Диференциални уравнения от втори ред с постоянен коефициент. Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти
Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти(НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР)
CLDE от втори ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left( x \right)$ е непрекъсната функция.
Следните две твърдения са верни по отношение на 2-ри LNDE с компютър.
Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частно решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общо решение (OR) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава ИЛИ на LHDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.
Ако дясна част LDE от 2-ри ред е сумата от функции, т.е. $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+...+ f_ (r) \left(x\right)$, тогава първо можете да намерите PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $, които съответстват на всяка от функциите $f_(1 ) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ и след това запишете LNDE-2 PD като $U = U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Решение на LNDE от 2-ри ред с компютър
Очевидно формата на един или друг PD $U$ на даден LNDE-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD на LNDE-2 са формулирани като следните четири правила.
Правило номер 1.
Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, тоест се нарича a полином от степен $n$. Тогава неговият PR $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (NC).
Правило номер 2.
Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.
Правило номер 3.
Дясната част на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta $ са известни числа. След това неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират по метода NDT.
Правило номер 4.
Дясната страна на LNDE-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right) $ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корени на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равни на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода на NK.
Методът NDT се състои в прилагане следващото правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от конкретното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDE-2, е необходимо:
- заменете PD $U$, написан в общ вид, в лявата част на LNDE-2;
- от лявата страна на LNDE-2 извършете опростявания и групирайте термини със същите степени $x$;
- в получената идентичност приравнете коефициентите на членовете с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
- решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.
Пример 1
Задача: намерете ИЛИ LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Също така намерете PR , удовлетворяващ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.
Напишете съответния LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са реални и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Дясната част на този LNDE-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PR на този LNDE-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Ще търсим коефициентите $A$, $B$ по метода NK.
Намираме първата производна на CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Намираме втората производна на CR:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ В същото време, тъй като експонентата $e^(3\cdot x) $ е включена като фактор във всички компоненти, тогава той може да бъде пропуснат.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Извършваме действия от лявата страна на полученото равенство:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Използваме метода NC. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.
CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.
За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ ИЛИ:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Имаме система от уравнения:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Ние го решаваме. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Крамър, а $C_(2) $ се определя от първото уравнение:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Така PD на това диференциално уравнение е: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Тази статия разкрива въпроса за решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Теорията ще бъде разгледана заедно с примери за дадените задачи. За да дешифрирате неразбираеми термини, е необходимо да се обърнете към темата за основните определения и понятия на теорията на диференциалните уравнения.
Разгледайте линейно диференциално уравнение (LDE) от втори ред с постоянни коефициенти под формата y "" + p y " + q y \u003d f (x) , където p и q са произволни числа, а съществуващата функция f (x) е непрекъснат на интервала на интегриране x .
Нека преминем към формулировката на теоремата общо решение LNDU.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обща теорема за решение за LDNU
Теорема 1Общото решение, разположено в интервала x, на нехомогенно диференциално уравнение от вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) с коефициенти на непрекъснато интегриране на x интервал f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрекъсната функция f (x) е равна на сумата от общото решение y 0 , което съответства на LODE, и някакво конкретно решение y ~ , където първоначалното нехомогенно уравнение е y = y 0 + y ~ .
Това показва, че решението на такова уравнение от втори ред има формата y = y 0 + y ~ . Алгоритъмът за намиране на y 0 е разгледан в статията за линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. След това трябва да се пристъпи към дефиницията на y ~ .
Изборът на конкретно решение на LIDE зависи от типа на наличната функция f (x), разположена от дясната страна на уравнението. За да направите това, е необходимо да се разгледат отделно решенията на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.
Когато f (x) се счита за полином от n-та степен f (x) = P n (x) , следва, че определено решение на LIDE се намира по формула от вида y ~ = Q n (x ) x γ , където Q n ( x) е полином от степен n, r е броят на нулевите корени на характеристичното уравнение. Стойността на y ~ е конкретно решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , тогава наличните коефициенти, които се определят от полинома
Q n (x) , намираме с помощта на метода на неопределените коефициенти от равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 1
Изчислете с помощта на теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
С други думи, необходимо е да се премине към конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1 , което ще отговаря на дадените условия y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Общото решение на линейното нехомогенно уравнениее сумата от общото решение, което съответства на уравнението y 0 или конкретно решение на нехомогенното уравнение y ~ , тоест y = y 0 + y ~ .
