अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण हैं। एक रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण एक रेखा के विहित समीकरण कैसे लिखें

अंतरिक्ष में एक रेखा के समीकरणों के प्रकारों में से एक विहित समीकरण है। हम इस अवधारणा पर विस्तार से विचार करेंगे, क्योंकि कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इसे जानना आवश्यक है।

पहले पैराग्राफ में, हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित एक सीधी रेखा के बुनियादी समीकरण तैयार करेंगे और कई उदाहरण देंगे। आगे, हम दिए गए विहित समीकरणों के लिए दिशा वेक्टर के निर्देशांक की गणना करने और व्युत्क्रम समस्या को हल करने के तरीके दिखाएंगे। तीसरे भाग में हम आपको बताएंगे कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के लिए समीकरण कैसे बनाया जाए, और अंतिम पैराग्राफ में हम विहित समीकरणों और अन्य के बीच संबंध को इंगित करेंगे। सभी तर्कों को समस्या समाधान के उदाहरणों के साथ चित्रित किया जाएगा।

एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरणों को समर्पित लेख में हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि एक सीधी रेखा के विहित समीकरण सामान्य रूप से क्या होते हैं। हम सादृश्य द्वारा त्रि-आयामी अंतरिक्ष के साथ मामले का विश्लेषण करेंगे।

मान लीजिए कि हमारे पास एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें एक सीधी रेखा दी गई है। जैसा कि हमें याद है, आप एक सीधी रेखा को विभिन्न तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं। आइए उनमें से सबसे सरल का उपयोग करें - वह बिंदु निर्धारित करें जिसके माध्यम से रेखा गुजरेगी, और दिशा वेक्टर को इंगित करें। यदि हम एक रेखा को अक्षर a से और एक बिंदु को M से निरूपित करते हैं, तो हम लिख सकते हैं कि M 1 (x 1, y 1, z 1) रेखा a पर स्थित है और इस रेखा का दिशा सदिश a → = (a x) होगा , ए वाई, ए जेड). एक सीधी रेखा a को परिभाषित करने के लिए बिंदु M (x, y, z) के सेट के लिए, सदिश M 1 M → और a → संरेख होने चाहिए,

यदि हम सदिश M 1 M → और a → के निर्देशांक जानते हैं, तो हम उनकी संरेखता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त को निर्देशांक रूप में लिख सकते हैं। प्रारंभिक स्थितियों से हम निर्देशांक a → पहले से ही जानते हैं। निर्देशांक M 1 M → प्राप्त करने के लिए, हमें M (x, y, z) और M 1 (x 1, y 1, z 1) के बीच अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। आइए लिखें:

एम 1 एम → = एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1, जेड - जेड 1

इसके बाद, हम अपनी आवश्यक शर्त इस प्रकार बना सकते हैं: M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 और a → = (a x , a y , a z) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z

यहां चर का मान कोई भी वास्तविक संख्या या शून्य हो सकता है। यदि λ = 0, तो M (x, y, z) और M 1 (x 1, y 1, z 1) संपाती होंगे, जो हमारे तर्क का खंडन नहीं करता है।

मान a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0 के लिए, हम पैरामीटर λ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ के संबंध में सिस्टम के सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं। · ए ज़ेड

इसके बाद दाहिनी ओर के बीच बराबर का चिन्ह लगाना संभव होगा:

x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a z - z 1 = λ · a z ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z प्राप्त हुआ, जिसकी सहायता से हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वांछित रेखा निर्धारित कर सकते हैं। ये वे विहित समीकरण हैं जिनकी हमें आवश्यकता है।

इस नोटेशन का उपयोग तब भी किया जाता है जब एक या दो पैरामीटर a x , a y , a z शून्य हों, क्योंकि इन मामलों में यह भी सही होगा। सभी तीन पैरामीटर 0 के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि दिशा वेक्टर a → = (a x, a y, a z) कभी भी शून्य नहीं होता है।

यदि एक या दो पैरामीटर a 0 के बराबर हैं, तो समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z सशर्त है। इसे निम्नलिखित प्रविष्टि के बराबर माना जाना चाहिए:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

हम लेख के तीसरे पैराग्राफ में विहित समीकरणों के विशेष मामलों का विश्लेषण करेंगे।

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरण की परिभाषा से कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। आइए उन पर नजर डालें.

1) यदि मूल रेखा दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) से होकर गुजरती है, तो विहित समीकरण निम्नलिखित रूप लेंगे:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z या x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z।

2) चूँकि a → = (a x , a y , a z) मूल रेखा का दिशा सदिश है, तो सभी सदिश μ · a → = μ · a x , μ · a y , μ · a z , μ ∈ R , μ ≠ 0 । फिर सीधी रेखा को समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z या x - x 1 μ · a x = y - y 1 μ · a y = z - z 1 μ का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। ए जेड .

