат средно по 6 коли. Помощни помещения за подготовка на стоки за продажба ви позволяват да обработвате и съхранявате стоки, докарани от две превозни средства. В магазина работят трима опаковачи на продукти на смени, всеки от които може да обработи стоките на една машина средно в рамките на 5 часа. Работният ден на опаковчиците е 12 часа. Определете експлоатационните характеристики на магазина, както и какъв трябва да бъде капацитетът на сервизните помещения, така че вероятността за пълна обработка на стоките да е по-голяма от 0,96.

4) Магазинът разполага с три каси. Средното време за обслужване на един клиент е 3 минути. Интензивността на клиентопотока е 7 човека в минута. Броят на клиентите, стоящи на опашка на касата, не може да надвишава 5 души. Купувач, който идва в магазин, в който има по 5 човека на всяка опашка на касата, не чака, а напуска магазина. Определете характеристиките на магазина.

5) Складът на едро освобождава стоките на клиентите. Товаренето на автомобила се извършва от три екипа товарачи, всеки от които се състои от 4 души. Складът може да поеме едновременно 5 автомобила и ако в този момент пристигне нов автомобил, той не се обслужва. Интензитетът на входящия поток е 5 автомобила на час. Скоростта на натоварване е 2 автомобила на час. Дайте оценка на складовата дейност и възможност за нейната реорганизация.

6) Митницата разполага с три терминала. Интензивността на потока от МПС, превозващи товари и подлежащи на митнически контрол, е 30 единици. на ден. Средното време за митническа обработка на терминала за едно превозно средство е 3 часа. Ако сте на опашка за преминаване митнически контролИма паркирани 5 коли, след което пристигащите коли отиват в друга митница. Намерете показатели за ефективност на митниците.

7) Средно превозните средства пристигат на строителната площадка в рамките на 40 минути. строителен материал. Средното време за разтоварване на едно превозно средство е 1,8 часа. В разтоварването участват два екипа товарачи. Не повече от 5 превозни средства могат да бъдат на опашка за разтоварване на строителната площадка. Определете показателите за ефективност на строителната площадка.

8) На автомивка с три работни места пристигат средно 12 коли на час. Ако вече има 6 коли на опашката, новопристигналите коли не се присъединяват към опашката, а напускат прането. Средното време за измиване на автомобила е 20 минути, средната цена на услугите за автомивка е 150 рубли. Определете показателите за ефективност на измиването и средна стойностзагуба на приходи през работния ден (от 9 до 19 часа).

9) Интензивността на потока от МПС, превозващи товари и подлежащи на митнически контрол, е 50 единици. на ден. Средното време за митническа обработка на терминала за едно превозно средство е 2,8 часа. Максималната опашка за митнически контрол трябва да бъде не повече от 8 автомобила. Определете колко терминала трябва да бъдат отворени на митницата, така че вероятността от престой на превозното средство да е минимална.

Нека проучим работата на n-канал (n > 1) QS с изчакване, на входа на който се получава най-простият поток от заявки П входс интензивност. Обслужващият поток на всеки канал също се приема за най-прост с интензитет µ. Няма ограничения за дължината на опашката, но времето за изчакване за всяко приложение в опашката е ограничено от произволен период T готиносъс средна стойност, след което заявката остава необслужена от системата. Времеви интервал T готиное непрекъсната случайна променлива, която може да приеме всякакви положителна стойности чието математическо очакване.

Ако този поток е Поасон, тогава процесът, протичащ в QS, ще бъде марковски.

Такива системи често се срещат в практиката. Те понякога се наричат ​​"нетърпеливи" системи за наддаване.

Нека номерираме състоянията на QS според броя на приложенията в системата, както в обслужване, така и в опашка: S k (k = 0,1,…n) - k приложения в процес на обслужване (кканалите са заети, няма опашка), S n+r (r = 1,2,…) - Пприложения в процес на обслужване (всички Пканалите са заети) и r приложения в опашка.

По този начин QS може да бъде в едно от безкраен брой състояния.

Означената графика на състоянието е показана на фиг. 1.

Ориз. 1.

