ارائه در مورد عناصر موضوعی ترکیبیات. ترکیبات - اولین قدم به سوی علم بزرگ

عناصر
ترکیبیات
راهنمای آموزشی الکترونیکی
برای دانش آموزان پایه های 9-11.
نویسنده کامپایلر:
کاترووا او.جی.
معلم ریاضی
MBOU "Gymnasium No. 2"
ساروف

ترکیبیات

ترکیبیات یک بخش است
ریاضیات که مطالعه می کند
سوالات انتخابی یا مکان
عناصر مجموعه مطابق با
با قوانین داده شده
"ترکیب" از لاتین آمده است
کلمات "combina" که به روسی ترجمه شده است
به معنای "ترکیب کردن"، "وصل کردن" است.

مرجع تاریخی
اصطلاح "ترکیب" بود
وارد کاربرد ریاضی شد
در سراسر جهان
معروف
آلمانی
دانشمند G.V. Leibniz که در
1666 منتشر شده گفتارها
در مورد هنر ترکیبی."
G.W. Leibniz
در قرن هجدهم، مردم به حل مسائل ترکیبی روی آوردند
و دیگر ریاضیدانان برجسته بله، لئونارد اویلر
مشکلات مربوط به پارتیشن بندی اعداد، تطبیق،
ترتیبات چرخه ای، در مورد ساخت جادویی و
مربع های لاتین

معاملات ترکیبی
انواع مختلف ترکیبات
(بازآرایی ها، قرارگیری ها،
ترکیبات) که می تواند باشد
از عناصر تشکیل شود
مجموعه ای محدود

اتصالات ترکیبی

بازآرایی ها
1.
2.
جایگشت بدون تکرار
جایگشت با تکرار
جایگذاری ها
1.
2.
قرارگیری بدون تکرار
قرارگیری با تکرار
ترکیبات
1.
2.
ترکیبات بدون تکرار
ترکیبات با تکرار

جایگشت - اتصالات،
که می تواند از n تشکیل شود
عناصر، تغییر همه
راه های ممکن برای سفارش آنها
فرمول:

مرجع تاریخی

در سال 1713 منتشر شد
مقاله جی. برنولی «هنر
مفروضات» که در آن
با جزئیات کافی ارائه شد
در آن زمان شناخته شده است
حقایق ترکیبی
"هنر
فرضیات» تکمیل نشد
توسط نویسنده و پس از مرگ او ظاهر شد.
این مقاله شامل 4 بخش بود
ترکیبیات اختصاص داده شد
قسمت دوم که شامل
فرمول تعداد جایگشت از n
عناصر.

مثال

8 نفر به چند صورت می توانند بایستند
صف در گیشه؟
راه حل مشکل:
8 صندلی وجود دارد که باید 8 نفر اشغال شوند.
هر یک از 8 نفر می توانند مقام اول را کسب کنند، یعنی. راه ها
کسب مقام اول - 8.
بعد از اینکه یک نفر در رتبه اول قرار گرفت، 7 نفر باقی می مانند
صندلی و 7 نفر که می توان روی آنها جای داد، یعنی.
راه های کسب مقام دوم - 7. به طور مشابه برای سوم،
چهارم و غیره مکان ها
با استفاده از اصل ضرب، حاصل ضرب را بدست می آوریم. این
محصول به عنوان 8 تعیین شده است! (8 فاکتوریل را بخوانید) و
جایگشت P8 نامیده می شود.
پاسخ: P8 = 8!

خودت را چک کن

1) به چند روش می توانید قرار دهید
چهار نوع مختلف در قفسه در کنار یکدیگر وجود دارد
کتاب ها؟
راه حل

خودت را چک کن

2) به چند روش می توانید قرار دهید
10 کارت مختلف در 10 کارت موجود است
پاکت نامه (یک کارت پستال در هر پاکت)؟
راه حل

خودت را چک کن

3) به چند روش می توانید بکارید
هشت کودک روی هشت صندلی در اتاق غذاخوری
مهد کودک؟
راه حل

خودت را چک کن

4) چند کلمه مختلف می توانید بسازید؟
تنظیم مجدد حروف در یک کلمه
"مثلث" (از جمله خود کلمه)؟
راه حل

خودت را چک کن

5) چند راه می توانید نصب کنید
وظیفه یک نفر در روز بین هفت نفر
گروه دانش آموزان به مدت 7 روز (هر کدام
باید یک بار در خدمت باشد)؟
راه حل

خودت را چک کن

جایگشت با
تکرارها
هر جایگذاری با تکرار، در
که در آن عنصر a1 k1 بار تکرار می شود، عنصر
a2 k2 بار و غیره تکرار می شود. یک عنصر
kn بار تکرار شده، که در آن k1، k2، ...، kn داده ها هستند
عدد جایگشت با نامیده می شود
تکرارهای سفارش
m = k1 + k2 + … + kn، که در آن داده ها
عناصر a1، a2، …، an تکرار می شوند
به ترتیب k1، k2، ..، kn بار.

خودت را چک کن

جایگشت با
تکرارها
قضیه. تعداد جایگشت های مختلف با
تکرار عناصر (a1، ...، a)، در
که عناصر a1، …، an تکرار می شوند
به ترتیب k1، ...، kn بار، برابر است
(k1+k2+…+kn)!
m
پ
k1! k2! ...kn!
k1! k2! ...kn!