यहां दिए गए मानों के साथ ऐसे समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1 उदाहरण 2

अंतरिक्ष में एक रेखा का विहित समीकरण कैसे बनाएं

हमने पाया कि x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण बिंदु M 1 (x 1 , y 1 , z 1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुरूप होंगे। वेक्टर a → = ( ​​a x , a y , a z) इसके लिए एक मार्गदर्शक होगा। इसका मतलब यह है कि यदि हम किसी रेखा के समीकरण को जानते हैं, तो हम उसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं, और वेक्टर के दिए गए निर्देशांक और रेखा पर स्थित कुछ बिंदु को देखते हुए, हम इसके विहित समीकरण लिख सकते हैं।

आइए कुछ विशिष्ट समस्याओं पर नजर डालें।

उदाहरण 3

हमारे पास समीकरण x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 का उपयोग करके त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित एक रेखा है। इसके लिए सभी दिशा सदिशों के निर्देशांक लिखिए।

समाधान

दिशा वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, हमें केवल समीकरण से हर का मान लेने की आवश्यकता है। हम पाते हैं कि दिशा सदिशों में से एक a → = (4, 2, - 5) होगा, और ऐसे सभी सदिशों का समुच्चय μ · a → = 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ के रूप में तैयार किया जा सकता है . यहां पैरामीटर μ कोई वास्तविक संख्या है (शून्य को छोड़कर)।

उत्तर: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0

उदाहरण 4

यदि अंतरिक्ष में एक रेखा एम 1 (0, - 3, 2) से होकर गुजरती है और निर्देशांक - 1, 0, 5 के साथ एक दिशा वेक्टर है, तो विहित समीकरण लिखें।

समाधान

हमारे पास डेटा है कि x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5। यह विहित समीकरण लिखने के लिए तुरंत आगे बढ़ने के लिए काफी है।

चलो यह करते हैं:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड ⇔ एक्स - 0 - 1 = वाई - (- 3) 0 = जेड - 2 5 ⇔ ⇔ एक्स - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 2 5

उत्तर:एक्स - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 2 5

ये समस्याएँ सबसे सरल हैं क्योंकि इनमें समीकरण या वेक्टर निर्देशांक लिखने के लिए सभी या लगभग सभी प्रारंभिक डेटा हैं। व्यवहार में, आप अक्सर वे पा सकते हैं जिनमें आपको पहले आवश्यक निर्देशांक खोजने की आवश्यकता होती है, और फिर विहित समीकरण लिखने होते हैं। हमने लेखों में ऐसी समस्याओं के उदाहरणों का विश्लेषण किया है जो किसी दिए गए बिंदु के समानांतर अंतरिक्ष में एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरणों को खोजने के साथ-साथ एक विमान के लंबवत अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरणों को खोजने के लिए समर्पित हैं।

हम पहले ही कह चुके हैं कि समीकरणों में पैरामीटर a x, a y, a z के एक या दो मान शून्य मान हो सकते हैं। इस मामले में, अंकन x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ औपचारिक हो जाता है, क्योंकि हमें शून्य हर वाले एक या दो भिन्न मिलते हैं। इसे निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है (λ ∈ R के लिए):

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

आइए इन मामलों पर अधिक विस्तार से विचार करें। आइए मान लें कि a x = 0, a y ≠ 0, a z ≠ 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0, या a x ≠ 0, a y ≠ 0, a z = 0. इस मामले में, हम आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं:

1. पहले मामले में:
   x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ

दूसरे मामले में:
एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 0 = जेड - जेड 1 ए जेड = λ ⇔ एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई - वाई 1 = 0 जेड = जेड 1 + ए जेड · λ ⇔ वाई - वाई 1 = 0 एक्स - x 1 a x = z - z 1 a z = λ

तीसरे मामले में:
एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 0 = λ ⇔ एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई = वाई 1 + ए वाई · λ जेड - जेड 1 = 0 ⇔ जेड - जेड 1 = 0 एक्स - x 1 a x = y - y 1 a y = λ

यह पता चलता है कि मापदंडों के इस मान के साथ, आवश्यक सीधी रेखाएं विमानों x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 या z - z 1 = 0 में स्थित हैं, जो समन्वय विमानों के समानांतर स्थित हैं ( यदि x 1 = 0, y 1 = 0 या z 1 = 0)। ऐसी पंक्तियों के उदाहरण चित्रण में दिखाए गए हैं।

इसलिए, हम विहित समीकरणों को थोड़ा अलग ढंग से लिख सकते हैं।

1. पहले मामले में: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ , λ ∈ R
2. दूसरे में: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ , λ ∈ R z - z 1 = 0
3. तीसरे में: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

तीनों मामलों में, मूल सीधी रेखाएं निर्देशांक अक्षों के साथ संपाती होंगी या उनके समानांतर होंगी: x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0. उनके दिशा सदिशों के निर्देशांक 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0 हैं। यदि हम निर्देशांक रेखाओं के दिशा सदिशों को i → , j → , k → के रूप में निरूपित करते हैं, तो दी गई रेखाओं के दिशा सदिश उनके संबंध में संरेख होंगे। यह आंकड़ा इन मामलों को दर्शाता है:

आइए उदाहरणों से दिखाएं कि ये नियम कैसे लागू होते हैं।

उदाहरण 5

वे विहित समीकरण खोजें जिनका उपयोग अंतरिक्ष में निर्देशांक रेखाओं O z, O x, O y को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

समाधान

निर्देशांक सदिश i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) मूल सीधी रेखाओं के लिए मार्गदर्शक होंगे। हम यह भी जानते हैं कि हमारी रेखाएँ निश्चित रूप से बिंदु O (0, 0, 0) से होकर गुजरेंगी, क्योंकि यह निर्देशांक का मूल बिंदु है। अब हमारे पास आवश्यक विहित समीकरण लिखने के लिए सारा डेटा है।

सीधी रेखा O x के लिए: x 1 = y 0 = z 0

सीधी रेखा O y के लिए: x 0 = y 1 = z 0

सीधी रेखा O z के लिए: x 0 = y 0 = z 1

उत्तर:एक्स 1 = वाई 0 = जेड 0, एक्स 0 = वाई 1 = जेड 0, एक्स 0 = वाई 0 = जेड 1।

उदाहरण 6

अंतरिक्ष में एक रेखा दी गई है जो बिंदु M 1 (3, - 1, 12) से होकर गुजरती है। यह भी ज्ञात है कि यह कोटि अक्ष के समानांतर स्थित है। इस पंक्ति के विहित समीकरण लिखिए।

समाधान

समांतरता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम कह सकते हैं कि वेक्टर j → = 0, 1, 0 वांछित सीधी रेखा के लिए एक मार्गदर्शक होगा। इसलिए, आवश्यक समीकरण इस प्रकार दिखेंगे:

एक्स - 3 0 = वाई - (- 1) 1 = जेड - 12 0 ⇔ एक्स - 3 0 = वाई + 1 1 = जेड - 12 0

उत्तर:एक्स - 3 0 = वाई + 1 1 = जेड - 12 0

आइए मान लें कि हमारे पास दो अपसारी बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) हैं, जिनसे होकर एक सीधी रेखा गुजरती है। तो फिर, हम इसके लिए एक विहित समीकरण कैसे बना सकते हैं?

आरंभ करने के लिए, आइए इस रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में वेक्टर M 1 M 2 → (या M 2 M 1 →) लें। चूँकि हमारे पास आवश्यक बिंदुओं के निर्देशांक हैं, हम तुरंत वेक्टर के निर्देशांक की गणना करते हैं:

एम 1 एम 2 → = एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1, जेड 2 - जेड 1

एक्स - एक्स 1 एक्स 2 - एक्स 1 = वाई - वाई 1 वाई 2 - वाई 1 = जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1 एक्स - एक्स 2 एक्स 2 - एक्स 1 = वाई - वाई 2 वाई 2 - वाई 1 = जेड - z 2 z 2 - z 1

परिणामी समानताएं दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा के विहित समीकरण हैं। दृष्टांत पर एक नज़र डालें:

आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 7

अंतरिक्ष में निर्देशांक M 1 (- 2, 4, 1) और M 2 (- 3, 2, - 5) वाले दो बिंदु हैं, जिनसे होकर एक सीधी रेखा गुजरती है। इसके लिए विहित समीकरण लिखिए।

समाधान

शर्तों के अनुसार, x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5. हमें इन मानों को विहित समीकरण में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

एक्स - (- 2) - 3 - (- 2) = वाई - (- 4) 2 - (- 4) = जेड - 1 - 5 - 1 ⇔ एक्स + 2 - 1 = वाई + 4 6 = जेड - 1 - 6

यदि हम x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 के रूप के समीकरण लेते हैं, तो हमें मिलता है: x - (- 3) - 3 - (- 2) = वाई - 2 2 - (- 4) = जेड - (- 5) - 5 - 1 ⇔ एक्स + 3 - 1 = वाई - 2 6 = जेड + 5 - 6

उत्तर: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 या x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरणों का अन्य प्रकार के समीकरणों में परिवर्तन

कभी-कभी x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z रूप के विहित समीकरणों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक नहीं होता है। कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, अंकन x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ का उपयोग करना बेहतर है। कुछ मामलों में, दो प्रतिच्छेदी तलों A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 के समीकरणों का उपयोग करके वांछित रेखा निर्धारित करना अधिक बेहतर होता है। = 0. इसलिए, इस अनुच्छेद में हम विश्लेषण करेंगे कि हम विहित समीकरणों से अन्य प्रकारों की ओर कैसे बढ़ सकते हैं, यदि समस्या की स्थितियों के लिए यह आवश्यक है।

पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण के नियमों को समझना कठिन नहीं है। सबसे पहले, हम समीकरण के प्रत्येक भाग को पैरामीटर λ के बराबर करते हैं और अन्य चर के संबंध में इन समीकरणों को हल करते हैं। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड ⇔ एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड ⇔ ⇔ एक्स - एक्स 1 ए एक्स = λ वाई - वाई 1 ए वाई = λ z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

पैरामीटर λ का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि x, y, z कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।