QS се движи от състояние в състояние отляво надясно под въздействието на същия входящ поток от приложения П входс интензивност. Следователно плътностите на вероятността на тези преходи

k-1,k = , k = 1,2,... (1)

Преход на QS от състояние без опашка С к , k = 1,…,n, към състоянието, съседно отляво С к-1 , (k = 1,…,n)(в която също няма да има опашка) възниква под влиянието на общия поток, състоящ се от k потока услуги на заети канали, чийто интензитет, който е сумата от интензитетите на сумираните потоци услуги, е равен на kµ. Следователно под стрелките вляво от състояние s n към състояние s 0 са посочени плътности на вероятността за преход

k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

В системата в състояние с опашка С n+r , r = 1,2,…, общият поток е в сила - резултат от суперпозицията на n обслужващи потоци и rпотоци от грижи. Следователно интензитетът на общия поток е равен на сумата от интензитетите на компонентните потоци nµ+rш. Този общ поток генерира преход на QS отдясно наляво от състоянието С n+r ,(r = 1,2,…)до средно С n+r-1 ,(r = 1,2,…)и по този начин,

k,k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)

И така, вероятностните плътности на преходите на системата отдясно наляво, като се вземат предвид (2) и (3), могат да бъдат записани в комбинирана форма

Структурата на графиката предполага, че процесът, протичащ в QS, е процес на смърт и възпроизводство.

Нека заместим (1) и (4) за k=1,…,n+m във формулата

Нека въведем под внимание стойност, която може да се нарече намалена интензивност на потока от заминавания и която показва средния брой заминавания от опашката на необслужени заявки за средното време на обслужване на една заявка. Замествайки в (5) получаваме:

Тъй като в разглеждания QS няма ограничения за дължината на опашката, заявлението, получено във входящия поток, ще бъде прието; в системата, т.е. Приложението не се отхвърля от системата. Следователно, за QS с „нетърпеливи“ приложения, вероятността да бъдат приети в системата е стр сист =1, и вероятността от отказ да бъдат приети в системата стр отворен =0 . Понятието „неприемане в системата“ не трябва да се бърка с понятието „отказ от услуга“, тъй като поради „нетърпение“ не всяко приложение, получено (прието) в системата, ще бъде обслужено. Следователно има смисъл да се говори за вероятността дадено приложение да напусне опашката стр xyи вероятността молбата да бъде връчена, стр относно. В същото време вероятността стр относнопредставлява относителната производителност QИ стр xy =1- стр относно .

Нека изчислим средния брой приложения в опашката. За да направите това, помислете за дискретна случайна променлива н много добрепредставляващ броя на приложенията в опашката. Случайна стойност н много добреможе да приеме произволно неотрицателно цяло число и неговият закон за разпределение има формата

н много добре
		стр n+1	стр n+2		стр n+r

Където p= p 0 +стр 1 +...+ стр н. следователно

или замествайки (7) тук, получаваме

Всяка заявка в опашката е обект на поток от „отпътувания“ Пух с интензитета на Средната опашка, състояща се от приложения, ще бъде подложена на общ поток, състоящ се от потоци от „отпътувания“ и имащ интензитет. Това означава, че от средния брой заявки в опашката, средно заявките за единица време ще напуснат, без да чакат обслужване, а останалите заявки ще бъдат обслужени. Следователно средният брой заявления, обслужени за единица време, т.е. абсолютен капацитет на QS

Тогава, по дефиницията на относителния капацитет,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),

където u/ = показва средния брой напускания от опашката на необслужвани приложения за средното време между пристигането на две съседни приложения във входящия поток П вход .

Средният брой заети канали (средният брой обслужвани заявки) може да се получи като съотношение на абсолютния капацитет A към производителността на един канал µ. Използвайки равенство (11), ще имаме:

Средният брой на заетите канали може да се изчисли независимо от средния брой заявки в опашката, а именно като математическото очакване на дискретно случайна величина ДА СЕ,което представлява броя на заетите канали, чийто закон на разпределение има вида

	стр 0	стр 1	стр 2		стр n-1

Където p = p н +стр n+1 +...+ стр n+1+…. Но тъй като събитието, че всички n канала са заети, е противоположно на събитието, че не всички n канала са заети, и вероятността последно събитиеравна на

стр 0 +стр 1 +стр 2 +...+ стр n-1, Че p = 1 - (стр 0 +стр 1 +стр 2 +...+ стр n-1) .