خودت را چک کن

مثال
کلمات و عبارات با حروف مرتب شده است
آناگرام نامیده می شوند. چند آناگرام می توانید
ساخته شده از کلمه "ماکاک"؟
راه حل.
در کل کلمه "MACACA" 6 حرف (m=6) وجود دارد.
بیایید تعیین کنیم که هر حرف چند بار در یک کلمه استفاده شده است:
"M" - 1 بار (k1=1)
"A" - 3 بار (k2=3)
"K" - 2 بار (k3=2)
m
P=
k1! k2! …kn!
6!
4*5*6
Р1،3،2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

خودت را چک کن

1) چند کلمه مختلف می توانید بدست آورید،
تنظیم مجدد حروف کلمه "ریاضیات"؟
راه حل

خودت را چک کن

2) به چند روش می توانید ترتیب دهید
اولین ست صفحه شطرنج افقی
قطعات سفید (پادشاه، ملکه، دو رخ، دو
فیل و دو شوالیه)؟
راه حل

خودت را چک کن
3) مامان 2 سیب، 3 گلابی و 4 پرتقال دارد.
هر روز برای نه روز متوالی او
یکی از میوه های باقی مانده را به پسرش می دهد.
از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟
راه حل

مرجع تاریخی
انگیزه های ترکیبی می تواند باشد
همچنین در نماد چینی «کتاب
تغییرات» (قرن پنجم قبل از میلاد).
در قرن دوازدهم. ریاضیدان هندی بهاسکارا
کار اصلی او "لیلااتی" به تفصیل
مسائل مربوط به جایگشت و
ترکیبات، از جمله جایگشت با
تکرارها

مثال

جایگذاری ها
با قرار دادن n عنصر به ترتیب k
(k n) هر مجموعه ای است
متشکل از هر k عنصر گرفته شده در
ترتیب معینی از n عنصر
دو آرایش از n عنصر در نظر گرفته شده است
اگر خودشان متفاوت باشند متفاوت است
عناصر یا ترتیب چیدمان آنها.
A n(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
ک
n

خودت را چک کن

مثال
به چند روش از 40 دانش آموز در یک کلاس
دارایی را می توان به شرح زیر شناسایی کرد:
رئیس، فیزیکدان و سردبیر روزنامه دیواری؟
راه حل:
لازم است سه عنصر سفارشی را انتخاب کنید
زیر مجموعه های یک مجموعه شامل 40
عناصر، یعنی تعداد مکان های بدون
تکرار 40 عنصر از 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

خودت را چک کن

1. از بین هفت کتاب مختلف انتخاب کنید
چهار این به چند روش امکان پذیر است؟
انجام دادن؟
راه حل

خودت را چک کن

2. در مسابقات قهرمانی فوتبال شرکت می کنند
ده تیم چقدر وجود دارد
فرصت های مختلف برای گرفتن
تیم ها سه مقام اول؟
راه حل

خودت را چک کن

3. 7 موضوع در کلاس مطالعه می شود. چهارشنبه 4
درس ها، و هر کدام متفاوت است. چند تا
روش هایی که می توانید برای آن ها برنامه ریزی ایجاد کنید
چهار شنبه؟
راه حل

خودت را چک کن

مکان های با
تکرارها
قرارگیری با تکرار -
ترکیبات حاوی n عنصر،
از میان عناصر مختلف انتخاب شده است
گونه (n m) و متفاوت از
دیگری یا با ترکیب یا ترتیب
عناصر.
تعداد آنها در نظر گرفته شده است
تعداد نامحدودی از عناصر
هر نوع برابر است

خودت را چک کن

مثال استفاده
به کتابخانه ای که تعداد زیادی دارد
ده کتاب درسی یکسان
افراد، 5 دانش آموز آمدند،
هر کدام از آنها می خواهند یک کتاب درسی بگیرند.
کتابدار در یک مجله می نویسد
ترتیب اسامی (بدون شماره) گرفته شده است
کتاب های درسی بدون نام دانش آموزانی که آنها را داده اند
گرفته اند. چند لیست مختلف در مجله وجود دارد؟
آیا می تواند ظاهر شود؟

مرجع تاریخی

راه حل مشکل
از آنجایی که کتاب های درسی برای هر کدام
موضوع یکسان است و کتابدار
فقط نام (بدون
اعداد)، سپس لیست قرار می گیرد
تکرار، تعداد عناصر
مجموعه اصلی 10 است و
تعداد موقعیت ها - 5.
سپس تعداد لیست های مختلف برابر است با
= 100000.
جواب: 100000

جایگذاری ها

خودت را چک کن!
1. شماره تلفن شامل 7 رقم است.
بیشترین تعداد تماس ها چقدر است
بازنده-پتیا می تواند متعهد شود
قبل از حدس زدن عدد صحیح
راه حل
راه حل

مثال

خودت را چک کن!
2. از چند طریق می توانید
کلمه ای بنویس که از
چهار حرف از الفبای انگلیسی؟
راه حل

خودت را چک کن

خودت را چک کن!
3. در فروشگاهی که 4 نوع توپ وجود دارد،
تصمیم گرفتیم 8 توپ را پشت سر هم بگذاریم. چند تا
راه هایی که می توانید اگر آنها را انجام دهید
آیا مکان اهمیت دارد؟
راه حل

خودت را چک کن

خودت را چک کن!
4. به چند روش می توانید خیاطی کنید
لباس دلقک با ردیف شش دکمه
یکی از چهار رنگ برای دریافت
الگو؟
راه حل

خودت را چک کن

ترکیبات
ترکیبات - ترکیبات حاوی هر کدام
m مورد از n، متفاوت از یکدیگر
دوست با حداقل یک مورد
ترکیب ها مجموعه های محدودی هستند، در
که ترتیب آن مهم نیست