उदाहरण 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा दी गई है, जिसे समीकरण x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। विहित समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखें।

समाधान

सबसे पहले, हम भिन्न के प्रत्येक भाग को λ के बराबर करते हैं।

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​​​7 0 = λ

अब हम पहले भाग को x के संबंध में, दूसरे को - y के संबंध में, तीसरे - z के संबंध में हल करते हैं। हमें मिल जाएगा:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​​​7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ जेड = - 7

उत्तर: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

हमारा अगला कदम विहित समीकरणों को दो प्रतिच्छेदी तलों (एक ही रेखा के लिए) के समीकरण में बदलना होगा।

समानता x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z को पहले समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाना चाहिए:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई एक्स - एक्स 1 ए एक्स = जेड - जेड 1 ए एक्स वाई - वाई 1 ए वाई = जेड - जेड 1 ए जेड

चूँकि हम p q = r s को p · s = q · r के रूप में समझते हैं, हम लिख सकते हैं:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a z y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a z · ( x - x 1) = a x · (z - z 1) a z · (y - y 1) = a y · (z - z 1) ⇔ ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

परिणामस्वरूप, हमें यह मिला:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0 a z x - a x z + a x z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

हमने ऊपर देखा कि सभी तीन पैरामीटर एक ही समय में शून्य नहीं हो सकते। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 के बराबर होगी, क्योंकि a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 और दूसरे क्रम के निर्धारकों में से एक 0 के बराबर नहीं है:

a y - a x a z 0 = a x · a z , a y 0 a z - a x = a x · a y , - a x 0 0 - a x = a x 2 a y - a x 0 a z = a y · a z , a y 0 0 - a y = - a y 2 , - a x 0 a z - a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2 , a z - a x 0 - a y = - a y · a z , 0 - a x a z - a y = a x · a z

इससे हमें अपनी गणना से एक समीकरण को हटाने का अवसर मिलता है। इस प्रकार, विहित सीधी रेखा समीकरणों को दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें 3 अज्ञात होंगे। वे दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण होंगे जिनकी हमें आवश्यकता है।

तर्क काफी जटिल लगता है, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत जल्दी हो जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से प्रदर्शित करें।

उदाहरण 9

सीधी रेखा विहित समीकरण x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 द्वारा दी गई है। इसके लिए प्रतिच्छेदी तलों का समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए भिन्नों के जोड़ीवार समीकरण से प्रारंभ करें।

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 1) = 2 y 0 · (x - 1) = 2 · (z + 2) 0 · y = 0 · (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

अब हम अंतिम समीकरण को गणना से बाहर कर देते हैं, क्योंकि यह किसी भी x, y और z के लिए सत्य होगा। इस स्थिति में, x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

ये दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण हैं, जो प्रतिच्छेद करते समय समीकरण x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा बनाते हैं।

उत्तर: y = 0 z + 2 = 0

उदाहरण 10

रेखा समीकरण x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 द्वारा दी गई है, इस रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करने वाले दो तलों का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान

भिन्नों को जोड़ियों में बराबर करें।

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 · ( x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

हम पाते हैं कि परिणामी प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के बराबर होगा:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 · 1 = 0

दूसरे क्रम का लघु शून्य नहीं होगा: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. तब हम इसे बुनियादी गौण के रूप में स्वीकार कर सकते हैं।

परिणामस्वरूप, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक की गणना कर सकते हैं x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0. यह 2 होगा। हम गणना से तीसरे समीकरण को बाहर करते हैं और प्राप्त करते हैं:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

उत्तर: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

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आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में परिभाषित रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें .

समाधान।

आइए हम समीकरणों की प्रणाली को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार माइनर के रूप में, हम दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य माइनर लेते हैं , अर्थात्, z एक स्वतंत्र अज्ञात चर है। आइए z वाले पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ:।

आइए हम स्वीकार करें कि एक मनमाना वास्तविक संख्या कहां है।

आइए समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें:

इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान रूप है , जहाँ .

यदि हम पैरामीटर का एक विशिष्ट मान लेते हैं, तो हमें समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान मिलता है, जो हमें किसी दी गई रेखा पर स्थित बिंदु के वांछित निर्देशांक देता है। चलो फिर ले लेते हैं इसलिए, रेखा का वांछित बिंदु है।

आप किसी बिंदु के पाए गए निर्देशांकों को दो प्रतिच्छेदी तलों के मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करके जांच सकते हैं:

उत्तर:

उस रेखा का दिशा सदिश जिसके अनुदिश दो तल प्रतिच्छेद करते हैं।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर एक सीधी रेखा से अविभाज्य है। जब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सीधी रेखा ए दो प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों द्वारा दी जाती है और, तो सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक दिखाई नहीं देते हैं। अब हम दिखाएंगे कि उन्हें कैसे निर्धारित किया जाए।

हम जानते हैं कि एक रेखा किसी तल पर लंबवत होती है जब वह उस तल में पड़ी किसी भी रेखा पर लंबवत होती है। तब किसी समतल का सामान्य सदिश इस तल में पड़े किसी भी गैर-शून्य सदिश के लंबवत होता है। हम इन तथ्यों का उपयोग रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करने के लिए करेंगे।