Но тогава от (11) получаваме:

Използвайки формули (11) и (13), получаваме формула за средния брой приложения в системата:

Нека изведем формула за средното време на изчакване на заявка в опашката. Това ще зависи от даденото средно време, ограничаващо продължителността на престоя на приложението в опашката, за което или

или ще има естествено число i > 2 така че

Умножавайки неравенствата (14) и (15) по, получаваме съответно неравенствата

Нека разгледаме случай (14) и непоследователни хипотези, състоящи се във факта, че системата е в състояние. Вероятности на тези хипотези

Ако заявлението е получено от CMO под хипотеза.д. когато системата е в едно от състоянията, във всяко от които не всички канали са заети, тогава заявката няма да трябва да чака в опашката - тя веднага ще бъде обслужена безплатен канал. Следователно условното математическо очакване на случайната стойност на времето за изчакване на приложение в опашката при хипотезата, което е средното време на изчакване на приложението в опашката при хипотезата, е равно на нула:

Ако приложението влезе в системата под хипотеза.д. когато QS е в едно от състоянията, в които всичко П к-пприложения (ако Да се= Пняма приложения в опашката), тогава средното време за освобождаване на едно от Пзаетите канали са равни, а средното време за обслужване к-пприложенията, стоящи на опашката преди приложението, получено в системата, е равно на Следователно средното време, необходимо на опашката за обслужване на входящо приложение, е равно на. Тъй като поради дясното неравенство (14),

По този начин средното време, необходимо за приемане за обслужване на получена заявка в системата, е по-голямо от времето, ограничаващо престоя на приложението в опашката. Следователно полученото приложение ще се забави в опашката за средно време и ще остави системата необслужена. Следователно, условното математическо очакване на стойността при хипотезата

Сега разгледайте същите хипотези в случай (15). В този случай са валидни и равенства (16).

Ако приложение влезе в системата при една от хипотезите, т.е. когато QS е в едно от състоянията, в които всички Пканалите са заети и вече има опашки пред получената заявка к-пприложения (ако Да се- n няма заявки в опашката), тогава, точно както в случай (14), средното време, необходимо за реда на тази заявка да дойде в услуга, е равно на ограничаващия престой на заявката. Така по някакъв начин, поради лявото неравенство (15),

По този начин средното време, необходимо за приложение, което влиза в системата, за да бъде прието за обслужване, не е повече от средното време, ограничаващо престоя на приложението в опашката. Следователно полученото приложение няма да напусне опашката и ще чака да бъде прието за обслужване, прекарвайки средното време в чакане на опашката.Следователно условното математическо очакване на случайната величина T och при хипотезата

Нека сега приложението влезе в системата под една от хипотезите н Ю k = n+i-когато QS беше в едно от състоянията..., в което всичко Пканалите са заети и вече са на опашка к-пприложения. Тъй като това е от неравенство (15):

и следователно входящото приложение ще се забави в опашката за средно време. Следователно условното математическо очакване на случайната променлива T och при хипотезата

Според формулата на пълен математическо очакванеполучаваме:

В случай (15) полученото приложение ще бъде прието за обслужване, ако само в момента на получаването му QS е в едно от състоянията, тогава вероятността приложението да бъде обслужено е

Когато / = 1, формула (25) се превръща в (24), така че за вероятността за обслужване можем да напишем една формула:

Като знаете вероятността за обслужване, можете да изчислите вероятността заявка да остави опашката необслужена:

Средното време, през което едно приложение остава в системата, може да се изчисли по формулата

където е средното време за обслужване на едно приложение, отнасящо се до всички приложения, както обслужени, така и тези, които са напуснали опашката, което може да се изчисли с помощта на формулата

6. Построяване и анализ на модел на системи за масово обслужване

Нека помислим практически проблемда използвате QS без ограничение на дължината на опашката, но с ограничение на времето за чакане в опашката.