خودت را چک کن

ترکیبات
فرمول برای یافتن کمیت
ترکیبات بدون تکرار:

خودت را چک کن

مرجع تاریخی
در سال 1666، لایب نیتس کتاب گفتارها را منتشر کرد
در مورد هنر ترکیبی." در مقاله او
لایب نیتس، معرفی نمادهای خاص، اصطلاحات برای
زیر مجموعه ها و عملیات روی آنها، تمام k ترکیب n عنصر را پیدا می کند، ویژگی ها را نمایش می دهد
ترکیبات:
,
,

خودت را چک کن

مثال استفاده:
از چند طریق می توانید دو مورد را انتخاب کنید
افسران وظیفه از یک کلاس با 25 دانش آموز؟
راه حل:
m = 2 (تعداد پرسنل وظیفه مورد نیاز)
n = 25 (کل دانش آموزان کلاس)

قرارگیری با تکرار

خودت را چک کن!
1) از چند طریق می توانید
سه دانش آموز را به
کنفرانس بین دانشگاهی 9 نفره
جامعه علمی؟
راه حل

مثال استفاده

خودت را چک کن!
2) ده شرکت کننده در کنفرانس
با دست دادن دست داد
به هر. چند تا دست دادن بود؟
ساخته شده؟
راه حل

راه حل مشکل

خودت را چک کن!
3) در گروه کر مدرسه 6 دختر و 4 پسر حضور دارند.
چند راه می توانید انتخاب کنید
ترکیب گروه کر مدرسه: 2 دختر و 1 پسر
برای شرکت در اجرای گروه کر ناحیه؟
راه حل

خودت را چک کن!

4) از چند طریق می توانید 3 را انتخاب کنید
ورزشکاران از یک گروه 20 نفره برای
شرکت در مسابقات؟
راه حل

خودت را چک کن!

5) 10 موضوع درسی و 5 موضوع مختلف در کلاس وجود دارد
درس در روز از چند طریق می تواند
آیا دروس در همان روز توزیع می شود؟
راه حل

خودت را چک کن!

ترکیبات با تکرار
تعریف
ترکیبات با تکرار از m تا
n ترکیباتی هستند که از n تشکیل شده اند
عناصر انتخاب شده از m عناصر
انواع مختلف، و متفاوت از
دیگری توسط حداقل یک عنصر.
تعداد ترکیبات از m تا n
مشخص کن

خودت را چک کن!

ترکیبات با تکرار
اگر از مجموعه ای حاوی n عنصر یکی را انتخاب کنید
به طور متناوب m عناصر، با عنصر انتخاب شده
هر بار برمی گردد، سپس تعداد راه ها
یک نمونه نامرتب بسازید - تعداد ترکیبات با
تکرارها - می سازد

خودت را چک کن!

مرجع تاریخی
ریاضیدان برجسته هندی
باسکارا آکاریا (1114–1185) نیز
انواع مختلف ترکیبی را مورد مطالعه قرار داد
اتصالات او صاحب رساله است
"سیدانتا-شیرومانی" ("تاج تعلیم")،
در قرن سیزدهم بازنویسی شد. روی نوارها
برگ های درخت خرما. در آن نویسنده داده است
قوانین شفاهی برای یافتن
و
، با اشاره به کاربردها و قرار دادن آنها
نمونه های متعدد

خودت را چک کن!

مثال استفاده
وظیفه شماره 1
چند ست 7 تایی کیک
در صورت وجود قابل جمع آوری است
آیا 4 نوع کیک وجود دارد؟
راه حل:

خودت را چک کن!

مثال استفاده
وظیفه شماره 2
چند استخوان در یک نرمال وجود دارد
بازی دومینو؟
راه حل: دومینو را می توان به عنوان
ترکیبات با تکرار دو رقم از هفت رقم
مجموعه (0،1،2،3،4،5،6).
تعداد این همه
ترکیبات برابر هستند

خودت را چک کن!

خودت را چک کن
وظیفه 1.
کافه تریا Gymnasium 5 نوع می فروشد
پای: با سیب، با کلم،
سیب زمینی، گوشت و قارچ. چند تا
چند راه که می توانید از آنها خرید کنید
10 تا پای؟
راه حل

ترکیبات

خودت را چک کن
وظیفه 2.
جعبه حاوی توپ های سه رنگ است -
قرمز، آبی و سبز. چند تا
روش هایی که می توانید یک مجموعه دو تایی ایجاد کنید
توپ ها؟
راه حل

ترکیبات

خودت را چک کن
وظیفه 3.
به چند روش می توانید 4 را انتخاب کنید
سکه از چهار سکه پنج کوپکی و از
چهار سکه دو کوپکی؟
راه حل

خودت را چک کن
وظیفه 4.
چند تا دومینو وجود خواهد داشت؟
اگر در آنها
آموزش از همه اعداد استفاده می کند؟
راه حل

خودت را چک کن
وظیفه 5.
پالت امپرسیونیست جوان از 8 عدد تشکیل شده است
رنگ های متنوع هنرمند قلم مو می گیرد
به طور تصادفی هر یک از رنگ ها و قرار دادن رنگ
لکه روی کاغذ واتمن سپس مورد بعدی را می گیرد
قلم مو، آن را به هر یک از رنگ ها فرو می برد و درست می کند
نقطه دوم همسایه چند تا
ترکیبات مختلف برای وجود دارد
شش نقطه؟
راه حل