सीधी रेखा a समतल और तल दोनों में स्थित है। इसलिए, रेखा a का दिशा वेक्टर सामान्य वेक्टर के लंबवत है समतल, और सामान्य वेक्टर विमान इस प्रकार, सीधी रेखा a का दिशा सदिश है और :

एक सीधी रेखा के सभी दिशा सदिशों का समुच्चय और हम इसे इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं , एक ऐसा पैरामीटर कहां है जो शून्य के अलावा कोई भी वास्तविक मान ले सकता है।

उदाहरण।

एक सीधी रेखा के किसी भी दिशा वेक्टर के निर्देशांक खोजें, जो दो प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों द्वारा त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऑक्सीज़ आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट है .

समाधान।

समतलों के सामान्य सदिश सदिश होते हैं और क्रमश। एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर, जो दो दिए गए विमानों का प्रतिच्छेदन है, सामान्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद है:

उत्तर:

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक और विहित समीकरणों में संक्रमण।

ऐसे मामले हैं जिनमें एक सीधी रेखा का वर्णन करने के लिए दो प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों का उपयोग करना पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं है। यदि अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ज्ञात हों तो कुछ समस्याओं को हल करना आसान हो जाता है: या प्रपत्र के स्थान में एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण , जहां x 1 , y 1 , z 1 रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक हैं, a x , a y , a z रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक हैं, और एक पैरामीटर है जो मनमाना वास्तविक मान लेता है। आइए प्रपत्र के रैखिक समीकरणों से संक्रमण की प्रक्रिया का वर्णन करें अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरणों के लिए।

पिछले पैराग्राफ में, हमने एक रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक, साथ ही एक रेखा के एक निश्चित दिशा वेक्टर के निर्देशांक ढूंढना सीखा, जो दो प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों द्वारा दिया जाता है। यह डेटा अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इस रेखा के विहित और पैरामीट्रिक दोनों समीकरणों को लिखने के लिए पर्याप्त है।

आइए उदाहरण के समाधान पर विचार करें, और उसके बाद हम अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण खोजने का एक और तरीका दिखाएंगे।

उदाहरण।

समाधान।

आइए सबसे पहले सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम सामान्य सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं और विमान और :

वह है, ।

आइए अब किसी दी गई रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली का एक समाधान ढूंढेंगे .

सिद्ध शून्य से भिन्न है, आइए इसे सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार माइनर के रूप में लें। तब चर z मुफ़्त है, हम इसके साथ पदों को समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और चर z को एक मनमाना मान देते हैं:

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:

इस तरह,

हम स्वीकार करते हैं, और हम रेखा पर बिंदु के निर्देशांक प्राप्त करते हैं: .

अब हम अंतरिक्ष में मूल रेखा के आवश्यक विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिख सकते हैं:

उत्तर:

और

इस समस्या को हल करने का दूसरा तरीका यहां दिया गया है।

किसी रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते समय, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं . सामान्यतः इसके समाधान प्रपत्र में लिखे जा सकते हैं .

और ये बिल्कुल अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण हैं। यदि प्रत्येक परिणामी समीकरण को एक पैरामीटर के संबंध में हल किया जाता है और फिर समानता के दाहिने हाथ को बराबर किया जाता है, तो हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं

आइए इस पद्धति का उपयोग करके पिछली समस्या का समाधान दिखाएं।

उदाहरण।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा दो प्रतिच्छेदी विमानों के समीकरणों द्वारा परिभाषित की जाती है . इस पंक्ति के लिए विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिखें।

समाधान।

हम दो समीकरणों की इस प्रणाली को तीन अज्ञात के साथ हल करते हैं (समाधान पिछले उदाहरण में दिया गया है, हम इसे नहीं दोहराएंगे)। इस मामले में हमें मिलता है . ये अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के वांछित पैरामीट्रिक समीकरण हैं।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करना बाकी है:

परिणामी सीधी रेखा समीकरण पिछले उदाहरण में प्राप्त समीकरणों से बाह्य रूप से भिन्न हैं, लेकिन वे समतुल्य हैं, क्योंकि वे त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के समान सेट को परिभाषित करते हैं (और इसलिए वही सीधी रेखा)।

उत्तर:

और

ग्रंथ सूची.

• बुग्रोव हां.एस., निकोल्स्की एस.एम. उच्च गणित. खंड एक: रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व।
• इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

अंतरिक्ष में सीधी रेखा के समीकरण कैसे लिखें?