Първо, нека намерим общо решение за LNDE, а след това конкретно.
Нека да преминем към намирането на y 0 . Написването на характеристичното уравнение ще помогне да се намерят корените. Разбираме това
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 \u003d 2
Открихме, че корените са различни и реални. Затова пишем
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Нека намерим y ~ . Вижда се, че дясната страна дадено уравнениее полином от втора степен, тогава един от корените е равен на нула. От тук получаваме, че определено решение за y ~ ще бъде
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, където стойностите на A, B, C вземете неопределени коефициенти.
Нека ги намерим от равенство от вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогава получаваме това:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравнявайки коефициентите с еднакви показатели x , получаваме система от линейни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Когато решаваме по някой от начините, намираме коефициентите и записваме: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Този запис се нарича общо решение на оригиналното линейно нехомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
За да се намери конкретно решение, което отговаря на условията y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , е необходимо да се определят стойностите C1и C2, основано на равенство от вида y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Получаваме това:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работим с получената система от уравнения от вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , където C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Прилагайки теоремата на Коши, имаме това
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Отговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когато функцията f (x) е представена като произведение на полином със степен n и експонента f (x) = P n (x) e a x , тогава от тук получаваме, че определено решение на LIDE от втори ред ще бъде уравнение от вида y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , където Q n (x) е полином от n-та степен, а r е броят на корените на характеристичното уравнение, равен на α .
Коефициентите, принадлежащи на Q n (x), се намират чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Намерете общото решение на диференциално уравнение от вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Уравнението общ изглед y = y 0 + y ~ . Посоченото уравнение съответства на LOD y "" - 2 y " = 0. Предишният пример показва, че неговите корени са k1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x съгласно характеристичното уравнение.
Може да се види, че дясната страна на уравнението е x 2 + 1 · e x . От тук LNDE се намира чрез y ~ = e a x Q n (x) x γ, където Q n (x) , което е полином от втора степен, където α = 1 и r = 0, тъй като характеристичното уравнение не имат корен, равен на 1. Следователно получаваме това
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
A, B, C са неизвестни коефициенти, които могат да бъдат намерени от равенството y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Разбрах това
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Приравняваме показателите за едни и същи коефициенти и получаваме система от линейни уравнения. От тук намираме A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Отговор:може да се види, че y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 е конкретно решение на LIDE и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Когато функцията е записана като f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x и A 1и В 1са числа, тогава уравнение от формата y ~ = A cos β x + B sin β x x γ, където A и B се считат за неопределени коефициенти, а r броят на комплексно спрегнатите корени, свързани с характеристичното уравнение, равно на ± i β . В този случай търсенето на коефициенти се извършва чрез равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 3
Намерете общото решение на диференциално уравнение под формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Преди да напишем характеристичното уравнение, намираме y 0 . Тогава
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 = - 2 i
Имаме двойка комплексно спрегнати корени. Нека трансформираме и получаваме:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корените от характеристичното уравнение се считат за спрегната двойка ± 2 i , тогава f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Това показва, че търсенето на y ~ ще бъде направено от y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Неизвестни коефициентите A и B ще се търсят от равенство от формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Нека трансформираме:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогава се вижда, че
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
Необходимо е да се приравнят коефициентите на синусите и косинусите. Получаваме система от вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
От това следва, че y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .
Отговор:общото решение на оригиналния LIDE от втори ред с постоянни коефициенти се счита за
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Когато f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогава y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Имаме, че r е броят на комплексно спрегнатите двойки корени, свързани с характеристичното уравнение, равен на α ± i β , където P n (x) , Q k (x) , L m ( x) и N m (x)са полиноми от степен n, k, m, където m = m a x (n, k). Намиране на коефициенти L m (x)и N m (x)се получава въз основа на равенството y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Намерете общото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
От условието става ясно, че
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тогава m = m a x (n , k) = 1 . Намираме y 0 , като преди това сме написали характеристично уравнениеТип:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Открихме, че корените са реални и различни. Следователно y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . След това е необходимо да се търси общо решение, основано на нехомогенно уравнение y ~ от формата
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно е, че A, B, C са коефициенти, r = 0, тъй като няма двойка спрегнати корени, свързани с характеристичното уравнение с α ± i β = 3 ± 5 · i . Тези коефициенти се намират от полученото равенство:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Намирането на производната и подобни термини дава
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
След приравняване на коефициентите се получава система от вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
От всичко следва, че
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1) грях (5x))
Отговор:сега е получено общото решение на даденото линейно уравнение:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритъм за решаване на LDNU
Определение 1Всеки друг вид функция f (x) за решението осигурява алгоритъма за решение:
- намиране на общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение, където y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , където y 1и y2са линейно независими отделни решения на LODE, от 1и От 2се считат за произволни константи;
- приемане като общо решение на LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- дефиниция на производни на функция чрез система от формата C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) и функции за намиране C 1 (x)и C 2 (x) чрез интегриране.
Пример 5
Намерете общото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Решение
Пристъпваме към писане на характеристичното уравнение, като преди това сме написали y 0 , y "" + 36 y = 0 . Нека напишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имаме, че записът на общото решение на даденото уравнение ще приеме формата y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Необходимо е да се премине към дефиницията на производните функции C 1 (x)и C2(x)по системата с уравнения:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо е да се вземе решение относно C 1 "(x)и C2" (x)използвайки всеки метод. Тогава пишем:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Всяко от уравненията трябва да бъде интегрирано. След това записваме получените уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
От това следва, че общото решение ще има формата:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Отговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Видяхме, че в случай, че е известно общото решение на линейно хомогенно уравнение, е възможно да се намери общо решение на нехомогенно уравнение чрез метода на вариация на произволни константи. Но въпросът как да се намери общото решение на хомогенното уравнение остана открит. В конкретен случай, когато в линейното диференциално уравнение (3) всички коефициенти p i(х)= a i - константи, се решава доста просто, дори без интегриране.
Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти, т.е. уравнения от вида
г (н) + а 1 г (н – 1) + ... а н – 1 г " + a n y = 0, (14)
където a i- константи (аз= 1, 2, ...,н).
Както е известно, за линейно хомогенно уравнение от 1-ви ред решението е функция от формата д kx.Ще търсим решение на уравнение (14) във вида й (х) = д kx.
Нека заместим в уравнение (14) функцията й (х) и неговите производни на ред м (1 £ м£ н)й (м) (х) = k m e kx. Вземете
(k n + a 1 k n – 1 +… и n – 1 k + a n)e kx = 0,
но д k x ¹ 0 за всякакви х, така
k n + a 1 k n – 1 + ... а н – 1 k + a n = 0. (15)
Уравнение (15) се нарича характеристично уравнение, полином от лявата страна,- характерен полином , неговите корени- характерни корени диференциално уравнение (14).
Заключение:
функцияй (х) = д kx - решение на линейното хомогенно уравнение (14) тогава и само ако числото к - корен на характеристичното уравнение (15).
По този начин процесът на решаване на линейното хомогенно уравнение (14) се свежда до решаване на алгебричното уравнение (15).
Има различни случаи на характерни корени.
1.Всички корени на характеристичното уравнение са реални и различни.
В такъв случай нразлични характерни корени к 1 ,к 2 ,..., k nотговаря нразлични решения на хомогенното уравнение (14)
Може да се покаже, че тези решения са линейно независими и следователно формират фундаментална системарешения. По този начин общото решение на уравнението е функцията
където ОТ 1 , ° С 2 , ..., ~ n - произволни константи.