کتاب های استفاده شده
جبر و آغاز ریاضیات
تجزیه و تحلیل. کلاس یازدهم / Yu.M. Kolyagin، M.V. Tkacheva،
N.E. Fedorova، M.I. Shabunin. –
م.: آموزش و پرورش، 2011.
ویلنکین N.Ya. ترکیبیات. - م.، 1969
ویلنکین N.Ya. ترکیبیات. – MCMNO،
2010
ru.wikipedia.org›wiki/تاریخچه ترکیبیات

پتروف ولادیمیر، دانش آموز دوازدهمین گروه موسسه آموزشی بودجه دولتی SO NPO "مدرسه حرفه ای شماره 22"، ساراتوف

ارائه نمونه هایی از حل مسائل مربوط به یافتن جایگشت ها، مکان ها و ترکیب ها را مورد بحث قرار می دهد.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب Google ایجاد کنید و وارد آن شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

عناصر ترکیبی: جایگشت ها، ترکیب ها و قرارگیری ها این ارائه توسط ولادیمیر پتروف، دانش آموز گروه 12 موسسه آموزشی بودجه دولتی SO NPO تهیه شده است.

ترکیب‌شناسی شاخه‌ای از ریاضیات است که مشغول جستجوی پاسخ به سؤالات است: در یک مورد معین چند ترکیب وجود دارد، چگونه از بین همه این ترکیب‌ها بهترین را انتخاب کنیم. کلمه "Combinatorics" از کلمه لاتین "combinare" گرفته شده است که به روسی ترجمه شده است به معنی "ترکیب کردن" ، "ارتباط دادن". اصطلاح ترکیبیات توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، دانشمند مشهور آلمانی، معرفی شد.

مسائل ترکیبی به چند گروه تقسیم می شوند: مشکلات جایگشتی مشکلات قرارگیری مسائل ترکیبی

مشکلات بازآرایی به چند روش می توان 3 کتاب مختلف را در یک قفسه کتاب چید؟ این یک مشکل جایگشت است

بنویس n! به این صورت است: "en factorial" فاکتوریل حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n است، به عنوان مثال، 4! = 1*2*3*4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n! 1 4 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 فاکتوریل ها به سرعت رشد می کنند:

وظیفه. 8 شرکت کننده در مسابقه نهایی را از چند طریق می توان روی هشت تردمیل مرتب کرد؟ P8 = 8! = 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

جایگشت n عنصر هر آرایش این عناصر به ترتیب معینی است. P n = 1 · 2 · 3 · ... · n. Pn=n!

وظیفه. کوارتت Naughty Monkey خر، بز، بله، خرس پاچنبری شروع کردند به نواختن یک کوارتت... ایست، برادران، بس کنید! - میمون فریاد می زند، - صبر کن! موسیقی چگونه باید پیش برود؟ از این گذشته، شما آن‌طور نمی‌نشینید... و صندلی‌هایتان را این‌طرف و آن‌طرف عوض کردید - دوباره موسیقی خوب پیش نمی‌رود. حالا آنها بیشتر از همیشه بحث و دعوا دارند که چه کسی و چگونه بنشیند... از چند طریق می توان چهار نوازنده را نشست؟ P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

وظایف قرار دادن

مشکل: ما 5 کتاب داریم که فقط یک قفسه داریم و فقط می تواند 3 کتاب را در خود جای دهد. از چند طریق می توان 3 کتاب را در یک قفسه چید؟ ما یکی از 5 کتاب را انتخاب می کنیم و در وهله اول در قفسه قرار می دهیم. ما می توانیم این کار را به 5 روش انجام دهیم. حالا دو جا در قفسه باقی مانده است و ما 4 کتاب باقی مانده است. می توانیم کتاب دوم را به 4 روش انتخاب کنیم و در کنار یکی از 5 مورد اول ممکن قرار دهیم. می تواند 5·4 جفت از این قبیل وجود داشته باشد. 3 کتاب و یک مکان باقی مانده است. یک کتاب از 3 کتاب را می توان به 3 روش انتخاب کرد و در کنار یکی از 5·4 جفت ممکن قرار داد. شما 5·4·3 سه قلو مختلف دریافت می کنید. این به این معنی است که تعداد کل روش های قرار دادن 3 کتاب از 5 کتاب 5·4·3 = 60 است. این یک مشکل قرار دادن است.

آرایش n عنصر با k (k≤n) هر مجموعه ای متشکل از k عنصر است که به ترتیب معین از n عنصر داده شده گرفته شده است.

وظیفه. دانش آموزان کلاس دوم 9 درس را مطالعه می کنند. از چند طریق می توانید برنامه ای برای یک روز بسازید که شامل 4 موضوع مختلف باشد؟ A 4 9 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

خودتان تصمیم بگیرید: 27 دانش آموز در کلاس هستند. شما باید یک دانش آموز را بفرستید تا گچ بگیرد، دومی را برای انجام وظیفه در کافه تریا، و سومی را برای تماس با تخته سیاه بفرستید. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

مشکلات ترکیبی: مشکل. اگر آنها را از بین 5 کتاب غیرقابل تشخیص خارجی موجود انتخاب کنید، به چند روش می توان 3 جلد را در قفسه کتاب مرتب کرد؟ کتاب ها از نظر ظاهری قابل تشخیص نیستند. اما آنها متفاوت هستند، و به طور قابل توجهی! این کتاب ها از نظر محتوایی متفاوت هستند. زمانی پیش می‌آید که ترکیب عناصر نمونه مهم است، اما ترتیب چیدمان آنها بی‌اهمیت است. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 پاسخ: 10 این یک مشکل ترکیبی است

ترکیبی از n عنصر توسط k هر مجموعه ای است که از k عنصر انتخاب شده از n عنصر داده شده تشکیل شده باشد.