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण

"सपाट" रेखा के समान, ऐसे कई तरीके हैं जिनसे हम अंतरिक्ष में एक रेखा को परिभाषित कर सकते हैं। आइए कैनन से शुरू करें - बिंदु और रेखा का निर्देशन वेक्टर:

यदि किसी रेखा से संबंधित अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु और इस रेखा के दिशा वेक्टर ज्ञात हैं, तो इस रेखा के विहित समीकरण सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं:

उपरोक्त नोटेशन मानता है कि दिशा वेक्टर के निर्देशांक शून्य के बराबर नहीं. हम थोड़ी देर बाद देखेंगे कि यदि एक या दो निर्देशांक शून्य हों तो क्या करना चाहिए।

लेख में जैसा ही है समतल समीकरण, सरलता के लिए हम मान लेंगे कि पाठ की सभी समस्याओं में, क्रियाएँ स्थान के लंबात्मक आधार पर की जाती हैं।

उदाहरण 1

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दी गई रेखा के विहित समीकरण बनाएं

समाधान: हम सूत्र का उपयोग करके रेखा के विहित समीकरण बनाते हैं:

उत्तर:

और यह बिल्कुल भी बिना सोचे समझे चलने वाली बात है... हालाँकि, नहीं, यह बिल्कुल भी बिना सोचे समझे चलने वाली बात है।

आपको इस अत्यंत सरल उदाहरण के बारे में क्या ध्यान देना चाहिए? सबसे पहले, परिणामी समीकरणों को एक से कम करने की आवश्यकता नहीं है: . अधिक सटीक होने के लिए, इसे छोटा करना संभव है, लेकिन यह असामान्य रूप से आंखों को नुकसान पहुंचाता है और समस्याओं को हल करते समय असुविधा पैदा करता है।

और दूसरी बात, विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दो चीजें अपरिहार्य हैं - सत्यापन और परीक्षण:

बस मामले में, हम समीकरणों के हरों को देखते हैं और जाँचते हैं - क्या यह सही हैदिशा वेक्टर के निर्देशांक वहां लिखे गए हैं। नहीं, इसके बारे में मत सोचो, हम ब्रेक किंडरगार्टन में कोई पाठ नहीं कर रहे हैं। यह सलाह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आपको अनजाने में हुई गलतियों को पूरी तरह से खत्म करने की अनुमति देती है। किसी का बीमा नहीं किया गया है, अगर उन्होंने इसे गलत तरीके से कॉपी किया तो क्या होगा? ज्यामिति में डार्विन पुरस्कार से सम्मानित किया जाएगा।

सही समानताएँ प्राप्त होती हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु के निर्देशांक हमारे समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, और बिंदु स्वयं वास्तव में इस रेखा से संबंधित है।

यह परीक्षण मौखिक रूप से करना बहुत आसान (और त्वरित!) है।

कई समस्याओं में किसी दी गई रेखा से संबंधित किसी अन्य बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इसे कैसे करना है?

हम परिणामी समीकरण लेते हैं और मानसिक रूप से "चुटकी मारो", उदाहरण के लिए, बायां टुकड़ा:। आइए अब इस टुकड़े को बराबर करें किसी भी संख्या में(याद रखें कि पहले से ही एक शून्य था), उदाहरण के लिए, एक के लिए:। चूँकि, फिर अन्य दो "टुकड़े" भी एक के बराबर होने चाहिए। मूलतः, आपको सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

आइए देखें कि पाया गया बिंदु समीकरणों को संतुष्ट करता है या नहीं :

सही समानताएँ प्राप्त होती हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु वास्तव में दी गई रेखा पर स्थित है।

आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली में चित्र बनाएं। साथ ही, आइए याद रखें कि अंतरिक्ष में बिंदुओं को सही ढंग से कैसे अंकित किया जाए:

आइए एक बिंदु बनाएं:
- अक्ष की नकारात्मक दिशा में निर्देशांक की उत्पत्ति से हम पहले निर्देशांक (हरी बिंदीदार रेखा) का एक खंड प्लॉट करते हैं;
- दूसरा निर्देशांक शून्य है, इसलिए हम अक्ष से बाईं ओर या दाईं ओर "चिकोटी" नहीं करते हैं;
- तीसरे निर्देशांक के अनुसार, तीन इकाइयों को ऊपर की ओर (बैंगनी बिंदीदार रेखा) मापें।

एक बिंदु बनाएं: दो इकाइयां "अपनी ओर" (पीली बिंदीदार रेखा), एक इकाई दाईं ओर (नीली बिंदीदार रेखा) और दो इकाइयां नीचे (भूरी बिंदीदार रेखा) मापें। भूरी बिंदीदार रेखा और बिंदु स्वयं समन्वय अक्ष पर आरोपित हैं, ध्यान दें कि वे निचले आधे स्थान में और अक्ष के सामने हैं।

सीधी रेखा स्वयं धुरी के ऊपर से गुजरती है और, यदि मेरी आंख मुझे चकमा न दे, तो धुरी के ऊपर से भी गुजरती है। यह विफल नहीं होता, मैं विश्लेषणात्मक रूप से आश्वस्त था। यदि सीधी रेखा अक्ष के पीछे से गुजरती है, तो आपको क्रॉसिंग बिंदु के ऊपर और नीचे की रेखा के एक टुकड़े को इरेज़र से मिटाना होगा।

एक सीधी रेखा में अनंत संख्या में दिशा सदिश होते हैं, उदाहरण के लिए:
(रेड ऐरो)