ПРИМЕР 7. Намерете общото решение на линейното хомогенно уравнение:
а) при¢ ¢ (х) - 6при¢ (х) + 8при(х) = 0, б) при¢ ¢ ¢ (х) + 2при¢ ¢ (х) - 3при¢ (х) = 0.
Решение. Нека съставим характеристично уравнение. За да направим това, заместваме производната на поръчката мфункции г(х) в съответната степен
к(при (м) (х) « к м),
докато самата функция при(х), тъй като производната от нулев порядък се заменя с к 0 = 1.
В случай (а) характеристичното уравнение има формата к 2 - 6k + 8 = 0. Корените на него квадратно уравнение к 1 = 2,к 2 = 4. Тъй като те са реални и различни, общото решение има формата й (х)= В 1 д 2х + От 2 д 4x.
За случай (b) характеристичното уравнение е уравнението от трета степен к 3 + 2к 2 - 3k = 0. Намерете корените на това уравнение:
к(к 2 + 2 к - 3)= 0 Þ к = 0i к 2 + 2 к - 3 = 0 Þ к = 0, (к - 1)(к + 3) = 0,
т . д . к 1 = 0, к 2 = 1, к 3 = - 3.
Тези характеристични корени съответстват на основната система от решения на диференциалното уравнение:
й 1 (х)= д 0х = 1, й 2 (х) = e x, й 3 (х)= д - 3х .
Общото решение, съгласно формула (9), е функцията
й (х)= В 1 + C 2 e x + C 3 д - 3х .
II . Всички корени на характеристичното уравнение са различни, но някои от тях са сложни.
Всички коефициенти на диференциалното уравнение (14) и следователно на неговото характеристично уравнение (15)- реални числа, тогава ако c сред характеристичните корени има комплексен корен к 1 = a + ib,тоест неговия спрегнат корен к 2 = ` к 1 = а- ib.Първи корен к 1 съответства на решението на диференциалното уравнение (14)
й 1 (х)= д (a+ib)х = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(използвахме формулата на Ойлер e i x = cosx + isinx). По същия начин коренът к 2 = а- ibсъответства на решението
й 2 (х)= д (a - -ib)х = e a x e - ib x= e брадва(cosbx - isinbx).
Тези решения са комплексни. За да получим реални решения от тях, използваме свойствата на решенията на линейно хомогенно уравнение (виж 13.2). Функции
са реални решения на уравнение (14). Освен това тези решения са линейно независими. Така може да се направи следното заключение.
Правило 1.Двойка спрегнати комплексни корени a± ib на характеристичното уравнение в FSR на линейното хомогенно уравнение (14) съответства на две реални частни решенияи .
ПРИМЕР 8. Намерете общото решение на уравнението:
а) при¢ ¢ (х) - 2при ¢ (х) + 5при(х) = 0 ;б) при¢ ¢ ¢ (х) - при¢ ¢ (х) + 4при ¢ (х) - 4при(х) = 0.
Решение. В случай на уравнение (а), корените на характеристичното уравнение к 2 - 2k + 5 = 0 са две спрегнати комплексни числа
к 1, 2 = .
Следователно, съгласно правило 1, те съответстват на две реални линейно независими решения: и , а общото решение на уравнението е функцията
й (х)= В 1 e x cos 2x + C 2 e x грях 2х.
В случай (b), за намиране на корените на характеристичното уравнение к 3 - к 2 + 4к- 4 = 0, разлагаме лявата му страна на множители:
к 2 (к - 1) + 4(к - 1) = 0 Þ (к - 1)(к 2 + 4) = 0 Þ (к - 1) = 0, (к 2 + 4) = 0.
Следователно имаме три характерни корена: к 1 = 1,k2 , 3 = ± 2азКорну к 1 съответства на решението , и чифт спрегнати комплексни корени к 2, 3 = ± 2аз = 0 ± 2аз- две реални решения: и . Съставяме общото решение на уравнението:
й (х)= В 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 грях 2х.
III . Сред корените на характеристичното уравнение има кратни.