وظیفه. 7 نفر در کلاس هستند که ریاضیات را با موفقیت انجام می دهند. از چند طریق می توانید دو نفر از آنها را برای شرکت در المپیاد ریاضی انتخاب کنید؟ C 7 2 = = 21

خودتان تصمیم بگیرید: در کلاس 7 دانش آموزان در ریاضیات خوب عمل می کنند. از چند طریق می توان دو نفر از آنها را برای اعزام به المپیاد ریاضی انتخاب کرد؟

ویژگی خاص مسائل ترکیبی سؤالی است که می توان آن را طوری فرمول بندی کرد که با کلمات «از چند طریق...» یا «چند گزینه...» شروع شود.

جایگشت‌ها مکان‌ها ترکیب‌های n عنصر n سلول n عنصر k سلول n عنصر k سلول ترتیب مهم است ترتیب مهم نیست بیایید یک جدول بسازیم:

مشکلات را خودتان حل کنید: 1. 10 توپ سفید و 6 توپ سیاه در جعبه وجود دارد. به چند روش می توان یک توپ با هر رنگی را از یک جعبه بیرون آورد؟ 2. اولگا به یاد می آورد که شماره تلفن دوستش به سه شماره 5، 7، 8 ختم می شود، اما فراموش کرده است که این شماره ها به چه ترتیبی قرار دارند. بیشترین تعداد گزینه هایی را که او باید طی کند تا به دوستش برسد را مشخص کنید. 3. فروشگاه فیلاتلی 8 مجموعه تمبر مختلف را به تم های ورزشی می فروشد. به چند روش می توانید 3 مجموعه را از بین آنها انتخاب کنید؟

1 اسلاید

ما نیازی به استفاده از تیغ نداریم، ما به دنبال جلال بلند نیستیم. او برنده می شود که با هنر تفکر آشنا باشد، ظریف. وردزورث شاعر انگلیسی

2 اسلاید

مقدمه هدف کار اهداف کار "ترکیب" چیست؟ تاریخچه مبدأ قوانین حل مسائل ترکیبی قانون مجموع قانون محصول ترکیبات با تکرار بدون تکرار اصطلاحنامه فهرست ادبیات استفاده شده و منابع وب نتیجه گیری صفحه نویسنده

3 اسلاید

یک راهنمای مرجع برای دانش آموزان در کلاس های 10-11، تحصیل در سطح پایه، در موسسات آموزشی ایجاد کنید. قسمت اول یک پروژه بزرگ "نظریه احتمالات به عنوان رایج ترین پدیده در زندگی ما" را آماده کنید.

4 اسلاید

1.1 ادبیات و منابع وب را در مورد موضوع "ترکیب" انتخاب کنید. 1.2 تمام روش های ممکن برای حل مسائل ترکیبی بر اساس زندگی واقعی را بررسی کنید. 1.3 ردیابی تاریخچه شناسایی یک رشته مستقل از ریاضیات - ترکیبیات. 2.1 مطالعه درس ترکیبیات در دبیرستان را به عنوان یک ضرورت واقعی در اجرای درس اصل تداوم آموزش "مدرسه - دانشگاه" توجیه کنید. 2.2 گزینه های ممکن برای معرفی دوره ترکیبی در فضای آموزشی مدرسه را مشخص کنید. 2.3 موادی را برای ایجاد یک کتاب مرجع انتخاب کنید.

5 اسلاید

یک فرد اغلب مجبور است با مشکلاتی دست و پنجه نرم کند که در آنها باید تعداد همه راه های ممکن برای قرار دادن برخی اشیاء یا تعداد همه راه های ممکن برای انجام یک عمل را بشمارد. مسیرها یا گزینه‌های مختلفی که یک فرد باید انتخاب کند، ترکیب‌های بسیار متنوعی را تشکیل می‌دهد. چنین مشکلاتی باید در هنگام تعیین سودمندترین ارتباطات در یک شهر، هنگام سازماندهی یک سیستم کنترل خودکار، و بنابراین در تئوری احتمالات و در آمار ریاضی با همه کاربردهای متعدد آنها در نظر گرفته شوند. و یک شاخه کامل از ریاضیات، به نام ترکیبیات، مشغول جستجو برای پاسخ به سؤالات است: در یک مورد معین چند ترکیب وجود دارد؟

6 اسلاید

ترکیب شناسی شاخه ای از ریاضیات است که در آن مسائل انتخاب عناصر از مجموعه اولیه و چیدمان آنها در ترکیبی معین بر اساس قوانین داده شده مطالعه و حل می شود.

7 اسلاید

ترکیب شناسی به عنوان یک علم در قرن سیزدهم شروع به توسعه کرد. به موازات ظهور نظریه احتمال. اولین تحقیق علمی در این زمینه متعلق به دانشمندان ایتالیایی G. Cardano، N. Chartalier (1499-1557)، G. Galileo (1564-1642) و دانشمندان فرانسوی B. Piscamo (1623-1662) و P. Fermat بود. دانشمند آلمانی G. Leibniz اولین کسی بود که ترکیبات را به عنوان شاخه ای مستقل از ریاضیات در کار خود "در مورد هنر ترکیبیات" که در سال 1666 منتشر شد، در نظر گرفت. او همچنین برای اولین بار اصطلاح ترکیبی را ابداع کرد.