परिणाम बिल्कुल मूल वेक्टर था, लेकिन यह पूरी तरह से एक दुर्घटना थी, इसी तरह मैंने बिंदु चुना। एक सीधी रेखा के सभी दिशा सदिश संरेख होते हैं, और उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होते हैं (अधिक विवरण के लिए, देखें)। सदिशों की रैखिक (गैर) निर्भरता। सदिशों का आधार). तो, वैक्टर इस रेखा के दिशा सदिश भी होंगे।

चेकर पेपर पर त्रि-आयामी चित्र बनाने की अतिरिक्त जानकारी मैनुअल की शुरुआत में पाई जा सकती है कार्यों के रेखांकन और गुण. एक नोटबुक में, बिंदुओं के लिए बहु-रंगीन बिंदीदार पथ (चित्र देखें) आमतौर पर एक ही बिंदीदार रेखा का उपयोग करके एक साधारण पेंसिल से पतले खींचे जाते हैं।

आइए विशेष मामलों से निपटें जब दिशा वेक्टर के एक या दो निर्देशांक शून्य हों। साथ ही, हम स्थानिक दृष्टि का प्रशिक्षण जारी रखते हैं, जो पाठ की शुरुआत में शुरू हुआ था। समतल समीकरण. और फिर से मैं आपको नग्न राजा की कहानी सुनाऊंगा - मैं एक खाली समन्वय प्रणाली बनाऊंगा और आपको विश्वास दिलाऊंगा कि वहां स्थानिक रेखाएं हैं =)

सभी छह मामलों को सूचीबद्ध करना आसान है:

1) एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के लिए, रेखा के विहित समीकरण तीन में टूट जाते हैं व्यक्तिसमीकरण: .

या संक्षेप में:

उदाहरण 2: आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के समीकरण बनाएं:

ये कैसी लाइन है? सीधी रेखा का दिशा सदिश इकाई सदिश के संरेख होता है, जिसका अर्थ है कि यह सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होगी। विहित समीकरणों को इस प्रकार समझा जाना चाहिए:
ए) - "वाई" और "जेड" स्थायी, बराबर हैं विशिष्ट संख्याएँ;
बी) चर "x" कोई भी मान ले सकता है: (व्यवहार में, यह समीकरण आमतौर पर लिखा नहीं जाता है)।

विशेष रूप से, समीकरण अक्ष को ही परिभाषित करते हैं। दरअसल, "x" कोई भी मान लेता है, और "y" और "z" हमेशा शून्य के बराबर होते हैं।

विचाराधीन समीकरणों की व्याख्या दूसरे तरीके से की जा सकती है: आइए, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष के विश्लेषणात्मक अंकन को देखें:। आख़िरकार, ये दो तलों के समीकरण हैं! समीकरण निर्देशांक तल निर्दिष्ट करता है, और समीकरण निर्देशांक तल निर्दिष्ट करता है। आप सही सोचते हैं - ये समन्वय तल अक्ष के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। पाठ के अंत में हम उस विधि पर विचार करेंगे जब अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो विमानों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित किया जाता है।

दो समान मामले:

2) वेक्टर के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के विहित समीकरण सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

ऐसी सीधी रेखाएँ निर्देशांक अक्ष के समानांतर होंगी। विशेष रूप से, समीकरण निर्देशांक अक्ष को ही निर्दिष्ट करते हैं।

3) वेक्टर के समानांतर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के विहित समीकरण सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं।

ये सीधी रेखाएँ निर्देशांक अक्ष के समानांतर हैं, और समीकरण स्वयं अनुप्रयुक्त अक्ष को परिभाषित करते हैं।

आइए दूसरे तीन को स्टॉल में रखें:

4) एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के लिए, रेखा के विहित समीकरण अनुपात में टूट जाते हैं और समतल समीकरण .

उदाहरण 3: आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के समीकरण बनाएं।

रेखा के विहित समीकरण

समस्या का निरूपण. दो तलों की प्रतिच्छेदन रेखा के रूप में दी गई रेखा के विहित समीकरण ज्ञात कीजिए (सामान्य समीकरण)

समाधान योजना. दिशा सदिश के साथ एक सीधी रेखा के विहित समीकरण किसी दिए गए बिंदु से गुजरना , फॉर्म है

. (1)

इसलिए, किसी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए, उसके दिशा सदिश और रेखा पर कोई बिंदु ज्ञात करना आवश्यक है।

1. चूँकि सीधी रेखा दोनों तलों से एक साथ संबंधित होती है, इसका दिशा वेक्टर दोनों तलों के सामान्य सदिशों के लंबकोणीय होता है, अर्थात। एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है

. (2)

2. रेखा पर कोई बिंदु चुनें. चूँकि सीधी रेखा का दिशा वेक्टर कम से कम एक समन्वय तल के समानांतर नहीं है, सीधी रेखा इस समन्वय तल को काटती है। परिणामस्वरूप, इस निर्देशांक तल के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को एक रेखा पर एक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है।

3. गाइड वेक्टर और बिंदु के पाए गए निर्देशांक को सीधी रेखा (1) के विहित समीकरणों में रखें।

टिप्पणी। यदि सदिश गुणनफल (2) शून्य के बराबर है, तो तल प्रतिच्छेद (समानांतर) नहीं करते हैं और रेखा के विहित समीकरण लिखना संभव नहीं है।

समस्या 12.रेखा के विहित समीकरण लिखिए।

रेखा के विहित समीकरण:

,

कहाँ - एक रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक, इसका दिशा सदिश है.