Позволявам к 1 - реален корен на кратността мхарактеристично уравнение (15), т.е. сред корените има мравни корени. Всяко от тях съответства на едно и също решение на диференциално уравнение (14). Включете обаче мравни решения в FSR са невъзможни, тъй като те представляват линейно зависима система от функции.
Може да се покаже, че в случай на множествен корен к 1решения на уравнение (14), в допълнение към функцията, са функциите
Функциите са линейно независими по цялата числова ос, тъй като , т.е. те могат да бъдат включени в FSR.
Правило 2 истински характерен корен к 1 множествености мв FSR съответства мрешения:
Ако к 1 - комплексен корен от кратност мхарактеристично уравнение (15), тогава има спрегнат корен к 1 множествености м. По аналогия получаваме следното правило.
Правило 3. Двойка спрегнати комплексни корени a± ib в FSR съответства на 2m реални линейно независими решения:
, , ..., ,
, , ..., .
ПРИМЕР 9. Намерете общото решение на уравнението:
а) при¢ ¢ ¢ (х) + 3при¢ ¢ (х) + 3при¢ (х)+ y ( х)= 0;б) IV(х) + 6при¢ ¢ (х) + 9при(х) = 0.
Решение. В случай (а) характеристичното уравнение има формата
к 3 + 3 к 2 + 3 к + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
т.е. k =- 1 - множествен корен 3. Въз основа на правило 2, ние записваме общото решение:
й (х)= В 1 + C 2 x + C 3 х 2 .
Характеристичното уравнение в случай (b) е уравнението
к 4 + 6к 2 + 9 = 0
или иначе,
(к 2 + 3) 2 = 0 Þ к 2 = - 3 Þ к 1, 2 = ± аз
Имаме чифт спрегнати комплексни корени, всеки с кратност 2. Съгласно правило 3, общото решение се записва като
й (х)= В 1 + C 2 x + C 3 + C 4 х .
От горното следва, че за всяко линейно хомогенно уравнение с постоянни коефициенти може да се намери фундаментална система от решения и да се образува общо решение. Следователно решението на съответното нехомогенно уравнение за всяко непрекъсната функция f(х) от дясната страна може да се намери с помощта на метода на вариация на произволни константи (вижте раздел 5.3).
Пример r10. Използвайки метода на вариацията, намерете общото решение на нехомогенното уравнение при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = x д 2х .
Решение. Първо намираме общото решение на съответното хомогенно уравнение при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = 0. Корените на характеристичното уравнение к 2 - к- 6 = 0 са к 1 = 3,к 2 = - 2, а общо решение на хомогенното уравнение - функция ` при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х .
Ще търсим решение на нееднородното уравнение във вид
при( х) = ОТ 1 (х)д 3х + C 2 (х)д 2х . (*)
Да намерим определителя на Вронски
У[д 3х , д 2х ] = .
Нека съставим системата от уравнения (12) по отношение на производните на неизвестните функции ОТ ¢ 1 (х) и ОТ¢ 2 (х):
Решавайки системата с помощта на формулите на Крамер, получаваме
Интегрирайки, намираме ОТ 1 (х) и ОТ 2 (х):
Заместващи функции ОТ 1 (х) и ОТ 2 (х) в равенство (*), получаваме общото решение на уравнението при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = x д 2х :
В случая, когато дясната страна на линейно нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти има специален вид, конкретно решение на нехомогенно уравнение може да се намери, без да се прибягва до метода на вариация на произволни константи.
Разгледайте уравнението с постоянни коефициенти
г (н) + 1 г (н– 1) + ... а н – 1 г " + a n y = f (х), (16)
f( х) = дбрадва(P n(х)cosbx + Rm(х)sinbx), (17)
където P n(х) и R m(х) - полиноми на степен н и мсъответно.
Частно решение y*(х) на уравнение (16) се определя от формулата
при* (х) = x sд брадва(Г-н(х)cosbx + Nr(х)sinbx), (18)
където Г-н(х) и N r(х) - полиноми на степен r = макс(n, m) с неопределени коефициенти , а сравна на кратността на корена к 0 = a + ibхарактерен полином на уравнение (16), докато се приема s= 0 ако к 0 не е характерен корен.