За да се увеличи обхватът на директните полети, самолетите се презареждат във въздуха. В зоната за зареждане постоянно дежурят два самолета за зареждане. Зареждането с гориво на един самолет трае средно около 10 минути. Ако и двата самолета за зареждане са заети, тогава самолетът, нуждаещ се от зареждане, може да „изчака“ (да лети в кръг в зоната за зареждане) за известно време. Средното време за изчакване е 20 минути. Самолетът, който няма търпение да зареди гориво, е принуден да кацне на алтернативно летище. Интензивността на полетите е такава, че средно 12 самолета пристигат в зоната за зареждане на всеки 1 час. Определете:

Вероятността самолетът да бъде зареден с гориво.

Среден брой заети зареждачи.

Среден брой самолети в опашка.

Среден брой самолети в експлоатация.

Необходимо е да се изчислят основните характеристики на ефективността на тази QS, при условие че са посочени следните входни параметри:

• · брой канали за обслужване;
• · интензивност на входящия поток заявления;
• · интензивност на обслужващия поток;
• · средно време, ограничаващо престоя на приложенията в опашката.

Разглежданата QS е многоканална система за опашка без ограничение на дължината на опашката, но с ограничение на времето за изчакване. Уточняват се броят на каналите, интензивността на входящия поток от заявки, интензивността на обслужващия поток и броя на местата в опашката.

В този QS всеки канал обслужва по една заявка всеки път. Ако в момента на получаване на нова заявка поне един канал е свободен, тогава входящата заявка се получава за обслужване; ако няма заявки, тогава системата е неактивна.

Нека да определим какво се случва, когато до момента на получаване на заявка всички канали са заети - тя се поставя на опашка и чака някой от каналите да се освободи. Ако в момента на получаване на заявление всички места в опашката са заети, то това заявление напуска системата.

Критерии за ефективността на функционирането на QS:

• · Вероятност за прекъсване на системата;
• · Вероятност от повреда на системата;
• · Относителна производителност.
• · Средно време, което едно приложение прекарва в опашката.

Тази система е моделирана като многоканален QS с „нетърпеливи“ заявки.

Системни параметри:

брой обслужващи канали n=2;

интензивност на входящия поток от приложения = 12 (самолети на час);

интензивност на потока от услуги µ = 6(самолети на час);

средното време, ограничаващо престоя на приложение в опашката, следователно, интензивността на потока от заминаващи = 1/= 3 (самолет) на час.

Изчисленията са направени с помощта на програма, разработена на Turbo Pascal. Езикът Turbo-Pascal е един от най-разпространените езици за компютърно програмиране. Важни предимства на езика Turbo-Pascal включват малкия размер на компилатора, високата скорост на превод, компилация и свързване на програмата. В допълнение, удобството и високо качестводизайн на диалогова обвивка, правят програмите за писане и отстраняване на грешки по-удобни в сравнение с алтернативните езици от ново поколение.

За да се анализира работата на QS, е необходимо да се проучи поведението на тази система за различни входни параметри.

В първата версия l=12, µ=6, n=3, брой канали n=2.

Във втория вариант l=12, µ=6, n=3, брой канали n=3.

В третия вариант l=12, µ=6, n=4, брой канали n=2.

Всички резултати от изчисленията са дадени в Приложение 2.

В резултат на анализа на получените данни (Приложение 2) бяха направени следните изводи.

С увеличаването на броя на каналите вероятността от прекъсване на системата и вероятността от зареждане с гориво се увеличава с 50%.

При промяна само на времето, прекарано на заявката в опашката, без увеличаване на броя на каналите, интензивността на потока на заминаване се промени, в резултат на това броят на обслужваните самолети и броят на самолетите в опашката намаляха.

Според мен е необходимо да се наеме и обучи допълнителен обслужващ персонал, за да се увеличи интензивността на потока от заминаващи, тогава ще се изразходва по-малко време за престой на зареждащите устройства и няма да има нужда от допълнителен канал.

Въпреки че при избора на най-оптималните параметри, при които функционирането на здравната услуга ще бъде най-ефективно, е необходимо да се вземат предвид и техническите и икономическите фактори, тъй като придобиването на допълнителен канал за обслужване или промяна в интензитета на потока от грижи изисква определени материални разходи и разходи за обучение на персонала.