8 اسلاید

اسلاید 9

وظیفه: روی میز 3 مداد سیاه و 5 مداد قرمز وجود دارد. به چند روش می توان مداد هر رنگی را انتخاب کرد؟ راه حل: شما می توانید یک مداد از هر رنگی را به 5+3=8 روش انتخاب کنید. قانون جمع در ترکیبات: اگر عنصر a را بتوان به روش m و عنصر b را به n روش انتخاب کرد و هر انتخابی از عنصر a با هر انتخابی از عناصر در b متفاوت است، انتخاب "a یا b" را می توان به صورت انتخاب کرد. m + n راه. نمونه مشکلات

10 اسلاید

وظیفه: در یک کلاس، 10 دانش آموز ورزش می کنند، 6 دانش آموز باقی مانده در یک باشگاه رقص شرکت می کنند. 1) چند جفت دانش آموز را می توان انتخاب کرد تا یکی از آنها ورزشکار و دیگری رقصنده باشد؟ 2) یک دانش آموز چند انتخاب دارد؟ راه حل: 1) امکان انتخاب 10 ورزشکار و برای هر 10 ورزشکار 6 انتخاب رقصنده وجود دارد یعنی امکان انتخاب جفت رقصنده و ورزشکار 10·6=60 است. 2) امکان انتخاب یک دانش آموز 10+6=16.

11 اسلاید

مشکل: 3 جاده از شهر A به شهر B منتهی می شود. و از شهر B تا شهر C 4 جاده وجود دارد. چند مسیر از طریق B از A به C منتهی می شود؟ راه حل: می توانید به این صورت استدلال کنید: برای هر یک از سه مسیر از A به B، چهار راه برای انتخاب جاده از B به C وجود دارد. تعداد کل مسیرهای مختلف از A تا C برابر است با حاصلضرب 3·4. ، یعنی 12. قانون محصول: به شما اجازه می دهد k عناصر را انتخاب کنید. اگر عنصر اول را بتوان به n1 روش، دومی را به n2 روش و غیره انتخاب کرد، تعداد روش‌های k عنصر برابر است با حاصلضرب n1 · n2 ·... nк. نمونه مشکلات

12 اسلاید

مشکل: 2 دوره اول، 5 دوره دوم و 4 دوره سوم در غذاخوری مدرسه وجود دارد. دانش آموز از چند طریق می تواند ناهار شامل دوره های اول، دوم و سوم را انتخاب کند؟ راه حل: اولین ظرف را می توان به 2 روش انتخاب کرد. برای هر انتخاب رشته اول، 5 دوره دوم وجود دارد. دو ظرف اول را می توان به 2·5=10 روش انتخاب کرد. و در نهایت به ازای هر 10 مورد از این انتخاب ها، چهار امکان برای انتخاب دوره سوم وجود دارد، یعنی 2·5·4 روش برای تهیه یک غذای سه وعده وجود دارد. بنابراین، ناهار را می توان به 40 روش تهیه کرد.

اسلاید 13

اسلاید 14

15 اسلاید

آرایش n عنصر بر اساس k (k≤n) هر مجموعه ای است که از هر k عنصر تشکیل شده باشد که به ترتیب معین از n عنصر داده شده گرفته شده است. تعداد قرارگیری n عنصر با m نشان داده می شود: مثال هایی از مسائل n! – فاکتوریل عدد n

16 اسلاید

مشکل: 4 پسر به چند روش می توانند از هر شش دختر، چهار دختر را به رقص دعوت کنند؟ راه حل: دو پسر نمی توانند همزمان یک دختر را دعوت کنند. و گزینه هایی که در آن دختران مشابه با پسران مختلف می رقصند، متفاوت در نظر گرفته می شوند، بنابراین: 360 گزینه ممکن است.

اسلاید 17

جایگشت n عنصر هر آرایش این عناصر به ترتیب معینی است. تعداد همه جایگشت های n عنصر با Pn Pn=n نشان داده می شود! نمونه مشکلات

18 اسلاید

کوارتت Naughty Monkey خر، بز، بله، خرس پاچنبری شروع کردند به نواختن یک کوارتت... ایست، برادران، بس کنید! - میمون فریاد می زند، - صبر کن! موسیقی چگونه باید پیش برود؟ از این گذشته، شما آن‌طور نمی‌نشینید... و صندلی‌هایتان را این‌طرف و آن‌طرف عوض کردید - دوباره موسیقی خوب پیش نمی‌رود. حالا بیشتر از همیشه بحث و دعوا دارند که چه کسی و چگونه بنشیند... تصمیم

20 اسلاید

ترکیب بدون تکرار ترتیبی است که ترتیب عناصر در آن اهمیتی ندارد. بنابراین، تعداد گزینه ها در صورت ترکیب کمتر از تعداد مکان ها خواهد بود. تعداد ترکیبات n عنصر را با m نشان می دهند: مثال هایی از مسائل

21 اسلاید

مشکل: چند ترکیب سه دکمه روی یک قفل ترکیبی وجود دارد (هر سه دکمه به طور همزمان فشار داده می شوند) اگر فقط 10 رقم روی آن باشد. راه حل: از آنجایی که دکمه ها به طور همزمان فشار داده می شوند، انتخاب این سه دکمه ترکیبی است. از اینجا امکان پذیر است:

22 اسلاید

اغلب در مسائل ترکیبی مجموعه هایی وجود دارد که در آنها برخی از اجزاء تکرار می شوند. به عنوان مثال: در مسائل اعداد - اعداد. برای چنین مسائلی، از فرمول های زیر استفاده می شود: که در آن n تعداد همه عناصر است، n1،n2،…،nr تعداد عناصر یکسان است. نمونه هایی از وظایف نمونه هایی از وظایف نمونه هایی از وظایف