За да формулираме конкретно решение, използвайки формула (18), трябва да намерим четири параметъра - a, b, rи с.Първите три се определят от дясната страна на уравнението, с r- всъщност е най-високата хнамерени от дясната страна. Параметър ссе намира чрез сравняване на числото к 0 = a + ibи множеството от всички (като се вземат предвид кратностите) характеристични корени на уравнение (16), които се намират при решаването на съответното хомогенно уравнение.
Нека разгледаме частни случаи на формата на функция (17):
1) при а ¹ 0, b= 0f(х)= e брадва P n(х);
2) когато а= 0, b ¹ 0f(х)= P n(х) сosbx + Rm(х)sinbx;
3) кога а = 0, b = 0f(х)=Pn(х).
Забележка 1. Ако P n (x) º 0 или R m (x)º 0, тогава дясната страна на уравнението f(x) = e ax P n (x)с osbx или f(x) = e ax R m (x)sinbx, т.е. съдържа само една от функциите - косинус или синус. Но в нотацията на конкретно решение и двете трябва да присъстват, тъй като съгласно формула (18) всеки от тях се умножава по полином с неопределени коефициенти от същата степен r = max(n, m).
Пример 11. Определете формата на конкретно решение на линейно хомогенно уравнение от 4-ти ред с постоянни коефициенти, ако е известна дясната страна на уравнението f(х) = e x(2xcos 3x +(х 2 + 1)грях 3х) и корените на характеристичното уравнение:
а ) к 1 = k 2 = 1, к 3 = 3,к 4 = - 1;
b ) к 1, 2 = 1 ± 3аз,к 3, 4 = ± 1;
в ) к 1, 2 = 1 ± 3аз,к 3, 4 = 1 ± 3аз
Решение. От дясната страна намираме това в конкретното решение при*(х), което се определя по формула (18), параметри: а= 1, b= 3, r= 2. Те остават едни и същи и за трите случая, оттук и числото к 0, който определя последния параметър сформула (18) е равна на к 0 = 1+ 3аз. В случай (а) сред характеристичните корени няма число к 0 = 1 + 3аз,означава, с= 0, а конкретното решение има формата
y*(х) = х 0 e x(М 2 (х)cos 3х + N 2 (х)грях 3х) =
= дх( (брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 + Б 1 x + C 1)грях 3х.
В случай (б) числото к 0 = 1 + 3азсреща се само веднъж сред характерните корени, което означава, че s= 1 и
y*(х) = x e x((брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 + Б 1 x + C 1)грях 3х.
За случай (c) имаме s= 2 и
y*(х) = х 2 e x((брадва 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 х 2 + Б 1 x + C 1)грях 3х.
В пример 11 в записа на конкретното решение има два полинома от 2-ра степен с неопределени коефициенти. За да намерите решение, трябва да определите числените стойности на тези коефициенти. Нека формулираме общо правило.
Да се определят неизвестните коефициенти на полиноми Г-н(х) и N r(х) равенството (17) се диференцира необходимия брой пъти, функцията се замества y*(х) и неговите производни в уравнение (16). Сравнявайки лявата и дясната му част, получаваме системата алгебрични уравненияза намиране на коефициенти.
Пример 12. Намерете решение на уравнението при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = xe 2х, като определи конкретно решение на нехомогенното уравнение чрез формата на дясната страна.
Решение. Общото решение на нехомогенното уравнение има вида
при( х) = ` при(х)+ y*(х),
където ` при ( х) - общото решение на съответното хомогенно уравнение и y*(х) - конкретно решение на нехомогенно уравнение.
Първо да решим хомогенно уравнениепри¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = 0. Неговото характеристично уравнение к 2 - к- 6 = 0 има два корена к 1 = 3,к 2 = - 2, Следователно, ` при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х .