Пери Куклин

Всеки собственик на бизнес и всички негови мениджъри биха искали да видят не само нарастващи печалби всеки ден и нощ, но и щастливи, напълно доволни клиенти. Един от начините за постигане на тази цел е създаването през настъпващата 2014г по-добри условияза клиенти, чакащи на опашка. Ето пет лесни начина:

1. Забавлявайте посетителите си

Клиентите, които са се натрупали на опашката, трябва да бъдат разсеяни с нещо. И тъй като днешната култура е настроена към всички видове действия на екрана, заемането на вашите опашки със съзерцание на дисплеи ще ангажира цялото внимание на посетителите и негативните емоции, свързани с чакането, няма да се отложат в паметта им.

2. Напред към виртуалността

Електронните опашки са мястото, където много компании все още се спъват. Как може такава „купчина е малка“ да работи във ваша полза, ако винаги сте били зависими от класическата опашка „кой е последен, аз съм зад вас“?

Никога не забравяйте, че повечето хора ценят времето и свободата си високо. Създаването на електронна опашка потиска усещането за загуба на време и дискомфорта от принудителното редене у посетителите. С електронната опашка клиентите могат да седнат, да направят нещо различно от досадно чакане и просто да се насладят на възможността да правят каквото искат, без да се налага да чакат на опашка.

3. Гледайте опашките

Решаването на проблема с опашките не е само създаване на по-комфортни условия за клиентите; разгледайте въпроса от управленска гледна точка - в крайна сметка това ще донесе ползи за вас и удовлетворение за клиентите.

Проследяването в реално време на движението на опашките позволява на отговорните за това мениджъри да държат пръст върху пулса на всяка от опашките във всеки един момент. За да информирате мениджъра на търговския етаж, че някъде е възникнала грешка, можете да настроите всяка форма на известяване (текстово съобщение, имейл и т.н.). По този начин той веднага установява, че персоналът на компанията се забавя, линиите се движат твърде бавно и т.н.

Проследяването на опашка също ви позволява да записвате рекордни скорости, което е безценна информация за мениджърите. Въз основа на това те могат да предвидят периоди на пикове и спадове в натоварването, съответно маневриращия персонал и броя на работещите банкомати.

4. Добавете малко мобилност

Комуникирайте с клиентите на опашката по най-достъпния начин днес – чрез смартфони. В електронната опашка може да се въведе елемент на мобилност, който позволява на клиентите да регистрират мястото си на опашката по телефона и да комуникират с персонала чрез текстови съобщения, когато им дойде редът.

Описаният по-горе развлекателен елемент също трябва да получи мобилност. Екраните на смартфоните могат да показват информация за това как клиентите могат да подобрят своето пазаруване (абонамент за купони, карти за отстъпка, предстоящи промоции и, разбира се, оставащо време за чакане на опашка).

5. Комбинирайте излъчване към смартфони с мърчандайзинг

IN търговия на дребноРешението на проблема с опашката е наистина елементарно. Клиентите могат да видят продукта и да забележат предимствата му сами, но представянето им с продукта в действие може да засили желанието им за покупка, което може да не е било толкова уверено до този момент. Помислете за това: електронната търговия широко използва видео, за да увеличи реализациите и нивата на продажби. Какво ви пречи да използвате тази техника при офлайн търговия?

Възползвайте се от факта, че купувачът има в ръцете си устройство, което може да ви служи като витрина. Поканете клиента да гледа видеоклип с добре продаван продукт, разказващ за неговите характеристики; или дори видеозапис на доволни клиенти, които казват одобрителни изявления за това. Предоставяйки този вид информация на хората, които се редят на опашка, и в същото време я превъртате на големи дисплеи в зрителното поле, вие се грижите за задоволяването на две изключително важни нужди: забавление на клиентите и увеличаване на фирмените продажби.

Чакането на опашка се превръща в последното впечатление на клиента за вашия бизнес (помислете за магазин за търговия на дребно) и последни думиразговорите се помнят най-добре - това е аксиома. В някои случаи това е основата на клиентското изживяване (помислете за летище). Винаги ще има начини да подобрите начина, по който взаимодействате с хората, които използват вашия бизнес, но едно от най-добрите места да започнете е като промените начина, по който се редите на опашка.

Превод Леонид Пеленицин