आइए लाइन पर कुछ बिंदु खोजें। फिर रहने दो

इस तरह, - एक रेखा से संबंधित बिंदु के निर्देशांक।

समतलों के बीच का कोण

समीकरणों द्वारा क्रमशः परिभाषित दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

अंतर्गत कोणदो तलों के बीच हम इन तलों द्वारा निर्मित एक द्विफलकीय कोण को समझेंगे। यह स्पष्ट है कि सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसीलिए . क्योंकि और , वह

.

उदाहरण।समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए एक्स+2य-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3य+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता के लिए शर्त.

दो तल α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य सदिश समानांतर हैं, और इसलिए .

इसलिए, दो विमान एक दूसरे के समानांतर हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक के गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों की लंबवतता की स्थिति.

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

सीधे अंतरिक्ष में.

एक पंक्ति के लिए वेक्टर समीकरण.

पैरामीट्रिक प्रत्यक्ष समीकरण

अंतरिक्ष में किसी रेखा की स्थिति पूरी तरह से उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक सदिश।

एक रेखा के समानान्तर सदिश को कहा जाता है गाइडइस लाइन का वेक्टर.

तो चलो सीधी रेखा एलएक बिंदु से होकर गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1), वेक्टर के समानांतर एक रेखा पर स्थित है।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम(एक्स,वाई,जेड)एक सीधी रेखा पर. चित्र से यह स्पष्ट है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर. कारक टीपैरामीटर कहा जाता है. बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को निर्दिष्ट करके एम 1 और एमक्रमशः, और के माध्यम से, हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरएक सीधी रेखा का समीकरण. यह दिखाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान के लिए टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाता है एम, एक सीधी रेखा पर लेटना।

आइए इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखें। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकएक सीधी रेखा के समीकरण.

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक बदल जाते हैं एक्स, यऔर जेडऔर अवधि एमएक सीधी रेखा में चलता है.

प्रत्यक्ष के विहित समीकरण

होने देना एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1)- एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु एल, और इसका दिशा सदिश है. आइए फिर से रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स,वाई,जेड)और वेक्टर पर विचार करें.

यह स्पष्ट है कि सदिश भी संरेख हैं, इसलिए उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होने चाहिए, इसलिए,

– कैनन काएक सीधी रेखा के समीकरण.

नोट 1।ध्यान दें कि पैरामीटर को हटाकर रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं टी. दरअसल, पैरामीट्रिक समीकरणों से हमें प्राप्त होता है या .

उदाहरण।रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक रूप में.

चलो निरूपित करें , यहाँ से एक्स = 2 + 3टी, य = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

नोट 2।मान लीजिए कि सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक पर लंबवत है, उदाहरण के लिए अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत होता है बैल, इस तरह, एम=0. परिणामस्वरूप, रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप ले लेंगे

समीकरणों से पैरामीटर को बाहर करना टी, हम प्रपत्र में रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका मतलब है कि सीधी रेखा संबंधित निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

विहित समीकरणों के समान अक्षों पर लंबवत एक सीधी रेखा से मेल खाता है बैलऔर ओएया अक्ष के समानांतर आउंस.

उदाहरण।

दो तलों के प्रतिच्छेदन रेखाओं के रूप में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनगिनत विमान हैं। उनमें से कोई भी दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। नतीजतन, किन्हीं दो ऐसे विमानों के समीकरण, एक साथ विचार करने पर, इस रेखा के समीकरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक रेखा बनाइए

एक सीधी रेखा बनाने के लिए उसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। सबसे आसान तरीका निर्देशांक तलों वाली एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करना है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम यह मानते हुए सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करने के बाद, हमें बात समझ में आती है एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर य= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों की ओर बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए आपको कोई बिंदु ढूंढ़ना होगा एम 1 एक सीधी रेखा पर और एक सीधी रेखा का दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, जो एक निर्देशांक को एक मनमाना मान देता है। दिशा सदिश ज्ञात करने के लिए, ध्यान दें कि यह सदिश दोनों सामान्य सदिशों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर से परे एलआप सामान्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में.

आइए एक रेखा पर स्थित एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से किसी एक निर्देशांक को चुनते हैं, उदाहरण के लिए, य= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले समतलों के सामान्य सदिशों में निर्देशांक होते हैं अत: दिशा सदिश सीधा होगा

. इस तरह, एल: .

सीधी रेखाओं के बीच का कोण

कोणअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाने बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ दी गई हैं:

जाहिर है, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि, सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है