Използваме формула (18), за да определим вида на конкретното решение при*(х). функция f(х) = xe 2х е специален случай (а) на формула (17), докато а = 2,b= 0 и r= 1, т.е. к 0 = 2 + 0аз = 2. Сравнявайки с характерни корени, заключаваме, че s= 0. Замествайки стойностите на всички параметри във формула (18), имаме y*(х) = (Ах + Б)д 2х .
За намиране на ценности Ии AT, намерете производните на първия и втория ред на функцията y*(х) = (Ах + Б)д 2х :
y*¢ (х)= Ae 2х + 2(Ах + Б)д 2х = (2Ах + А + 2б)д 2x,
y*¢ ¢ (х) = 2Ae 2х + 2(2Ах + А + 2б)д 2х = (4Ах + 4A+ 4б)д 2х .
След заместване на функцията y*(х) и неговите производни в уравнението, което имаме
(4Ах + 4A+ 4б)д 2х - (2Ах + А + 2б)д 2х - 6(Ах + Б)д 2х =xe 2х Þ Þ А=- 1/4,B=- 3/16.
Така дадено решение на нехомогенното уравнение има формата
y*(х) = (- 1/4х- 3/16)д 2х ,
и общото решение - при ( х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х .
Забележка 2.В случай, че се поставя задачата на Коши за нехомогенно уравнение, първо трябва да се намери общо решение на уравнението
при( х) = ,
като определи всички числени стойности на коефициентите в при*(х). След това използвайте началните условия и като ги замените в общото решение (а не в y*(х)), намерете стойностите на константите C i.
Пример 13. Намерете решение на проблема на Коши:
при¢ ¢ (х) - при¢ (х) - 6при(х) = xe 2х ,г(0) = 0, г ¢ (х) = 0.
Решение. Общо решение на това уравнение
при(х) = В 1 д 3х + C 2 д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х
е намерено в пример 12. За да намерим конкретно решение, което удовлетворява началните условия на дадения проблем на Коши, получаваме системата от уравнения
Решавайки го, имаме ° С 1 = 1/8, ° С 2 = 1/16. Следователно решението на задачата на Коши е функцията
при(х) = 1/8д 3х + 1/16д - 2х + (- 1/4х- 3/16)д 2х .
Забележка 3(принцип на суперпозиция). Ако в линейно уравнение L n[г(х)]= f(х), където f(х) = f 1 (х)+ е 2 (х) и y* 1 (х) - решение на уравнението L n[г(х)]= f 1 (х), а y* 2 (х) - решение на уравнението L n[г(х)]= f 2 (х), след това функцията y*(х)= y* 1 (х)+ y* 2 (х) е решение на уравнението L n[г(х)]= f(х).
ПРИМЕР 14. Посочете формата на общото решение на линейното уравнение
при¢ ¢ (х) + 4при(х) = x + sinx.
Решение. Общо решение на съответното хомогенно уравнение
` при(х) = В 1 cos 2x + C 2 грях 2х,
тъй като характеристичното уравнение к 2 + 4 = 0 има корени к 1, 2 = ± 2аз.Дясната страна на уравнението не отговаря на формула (17), но ако въведем означ f 1 (х) = х, f 2 (х) = sinxи използвайте принципа на суперпозицията , тогава конкретно решение на нехомогенното уравнение може да се намери във формата y*(х)= y* 1 (х)+ y* 2 (х), където y* 1 (х) - решение на уравнението при¢ ¢ (х) + 4при(х) = х, а y* 2 (х) - решение на уравнението при¢ ¢ (х) + 4при(х) = sinx.По формула (18)
y* 1 (х) = Ax + B,y* 2 (х) = Ccosx + Dsinx.
След това конкретно решение
y*(х) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,
следователно общото решение има формата
при(х) = В 1 cos 2x + C 2 д - 2х + А x + B + Ccosx + Dsinx.
ПРИМЕР 15. Електрическата верига се състои от последователно свързан източник на ток с едс д(т) = E гряхwт,индуктивност Ли контейнери ОТ, и
Зареждане...