اسلاید 23

مسئله: از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟ راه حل: از آنجایی که ترتیب اعداد در یک عدد قابل توجه است، می توان اعداد را تکرار کرد، پس اینها قرارگیری با تکرار پنج عنصر در سه عدد خواهد بود و تعداد آنها برابر است با:

24 اسلاید

وظیفه: یک شیرینی فروشی 4 نوع کیک می فروخت: اکلر، شیرینی کوتاه، ناپلئون و شیرینی پفکی. از چند طریق می توانید 7 کیک بخرید؟ راه حل: خرید بستگی به ترتیب قرار دادن کیک های خریداری شده در جعبه ندارد. اگر در تعداد کیک های خریداری شده حداقل یک نوع متفاوت باشد، خریدها متفاوت خواهد بود. بنابراین، تعداد خریدهای مختلف برابر است با تعداد ترکیبات چهار نوع کیک، هر کدام هفت عدد -

اسلاید 27

ما معتقدیم که کار به اهداف خود رسید. ما کتاب درسی مرجعی را گردآوری کرده ایم که هدف آن نشاط بخشیدن به ریاضیات مدرسه با ارائه مسائل جالبی است که سؤالات نظری را برای دانش آموزان ایجاد می کند. این کار برای دانش آموزان کلاس های 10-11، تحصیل در سطح پایه، موسسات آموزشی برای تعمیق دانش در ریاضیات در نظر گرفته شده است.ویژگی های متمایز این راهنما عبارتند از: بخش نظری قابل اجرا برای دانش آموزان مرحله سوم. انتخاب و جمع آوری وظایف بر اساس مواد زندگی و توطئه های افسانه. ما امیدواریم که کار ما دانش آموزان را مورد علاقه قرار دهد، به توسعه افق و تفکر آنها کمک کند و به آمادگی بهتر برای قبولی در آزمون یکپارچه دولتی کمک کند.

28 اسلاید

دانش آموز: دیمیتری زاخاروف کلاس: 10 رئیس: موسسه آموزشی شهری توروپووا نینا آناتولیونا "مدرسه متوسطه آموزشی با مطالعه عمیق موضوعات فردی شماره 5"، کراسنویارسک

عناصر ترکیبیات پایه های 9 تا 11،معلم دبیرستان MBOU Kochnevskaya گریازنووا A.K.سوالات اصلی:

ترکیبیات چیست؟

چه مشکلاتی ترکیبی در نظر گرفته می شوند؟

بازآرایی ها
جایگذاری ها
ترکیبات

بیایید بحث نکنیم - بیایید محاسبه کنیم. جی. لایبنیتس

ترکیبیات- شاخه ای از ریاضیات که به مسائل شمارش تعداد ترکیب های ساخته شده بر اساس قوانین خاص می پردازد.

II. چه مشکلاتی ترکیبی در نظر گرفته می شوند؟مسائل ترکیبی مسائل شمارش تعداد ترکیبات از تعداد محدودی از عناصر

ترکیبیات– از کلمه لاتین ترکیب کردن،که به معنای "اتصال، ترکیب کردن" است.
روش های ترکیبیبه طور گسترده در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، اقتصاد و سایر زمینه های دانش استفاده می شود.
ترکیبیاترا می توان به عنوان بخشی از نظریه مجموعه ها در نظر گرفت - هر مسئله ترکیبی را می توان به مسئله ای در مورد مجموعه های محدود و نگاشت آنها تقلیل داد.

I. سطوح حل مسائل ترکیبی 1. سطح اول. وظیفه یافتن حداقل یک راه حل، حداقل یک آرایش از اشیاء با ویژگی های داده شده، یافتن چنین آرایش ده نقطه ای در پنج بخش است که در آن چهار نقطه در هر بخش وجود دارد. - چنین ترتیبی از هشت ملکه روی یک صفحه شطرنج که در آن آنها یکدیگر را شکست نمی دهند. گاهی اوقات می توان ثابت کرد که این مشکل راه حلی ندارد (مثلاً نمی توان 10 توپ را در 9 کوزه ترتیب داد تا هر کوزه بیش از یک توپ نداشته باشد - حداقل یک گلدان حداقل شامل دو توپ باشد). 2. مرحله دوم. 2. مرحله دوم. اگر یک مسئله ترکیبی چندین راه حل داشته باشد، این سؤال مطرح می شود که تعداد این راه حل ها را بشماریم و همه راه حل های این مسئله را توصیف کنیم.

3. سطح سوم.

بهینه

مثلا:

یک مسافر می خواهد شهر A را ترک کند، از شهرهای B، C و D بازدید کند و سپس به شهر A بازگردد.

در شکل نموداری از مسیرهای اتصال این شهرها را نشان می دهد. گزینه های مختلف سفر از نظر ترتیب بازدید از شهرهای B، C و D با یکدیگر متفاوت هستند. شش گزینه سفر وجود دارد. جدول گزینه ها و طول هر مسیر را نشان می دهد:

مسائل بهینه‌سازی ترکیبی باید توسط یک سرکارگر که برای سریع‌ترین تکمیل یک کار تلاش می‌کند، یک زراعی که برای بالاترین عملکرد در مزارع معین تلاش می‌کند و غیره حل شود.

ما فقط مسائل مربوط به شمارش تعداد راه حل های یک مسئله ترکیبی را در نظر خواهیم گرفت.

ما فقط مسائل مربوط به شمارش تعداد راه حل های یک مسئله ترکیبی را در نظر خواهیم گرفت.

نظریه شمارش

قوانین جمع و محصول

1. چند کوکتل مختلف را می توان از چهار نوشیدنی تهیه کرد و آنها را به مقدار مساوی دو تا مخلوط کرد؟
AB، AC، AD، BC، BD، CD - در مجموع 6 کوکتل

2. از ارقام 0، 1، 2، 3 چند عدد دو رقمی مختلف می توان ساخت؟

2. از ارقام 0، 1، 2، 3 چند عدد دو رقمی مختلف می توان ساخت؟
رقم اول رقم دوم

قانون محصول:

اگر عنصر A را بتوان از میان مجموعه‌ای از عناصر به n روش انتخاب کرد و برای هر انتخابی عنصر B را می‌توان به روش t انتخاب کرد، آن‌گاه دو عنصر (جفت) A و B را می‌توان به n روش انتخاب کرد.

"نمونه هایی از حل مسائل ترکیبی: شمارش گزینه ها، قانون جمع، قانون ضرب."

4 شرکت کننده در مسابقه نهایی را به چند روش می توان روی چهار تردمیل قرار داد؟

آر n = 4 3 2 1 = 24 راه (جایگشت 4 عنصر)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 آهنگ

II. جایگشت (1) K v a r t e tمیمون شیطون، الاغ، بز و خرس چمبی پا شروع به نواختن یک کوارتت کردند. ……………………………………………………. آنها به کمان می زنند، می جنگند، اما فایده ای ندارد. «ایست، برادران، بس کنید! - میمون فریاد می زند. - صبر کن! موسیقی چگونه باید پیش برود؟ بالاخره تو اینطوری نمی نشینی.»

4·3·2·1 = 4! راه ها

II. جایگشت (2)

جایگشت از پ- عناصر ترکیباتی هستند که فقط در ترتیب عناصر با یکدیگر تفاوت دارند
Pn - تعداد جایگشت ها (P حرف اول کلمه فرانسوی permutation - جایگشت است)

Рп= n

محل اقامت (1)

چهار همسفر تصمیم به تعویض کارت ویزیت گرفتند. در کل چند کارت استفاده شده است؟

ترکیبات ساخته شده از کعناصر برگرفته از nعناصری که از نظر ترکیب یا ترتیب چیدمان عناصر با یکدیگر تفاوت دارند نامیده می شوند قرار دادن از nعناصر توسط ک(0< k ≤n ).

اسکان از nعناصر توسط کعناصر. و حرف اول

کلمه فرانسوی ترتیب: "تعیین سطح"،

"قرار دادن کارها"

محل اقامت (2)

4 توپ خالی و 3 سلول خالی وجود دارد. بیایید توپ ها را با حروف مشخص کنیم آ ب پ ت.سه توپ از این مجموعه را می توان به روش های مختلف در سلول های خالی قرار داد.
با انتخاب متفاوت توپ اول، دوم و سوم، متفاوت خواهیم بود سفارش داده شدهسه توپ
هر یک سفارش داده شدهسه گانه ای که می تواند از چهار عنصر تشکیل شود نامیده می شود تعیین سطح از چهار عنصر، هر کدام سه

محل اقامت (3)

از 4 عنصر چند جا می توان ایجاد کرد ( آ ب پ ت) سه؟
abc abd acb acd adb adc
bac بد bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd cda cdb
dab dac dba dbc dca dcb

قرار شد گزینه ها بررسی شود

محل اقامت (4)

شما می توانید این را بدون نوشتن خود مکان ها حل کنید:
اولین یک عنصر را می توان به چهار روش انتخاب کرد، بنابراین می تواند هر عنصر از چهار راه باشد.
برای هر اول دومین به سه روش قابل انتخاب است.
برای هر دو نفر اول دو راه برای انتخاب وجود دارد سوم عنصر از دو باقی مانده

ما گرفتیم

با استفاده از قانون ضرب حل می شود

ترکیبات

ترکیبی از پعناصر توسط کهر مجموعه ای از کعناصر انتخاب شده از پعناصر

بر خلاف قرار دادن در ترکیب ترتیب عناصر مهم نیست. دو ترکیب حداقل در یک عنصر با یکدیگر متفاوت هستند

حل مسایل: 1. 5 نقطه در هواپیما مشخص شده است. اگر نقاط را جفت به هم وصل کنید چند قطعه خواهد بود؟

2. روی دایره مشخص شده است پنکته ها. چند مثلث با رئوس در این نقاط وجود دارد؟

منابع اطلاعاتی

V.F. Butuzov، Yu.M. Kolyagin، G.L. لوکانکین، E.G. پوزنیاک و دیگران. کتاب درسی "ریاضیات" برای موسسات آموزشی کلاس یازدهم / توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه / M.، Prosveshchenie، 1996.
E.A. بونیموویچ، V.A. Bulychev: "احتمال و آمار"، کتابچه راهنمای موسسات آموزش عمومی کلاس های 5 تا 9 / تایید شده توسط وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه // Bustard Moscow 2002
یو.ن. Makarychev، N.G. Mindyuk "جبر: عناصر آمار و نظریه احتمال، نمرات 7-9" ویرایش شده توسط S.A. Telyakovsky M: Prosveshchenie، 2006
مثلثها http://works.doklad.ru/images/_E3ZV-_wFwU/md87b96f.gif

بقیه نقاشی ها توسط A.K. Gryaznova ایجاد شده است.